S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer 4.56. Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 91 Primjer 4.57. Dane su dvije prizme ABCA 1 B 1 C 1 i KLMNK 1 L 1 M 1 N 1 s bazama u ravnini π 2. Konstruirajmo njihov prodor. Koordinate točaka su A(2, 0, 8), B(6, 0, 7.5), C(4.5, 0, 11), A 1 (8, 10, 3.5), K(10, 0, 7), L(13, 0, 6), M(16, 0, 8.5), N(12.5, 0, 10), K 1 (0, 8, 3.5). (Predložak 4.57.) Upotrijebit ćemo metodu bridova, tj. naći ćemo probodište svakog pobočnog brida prizme ABCA 1 B 1 C 1 s drugom prizmom i obratno. a) Probodišta brida AA 1 i prizme KLMNK 1 L 1 M 1 N 1 Tražimo tragove pomoćne ravnine α odredene bridom AA 1 i paralelne s bočnim bridovima druge prizme. Konkretno, u tlocrtu označim s A k točku presjeka pravaca A A 1 i K K 1, te joj pomoću ordinale nadem nacrt na pravcu A A 1. Tom točkom povučem paralelu k s bridom K K 1. Ravnina α odredena je pravcima AA 1 i k. Budući da je baza druge prizme u π 2, potreban nam je samo drugi trag ravnine α. Dakle, odredimo druga probodišta pravaca AA 1 i k, a to su točke A i Q. Dakle, a 2 = A Q. Drugi trag a 2 siječe bazu K L M N utočkama 1 K N i 2 L M koje zajedno s paralelama s bočnim bridovima druge prizme odreduju presječni paralelogram. Točke u kojima pravac A A 1 siječe stranice tog paralelograma su probodišta 1 i2. Ordinalama odredimo tlocrt tih dviju točaka na bridu A A 1. b) Probodišta brida BB 1 i prizme KLMNK 1 L 1 M 1 N 1 Tražimo tragove pomoćne ravnine β odredene bridom BB 1 i paralelne s bočnim bridovima druge prizme. Ali, očito je ta ravnina paralelna s već nacrtanom ravninom α, pa se drugi trag b 2 ravnine β dobije povlačenjem paralele s a 2 točkom B. Daljnji jepostupak analogan prethodnom. Probodišta su točke 3 KNN 1 K 1 i4 MLL 1 M 1. c) Probodišta brida CC 1 i prizme KLMNK 1 L 1 M 1 N 1 Drugi trag c 2 pomoćne ravnine γ ne siječe bazu druge prizme, pa nema probodišta. Tako smo našli probodišta bočnih bridova prve, trostrane prizme s drugom, četverostranom prizmom. Na analogan način treba naći probodišta bočnih bridova četverostrane prizme s trostranom prizmom. d) Probodišta brida KK 1 i prizme ABCA 1 B 1 C 1
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 92 Tražimo tragove pomoćne ravnine κ odredene bridom KK 1 i paralelne s bočnim bridovima trostrane prizme. U tlocrtu već imamo označenu s A k točku presjeka pravaca A A 1 i K K 1. Pomoću ordinale nademo joj nacrt na pravcu K K 1, oznaka A k 2. Tom točkom povučem paralelu a s bridom A A 1. Ravnina κ odredena je pravcima KK 1 i a. Budući da je baza trostrane prizme u π 2, potreban nam je samo drugi trag ravnine κ. Dakle, odredimo druga probodišta pravaca KK 1 i a, a to su točke K i P. Dakle, k 2 = K P. Ovaj postupak smo mogli i skratiti ukoliko uočimo da su ravnine α i κ paralelne budući da su obje odredene pravcima koji su paralele s bočnim bridovima tih dviju prizmi. Dakle, drugi trag ravnine κ jednostavno se mogao dobiti kao paralela s tragom a 2 točkom K. Trag k 2 ne siječe bazu A B C, pa probodišta ne postoje. e) Probodišta brida LL 1 i prizme ABCA 1 B 1 C 1 Analognim postupkom dobivamo drugi trag l 2 ravnine λ koji takoder ne siječe bazu A B C. f) Probodišta brida MM 1 i prizme ABCA 1 B 1 C 1 Drugi trag m 2 pomoćne ravnine µ paralelan je s a 2 i prolazi točkom M. On siječe bazu A B C u dvije točke 5 A C i 6 B C. Njima povučemo paralele s bočnim bridovima trostrane prizme i time smo dobili presječni paralelogram. Pravac M M 1 siječe stranice paralelograma u probodištima 5 i6. g) Probodišta brida NN 1 i prizme ABCA 1 B 1 C 1 Analogno dobivamo probodišta 7 ACC 1 A 1 i8 BCC 1 B 1. Spajanje točaka.probodišta spajamo tako da dva susjedna vrha prodornog poligona budu točke s iste plohe. Dakle, redoslijed spajanja je: 1 3 8 6 4 2 5 7 1. Vidljivost. Svaka je stranica prodornog poligona na dvije plohe - jedna je ploha trostrane prizme, a druga četverostrane prizme. Stranica prodora je vidljiva u tlocrtu (nacrtu), ako su obje plohe kojima pripada vidljive u toj projekciji. Crtež završavamo time da u konačnici pojačamo one dijelove bridova prizama koji su ostali vidljivi nakon prodora.
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 93
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 94 Primjer 4.58. Dane su dvije piramide ABCV 1 i KLMV 2 s bazama u ravnini π 2. Konstruirajmo njihov prodor. Koordinate točaka su A(2, 0, 10.5),B(4, 0, 7), C(6, 0, 12), V 1 (11.5, 4, 3.5), K(7, 0, 10), L(9, 0, 10), M(12, 0, 6), V 2 (4, 9, 0). (Predložak 4.58.) Prvo tražimo probodišta brida V 2 K i piramide ABCV 1. Pomoćna ravnina κ odredena je bridom V 2 K i vrhom V 1. Odnosno, odredena je pravcima V 1 V 2 i V 2 K. Budući da se baza piramide ABCV 1 nalazi u π 2 zanimljiv nam je samo drugi trag k 2 ravnine κ. Odredimo drugo probodište pravca V 1 V 2 i označimo ga s P. Drugo probodište od V 2 K je upravo točka K, pa je k 2 = P K. Pravac k 2 siječe nacrt baze ABC u točkama 1 i 2 koje zajedno s točkom V 1 odreduje presječni trokut. Brid V 2 K taj trokut siječe u točkama 1 i2, a tlocrte im konstruiramo pomoću ordinala koristeći se činjenicom da točke 1 i 2 leže na bridu V 2 K. Na analogan način nademo i probodište brida V 2 L i piramide ABCV 1 uz pomoć ravnine λ čiji je drugi trag l 2 = P L. Probodišta su točke 3 i 4. Brid V 2 M ne probada piramidu ABCV 1. Drugi je korak pronaći probodišta bridova piramide ABCV 1 s piramidom KLMV 2. Ravnina α odredena je bridom V 1 A i vrhom V 2, tj. odredena je pravcima V 1 A i V 1 V 2. Drugi trag ravnine α je a 2 = A P. On siječe nacrt baze KLM u dvjema točkama koje zajedno s vrhom V 2 odreduju presječni trokut. Presjek tog trokuta i brida AV 1 su točke 5 i 6. Probodišta brida BV 1 i druge piramide su točke 7 i 8, dok brid CV 1 ne siječe piramidu KLMV 2. Spajanje točaka.spajamo one točke koje leže na istim plohama. prodorne linije su redom: 1 3 6 8 4 2 7 5 1. Vrhovi Vidljivost.Stranice prodorne linije su vidljive samo ako se nalaze na plohama koje su obje vidljive u promatranoj projekciji. Konačna slika prodora dana je na sljedećem crtežu.
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 95
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 96 Primjer 4.59. Dane su četverostrana prizma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 i trostrana piramida KLMV s bazama u ravnini π 1. Konstruirajmo njihov prodor. Koordinate točaka su A(3,,5, 0), B(4, 7, 0), C(5.5, 7.5, 0), D(7, 5.5, 0), A 1 (8, 1, 5.5), K(8.5, 7.5, 0), L(12, 7.5, 0), M(10, 5, 0), V (4.5, 1, 6.5). (Predložak 4.59.) Upotrijebit ćemo metodu bridova, tj. naći ćemo probodište svakog pobočnog brida prizme s piramidom i obratno, probodište svakog pobočnog brida piramide s prizmom. a) Probodišta brida VK i prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Kao što smo vidjeli kod rješavanja problema probodišta pravca i prizme, treba naći ravninu κ koja sadrži pravac VK i paralelna je s pobočnim bridovima prizme. Točkom V povucimo pravac q paralelno s bridom AA 1. Pravci VK i q odreduju traženu ravninu κ. Budući da je baza prizme u π 1, zanimljiv nam je samo prvi trag ravnine κ. Prvo probodište pravca VK je točka K, a prvo probodište pravca q označimo s Q i nadimo na uobičajeni način. Prvi trag k 1 ravnine κ je pravac Q K. On siječe tlocrt baze A B C D u točkama 1 i 2. To su dvije točke presječnog paralelograma, kojemu su dvije stranice paralelne s bočnim bridovima prizme. Točke u kojima te dvije stranice sijeku pravac V K su točke prodora 1 i2. Nacrte tih točaka na bridu V K nademo pomoću ordinala. Prva sljedeća slika prikazuje gore opisane korake. b) Probodišta brida VLi prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Ravnina λ koja sadrži pravac V L i paralelna je s pobočnim bridovima prizme nalazi se na isti način koristeći pravac q. Prvi trag l 1 ravnine λ je Q L. Probodišta pravca VLi prizme su točke 3 i 4. c) Probodišta brida VM i prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Ravnina µ koja sadrži pravac V M i paralelna je s pobočnim bridovima prizme nalazi se na isti način koristeći pravac q. Prvi trag m 1 ravnine µ je Q M. Probodišta pravca VM i prizme su točke 5 i 6. Druga sljedeća slika prikazuje gore opisane korake za dobivanje točaka 3, 4, 5, 6. d) Probodišta brida AA 1 i piramide Ravnina α kroz vrh V koja sadrži AA 1 ujedno sadrži i pravac q, jer je q AA 1 i V q. Dakle, prvi trag ravnine α je a 1 = Q A. Ali taj trag ne siječe bazu K L M, pa pravac AA 1 ne probada piramidu. Ista je situacija i s bridovima BB 1 i CC 1. Brid DD 1 probada piramidu, jer trag d 1 = Q D ravnine δ siječe bazu K L M u dvije točke koje zajedno s vrhom V odreduju presječni trokut, a presjek tog
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 97 trokuta i brida DD 1 su točke 7 i 8. To je dano na trećoj slici. Spajanje točaka. Budući da se spajaju točke koje leže na istim plohama, slijedi da imamo ove linije prodora: 1 3 5 1i2 4 7 6 8 2. Vidljivost. U tlocrtu su vidljive plohe ABB 1 A 1, KLV, MLV, a u nacrtu ABB 1 A 1, CDD 1 C 1 i KLV. Prodorna linija je vidljiva samo ako su obje plohe na kojima se nalazi vidljive.
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 98. Probodišta brida VK i prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 99. Probodišta ostalih bridova piramide s prizmom
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 100. Probodišta brida DD 1 i piramide
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 101. Završen crtež
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 102 Primjer 4.60. Konstruirajmo prodor rotacijskog stošca i pravilne četverostrane prizme koji imaju zajedničku os i baze su im u ravnini π 1. Vrh stošca je V (0, 4, 5), a polumjer baze je r =4. Vrh prizme je A( 1.8, 4.8, 0), a visina joj je v =6. (Predložak 4.60.) Rješenje. Tlocrt prodorne linije nalazi se na tlocrtu prizme. Prvo ćemo odrediti točke prodora koje se nalaze na bridovima prizme. Njihovi tlocrti 1, 2 3,, 4 se podudaraju s tlocrtima vrhova a,b,c D. Uočimo izvodnicu AV. Ona siječe kružnicu baze u točki E. Odredimo E i nacrt izvodnice AV je upravo E V. Presjek nacrta izvodnice E V i brida prizme AA 1 je točka prodora 1. Analogno se odrede nacrti i ostalih triju točaka 2, 3, 4. Ploha ABB 1 A 1 siječe stožac po dijelu hiperbole. Tjeme 5 te hiperbole ima tlocrt u polovištu dužine A B. Odredimo izvodnicu na kojoj leži ta točka 5 i pomoću ordinala odredimo nacrt izvodnice i na njoj nacrt točke 5. Točke 6, 7, 8 nalazimo analogno na ostalim trima plohama prizme. Konačno odredimo još i točke u kojima nacrt prodorne krivulje mijenja vidljivost. Te točke 9 i 10 leže na izvodnicama koje su u tlocrtu paralelne s osi 1x 2. Spajanje točaka. Redoslijed spajanja je ovaj 1 5 2 6 10 3 7 4 8 9 1. Vidljivost. U nacrtu se vidi linija koja spaja 1 5 2 6 10.
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 103.