193 12 lektrosttické pole vo vákuu N telesá, s ktorými s bežne stretávme v prírode, pôsobí hlvne príťžlivá grvitčná sil. No už v stroveku poznli j inú interkciu. Grécky učenec Thles z Milétu 1 v 6. stor. p. n. l. popísl schopnosť jntáru treného vlnou priťhovť ľhké predmety. Anglický lekár W. Gilbert 2 v 16. storočí vykonl pokusy, pri ktorých j iné predmety pri trení vykzovli podobné vlstnosti ko jntár. Pretože jntár je grécky elektrón, dostl tento stv názov elektrický stv. O telesách v tomto stve hovoríme, že sú elektricky nbité. ile, ktorou pôsobi tieto telesá n okolie, s hovorí elektrická sil n rozdiel od grvitčnej môže byť príťžlivá odpudivá. lektrické pole chrkterizujeme vektorovou funkciou. ilové pôsobenie medzi elektrickými nábojmi vo všeobecnosti závisí od toho, či sú náboje v pokoji, lebo vo vzájomnom pohybe. V tejto kpitole s budeme zoberť elektrosttickým poľom, ted poľom, ktoré vytvár elektrický náboj, ktorý je v pokoji. 12.1 Chrkteristiky elektrického náboj Príčinou elektrického stvu dného teles je jeho elektrický náboj, jedn zo zákldných chrkteristík mikročstíc. Poznáme dv typy elektrického náboj: kldný záporný. Pokiľ s v telese nchádz rovnký počet kldných j záporných nábojov, hovoríme, teleso je elektricky neutrálne, výsledný náboj je nulový (npr. tóm). Pokiľ jeden typ náboj prevyšuje, prejvuje s 1 THAL z MILÉTU (si 624 547) grécky učenec, prvý predstviteľ milétskej školy. 2 WILLIAM GILBRT (1544 1603) bol nglický prírodovedec lekár. Zoberl s njmä elektrinou mgnetizmom. Uznávný londýnsky doktor ( osobný lekár Alžbety I.) Npísl knihu De Mgnete (O mgnetizme) vysvetlil, ko s mgnety priťhujú odpudzujú. Poukázl j n to, že Zem je ko obrovský tyčový mgnet, preto strelk kompsu vždy smeruje n sever.
194 lektrosttické pole vo vákuu ich rozdiel ko voľný náboj hovoríme o elektrickom stve teles. lektrické náboje vytvárjú okolo seb elektrické pole, ktoré pôsobí n iné náboje elektrickou silou. Ak elektrický náboj zmení svoju polohu, tk s zmení j jeho elektrické pole, pričom táto zmen poľ s šíri rýchlosťou svetl. To, že silové pôsobenie s šíri konečnou rýchlosťou, ukázl ž teóri reltivity n zčitku minulého storoči. Zákldné pozntky o elektrických nábojoch: 1. lektrický náboj je vždy spojený s čsticou s nenulovou hmotnosťou. 2. lektrický náboj môžeme prenášť z povrchu jedného teles n povrch iného teles. Náboj s môže premiestňovť j v telese. Látky, v ktorých s elektrický náboj voľne premiestňuje, voláme vodiče. V iných látkch s zs nemôže voľne pohybovť prkticky židny náboj, preto tieto látky voláme dielektriká - nevodiče. 3. xistujú dv druhy elektrického náboj: kldný záporný. 4. Zákon zchovni náboj: v elektricky izolovnej sústve telies je celkový elektrický náboj konštntný, elektrický náboj nemožno vytvoriť ni zničiť, je ho možné len premiestňovť. 5. lektrický náboj je deliteľný. Nemožno ho všk deliť neobmedzene, le ib po elementárny elektrický náboj: e = 1,602 10 19 C. Nositeľmi náboj sú elementárne čstice: elektrón (záporný náboj), protón (kldný náboj) iné. V tóme je rovnký počet protónov (jdro) elektrónov (obl), tkže nvonok s tvári ko elektricky neutrálny. Pokiľ bol z tómu vyrzený elektrón, hovoríme o kldnom ióne v prípde zchyteni ďlšieho elektrónu tómom ide o záporný ión. 6. Zákon superpozície: pri súčsnom pôsobení vicerých bodových nábojov je účinok rovnký, ko keby pôsobil jeden náboj s nábojom všetkých osttných nábojov. 7. Zákon invrintnosti: elektrický náboj je vo všetkých sústvách invrintný, t. j. nmerná veľkosť náboj je celkom nezávislá od rýchlosti pohybu čstice. lektrický náboj ko fyzikálnu veličinu oznčujeme Q lebo q jeho jednotk je 1 coloumb (C), ted [Q] = 1C. Pri definícii tejto jednotky s
Coulombov zákon 195 nevychádz z Coulombovho zákon. Jeden Coulomb je elektrický náboj, ktorý prejde vodičom z 1s pri ustálenom prúde 1A. Ampér (A) je jednou zo zákldných veličín v sústve I. Význm tohto vyjdreni bude celkom jsný ž po preštudovní nsledujúcej kpitoly: lektrický prúd. lektrický prúd súvisí n jednej strne s elektrickým nábojom, no n drujej strne tiež má mgnetické účinky (kp. 15.5). Všetky nbité mkroskopické telesá obshujú určité množstvo elektrického náboj. Tento náboj je rozložený v objeme (resp. n povrchu) teles v tkom množstve, že dné rozloženie povžujeme z spojité. Vzhľdom n tvr rozmery teles definujeme objemovú, plošnú dĺžkovú hustotu elektrického náboj. objemová hustot elektrického náboj: ρ = dq dv, (C/m3 ), plošná hustot elektrického náboj: σ = dq d, (C/m2 ), dĺžková hustot elektrického náboj: λ = dq dl, (C/m). Ak poznáme objemovú hustotu elektrického náboj ρ(x, y, z) ko funkciu priestorových súrdníc, dokážeme si potom vypočítť celkový náboj Q v dnom objeme V podľ vzťhu Q = V ρ( r) dv, (12.1) pričom podobný vzťh pltí j pre plošnú dĺžkovú hustotu el. náboj. 12.2 Coulombov zákon Kvntittívnou chrkteristikou elektrickej interkcie je sil. Veľkosť elektrickej sily, ktorou pôsobi n seb dv bodové náboje, prvýkrát zmerl n torzných váhch v roku 1785 frncúzsky fyzik Ch. A. Coulomb 3 (12.2). N záklde svojich merní vyslovil zákon, ktorý s podľ neho volá Coulombov zákon: Dv bodové náboje v pokoji pôsobi n seb silou, ktorá je primoúmerná súčinu ich veľkostí neprimoúmerná druhej mocnine ich vzdilenosti: F e = 1 Q 1 Q 2 r 4π ε 0 r 2 r, (12.2) 3 CHARL COULOMB (1736 1806) frncúzsky vojenský inžinier objviteľ známeho Coulombovho zákon.
196 lektrosttické pole vo vákuu kde ε 0 = 8,854 10 12 C 2.N 1.m 2 je permitivit váku. Vzťh pre Coulombov zákon je formálne podobný Newtonovmu grvitčnému zákonu (6.4). Podsttný rozdiel je všk v pôvode síl tým j vo veľkosti konštánt κ = 6,670 10 11 N.m 2 /kg 2 k = 1 4 π ε 0. = 9 10 9 N.m 2 /C 2. Ak porovnáme elektrickú grvitčnú silu medzi dvom elektrónmi zistíme, že elektrická je o neuveriteľných 40 rádov väčši ko grvitčná sil. 12.3 Intenzit elektrosttického poľ Podobne ko sme definovli v grvitčnom poli intenzitu grvitčného poľ (6.5), tk j v prípde elektrického poľ definujeme intenzitu elektrického poľ. Intenzit elektrosttického poľ náboj Q 1 je určená podielom elektrickej sily, ktorá v dnom mieste poľ pôsobí n dný bodový náboj Q 2 veľkosti tohto náboj F = e = 1 Q 1 r, (12.3) Q 2 4π ε 0 r3 Jednotkou intenzity sú: [] = N/C = m.kg.s 3.A 1 = V/m. Jednotku V (volt) zvedieme v nsledujúcej čsti: 12.7 lektrické npätie. Npriek tomu, že sme definovli intenzitu ko podiel sily n bodový náboj Q 2, jej hodnot od neho nezávisí je ib funkciou veľkosti náboj Q 1 vzdilenosti r od neho. Intenzit poľ je vektorová veličin, ktorej smer orientáci sú dné vektorom príslušnej sily. V prípde vicerých nábojov pltí pre výsledné elektrosttické pole princíp superpozície, čiže vektorový súčet intenzít od jednotlivých nábojov je rovný výslednej intenzite v dnom mieste = n i=1 i. (12.4) Ak vieme vyjdriť intenzitu elektrického poľ v okolí náboj ko funkciu r ( ( r)), tk elektrická sil pôsobic n náboj Q 2 v hociktorom mieste je dná vzťhom F e = Q 2. (12.5) Tento vzťh je po formálnej stránke totožný so vzťhom pre silu pôsobicu n hmotné teleso v grvitčnom poli F = m K (6.5). Ak všk použijeme II. Newtonov pohybový zákon F = m, tk vidíme, že náboj s v elektrickom
Intenzit elektrosttického poľ 197 poli bude pohybovť zrýchlene. Vektor zrýchleni tohto náboj má rovnký smer s intenzitou elektrického poľ v dnom mieste ( ) pre veľkosť zrýchleni pltí: = (Q 2 /m). Doterz sme formulovli vzťhy pre intenzitu poľ vytvoreného jedným bodovým elektrickým nábojom, resp. sústvou bodových elektrických nábojov. Vo všeobecnom prípde, k elektrické pole je vytvorené nbitým telesom určitého tvru, určíme výslednú intenzitu elektrického poľ integráciou elementárnych príspevkov od elektrických nábojov rozložených spojito v elementoch objemu, resp. n plošných elementoch povrchu teles (využijeme pri tom pojem hustot elektrického náboj princíp superpozície). Intenzit elektrosttického poľ (Q, r) je vektorová funkci v kždom bode má určitú veľkosť smer. Môžeme ju znázorniť orientovnou úsečkou príslušnej dĺžky smeru, tk znázorniť priebeh poľ (obr. 12.1(,c)). Druhý, čstejšie používný spôsob je zobrzenie pomocou siločir. ú to čiry, ku ktorým má vektor intenzity v kždom ich bode smer dotyčnice (obr. 12.1(b)), sú rovnko orientovné ko dný vektor. iločiry dného poľ s nikde nepretínjú. iločiry zčínjú v kldnom konči v zápornom elektrickom náboji. Podľ tvru rozloženi siločir rozdeľujeme elektrosttické pole n homogénne nehomogénne. V homogénnom poli je hodnot intenzity všde konštntná má rovnký smer. homogénnym elektrickým poľom s stretávme npríkld v rovinnom kondenzátore. Nehomogénne sú všetky poli, pre ktoré nepltí jedno z predošlých tvrdení. Špeciálnym prípdom nehomogénneho poľ je rdiálne pole bodového náboj (obr. 12.1()). A B A B + - () (b) (c) Obrázok 12.1: Možné tvry siločir elektrosttického poľ.
198 lektrosttické pole vo vákuu 12.4 Tok intenzity elektrosttického poľ. Gussov vet. Intenzit elektrického poľ chrkterizuje pole v celom priestore. Ak všk chceme chrkterizovť pole v určitej oblsti, zvádzme sklárnu veličinu - tok vektor intenzity elektrického poľ. Vo fyzike pojem tok zovšeobecňujeme j n iné vektorové poli. Pritom všk nič konkrétne netečie. Je tu ib nlógi npríkld s poľom vektor rýchlosti prúdicej kvpliny - objemu vody, ktorá by pretiekl dnou plochou z jednotku čsu (objemový tok). d n Obrázok 12.2: Tok intenzity elektrosttického poľ cez plochu. Pri definovní toku elektrickej intenzity budeme postupovť nsledujúco (pozri obr. 12.2). Zvolíme si mlú orientovnú rovinnú plôšku d. Tejto plôške prirdíme vektor plošného elementu d = d n ( n jednotkový normálový vektor roviny). Pretože plôšky d sú ľubovoľne mlé, môžeme predpokldť, že elektrické pole určené vektorom intenzity je n kždej z nich konštntné. Tok T intenzity elektrického poľ plochou d definujeme ko sklárny súčin vektor vektor elementu plochy d dt = d. (12.6) Definíciu toku môžeme rozšíriť n tok ľubovoľnou spojitou plochou. Ted tok vektoru intenzity vybrnou plochou je určený nsledujúcim integrálom: T = d. (12.7) Vypočítjme terz tok vektor intenzity elektrosttického poľ bodového náboj z objemu uzvretého guľovou plochou so stredom v mieste náboj. V kždom bode tejto guľovej plochy má vektor intenzity (12.3) konštntnú veľkosť smer zhodný so smerom vonkjšej normály guľovej plochy, ted d d = d. Terz plikujeme tento pozntok n Gussovu
Tok intenzity elektrosttického poľ. Gussov vet. 199 vetu, pričom intenzitu môžeme vybrť pred integrál, lebo je n dnej ploche konštnt. Zostne nám integrál z uzvretej guľovej plochy, ktorého veľkosť je = 4π r 2. Mtemtický zápis nšej úvhy vyzerá tkto: T = d Q = d = d = 4π ε 0 r 2 4π r2 = Q. ε 0 Porovnním koncových vyjdrení predošlého vzťhu dostneme vyjdrenie pre Gussovu 4 vetu: Celkový tok intenzity elektrického poľ ľubovoľnou uzvretou plochou obklopujúcu elektrický náboj s rovná podielu toho náboj Q permitivity váku: d = Q. (12.8) ε 0 Pre kldný náboj je tok kldný, pre záporný náboj je tok záporný. Uzvretá guľová ploch okolo bodového náboj Q s volil pre jednoduchosť výpočtu. V prípde všeobecnej plochy okolo náboj, musí z nej vychádzť rovnký počet siločir ko z guľovej plochy. Ak bude náboj mimo uzvretej plochy, potom siločiry plochu buď nepretnú lebo ju pretnú dvkrát, tkže celkový výtok s bude rovnť nule. Ak s vnútri uzvretej plochy bude nchádzť vicero nábojov, tk potom Q = i Q i predstvuje celkový náboj. Vo všeobecnosti ted vzťh (12.8) možno interpretovť: Celkový tok vektor intenzity elektrosttického poľ ľubovoľnou uzvretou plochou s rovná lgebrickému súčtu nábojov mteriálnych objektov uzvretých touto plochou, delenému permitivitou váku. Aplikácie Gussovej vety Ako prvú plikáciu si vypočítme intenzitu elektrosttického poľ od primeho vodič. Uvžujeme nekonečne dlhé vlákno nbité konštntnou dĺžkovou hustotou elektrického náboj λ. Pri riešení budeme využívť vlcovú symetriu, ktorá zjednodušuje výpočet. Keďže predpokldáme nekonečne dlhé vlákno, bude vektor intenzity elektrického poľ v kždom bode kolmý n os vlákn (obr. 12.3). Ďlej z vlcovej symetrie vyplýv, že veľkosť intenzity elektrického poľ je ib funkciou vzdilenosti = (). V tkomto prípde je výhodné voliť Gussovu plochu ko vlcovú plochu s polomerom, určitou výškou 4 KARL FRIDRICH GAU (1777 1855) bol jeden z njväčších mtemtikov fyzikov všetkých čis. Zoberl s teóriou čísel, mtemtickou nlýzou, geometriou, geodéziou, mgnetizmom, stronómiou optikou.
200 lektrosttické pole vo vákuu l, ktorej osou je nbité vlákno. N podstvách tejto plochy je vektor poľ kolmý n miestnu normálu k ploche d, tkže príspevok k toku elektrickej intenzity poľ je nulový. Nenulový príspevok dostneme ib od plášť vlc, kde je vektor v kždom bode rovnobežný s normálou n. Vektory mjú n tomto plášti rovnkú veľkosť tok vektor elektrickej intenzity je podľ Gussovej vety d = d = d = 2π l = Q ε 0. lektrický náboj n úseku vlákn dĺžky l môžeme vyjdriť pomocou dĺžkovej hustoty elektrického náboj vzťhom Q = λl. Z tohoto pre intenzitu elektrického poľ vo vzdilenosti od vlákn dostávme = λ ε 0 2π. (12.9) l n Obrázok 12.3: Výpočet intenzity elektrického poľ nekonečne dlhého nbitého vlákn. Ako druhú plikáciu si vypočítme intenzitu elektrosttického poľ homogénne nbitej dosky. Tk ko v predošlom prípde, tk j terz použijeme Gussovu vetu (12.8) k výpočtu intenzity poľ v okolí nekonečne homogénnej nbitej dosky s plošnou hustotou σ. Keďže uvžujeme nekonečnú rovinu, ktorá má vo všetkých smeroch rovnké vlstnosti, nemôže byť vektor k rovine šikmý, le musí byť n ňu kolmý (obr. 12.4()). Ďlej vzhľdom n súmernosť, musí byť intenzit poľ n obidvoch strnách roviny rovnko veľká. Ako Gussovu plochu si vyberieme mlý vlec (obr. 12.4()). Tok intenzity prechádzjúci plášťom vlc je nulový, keďže je kolmá n plochu plášť
Tok intenzity elektrosttického poľ. Gussov vet. 201 vlc. Zostáv nám potom len tok dvomi podstvmi dného vlc, ktorý s dá vyjdriť ko T = 2. Náboj, ktorý sme uzvreli do vlc, má hodnotu: Q = σ. pojením posledných dvoch vzťhov pomocou Gusovej vety (12.8) dostávme pre intenzitu homogénnej nbitej dosky vzťh = σ 2ε 0. (12.10) Intenzit poľ ted nezávisí od vzdilenosti od roviny vzniká homogénne elektrické pole. = 0 = 0 () =0 1 1 1 2 = 0 2 2 =0 (b) Obrázok 12.4: Priebeh intenzity elektrického poľ v okolí homogénne nbitej dosky. Ukážme si, ká bude intenzit elektrického poľ v prípde dvoch homogénne nbitých rovín, n ktorých s nchádzjú elektrické náboje opčnej polrity. ituáciu znázorňuje obrázok 12.4(b). N prvej ploche je rozložený elektrický náboj s plošnou hustotou +σ n druhej σ. Pre pole blízko nbitej plochy použijeme vzťh (12.10). Intenzit elektrického poľ je n roviny kolmá jej vektor má ib zložku v smere kolmej n rovinu. Intenzitu elektrického poľ od prvej - kldne nbitej roviny oznčme 1 elektrickú intenzitu od druhej - záporne nbitej roviny oznčme 2. V priestore medzi doskmi mjú obe intenzity rovnký smer, tkže výsledná intenzit bude súčet obidvoch jej hodnot je = σ ε 0. (12.11)
202 lektrosttické pole vo vákuu V priestore mimo dosiek mjú intenzity opčný smer, ted s odčítjú intenzit je tm nulová, keďže roviny sú nbité opčnými nábojmi čím, s pole ruší. V prípde, že roviny sú konečných rozmerov (npr. kondenzátor), je pole homogénne len v strednej čsti n okrjoch dochádz k rozptylu siločir intenzit s mení. Vhodným usporidním elektród - dosiek, je možné minimlizovť rozptyl siločir. 12.5 Prác potenciál elektrosttického poľ ily elektrosttického poľ vyjdrené Coulombovým zákonom (12.2) sú mtemticky nlogické grvitčným silám definovným Newtonovým zákonom (6.4), z čoho vyplýv, že n popis vlstností dného poľ s môžu používť rovnké veličiny. V obidvoch prípdoch ide o konzervtívne poli. lektrosttické sily rovnko ko grvitčné sily mjú tú vlstnosť, že prác nimi vykonná, nezávisí od tvru dráhy pohybu náboj, le len od počitočnej konečnej polohy. Tkže tiež definujeme sklárnu veličinu elektrický potenciál, pomocou ktorého chrkterizujeme zse elektrosttické pole. Mjme elektrosttické pole vytvorené bodovým elektrickým nábojom Q 1 umiestneným v počitku súrdnicovej sústvy vo vzdilenosti r A v bode A bodový náboj Q 2. Pri presune tohto náboj do bodu B(r B ) vykonáme prácu, ktorú vypočítme ko W = rb r A Fe d r = rb 1 Q 1 Q 2 r A 4π ε 0 r 3 r d r = Q 1 Q 2 4π ε 0 rb r A dr r 2 = Q [ 1 Q 2 1 ] rb, 4π ε 0 r r A ted W = Q 1 Q 2 4π ε 0 ( 1 1 ) r A r B. (12.12) Pri úprve integrovnej funkcie sme využili, že r d r = r dr, lebo v prípde rdiálneho poľ ob vektory mjú rovnký smer. Ak zoberieme do úvhy fkt, že silu pôsobicu n náboj Q 2 si môžeme zpísť pomocou elektrickej intenzity náboj Q 1 ko F e = Q 2 (12.5), potom všeobecné vyjdrenie práce (12.12) má tvr rb W = Q 2 d r. (12.13) r A
Prác potenciál elektrosttického poľ 203 lektrosttické pole má všk tú pozoruhodnú vlstnosť, že prác vykonná prenosom náboj medzi dvom bodmi nezávisí od dráhy, po ktorej náboj prenášme, le ib od zčitočnej konečnej polohy prenášného náboj. Je to práve tká dôležitá vlstnosť elektrosttického poľ, ko fkt, že toto pole je žriedlové lebo konzervtívne. kutočnosť, že hodnot krivkového integrálu nezávisí od dráhy, nie je triviáln, nepltí pre ľubovoľné silové pole (nepltí npr. pre sily treni). Prác týchto síl n uzvretej dráhe je nulová, čo s dá vyjdriť vzhľdom n predošlý vzťh ko d r = 0. (12.14) L Tk ko v grvitčnom poli, tk j v elektrosttickom poli si definujeme potenciálnu energiu V p pomocou práce (12.12), ktorú musí vykonť vonkjši sil pri premiestňovní náboj z nekonečn do určitého miest A. Potenciálnu energiu náboj Q 2 v elektrosttickom poli náboj Q 1 vo vzájomnej vzdilenosti r A ted vyjdruje výrz V p (r A ) = 1 Q 1 Q 2 r A 4π ε 0 r 2 dr = Q 1 Q 2 4π ε 0 [ 1 ] = Q 1 Q 2 1. (12.15) r r A 4π ε 0 r A Prácu (12.12), ktorá s koná pri presune bodového náboj Q 2 z bodu A do bodu B v elektrosttickom poli náboj Q 1 s dá potom vyjdriť j ko rozdiel potenciálnych energií v dných bodoch: W = V p (r A ) V p (r B ). V homogénnom elektrosttickom poli s všetko zjednoduší, pretože v tkomto poli je intenzit všde konštntná potom pre prácu vykonnú pri prenesení náboj Q 2 o vzdilenosť d pltí: W = Q 2 d. Potenciáln energi náboj je sklárn veličin, ktorá jednoznčne závisí od jeho veľkosti. Je to veličin, ktorá popisuje stv náboj, ktorý s nchádz v elektrosttickom poli iného náboj. Ak všk túto veličinu budeme počítť vzhľdom n jednotkový náboj, získme veličinu, ktorá popisuje smotné elektrické pole. Touto veličinou je potenciál elektrosttického poľ náboj Q. Potenciál ϕ elektrosttického poľ náboj Q definujeme ko podiel potenciálnej energie V p (r A ) bodového elektrického náboj Q 2 (12.15) v dnom mieste poľ veľkosťou dného náboj ko ϕ(r A ) = V p(r A ) Q 2 = ra 1 Q 4π ε 0 r 2dr = 1 Q, (12.16) 4π ε 0 r A čo je potenciálová funkciu v okolí bodového náboj. Ak si uvedomíme, že výrz v integráli v predošlom vzťhu je veľkosť intenzity elektrosttického poľ
204 lektrosttické pole vo vákuu náboj Q (12.3), potom s dá zpísť potenciál elektrosttického poľ pomocou intenzity elektrosttického poľ ko ϕ(r) = r d r. (12.17) Tento vzťh pltí pre kúkoľvek intenzitu elektrosttického poľ sústvy bodových nábojov či nbitého teles. Bodom, v ktorých má elektrický potenciál rovnkú hodnotu hovoríme ekvipotenciálne hldiny, podobne ko v grvitčnom poli. Pri prenášní náboj po ekvipotenciálnej hldine s nekoná prác. Intenzit elektrosttického poľ je kolmá n ekvipotenciálnu hldinu v kždom bode. kvipotenciálne hldiny - v reze ekvipotenciálne čiry siločiry tvori nvzájom ortogonálne trjektórie. V elektrickom poli bodového náboj lebo rovnomerne nbitej gule sú ekvipotenciálnymi čirmi sústredné kružnice, resp. guľové vrstvy v prípde trojrozmerného pohľdu. V homogénnom poli tvori tieto čiry sústvu rovnobežiek kolmých n siločiry. 12.6 Vzťh intenzity potenciálu elektrosttického poľ V predchádzjúcom odseku bolo uvedené, že intenzit potenciál elektrosttického poľ nvzájom súvisi integrálnym vzťhom (12.17). podobným vyjdrením sme s už stretli v grvitčnom poli medzi potenciálom intenzitou grvitčného poľ (6.10). Inverzné vyjdrenie sme vyjdrili pomocou grdientu (6.14). Keďže v prípde elektrosttického poľ mtemticky ide formálne o ten istý vzťh ko v grvitčnom poli, môžeme použiť rovnké odvodenie. Ted pltí, že intenzit elektrosttického poľ je rovná zápornému grdientu potenciálu = ϕ( r). (12.18) Grdient sklárnej funkcie je vektorová funkci, ktorej hodnot v kždom bode poľ s rovná mximálnej zmene sklárnej funkcie n jednotku dĺžky v dnom bode má smer jej mximálneho rstu. 12.7 lektrické npätie Rozdiel potenciálov ϕ B ϕ A medzi dvom miestmi A B nzývme elektrickým npätím. Ako vidieť zo vzťhu (12.17), pre elektrické npätie
lektrický dipól 205 pltí vzťh rb U = ϕ = ϕ B ϕ A = d r. (12.19) r A lektrické npätie medzi dvom bodmi elektrosttického poľ s rovná práci n prenesenie jednotkového kldného elektrického náboj medzi týmito bodmi elektrosttického poľ. Jednotk npäti je rovnká ko jednotk potenciálu, ted 1 volt 5 (V ). využitím tohto vzťhu môžeme tiež definovť prácu potrebnú n priemestnenie náboj Q 2 z jedného bodu do druhého ko súčin npäti (rozdielu potenciálu dných bodov) dného náboj: W = U Q 2. 12.8 lektrický dipól Druhým dôležitým systémom nábojov je dvojic bodových nábojov uložených v istej vzájomnej vzdilenosti d. Intenzit poľ v ľubovoľnom bode priestoru je dná superpozíciou polí dvoch nábojov mtemticky súčtom dvoch výrzov typu (12.3). Njjednoduchšie pole vytvárjú dvojice v bsolútnej hodnote rovnko veľkých nábojov, pričom njčstejšie používná je dvojic rovnko veľkých nábojov opčného znmienk, ktorú nzývme elektrický dipól. Kvôli zjednodušeniu si ukážeme len chrkteristické črty poľ elektrického dipólu. lektrický dipól popisujeme elektrickým dipólovým momentom p = Q d, pričom smer dipólového momentu je od záporného ku kldnému náboju. Pre výsledný elektrický potenciál dipólu pltí: ϕ dip = 1 4π ε 0 p r r 3. (12.20) N rozdiel od elektrického potenciálu bodového elektrického náboj, ktorý klesá neprimoúmerne prvej mocnine vzdilenosti od elektrického náboj, elektrický potenciál dipólu klesá s druhou mocninou vzdilenosti od stredu dipólu. Vzťh pre intenzitu poľ bodového dipólu nájdeme pomocou vzťhu (12.18), t. j. vypočítním grdientu vzťhu (12.20). Ted intenzit elektrického poľ dipólu má tvr = 1 ( 3 p r 4π ε 0 r 5 r p ) r 3. (12.21) 5 ALANDRO VOLTA (1745 1827) tlinsky vynálezc, fyzik venovl s elektrine. Vytvoril ko prvý glvnickú btériu, ktorá dostl pomenovnie Voltov článok.
206 lektrosttické pole vo vákuu Vo výrzoch pre elektrickú intenzitu je treb si všimnúť, že intenzit elektrického poľ dipólu klesá úmerne s treťou mocninou vzdilenosti od stredu dipólu. Podrobnejšou nlýzou by sme dospeli k tomu, že intenzit elektrického dipólu pre r >> l v smere kolmom n dipól má pri rovnkej vzdilenosti práve polovičnú hodnotu ko n osi dipólu. V chemických štruktúrch s čsto stretávme s dipólmi, ktoré vznikjú v molekulách. Tkáto molekul potom ndobúd elektrický dipólový moment polritu. Npríkld molekul vody je polárn má elektrický dipólový moment p H2 O = 6.17 10 30 C.m. M F -F p Obrázok 12.5: Dipól v homogénnom elektrickom poli. Predpokldjme, že máme terz elektrický dipól v homogénnom elektrickom poli (obr. 12.5). ily poľ pôsobice n elektrické náboje tvori dvojicu síl. Pre moment pôsobicej dvojice síl pltí M = l Q = p. (12.22) Dvojic síl s snží dipól ntočiť, to tk, by vektor elektrického dipólového momentu ml smer siločir elektrického poľ. Tkáto orientáci dipólu v homogénnom elektrickom poli zodpovedá stbilnej polohe. Ak je voľný, zorientuje s tk, že os dipólu l je rovnobežná so smerom. Pri pružnom upnutí s ib vychýli zo zákldnej polohy o nejký uhol, určený rovnováhou momentu sily od vonkjšieho poľ momentu väzby. Vo vhodnom elektrickom poli s kúsky ppier, vlsy lebo drobné predmety stávjú dipólmi, zorientujú s v smere siločir sú potom priťhovné k zdroju elektrického poľ (npr. nbitá sklenená tyč.) 12.9 Pohyb nbitej čstice v elektrickom poli Preskúmjme terz pohyb nbitej čstice s hmotnosťou m nábojom q v homogénnom elektrickom poli. Z prktického hľdisk sú zujímvé dv
lektrosttická indukci 207 prípdy pohybu čstice v pozdĺžnom priečnom elektrickom poli. mer elektrického poľ vzťhujeme vzhľdom n smer rýchlosti čstice. V prípde vstupu čstice rovnobežne s elektrickým poľom v mieste s potenciálom ϕ 1 s v dôsledku pôsobeni elektrosttickej sily náboj dostne do miest s potenciálom ϕ 2. Pri tomto presune s zvyšuje j rýchlosť dnej čstice z rýchlosti v 0 n rýchlosť v. Pre zmenu kinetickej energie čstice potom pltí: 1 2 m v2 1 2 m v2 0 = q (ϕ 2 ϕ 1 ) = q U. (12.23) Čstic s ďlej pohybuje v pôvodnom smere. Ak by v 0 = 0m/s potom rýchlosť pro prejdení potenciálového rozdielu U je: v = 2q U/m. Pri vstupe čstice kolmo n elektrické pole môžeme n záklde II. Newtonovho zákon písť pre silu pôsobicu n náboj vzťh: F = m = q, F x F y = m x = m dx2 dt = 0, = m y = m dy2 dt = q. Postupnou integráciou podľ čsu dostneme zložky rýchlosti súrdnice polohy čstice v ľubovoľnom čse t. Výsledné vzťhy sú v x = v 0, x = v 0 t, v y = q m t, y = 1 q 2 m t2. Čstic s bude pohybovť po prbolickej dráhe. 12.10 lektrosttická indukci lektrické vodiče sú látky, ktoré obshujú veľký počet čstíc s nábojom, ktoré s môžu v nich voľne pohybovť. Tieto čstice nzývme voľné čstice s nábojom. V kovových vodičoch (npr. meď, hliník, striebro) sú to voľné elektróny, v kvplinových vodičoch (elektrolyty, roztoky solí) sú to kldné záporné ióny. Tieto voľné čstice s vo vodičoch ustvične neusporidne pohybujú. Preto je vo vodiči, ktorý nie je nbitý nie je vo vonkjšom elektrickom poli, ich rozloženie tké, že v ľubovoľnej čsti vodič je celkový náboj nulový.
208 lektrosttické pole vo vákuu Zmen rozloženi voľných nosičov náboj nstne, k vložíme nenbitý vodič do elektrického poľ. Tomuto prerozdeleniu nábojov hovoríme elektrosttická indukci. Pri tomto jve s protiľhlé čsti povrchu vodič vloženého do elektrického poľ nbijú elektrickým nábojom s rovnkou veľkosťou, le opčným znmienkom. Tkto prerozdelené elektrické náboje n povrchu vodič nzývme indukovné náboje. Keď vodič vyberieme z elektrického poľ, elektrická indukci znikne. Vodič s vráti do pôvodného rovnovážneho stvu. =0 Obrázok 12.6: Vodič v elektrosttickom poli. Vo všeobecnosti môžeme povedť, že elektrické náboje s vo vodičoch prerozdeli tk, by kompenzovli účinok vonkjšieho elektrického poľ pôsobiceho n vodič. Toto prerozdelenie spôsobuje vznik indukovných nábojov n povrchu vodič, čoho výsledkom je zmen elektrického vonkjšieho poľ tvru siločir. chemticky je to znázornené n obrázku 12.6. N záporne nbitej strne vodič siločiry vstupujú do vodič opäť vystupujú n kldne nbitom povrchu vodič (obr. 12.6). Intenzit elektrického poľ od indukovných nábojov má opčný smer ko intenzit vonkjšieho elektrického poľ. Po dosihnutí výsledného ustáleného stvu je intenzit elektrického poľ vo vnútri vodič nulová. Prerozdelenie elektrických nábojov vo vodičoch nie je okmžité, prebieh s veľmi krátkym čsovým intervlom 10 12 ž 10 14 s. Vzhľdom n to, že intenzit je vo vnútri vodič nulová, vnútro vodičov je dokonle tienené pred účinkom vonkjších sttických elektrických polí. Tento jv s využív n elektrické tienenie citlivých zridení (niektoré mercie prístroje, vstupné diely rozhlsových televíznych prijímčov pod.), le j n ochrnu pred elektrickým výbojom - Frdyov klietk. Kovová kroséri ut je tkým príkldom bezpečného útočisk pred prípdným úderom blesku. Ďlším príkldom jednoduchej ukážky Frdyovej klietky je nedostupnosť mobilného telefónu zbleného do loblu.
Kpcit vodič kondenzátor 209 12.11 Kpcit vodič kondenzátor Dôležitou vlstnosťou vodič, sústvy vodičov telies je schopnosť kumulovť elektrický náboj. Táto vlstnosť má veľké prktické využitie v prvkoch elektrických obvodov zridení, ktoré voláme kondenzátory. Pri nbíjní vodičov zistíme, že rôzne telesá nbité rovnkým nábojom mjú rôzny potenciál. Tento potenciál závisí od veľkosti tvru teles, vzdilenosti od osttných telies ko i prostredi, v ktorom sú uložené. Potenciál kždého teles je v bežných prostredich primoúmerný náboju ϕ = C Q. Konštntu úmernosti C, ktorá chrkterizuje schopnosť hromdiť istý elektrický náboj, nzývme kpcit. Kpcitu vodič možno definovť vzťhom C = Q ϕ. (12.24) Jednotkou kpcity v sústve I je frd (F). Jeden frd je kpcit vodič, ktorý s nábojom 1C nbije n potenciál 1V. V technickej prxi s kpcit meri v menších jednotkách. ú to 1µF = 10 6 F, 1nF = 10 9 F, 1pF = 10 12 F. Kpcit osmotených vodičov je veľmi mlá. Npríkld guľový vodič (C = 4π ε 0 R) s polomerom 9cm vo vákuu má kpcitu len 10pF. Väčšiu kpcitu má sústv dvoch nvzájom izolovných vodičov, ktorú nzývme kondenzátor. Pokiľ mjú spomínné vodiče rovnko veľké náboje opčných znmienok, hovoríme, že kondenzátor je nbitý. vzťhu C = Q U = Jeho kpcitu určíme zo Q ϕ 1 ϕ 2, (12.25) kde U je npätie medzi vodičmi s potenciálmi ϕ 1 ϕ 2. V zásde rozlišujeme tri druhy kondenzátorov: doskový, guľový vlcový, pričom kždý z nich má svoje modifikácie. 12.12 Kpcit doskového kondenzátor Jednoduchým kondenzátorom je doskový kondenzátor, ktorý je znázornený n obrázku 12.4(b). Tvori ho dve rovinné kovové pltne s plochou vzdilené o d. Predpokldjme, že n doskách kondenzátor je náboj Q rovnomerne rozložený po povrchu dosiek s plošnou hustotou σ = Q/. lektrické pole medzi doskmi môžeme povžovť z homogénne s intenzitou
210 lektrosttické pole vo vákuu = σ/ε 0 (12.11) nehomogenity n okrjoch dosiek znedbávme. Zo vzťhu pre potenciálový rozdiel (12.19) v prípde homogénneho poľ s dá npätie medzi doskmi vyjdriť ko U = rb r A d r = rb r A dr = d = Qd ε 0. (12.26) Po dosdení do (12.25) s kpcit doskového kondenzátor rovná C = ε 0 d. (12.27) lektrická kpcit doskového kondenzátor je primoúmerná plošnému obshu dosiek neprimoúmerná vzájomnej vzdilenosti dosiek. Z vykonného postupu určeni kpcity doskového kondenzátor s dá formulovť návod, ko určiť elektrickú kpcitu iného usporidni vodičov. Njprv stnovíme rozloženie elektrického náboj. Vypočítme intenzitu elektrického poľ, npr. pomocou Gussovej vety (12.8). Vyjdríme npätie pomocou vzťhu (12.19). Zo známeho npäti náboj vypočítme kpcity podľ vzťhu (12.25). 12.13 pájnie kondenzátorov Väčšin kondenzátorov má hodnoty kpcít stále. Poždovné hodnoty kpcít doshujeme rôznym spájním kondenzátorov. Njjednoduchšie prípdy spojeni sú prlelné (spojenie vedľ seb) sériové zpojenie (spojenie z sebou). Pri sériovom zpojení dvoch kondenzátorov s kpcitmi C 1 C 2 (obr. 12.7()) mjú náboje n obidvoch kondenzátoroch rovnkú veľkosť Q = C 1 U 1 Q = C 2 U 2, kde U 1 U 2 sú npäti medzi pltňmi kondenzátorov. Z obrázku 12.7() vyplýv, že pri sériovom zpojení kondenzátorov je celkové npätie U = U 1 + U 2. Zo vzťhu pre kpcitu (12.25) po nsledujúcej úprve dostneme pre výslednú kpcitu dvoch kondenzátorov zpojených sériovo vzťh 1 C = 1 C 1 + 1 C 2. (12.28)
nergi elektrosttického poľ 211 Pri prlelnom zpojení dvoch kondenzátorov s kpcitmi C 1 C 2 (obr. 12.7(b)) vzniká vlstne kondenzátor s väčšou účinnou plochou pltní, čiže s väčšou kpcitou. Npätie U medzi pltňmi oboch kondenzátoroch je síce rovnké, le náboje n nich sú rôzne Q 1 = C 1 U Q 2 = C 2 U. Celkový náboj n sústve dvoch kondenzátorov je Q = Q 1 + Q 2 zo vzťhu Q = C U je zrejmé, že výsledná kpcit dvoch kondenzátorov zpojených prlelne je C = C 1 + C 2. (12.29) C1 +Q -Q U1 C2 +Q -Q U2 () C1 Q1 Q2 U U C2 (b) Obrázok 12.7: ériové () prlelné (b) zpojenie kondenzátorov. V prípde zpojeni vicerých kondenzátorov sériovo lebo prlelne plti obdobné vzťhy ko (12.29 12.28) s dným počtom kondenzátorov 1 n C = 1, C = C i i=1 n C i. (12.30) i=1 12.14 nergi elektrosttického poľ N vytvorenie sústvy dvoch lebo vicerých nábojov musíme vykonť prácu spojenú s prekonním odpudivých či príťžlivých síl pôsobicich medzi nimi. Pod energiou dnej sústvy budeme potom rozumieť veľkosť práce, ktorú sme spotrebovli n jej vytvorenie. Vytvorme n zčitok sústvu dvoch bodových nábojov. Prác, ktorú musíme vykonť je rovná práci (12.12) potrebnej n premiestnenie jedného bodového náboj Q 2 z nekonečn k náboju Q 1 do vzdilenosti r 12, ktorá je medzi týmito nábojmi. Táto prác zodpovedá potenciálnej energii dných bodových nábojov definovnej podľ vzťhu (12.15). Pre potenciál elektrického poľ ϕ 1 prvého náboj v poli druhého pre potenciál ϕ 2 druhého náboj v poli prvého náboj môžeme n záklde vzťhu (12.16) písť: ϕ 1 = 1 4π ε 0 Q 2 r 12, ϕ 2 = 1 4π ε 0 Q 1 r 21.
212 lektrosttické pole vo vákuu Výsledná energi dvoch nábojov je potom dná vzťhom = 1 2 (Q 1 ϕ 1 + Q 2 ϕ 2 ). (12.31) Pre sústvu n bodových nábojov by sme postupným pridávním nábojov dostli vzťh = 1 Q i ϕ i, (12.32) 2 i kde symbolom ϕ i sme oznčili potenciál elektrického poľ vytvoreného osttnými elektrickými nábojmi sústvy v bode, v ktorom s nchádz náboj Q i. nergi kondenzátor Pri výpočte energie nbitého kondenzátor postupujeme rovnkým spôsobom ko v predošlom prípde. Mjme kondenzátor kpcity C, n ktorom je náboj Q, ted npätie medzi doskmi kondenzátor je U = Q/C. N to, by sme zväčšili náboj kondenzátor o hodnotu dq (z kldnej dosky prenesieme tento náboj n zápornú dosku), musíme vykonť elementárnu prácu dw = U dq. Aby sme nbili nenbitý kondenzátor n hodnotu Q, musíme vykonť prácu W = 1 C Q ktorá je rovná energii nbitého kondenzátor 0 q dq = 1 Q 2 2 C, (12.33) = 1 2 QU = 1 2 C U2. (12.34)