Serii - lbrtr Ştiid că = k = k π = π π s = <., k şi pi să determiăm s, să scriem u prgrm petru fl rgul îcepâd de l cre»=;s=; while bss-pi).^)./)>. =; S=S./.^;ed» [,S] s =.. Fie seri ; să scriem u prgrm petru determi rgul îcepâd de l cre distţ ditre termeul geerl l şirului sumelr prţile s şi sum seriei este mi mică decât ε =,.»=;S=; while bss-)>. =; S=S./.^-));ed» [,S] s =..999 Să scriem u prgrm petru determi rgul îcepâd de l cre termeul şirului sumelr prţile s = k = l prximeză sum seriei k Sum seriei l = l = l»=;s=lg/); while bsslg))>. =; S=Slg-./.^);ed» [,S] s =. -.8. cu erre mi mică decât ε =,. Fie ; petru clculul lui s = k î Mtlb flsim deseri dcă u pr fctrile) fucţi sum k = Am stbilit cu defiiţi că seri l este divergetă. Să clculăm următrii termei i şirului sumelr prţile: s, s s, petru ilustr cest lucru:,, 9999 s Putem clcul fiecre î prte:» s)=sumlg:)./:))); s =.98» s)=sumlg:)./:))); s = 8.7» s9999)=sumlg:)./:9999))); s = 9. :))
Se bservă că şirul sumelr prţile este emărgiit superir şi că vem creştere destul de letă. Să clculăm î czul seriei cvergete l următrii termei i şirului sumelr prţile: s, s s ; ştim dej că sum seriei este l. 9.,,» sumlg-./:).^)) s = -.9 Î prgrful terir m stbilit cvergeţ câtrv serii, utilizâd criteriile de cvergeţă studite. Petru ceste serii vm clcul spre exemplu termeii s, s, ce vr prxim sum seriei:»sum./.^:)sqrt:))) s =.99»sum./.^:)sqrt:))) s =.99 π si»sumsipi./.^:)))) s =.97»sumsipi./.^:)))) s =.97 l» sumlg./:).^/)))) s =.99»sumlg./:).^/)))) s =.7. Remrcţi că cestă serie cverge destul de let.»sum./:)).^:).^)./.^:)) s =.»sum./:)).^:).^)./.^:)) s =.
Să studiem tur seriilr următre flsid criteriile de cvergeţă cuscute şi î cz de cvergeţă prximţi sum seriei cu s π si = π si u i umi vlri pzitive şi stfel vm plic criteriul de cmprţie cu ieglităţi seriei mdulelr: π si derece <, di cvergeţ seriei deducem bslut cvergeţ seriei.» sumsipi.*:)./))./:).^)) s =.97,) Aplicâd criteriul de cmprţie cu trecere l limită bţiem rcsi,) lim =, rezultâd divergeţ seriei. Di criteriul de cmptrţie cu trecere l limită vem: rcsi lim = rezultâd cvergeţ seriei.»sum si./:).^)) s =.77 Î czul î cre decidem cvergeţ seriei flsid criteriul rprtului, putem evlu şi erre cmisă: Să stbilim câţi termei trebuie îsumţi petru bţie sum seriei cu duă zecimle excte: Aplicăm criteriul rprtului: lim = lim = < şi deducem cvergeţ seriei. Avem = < şi R < = <. ; vm scrie u prgrm petru găsi cel mi mre 7 umăr turl petru cre >. : 7»=;x=./.^); while *x)./7>. =; x=./.^);ed» [] s =.
» sum:)./.^:)) s =. Să studiem tur seriei şi î cz de cvergeţă să prximăm sum seriei cu duă zecimle excte:! Primul terme l seriei este =, î rest =, ;! )! plicăm criteriul rprtului lim = lim =, şdr seri este cvergetă.! Avem = <, şi R < = <. : )!» =;x=;while.*x>. =;x=x*/);ed» [] s = Petru clcul cel de-l 7-le terme l şirului sumelr prţile, cre prximeză sum seriei cu duă zecimle excte, este evie de u prgrm situţie vlbilă dcă î termeul geerl l seriei pr fctrile):»sum=;x =;fr =:7 x=x.*./);sum =sumx;ed» [sum] s =.78 Am stbilit cu criteriul rprtului că seri zecimle excte:! este cvergetă; să prximăm sum seriei cu duă = = <., derece vem < < e şi stfel vem de rezlvt î mulţime umerelr turle iecuţi: R! <. <» =;x=;while x>. =;x=x.*.*-).^-))./.^);ed» [] s = 9 Aşdr prximeză sum seriei cu duă zecimle excte. s»sum=;x =;fr =: x=x.*.*-).^-))./.^);sum =sumx;ed» [sum] s =.879 Să studiem tur seriei Derece )!! )!! şi î cz de cvergeţă, să prximăm sum seriei pri s
)!!. )!! ) lim = lim = lim =, )!!. ) ) )!! plicăm criteriul Rbe Duhmel: ). ) ) lim. ) = lim. ) = lim = ) ) şi bţiem stfel cvergeţ seriei.» sum=7/; x=/;fr =:998 x=x.**).^)./*).**)); sum=sum x;ed» [sum] s =. cmisă. Î czul uei serii lterte, cărei cvergeţă stbilim cu criteriul lui Leibiz, putem evlu erre ) Să studiem tur seriei şi să-i prximăm sum cu trei zecimle excte: Am stbilit î prgrful. că seri este cvergetă; petru determi umărul turl îcepâd de l cre R < <, vm scrie u prgrm petru stbili cel mi mic umăr turl petru cre >. :» =;x=./); while x>. =; x=./);ed» [] s = 9999» sum-).^:))./:)) s =.9 Să stbilim tur seriei ) şi î cz de cvergeţă să-i prximăm sum cu zecimlă exctă. l Este serie cvergetă derece şirul = este descrescătr şi cverget l zer. Să determiăm l umărul turl îcepâd de l cre R < <. : l )»=;x=./lg)).^); while x>. =; x=./lg)).^); ed» [] s =»sum-).^:7))./lg:7)).^)) s =. Petru itui cmprtre seriilr de fucţii, csiderăm că u exerciţiu de grfică e este de jutr:: ) x Să deseăm primii trei termei i seriei x sistem de xe: şi respectiv s x) = f x) f x) f ) î celşi x» x=-:.:;y=-x.^)./x.^);y=x.^)./x.^^);y=-x.^)./x.^^);y=yyy; pltx,y,'k.',x,y,'r-',x,y,'b',x,y,'g*')
x Î czul seriei de fucţii rctg să deseăm î celşi sistem de xe x s x) = rctg x k = x x f x) = rctg şi x» x=-:.:;y=t*x./x.^^));y=t*x./x.^))t*x./x.^^)) t*x./x.^^))t*x./x.^^))t*x./x.^^)); pltx,y,'r',x,y,'k*') Dcă drim să deseăm s 9 x), lucrurile se cmplică, ş că e evie de ltă brdre: declrăm vribil simblică x, şi scriem expresi simblică s9x). Petru deseul cestei flsim fucţi ezpltf,,b)»syms x»=;s= t*x)./x.^)); while < =; s=s t*x)./x.^.^)); ed»ezplts,-,) Seriile de puteri sut czuri prticulre de serii de fucţii: Să deseăm î celşi sistem de xe l -le terme l seriei de puteri şirului sumelr prţile, l celeşi serii: x! şi respectiv l -le terme l»x=-8:.:8;y=x.^)./*****7*8*9* );y=xx.^)./ x.^)./*)x.^)./**)x.^)./***)x.^)./****) x.^7)./*****7)x.^8)./*****7*8)x.^9)./*****7*8*9)x.^)./*****7*8*9*);pl tx,y,'k',x,y,'k*') Am deset l -le terme l şirului sumelr prţile, l seriei de puteri x ; petru dese s 99 x)! flsim Symblic mth»syms x»=; s=x;=;f=x^/; s=sf ;while < = ;f=f*x/;s=sf;ed» ezplts,-,) Prbleme prpuse. Fie seri ; scrieţi u prgrm petru determi rgul îcepâd de l cre distţ ditre ) ) termeul geerl l şirului sumelr prţile s şi sum seriei este mi mică decât ε =,.. Fie seri l ; scrieţi u prgrm petru determi rgul termeului geerl l şirului sumelr ) prţile s ce prximeză sum seriei cu duă zecimle excte.. Studiţi tur seriilr următre flsid criteriile de cvergeţă cuscute şi î cz de cvergeţă prximţi sum seriei cu s l ;,7) ;
7 ) ;. Studiţi tur seriilr: )! ; ; )!!) şi î cz de cvergeţă prximţi sum seriei cu duă zecimle.. Studiţi tur seriilr l ) ; l ) î cz de cvergeţă prximţi sum seriei cu duă zecimle excte.. Deseţi, î celşi sistem de xe, termeul l -le l seriei f x x şi respectiv termeul l -le l şirului sumelr prţile, vâd c dmeiu de defiiţie u itervl judicis les. s 7. Deseţi, î celşi sistem de xe, l -le terme l seriei de puteri x şi respectiv l -le terme l şirului sumelr prţile, l celeşi serii, legâd judicis dmeiul de defiiţie, submulţime mulţimii de cvergeţă. Deseţi flsid Symblic Mth s x). 7