ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 55
Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός Fourir β Σειρά Fourir γ Μετασχηματισμός Fourir Διακριτού χρόνου DTFT δ Διακριτή σειρά Fourir 2 / 55
Σειρά - Ανάλυση αφορά περιοδικά σήματα Fourir Συνεχής χρόνος 2 συνεχής συνιστώσα Τ - - b n 2 πn εαν εαν n n αρτιος περιττος 3η αρμονική n η αρμονική 3 / 55
Σειρά - Ανάλυση αφορά περιοδικά σήματα Fourir Συνεχής χρόνος
Σύνθεση παράδειγμα 9 3 [ b 7 [ k 5 b ] k ] k(t k ] 5 k [ b k sin(kt ] sw 9 sw (t 3 sin(kt (t sin(kt sw7 sin(kt kk squar signal, sw(t.5.5.5.5 squar signal, sw(t squar signal, sw(t squar signal, sw(t.5 -.5 -.5 -.5.5.5 -.5 -.5 - - - -.5 -.5 -.5 -.5 2 2 4 4 6 8 t 6 8 t 2 2 4 4 6 6 8 8 t t
Άλλο παράδειγμα
f(t a o + n (a n συνnω ο t + b n ημnω ο t Μιγαδική μορφή σειράς Fourir Συνεχής χρόνος jnω t συνnωt + j ηµ nωt f(t a o + n (a n jnωt + 2 -jnωt + b n jnωt - 2j -jnωt a o + n a ( n - jb 2 n jnωt + a n + 2 jb n -jnωt C a o o n n C n a - jb 2 n n C -n a + jb 2 f(t C o + δηλ. f(t n (C n - n C n jnωt jnωt + C -n -jnωt 7 / 55
Μετασχ. Fourir ορισμός Συνεχής χρόνος F( f(t 2π t f(tdt F( t dω I { } μετασχηματισμός Fourir του { }
V o τ Παράδειγμα ωτ t o+τ ημ τ -t dt τ 2 -(t o+ F(j ω Vo Vo 2 ωτ t o 2 t o t o + τ F ( j ω / τ f
Μετασχηματισμός Fourir Διακριτοποίηση DTFT X(jΩ + - jωt x(t dt Διακριτοποιούμε : ολοκλήρωμα άθροισμα T nt s dt T s / 55
X(jΩ x(t - jωt dt x(nt jωnt s T s X( Τ s Τι συνεπάγεται η σχέση αυτή?. Την εμφάνιση του DTFT X( iω I[x(n] x(n n n 2. Σχέση Μετασχ. Fourir και DTFT X(jΩ Τ s X( / 55
παράδειγμα x(t -5t u(t x(nt -5nT u(nt X( 5nT jωtn 5T X(jΩ 5 + jω Fourir Διακριτού χρόνου jωt ( 5Τ jωt T 5 + jω Για μικρά x Fourir Συνεχούς χρόνου 2 / 55
DTFT DTFT(ορισμός Αναφέρεται σε ψηφιακά σήματα x(n Ορισμός IDTFT X( x(n 2π n π π x(n X( jnω jnω Χ ( j Ω dω j Ωt x ( t dt 3 / 55
DTFT(συνέχεια X( x(n n jnω x(n[cos(nω n jsin(nω] x(ncos(nω j n n x(nsin(nω Α + jβ 4 / 55
DTFT(συνέχεια X( j ω A + jb A x(n cos(nω n άρτια συνάρτηση B x(n sin( n nω περιττή συνάρτηση 5 / 55
DTFT(συνέχεια Πολική Μορφή X( X( φ( ω X( φ( ω tan Α 2 B A + Β 2 6 / 55
DTFT (συνέχεια Απόκριση μέτρου και απόκριση φάσης 6 X( X( φ( ω 4 X( 2-2 -2π -π π 2π ω rad 7 / 55
Γραφικός υπολογισμός του X( ω. rad/sampl το σήμα x(n 5-5 2 3 4 5 6 7 8 9 X( n x(n jnω 8 / 55
x(n 5 Γραφικός υπολογισμός του X( j. X( n Αρχικό σήμα x(n x(n jnω -5 2 3 4 5 6 7 8 9 cos(.n.5 sin(.n.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Για ω.rad/sampl Έχουμε: cos(.n και sin(.n 2 3 4 5 6 7 8 9 5 x(n cos(.n -5 2 3 4 5 6 7 8 9 x(n sin(.n - 2 3 4 5 6 7 8 9 Σx(ncos(.n.367 Σx(nsin(.n 4.7535 Αρα X( j..367-j4.7535 9 / 55
DTFT βασικών σημάτων δ(n X( n δ(n δ(n-κ a n u(n X( X( + δ(n k n k n n a (a n n 2 ( a + (a +... n a 2 / 55
Έχει η u(n DTFT??? X( επειδή jnω n n n x(n jnω DTFT δεν υπάρχει n jnω 2 / 55
Παράδειγμα X( n x(n jnω x(nu(n+2-u(n-3.8 δ(n-2+δ(n-+δ(n+δ(n++δ(n+2 x(n.6.4.2-5 5 X( 2 + + + + 2cosω + 2cos2ω sin sin 5 2 2 ω ω + 2 X( 6 4 2 Φάση -2-2π -π π ω rad 2π 22 / 55
συνέχεια X( n x(n jnω x(nu(n-u(n-5 δ(n+δ(n-+δ(n-2+δ(n-3+δ(n-4 X( + + + + 2 3 4 ( + + + + 2 2 2 ( + + 2 2cosω 2cos2ω sin 5 2 2 ω sin 2 ω X( 6 4 2 x(n.8.6.4.2-5 5 Φάση-2ω -2-2π -π π ω rad 2π 23 / 55
x(nu(n-u(n-ν Γενίκευση του Παρ. Χ( - jnω x(n N / 2 / 2 n n - j ωn / 2 / 2 N / 2 / 2 n Ν- n - jnω + (N / 2 + j2ω sin(nω / 2 sin( ω / 2 +... + j(n ω jnω sin(nω / 2 Χ( sin( ω / 2 Χ N sin(nω/ 2 ( ω 2 + sin( ω/ 2 24 / 55
Παράδειγμα 2 Να βρεθεί ο DTFT για την ακολουθία : x(n{.5,.5 2,.5 3,.. } Χ( x(n n.5+.5 2 - +.5 3 -j2ω +....5{+.5 - +.5 2 -j2ω +...}.5.5.5.5cos ω + j.5sin ω φάση X(.8.6.4.5 -.5 x(n.5.4.3.2. -2 2 4 6 n Πως βρίσκεται το μέτρο X(??? Και η φάση???.2-2 - 2 ω xπ rad - -2-2 25 / 55
Παράδειγμα 3 Να σχεδιασθεί η απόκριση συχνότητας Χ. 3 +. 5 ( Υπολογίζω: Χ(. 3(cosω - jsinω. 3cosω + j.3sinω +. 5(cosω - jsinω +. 5cosω - j.5sinω (. 3cosω ( +. 5cosω Μερικές τιμές: + j.3sinω - j.5sinω. 3 ω Χ( j. 4667 +. 5 jπ / 4 jπ / 4. 3 ω π/4 Χ(. 5832 29. 7 jπ / 4 +. 5... 2 2.3sinω (. 3cosω + (.3sinω tan. 3cosω 2 2 -.5sinω ( +. 5cosω + (.5sinω tan 5 ω ο +. cos 26 / 55
DTFT - Ιδιότητες X( n x(n jnω Περιοδικότητα Ο Μετασχηματισμός Fourir Διακριτού Χρόνου είναι περιοδικός ως προς ω με περίοδο 2π X( + 2π X( 27 / 55
απόδειξη X( n x(n jnω X( j(ω + 2π n x(n jn(ω + 2π n x(n jnω jn2π n x(n jnω n x(n jnω X( Επομένως για τον υπολογισμό του DTFT αρκεί το διάστημα [,2π] ή [-π,π] 28 / 55
Συμμετρία Ισχύει μόνο για πραγματικά σήματα X( n x(n jnω X( X( jnω x(n x(n cos(nω j x(n sin( n n n jnω x(n x(n cos(nω + j x(n sin(??? n n n nω nω Α + Α jβ jβ X( - A-jB X*( Λόγω των παραπάνω για τη σχεδίαση του Χ( αρκεί μισή περίοδος ω π 29 / 55
Μετατόπιση στο χρόνο X( n x(n jnω x(n X( x(n n jn ω X( απόδειξη n x(n n jnω m n n m x(m j(m+ n ω jn ω jmω x(m m jn ω Χ( 3 / 55
X( n x(n jnω Γραμμικότητα ( 2( DTFT ( j ω ax n bx n ax bx 2( j ω + + Μετατόπιση στο χρόνο DTFT n ( ( o o X x n n Συνέλιξη { ( * ( } ( { } { ( } F x n x n F x n F x n 2 2 ( ( X Χ 2 3 / 55
X( n x(n jnω Μετατόπιση στο πεδίο της συχνότητας jnω DTFT j( ω xn ( X( ω Πολλαπλασιασμός (περιοδική συνέλιξη π DTFT ( ( ( jθ j ω θ ( ( xnyn X Y dθ 2π π Ενέργεια θεώρημα Parsval φασματική πυκνότητα ενεργείας Φ(ω ( ( 2 2 Ε x x n Χ dω 2π n Φ(ω Χ( π 2 π π 32 / 55
Πίνακας Ιδιοτήτων DTFT Ιδιότητα Ακολουθία DTFT Γραμμικότητα Μετατόπιση στο Χρόνο Αντιστροφή στο Χρόνο Μετατόπιση συχνότητας Συνέλιξη στο Χρόνο ax( n + by( n ax ( + by( xn ( n jn ω X( x( n ( j X ω jnω xn ( j( ω ω X( xn ( * yn ( X ( Y ( 33 / 55
Σύστημα και Απόκριση Συχνότητας δ(n σύστημα h(n x(n h(n y(n y(n x(n h(n X( H( Y( Y( X( H( 34 / 55
Σύστημα και Απόκριση Συχνότητας x(n h(n y(n Y( X( H( 35 / 55
Απόκριση Συχνότητας (συνέχεια X( H( Y( Συμπέρασμα Η απόκριση συχνότητας Η( χαρακτηρίζει ένα σύστημα στο πεδίο της συχνότητας Συμπέρασμα 2 H( h(n n 36 / 55
Υπολογισμός της Η( Βάσει του ορισμού από την κρουστική απόκριση: H( h(n n Παράδειγμα Δίνεται h(n5δ(n-δ(n-+.5δ(n-2+.2δ(n-3+.δ(n-5 Βρίσκουμε: H( h(n n 5 +. 5 2 +. 2 3 +. 5 37 / 55
Υπολογισμός της Η( - συνέχεια Από την εξίσωση διαφορών N k a M k y(n k bkx(n k k N k a M k k k Y( bk Χ( k Η( Υ( Χ( M k N k b a k k k k b a o o + b + a +... + b +... + a M N M N Ποιές ιδιότητες του DTFT χρησιμοποιήσαμε?? 38 / 55
Παράδειγμα Δίνεται η ΕΔ: y(n-.8y(n-+x(n-x(n- y(n -.8y(n- + x(n - x(n - Υ( -.8Υ( - +Χ( -Χ( - Υ( [+.8 - ]Χ( [- - ] H( Y( Χ( +.8 3 39 / 55
Παράδειγμα 2 Ε.Δ: y(n 3 k x(n k Y( 3 3 k [ ] jkω jkω X( X( H( Y( X( 3 jkω (+ 3 2cosω Τι «πράξη» κάνει αυτό το σύστημα??? 4 / 55
Απόκριση συχνότητας και μιγαδική (εκθετική διέγερση X( n x(n jnω Απόκριση στη διέγερση x (n ω n j ο ω n j ο h(n y(n j y(n h(n ω o n k h(k o n o k k h(k o n H( j ω (n k o ο 4 / 55
Απόκριση σε ημιτονικό σήμα x(nacos(ω ο n Όταν η είσοδος είναι : Η έξοδος είναι: x(n y (n A AH( o n ο o n Σε πολική μορφή : y(n A H( ο jθ o n A H( ο j(ω o n + θ το πραγματικό μέρος : y(n A H( ο cos ( ω n + H(ω ο o 42 / 55
Παράδειγμα ( Y( Χ( ω j.8 Η Δίνεται: ζητούνται: cos(.πn H( Acos(.πn+φ Υπολογίζουμε: Η ( 2.24-2.895j2.93.8 j.8π -j45.9493 j.π Αρα Α2.93 και φ-45.949 ο Magnitud (db 5 5-5 -..2.3.4.5.6.7.8.9 Normalizd Frquncy π rad/sampl ( Phas (dgrs -2-4 -6..2.3.4.5.6.7.8.9 Normalizd Frquncy π rad/sampl ( 43 / 55
Παράδειγμα -Matlab n:2; xcos(pi*.*n; subplot(2;stm(x(:2;hold; plot((:.:2,cos(pi*..*(:.:2 b[]; a[ -.8]; yfiltr(b,a,x subplot(22;stm(y(:2,'r' %frqz(b,a - 5 5 2 5-5 5 5 2 44 / 55
Ψηφιακά φίλτρα H( (α (β (γ (δ ω π 2π (α Βαθυπερατό, (β Ηψιπερατό, (γ Ζωνοπερατό και (δ Aπόρριψης ζώνης. Η ψηφιακή συχνότητα μεταβάλλεται από έως 2π rad, ή ισοδύναμα από έως f s Hz. Η διακεκομμένη γραμμή αντιστοιχεί σε πραγματικές προδιαγραφές 45 / 55
φίλτρα «comb» δεν κατατάσσονται σε καμία από τις γνωστές κατηγορίες Η(. 8 j8ω 5 Η( (db 5-5 - π/4 π/2 ω 3π/4 π 46 / 55
Υπολογισμός DTFT με MATLAB Η Εντολή H frqz(num,dn,w Παράδειγμα Comb filtr Η(. 8 j8ω 47 / 55
num[] dn[ -.8]; a[:pi/256:pi]; Hfrqz(num,dn,a; figur( plot(a/pi,abs(h xlabl('\omga/\pi' ylabl(' H(^{j\omga} ' titl('magnitud Rspons' grid on H( j ω 6 4 2 Magnitud Rspons.2.4.6.8 ω/π 48 / 55
figur(2 plot(a/pi,angl(h xlabl('\omga/\pi' ylabl('phas(h(^{j\omga}' titl('phas Rspons' grid on Phas Rspons phas(h( j ω.5 -.5 -.2.4.6.8 ω/π 49 / 55
Απόκριση συχνότητας - εφαρμογές DTMF : ποιο πλήκτρο είναι?? ή # 5 / 55
29 Hz 336 Hz 477 Hz 633 Hz 697 Hz 77 Hz 852 Hz 94 Hz 4 7 * 2 5 8 3 6 9 # A B C D 5 / 55
%plhktro n:; xcos(2*pi*29/8*n; x2cos(2*pi*697/8*n; [h,w]frqz((x+x2/2,,24,8; plot(w,abs(h 52 / 55