M-Te-0-T List 1 Objem povrch ihlnov RNr. Mrián Mcko U: ko by si chrkterizovl n-boký ihln? Ž: Ihln je teleso, ktoré je určené jednou význčnou stenou vrcholom, ktorý v rovine tejto steny neleží. U: ýznčnú stenu nzývme podstv ihln. Podstvou n-bokého ihln je n-uholník. rchol ihln, ktorý neleží v rovine podstvy, nzývme hlvný vrchol. Zvyčjne ho oznčujeme symbolom. Koľko vrcholov má n-boký ihln? 4 3 n 1 n 1 Ž: Jeden hlvný vrchol n vrcholov v podstve. Čiže, n-boký ihln má spolu n + 1 vrcholov. U: Tký istý je j počet jeho stien. Okrem podstvy má j n bočných stien. ú nimi npríkld trojuholníky 1, 3, lebo n 1. Ž: pomínm si, že okrem vrcholov stien, má ihln j hrny. ú to úsečky, ktoré tvori strny stien ihln. U: Možno ich chápť ko priesečnice stien ihln. k zoberieme dve bočné steny, tk ich prienikom získme bočné hrny ihln. Npríkld 1, lebo n. Ž: Osttné hrny nzývme podstvné? U: Áno. trny podstvy ihln nzývme podstvné hrny ihln. zniknú ko prienik podstvy bočných stien ihln. ymenuj niekoľko podstvných hrán ihln n obrázku. Ž: ú to npríkld hrny 1, 3 iné. Ihln má n podstvných hrán. U: Pripomenieme si ešte niekoľko špeciálnych prípdov ihlnov. Podstv kolmého ihln musí mť stred súmernosti zároveň primk musí byť kolmá n rovinu podstvy. Ž: hcete povedť, že v prípde kolmého ihln nemusí byť podstvou prvidelný n-uholník?
M-Te-0-T List v b U: Nie, nemusí. Podstvou môže byť npríkld obdĺžnik, lebo priesečník uhlopriečok je jeho stredom súmernosti. ôležité je, by úsečk spájjúc tento bod s hlvným vrcholom ihln bol kolmá n rovinu podstvy. Ž: ko s ted nzývjú tké ihlny, ktorých podstv je prvidelný n-uholník. U: Máš zrejme n mysli prvidelné n-boké ihlny. le okrem prvidelného n-uholník, ktorý je ich podstvou, musi mť rovnko dlhé bočné hrny. E F Ž: h! Zčínm chápť rozdiel medzi kolmým prvidelným ihlnom. Nie je to len v podstve, le j v bočných stenách. očnými stenmi prvidelného ihln sú zhodné rovnormenné trojuholníky. prípde kolmého ihln trojuholníky nemusi byť zhodné. U: Máš prvdu. Porovnj ešte rz predchádzjúce dv obrázky. Ž: Mohli by ste mi ešte vysvetliť pojem štvorsten? U: Pojem štvorsten je ib iné pomenovnie pre trojboký ihln.
M-Te-0-T List 3 Ž: h! Trojboký znmená, že podstvou je trojuholník. le j bočné steny sú trojuholníky. Štvorsten má ted štyri steny. U: mozrejme. Štvorsten je teleso s njmenším počtom stien. To odráž j smotné pomenovnie teles. keďže všetky steny sú trojuholníky, tk podstvou môže byť ktorákoľvek z nich. ieš čím s vyznčuje prvidelný štvorsten? Ž: šetky jeho steny musi byť zrejme rovnostrnné trojuholníky. U: k sú všetky steny prvidelného štvorsten rovnostrnné trojuholníky, tk s dá veľmi jednoducho vyjdriť jeho povrch. Ide o súčet obshov všetkých jeho stien. Ž: Máte prvdu. tčí vyjdriť obsh jedného rovnostrnného trojuholník. elkový povrch prvidelného štvorsten bude štvornásobkom tohto obshu. = 4. U: N vyjdrenie obshu rovnostrnného trojuholník potrebujeme dĺžku strny výšku v n túto strnu. v 0 Ž: yužijem Pytgorovu vetu v prvouhlom trojuholníku 0. Prepon má dĺžku odvesn 0 je polovicou strny. Preto pltí ( ) v =. Umocním odrátm. poločným menovteľom je číslo 4. v = 4 4 = 3 4.
M-Te-0-T List 4 U: Pre výšku n strnu po odmocnení dostávme v = 3. Obsh jednej steny preto bude čo vieme uprviť n tvr yjdri povrch prvidelného štvorsten. = v = = 3 3 4. Ž: Obsh trojuholník vynásobím štyrmi. Povrch bude vyjdrený v tvre, = 4 = 4 3 4 = 3. U: tomto špeciálnom prípde ihln s jeho povrch dá celkom jednoduchým spôsobom vyjdriť pomocou dĺžky jeho hrny. Povrch ihln vo všeobecnosti je všk dný vzorcom = p + pl, kde p je obsh podstvy pl obsh plášť. Ž: Pod plášťom máte n mysli zjednotenie všetkých trojuholníkov, ktoré sú bočnými stenmi ihln? U: Máš prvdu. Npríkld, v prípde prvidelného n-bokého ihln, to bude zjednotenie n zhodných rovnormenných trojuholníkov. Ž: ko to je s objemom ihln? iem, že s vypočít podľ vzorc = 1 3 pv, kde p je obsh podstvy v je telesová výšk. Prečo je vo vzorci jedn tretin? U: Jedn tretin vo vzorci súvisí s tým, že hrnol s dá rozložiť n tri neprekrývjúce s ihlny. ôležité je by kždý z ihlnov ml rovnký objem. Keďže objem hrnol je = p v, objem jedného ihln bude tretinou objemu hrnol. Ž: Tk, to si neviem predstviť. ko dáte do hrnol tri rovnké ihlny? U: Ukážeme si to n kocke. ytvoríme v nej tri štvorboké ihlny. Hlvným vrcholom všetkých ihlnov bude vrchol F kocky. Jeden z ihlnov bude mť z podstvu dolnú stenu kocky, druhý zse ľvú bočnú stenu kocky pre posledný bude podstvou zdná sten kocky. Pozri n obrázok.
M-Te-0-T List 5 H G H H G E F E F F F Ž: Zujímvé. ostli sme tri štvorboké ihlny F, HEF HGF. Je prvd, že mjú rovnké podstvy. To preto, lebo sú to štvorce, HE HG. le mjú rovnké j telesové výšky? U: ko vieme, telesová výšk ihln je vzdilenosť jeho hlvného vrcholu od roviny podstvy. ihlne F je telesovou výškou hrn F, lebo je kolmá n podstvu. osttných dvoch ihlnoch urč telesové výšky sám. Ž: Jsné! tčí pozerť n obrázok kocky. Hrn EF je preds kolmá n ľvú bočnú stenu kocky, preto bude výškou v ihlne HEF. poslednom ihlne HGF je telesovou výškou hrn F G. To preto, lebo táto hrn je kolmá n zdnú stenu kocky. U: Kždá z týchto telesových uhlopriečok má dĺžku, ktorá je rovnká ko dĺžk hrny kocky. Uvžovné tri štvorboké ihlny mjú ted zhodné podstvy telesové výšky. ú zhodné. Lenže zhodné telesá mjú rovnký objem, preto je objem jedného z ihlnov tretinou objemu kocky. Ž: á s táto fint využiť j pre iné hrnoly ko kock? U: Áno, le nemusí to byť ž tké jednoduché. Pre teb je všk dôležitejšie, vedieť použiť vzorec n výpočet objemu ihln v rôznych úlohách. Ž: zorec pre objem hrnol je = p v. udem si ted pmätť, že do hrnol s zmesti tri ihlny s rovnkým objemom. Preto s objem ihln s rovnkou podstvou ko je podstv hrnol s rovnkou telesovou výškou vypočít podľ vzorc = 1 3 pv.
M-Te-0-1 List 6 Príkld 1: ypočítjte objem povrch prvidelného štvorbokého ihln, k jeho podstvná hrn má dĺžku = 10 cm telesová výšk v = 1 cm. U: zorec n výpočet objemu ihln je = 1 3 pv. Telesovú výšku v poznáš. ko vypočítš obsh p podstvy prvidelného štvorbokého ihln? Ž: k je ihln prvidelný štvorboký, tk jeho podstvou je štvorec so strnou zdnej dĺžky. Obshom podstvy bude preto obsh štvorc p =. Po dosdení do vzorc pre objem dostávm = 1 3 pv = 1 3 v. U: tčí dosdiť zdné číselné hodnoty. Preto pltí opočítj. = 1 3 10 1. Ž: Umocním po krátení čísel tri dvnásť zostne číslo štyri. = 1 3 10 1 = 100 4 = 400 cm 3. Objem ihln je 400 centimetrov kubických. U: Pre povrch ihln pltí vzorec = p + pl, kde pl je obsh plášť. Máš predstvu, z čoho pozostáv plášť prvidelného štvorbokého ihln? v
M-Te-0-1 List 7 Ž: Plášťom je zjednotenie bočných stien ihln. nšom prípde to budú štyri zhodné rovnormenné trojuholníky. Jedným z nich je trojuholník. U: Pre obsh plášť pltí pl = 4. ypočítť obsh rovnormenného trojuholník by pre teb neml byť problém. Ž: Použijem vzorec = zv z. Zákldňou je podstvná hrn ihln. le nepoznám výšku v bočnej stene. v v z U: ypočítš ju z prvouhlého trojuholník, kde je stred podstvy ihln bod je stredom hrny. Ž: Terz to už nebude problém. Poznám obe odvesny. Odvesn je telesovou výškou ihln úsečk je polovicou podstvnej hrny. Potrebujem vypočítť preponu, preto využijem Pytgorovu vetu U: Po dosdení číselných hodnôt dostávme opočítj. Ž: Čísl umocním ( ) vz = v +. v z = 1 + 5. v z = 144 + 5, sčítm odmocním. ýšk n zákldňu v rovnormennom trojuholníku bude mť veľkosť v z = 169 = 13 cm.
M-Te-0-1 List 8 U: Úsečk je skutočne výškou, lebo trojuholník je rovnormenný so zákldňou bod je stredom tejto zákldne. Terz už máme všetky hodnoty n to, by sme vypočítli povrch. Ž: o vzorci pre povrch ihln = p + pl nhrdím obsh podstvy vyjdrením p =. Obsh plášť vyjdrím v tvre le zákldň z je vlstne hrn. U: Povrch ihln bude preto vyjdrený v tvre osď číselné hodnoty dopočítj. pl = 4 = 4 zv z = zv z. = + v z. Ž: osdím hodnoty = 10 cm v z = 13 cm. ostávm = 10 + 10 13 = 100 + 60 = 360 cm. U: Povrch ihln je 360 centimetrov štvorcových.
M-Te-0- List 9 Príkld : ypočítjte objem prvidelného štvorbokého ihln, k jeho podstvná hrn má dĺžku = 4 cm. Odchýlk bočnej hrny ihln od roviny podstvy je 60 stupňov. U: Čo potrebuješ poznť, by si vypočítl objem hrnol? Ž: Potrebujem obsh podstvy p telesovú výšku v. To preto, lebo objem ihln vypočítm podľ vzorc Nepoznám všk telesovú výšku. = 1 3 pv. U: obsh podstvy prvidelného štvorbokého ihln by si vedel vypočítť? Ž: Toto nie je problém. Podstvou ihln je štvorec so strnou = 4 cm, preto obsh podstvy vypočítm podľ vzorc p =. U: Pri výpočte telesovej výšky v ihln využijeme zdný uhol. ieš povedť, ktoré primky zvierjú uhol určujúci odchýlku bočnej hrny ihln od roviny podstvy? Ž: pomínm si, že uhol medzi primkou rovinou určím ko uhol medzi zdnou primkou jej kolmým priemetom do roviny. Ted zdný uhol by ml byť pri vrchole v trojuholníku. U: Teoreticky si to sformulovl správne, le uhol nie je zdnou odchýlkou. Uvžuj trochu. by si dostl kolmý priemet bočnej hrny, potrebuješ kolmé priemety jej dvoch bodov. Myslím si, že s bodom nebudeš mť problém. Ž: Tento bod leží v rovine podstvy, ted s zobrzí sám do seb. Jsné! Už viem kolmo premietnuť j bod. Telesová výšk je kolmá n rovinu podstvy, preto kolmým priemetom bodu bude stred podstvy ihln. U: To znmená, že odchýlkou bočnej hrny od roviny podstvy je uhol. Podľ zdni má veľkosť 60 stupňov. Ml by si ešte vyjdriť dĺžku úsečky. yuži prvouhlý rovnormenný trojuholník.
M-Te-0- List 10 60 Ž: yužijem Pytgorovu vetu = +. Obe odvesny mjú dĺžku = 4 cm, preto túto hodnotu dosdím čísl umocním. ostávm = 4 + 4 = 16 + 16 = 3. U: Uhlopriečk podstvy bude mť dĺžku = 3. Číslo 3 s dá čistočne odmocniť, lebo je súčinom čísl 16 čísl. Odmocnin z čísl 16 je číslo 4, preto pltí = 4. Ž: Úsečk je polovicou uhlopriečky. To znmená, že =. U: Terz už v prvouhlom trojuholníku, s prvým uhlom pri vrchole, poznáme uhol dĺžku priľhlej odvesny k tomuto uhlu. Ide o úsečku. Telesová výšk ihln je v tomto trojuholníku protiľhlou odvesnou k zdnému uhlu. v 60
M-Te-0- List 11 Ž: Pomerom protiľhlej priľhlej odvesny je dná funkci tngens pre ostrý uhol α. Pltí tgα = v. k rovnicu vynásobím dĺžkou strny, dostnem telesovú výšku v = tgα. U: osdíme = využijeme, že hodnot funkcie tngens pre uhol 60 stupňov je rovná číslu 3. Ž: Preto pltí á s tento výsledok nejko uprviť? v = tg60 = 3. U: účin odmocnín z dvoch čísel je odmocninou zo súčinu týchto čísel. nšom prípde má telesová výšk dĺžku v = 6. Môžeš dopočítť objem ihln. Ž: o vzorc = 1 3 v dosdím hodnoty = 4 cm v = 6 cm. ostávm U: Objem ihln je 3 6 3 = 1 3 4 6 = 3 6 3 centimetrov kubických. cm 3.
M-Te-0-3 List 1 Príkld 3: yjdrite objem povrch prvidelného štvorsten, k je dná dĺžk jeho hrny. U: Objem prvidelného trojbokého ihln vypočítme podľ vzorc = 1 3 pv, kde p je obsh podstvy v telesová výšk. kým geometrickým útvrom je podstv? Ž: Podstvou, le j bočnými stenmi sú rovnostrnné trojuholníky so strnou dĺžky. Preto obsh podstvy vypočítm ko obsh trojuholník p =. U: trojuholníku poznáme dĺžku strny. Potrebujeme vyjdriť výšku v n túto strnu. 1 v Ž: Pre prvouhlý trojuholník 1 zpíšem Pytgorovu vetu. od 1 je stredom strny, lebo výšk v rovnostrnom trojuholníku je zároveň j ťžnicou. Preto je dĺžk úsečky 1 rovná polovici strny. ( ) v =. U: ýšku dostneme po odmocnení. ýrz pod odmocninou uprvíme tk, že njskôr umocníme zlomok potom odčítme. Ted ob členy uprvíme n spoločného menovteľ, čo je číslo štyri.
M-Te-0-3 List 13 ( ) v = = 4 4 = 4 = 3 4. Ž: Menovteľ zlomku výrz v čitteli s djú odmocniť. Pre výšku n strnu dostávm v = 3. U: Môžeme ted vyjdriť obsh podstvy. Ž: osdím do vzorc pre obsh trojuholník p = = v = 3 = 3 4. U: Telesovú výšku vyjdríme z prvouhlého trojuholník T, kde T je ťžisko v podstve štvorsten. v 1 T 1 Ž: Prečo ste zobrli práve ťžisko? U: Telesovou výškou má byť úsečk kolmá n rovinu podstvy. Ťžisko rovnostrnného trojuholník je kolmým priemetom bodu do roviny podstvy. To preto, lebo trojuholníky T, T T sú zhodné. Jednou ich strnou je bočná hrn štvorsten, druhou strnou čsť ťžnice tretiu strnu mjú spoločnú. yplýv to z toho, že štvorsten je prvidelný. Ž: h! Máte prvdu. Mýlilo m to, lebo j som uvžovl nd priesečníkom výšok v podstve. Ťžisko ortocentrum v rovnostrnnom trojuholníku preds splývjú. U: Týmto si zároveň nznčil myšlienku, ko určiť dĺžku strny T. ieme, že ťžisko rozdeľuje ťžnicu n dve čsti v pomere 1 :. Ž: Úsečk T predstvuje dve tretiny ťžnice.
M-Te-0-3 List 14 U: keďže ťžnic je zároveň výškou, môžeme využiť už nmi vyjdrenú dĺžku výšky v n strnu. ostávme T = 3 v = 3 3 3 = 3, lebo dvojky s vykráti. v T Ž: prvouhlom trojuholníku T už poznám dve strny. Prepon má dĺžku dĺžku odvesny T sme terz vypočítli. Telesovú výšku v vypočítm využitím Pytgorovej vety. Pltí v = T. U: osdíme z dĺžku strny T výšku vypočítme po odmocnení. ostávme ( ) v = 3 = 3 3 9 9 = 3 6 = 9 9. Umocnili sme jednotlivé členy uprvili zlomky n spoločného menovteľ. tomto prípde je to číslo 9. Ž: čitteli môžem odmocniť druhú mocninu hrny odmocnin z čísl deväť v menovteli je číslo tri. 6 6 v = 9 = 3. U: šetky potrebné veličiny n určenie objemu štvorsten sme vyjdrili pomocou dĺžky hrny. Preto objem štvorsten vyjdríme v tvre Pokrčuj v úprvách výrzu. = 1 3 pv = 1 3 3 4 6 3.
M-Te-0-3 List 15 Ž: ýrz zjednoduším n jeden zlomok. menovteli bude číslo 36, lebo je súčinom čísel 3, 4 3, ktoré sú v menovteľoch zlomkov. účin odmocnín v čitteli npíšem ko jednu odmocninu, to zo súčinu čísel 3 6. Ted pod odmocninou bude číslo 18. čitteli bude nvyše treti mocnin dĺžky hrny, lebo je tm v súčine tri krát. = 1 3 6 18 3 3 = 4 3 36. U: Toto vyjdrenie s ešte dá zjednodušiť. Číslo 18 je súčinom čísel 9 dv. Preto ho čistočne odmocníme. 18 3 9 3 = = = 3 3 36 36 36. Po vykrátení čísel 3 36 dostávme pre objem výsledný tvr = 3 1. Ž: To si mám pmätť? U: Nie, nemusíš. ol to úloh. Podsttné boli vyjdreni rôznych úsečiek, ktoré umožnili určiť telesovú výšku. yjdríme ešte povrch prvidelného štvorsten. Ž: Toto už bude jednoduchšie. Povrch vypočítm podľ vzorc = 4, lebo štvorsten má štyri rovnké steny. obsh trojuholník preds poznám. yjdrili sme ho pri určovní objemu. Preto ib dosdím výrz n prvej strne uprvím. 3 = 4 = 3. 4
M-Te-0-4 List 16 Príkld 4: yjdrite objem povrch prvidelného osemsten, k je dná dĺžk jeho hrny. U: Máš predstvu ko vyzerá prvidelný osemsten? Ž: Ml by mť osem stien, le ko vyzerá, to netuším. U: Predstv si, že by si podstvmi zlepil dv zhodné prvidelné štvorboké ihlny. k ihlny budú mť rovnké dĺžky bočných podstvných hrán, tk toto teleso bude prvidelný osemsten. U Ž: le potom mi stčí uvžovť ib jeden štvorboký ihln. Objem celého teles bude dvojnásobkom jeho objemu. =. U: Máš prvdu. yjdríme preto objem prvidelného štvorbokého ihln, ktorého všetky hrny mjú dĺžku. Čo k tomuto vyjdreniu potrebujeme? Ž: zorec n výpočet objemu je = 1 3 pv. Obsh p podstvy je druhá mocnin dĺžky hrny, lebo podstvou je štvorec. p =. Nepoznám všk telesovú výšku v. U: ko vieme, telesová výšk je úsečk určená hlvným vrcholom ihln stredom podstvy. Je to úsečk. ypočítme ju z prvouhlého trojuholník s prvým uhlom pri vrchole. To preto, lebo výšk je kolmá n podstvu. v
M-Te-0-4 List 17 Ž: ko to chcete urobiť, keď v tomto trojuholníku poznáme ib preponu dĺžky? U: ĺžk úsečky je preds polovicou uhlopriečky. tú vieme vypočítť z ďlšieho prvouhlého trojuholník. Ž: Jsné! Prvý uhol v tomto trojuholníku je pri vrchole obe odvesny mjú dĺžku podstvnej hrny. Preto pltí = + =. Uhlopriečk má dĺžku. U: Úsečk má polovičnú dĺžku. Terz môžeš vyjdriť telesovú výšku v. =. v Ž: Podľ Pytgorovej vety pltí v = = ( ) = 4. Zlomok som umocnil tk, že som umocnil zvlášť čitteľ j menovteľ. U: ýšku vyjdríme odmocnením. ýrz pod odmocninou uprvíme n spoločného menovteľ. Je ním číslo štyri potom niektoré členy odmocníme. ostávme v = 4 4 = = 4 4 =. Nič nám terz nebráni, by sme vyjdrili objem ihln. Ž: Objem prvidelného osemsten bude dvojnásobkom objemu prvidelného štvorbokého ihln, pričom objem ihln vyjdrím ko jednu tretinu zo súčinu obshu podstvy telesovej výšky. = = 1 3 pv. U: Obsh podstvy sme vyjdrili v tvre p = telesovú výšku v tvre v =. osď tieto hodnoty do vzorc pre objem.
M-Te-0-4 List 18 Ž: Po dosdení dostávm = 3 3 = 3, lebo dvojky s vykráti súčin druhej prvej mocniny premennej je jej treti mocnin. U: Poďme terz vyjdriť povrch osemsten. Ž: očnými stenmi sú rovnostrnné trojuholníky podstvou je štvorec. U: Pozor! Osemsten nemá podstvu. Má len osem zhodných bočných stien, čo sú rovnostrnné trojuholníky. Ž: h! Podstvy sme spolu zlepili. ú vo vnútri osemsten. udem ted počítť ib trojuholníky. yjdrím si preto výšku v n strnu v rovnostrnnom trojuholníku. ýšk rozdelí tento trojuholník n dv zhodné prvouhlé trojuholníky. Preponou je strn jedn z odvesien má polovičnú dĺžku ko prepon. v 1 U: Použijeme Pytgorovu vetu v tvre v = ( = ) 4 = 4 4 = 3 4. Zlomok sme umocnili členy uprvili n spoločného menovteľ. Ž: Odmocním dostnem stenovú výšku v = 3. U: Povrch osemsten je osemnásobkom obshu jedného rovnostrnného trojuholník. úfm, že vzorec n výpočet obshu trojuholník nie je problém.
M-Te-0-4 List 19 Ž: Obsh jedného trojuholník je = v. Pre povrch pltí = 8 = 8 v = 4v. Z výšku dosdím výrz 3 členy vynásobím = 4 3 = 3. U: Povrch osemsten s dá vyjdriť v tvre = 3.
M-Te-0-5 List 0 Príkld 5: očné hrny kolmého štvorbokého ihln mjú dĺžku h = dm zvierjú s rovinou podstvy uhol ϕ = 60. Podstvou ihln je obdĺžnik, ktorého uhlopriečky zvierjú uhol β = 60. ypočítjte objem kolmého štvorbokého ihln. U: šeobecný vzorec pre objem ihln je = 1 3 pv, kde p je obsh podstvy v telesová výšk. Nšou úlohou je njskôr zistiť rozmery podstvy veľkosť telesovej výšky. Čo znmená, že ihln je kolmý? Ž: Telesová výšk v tkomto ihlne spáj jeho hlvný vrchol so stredom podstvy. Podstvou je obdĺžnik, preto stredom podstvy bude priesečník uhlopriečok obdĺžnik. h h h ϕ b U: To znmená, že kolmým priemetom bodu do podstvy bude jej stred. keďže bod leží v podstve, tk kolmým priemetom bočnej hrny do podstvy je úsečk. Preto uhol pri vrchole v trojuholníku má veľkosť 60 stupňov. Ž: To viete odkiľ? U: Podľ zdni je známy uhol medzi bočnou hrnou rovinou podstvy. ieme, že tkýto uhol s určuje ko uhol medzi zdnou hrnou jej kolmým priemetom do roviny. to sme pred chvíľou urobili. Ž: obre. Terz už viem vypočítť veľkosť telesovej výšky. yužijem prvouhlý trojuholník s prvým uhlom pri vrchole. Poznám jeho preponu. Je to bočná hrn h ihln. Uhol veľkosti 60 stupňov je oproti telesovej výške. Preto použijem funkciu sínus sin ϕ = v h. U: Po vynásobení rovnice dĺžkou bočnej hrny h dostávme v = h sin ϕ. osď hodnoty. Ž: iem, že hodnot funkcie sínus pre uhol 60 stupňov je rovná reálnemu číslu pltí v = sin 60 = Telesová výšk ihln má veľkosť 3 dm. 3. 3. Preto
M-Te-0-5 List 1 U: Ten istý trojuholník využijeme j n výpočet dĺžky úsečky. Ž: Táto úsečk je priľhlou odvesnou k zdnému uhlu, preto použijem funkciu kosínus. Pltí cos ϕ = h. k rovnicu vynásobím premennou h, získm dĺžku úsečky. = h cos ϕ U: osdíme tie isté zdné číselné hodnoty. Ďlej využijeme, že hodnot funkcie kosínus pre 60 stupňov je jedn polovic. Pre dĺžku strny dostávme Ž: Prečo sme počítli dĺžku úsečky? = cos 60 = 0, 5 = 1. 1 cm 60 b U: Potrebujeme ju k určeniu strán obdĺžnik, ktorý je podstvou ihln. od rozpoľuje uhlopriečky obdĺžnik. Preto úsečky mjú tiež dĺžku jedn. Ž: Zo zdni všk vieme, že uhlopriečky podstvy zvierjú uhol 60 stupňov. U: Ted trojuholník je rovnormenný, ktorého uhol oproti zákldni je 60 stupňov. okážeš určiť dĺžku strny? Ž: Ten trojuholník musí byť rovnostrnný. N zvyšné dv uhly pri zákldni, ktoré musi byť rovnké, zvyšuje 10 stupňov. Ted j uhly pri zákldni budú mť veľkosť 60 stupňov. j strny sú rovnké, preto = b = 1 dm. U: Zdôvodnil si to pekne. erím, že tkto zvládneš j výpočet strny obdĺžnik. yuži prvouhlý trojuholník. Ž: iem, že uhlopriečk je dvojnásobkom dĺžky úsečky. Má veľkosť dv decimetre. Poznám ešte jednu odvesnu b = 1 dm. ruhú odvesnu vypočítm pomocou Pytgorovej vety. ude v tvre = b = 1 = 3. trn podstvy má dĺžku 3 dm. U: Máme ted všetky údje n to, by sme konečne vypočítli objem.
M-Te-0-5 List Ž: Obsh podstvy bude vyjdrený súčinom dĺžok strán b obdĺžnik. Preto pre objem ihln pltí Po dosdení číselných hodnôt dostávm = 1 3 pv = 1 b v. 3 = 1 3 3 1 3. le to je jedn, lebo odmocniny djú v súčine číslo tri trojky s vykráti. U: idíš. Koľko zložitých výpočtov výsledok je nkoniec tký jednoduchý. Objem kolmého štvorbokého ihln je jeden decimeter kubický.
M-Te-0-6 List 3 Príkld 6: Kocku s hrnou = 4 cm zrežeme v kždom vrchole rovinou určenou stredmi hrán vychádzjúcich z dného vrchol kocky. ypočítjte objem tkto vzniknutého teles. Ž: To teleso si neviem ni predstviť. U: Uvidíš, že riešenie úlohy nebude ž tké náročné. Zoberme si nskôr vrchol kocky. Máš predstvu, ko s odreže čsť z kocky pri tomto vrchole? H G E F Z Y X Ž: Rovin rezu má prechádzť stredmi hrán kocky, ktoré vychádzjú z vrchol. Ted stredmi hrán, F. Oznčím si ich X, Y Z. N kocke si rovinu predstvím ko trojuholník XY Z. U: tip tejto úlohy nie je v tom, ko vyzerá vzniknuté teleso, le čo z kocky týmto jediným odrezním odpdlo. Ž: Jsné! eď to isté urobíme ešte vo zvyšných siedmich vrcholoch. U: Áno, le odpovedz mi n otázku. ké teleso sme odrezli vo vrchole kocky? Ž: No, to teleso má štyri steny. Odrezli sme štvorsten XY Z. U: Štvorsten je vlstne trojboký ihln. Čo myslíš, ké budú odrezné štvorsteny v osttných vrcholoch kocky? Ž: Nič s nezmení. udú rovnké. U: Tkže, k by si vedel vypočítť objem tohto jedného štvorsten, vedel by si vypočítť j objem teles, ktoré z kocky zostne? Ž: Už mi tá fint npdl. Od objemu kocky odrátm osemnásobok objemu jedného štvorsten. U: elý problém je ted vo výpočte objemu trojbokého ihln XY Z. ko by si tento objem vypočítl? Pozri s ešte rz n obrázok kocky. Ž: Keď z podstvu zoberiem trojuholník XY Z, tk nebudem vedieť určiť telesovú výšku. U: prečo by podstvou trojbokého ihln XY Z nemohol byť trojuholník XY? Ž: Zdlo s mi, že to musí byť trojuholník XY Z, lebo je rovnostrnný.
M-Te-0-6 List 4 U: le kždá sten trojbokého ihln je trojuholník. Je jedno, ktorý z týchto trojuholníkov je podstvou. Z hľdisk určeni telesovej výšky je jednoduchšie zobrť z podstvu npríkld trojuholník XY. Ž: Jsné! Už to vidím. Telesovou výškou bude úsečk Z, lebo hrn F kocky je kolmá n jej dolnú podstvu. U: No vidíš. Pre telesovú výšku ihln preto pltí v = = cm, lebo bod Z je stredom hrny F. Ž: Tk to potom j dve strny v podstve mjú dĺžku rovnú polovici hrny kocky. Pltí X = Y = cm. U: Treb si ešte uvedomiť, že podstvou ihln je rovnormenný prvouhlý trojuholník XY s prvým uhlom pri vrchole. Preto s jeho obsh dá vyjdriť v tvre XY = X Y =. Jeden odrezný ihln má podstvu s obshom dv centimetre štvorcové. Ž: Objem teles je ted rozdiel objemu kocky osemnásobku objemu jedného ihln. Objem kocky je k = 3 objem ihln i = 1 3 pv. U: Preto pltí = k 8 i = 3 8 1 3 XY v. Ž: Po dosdení číselných hodnôt dostávme = 4 3 8 1 3 = 64 3 3 U: Objem teles, ktoré zostne z kocky je 160 3 Ž: Mohli by sme si výsledné teleso nčrtnúť? U: Prečo nie. = 19 3 3 = 160 3. centimetrov kubických. H G E F
M-Te-0-6 List 5 Ž: ko s to teleso nzýv. U: Prezrdím ti, že ptrí medzi mnohosteny. Nzýv s štrnásťsten. Ž: Preto, že má 14 stien? U: Áno. Osem stien má tvr rovnostrnného trojuholník, ktoré vznikli odrezním vrcholov kocky. Zvyšnými stenmi sú štvorce. Tie sú vpísné do stien kocky.
M-Te-0-7 List 6 Príkld 7: yjdrite objem prvidelného štvorbokého ihln, k je dná dĺžk jeho hrny uhol ϕ, ktorý zvier bočná sten ihln s rovinou podstvy. Ž: Nepochopil som celkom dobre zdnie úlohy. Uhol ϕ mám chápť ko uhol medzi bočnou hrnou podstvnou hrnou? U: Nie. Uhol medzi dvomi rovinmi s určuje ko uhol medzi dvomi primkmi, ktoré sú kolmé n priesečnicu dných rovín. Pritom jedn primk je z jednej roviny druhá primk z druhej roviny. Ž: Mohli by ste to vysvetliť n zdnej úlohe? U: Rozoberieme to spoločne. Čo je prienikom bočnej steny ihln jeho podstvy? Ž: Tieto steny ihln s pretínjú v úsečke. U: My všk vieme, že úsečk je zároveň zákldňou rovnormenného trojuholník, ktorý je bočnou stenou ihln. tejto stene potrebujeme určiť jednu primku, ktorá je n zákldňu trojuholník kolmá. Ž: Zoberieme výšku trojuholník z bodu n zákldňu? U: mozrejme. ýšk je preds kolmá n zákldňu trojuholník, ted j n priesečnicu dných dvoch rovín. Ž: h! Tk potom v podstve zoberiem primku prechádzjúcu stredom podstvy. Primk bude rovnobežná s prednou hrnou podstvy.
M-Te-0-7 List 7 v ϕ X U: Obe kolmice n hrnu mjú jeden spoločný bod. Je ním stred X tejto hrny. Preto uhol medzi bočnou stenou rovinou podstvy je uhol X. Jeho veľkosť je podľ zdni oznčená symbolom ϕ. Ž: Nčo nám bude tento uhol, keď máme vyjdriť objem ihln? U: šeobecný vzorec pre objem ihln poznáš? Ž: mozrejme. K výpočtu objemu potrebujem obsh podstvy telesovú výšku. zorec má tvr = 1 3 pv. Obsh podstvy viem vyjdriť v tvre p =, lebo podstvou je štvorec so strnou. U: Potrebuješ ešte vyjdriť telesovú výšku v. práve n to využiješ j zdný uhol. ĺžku jednej zo strán prvouhlého trojuholník X by si ml vedieť vyjdriť. Ž: trn X je polovicou hrny. v ϕ X
M-Te-0-7 List 8 U: prvouhlom trojuholníku X poznáme uhol priľhlú odvesnu. Telesová výšk je v tomto trojuholníku protiľhlou odvesnou. Odvesny trojuholník dáv do vzťhu funkci tngens. Pltí tgϕ = v X. Ž: Čiže telesová výšk bude v = tgϕ, lebo dĺžk úsečky X je rovná polovici strny. U: Terz už máme všetky informácie n to, by sme vyjdrili objem prvidelného štvorbokého ihln. Ž: Po dosdení dostávme = 1 3 pv = 1 3 tgϕ = 1 6 3 tgϕ. Objem štvorbokého ihln je vyjdrený vzťhom = 1 6 3 tgϕ.
M-Te-0-8 List 9 Príkld 8: ypočítjte povrch prvidelného štvorbokého ihln s objemom = 48 cm 3. ĺžky podstvnej hrny telesovej výšky ihln sú v pomere : v = 3 :. U: zorec n výpočet objemu ihln je = 1 3 pv, kde p je obsh podstvy v telesová výšk ihln. Ž: Podstvou je štvorec, lebo ihln je prvidelný štvorboký. Obsh podstvy s preto dá vyjdriť v tvre p =. Nepoznáme všk dĺžku podstvnej hrny. U: ypočítme ju zo zdného objemu ihln. Ž: ko, keď nepoznáme ni telesovú výšku? U: Poznáme všk pomer dĺžok týchto dvoch úsečiek, : v = 3 :. k rovnicu vynásobíme telesovou výškou v, tk dostneme vyjdrenie podstvnej hrny = 3v. Ž: Prečo ste násobili, keď je tm pomer? U: Pomer : v chápeme ko delenie, ted j zlomok. Preto s zdný pomer : v = 3 : dá prepísť do tvru v = 3. Ž: Rozumiem. Zdný pomer sme využili n vyjdrenie podstvnej hrny pomocou telesovej výšky. U: Presne tk. Objem ihln môžeme terz vyjdriť ib pomocou neznámej telesovej výšky. Pltí = 1 3 pv = 1 3 v = 1 ( ) 3v 3 v. Pokrčuj v úprve výrzu, ktorý vyjdruje objem ihln. Ž: Njskôr druhý zlomok umocním potom všetky členy vynásobím. ostávm = 1 3 9v 4 v = 9v3 1. U: Zlomok vykrátime tromi. Objem ihln terz vyjdríme v tvre = 3v3 4. U: Objem poznáš, vypočítj telesovú výšku. Ž: Objem je 48 centimetrov kubických. osdím získm rovnicu 48 = 3v3 4. Rovnicu vydelím číslom tri, vynásobím číslom štyri mám 64 = v 3. U: Telesová výšk má dĺžku 4 centimetre, lebo treti odmocnin z čísl 64 je číslo štyri.
M-Te-0-8 List 30 Ž: Čiže poznáme j dĺžku podstvnej hrny, lebo = 3v. k z telesovú výšku dosdím číslo štyri, tk pre podstvnú hrnu dostnem = 6 cm. U: Určili sme ztiľ dĺžky podstvnej hrny telesovej výšky ihln. Úlohou je všk vypočítť jeho povrch. zorec by neml byť problémom. Ž: Povrch ihln vypočítme podľ vzorc = p + pl. Obsh podstvy už máme, le pre obsh plášť budeme potrebovť výšku v bočnej stene ihln. U: Prečo? Ž: Plášť ihln tvori štyri rovnormenné trojuholníky,,, ktoré sú bočnými stenmi ihln. Obsh plášť je ted štvornásobkom obshu jedného trojuholník. Zákldňou je podstvná hrn, le výšku n túto strnu nepoznáme. v v U: ýšku bočnej steny vypočítme z prvouhlého trojuholník X s prvým uholom pri vrchole. od je stredom podstvy bod X je stredom hrny. Ž: Prečo ste zobrli bod X? U: Trojuholník je rovnormenný so zákldňou. ýšk n túto zákldňu je v rovnormennom trojuholníku zároveň ťžnicou. ťžnic spáj vrchol stred protiľhlej strny. Ž: Môžete ešte vysvetliť, prečo je v trojuholníku X prvý uhol pri vrchole? U: Úsečk je telesová výšk. Je kolmá n podstvu. Podľ definície kolmosti primky n rovinu je úsečk kolmá n kždú úsečku podstvy. Ted je kolmá j n úsečku X.
M-Te-0-8 List 31 v v X Ž: Terz je to už ľhké. prvouhlom trojuholníku X poznám obe odvesny, čo sú telesová výšk v = 4 cm polovic podstvnej hrny X = 3 cm. Preponu vypočítm podľ Pytgorovej vety. Pltí ( ) v = + v. Po dosdení odmocnení dostávm stenovú výšku v = 3 + 4 = 5. tenová výšk má dĺžku päť centimetrov. U: Pre povrch ihln potom pltí = p + pl = + 4 = + 4 v = + v. Ž: iem, že = 6 cm v = 5 cm. Po dosdení do vzorc pre povrch dostávm = + v = 6 + 6 5 = 36 + 60 = 96 cm. U: Povrch prvidelného štvorbokého ihln je 96 centimetrov štvorcových.