SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,....................................... s n = 0 + 0 +1 +... +, n IN, n n 0. Se numeşte serie de numere reale (sau serie numerică) perechea {( ) n, (s n ) n } formată din şirurile ( ) n şi (s n ) n. se numeşte termenul general al seriei, iar (s n ) n se numeşte şirul sumelor parţiale asociat şirului ( ) n. Vom nota seria prin:, sau 0 + 0 +1 + 0 +2 +... + +... Definiţia 3.2. sumelor parţiale. Fie (n 0 IN) o serie numerică şi (s n ) şirul a) Seria se numeşte convergentă (sau seria converge) dacă (s n ) este convergent. În acest caz, limita şirului (s n) se numeşte suma seriei şi se notează prin.
b) Seria se numeşte divergentă (sau seria diverge) dacă nu este convergentă deci dacă (s n ) este divergent. Dacă limita şirului (s n ) este + sau, atunci se spune că suma seriei este + sau şi se notează = + sau =. Observaţia 3.3. (Serii remarcabile) a) Seria geometrică de raţie q: q n, q IR (q 0 = 1). Dacă q (, 1], atunci seria este divergentă. Dacă q ( 1, 1), atunci seria este convergentă şi are suma q n = 1 1 q. Dacă q 1, atunci seria este divergentă şi are suma q n = +. b) Seria armonică generalizată: n=1 1 n α, α IR. Dacă α > 1, atunci seria este convergentă. Dacă α 1, atunci seria este divergentă. Pentru α = 1, seria numeşte seria armonică. n=1 1 n se Observaţia 3.4. Fie seria α cu termen general = α IR, n IN (şirul ( ) este constant). Dacă α = 0, atunci seria este convergentă şi are suma 0. Dacă α 0, atunci seria este divergentă. Definiţia 3.5. Fie (b n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale. O serie de forma (b n b n 1 ) se numeşte serie telescopică. În acest caz, şirul +1 sumelor parţiale este s n = b n b n0, n IN, n n 0 + 1. Definiţia 3.6. Dacă două serii şi b n (n 0 IN) au aceeaşi natură (adică sunt în acelaşi timp convergente sau divergente), atunci vom nota b n.
Teorema 3.7. (Condiţiecesară de convergenţă) Dacă seria (n 0 IN) este convergentă, atunci lim = 0. În consecinţă, rezultă: Corolar 3.8. Dacă ( ) n este convergent şi lim 0 sau dacă ( ) este divergent (ceea ce vom nota prin 0), atunci seria este divergentă. Propoziţia 3.9. (Proprietăţi generale ale seriilor convergente) i) Fie seria (n 0 IN). Dacă din şirul ( ) se elimină sau se adaugă un număr finit de termeni, atunci natura seriei nu se schimbă (dar în caz de convergenţă, suma seriei se modifică). Astfel, vom face convenţia de ota o serie prin atunci când ne va interesa doar natura seriei (nu şi suma seriei). ii) Dacă într-o serie convergentă se asociază termenii seriei în grupe finite, cu păstrarea ordinii termenilor, atunci se obţine tot o serie convergentă şi cu aceeaşi sumă. Dacă seria este divergentă, atunci rezultatul nu se mai păstrează. De exemplu, fie seria divergentă ( 1) n 1 şi seria: n=1 (1) [1 + ( 1)] + [1 + ( 1)] +... + [1 + ( 1)] +... obţinută prin asocierea termenilor în grupe de câte doi termeni. Se observă că seria (1) este convergentă şi are suma 0. iii) Fie seria (n 0 IN) şi k IN. Atunci +k. În caz de convergenţă, dacă = s, atunci +k = s (0 + 0 +1 +... + 0 +k 1). Invers, dacă +k = t, atunci = t + (0 + 0 +1 +... + 0 +k 1). iv) Fie (n 0 IN) o serie numerică şi pentru orice p IN, fie seria. Atunci. În caz de convergenţă, se +p+1 +p+1
118 notează n=p+1 lim r p = 0. p =r p (numit restul de ordin p al seriei ) şi avem Teorema 3.10. (Teorema lui Cauchy de caracterizare) O serie (n 0 IN) este convergentă dacă şi numai dacă ε > 0, N(ε) = N IN, astfel încât n N, n n 0 şi p IN, +1 + +2 +... + +p < ε. Observaţia 3.11. Dacă seria (n 0 IN) are proprietatea că 0, n n 0, atunci şirul sumelor parţiale este crescător. În acest caz, se spune că seria este cu termeni nenegativi. Teorema 3.12. Fie o serie cu termeni nenegativi şi (s n ) şirul sumelor parţiale. Atunci seria este convergentă dacă şi numai dacă (s n ) este majorat. Observaţia 3.13. a) O serie cu termeni nenegativi (n 0 IN) este divergentă dacă şi numai dacă (s n ) este nemajorat ceea ce este echivalent cu faptul că lim s n = +. b) O serie cu termeni nenegativi are întotdeauna sumă în [0, + ]. Teorema 3.14. (Criteriul de comparaţie de specia I) Fie şi b n (n 0 IN) serii cu termeni nenegativi astfel încât b n, n n 0. i) Dacă seria b n converge, atunci seria converge. ii) Dacă seria diverge, atunci seria b n diverge. Teorema 3.15. (Criteriul de comparaţie de specia a II-a) Fie seriile şi b n (n 0 IN) astfel încât > 0, b n > 0 şi +1 b n+1 b n pentru orice n n 0. i) Dacă seria b n este convergentă, atunci seria este convergentă.
ii) Dacă seria este divergentă, atunci seria b n este divergentă. lim Teorema 3.16. (Criteriul de comparaţie cu limită) Fie şi b n serii cu termeni pozitivi astfel încât există limita = λ [0, + ]. b n i) Dacă λ (0, + ), atunci b n. ii) Pentru λ = 0, dacă seria b n converge, atunci seria converge; dacă seria diverge, atunci seria b n diverge. iii) Pentru λ = +, dacă seria converge, atunci seria b n converge; dacă seria b n diverge, atunci seria diverge. Corolar 3.17. Fie seria b n (n 0 IN) unde > 0, b n > 0, n n 0. Dacă există limita lim b n = λ şi λ (0, + ), atunci b n. Teorema 3.18. (Criteriul lui Cauchy de condensare) Fie o serie cu termeni nenegativi astfel încât şirul ( ) este descrescător. Atunci 2 n a 2 n. Teorema 3.19. (Criteriul rădăcinii cu mărginire) Fie seria (n 0 IN) cu termeni nenegativi. i) Dacă există M < 1 astfel încât n M, n n 0, atunci seria converge. ii) Dacă există M 1 astfel încât n M, n n 0, atunci seria diverge. Teorema 3.20. (Criteriul rădăcinii cu limită superioară) Fie o serie cu termeni nenegativi. i) Dacă lim sup ii) Dacă lim sup n an < 1, atunci seria este convergentă. n an > 1, atunci seria este divergentă. Teorema 3.21. (Criteriul rădăcinii cu limită) Fie seria cu termeni nenegativi astfel încât există limita lim n an = α.
i) Dacă α < 1, atunci seria converge. ii) Dacă α > 1, atunci seria diverge. Teorema 3.22. (Criteriul raportului cu mărginire) Fie (n 0 IN) o serie cu > 0 pentru orice n n 0. i) Dacă există M < 1 astfel încât +1 M, n n 0, atunci seria este convergentă. ii) Dacă există M 1 astfel încât +1 M, n n 0, atunci seria este divergentă. Teorema 3.23. (Criteriul raportului cu limite extreme) Fie (n 0 IN) o serie cu > 0 pentru orice n n 0. i) Dacă lim sup ii) Dacă lim inf +1 +1 < 1, atunci seria converge. > 1, atunci seria diverge. Teorema 3.24. (Criteriul raportului cu limită) Fie (n 0 IN) o serie cu > 0 pentru orice n n 0 astfel încât există limita lim +1 = α. i) Dacă α < 1, atunci seria este convergentă. ii) Dacă α > 1, atunci seria este divergentă. Teorema 3.25. (Criteriul lui Raabe - Duhamel) Fie (n 0 IN) o serie cu > 0 pentru orice n n 0 astfel încât există ( ) limita lim n an 1 = β. +1 i) Dacă β > 1, atunci seria converge. ii) Dacă β < 1, atunci seria diverge. Teorema 3.26. (Criteriul lui Gauss) Fie seria +1 (n 0 IN) cu > 0 pentru orice n n 0 astfel încât se a poate scrie în forma: n +1 = 1 + β n + xn, n n n 1+α 0, unde α, β IR, α > 0 şi (x n ) IR este un şir mărginit.
i) Dacă β > 1, atunci seria converge. ii) Dacă β 1, atunci seria diverge. Corolar 3.27. (Gauss) Fie seria orice n n 0 având proprietatea: (n 0 IN) cu > 0 pentru = 1 + P 1(n) +1 Q 1 (n) + P 2(n) Q 2 (n) + + P k(n) Q k (n) + x n n 1+α, n n 0, unde P i, Q i sunt polinoame cu coeficienţi reali astfel încât: grad Q i grad P i = 1, i = 1, k, α (0, ) şi (x n ) IR este un şir mărginit. Notând cu b i respectiv c i, coeficientul dominant al polinomului P i respectiv al polinomului Q i, i = 1, k şi cu β = k i=1 pentru β > 1, seria converge, pentru β 1, seria diverge. b i c i, avem: Teorema 3.28. (Criteriul lui Dirichlet) Fie seria b n (n 0 IN) care verifică condiţiile: i) seria are şirul sumelor parţiale (s n ) mărginit (adică există α 0 astfel încât s n α, n n 0 ), ii) (b n ) este un şir descrescător cu lim b n = 0. Atunci seria b n este convergentă. Teorema 3.29. (Criteriul lui Abel) Fie b n o serie pentru care au loc afirmaţiile: i) seria este convergentă, ii) (b n ) este un şir monoton şi mărginit. Atunci seria b n este convergentă. Definiţia 3.30. O serie numerică alternată dacă +1 < 0, n n 0. (n 0 IN) se numeşte serie În acest caz, se mai scrie în forma = ( 1) n b n pentru orice n n 0 sau = ( 1) n+1 b n pentru orice n n 0, unde b n > 0 pentru orice n n 0 (se observă că b n = pentru orice n n 0 ).
Teorema 3.31. (Criteriul lui Leibniz) Fie ( 1) n b n (n 0 IN) o serie alternată (b n > 0, n n 0 ) astfel încât şirul (b n ) este descrescător şi lim b n = 0. Atunci seria ( 1) n b n este convergentă. Definiţia 3.32. a) O serie se numeşte absolut convergentă dacă seria este convergentă. b) Seria se numeşte semiconvergentă (sau condiţionat convergentă) dacă seria este convergentă, iar seria este divergentă. Teorema 3.33. Dacă o serie este absolut convergentă, atunci seria an este convergentă. Observaţia 3.34. a) Reciproca teoremei 3.33 nu este adevărată (vezi problema 3.1-10). b) Dacă se aplică criteriul raportului sau cel al rădăcinii pentru seria an şi aceasta este divergentă, atunci şi seria este divergentă (vezi problema 3.5). Teorema 3.35. (Produs cu un scalar) Fie seria (n 0 IN) şi λ IR. Dacă λ 0, atunci (λ ) şi în caz de convergenţă avem (λ ) = λ. Teorema 3.36. (Suma a două serii) Fie seriile şi b n (n 0 IN). i) Dacă ambele serii sunt convergente, atunci şi seria ( + b n ) este convergentă şi ( + b n ) = + b n. ii) Dacă seria converge şi seria b n diverge (sau invers), atunci seria ( + b n ) diverge. Definiţia 3.37. (Produsul Cauchy al două serii) Fie seriile, b n şi fie (c n ) şirul definit prin: c 0 = a 0 b 0, c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0,
c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0,..., c n = a 0 b n + a 1 b n 1 +... + b 0 = n a k b n k, n IN. Atunci seria c n se numeşte produs Cauchy al seriilor şi k=0 b n. Teorema 3.38. (Mertens) Fie şi b n serii convergente. Dacă cel puţin una dintre serii este absolut convergentă, atunci seria produs Cauchy, ( )( c n = b n ). Dacă = b n, n IN, atunci vom nota c n, este convergentă şi ( )( ) ( ) 2. b n prin A ridica seria la pătrat înseamnă a efectua produsul Cauchy al seriei cu ea însăşi. Corolar 3.39. (Teorema lui Cauchy) Dacă două serii şi b n sunt absolut convergente, atunci seria produs ( )( Cauchy, c n, este absolut convergentă şi c n = b n ). Observaţia 3.40. (Calculul aproximativ al sumelor de serii) Fie o serie convergentă cu suma s. În acest caz, şirul sumelor parţiale s n = a 0 + a 1 + + converge la s iar restul de ordin n al seriei, r n = k=n+1 a k = s s n, converge la 0. Pentru determinarea cu aproximaţie a sumei s, se poate folosi formula de aproximare: s = s n, fiind necesară o evaluare a erorii absolute r n = s s n. De exemplu: a) Presupunem că există n 0 IN şi λ (0, 1) astfel încât +1 λ pentru orice n n 0. Atunci +1 λ, +2 λ +1 λ 2,
+3 λ 3,, +p λ p, p IN. Conform problemei 3.19, s s n = r n = a k a k λ k λ = k=n+1 k=n+1 k=1 1 λ. Deci λ s s n 1 λ, n n 0. Să presupunem că vrem să calculăm s cu o aproximaţie dată ε > 0. Pentru aceasta, vom determina N IN, N minim şi N n 0 astfel încât λ 1 λ ε pentru n N. Atunci s = s N. b) Fie ( ) un şir descrescător de numere pozitive, cu 0 astfel încât seria ( 1) n este convergentă şi are suma s. Să arătăm că r n +1, n IN. Fixând n IN, pentru orice k IN avem: +1 +2 +1 +2 + + ( 1) k+1 +k + ( 1) k+2 +k+1 +1. Trecând la limită pentru k se obţine +1 +2 ( 1) n+1 r n +1. Rezultă s s n = r n +1, n IN. Dacă vrem să calculăm s cu o aproximaţie dată ε > 0, atunci vom determina N IN, N minim astfel încât +1 ε pentru orice n N. Atunci s = s N.