Capitolul 2 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA

Capitolul 2 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA Studiul ecuaţiilor cu derivate parţiale îşi are originea în secolul al XVIII-lea şi a fost inspirat de modele concrete din mecanică (elasticitate, câmp gravitaţional). Ulterior acest studiu a fost impulsionat de probleme de teoria difuziei, electrostatică, electricitate sau magnetism. Prima ecuaţie cu derivate parţiale studiată a fost ecuaţia coardei vibrante. Toate problemele studiate în perioada de debut a ecuaţiilor cu derivate parţiale au fost liniare. Ulterior, probleme din geometria diferenţialăaudatnaştere la ecuaţii cu derivate parţiale neliniare precum ecuaţia Monge-Ampére sau ecuaţia suprafeţei minimale. Studiul ecuaţiilor cu derivate parţiale a fost impulsionat şi de teoria clasică a calculului variaţional, bazată pe principiul lui Euler-Lagrange, cât şi de teoria Hamilton-Jacobi. Studiul unor fenomene fizice ca vibraţiile firelor şi membranelor, propagarea căldurii, propagarea undelor electromagnetice, etc., conduc la ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de ordinul al doilea. Aceste ecuaţii descriu în timp (t)şi spaţiu (x)evoluţia unui fenomen care se realizează prin aplicarea unor legi specifice fenomenului respectiv. Ele reprezintă rezultatul modelării 1

matematice a fenomenului respectiv, pe lânga care sunt date şi condiţiile suplimentare concrete în care s-a realizat fenomenul, care asigură în general existenţa şi unicitatea soluţiei problemei cercetate. 1 Definiţii În general, prin ecuaţie cu derivate parţiale de ordin doi în n variabile independente se înţelege o ecuaţie care leagă valorile celor n variabile independente de valorile funcţiei necunoscute şi ale unor derivate parţiale ale acesteia până laordinuldoi. Mai precis, pentru o funcţie u, avemn derivate parţiale de ordinul u întâi (se mai notează cuu xi )şi x i 2 u de ordinul doi = x i x j Avem următoarea definiţie: n(n +1) 2 2 u x j x i (sau u xi x j = u xj x i ). derivate parţiale Definiţia 1.1. Fie o ecuaţie de forma ( ) F x 1,x 2,...x n,u, u,..., u m u,..., x 1 x n x j =0 (1.1) 1... xk n cu funcţia necunoscută u = u(x 1,x 2,...,x n ) în variabilele independente x 1,x 2,...,x n împreună cu derivatele sale partiale m u până laordinulm, x j se numeste ecuaţie cu derivate 1... xk n parţiale de ordinul m. În particular, pentru m =2ecuaţia (1.1) devine ( F x 1,x 2,..., x n,u, u,..., u, 2 u 2 ) u x 1 x n x 2,,..., 2 u =0, 1 x 1 x 2 x 2 n şi se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul 2. 2

În tot ceea ce urmează vom considera doar cazul ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul 2. Definiţia 1.2. Ofuncţie u = u(x)=u(x 1,x 2,..., x n ):D U R ( D deschisă) se numeşte soluţie particulară aecuaţiei cu derivate parţiale de ordinul doi definite de funcţia F dacă u este de clasă CD 2 (continuă şi toate derivatele parţialedeordinul2 există şi sunt continue pe D), şi ecuaţia este verificată în orice punct al lui D, adică ( F x 1,x 2,..., x n,u, u,..., u x 1 ( )(x 1,x 2,..., x n ) D. x n, 2 u x 2 1 ),..., 2 u =0, x 2 n Uneori pentru o ecuaţie cu derivate parţiale dată se poate stabili o expresie din care să rezulte toate sau aproape toate soluţiile acelei ecuaţii. O asemenea expresie se numeşte soluţie generală a ecuaţiei cu derivate parţiale. Multă vreme eforturile matematicienilor au fost îndreptate spre găsirea unor asemenea soluţii generale. Cu timpul s-a dovedit că oasemeneaproblemă nu este bine pusă, în sensul că ea nu are totdeauna soluţie. De altfel, aşa cum vom vedea, problemele practice cer găsirea unei soluţii care să satisfacă anumite condiţii. 2 Exemple Exemplul 2.1. Ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul întâi u =0 x 1 în R 2 are soluţia generală u(x 1,x 2 )=f(x 2 ) unde f este o funcţie continuă arbitrară. 3

Exemplul 2.2. Ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul doi 2 u x 1 x 2 =0 în R 2 are soluţia generală u(x 1,x 2 )=f(x 1 )+g(x 2 ), unde f şi g sunt două funcţii arbitrare cu derivate continue. Cele două exemple ilustreazăfaptulcăaşa cum soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul m depinde în general de m constante arbitrare, soluţia generală a unei ecuaţii cu derivate parţialedeordinuldoi,dacăexistă, depinde de două funcţii arbitrare. Acest fapt este justificat, aşa cum vom vedea, de soluţia problemei Cauchy, la fel cum se justifica şi în cazul ecuaţiilor diferenţiale. Exemplele următoare (prezentate mai în detaliu la sfârşitul capitolului) arăta că omulţime de fenomene fizice conduc la rezolvarea unor ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul doi. Exemplul 2.3. Ecuaţia transferului de căldură T t = T a2 2 x 2 unde T = T (x, t) este temperatura la momentul t în punctul x a unei bare izolate termic, a este o constantă. Exemplul 2.4. Ecuaţia undelor sonore 2 u t u 2 a2 2 x =0, 2 descrie oscilaţiile mici transversale în raport cu axa Ox, iara este o constantă. Exemplul 2.5. Ecuaţia oscilaţiilor transversale ale unei corzi 2 u t (x, t) u 2 =a2 2 x2(x, t)+f(x, t), 4

unde u = u(x, t) estepoziţia la momentul t a punctului x al corzii, iar a este o constantă. Exemplul 2.6. Ecuaţia oscilaţiilor transversale ale membranei Considerăm o membrană careîn poziţia de repaus ocupă un domeniu D din planul xoy. Presupunem căîn vibraţiile libere ale membranei, fiecare punct al său rămâne pe o perpendiculară a planului xoy şi notând cu u(x, y, t) deplasarea u la momentul t a unui punct M(x, y) faţădeoziţiasaderepausm 0 (x, y), u verifică ecuaţia cu derivate parţiale 2 u t = 2 a2 Δu + p(x, y, t), cu a 2 = T 0 ρ, unde T 0 este tensiunea în poziţia de repaus, iar ρ este densitatea superficială a membranei. Exemplul 2.7. Ecuaţia oscilaţiilor longitudinale ale unei bare 2 u t (x, t) u 2 =a2 2 x2(x, t)+f(x, t). 3 Problema lui Cauchy, clasificarea ecuaţiilor Prin problema lui Cauchy pentru ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul 2 ( F x 1,x 2,..., x n,u, u,..., u ), 2 u x 1 x n x 2,..., 2 u =0, 1 x 2 n se înţelege problema determinării unei soluţii u = u(x 1,x 2,..., x n ) pentru care se cunosc valorile sale u şi ale derivatei normale u n pe o hipersuprafaţă S din spaţiul variabilelor independente de ecuaţie ϕ(x 1,x 2,..., x n )=0 u(x 1,x 2,..., x n ) S = ϕ 0 (x 1,x 2,..., x n ), 5

u n S = ϕ 1 (x 1,x 2,..., x n ) Din punct de vedere geometric problema lui Cauchy revine la determinarea unei hipersuprafeţe integrale u = u(x 1,x 2,..., x n ) care să treacă prin suprafaţa n 1-dimensională dinr n+1 u = ϕ 0 (x 1,x 2,..., x n ) ϕ(x 1,x 2,..., x n )=0 şi pentru care se cunosc planele tangente. O ecuaţiecuderivateparţiale de ordinul doi se numeşte normală în raport cu variabila independentă x 1 dacă ecuaţia este de formă explicităîn raport cu derivata 2 u 2 u x 2 1 ( =Φ x 1,x 2,..., x n,u, u,..., u, x 1 x n De exemplu, ecuaţia corzii vibrante x 2 1 2 u,..., 2 u x 1 x 2 x 2 n 2 u t u 2 a2 2 = f(x, t) x2 poate fi adusă laformănormalăatât în raport cu variabila t, cât şi cu variabila x. Ecuaţia căldurii u t u a2 2 = f(x, t) x2 poate fi adusă laformănormalăîn raport cu variabila x, darnu poate fi adusă laformănormalăîn raport cu variabila t. Ecuaţia 2 u = f(x, y) x y 6 ).

nu poate fi adusă laformănormalăniciîn raport cu variabila x, nici în raport cu variabila y. Prin problemă aluicauchypentru o ecuaţie cu derivate parţiale normalăîn raport cu variabila x 1 se înţelege problema determinării soluţiei u = u(x 1,x 2,..., x n ) pentru care se cunosc valorile sale şi ale derivatei normale pe hiperplanul x 1 = x 0 1 : u(x 1,x 2,..., x n ) x1 =x 0 1 = ϕ 0(x 1,x 2,..., x n ), u x 1 (x 1,x 2,..., x n ) x1 =x 0 1 = ϕ 1(x 1,x 2,..., x n ). Oproblemă a lui Cauchy pentru o ecuaţie cu derivate parţiale normalăîn raport cu o variabilă semainumeşte şi problemă cu condiţii iniţiale. 4 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul doi cvasiliniare în două variabile Definiţia 4.1. O ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul doi (1.2) se numeşte cvasiliniară dacă funcţia F este liniară în derivatele parţiale de ordinul al doilea. În cazul în care u = u(x, y), ecuaţia cvasiliniară areforma A 11 u xx +2A 12 u xy + A 22 u yy + f(x, y; u, u x,u y )=0 cu A ij = A ij (x, y; u, u x,u y ). Dacăîn plus, coeficienţii derivatelor de ordinul al doilea sunt funcţii numai de variabile independente, A ij = A ij (x, y), ecuaţia se numeşte semiliniară. Dacă F este liniarăîn u şi în derivatele lui u de ordinul întâi şi al doilea, atunci ecuaţia se numeşte liniară. 7

În cazul în care u = u(x, y), ecuaţia liniară areforma A 11 u xx +2A 12 u xy +A 22 u yy +2A 13 u x +2A 23 u y +A 33 u+f(x, y) =0 cu A ij = A ij (x, y). O ecuaţiecuderivateparţiale de ordinul doi cvasiliniară în n variabile cu coeficienţi constanţi poate fi redusă la forma canonică. În cazul coeficienţilor variabili pentru a reduce la formă canonică, funcţiile ξ i (x), i =1, 2,..., n care dau schimbarea de variabile ar trebui să verifice anumite condiţii. Problema va fi posibilă numai dacă numărul total de condiţii este mai mic decât numărul de funcţii necunoscute, adică n =2. Vom arăta căîn cazul ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul doi cvasiliniare cu două variabile x, y putem stabili anumite forme canonice. Fie o asemenea ecuaţie A 11 (x, y) 2 u x +2A 12(x, y) 2 u 2 x y + A 22(x, y) 2 u y 2 +f ( x, y, u, u x, u ) =0. y (4.1) Ecuaţia curbelor caracteristice ca linii de nivel constant este ( ) 2 ϕ A 11 (x, y) +2A 12(x, y) ϕ ( ) 2 ϕ ϕ x x y + A 22(x, y) =0, y ( ) 2 ( ) 2 ϕ ϕ + 0, x y 8

iar în diferenţiale este A 11 (x, y) ( ) 2 dy +2A 12(x, y) dy dx dx + A 22(x, y) =0. Discriminantul care dă tipul ecuaţiei este Δ(x, y) =A 12 (x, y) 2 A 11 (x, y)a 22 (x, y). Dacă ambii coeficienţi A 11 (x, y), A 22 (x, y) suntnuliîn domeniu atunci ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul doi este de tip hiperbolic şi, dupăîmpărţire cu 2A 12, se scrie sau cu schimbarea de variabile 2 u x y + f (x, y, u, u x, u y )=0 ξ = x + y, ecuaţia devine: η = x y, 2 u ξ η + f (ξ,η,u, u ξ, u η )=0. În cazul general putem presupune A 11 (x, y) nenulîn domeniu. Facem schimbarea de variabile ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) unde ξ(x, y), η(x, y) sunt funcţii oarecare cu derivate parţiale de ordinul 2 continue şi cu iacobianul nenul. Atunci 9

şi u(x, y) =u(x(ξ,η),y(ξ,η)) = ũ(ξ,η) u x =ũ ξ ξ x +ũ η η x u y =ũ ξ ξ y +ũ η η y u xx = ũ ξξ (ξ x ) 2 + 2ũ ξη ξ x η x + ũ ηη (η x ) 2 +ũ ξ ξ xx +ũ η η xx u xy = ũ ξξ ξ x ξ y + ũ ξη (ξ x η y + ξ y η x )+ũ ηη η x η y +ũ ξ ξ xy +ũ η η xy u yy = ũ ξξ (ξ y ) 2 + 2ũ ξη ξ y η y + ũ ηη (η y ) 2 +ũ ξ ξ yy +ũ η η yy. Se poate observa că termenii scrişi îngroşat din u ij se pot obţine din înmulţirea formală între u i şi u j, i, j {x, y}. Înlocuind acum în ecuaţia (), ea devine unde A 11(ξ,η) 2 ũ ξ 2 +2A 12(ξ,η) 2 ũ ξ η + A 22(ξ,η) 2 ũ η 2 ( +f ξ,η,ũ, ũ ξ, ũ ) =0. η ( ) 2 ξ A 11 = A 11(x, y) +2A 12(x, y) ξ ξ x x y + A 22(x, y) ( ) 2 ξ y A 12 =A 11 (x, y) ξ ( η ξ x x +A η 12(x, y) x y + ξ ) η +A 22 (x, y) ξ η y x y y ( ) 2 η A 22 = A 11(x, y) +2A 12(x, y) η η x x y + A 22(x, y) 10 ( ) 2 η. y

Între discriminanţi are loc relaţia ( ) 2 D(ξ,η) Δ (ξ,η) =Δ(x, y), D(x, y) adică semnul discriminantului nu depinde de schimbarea de variabile. Deci ecuaţiile cu derivate parţiale de ordinul doi cvasilineare pot fi clasificate în următoarele tipuri: Definiţia 4.2. Dacă Δ(x, y) > 0 ecuaţia se numeşte de tip hiperbolic. Dacă Δ(x, y) =0ecuaţia se numeşte de tip parabolic. Dacă Δ(x, y) > 0 ecuaţia se numeşte de tip eliptic. În ipoteza că A 11 (x, y) 0, ecuaţia caracteristicilor se scrie y = A 12(x, y) ± Δ(x, y). A 11 (x, y) Dacă suntemîntr-un domeniu de hiperbolicitate Δ(x, y) > 0, acestea reprezintă două ecuaţii diferenţiale şi dacă coeficienţii sunt continui, cele două ecuaţii admit două integrale prime (orice funcţie constantă pe soluţiile unei ecuaţii diferenţiale şi neidentic constantă) ξ(x, y) =C 1, η(x, y) =C 2 date prin funcţii cu derivate de ordinul doi continue. Ele satisfac ecuaţia caracteristicilor şi ecuaţiile ξ x = A 12(x, y)+ Δ(x, y) ξ A 11 (x, y) y 11

η x = A 12(x, y) Δ(x, y) A 11 (x, y) de unde rezultă D(ξ,η) D(x, y) = ξ η x y η ξ x y = 2 η y Δ(x, y) ξ η A 11 (x, y) y y. Cum derivatele parţiale ale ale fiecărei funcţii ξ(x, y), η(x, y) nu se pot anula simultan rezultă că iacobianul este nenul şi rezultă că ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) este o schimbare de variabile şi A 11 (ξ,η) =0,A 22 (ξ,η) =0, A 12(ξ,η) 0 pentru că Δ (ξ,η) =A 12(ξ,η) 2 0. Dupăîmparţire cu A 12 (ξ,η), ecuaţia devine 2 ũ ξ η + f (ξ,η,u, ũ ξ, ũ η )=0. Dacă facem schimbarea de variabile ξ = ξ + η, ecuaţia capătă forma η = ξ η 2 ũ ξ 2 ũ 2 η + f (ξ,η, ũ, ũ ũ 2 ξ, η )=0, unde ũ(ξ,η )=ũ(ξ,η) =u(x, y). 12

Oricare din aceste forme se numeşte forma canonică a ecuaţiei cu derivate parţiale de ordinul doi cvasiliniare în două variabile de tip hiperbolic. Dacă o ecuaţiecuderivateparţiale de ordinul doi este de tip parabolic Δ(x, y) = 0 atunci avem o singură familie de caracteristici y = A 12(x, y) A 11 (x, y) = A 22(x, y) A 12 (x, y). Când coeficienţii sunt continui avem o singură integrală primă ξ(x, y) =C dată printr-o funcţiededouăori derivabilă care verifică relaţiile ξ x = A 12(x, y) ξ A 11 (x, y) y ξ x = A 22(x, y) ξ A 12 (x, y) y. Alegând schimbarea de variabile ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) unde funcţia η(x, y) este supusă numai condiţiei D(ξ,η) D(x, y) 0, totdeauna posibilă, coeficienţii noii ecuaţii vor fi astfel încât A 11 (ξ,η) = 0. Rezultă şi A 12 (ξ,η) =0şi A 22 (ξ,η) 0. După împărţire cu A 22(ξ,η) ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul doi devine 2 ũ η + f (ξ,η,ũ, ũ 2 ξ, ũ η )=0, 13

formă numită forma canonică a ecuaţiei cu derivate parţiale de ordinul doi cvasiliniare în două variabile de tip parabolic. În cazul ecuaţiei cu derivate parţiale de ordinul doi de tip eliptic Δ(x, y) < 0, ecuaţia caracteristicilor se descompune în două ecuaţii complex conjugate y = A 12(x, y) ± i Δ(x, y). A 11 (x, y) De aceea vom căuta integralele prime tot sub formă complexă conjugată ϕ(x, y) =ξ(x, y) ± iη(x, y). Înlocuind în relaţia ϕ x = A 12(x, y) ± i Δ(x, y) ϕ A 11 (x, y) y şi separând parţile reală şi imaginarăobţinem ξ x = A 12(x, y) ξ Δ(x, y) A 11 (x, y) y + A 11 (x, y) η x = A 12(x, y) η Δ(x, y) A 11 (x, y) y A 11 (x, y) η y ξ y. Se poate arătacă dacă coeficienţii ecuaţiei cu derivate parţiale de ordinul doi sunt funcţii analitice, atunci acest sistem are soluţie dată de funcţii analitice, ceea ce îndreptăţeşte ipoteza cu privire la integrala primă ϕ(x, y). Observăm că D(ξ,η) D(x, y) = ξ η x y η ξ x y 14

( Δ(x, y) ξ 2 = + η 2 ) Δ(x, y) = ϕ A 11 (x, y) y y A 11 (x, y) y Deci se poate face schimbarea de variabile 2 0. ξ = ξ(x, y), η = η(x, y). Dacă separăm părţile reală şi imaginarăîn ecuaţia verificată de ϕ(x, y) =ξ(x, y) ± iη(x, y) obţinem relaţiile A 11(ξ,η) =A 22(ξ,η) 0,A 12(ξ,η) =0. Împărţind cu A 11 (ξ,η), ecuaţia devine 2 ũ ξ + 2 ũ 2 η + f (ξ,η,ũ, ũ 2 ξ, ũ η )=0, formă numită forma canonică aecuaţiei cu derivate parţiale de ordinul doi cvasiliniare în două variabile de tip eliptic. 5 Metoda separării variabilelor Fourier-Bernoulli Această metodă se aplică unei clase largi de ecuaţii cu derivate parţiale, scalare şi vectoriale, de tip eliptic (Laplace, Poisson şi Helmholtz), de tip parabolic (ecuaţia difuziei) şi de tip hiperbolic (ecuaţia undelor). Ea constă în folosirea funcţiilor caracteristice pentru aducerea ecuaţiei la forma canonică, apoi din soluţia generală se deduce soluţia particulară căutată prin impunerea condiţiilor iniţiale. 15

5.1 Ecuaţia coardei vibrante Reluăm ecuaţia omogenă a coardei vibrante 2 u t u 2 a2 2 =0, (x, t) [0,l] (0, ). (5.1) x2 Este numită de obicei ecuaţia omogenă a coardei vibrante sau ecuaţia micilor oscilaţii libere ale coardei deşi ea are formă omoloagă cu ecuaţii ce descriu şi alte tipuri de oscilaţii pentru bare, sisteme electrice, etc. Ea descrie fenomenul de oscilaţie al corzii perfect întinsăîn jurul poziţiei sale de echilibru în următoarele condiţii: -în fiecare punct M de abscisă x, la orice moment t, tensiunea în coardă are o valoare constantă T 0 -coarda este un fir elastic flexibil, omogen (densitatea ρ este constantă) -oscilaţiile sunt numai transversale, adică perpendiculare pe poziţia de echilibru Ox. Constanta a 2 din ecuaţia coardei este dată derelaţia a 2 = T 0 ρ. Integrarea ecuaţiei omogene a coardei înseamnă a-i determina unul din modurile posibile de vibraţie descris de funcţia u(x, t), mod ce va fi bine determinat numai dacă i se impun şi anumite condiţii la limită u(0,t)=u(l, t) =0, ( )t [0, ) (5.2) şi condiţii iniţiale { u(x, 0) = f(x) u t (x, 0) = g(x),f,g C1 [0,l], (5.3) 16

ceea ce înseamnă căîn timpul vibraţiei realizate prin modul pe care vrem să-l determinăm, vom cunoaşte în fiecare moment t poziţia punctului de pe coardă deabscisă x. Dacălaînceputul mişcării, t =0,estedatăpoziţia fiecărui punct al corzii prin f(x), precum şi distribuţia vitezelor fiecărui punct al acestui grafic prin valorile funcţiei g(x), vitezele fiind perpendiculare pe Ox. Condiţiile la limită arată că cele două capete ale coardei sunt fixe. Aceste condiţii pot să lipsească dacă coarda se consideră infinită, (când lungimea ei este foarte mare în comparaţie cu elongaţiile maxime, de exemplu un fir de telegrafie foarte lung). Compatibilitatea condiţiilor () şi () impune ca funcţiile f şi g să verifice condiţiile: { f(0) = f(l) =0 g(0) = g(l) =0. Definiţia 5.1. Metoda separării variabilelor constă în a construi pentru ecuaţia dată soluţii de formă particulară, şi a- nume de forma u(x, t) =X(x)T (t) (5.4) Soluţia ecuaţiei de mai sus va fi soluţia particulară a ecuaţiei () dacă şi numai dacă X (x) X(x) = 1 T (t) (5.5) a 2 T (t) pentru x [0,l], t [0, ). Dacă fixăm pe x la x 0,iart [0, ) saudacă t = t 0 şi x [0,l], obţimem că atât primul cât şi al doilea membru ramân constanţi, deci putem scrie: X (x) X(x) = 1 T (t) a 2 T (t) = λ R (5.6) 17

Din (), obţinem pentru determinarea lui X(x) şi T (t) două ecuaţii diferenţiale ordinare liniare de ordinul doi X (x) λx(x) = 0 (5.7) T (t) a 2 λt (t) =0. (5.8) Dintre soluţiile ecuaţiilor (), trebuie să determinăm numai pe acelea care satisfac condiţiile la limităşi condiţiile iniţiale. Avem: u(0,t)=x(0)t (t) =0 u(l, t) =X(l)T (t) =0 pentru orice t [0, ). Nu putem lua T (t) =0,căci am obţine soluţia banală şi deci vom avea X(0) = 0, X(l) =0. (5.9) Rezultă că funcţia X(x) trebuie sa satisfacă prima ecuaţie din () şi (). Am ajuns astfel la următoarea problemă: se cere săsegăsească toate valorile λ pentru care vom avea soluţii nebanale ale ecuaţiei X (x) λx(x) = 0 (5.10) cu X(0) = X(l) =0. (5.11) Problema formulată astfel se numeşte problema lui Sturm- Liouville pentru ecuaţia dată, valorile lui λ care satisfac aceste condiţii se numesc valori proprii,iar soluţiileobţinute se numesc funcţii proprii. Ecuaţia () este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul doi cu coeficienţi constanţi. 18

Ecuaţia caracteristică asociatăeste r 2 λ =0,r 1,2 = ± λ şi soluţia depinde de semnul lui λ. Avem trei cazuri: 1. λ>0. Atunci integrala generală a ecuaţiei () este X(x) =c 1 e λx + c 2 e λx. Condiţiile la limită ne conduc la X(0) = c 1 + c 2 =0 X(l) =c 1 e λl + c 2 e λl =0 Cum e λl e λl 0,avemc 1 = c 2 =0şi rezultă că ecuaţia () cu condiţiile () nu admite soluţii decât X(x) = 0, deci nu putem considera valorile λ>0. 2. λ = 0. Atunci X(x) =c 1 + c 2 x cu condiţiile X(0) = c 1 =0 X(l) =c 1 + c 2 l =0 de unde c 1 = c 2 = 0, deci şi pentru λ =0obţinem soluţia banală X(x) =0. 3. λ < 0. Ecuaţia caracteristică admite rădăcinile r = ±i λ. Notăm λ = k 2 şi atunci integrala generală a ecuaţiei () este X(x) =c 1 cos kx + c 2 sin kx. Condiţiile la limită nedau X(0) = c 1 =0 X(l) =c 1 cos kl + c 2 sin kl =0 19

de unde c 1 =0, c 2 sin kl =0. Cum pentru c 2 = 0 nu avem decât soluţia banală X(x) =0, rezultă că trebuie să avem sin kl =0, kl = nπ sau λ = n2 π 2, n =1, 2,... l 2 Deci vom avea soluţii nebanale pentru ecuaţia()cucondiţiile () numai pentru λ = n2 π 2, n =1, 2,... (5.12) l 2 Valorile lui λ date de () sunt deci valorile proprii ale problemei ()-(), soluţiile proprii fiind date de X n =sin nπx, (5.13) l Pentru valorile () ale lui λ, va trebui să determinăm soluţia T (t) a ecuaţiei ( anπ ) 2 T (t)+ T (t) =0. l Găsim T n (t) =A n cos anπt + B n sin anπt, (5.14) l l unde A n şi B n sunt constante arbitrare depinzând de n. Revenind la ecuaţia omogenă a coardei vibrante, rezultă că soluţiile de forma () care verifică condiţiile la limită ()suntde forma ( u n (x, t) = A n cos anπt + B n sin anπt ) sin nπx, (5.15) l l l 20

n N. Ramâne să determinăm acea soluţie care satisface şi condiţiile iniţiale. Pentru determinarea unei astfel de soluţii vom folosi metoda denumită în fizică metoda suprapunerii efectelor sau metoda suprapunerii soluţiilor. Ecuaţia () fiind liniară, dacă u 1,u 2,,...,u n,suntn soluţii particulare ale ecuaţiei, atunci şi α k u k este o soluţie a n ecuaţiei. k=1 Să presupunem că amgăsit un şir de soluţii (u n ) n N, ale ecuaţiei () şi că existăunşir de numere (α n ) n N astfel incât seria u = α k u k (5.16) k=1 să fie convergentă şi să verifice ecuaţia. Această operaţiesenumeşte suprapunerea soluţiilor. Cum în general şirul (α n ) n N este arbitrar, uneori este posibil să îl alegem astfel încât () să satisfacă diverse condiţii suplimentare, care să determine complet soluţia. Aceste condiţii suplimentare sunt uneori condiţii de tip Cauchy, sau chiar condiţii mai complicate impuse de fizică. În cazul nostru, am obţinut un şir (u n )desoluţii care satisfac (0 şi (). Orice combinaţie liniară deunnumăr finit de soluţii este tot o soluţie a ecuaţiei. Dacă considerăm seria α k u k, trebuie ca acestă serie să fie derivabilă dedouăoriîn raport cu x, respectiv cu t. Vomcăuta pentru ecuaţia () o soluţiedeforma ( u(x, t) = A n cos anπt + B n sin anπt ) sin nπx, (5.17) l l l n=1 care să verifice condţiile iniţiale. Expresia () este o serie Fourier în raport cu x de perioadă 2l k=1 21

şi în raport cu t de perioadă 2l. Din condiţiile iniţiale avem: a A n sin nπx = f(x), l n=1 anπ B n sin nπx = g(x). l l n=1 Relaţiile de mai sus determină în anumite condiţii coeficienţii A n, B n. Într-adevăr, din teoria Fourier ştim că dacă funcţiile f(x)şi g(x) suntcontinueşi derivabile pe porţiuni din intervalul (0,l), atunci ele pot fi dezvoltate în serie Fourier şi A n, nb n vor fi coeficienţii dezvoltării în serie Fourier de funcţii impare de l perioadă 2l ai funcţiilor f(x) şi aπ g(x) A n = 2 l l 0 B n = 2 l anπ 0 f(x)sin nπx dx, l g(x)sin nπx dx. l Se poate arăta că seria () cu coeficienţii astfel obţinuţi este serie uniform convergentă şi verifică atât ecuaţia () cât şi condiţiile suplimentare () şi (). Ca semnificaţie fizică σ n (x) = A 2 n + Bn 2 sin nπx l reprezintă amplitudinile armonicilor vibraţiilor punctelor corzii care au abscisa x, iar B n ϕ n = arccos ± A 2 n + Bn 2 22

este faza la momentul iniţial, aceeaşi pentru armonica respectivă în toate punctele corzii situate într-o semiperioadă. Tonul fundamental al sunetului produs de vibraţia corzii este dat după cumseştie de armonica de ordinul întâi u 1 (x, t), iar celelalte armonici superioare contribuie la determinarea timbrului sunetului. 5.2 Ecuaţia propagării căldurii Să considerăm o bară rectilinie, omogenă şi izotropă, situată pe axa Ox. Notăm cu u(x, t) temperatura într-un punct M(x) al barei la momentul t. În ipoteza căîntre suprafaţa barei şi mediul înconjurător nu există schimbdecăldură (bara este izolată termic), funcţia u verifică ecuaţia u xx = 1 a 2u t (5.18) unde a 2 = k, k - coeficientul de conductibilitate termică, c cρ căldura specifică, ρ-densitatea liniară. Presupunem bara nemărginităîn ambele sensuri şi vom căuta soluţia u : R [0, ) care satisface condiţia iniţială u(x, 0) = f(x), ( )x R adică estedată distribuţia temperaturilor în bară lamomentul t =0şi se cere distribuţia la momentul t>0, arbitrar. Funcţia f o presupunem continuăpe R, derivabilăpe porţiuni în orice interval finit I R şi absolut integrabilă per. Să remarcăm că se pot da şi alte probleme referitoare la propagareacăldurii într-obară, încare, pe lângăcondiţia iniţială pot fi date condiţii la limită când bara este mărginită fieîntr-un 23

sens, fie în ambele sensuri, capetele barei fiind menţinute la temperatură constantăsauîntre capetele barei şi mediul înconjurător există unschimbdecăldură. Toate aceste probleme se tratează prin metoda separării veriabilelor ca şi ecuaţia coardei vibrante. Revenind la ecuaţia propagării căldurii cu condiţia iniţială () să căutăm soluţia sub forma u(x, t) =X(x)T (t) care conduce la X (x) X(x) = 1 T (t) a 2 T (t) = λ. Valorile pe care le poate lua λ vor fi impuse de problema fizică. Avem de integrat ecuaţiile liniare şi omogene T λa 2 T = 0 (5.19) X λx = 0 (5.20) Prima ecuaţie are soluţia generală deforma T (t) =ce λa2 t unde c este o constantă reală arbitrară. Pentru λ>0, T (t) cut>0 poate depăşi orice număr pozitiv; ar rezulta că, pornind cu o anumită distribuţie a temperaturii în bară, când t creşte, temperatura ar putea depăşi în modul orice valoare pozitivă, fapt care din punct de vedere fizic este inacceptabil. Pentru λ =0,T s-ar reduce la o constantă, adică temperatura ar rămâne aceeaşi şi deci în fiecare punct al barei nu ar exista schimb de căldurăîntre punctele barei, fapt de asemenea 24

inacceptabil. Prin urmare λ nu poate lua decât valori strict negative. Notăm λ = s 2, s>0. Soluţia generală a ecuaţiei () este T (t) =ce s2 a 2 t iar soluţia ecuaţiei () va fi de forma X(x) =c 1 cos sx + c 2 sin sx cu c, c 1, c 2 constante arbitrare care pot diferi de la o ecuaţie la alta când s variază. Notăm A(s) =cc 1, B(s) =cc 2 şi avem pentru ecuaţia () soluţii de forma U(x, t; s) =(A(s)cossx + B(s)sinsx) e s2 a 2t,t (0, ), (5.21) În general nu există nicio funcţie din familia () care să verifice condiţia iniţială (), funcţia f trebuind să fie o funcţie sinusoidală. De aceea vom căuta soluţia problemei sub forma: u(x, t) = 0 U(x, t; s)ds = 0 (A(s)cossx + B(s)sinsx) e s2 a 2t ds (5.22) analoagă seriilor în cazul problemelor la limităîn care intervin valorile proprii şi funcţiile proprii. În ipoteza că 2 u u şi se pot obţine derivând sub semnul x2 t integral, avem: 2 u x 2 1 a 2 u t = 0 ( 2 U x 1 ) U ds 2 a 2 t 25

deoarece U verifică ecuaţia (), oricare ar fi s (0, ). Prin urmare funcţia u dată de()esteosoluţie a ecuaţiei (). Acestă funcţie satisface condiţia iniţială () dacăşi numai dacă: 0 (A(s)cossx + B(s)sinsx) e s2 a 2t ds = f(x), ( )x R. De la integrala Fourier, în ipoteza că f satisface condiţiile enunţate anterior, se ştie că: Dezvoltând f(x)= 1 π 0 f(x) = 1 π cos sx 0 ds f(ξ)coss(x ξ)dξ (5.23) f(ξ)cossξdξ+sinsx f(ξ)sinsξdξ ds şi comparând cu egalitatea precedentă, se observa că putem satisface condiţia iniţială luând A(s) = 1 π B(s) = 1 π f(ξ)cossξdξ f(ξ)sinsξdξ Înlocuind în () avem u(x, t) = 1 π e s2 a 2t ds f(ξ)coss(x ξ)dξ 0 26

sau, schimbând ordinea de integrare u(x, t) = 1 π f(ξ)dξ 0 e s2 a 2t cos s(x ξ)ds (5.24) Această funcţie satisface evident condiţia iniţială. Se mai poate arăta că () verifică (). Folosind formula lui Poisson e ax2 cos bxdx = 1 π 2 a e b 2 4a (5.25) () se poate scrie sub forma u(x, t) = 1 2a πt 0 f(ξ)e (x ξ)2 4a 2 t dξ, ( )x R, t [0, ). (5.26) Se demonstrează că () este unica soluţie a lui () în condiţiile iniţiale corespunzătoare. 6 Exemple Să revenim acum la exemplele din paragraful () cu câteva consideraţii fizice care au dus la obţinerea ecuaţiilor cu derivate parţiale. 6.1 Ecuaţia transferului de căldură Din punct de vedere microscopic, căldura este rezultatul mişcării termice dezordonate a particulelor materiale. La nivel macroscopic, gradul de încălzire al unui corp este determinat de temperatura punctelor sale. Între energia mişcării termice a unui 27

corp care ocupă domeniuld din spaţiu raportat la un sistem de coordonate rectangular Oxyz, sau, cum se mai spune, cantitatea de căldură Q(D) acumulată de acel corp şi temperatura punctelor sale T (x, y, z, t) esteolegătură simplă bine determinată. Vom considera că transferulde căldură delaoporţiune la altă porţiune a corpului se realizează numai prin transferul de energie de la o particulă la altă particulă, neglijând transferul prin radiaţie, prin procese chimice, etc. Dacă considerăm o suprafaţă S în interiorul corpului, energia termică a particulelor situate de o parte şi de alta a suprafeţei S se modificăîn timp fie datorită ciocnirilor particulelor între ele, fie datorită trecerii unor particule dintr-o parte în alta. Să presupunem căîn interiorul corpului sunt distribuite continuu surse de căldură. Câmpul vectorial al fluxului de căldură într-un corp este evident legat de temperatura punctelor sale. Căldura, arată experienţa, se transferă delapărţile cu temperatură mai ridicată spre cele cu temperatură mai joasă. Dacă temperatura exterioară T e şi intensitatea i asurselor interioare nu depind de timp, este de aşteptat că după unanu- mit timp temperatura în punctele corpului nu se mai modifică în timp, adică devine, cum se spune, staţionară. În acest caz problema transferului staţionar de căldură revine la rezolvarea ecuaţiei lui Poisson ΔT (x, y, z) = 1 i(x, y, z) a 2 ρc cu una din condiţiile la frontieră. Se subînţelege că valoarea iniţială a temperaturii nu mai contează. Dacă corpul care ocupă domeniuld este o bară cilindrică cu generatoarele paralele cu axa Ox, dimensiunile unei secţiuni 28

transversale fiind mici în comparaţie cu lungimea barei, dacă presupunem că prin suprafaţa laterală nu are loc transfer de căldură, că intensitatea surselor depinde numai de abscisa x a secţiunii transversale i(x, t), că temperatura iniţială depinde numai de abscisa secţiunii T 0 (x), se poate presupune şi căîn toate punctele unei secţiuni transversale temperatura este aceeaşi, T (x, t). În acest caz se obţine ecuaţia unidimensională a transferului de căldură T t = a2 2 T x + 1 2 ρc i. Aceasta trebuie rezolvată ţinând cont de condiţia iniţială T (x, 0) = T 0 (x) şi de condiţiile la capete în cazul când bara este finită 0 x l. Aceste condiţii la capete se deduc uşor din condiţiile cazului general. Cazul staţionar revine la rezolvarea ecuaţiei T (x) = 1 a 2 ρc i(x) cu condiţii la capetele barei. Revenind la ecuaţia omogenă a transferului de caldură care modelează cazulîn care între suprafaţa barei şi mediul înconjurător nu existăschimbdecăldură, adicăbaraesteizolatătermic: T t = T a2 2 x. 2 Presupunem bara nemărginităîn ambele sensuri şi vom căuta soluţia T : R [0, ) care satisface condiţia iniţială T (x, 0) = f(x), ( )x R, adică estedată distribuţia temperaturilor în bară lamomentul iniţial şi se cere distribuţia la un moment t arbitrar. 29

6.2 Ecuaţia undelor sonore O perturbaţie oarecare, cum ar fi sunetul produs de o persoană, se propagăîn aer sub forma undelor sonore. Dacăîntr-un capăt al unui tub cu gaz se mişcă un piston, perturbaţia produsă de acesta se propagă de-a lungul tubului. Ne propunem să stabilim ecuaţiile care guvernează un asemenea fenomen. Presupunem că în starea de echilibru la momentul 0, aerul (gazul) are o densitate ρ 0 constantăîn întreaga masă. Experienţa arată cămişcarea nu este izotermă, ci adiabatică: deplasările sunt mici, dar mult mai mari decât drumul liber mijlociu parcurs de moleculele de gaz în mişcarea termică, aşa că în timpul mişcării nu are loc un schimb de căldură. Forţele care acţionează asupra particulelor la momentul t sunt datorate presiunii din partea particulelor exterioare (neglijăm forţele exterioare cum ar fi de exemplu greutatea gazului). În fenomenul studiat, abaterile densităţii şi presiunii, potenţialul mişcării şi componentele vectorului deplasare sau viteză satisfac o aceeaşi ecuaţie de forma 2 u t 2 a2 Δu =0, unde constanta a = γ p 0, unde p 0 este valoarea presiunii la ρ 0 echilibru, ρ 0 este valoarea densităţii la echilibru, γ este o constantă care pentru aer are valoarea γ= 1.4,a are evident dimensiunea unei viteze. Ea se numeşte viteza sunetului. Ecuaţia de mai sus se numeşte ecuaţia undelor sonore. Dacănuam fi neglijat forţele exterioare, în dreapta ecuaţiei ar fi apărut un termen legat de densitatea f. O ecuaţie asemănătoare se obţine şi în cazul undelor electromagnetice, din acest motiv ecuaţia este 30

numită pur şi simplu ecuaţia undelor. Pentru aer, unde γ= 1.4, p 0 =1atm =1.01 105N/m 2, ρ 0 =1.29kg/m 3 găsim pentru viteza sunetului valoarea a = 332m/s. Newton, presupunând mişcarea izotermă obţinuse valoarea a = 280m/s. Cum mişcarea unui punct material este determinată decunoaşterea poziţiei este de aşteptat ca din cunoaşterea valorilor iniţiale să putem determina valorile lui u la orice moment. La fel în ce priveşte abaterea presiunii sau potenţialul. Am considerat că mişcarea are loc în întreg spaţiul. În cazul unui tub de secţiune S dispus după axaox toate mărimile considerate mai sus vor fi funcţii numai de abscisa x a unei secţiuni şi de timp şi vor verifica ecuaţii de ordinul doi lineare de forma 2 u t u 2 a2 2 x =0. 2 La această ecuaţie trebuie ataşate condiţii iniţiale { u(x, 0) = u0 (x), u t (x, 0) = v 0(x). În cazul unui tub de secţiune S dispus după axaox între x =0şi x = l la condiţiile iniţiale de mai sus trebuie adăugate condiţii care să precizeze comportarea la capete. Aceste condiţii se numesc condiţii la limită. Dacă de exemplu, capetele tubului sunt închise atunci trebuie verificate condiţii de forma { u(0,t)=u(l, t) =0, v(0,t)=v(l, t) =0. Dacă capetele tubului sunt deschise, atunci trebuie verificate 31

condiţii de forma u x (0,t)= u (l, t) =0, x v x (0,t)= v (l, t) =0. x În relaţiile de mai sus, v este componenta vitezei. 6.3 Ecuaţia oscilaţiilor transversale ale unei corzi Prin coardă se înţelege un mediu continuu unidimensional, o- mogen, elastic, perfect flexibil. Unidimensional înseamnă faptul că lungimea corzii este mult mai mare în comparaţie cu dimensiunile secţiunii sale. Omogen înseamnă faptulcăvompresupune că peste tot secţiunea corzii este aceeaşi şi că densitatea corzii-masa unităţii de volum-este o constantă ρ. Perfect flexibil înseamnă faptulcădacăluăm un punct M pe coardă acţiunea părţii din dreapta punctului M asupra părţii din stânga punctului M poate fi reprezentată numai printr-o forţă (vomarăta că aceasta trebuie să fie dirijată după tangenta la coardăîn punctul M), deci coarda nu opune nici o rezistenţă laîncovoieri. Elastic înseamnă că acea forţă este după legea lui Hooke proporţională cu alungirea relativă a corzii în punctul M. Vom presupune că în poziţia de echilibru coarda este dispusă după axaox şi că eaestetensionată, adică porţiunea din dreapta punctului M de abscisă x acţionează asupra porţiunii din stânga punctului M cu o forţă T 0 σ i, i fiind versorul axei Ox, T 0 o constantă. Vom studia numai oscilaţiile transversale ale corzii, adică vom presupune că punctul M care în poziţia de echilibru avea vectorul de poziţie x i, la momentul t în timpul oscilaţiilor va avea vectorul de poziţie x i + u(x, t) unde u(x, t) este un vector perpendicular pe Ox. Vom presupune că oscilaţiile sunt în 32

aşa fel încât în timpul oscilaţiilor alungirea relativă estenulăşi deci mărimea forţeicucareporţiunea din dreapta punctului M acţionează asupra porţiunii din stânga nu depinde de timp, ci cel mult de abscisă. Să notăm cu F (x, t) forţa cu care porţiunea din dreapta abscisei x acţionează asupraporţiunii din stânga abscisei x. Conform principiului acţiunii şi reacţiunii, porţiunea din stânga abscisei x va acţionaasupraporţiunii din dreapta cu forţa F (x, t). La momentul t în oscilaţie punctul M va avea viteza u t (x, t)şi acceleraţia 2 u (x, t). Pentru a găsi ecuaţiile de t2 mişcare vom aplica teoremele fundamentale ale mecanicii pentru oporţiune oarecare de coardă cuprinsăîntre abscisele x 1 <x 2. Forţa F (x, t) este dirijată după tangentăşi presupunând căforţa exterioarăesteşi ea transversalăşi T 0 tensiunea care era la echilibru. Rezultă că avem verificată relaţia 2 u t 2 (x, t) =a2 2 u x 2(x, t)+ f(x, t), unde a 2 = T 0 ρ. Notând cu u(x, t)şi f(x, t) componentele corespunzătoare lui u(x, t) respectiv f(x, t) pe una din direcţiile transversale avem pentru fiecare din ele aşa numita ecuaţie a oscilaţiilor corzii 2 u t (x, t) u 2 =a2 2 x2(x, t)+f(x, t), Mărimea introdusă a are dimensiunea unei viteze. Ca să putem cunoaşte oricare componentă u(x, t) trebuie să ştim valorile iniţiale { u(x, 0) = u0 (x), u t (x, 0) = v 0(x) 33

ale poziţiei şi vitezei iniţiale. Când coarda este fixată lacapete avem condiţiile la capete { u(0,t)=0, u(l, t) =0. Când capetele corzii se mişcă după anumite legi avem condiţii la capete de forma { u(0,t)=μ1 (t), u(l, t) =μ 2 (t). 6.4 Ecuaţia oscilaţiilor transversale ale membranei Prin membrană seînţelege un mediu continuu bidimensional, omogen, elastic, perfect flexibil. Prin bidimensional se înţelege faptul ca membrana are de fapt forma unei suprafeţe cu grosimea foarte mică. Omogen înseamnă faptulcă vom presupune că peste tot grosimea membranei este aceeaşi şi că densitatea superficială a membranei-masa unităţii de arie-este o constantă ρ. Perfect flexibil înseamnă faptulcădacăluăm un punct M pe membranăşi în acest punct considerăm o secţiune curbilinie, acţiunea parţii din dreapta punctului M asupra părţii din stânga punctului M poate fi reprezentată numai printr-o forţă dirijată după normala la secţiune în punctul M şi situatăîn planul tangent la membranăîn punctul M, deci membrana nu opune nicio rezistenţă laîncovoieri şi la compresiuni. Elastic înseamnă că acea forţă este după legea lui Hooke proporţională cu alungirea relativă a secţiunii în punctul M. Vom presupune că în poziţia de echilibru membrana este dispusă după planuloxy şi că eaestetensionatăuniform, adică dacăluăm un punct M pe membrană şi în acest punct considerăm o secţiune curbilinie de lungime ds, porţiunea din dreapta punctului M acţionează 34

asupra porţiunii din stânga punctului M cu o forţă demărime T 0 ds, T 0 o constantă, dirijată după normala la secţiune. Cu o precizie satisfăcătoare membranele de cauciuc reprezintă modelul unor asemenea membrane. Vom presupune că asupra membranei acţionează oforţănormală la planul de echilibru şi vom studia numai oscilaţiile transversale ale membranei. Vom presupune de asemenea că vibraţiile membranei sunt în aşa fel încât se pot neglija mărimile de ordinul doi. Ecuaţia oscilaţiilor transversale ale membranei este 2 u t 2 = a2 Δu + p(x, y, t), unde am notat a 2 = T 0 ρ, T 0=constant fiind mărimea iniţială a tensiunii, a având dimensiunea unei viteze. Dacă notăm cu D domeniul ocupat de proiecţia membranei pe planul Oxy, problema determinării vibraţiilor membranei revine la determinarea funcţiei u(x, y, t) careîn domeniul D verifică ecuaţia de mai sus. Trebuie să nemaidăm poziţia iniţială u(x, y, 0) = u 0 (x, y), (x, y) D şi viteza iniţială u t = v 0 (x, y), (x, y) D. t=0 Dacă pe frontiera domeniului D membrana este fixată, atunci vom avea şi condiţia la limită u(x, y, t) (x,y) D =0. 35

6.5 Ecuaţia oscilaţiilor longitudinale ale unei bare Studiem acum oscilaţiile longitudinale ale unei bare elasice omogene dispusă după segmentul (0, l) al axei reale. Punctele secţiunii de abscisă x vor suferi deplasări de mărime u(x, t) de-a lungul barei. După legea lui Hooke, porţiunea de bară din dreapta secţiunii de abscisă x va acţionaasupraporţiunii din stânga secţiunii de abscisă x cu o forţă egală cues u (x, t) dirijată după Ox, x E fiind modulul lui Young corespunzător materialului barei, S fiind aria secţiunii barei. Pentru a fi în condiţiile de liniaritate cerute de legea lui Hooke vom presupune că u (x, t) esteaşa x de mic încât putem neglija pătratul său şi produsele în care apare el împreună cu alte derivate. În aceste condiţii secţiunea S este practic constantă. Dacă notăm cu ρ 0 densitatea în starea neperturbată într-o secţiune oarecare, cu ρ(x, t) densitatea în secţiunea de abscisă x la momentul t şi cu f(x, t) mărimea forţei exterioare dirijată după Ox care acţionează asupra unităţii de masă iniţială a barei, rezultă 2 u t (x, t) = E 2 u 2 ρ 0 x2(x, t)+f(x, t), sau notând a 2 = E ρ 0 2 u t (x, t) u 2 =a2 2 x2(x, t)+f(x, t). Constanta a introdusă are dimensiunea unei viteze. Cum u x (x, t) =ρ 0 ρ(x, t), ρ 0 36

obţinem că densitatea verifică o ecuaţie de aceeaşi formă: 2 ρ t (x, t) 2 =a2 2 ρ x 2(x, t) ρ f 0 (x, t). x Funcţia u(x, t) trebuie determinatăcând cunoaştem valorile iniţiale { u(x, 0) = u0 (x), u t (x, 0) = v 0(x). şi anumite relaţii la capete. Dacă extremitatea stângă x =0 este fixată atunci u(0,t)=0. Dacă extremitatea stângă se mişcă după o anumită lege atunci u(0,t)=μ 1 (t). Dacă extremitatea dreaptă x = l este liberă şi nu există nicio forţă exterioară atunci tensiunea în această secţiune este nulă şi deci avem ES u (l, t) =0. x Dacă asupracapătului x = l acţionează oforţă F (t) atunci ES u (l, t) =F (t). x Dacă extremitatea dreaptă x = l este legată elastic la un sistem mobil atunci ES u x (l, t) = k( u(l, t) θ(t) ), k fiind coeficientul de elasticitate, iar θ(t) dând mişcarea sistemului. 37

7 EXERCIŢII 1. Să se reducă laformacanonicăurmatoarele ecuaţii şi să se găsească soluţia lor generală: a.) x 2 u xx y 2 u yy =0. R. u ξη 1 2 u η =0,ξ = xy, η = y ( y x ; u = ϕ(xy)+ xy ψ. x) b.) x 2 u xx +2xyu xy + y 2 u yy =0. R. u ηη =0,ξ = y ( y ) ( y x, η = y; u(x, y) =ϕ + yψ. x x) c.) u xx 2sinxu xy cos 2 xu yy cos xu y =0. R. u ξη =0,ξ = x + y cos x, η = x y +cosx; u(x, y) =ϕ(x + y cos x)+ψ(x y +cosx). 2. Să segăsească soluţia ecuaţiei 1 (a x)u xx 2 u x u yy =0, 0 <x<a, cu condiţiile { u(x, 0) = f(x) u. (x, 0) = g(x) y R. u = f(ξ)+f(η) + 1 ξη g(z) dz, 2 2 a z unde ξ = x a x 1 4 y2, η = x + a x 1 4 y2. 3. Să se reducă laformacanonică ecuaţiile: a.) u xx 2cosxu xy (3 + sin 2 x)u yy yu y =0. R. u ξη + η ξ 32 (u ξ u η )=0, ξ =2x +sinx + y, η =2x sin x y. 38

b.) u xx 2xu xy + x 2 u yy 2u y =0. R. u ηη u ξ =0,ξ = x2 + y, η = x. 2 c.) (1 + x 2 )u xx +(1+y 2 )u yy + xu x + yu y =0. R. u ξξ + u ηη =0,ξ =ln(x + 1+x 2 ), η =ln(y + 1+y 2 ). d.) yu xx + xu yy =0. R. În cadranele II şi IV forma canonică este 1 u ξη + 6(ξ η) ( u 1 ξ +u η )+ 6(ξ + η) (u ξ +u η ) = 0, cu schimbarea ξ = 2 3 ( x)3/2 + 2 3 y3/2, η = 2 3 ( x)3/2 + 2 3 y3/2 în cadranul II şi respectiv ξ = 2 3 x3/2 + 2 3 ( y)3/2, η = 2 3 x3/2 + 2 3 ( y)3/2. În cadranele I şi III se obţine forma canonică u ξξ + u ηη + 1 2 x 3/2 u η + 1 2 y 3/2 u ξ = 0, cu schimbarea ξ = 2 3 y 3/2, η = 2 3 x 3/2. e.) 2sinyu xy + u yy =0, (x, y) (0, ) (0,π) ξ η R. u ξη + 4 (ξ η) u 2 ξ =0, ξ =+2cosy, η = x 4. Folosind metoda separării variabilelor, ca în 5.1, determinaţi soluţia ecuaţiei u u t =4 2 care satisface condiţiile: x2 u(x, 0) = 3 sin 2x, x [0,π] u(0,t)=u(π, t) =0, t 0. R. Se obţine mai întâi că u(x, t) = n 1a n sin nx e 4n2t,apoi, punând t =0,din n 1a n sin nx =3sin2x rezultă a 2 =3,a n =0, 39

n N \{0, 2}, deci u(x, t) =3sin2x e 16t 5. Determinaţi funcţia u C 2( [0, π 2 ] [0, )) care verifică: 2 u u t 2 =9 2 x, (x, t) [0, π 2 2 ] [0, ) u(x, 0) = cos 2 x, x [0, π 2 ] u t (x, 0) = cos 2x, x [0, π 2 ] u x (0,t)= u x ( π 2,t)=0, t 0. R. Se obţine mai întâi că u(x, t) = n cos 6nt + d n sin 6nt)cos2nx ( ), n 0(c apoi, punând t =0,din n 0c n cos 2nx =cos 2 x = 1 2 1 2 cos 2x rezultă c 0 = 1 2, c 1 = 1 2,şi c n =0 n N \{0, 1}. Pentru a determina d n, se derivează relaţia ( ) în raport cu t, apoise pune t =0. Seobţine n 06nd n cos 2nx =cos2x, de unde d 1 = 1 6 şi d n =0, n 2. Se obţine u(x, t) = 1 2 +cos2x( 1 2 cos 6t + 1 6 sin 6t). 6. Integraţi ecuaţia u xx 1 4 u tt = 0 cu condiţiile { [ ] x, x 0, 1 2 u(x, 0) = 1 x, x ( 1 2, 1] u (x, 0) = 0 t u x (0,t)= u x (1,t)=0. 40

R. Folosind metoda separării variabilelor se obţine soluţia u(x, t) = n 1(A n cos 2nπt + B n sin 2nπt)sinnπx, unde A n = 4, n 2 π2 n =4k +1 0, n =4k +2 4, n =4k +3 n 2 π2 0, n =4k +4, k N, iarb n =0, n N. 41