Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin, prof. Voditelj projekta: Domagoj Mak Stručni recenzent: doc. dr. sc. Petar Javor Nakladnik: Algebra d.o.o., 2015. Za nakladnika: mr.sc. Mislav Balković Mjesto i godina izdanja: Zagreb, 2015. www.drzavnamatura.hr matura@algebra.hr U ovom izdanju korišteni su zadaci prošlih rokova državne mature, Nacionalnog centra za vanjsko vrednovanje obrazovanja koji su javno objavljeni i dostupni na www.ncvvo.hr, uz odobrenje NCVVO-a. Sva prava pridržana. Niti jedan dio ove knjige ne smije se reproducirati ili prenositi u bilo kojem obliku, niti na koji način. Zabranjeno je svako kopiranje, citiranje te upotreba knjige u javnim i privatnim edukacijskim organizacijama u svrhu organiziranih školovanja, a bez pisanog odobrenja nositelja autorskih prava. Copyright Algebra d.o.o.

SADRŽAJ 1. POGLAVLJE: BROJEVI I ALGEBRA... 3 1.1 Skupovi brojeva N, Z, Q, R i C... 4 1.2 Elementarno računanje... 18 1.3 Postotci i omjeri... 38 1.4 Algebarski izrazi i algebarski razlomci... 46 1.5 Mjerne jedinice... 59 2. POGLAVLJE: FUNKCIJE... 65 2.1 Definicija funkcije... 66 2.2 Linearna funkcija... 81 2.3 Kvadratna funkcija... 90 2.4 Funkcija apsolutne vrijednosti (modul)... 105 2.5 Funkcija drugi korijen... 112 2.6 Polinomi i racionalne funkcije... 116 2.7 Eksponencijalna i logaritamska funkcija... 128 2.8 Trigonometrijske funkcije... 145 2.9 Nizovi... 165 2.10 Derivacija funkcije... 174 3. POGLAVLJE: JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE... 197 3.1 Linearne jednadžbe i nejednadžbe... 198 3.2 Kvadratne jednadžbe i nejednadžbe... 206 3.3 Jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima i drugim korijenom... 217 3.4 Jednostavnije polinomske i racionalne jednadžbe i nejednadžbe... 226 3.5 Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe... 233 3.6 Trigonometrijske jednadžbe... 245 3.7 Sustavi jednadžbi i nejednadžbi... 257 4. POGLAVLJE: GEOMETRIJA... 269 4.1 Elementarna geometrija likova u ravnini... 270 4.2 Odnos među geometrijskim objektima u prostoru... 295 4.3 Prizma, piramida, valjak, stožac, kugla... 305 5. POGLAVLJE: TRIGONOMETRIJA TROKUTA... 325 5.1 Trigonometrija pravokutnoga trokuta i trigonometrija raznostraničnog trokuta... 326 6. POGLAVLJE: ANALITIČKA GEOMETRIJA... 343 6.1 Koordinatni sustav na pravcu i u ravnini... 344 6.2 Vektori... 356 6.3 Jednadžba pravca... 372 6.4 Krivulje drugog reda... 386 7. POGLAVLJE: MODELIRANJE... 407 7.1 Ponavljanje... 408

7.2 Riješeni primjeri... 408 7.3 Zadaci s ranije održanih državnih matura... 415 7.4 Dodatni zadaci... 422 RJEŠENJA: MATEMATIKA VIŠA RAZINA... 429 PRILOG 1: ZADACI S JESENSKOG I LJETNOG ROKA DRŽAVNE MATURE 2015.... 483

1. poglavlje: BROJEVI I ALGEBRA U ovom poglavlju naučit ćete: o skupovima N, Z, Q, R, C uspoređivanje brojeva intervale postotke i omjere računanje s algebarskim izrazima i razlomcima pretvarati mjerne jedinice računati te kako koristiti kalkulator

Str. 4 1. poglavlje: Brojevi i algebra 1.1 Skupovi brojeva N, Z, Q, R i C 1.1.1 Ponavljanje 1.1.1.1 Pojam skupa i osnovne skupovne operacije Skup je osnovni matematički pojam koji se ne definira, ali je intuitivno jasan (objedinjuje objekte koji imaju neka zajednička svojstva). Primjer 1. Skup svih polaznika ovog tečaja. Skup svih državljana Hrvatske. Skup svih višekratnika broja 3. Skupove označavamo velikim slovima abecede: te oznakom. Unutar vitičastih zagrada ispisujemo sve članove koji pripadaju skupu ili svojstvo koje zadovoljavaju članovi (elementi) tog skupa. Primjer 2. U primjeru 2. skup zadan je ispisivanjem svih njegovih elemenata, dok su skupovi i zadani navođenjem svojstava njihovih elemenata. Lako možemo ispisati elemente zadanih skupova: Činjenicu da broj 1 pripada skupu A zapisujemo i čitamo: 1 je element skupa A. Činjenicu da broj 2 ne pripada skupu B zapisujemo i čitamo: 2 nije element skupa B. Za dva skupa i kažemo da su jednaka i pišemo ako je svaki element skupa ujedno i element skupa, odnosno ako je svaki element skupa ujedno i element skupa, tj. ako ti skupovi sadrže sve iste elemente. Ako skupovi nisu jednaki, kažemo da su različiti i pišemo. Primjer 3. Jesu li skupovi i iz primjera 2 jednaki? Odgovor: jesu, jer sadrže sve iste elemente. Dakle. Prazan skup je skup koji ne sadržava niti jedan element. Označavamo ga simbolom. Primjer 4. je skup svih ljudi koji su viši od 3 m. Očito je. Ako je svaki element skupa ujedno i element skupa, kažemo da je podskup od i pišemo. Ako je i ( tj. skup sadrži još barem jedan element koji ne pripada skupu ), kažemo da je pravi podskup od i pišemo. Primjer 5. Promotri skupove u primjeru 2. Jesu li istinite tvrdnje: a), b)?

Pripreme za državnu maturu Matematika (A) Str. 5 Odgovor: tvrdnja pod a) je istinita; tvrdnja pod b) nije istinita. Odnos skupova možemo prikazati Euler Vennovim dijagramom: Univerzalni skup je skup čije podskupove promatramo i s kojima računamo. Skupovne operacije (algebra skupova): Unija skupova je skup koji sadrži sve elemente koji pripadaju skupu ili skupu Presjek skupova je skup koji sadrži sve elemente koji pripadaju skupu i skupu. Razlika skupova je skup koji sadrži sve elemente koji pripadaju skupu, a ne pripadaju skupu.

Str. 6 1. poglavlje: Brojevi i algebra Komplement skupa je skup koji sadrži sve elemente univerzalnog skupa koji ne pripadaju skupu. 1.1.1.2 Skupovi brojeva Skup prirodnih brojeva Prethodnik broja je broj. Svaki prirodni broj, osim broja 1, ima svog prethodnika. Sljedbenik broja je broj. Svaki prirodni broj ima svog sljedbenika. Najmanji prirodni broj je 1, ne postoji najveći prirodni broj. Prirodni broj djeljiv je prirodnim brojem ako postoji prirodni broj takav da je. Tada je broj višekratnik broja, odnosno broj je djelitelj (faktor) broja. Najveći zajednički djelitelj ili najveća zajednička mjera brojeva. je najveći prirodni broj koji ima svojstvo da dijeli brojeve... Označavamo ga sa ili Prirodni broj veći od 1 je prost ako je djeljiv samo sa jedan i sa samim sobom. Prirodni broj veći od 1 je složen ako nije prost. Broj 1 nije niti prost niti složen. Prostih prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo. Svaki složeni prirodni broj možemo prikazati u obliku produkta prostih faktora. Kažemo da ga možemo rastaviti na proste faktore. Relativno prosti brojevi su oni brojevi čiji jedini zajednički djelitelj je broj 1.

Pripreme za državnu maturu Matematika (A) Str. 7 Zbroj i umnožak prirodnih brojeva ponovno je prirodni broj, dok razlika i količnik prirodnih brojeva ne moraju biti prirodni brojevi. Zbroj (sumu) brojeva označavamo sa. Zbroj je rezultat računske operacije zbrajanja. Razliku (diferenciju) brojeva označavamo sa. Razlika je rezultat računske operacije oduzimanja. Umnožak (produkt) brojeva označavamo s ili. Umnožak je rezultat računske operacije množenja. Količnik (kvocijent) brojeva označavamo s ili ili. Količnik je rezultat računske operacije dijeljenja. Skup cijelih brojeva Zbroj, razlika i umnožak cijelih brojeva ponovno je cijeli broj. Količnik cijelih brojeva ne mora biti cijeli broj. Svaki cijeli broj ima svog prethodnika i sljedbenika. Ne postoji niti najmanji niti najveći cijeli broj. Skup racionalnih brojeva Broj oblika naziva se razlomak je brojnik, je nazivnik. Nazivnik razlomka uvijek mora biti različit od nule, jer se nulom ne smije dijeliti. Razlomačka crta ima ulogu dijeljenja,. Svaki racionalni broj možemo prikazati i u decimalnom obliku tako da brojnik podijelimo nazivnikom,, k=količnik i r ostatak pri dijeljenju m sa n,. Decimalni zapis racionalnog broja može biti konačan (ima konačno mnogo decimala) Npr. ; ; ili beskonačan periodički decimalan broj (ima beskonačno mnogo decimala, koje se periodički ponavljaju odmah iza decimalne točke ili se periodički ponavljaju nakon konačnog broja decimalnih mjesta). Npr. ; ; Skupina znamenaka koja se ponavlja naziva se period. U zapisu ga označavamo tako da iznad prve i zadnje znamenke perioda napišemo točku. Vrijedi i obratno, tj. svaki konačni decimalni broj i svaki beskonačni periodički decimalni broj možemo napisati u obliku razlomka. Dakle to su racionalni brojevi. Jednakost racionalnih brojeva Uspoređivanje racionalnih brojeva Kažemo da skup ima svojstvo gustoće: između svaka dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo racionalnih brojeva. Skup iracionalnih brojeva

Str. 8 1. poglavlje: Brojevi i algebra Iracionalni brojevi su svi decimalni beskonačni neperiodički brojevi. Npr. Njih ne možemo zapisati u obliku razlomka. Kažemo da su kupovi i su disjunktni, tj.. Iracionalne brojeve možemo aproksimirati (zaokružiti na određen broj decimala) pomoću racionalnih brojeva. Kažemo da skup ima svojstvo gustoće: između svaka dva iracionalna broja postoji beskonačno mnogo iracionalnih brojeva. Skup realnih brojeva - algebarski pristup - realni brojevi su svi decimalni brojevi (konačni, beskonačni, periodički, neperiodički) (Pri tome, prirodne, odnosno cijele brojeve možemo tumačiti kao decimalne sa svim decimalama jednakim nula koje se ne pišu.) - geometrijski pristup - skup realnih brojeva identificiramo s brojevnim pravcem Brojevni pravac je pravac na kojeg su bijektivno preslikani svi realni brojevi. (Svakom realnom broju pridružena je točno jedna točka pravca. Različiti brojevi preslikani su u različite točke pravca i u svaku točku pravca preslikan je točno jedan realni broj.) - aksiomatski pristup- Skup opsujemo skupinom aksioma koji vrijede za računske operacije zbrajanja i množenja: A1 Komutativnost zbrajanja A2 Asocijativnost zbrajanja A3 Neutralni element za zbrajanje je broj 0 A4 Suprotni element Za svaki realni broj postoji realni broj takav da vrijedi. A5 Komutativnost množenja A6 Asocijativnost množenja A7 Neutralni element za množenje je broj 1.. A8 Inverzni element Za svaki realni broj, osim nule, postoji realni broj takav da vrijedi. A9 Distributivnost množenja prema zbrajanju. A10 Za svaka dva realna broja vrijedi. A11 Ako za realne brojeve vrijedi, onda je (simetričnost). A12 Ako za realne brojeve vrijedi onda je (tranzitivnost). A13 Ako je onda za svaki realni broj vrijedi. A14 Ako je tada je. Aksiomi A1 do A9 nazivaju se aksiomi polja. Aksiomi A10 do A14 nazivaju se aksiomi uređaja. Koordinatni sustav na brojevnom pravcu određen je točkom O (ishodištem) u koju je preslikan broj 0 i točkom u koju je preslikan broj 1.

Pripreme za državnu maturu Matematika (A) Str. 9 Dužina je jedinična dužina pomoću koje vršimo mjerenja na pravcu. Točku u koju se preslikao realni broj najčešće označavamo sa. Kažemo da je koordinata točke na brojevnom pravcu. Pozitivni brojevi na brojevnom pravcu smješteni su desno od ishodišta, a negativni lijevo od ishodišta koordinatnog sustava. Ako je, točka koja je na brojevnom pravcu pridružena broju nalazi se lijevo u odnosu na točku koja je pridružena realnom broju. Intervali su posdkupovi skupa realnih brojeva. otvoreni interval (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su strogo veći od i strogo manji od ) poluotvoreni interval s lijeva (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su strogo veći od i manji ili jednaki od ) poluotvoreni interval zdesna (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su veći ili jednaki od i strogo manji od ) zatvoreni interval ili segment (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su veći ili jednaki od i manji ili jednaki od ) Realni brojevi su rubovi intervala. je početak, je kraj intervala. Neka granica intervala može biti i beskonačna, pišemo. (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su strogo manji od )

Str. 10 1. poglavlje: Brojevi i algebra (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su manji ili jednaki od ) (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su strogo veći od ) (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su veći ili jednaki od ) Skup kompleksnih brojeva Kompleksne brojeve najčešće označavamo slovima i. standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja. Realni dio kompleksnog broja je. Imaginarni dio kompleksnog broja je. je imaginarna jedinica. To je broj koji ima svojstvo da je njegov kvadrat jednak broju.. Ako je tada je, takav broj nazivamo (čisto) imaginarni kompleksni broj. Ako je tada je. Dakle, realni brojevi su kompleksni brojevi čiji imaginarni dio je jednak nuli. Očito vrijedi. Odnos skupova brojeva

Pripreme za državnu maturu Matematika (A) Str. 11 Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja je. je modul kompleksnog broja, a je argument kompleksnog broja. je kut kojeg zatvara polupravac i pozitivni dio -osi. 1.1.2 Riješeni primjeri Koja od sljedećih tvrdnji nije istinita?

A. B. C. D. Rješenje: C. Jasno je da. Broj 5 je kompleksni broj jer je Kompleksne brojeve i prikažite u trigonometrijskome obliku. a), b). Rješenje: Broj oblika treba zapisati u obliku, pri čemu je,,. ( je udaljenost od od ishodišta, je kut kojeg zatvara polupravac i pozitivni dio -osi. ) a) Nacrtamo u kompleksnoj ravnini, vidimo,. Odgovor: b) Nacrtamo u kompleksnoj ravnini, je u. kvadrantu.

Pripreme za državnu maturu Matematika (A) Str. 13 Po slici vidimo pa je. Koji je podskup skupa zadan nejednadžbama : i? A. B. C. D. Rješenje: C. Traži se podskup skupa cijelih brojeva. Koliko prirodnih brojeva ima u skupu? A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 Rješenje: B. Prirodni brojevi iz ovog skupa su 1,2, 3,12,13 i ima ih 5. Za određivanje decimalnog oblika brojeva prikazanih razlomcima možemo koristiti kalkulator. Unija skupova je : A. zatvoren interval B. otvoren interval C. interval poluotvoren sdesna D. interval poluotvoren slijeva Rješenje: je otvoreni interval. Broj prikazan je u kompleksnoj ravnini. Zapišite ga ili u trigonometrijskome ili u standardnome obliku. Rješenje: Sa slike vidimo pa je trigonometrijski oblik:

Str. 14 1. poglavlje: Brojevi i algebra. Standardni oblik računamo iz trigonometrijskog. Koji je od brojeva racionalan? A. B. C. D. Rješenje:, su iracionalni brojevi, je kompleksan broj, je racionalan broj. 1.1.3 Zadaci s ranije održanih državnih matura 09/10 ljeto Koja je od navedenih tvrdnji istinita? A. B. C. D. 09/10 jesen Koja je od navedenih tvrdnji istinita? A. Svaki kompleksan broj je ujedno i realan broj. B. Svaki racionalan broj je ujedno i cijeli broj. C. Svaki racionalan broj je ujedno i realan broj. D. Svaki kompleksan broj je ujedno i iracionalan broj. 12/13 jesen Koliko cijelih brojeva ima u intervalu? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 09/10 zima Interval podskup je skupa realnih brojeva. Što od navedenoga vrijedi za elemente toga intervala? A. B. C. D.

Pripreme za državnu maturu Matematika (A) Str. 15 10/11 ljeto Koji je skup realnih brojeva zadan nejednadžbama ili? A. B. C. D. 11/12 ljeto Koliko ima cijelih brojeva takvih da je? A. dva B. tri C. četiri D.pet Kompleksan broj prikažite u trigonometrijskome obliku. Odgovor: Kompleksan broj prikažite u trigonometrijskome obliku Odgovor: 12/13 ljeto Zapišite kompleksan broj u trigonometrijskome obliku. Odgovor: Broj prikazan je u kompleksnoj ravnini. Zapišite ga ili u trigonometrijskome ili u standardnome obliku.

Str. 16 1. poglavlje: Brojevi i algebra Odgovor: 1.1.4 Dodatni zadaci Koji je od brojeva iracionalan: A. B. C. D. Koji od brojeva nije realan? A. B. C. D. Koji je od brojeva kompleksni imaginarni broj: A. B. C. D. A. Koja je od sljedećih tvrdnji neistinita: B. C. D. Koja je od sljedećih tvrdnji istinita: A. B. C. D. Koliko prirodnih brojeva ima u skupu?

A. 6 B. 5 C. 4 D.3 Koliko cijelih brojeva ima u skupu? A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 Koje dvije tvrdnje nisu istinite za svaka dva skupa A. B. C. D. Za zadane intervale i odredi, : a) b) c) Zapiši kompleksni broj u trigonometrijskom obliku. Zapiši kompleksni broj u trigonometrijskom obliku. Zapiši kompleksni broj u trigonometrijskom obliku. Koji je skup realnih brojeva zadan nejednadžbama ili? A. B. C. D. Broj napiši u standardnom obliku i prikaži u kompleksnoj ravnini. Broj napiši u standardnom obliku i prikaži u kompleksnoj ravnini. Broj napiši u standardnom obliku i prikaži u kompleksnoj ravnini.