Cuprins. 9.1 Elemente de analiză funcţională Spaţii Hilbert. Serii Fourier generalizate Valori proprii şi vectori proprii...

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Cuprins. 9.1 Elemente de analiză funcţională Spaţii Hilbert. Serii Fourier generalizate Valori proprii şi vectori proprii..."

Transcript

1 Cuprins 7 Ecuaţii cu derivate parţiale. Capitol introductiv Itinerar de analiză matematică în IR n Teorema divergenţei şi formulele lui Green Definiţii şi exemple Probleme ale teoriei ecuaţiilor cu derivate parţiale. Condiţii iniţiale şi la limită. Corectitudinea problemei Clasificarea ecuaţiilor cu derivate parţiale liniare de ordinul al doilea Definiţii. Noţiuni generale Curbe caracteristice. Forme canonice Ecuaţii cu coeficienţi constanţi Rezolvarea unor ecuaţii cu derivate parţiale liniare de ordinul al doilea Probleme eliptice. Ecuaţia lui Laplace Funcţii armonice. Exemple Soluţia fundamentală a operatorului Laplace Funcţia Green. Soluţia problemei Dirichlet Funcţia Green pe sferă. Formula lui Poisson Construcţia funcţiei Green folosind metoda imaginilor electrostatice Principii de maxim pentru operatorul Laplace Existenţa soluţiei pentru problema Dirichlet. Metoda lui Perron Ecuaţia lui Laplace. Metoda separării variabilelor Elemente de analiză funcţională Elemente de analiză funcţională Spaţii Hilbert. Serii Fourier generalizate Valori proprii şi vectori proprii

2 2 9.4 Soluţii slabe pentru probleme eliptice la limită. Metoda variaţională Probleme parabolice Ecuaţia propagării căldurii. Modele matematice Integrala Lebesgue şi spaţiile Sobolev Soluţii slabe pentru ecuaţia propagării căldurii Principii de maxim pentru operatorul căldurii Ecuaţii hiperbolice Probleme la limită pentru ecuaţii de tip hiperbolic Soluţii slabe pentru ecuaţia undei Propagarea undelor în spaţiu. Problema Cauchy

3 Capitolul 7 Ecuaţii cu derivate parţiale. Capitol introductiv 7.1 Itinerar de analiză matematică în IR n Notăm cu IR n spaţiul euclidian n-dimensional. Un punct din IR n are n coordonate x 1, x 2,..., x n iar vectorul său de poziţie va fi notat cu x. Astfel, x = (x 1, x 2,..., x n ). Pentru n {2, 3, 4} putem folosi şi alte litere pentru coordonate; de exemplu (x, y) pentru n = 2, (x, y, z) pentru n = 3 etc. Distanţa (euclidiană) dintre două puncte x = (x 1,..., x n ) şi y = (y 1,..., y n ) este dată de ( n ) 1/2 d(x, y) = (x i y i ) 2. i=1 Discul (sau bila) deschis de centru x 0 IR n şi rază ρ > 0 este dat de mulţimea punctelor x din IR n aflate faţă de x 0 la distanţă mai mică decât ρ Corespunzător, bila închisă este B(x 0, ρ) = {x : x IR n, d(x, x 0 ) < ρ}. B(x 0, ρ) = {x : x IR n, d(x, x 0 ) ρ}. Suprafaţa discului din IR n se numeşte sfera din IR n şi este dată de S(x 0, r) = {x; x IR n, d(x, x 0 ) = ρ}. Spunem că mulţimea A IR n este deschisă dacă pentru orice element x din A există o bilă cu centrul în x conţinută în A. Mulţimea A IR n se numeşte închisă dacă complementara sa este deschisă. 3

4 4 Spunem că punctul x este punct frontieră al mulţimii A dacă orice bilă cu centrul în x conţine atât puncte din A cât şi din complementara lui A. Mulţimea punctelor frontieră ale mulţimii A poartă denumirea de frontiera lui A şi se notează cu A. Este simplu de observat că B(x 0, ρ) = B(x 0, ρ) = S(x 0, ρ). Vom spune că frontiera A a mulţimii A este de clasă C 1 dacă în fiecare punct al frontierei există spaţiul tangent la A şi acesta variază continuu în raport cu punctul. În acest caz vom mai spune că frontiera este netedă. Mulţimea deschisă A IR n se numeşte conexă dacă oricare două puncte din A pot fi unite printr-o linie poligonală inclusă în A. O mulţime deschisă şi conexă din IR n se numeşte domeniu. În mod obişnuit (exceptând cazurile când se fac precizări speciale) pentru desemnarea unui domeniu vom folosi litera. Dacă este un domeniu din IR n iar u : IR este o funcţie din clasa C 1 (), definim gradientul funcţiei u, notat şi grad u sau u, funcţia cu valori vectoriale dată de ( u grad u = u =, u,, u ). x 1 x 2 x n Valoarea gradientului funcţiei u în punctul x = (x 1,..., x n ) este un vector care are drept componente valorile derivatelor parţiale ale lui u în acest punct. Ne putem imagina grad u ca un câmp de vectori ce are ca elemente vectorii, grad u(x), x. Câmpul vectorial u este orientat în direcţia celei mai mari creşteri a lui u. Dacă v = u, atunci u se numeşte potenţialul lui v. Fie v = (v 1, v 2,..., v n ) un câmp de vectori definit pe domeniul, IR n cu v i C 1 (), i = 1, n. Se numeşte divergenţa câmpului v, notat div v, funcţia div v = v 1 x 1 + v 2 x v n x n Spunem că v este câmp vectorial solenoidal în dacă div v = 0 în. Dacă n = 3 iar v = (v 1, v 2, v 3 ) este un câmp vectorial de clasă C 1, rotorul lui v, notat rot v este câmpul vectorial definit prin ( v3 rot v = v 2, v 1 v 3, v 2 v ) 1. x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 Observaţie. (i) Noţiunile de divergenţă şi rotor au fost introduse de Maxwell.

5 5 (ii) Pe viitor vom renunţa să punem săgeata ( ) deasupra literei ce desemnează câmpul vectorial, afară de cazul când este pericol de confuzie. Dacă λ = (λ 1, λ 2,..., λ n ) este un n-uplu de funcţii continue în domeniul iar u : IR este o funcţie diferenţiabilă, definim derivata direcţională λ u sau u λ prin u n λ (x) = λ(x) u(x) = λ i (x) u (x) = ( u(x), λ(x)). x i i=1 Dacă λ = ν, ν fiind versorul normalei exterioare la, de componente (ν 1,..., ν n ), atunci u n ν = u ν i = ( u, ν) x i i=1 se numeşte derivata normală sau derivata după direcţia normalei exterioare la. 7.2 Teorema divergenţei şi formulele lui Green Rezultatele următoare sunt foarte utile în studiul ecuaţiilor cu derivate parţiale. Deoarece ele sunt cunoscute de la cursurile de analiză matematică noi vom prezenta doar enunţurile şi câteva consecinţe importante. Pentru început prezentăm teorema lui Gauss Ostrogradski (F. Gauss ( ), M. Ostrogradski (1801) 1861)) cunoscută şi sub numele de teorema divergenţei, din care vom deduce identităţile lui Green. Teorema lui Gauss Ostrogradski (teorema divergenţei). Fie o mulţime deschisă şi mărginită din IR n cu frontiera de clasă C 1. Fie f : IR n astfel încât f C( ) C 1 (). Atunci are loc egalitatea div f dx = f ν dσ = (f, ν)dσ. Am notat cu f ν (respectiv (f, ν)) produsul scalar al vectorilor f şi ν unde ν(x) = (ν 1 (x),..., ν n (x)) este versorul normalei exterioare în punctul x. Două aplicaţii imediate ale teoremei divergenţei sunt cunoscute sub numele de formulele lui Green. Aceste formule se deduc uşor considerând două funcţii u, v : IR, suficient de netede şi aplicând teorema divergenţei funcţiei f = div(u v) împreună cu egalitatea evidentă div(u v) = u v + u v în,

6 6 unde operatorul este definit prin u = 2 u x u 1 x 2 n şi este cunoscut sub numele de operatorul lui Laplace. Obţinem astfel Prima formulă a lui Green. u, v C 1 ( ), v C( ), atunci Dacă u şi v sunt două funcţii astfel încât u v dx = u v dx + u v ν dσ. Inversând rolurile lui u şi v şi scăzând relaţiile obţinute deducem A doua formulă a lui Green. Fie u, v C 1 ( ) astfel încât u, v C( ). Atunci ( (u v v u)dx = u v ν v u ) dσ. ν Funcţia u C 2 () se numeşte armonică pe dacă u(x) = 0, x. Din prima formulă a lui Green rezultă Corolar (teorema lui Gauss). Dacă funcţia u C 2 () C 1 ( ) este armonică pe, atunci u dσ = 0. ν 7.3 Definiţii şi exemple O relaţie de forma ( (3.1) F x 1, x 2,..., x n, u, u x 1,..., u x n, 2 u x 2 1 ),..., k u x k,... = 0 i unde x = (x 1, x 2,..., x n ) IR n, reprezintă variabila independentă, iar u = u(x) = u(x 1, x 2,..., x n ) reprezintă funcţia necunoscută, se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale. Ordinul maxim de derivare al funcţiei u se numeşte ordinul ecuaţiei cu derivate parţiale.

7 7 Spunem că ecuaţia cu derivate parţiale (3.1) este liniară dacă F este liniară în raport cu funcţia necunoscută şi toate derivatele acesteia. Dacă F este liniară numai în raport cu derivatele de ordin maxim ale funcţiei necunoscute spunem că ecuaţia (3.1) este cvasiliniară. În celelalte cazuri ecuaţia se numeşte neliniară. În cele ce urmează ne vom ocupa mai ales de ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniare. Justificarea acestei opţiuni este dată de faptul că, pe de o parte aceste ecuaţii sunt mai uşor de abordat cu instrumente matematice aflate la îndemâna studenţilor, iar pe de altă parte ele constituie modele matematice acceptate pentru fenomene fizice clasice precum fenomenul difuziei, propagarea căldurii, propagarea undelor etc. Prin soluţie clasică pentru (3.1) înţelegem o funcţie u : IR care este continuă împreună cu toate derivatele sale parţiale care apar în ecuaţie şi, în plus, satisface relaţia (3.1) în orice punct x din. Spunem că ecuaţia (3.1) este ecuaţie liniară omogenă dacă se poate scrie sub forma Lu = 0 unde L este un operator liniar, adică L(u + v) = Lu + Lv şi L(αu) = αlu, α IR. În cazul în care ecuaţia (3.1) se scrie sub forma Lu = f unde L este operator liniar iar f : IR este o funcţie dată neidentic nulă, ecuaţia se numeşte neomogenă. Ca şi în cazul ecuaţiilor diferenţiale în cazul liniar omogen are loc principiul superpoziţiei: dacă u şi v sunt soluţii atunci u + v şi αu sunt, de asemenea, soluţii ale aceleiaşi ecuaţii. Soluţia generală a unei ecuaţii liniare neomogene se obţine ca sumă dintre soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate şi o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Prin exemplele care urmează ilustrăm cele trei tipuri de ecuaţii cu derivate parţiale: liniare, cvasiliniare şi neliniare. Ecuaţii cu derivate parţiale liniare 1. Ecuaţia lui Laplace: u = 0 2. Ecuaţia lui Poisson: u = f 3. Ecuaţia căldurii: u t u = f 4. Ecuaţia undelor: 2 u u = f. t2 Aceste ecuaţii vor apare frecvent în cursul de faţă.

8 8 Ecuaţiile lui Navier Stokes (cvasiliniare) v 3 t ν v + v v i + 1 p = f(x, t) x i=1 i ρ ρ + div(ρv) = 0. t Ele descriu mişcarea unui lichid sau gaz. Aici v (de coordonate v 1, v 2, v 3 ) este vectorul viteză al particulei de lichid care la momentul t se găseşte în punctul x(x 1, x 2, x 3 ); p este presiunea; ρ densitatea lichidului; ν coeficientul de vâscozitate, iar f vectorul forţelor masice care acţionează asupra mediului. Ecuaţiile Monge Ampere (neliniare) 2 u 2 ( u 2 ) 2 x 2 y 2 u = f(x, y). x y Aceste ecuaţii joacă un rol important în probleme de geometrie. Încheiem această prezentare cu ecuaţiile lui Maxwell care reprezintă corolar al celor prezentate anterior. un Ecuaţiile lui Maxwell Bazându-se pe experimentele realizate de Faraday şi Oersted, J.C. Maxwell a formulat sistemul de ecuaţii ce descriu câmpul electromagnetic dintr-un mediu material. Din acest motiv, acest set de ecuaţii este cunoscut sub numele de ecuaţiile câmpului electromagnetic sau ecuaţiile lui Maxwell. Acest sistem are forma div(ε E ) = 4πρ (3.2) div(µ H ) = 0 rot E = 1 c t (µ H ) rot H = 1 c t (ε E ) + 4π I c unde vectorul E (x, y, z, t) reprezintă intensitatea câmpului electric (cu componentele scalare E 1, E 2, E 3 ), H (x, y, z, t) este intensitatea câmpului magnetic (cu componentele scalare H 1, H 2, H 3 ), I (x, y, z, t) este densitatea curentului de conducţie, ρ(x, y, z) este densitatea sarcină, ε este constanta dielectrică a

9 9 mediului, µ este permeabilitatea magnetică a mediului iar c = Km/s reprezintă viteza de propagare a luminii în vid. Menţionăm faptul că în unele cazuri particulare ecuaţiile câmpului electromagnetic devin ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea. Prezentăm două astfel de cazuri. i) Presupunem că: ρ = 0, ε = constant, µ = constant şi I = λ E (legea lui Ohm, unde λ este o constantă). În acest caz, sistemul (3.2) devine div E = 0 div H = 0 rot E = µ H c t rot H = ε E c t + 4πλ E. c De aici rezultă că rot(rot E ) = µ ( ) H c rot t = µ c t (rot H ) = = µ c ( ε t c E t + 4πλ c E ) = µε c 2 2 E t 2 4πλµ c 2 E t Însă rot(rot E ) = (div E ) E = E. Rezultă că E = µε c 2 2 E t 2 + 4πλµ c 2 E t deci, pe componente E i verifică o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul doi cunoscută sub numele de ecuaţia telegrafiştilor. Acelaşi lucru (şi în acelaşi mod) se demonstrează despre H. ii) În cazul electrostatic ( H = 0 şi E nu depinde de timp), ecuaţiile lui Maxwell devin div(ε E ) = 4πρ, rot E = 0. În acest caz E = w 0 şi, presupunând ε constant, potenţialul w 0 verifică ecuaţia lui Poisson w 0 = 4π ρ ε

10 Probleme ale teoriei ecuaţiilor cu derivate parţiale. Condiţii iniţiale şi la limită. Corectitudinea problemei O ecuaţie cu derivate parţiale poate avea mai multe soluţii. Mulţimea lor formează soluţia generală. Pentru a individualiza o soluţie din mulţimea soluţiilor unei ecuaţii cu derivate parţiale trebuie să introducem condiţii suplimentare, condiţii care depind de tipul ecuaţiei studiate. Deoarece avem în vedere ecuaţiile fizicii matematice, ne vom referi la condiţiile impuse acestor ecuaţii. S-au conturat două tipuri de condiţii: condiţii iniţiale (ce vizează variabila timp) condiţii la limită (ce vizează variabilele spaţiale). Condiţiile iniţiale ne sunt familiare de la ecuaţii diferenţiale iar problemele ce constau în rezolvarea unei ecuaţii cu derivate parţiale cu condiţii iniţiale se numesc (ca şi în cazul ecuaţiilor diferenţiale) probleme Cauchy. Însă condiţiile iniţiale nu sunt suficiente pentru a asigura unicitatea soluţiei unei ecuaţii cu derivate parţiale deoarece aceasta depinde de mai multe variabile. De aceea este nevoie să introducem condiţii şi asupra variabilelor spaţiale. Acestea se mai numesc şi condiţii la limită, deoarece se referă la comportarea soluţiei pe frontiera domeniului. Următoarele trei tipuri de condiţii la limită sunt cele mai importante: (i) condiţii la limită de tip Dirichlet (ii) condiţii la limită de tip Neumann (iii) condiţii la limită de tip Robin. Problema Dirichlet (Neumann sau Robin) constă în rezolvarea unei ecuaţii cu derivate parţiale cu condiţii la limită de tip Dirichlet (Neumann sau Robin). Exemplificăm aceste tipuri de probleme pentru ecuaţia Poisson. Aceste probleme se formulează pentru ecuaţii ce descriu fenomene staţionare, independente de timp. Problema Dirichlet. Fie un domeniu mărginit cu frontiera. Să se determine u C 2 () C( ) astfel încât { u(x) = f(x), x u(x) = ϕ(x), x unde f C( ), ϕ C( ) sunt funcţii date.

11 11 Problema Neumann. Să se determine u C 2 () C( ) astfel încât u(x) = f(x), u (x) = g(x), ν x x u unde f C( ), g C( ) sunt funcţii date, fiind derivata funcţiei u ν după direcţia normalei exterioare în punctul x la frontiera ( ). Problema Robin. Să se determine u C 2 () C 2 ( ) astfel încât u(x) = f(x), α u (x) + βu(x) = h(x), ν x x α, β IR, α, β 0, α + β 0 iar f C( ) şi h C( ). Problemele mixte se formulează pentru ecuaţii cu derivate parţiale de tip parabolic sau hiperbolic. Problema mixtă de tip Cauchy Dirichlet constă în rezolvarea unei ecuaţii cu derivate parţiale cu condiţii iniţiale referitoare la variabila timp şi condiţii de tip Dirichlet referitoare la variabilele spaţiale. Analog se formulează şi alte tipuri de probleme mixte. Precizăm că se pot formula şi alte tipuri de probleme referitoare la ecuaţii cu derivate parţiale, însă doar cele prezentate aici vor fi tratate în capitolele următoare. Spunem că o problemă matematică este corect pusă dacă satisface următoarele cerinţe (j) Existenţa: există cel puţin o soluţie a problemei. (jj) Unicitatea: există cel mult o soluţie a problemei. (jjj) Continuitatea: soluţia depinde continuu de datele problemei. Prima cerinţă este o condiţie logică problema matematică are o soluţie deoarece ea trebuie să reflecte realitatea fizică. Dacă o problemă nu e bine pusă, spunem că este incorect pusă. Astfel de probleme, fie nu au soluţii, fie au mai multe soluţii, fie nu depind continuu de date. Ecuaţiile cu derivate parţiale oferă cele mai sugestive exemple de probleme incorect puse. Aceasta deoarece ele modelează fenomene fizice şi o neconcordanţă între natura fizică a fenomenului şi condiţiile impuse asupra soluţiei ecuaţiei conduc la probleme incorect puse.

12 12 Un exemplu standard (datorat lui J. Hadamard ( )) de problemă incorect pusă este dată de ecuaţia lui Laplace în semiplanul superior cu date iniţiale (P n ) Fie şi problema (P 0 ) u = 0, y > 0 u(x, 0) = 0, u sin nx (x, 0) = y n, x IR. u = 0, y > 0 u(x, 0) = 0, u (x, 0) = 0, x IR. y Observăm că u n (x, y) = sin nx(eny e ny ) 2n 2 şi u 0 (x, y) = 0 sunt soluţii ale problemelor (P n ) şi, respectiv, (P 0 ). Observăm că pentru n datele problemei (P n ) converg uniform la datele problemei (P 0 ). În schimb lim sup u n (x, y) u 0 (x, y) = +, (x, y), x 0, y > 0. n Prin urmare, soluţia nu depinde continuu de datele problemei, deoarece schimbări minore în datele problemei conduc la explozii ale soluţiei. 7.5 Clasificarea ecuaţiilor cu derivate parţiale liniare de ordinul al doilea Definiţii. Noţiuni generale Există diverse modalităţi de clasificare a ecuaţiilor cu derivate parţiale: liniare sau neliniare; staţionare sau de evoluţie etc. Cea mai uzitată clasificare este cea a ecuaţiilor cu derivate parţiale liniare de ordinul al doilea după tipul ecuaţiei. Conform acestei clasificări, majoritatea ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniare aparţine unuia din cele trei tipuri de bază: eliptic, parabolic, hiperbolic. Considerăm următoarea ecuaţie cu derivate parţiale liniară de ordinul al doilea n 2 u n (5.1) a ij (x) (x) + b i (x) u (x) + c(x)u(x) = f(x) x i x j x i i,j=1 i=1 unde a ij = a ji, 1 i, j n, b i, c şi f sunt funcţii definite pe un domeniu IR n.

13 13 Fie x un punct oarecare fixat. Polinomul: n P ( x, ξ) = a ij ( x)ξ i ξ j, i,j=1 unde ξ = (ξ 1,..., ξ n ) IR n, se numeşte polinomul caracteristic, în punctul x, al ecuaţiei (5.1). Ecuaţia (5.1) se numeşte eliptică în x, dacă P ( x, ξ) > 0, ξ IR n \{0} sau P ( x, ξ) < 0, ξ IR n \ {0}. Ecuaţia (5.1) se numeşte parabolică în punctul x, dacă P ( x, ξ) 0, ξ IR n sau dacă P ( x, ξ) 0, ξ IR n şi există cel puţin un vector ξ 0 0 astfel încât să avem P ( x, ξ 0 ) = 0. Ecuaţia (5.1) se numeşte hiperbolică în punctul x, dacă există cel puţin doi vectori nenuli, ξ şi η, astfel că P ( x, ξ) > 0 şi P ( x, η) < 0. Vom spune că ecuaţia (5.1) este eliptică, parabolică sau hiperbolică în, dacă păstrează acest atribut în toate punctele domeniului. Ţinând cont de aceste definiţii, se verifică uşor că: ecuaţia lui Laplace este eliptică, ecuaţia propagării căldurii este parabolică, iar ecuaţia propagării undelor este hiperbolică. Dacă a ij { 1, 0, 1} pentru i, j {1, 2,..., n}, spunem că ecuaţia (5.1) este de formă canonică. În acest caz, stabilirea tipului ecuaţiei este un lucru simplu. Ne punem întrebarea dacă nu se poate face o transformare asupra ecuaţiei (5.1) încât aceasta să capete forma canonică. Acest lucru este posibil prin schimbarea variabilelor independente în două cazuri: i) când n = 2 şi ii) când coeficienţii a ij sunt constanţi. În al doilea caz se face apel la rezultate de algebră liniară care permit aducerea unei forme pătratice la forma canonică (vezi [27]). Ne vom ocupa mai pe larg de primul caz. În acest caz, ecuaţia (5.1) are forma (5.2) A(x, y)u xx + B(x, y)u xy + C(x, y)u yy + +D(x, y)u x + E(x, y)u y + F (x, y)u = G(x, y) cu A, B, C, D, E, F, G funcţii continue în domeniul IR 2. ecuaţiei (5.1) în (x 0, y 0 ) este dat de semnul expresiei În acest caz, tipul B 2 (x 0, y 0 ) 4A(x 0, y 0 )C(x 0, y 0 ). Să facem schimbarea de variabile independente (5.3) ξ = ξ(x, y), η = η(x, y)

14 14 cu ξ, η de clasă C 2 în şi iacobianul J = diferit de zero în orice punct din. Trecând la noile coordonate avem u x = u ξ ξ x + u η η x u y = u ξ ξ y + u η η y ξ x η x ξ y η y u xx = u ξξ ξx 2 + 2u ξη ξ x η x + u ηη ηx 2 + u ξ ξ xx + u η η xx u xy = u ξξ ξ x ξ y + u ξη (ξ x η y + ξ y η x ) + u ηη η x η y + u ξ ξ xy + u η η xy u yy = u ξξ ξy 2 + 2u ξη ξ x η y + u ηη ηy 2 + u ξ ξ yy + u η η yy. Substituind aceste cantităţi în (2) obţinem (5.4) A u ξξ + B u ξη + C u ηη + D u ξ + E u η + F u = G unde A = Aξ 2 x + Bξ x ξ y + Cξ 2 y B = 2Aξ x η x + B(ξ x η y + ξ y η x ) + 2Cξ y η y C = Aη 2 x + Bη x η y + Cη 2 y D = Aξ xx + Bξ xy + Cξ yy + Dξ x + Eξ y E = Aη xx + Bη xy + Cη yy + Dη x + Eη y F = F G = G. Observăm că ecuaţia (5.4) are aceeaşi formă ca (5.2) iar natura sa a rămas invariantă în urma transformării (5.3) de iacobian nenul, deoarece B 2 4A C = J 2 (B 2 4AC). Întrucât pentru stabilirea tipului ecuaţiei (5.2) am folosit doar coeficienţii A, B, C, vom rescrie (5.2) ca (5.5) Au xx + Bu xy + Cu yy = H unde H = H(x, y, u, u x, u y ), iar ecuaţia (5.4) ca (5.6) A u ξξ + B u ξη + C u ηη = H unde H = H(ξ, η, u, u ξ, u η ).

15 Curbe caracteristice. Forme canonice Vom considera problema aducerii ecuaţiei (5.5) la forma canonică. aceasta, să observăm că A şi C se obţin din expresia Pentru Aϕ 2 x + Bϕ x ϕ y + Cϕ 2 y înlocuind pe ϕ(x, y) prin ξ(x, y) şi η(x, y). Să vedem dacă nu e posibil ca, pentru anumite funcţii ϕ, expresia de mai sus să se anuleze, adică (5.7) Aϕ 2 x + Bϕ x ϕ y + Cϕ 2 y = 0. Curbele integrale (5.8) ϕ(x, y) = constant ale acestei ecuaţii neliniare cu derivate parţiale de ordinul întâi se numesc curbe caracteristice ale ecuaţiei (5.5). Din (5.8) deducem dϕ = ϕ x dx + ϕ y dy = 0 sau ϕ x = dy ϕ y dx Înlocuind ultimul raport în relaţia (5.7), obţinem că aceste caracteristici sunt soluţii ale ecuaţiei diferenţiale ordinare (5.9) A ( ) dy 2 B dy dx dx + C = 0. Interpretând aceasta ca o ecuaţie algebrică de gradul al doilea, găsim dy ( (5.10) dx = B + ) B 2 4AC /2A dy ( (5.11) dx = B ) B 2 4AC /2A. Aceste ecuaţii se numesc ecuaţii caracteristice pentru familia de curbe din planul xoy unde ξ = constant, η = constant. Integrând cele două ecuaţii se obţin curbele caracteristice ce pot fi scrise sub forma ϕ 1 (x, y) = c 1, ϕ 2 (x, y) = c 2, c 1, c 2 = constant. Deci transformarea ξ = ϕ(x, y), η = ϕ 2 (x, y) va aduce ecuaţia (5.5) la forma canonică.

16 16 a. Ecuaţiile de tip eliptic. Dacă B 2 4AC < 0, ecuaţia (5.9) interpretată ca ecuaţie algebrică în dy/dx nu are soluţii reale, dar are două soluţii complex conjugate care sunt funcţii complexe, continue ce depind de variabilele reale x şi y. Astfel, în acest caz, nu avem curbe caracteristice reale. Dacă presupunem coeficienţii A, B, C funcţii analitice de argumentele lor (adică dezvoltabile în serie Taylor în jurul fiecărui punct din domeniul lor de definiţie), atunci putem considera ecuaţia (5.9) pentru x şi y variabile complexe. Deoarece ξ şi η sunt complexe, introducem noile variabile reale α = (ξ + η)/2, β = (ξ η)/2i astfel că (5.12) ξ = α + iβ, η = α iβ. Pentru început transformăm ecuaţia (5.5). Obţinem (5.13) A (α, β)u αα + B (α, β)u αβ + C (α, β)u ββ = H 1 (α, β, u, u α, u β ) în care coeficienţii au aceeaşi formă precum cei din ecuaţia (5.6). Folosind transformarea (5.12), ecuaţiile A = 0, C = 0 devin sau (Aα 2 x + Bα x α y + Cα 2 y) (Aβ 2 x + Bβ x β y + Cβ 2 y)+ + i[2aα x β x + B(α x β y + α y β x ) + 2Cα y β y ] = 0 (Aα 2 x + Bα x α y + Cα 2 y) (Aβ 2 x + Bβ x β y + Cβ 2 y) i[2aα x β x + B(α x β y + α y β x ) + 2Cα y β y ] = 0 Aceste ecuaţii sunt satisfăcute dacă (A C ) + ib = 0 (A C ) ib = 0. A = C şi B = 0. Prin urmare, ecuaţia (5.13) se transformă în u αα + u ββ = H 2 (α, β, u, u α, u β ) unde H 2 = H 1 /A. Aceasta este cunoscută sub numele de forma canonică a ecuaţiei eliptice.

17 17 Exemplu. Ecuaţia u xx + x 2 u yy = 0 este eliptică în planul xoy cu excepţia axei x = 0 deoarece B 2 4AC = 4x 2 < 0, x 0. Ecuaţiile caracteristice sunt dy dx = ix dy dx = ix care, prin integrare, dau: 2y ix 2 = c 1, 2y + ix 2 = c 2. Astfel, dacă luăm { ξ = 2y ix 2 η = 2y + ix 2 şi, deci, α = 1 (ξ + η) = 2y 2 obţinem forma canonică β = 1 (ξ η) = x2 2i u αα + u ββ = 1 2β u β. Observaţie. Menţionăm faptul că o ecuaţie poate să fie de tipuri diferite în porţiuni diferite ale domeniului. Astfel ecuaţia lui Tricomi u xx + xu yy = 0 este eliptică pentru x>0 şi hiperbolică pentru x<0, deoarece B 2 4AC= 4x. Ecuaţia lui Tricomi apare în aerodinamică: domeniul eliptic corespunde mişcării supersonice iar domeniul hiperbolic mişcării subsonice. b. Ecuaţiile de tip parabolic. În acest caz B 2 4AC = 0 şi e- cuaţiile (5.10), (5.11) coincid. Astfel, există o singură familie de caracteristici, obţinând o singură integrală ξ = constant sau η = constant. Deoarece B 2 4AC = 0 şi A = 0, avem că: ( A = Aξx 2 + Bξ x ξ y + Cξy 2 = Aξx + ) 2 Cξ y = 0

18 18 de unde rezultă că B = 2Aξ x η x + B(ξ x ξ y + ξ y η x ) + 2Cξ y η y = ( = 2 Aξx + ) ( Cξ y Aηx + ) Cη y = 0. Luând valori arbitrare pentru funcţiile η(x, y) care sunt funcţional independente de ξ(x, y) (de exemplu, η = y), iacobianul nu se anulează în domeniul de parabolicitate. Împărţind (5.6) prin C, găsim u ηη = H 3 (ξ, η, u, u ξ, u η ), C 0 sau, dacă alegem η = constant ca integrală primă în sistemul (5.10) (5.11) u ξξ = H 3 (ξ, η, u, u ξ, u η ). Una din aceste forme poartă denumirea de forma canonică a ecuaţiei parabolice. Exemplu. Ecuaţia x 2 u xx + 2xyu xy + y 2 u yy = 0 are discriminantul = B 2 4AC = 4x 2 y 2 4x 2 y 2 = 0. Deci ecuaţia este parabolică în tot planul. Ecuaţia caracteristică este dy dx = y x şi curba caracteristică corespunzătoare y x = constant. Luând transformarea de coordonate { ξ = y x η = y obţinem u ηη = 0, pentru y 0. c. Ecuaţiile de tip hiperbolice. Dacă B 2 4AC > 0, ecuaţiile (5.10) şi (5.11) dau două familii reale şi distincte de caracteristici. Ecuaţia (5.6) se reduce la (5.14) u ξη = H 1

19 19 unde H 1 = H /B. Deoarece iacobianul transformării este nenul, se arată simplu că B 0. Această formă se mai numeşte prima formă canonică a ecuaţiei hiperbolice. Dacă introducem noile variabile independente { α = ξ + η atunci ecuaţia (5.14) se transformă în β = ξ η u αα u ββ = H 2 (α, β, u, u α, u β ) care se numeşte a doua formă canonică a ecuaţiei hiperbolice. Exemplu. Să se stabilească tipul şi să se aducă la forma canonică ecuaţia y 2 u xx x 2 u yy = 0. Rezolvare. În acest caz, A=y2, B=0, C = x 2, deci B 2 4AC=4x 2 y 2 >0. Prin urmare, ecuaţia este hiperbolică în tot planul xoy, cu excepţia axelor de coordonate x = 0 şi y = 0. Din ecuaţiile caracteristice (5.10), (5.11) obţinem dy dx = x y dy dx = x y care, prin integrare, conduc la 1 2 y2 1 2 x2 = c y x2 = c 2. Pentru a aduce ecuaţia iniţială la forma canonică, facem transformarea de variabile ξ = 1 2 y2 1 2 x2 Astfel η = 1 2 y x2. u x = u ξ ξ x + u η η x = xu ξ + xu η u y = u ξ ξ y + u η η y = yu ξ + yu η u xx = x 2 u ξξ 2x 2 u ξη + x 2 u ηη u ξ + u η u yy = y 2 u ξξ + 2y 2 u ξη + y 2 u ηη + u ξ + u η

20 20 iar ecuaţia iniţială capătă forma canonică u ξη = η 2(ξ 2 η 2 ) u ξ ξ 2(ξ 2 η 2 ) u η Ecuaţii cu coeficienţi constanţi Dacă în ecuaţia (5.15) Au xx + Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + F u = G(x, y) coeficienţii A, B, C, D, E, F sunt constante reale, ecuaţia îşi păstrează tipul în tot domeniul deoarece discriminantul B 2 4AC este o constantă. Din ecuaţiile caracteristice dy ( dx = B + ) B 2 4AC dy ( dx = B B 2 4AC /2A ) /2A rezultă curbele caracteristice ( ) B + B y = 2 4AC x + c 1 2A ( ) B B y = 2 4AC x + c 2 2A care sunt două familii de drepte. În consecinţă, transformările de coordonate se vor face cu formulele unde { ξ = y λ1 x η = y λ 2 x λ 1,2 = B ± B 2 4AC 2A a. Cazul eliptic. Acesta este cazul când B 2 4AC < 0, iar caracteristicile sunt complex conjugate. Transformarea de coordonate e dată de { ξ = y (a + ib)x η = y (a ib)x

21 21 unde a = B/2A şi b = 4AC B 2 /2A sunt numere reale. Se introduc noile variabile α = 1 (ξ + η) = y ax 2 β = 1 (ξ η) = bx 2i care vor aduce ecuaţia (5.15) la forma canonică. Exemplu. Ecuaţia u xx + u xy + u yy + u x = 0 este eliptică în plan deoarece B 2 4AC = 3 < 0. Schimbările succesive de variabile ( ) 1 3 ξ = y 2 + i x 2 α = 1 2 (ξ + η) = y 1 2 x ( ) 1 3 η = y 2 i x β = i (ξ η) = 2 x conduc la forma canonică u αα + u ββ 2 3 u α u β = 0. b. Cazul parabolic. Când B 2 4AC = 0, ecuaţia este de tip parabolic, caz în care există o singură familie de curbe caracteristice dată de y = (B/2A)x + c 1. Aceasta ne permite să trecem la noile variabile { ξ = y (B/2A)x η = hy + κx unde h şi κ sunt constante astfel ca iacobianul transformării să fie nenul. Cu aceste transformări de variabile ecuaţia devine u ηη = D 1 u ξ + E 1 u η + F 1 u + G 1 (ξ, η) uinde D 1, E 1, F 1 sunt constante. Dacă B = 0, din relaţia B 2 4AC = 0 se vede că A = 0 sau C = 0, deci ecuaţia este în formă canonică.

22 22 Exemplu. Ecuaţia u xx 4u xy + 4u yy = e y este parabolică deoarece A = 1, B = 4, C = 4 şi B 2 4AC = 0. Astfel, schimbarea de variabile { ξ = y + 2x aduce ecuaţia la forma u ηη = 1 4 en. η = y c. Cazul hiperbolic. Dacă B 2 4AC > 0, ecuaţia este de tip hiperbolic. Folosind transformarea de coordonate { ξ = y λ1 x η = y λ 2 x cu λ 1,2 = B ± B 2 4AC 2A obţinem forma canonică a ecuaţiei date. Dacă A = 0, se va considera transformarea { ξ = x η = x (B/C)y care aduce ecuaţia (5.15) la forma canonică. Exemplu. Ecuaţia 4u xx + 5u xy + u yy + u x + u y = 2 este de tip hiperbolic deoarece B 2 4AC = 9 > 0. Ecuaţiile caracteristice sunt şi furnizează transformarea dy dx = 1 dy dx = 1 4 { ξ = y x η = y (x/4) care reduce ecuaţia la forma: u ξη = 1 3 u η 8 9

23 Rezolvarea unor ecuaţii cu derivate parţiale liniare de ordinul al doilea Problema găsirii soluţiei generale pentru o ecuaţie cu derivate parţiale este dificilă. Vom arăta că forma canonică a unei ecuaţii cu derivate parţiale liniare de ordinul al doilea facilitează în anumite situaţii mai ales în cazul hiperbolic obţinerea soluţiei generale. Exemplul 1. Ecuaţia x 2 u xx + 2xyu xy + y 2 u yy = 0 este hiperbolică. Prin transformarea ξ = y/x, η = y, această ecuaţie capătă forma u ηη = 0 pentru y 0 care, prin integrare de două ori în raport cu η, dă u(ξ, η) = ηf(ξ) + g(ξ) unde f(ξ) şi g(ξ) sunt funcţii arbitrare. Revenind la variabilele x şi y obţinem Exemplul 2. Ecuaţia u(x, y) = yf ( ( y y + g x) x) 2u xx 3u xy 2u yy = 0 este hiperbolică şi prin transformarea: ξ = y 1 x, η = y + 2x conduce la 2 u ξη = 0 cu soluţia generală u(ξ, η) = f(ξ) + g(η), unde f şi g sunt funcţii arbitrare. Revenind la variabilele x şi y, obţinem u(x, y) = ϕ(x 2y) + ψ(2x + y), cu ϕ şi ψ funcţii arbitrare. Exemplul 3. Ecuaţia 4u xx + 5u xy + u yy + u x + u y = 2 este adusă prin transformarea: ξ = y x, η = y (x/4) la forma canonică u ξη = 1 3 u ξ 8 9

24 24 Dacă notăm ϑ = u η, ecuaţia precedentă devine ϑ ξ = 1 3 ϑ 8 9 care este o ecuaţie cu variabile separabile şi are soluţia: ϑ = e(ξ/3) g(η). Integrând acum această relaţie în raport cu η, obţinem u(ξ, η) = 8 3 η g(η)eξ/3 + f(ξ) unde f(ξ) şi g(η) sunt funcţii arbitrare. Soluţia generală a ecuaţiei iniţiale este u(x, y) = 8 ( y x ) + 1 ( g y x ) e 1 3 (y x) + f(y x). 4 Exemplul 4. Ecuaţia u tt c 2 u xx = 0 devine, prin schimbarea de variabile: ξ = x + ct, η = x ct de forma u ξη = 0 care are soluţia generală şi, revenind la variabilele x şi t, unde ϕ şi ψ sunt funcţii arbitrare. u(ξ, η) = ϕ(ξ) + ψ(η) u(x, t) = ϕ(x + ct) + ψ(x ct),

25 Capitolul 8 Probleme eliptice. Ecuaţia lui Laplace 8.1 Funcţii armonice. Exemple Fie un domeniu din R n. Ecuaţia lui Laplace (1.1) u(x) = 0, x = (x 1,..., x n ) este, după cum am văzut, cea mai simplă şi în acelaşi timp cea mai importantă ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea de tip eliptic. Prin definiţie, spunem că funcţia u C 2 () este armonică în dacă satisface ecuaţia lui Laplace în. Este cunoscut din fizică faptul că potenţialul electrostatic în fiecare punct (x, y, z) (0, 0, 0) datorat unei sarcini electrice unitare situate în originea lui IR 3 este proporţional cu 1 unde r este distanţa de la punct la origine, r r = x 2 + y 2 + z 2. Un calcul simplu arată că funcţia (1.2) u = 1 r, r 0 este armonică în IR 3 \{0}. Funcţia u definită prin relaţia (1.2) se distinge prin aceea că prezintă o simetrie faţă de origine; cu alte cuvinte, depinde numai de distanţa radială r faţă de origine fără a depinde şi de unghiurile θ şi ϕ (Fig.1.1). 25

26 26 z x r ϕ θ (x, y, z) (r, θ, ϕ) x = r sin ϕ cos θ y = r sin ϕ sin θ z = r cos ϕ y Fig.1.1. Coordonate sferice în IR 3 Acest fapt ne sugerează să căutăm, pentru n 2, funcţii care depind doar de r (r = (x x x2 n) 1/2 ). Pentru aceasta avem nevoie de expresia laplaceanului în coordonate sferice (polare în IR 2 ). Ţinând cont de definiţia lui şi de transformarea coordonatelor din carteziene în coordonate sferice (polare) rezultă (vezi [2], p.6) u = 1 r n 1 ( r r n 1 u r ) + 1 r 2 Λ nu unde Λ n este un operator diferenţial de ordinul al doilea ce conţine doar derivate în raport cu coordonatele unghiulare. De exemplu, în IR 2 iar în IR 3 Λ 3 u = 1 sin ϕ ( ϕ Λ 2 u = 2 u θ 2 sin ϕ u ϕ ) + 1 sin 2 ϕ 2 u θ 2 Având în vedere că funcţia u depinde doar de r şi este armonică, rezultă ( r r ) n 1 u r = 0

27 27 care este o ecuaţie diferenţială elementară cu soluţia C 1 ln r + C 2, r > 0 (dacă n = 2) (1.3) u(r) = C 1 r n 2 + C 2, r > 0 (dacă n 3). Observaţie. La acelaşi rezultat ajungem dacă luăm din start unde v : [0, ) IR. Obţinem care implică u(x) = v(r), r = (x x 2 n) 1/2 u xi = v (r) x i r u xi x i = v (r) x2 i r 2 + v (r) r2 x 2 i r 3 de unde u(x) = v (r) + n 1 v (r). r Aşadar, faptul că funcţia u este armonică revine la v (r) + n 1 r v (r) = 0. Rezolvând această ecuaţie, găsim din nou relaţia (1.3). Menţionăm că această relaţie dă forma funcţiilor armonice cu simetrie radială definite în tot spaţiul (exceptând originea). Transformarea lui Kelvin. Problema lui Dirichlet exterioră În IR n (n 2) fixăm punctul A de coordonate (a 1, a 2,..., a n ). Se numeşte transformare prin inversiune de putere R 2, în raport cu punctul A, operaţia care face ca punctului M(x 1, x 2,..., x n ) să-i corespundă punctul P (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) (coliniar cu A şi M) astfel ca (1.4) AM AP = R 2. (În relaţia (1.4) membrul stâng reprezintă produsul scalar al vectorilor AM şi AP.) Din coliniaritatea punctelor A, M, P şi relaţia (1.4) rezultă n (1.5) ξ k a k = (x k a k )R 2 / (x i a i ) 2, k = 1, 2,..., n. i=1

28 28 Dacă punem r 2 = n AM 2 = (x k a k ) 2 din relaţia (1.5) deducem că transformarea punctuală căutată este dată i=1 de ξ k = a k + R 2 x k a k r 2, k = 1, 2,.., n. Se pune următoarea problemă: Presupunând că funcţia u : IR n IR este armonică, în argumentele ξ 1, ξ 2,..., ξ n, în ce caz funcţia v : IR n IR definită prin ( v(x 1,..., x n ) = r λ u u 1 + R 2 x 1 a 1, r 2,a n + R 2 x ) n a n r 2 ( n ) 1/2 unde r = (x k a k ) 2 este şi ea armonică. Calculând laplaceanul funcţiei v găsim n v = u (r λ r λ u n ) r λ 2 u x k x k x 2 = k [ λ n = 2(λ 2 + n)r λ 2 2 u (ξ k a k ) u ] ξ k şi, cum vrem ca v = 0, pentru orice u rezultă că trebuie să luăm λ = 2 n. În acest fel am demonstrat Teorema 1.1. (teorema lui Kelvin) Dacă funcţia u(ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) este armonică în ξ 1, ξ 2,..., (x) n atunci şi funcţia v(x 1, x 2,..., x n ) = 1 ( r n 2 u a 1 + R 2 x 1 a 1, r 2,a n + R 2 x ) n a n r 2 ( n ) 1/2 unde r = (x k a k ) 2 este armonică în x 1, x 2,.., x n. În particular, dacă A este originea, R = 1, şi notăm cu x norma vectorului (x 1,..., x n ), din teorema de mai sus deducem că dacă funcţia u(x 1, x 2,..., x n ) este armonică, atunci şi funcţia este armonică. 1 x n 2 u ( x1 x 2, x 2 ) x, 2, x n x 2

29 Observaţii. Cu ajutorul aceste transformări punctuale, care transformă o funcţie armonică într-o altă funcţie armonică, putem să rezolvăm problema lui Dirichlet (sau Neumann) exterioră. Prin problemă Dirichlet (sau Neumann) exterioară (asociată operatorului ) se înţelege determinarea funcţiei armonice u în domeniul infinit exterior unui domeniu finit cu frontiera, cunoscând valorile lui u (sau ale derivatei sale normale) pe. Pentru a rezolva (de exemplu) problema lui Dirichlet exterioară, vom lua un punct A în interiorul domeniului, pentru exteriorul căruia vrem să rezolvăm problema şi fie o sferă de centru A şi de rază R aleasă în aşa fel încât să fie în întregime situată în. Transformând tot spaţiul prin inversiunea de centru A şi de putere R 2, exteriorul lui se va transforma în interiorul unui domeniu situat în interiorul sferei de mai sus. Vom rezolva apoi problema lui Dirichlet pentru domeniul finit cu valorile lui u date pe şi transformate pe frontiera a lui. Dacă n = 3 şi u (r, θ, ϕ) este soluţia problemei lui Dirichlet pentru, cu valoarea pe frontieră u = u b, atunci soluţia problemei exterioare relative la domeniul exterior lui va fi u(r, θ, ϕ) = R2 r u ( R 2 r, θ, ϕ unde b este valoarea (dată) pe care o ia u la infinit. În mod analog se va reduce şi problema lui Neumann exterioră la o problemă interioră. ) + b Soluţia fundamentală a operatorului Laplace Un rol esenţial în studiul operatorului al lui Laplace îl joacă soluţia fundamentală. Definiţia 2.1. Funcţia E : IR n \{0} IR definită prin (2.1) E(x) = 1 (n 2)ω n x, n 2 dacă n 3 1 ln x, dacă n = 2 2π se numeşte soluţia fundamentală a operatorului Laplace.

30 30 În formula (2.1) ω n desemnează ( ) aria sferei unitate din IR n, care se calculează cu formula ω n = 2π n/2 Γ unde Γ este funcţia lui Euler dată prin n 2 Γ(s) = t s 1 e t dt, s > 0. 0 Din punct de vedere fizic, E reprezintă potenţialul electrostatic generat de o sarcină unitate negativă fixată în origine. În propoziţia următoare dăm câteva proprietăţi ale soluţiei fundamentale pentru operatorul lui Laplace. Propoziţia 2.1. Funcţia E definită de (2.1) are următoarele proprietăţi: (i) E C (IR\{0}), (ii) E, E xi L 1 loc (IRn ), (iii) E(x) = 0, x 0. Demonstraţie. Proprietăţile (i) şi (iii) sunt imediate. În ce priveşte proprietatea (ii) această rezultă din faptul că: x α dx < dacă şi numai dacă α < n. x r Rezultatul următor va fi utilizat la demonstrarea existenţei soluţiei pentru problema Dirichlet prin metoda lui Perron. Propoziţia 2.2. Fie f C0 2(IRn ) şi u(x) = IR ne(x y)f(y)dy, x IRn. Atunci (j) u C 2 (IR n ). (jj) u = f în IR n. Demonstraţie. (j) Făcând schimbarea de variabilă x y z obţinem (2.2) u(x) = z)dz. IR ne(z)f(x Din această scriere, folosind faptul că funcţia f este de clasă C 2 şi are suportul compact în IR n, rezultă că u C 2 (IR n ). (jj) Vom face demonstraţia pentru n 3, cazul n = 2 tratându-se în mod analog.

31 31 Fie ε > 0 şi x IR n. Din (2.2) rezultă (2.3) u(x) = E(z) x f(x z)dz + B(0,ε) IR n \B(0,ε) E(z) x f(x z)dz. Vom arăta că putem trece la limită cu ε 0 în relaţia (2.3) pentru a obţine (jj). Avem E(z) x f(x z)dz B(0,ε) (2.4) C D 2 f L (IR n ) E(z) dz Cε 2. B(0,ε) Ultima inegalitate se obţine trecând (eventual) la coordonate polare (vezi P 10, [2]). Apoi din formula lui Green E(z) x f(x z)dz = E(z) x f(x z)dz+ IR n \B(0,ε) IR n \B(0,ε) + E(z) f (x z)dσ x. B(0,ε) ν z La fel ca în cazul precedent, obţinem E(z) f (x z)dσ z B(0,ε) ν (2.5) z C Df L (IR n ) E(z) dσ Cε. Vom arăta că IR n \B(0,ε) B(0,ε) E(z) x f(x z)dz f(x) pentru ε 0. Aplicând prima formulă a lui Green, obţinem E(z) x f(x z)dz = IR n \B(0,ε) + IR n \B(0,ε) E(z)f(x z)dz = B(0,ε) B(0,ε) deoarece funcţia E este armonică în IR n \B(0, ε). Apoi E(z) ν f(x z)dσ z+ E(z) ν f(x z)dσ z, E(z) ν = E(z) ν(z) = 1 ω n ε n 1, z B(0, ε),

32 32 deoarece ν(z) = z z = z, z B(0, ε). De aici rezultă ε 1 E(z) x f(x z)dz = IR n \B(0,ε) ω n ε n 1 f(x z)dσ z. B(0,ε) Teorema de medie şi continuitatea funcţiei f implică 1 (2.6) ω n ε n 1 f(x z)dσ z f(x) pentru ε 0. B(0,ε) Rezumând, relaţiile (2.4), (2.5), (2.6) demonstrează afirmaţia (jj). Teorema care urmează dă o reprezentare a unei funcţii u de clasă C 2 în în funcţie de valorile laplaceanului u în şi de valorile lui u şi u ν pe frontiera. Teorema 2.1. (Teorema Riemann Green) Dacă este o mulţime deschisă şi mărginită din IR n cu frontiera netedă iar u C 2 () C 1 ( ) cu proprietatea u C( ), atunci are loc relaţia: u(y) u(y)e(x y)dy ν E(x y)dσ y+ u(x), x (α) (2.7) + u(y) 1 E(x y)dσ y = u(x), x (β) ν y 2 0, x IR n \ (γ) Demonstraţie. (α) Fie x şi ε > 0 astfel încât B(x, ε). Aplicând formula a doua a lui Green domeniului \B(x, ε) şi ţinând cont că (\B(x, ε)) = B(x, ε), obţinem (u(y) y E(x y) E(x y) u(y))dy = (2.8) = + \B(x,ε) ( B(x,ε) Însă y E(x y) = 0 în \B(x, ε) şi u ν (y)e(x y)dσ y 0, B(x,ε) u(y) E(x y) u(y) ) E(x y) dσ y + ν y ν ( E(x y) u(y) u(y) ) E(x y) dσ y. ν y ν B(x,ε) u(y) E(x y)dσ y u(x) ν y

33 33 deoarece ν y este normala la B(x, ε) în punctul y îndreptată spre interiorul lui B(x, ε). Trecând la limită cu ε 0 în formula (2.8), obţinem rezultatul dorit. (β) Pentru x şi ε > 0 (suficient de mic) notăm: ε = \B(x, ε), Γ ε = B(x, ε), Σ ε = B(x, ε). Aplicând formula a doua a lui Green perechii de funcţii u şi E pe domeniul ε, obţinem (E(x y) u(y) u(y) y E(x y))dy = ε ( (2.9) = E(x y) u(y) ) E(x y) u(y) dσ y + \Γ ε ν ν y ( + E(x y) u(y) ) E(x y) u(y) dσ y. ν ν y Σ ε Din cauză că E este armonică în ε şi pentru ε 0 avem: E(x y) u(y)dy E(x y) u(y)dy ε u(y) \Γ ε ν E(x y)dσ u(y) y ν E(x y)dσ y E(x y) E(x y) dσ y u(y) dσ y ν y ν y u(y) \Γ ε E(x y) u(y) Σ ε ν dσ y 0 E(x y) u(y) dσ y 1 Σ ε ν y 2 u(x) din formula (2.9) rezultă, prin trecere la limită, afirmaţia (β). (γ) Luând x IR n \ şi aplicând formula lui Green pe domeniul, obţinem (E(x y) u(y) u(y) y E(x y))dy = = ( E(x y) u(y) ν u(y) E(x y) ν y şi ţinând cont că y E(x y) = 0, pentru y obţinem rezultatul dorit. Cu aceasta teorema este demonstrată. ) dσ y

34 34 Corolarul 2.1. Dacă este o submulţime deschisă a lui IR n şi u C 2 () este o funcţie armonică, atunci u C (). Demonstraţie. Fie x 0 şi ε > 0 astfel ca B(x 0, ε). Aplicând formula (2.7) pentru bila B(x 0, ε), rezultă u(x) = E(x y) u(y) B(x 0,ε) ν dσ y + u(y) E(x y dσ y, B(x 0,ε) ν y pentru orice x B(x 0, ε). Deoarece x y (x B(0, ε) şi y B(0, ε)) cei doi termeni din membrul drept sunt funcţii de clasă C în raport cu x B(x 0, ε). Punctul x fiind arbitrar în, rezultă u C (). Corolarul 2.2. Fie ϕ C0 (IRn ). Atunci (2.10) = ϕ(0). IR ne(x) ϕ(x)dx Demonstraţie. Deoarece ϕ C0 (IRn ) există r > 0 suficient de mare astfel ca supp ϕ B(0, r). Aplicând formula de reprezentare (2.7) pe această bilă şi ţinând cont că ϕ(x) = ϕ(x) = 0, pentru x B(0, r) rezultă ν E(x y) ϕ(y)dy = ϕ(x), x B(0, R) B(0,r) de unde, luând x = 0 şi ţinând cont că E( y) = E(y) rezultă (2.10). În limbajul teoriei distribuţiilor, acest rezultat se scrie sub forma E = δ 0 în IR n unde δ 0 este distribuţia lui Dirac concetrată în origine. Corolarul 2.3. (Formula de medie) Dacă funcţia u este armonică în, atunci pentru orice bilă B(x, r) cu B(x, r) are loc formula 1 (2.11) u(x) = ω n r n 1 u(y)dσ y, x. B(x,r) Demonstraţie. Se aplică formula (2.7) pentru B(x, r) şi se obţine 1 1 u(y) u(x) = ω n r n 1 u(y)dσ y + B(x,r) (n 2)ω n r n 2 B(x,r) ν dσ y.

35 35 Demonstraţia se încheie ţinând cont că ultimul termen din membrul drept al egalităţii de mai sus este nul (teorema lui Gauss, pentru funcţii armonice). Din (2.11) deducem că valoarea unei funcţii armonice într-un punct este egală cu media valorilor sale pe orice sferă centrată în acel punct dacă sfera respectivă este inclusă în domeniul de armonicitate al funcţiei. 8.3 Funcţia Green. Soluţia problemei Dirichlet Funcţia Green. O metodă de rezolvare a problemelor la limită pentru ecuaţia lui Laplace, care conduce la o reprezentare analitică a soluţiilor, este metoda funcţiei Green. De altminteri, analizând formula de reprezentare a funcţiilor de clasă C 2 în domeniul constatăm că dacă funcţia u este armonică, atunci valorile sale în pot fi scrise în funcţie de valorile sale şi ale derivatei sale normale pe frontiera. Pentru rezolvarea problemei Dirichlet (în care sunt prescrise doar valorile lui u pe ) avem nevoie ca în formula de reprezentare să nu mai apară derivata normală a funcţiei u. Acest lucru îl vom realiza prin introducerea funcţiei Green. Definiţia 3.1. Fie o mulţime deschisă din IR n cu frontiera de clasă C 1 pe porţiuni. O funcţie G : IR se numeşte funcţie Green pentru problema Dirichlet pe dacă satisface următoarele două proprietăţi: (i) G este de forma G(x, y) = g(x, y) E(x y), unde g : IR satisface condiţiile: pentru orice x funcţia y g(x, y) este armonică în şi continuă în iar y g ν y (x, y) este continuă pe. (ii) G(x, y) = 0, x, y. Utilizând formula lui Green deducem cu uşurinţă faptul că dacă există o funcţie Green pentru problema Dirichlet pe, atunci aceasta este unică. Se arată că existenţa funcţiei Green este asigurată pentru domenii suficient de regulate. Noi vom evidenţia acest lucru în paragrafele următoare. Propoziţia 3.1. Fie IR n o mulţime deschisă din IR n cu frontiera suficient de netedă iar G funcţia Green corespunzătoare problemei Dirichlet pe. Atunci a) G(x, y) > 0, x, y, x y.

36 36 b) Pentru orice x şi f C() lim ε 0 B(x,ε) lim ε 0 B(x,ε) f(y)g(x, y)dσ y = 0, G(x, y)f(y)dσ y = f(x). ν y c) G(x, y) = G(y, x), x, y, x y. Demonstraţie. a) Fie x fixat şi ε = \B(x, ε) unde ε > 0 este ales suficient de mic astfel încât B(x, ε). Funcţia y G(x, y) fiind armonică în ε, rezultă că atât maximul cât şi minimul ei vor fi atinse doar pe ε = B(x, ε). Deoarece lim G(x, y) = + şi G(x, y) = 0, y va rezulta y x că G(x, y) > 0, y ε (pentru ε suficient de mic) ceea ce demonstrează afirmaţia. b) Avem lim f(y)g(x, y)dσ y = lim f(y)g(x, y)dσ y ε 0 B(x,ε) ε 0 B(x,ε) lim f(y)e(x y)dσ y = 0 ε 0 B(x,ε) şi lim ε 0 B(x,ε) lim ε 0 f(y) G(x, y)dσ y = lim f(y)g(x, y)dσ y ν y ε 0 B(x,ε) f(y) E(x y)dσ y = 0 f(x) = f(x). ν y B(x,ε) În ambele cazuri folosim teorema de medie pentru integrale de funcţii continue. În plus, 1 E(x y) = ν y ω n ε n 1 pentru y B(x, ε). c) Fie x, y, x y şi ε > 0 suficient de mic încât B(x, ε) B(y, ε) şi B(x, ε) B(y, ε) =. Notăm cu ε = \(B(x, ε) B(y, ε)) şi definim funcţiile u, v : ε IR prin u(z) = G(x, z), v(z) = G(y, z). Aplicând formula a doua a lui Green funcţiilor armonice u, v în ε şi ţinând cont că ε =

37 37 B(x, ε) B(y, ε) obţinem [ 0 = G(x, z) G(y, z) G(y, z) ] G(x, z) dσ z + ν z ν y G(x, z) G(y, z)dσ z G(y, z) G(x, z)dσ z + ν z B(x,ε) ν z G(x, z) G(y, z)dσ z G(y, z) G(x, z)dσ z. ν z ν z B(x,ε) B(y,ε) B(y,ε) Din condiţia (ii) rezultă că prima integrală este nulă. Apoi, ţinând cont că y g (x, y) este o funcţie continuă, rezultă ν y lim G(x, z) G(y, z)dσ z = lim G(y, z) G(x, z)dσ z = 0. ε 0 B(x,ε) ν z ε 0 B(y,ε) ν z În final, făcând ε 0 şi utilizând relaţia b) pentru integralele rămase, obţinem G(x, y) = G(y, x). Propoziţia 3.2. Fie IR n o mulţime deschisă, conexă, mărginită cu frontiera netedă. Dacă f C(), ϕ C( ) şi u C 2 () C( ) este o soluţie a problemei Dirichlet (3.1) { u = f în u = ϕ pe atunci, presupunând că u are derivata normală continuă pe, (3.2) u(x) = f(y)g(x, y)dy ϕ(y) G(x, y)dσ y, x, ν y unde G este funcţia Green a problemei Dirichlet relativ la. Demonstraţie. Deoarece u este soluţie a problemei (3.1), ţinând cont de formula Riemann Green (2.7), avem (3.3) u(x) = f(y)e(x y)dy + ϕ(y) E(x y)dσ y. ν y u(y) ν y E(x y)dσ y +

38 38 Apoi, din formula lui Green (g(x, y) u(y) u(y) y g(x, y))dy = = ( g(x, y) u(y) ν care se scrie sub forma (3.4) 0 = g(x, y)f(y)dy + ( u(y) ϕ(y) g(x, y) ν y g(x, y) ν y ) dσ y g(x, y) u(y) ) dσ y. ν Scăzând termen cu termen relaţiile (3.3) şi (3.4) se obţine (3.2). 8.4 Funcţia Green pe sferă. Formula lui Poisson Exprimarea simplă a soluţiei problemei Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace cu ajutorul funcţiei Green justifică efortul de determinare a acesteia din urmă. De altfel, rezolvarea problemei Dirichlet este transferată în cea a determinării funcţiei g care satisface (în raport cu y) ecuaţia lui Laplace pe, iar pe frontieră o condiţie Dirichlet specială (g(x, y) = E(x y), x, y ). Acest lucru se dovedeşte mai simplu după cum vom vedea într-o serie de exemple. În cazul domeniului = B(0, R), R > 0, funcţia Green se caută de forma R2 G(x, y) = αe(x y) E(x y) unde x = 2 x iar α este o constantă ce se determină din condiţia (ii) pe x frontieră. Se obţine următorul rezultat: Propoziţia 4.1. Funcţia Green pentru domeniul = B(0, R) IR n este: R n 2 x G(x, y) = n 2 E(x y) E(x y), pentru x 0 1 E(y) (n 2)ω n R, n 2 pentru x = 0. Demonstraţie. Din definiţia lui G deducem ( ) R n 2 E(x y), n 3 x (4.1) g(x, y) = E(x y) 1 ( ) x 2π ln, n = 2. R

39 Din (4.1) rezultă că y g(x, y) este armonică în B(0, R) deoarece x B(0, R) = x / B(0, R). Apoi, pentru a verifica condiţia G(x, y) = 0 pentru x B(0, R) şi y B(0, R) este suficient să observăm că egalitatea x y = R x x x R y, are loc pentru orice pereche (x, y) cu 0 < x < R, y = R. În cazul = B(0, R), soluţia problemei Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace are o reprezentare simplă. Observăm că G(x, y) ν y = 1 R ( yg(x, y), y) = Rn 3 x n 2 ω n (y x, y) x y n 1 Rω n (y x, y) x y n = R2 x 2 Rω n x y n, y B(0, R). Din Propoziţia 4.1, luând f 0 şi = B(0, R), rezultă formula (4.2) u(x) = R2 x 2 Rω n B(0,R) ϕ(y) x y n dσ y, x B(0, R), cunoscută sub numele de formula integrală a lui Poisson. Această formulă sugerează faptul că dacă ϕ C( B(0, R)), atunci funcţia dată de (4.2) este soluţie a problemei (3.1) cu f 0. Într-adevăr are loc: Teorema 4.1. Dacă ϕ C( B(0, R)) atunci funcţia u definită prin: R 2 x 2 (4.3) u(x) = Rω n ϕ(x), B(0,R) ϕ(y) x y n dσ y, x B(0, R), x B(0, R), aparţine spaţiului C 2 (B(0, R)) C( B(0, R)) şi este soluţie a problemei (4.4) u(x) = 0, x B(0, R); u(x) = ϕ(x), x B(0, R). 39 Demonstraţie. (schiţă) Faptul că u C 2 (B(0, R)) rezultă din expresia lui u, iar x G(x, y) = 0 implică, ţinând cont că, de fapt, G(x, y) u(x) = ϕ(y) dσ y, u(x) = 0, x B(0, R. B(0,R) ν y

40 40 Demonstraţia continuităţii lui u la frontieră foloseşte esenţial trei elemente: continuitatea lui ϕ, expresia derivatei normale a lui G şi continuitatea integralei Riemann în raport cu domeniul. Câteva remarci în legătură cu Teorema 4.1. Teorema 4.1 poate fi interpretată ca un rezultat de extensie a unei funcţii continue pe B(0, R) la o funcţie armonică pe B(0, R). Teorema 4.1 este un rezultat de existenţă pentru problema Dirichlet pe un domeniu sferic. Rezultatul obţinut va fi folosit la demonstrarea existenţei soluţiei problemei Dirichlet pe un domeniu general, în care scop demonstrăm şi rezultatul următor. Propoziţia 4.2. (inegalitatea lui Harnack) Dacă funcţia u este armonică şi nenegativă în B(x 0, R), atunci satisface inegalitatea (R x x 0 R n 2 (R + x x 0 ) n 1 u(x 0) u(x) (R + x x 0 R n 2 (R x x 0 ) n 1 u(x 0), x B(x 0, R). Demonstraţie. Pentru început vom demonstra inegalitatea pentru x 0 0. Din formula de reprezentare a lui Poisson avem că (4.5) u(x) = R2 x 2 Rω n B(0,R) care, pentru x = 0, dă (formula de medie) 1 (4.6) u(0) = R n 1 ω n Apoi, din (4.5) obţinem B(0,R) u(y) x y n dσ y, u(y)dσ. (R + x )(R x ) u(x) Rω n (R x ) n u(y)dσ = B(0,R) R + x = Rω n (R x ) n 1 Rn 1 ω n u(0) care demonstrează partea a doua a inegalităţii (pentru x 0 0).

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria: Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

1Ecuaţii diferenţiale

1Ecuaţii diferenţiale 1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis 3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele

Διαβάστε περισσότερα

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0 INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme de ecuaţii diferenţiale

Sisteme de ecuaţii diferenţiale Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii parabolice şi hiperbolice

Ecuaţii parabolice şi hiperbolice Gheorghe Aniculăesei Ecuaţii parabolice şi hiperbolice Note de curs 2 Cuprins 1 Elemente de analiză funcţională 7 1.1 Funcţionale şi operatori liniari pe spaţii normate........ 9 1.2 Spaţii Hilbert. Serii

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

CURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II

CURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II CURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II. Utiizarea transformării Lapace Să considerăm probema hiperboică de forma a x + b x + c + d = f(t, x), (t, x) [, + )

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale 3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 3

Algebră liniară CAPITOLUL 3 Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 7 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR Câmpuri scalare. Câmpuri vectoriale Aspecte fizice

Capitolul 7 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR Câmpuri scalare. Câmpuri vectoriale Aspecte fizice Capitolul 7 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR 7.1 Definiţii şi proprietăţi 7.1.1 Câmpuri scalare. Câmpuri vectoriale Fie D R 3. Numim câmp scalar pe D o funcţie (cu valori scalare) u : D R. Numim câmp vectorial

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR Cuprins 15 MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 5 15.1 Câmpuri scalare. Curbe şi suprafeţe de nivel............................. 5 15.2 Derivata după o direcţie şi

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

2. Ecuaţii de propagare a câmpului electromagnetic. Noţiuni fundamentale. Copyright Paul GASNER 1

2. Ecuaţii de propagare a câmpului electromagnetic. Noţiuni fundamentale. Copyright Paul GASNER 1 2. Ecuaţii de propagare a câmpului electromagnetic. Noţiuni fundamentale Copyright Paul GASNER 1 Ecuaţii Helmholtz pentru medii omogene, izotrope şi infinite Unde electromagnetice plane Unde armonice plane

Διαβάστε περισσότερα