Spriahnute oscilatory Juraj Tekel 1 Tema spriahnutych oscilatorov je na strednej skole vacsinou vynechana. Je vsak velmi zaujimava a velmi dolezita. Ide o situaciu, ked sa sustava sklada z viacerych telies, na ktore posobia pruzne sily, tj. sily majuce tvar k suradnica, avsak sily posobia aj medzi tymito telesami. V rovniciach sa tento fakt prejavi tak, ze v pohybovej rovnici pre teleso sa objavia suradnice ineho, pripadne inych telies. Na uvod si povedzme cosi vseobecne o suradniciach. Neskor sa to ukaze neocakave dolezite. Slovo suradnica v kazdom z nas pravdepodobne vzbudzuje predstavu vzdialenosti od nejakeho referencneho bodu. Napriklad suradnice kvetinaca v izbe, vzdialenost, ktoru po ceste preslo auto, vseobecne popis miesta, kde sa nejake teleso nachadza. Avsak popisovat polohu telesa mozme aj inak, ako vzdialenostou, napriklad zemepisna sirka a dlza. Zas ale potrebujeme referencne miesto, vzhladom na ktore tieto uhly meriame. Suradnice su teda vseobecne sada cisel, ktore spolu s dobre znamim sposobom, ako tieto cisla zistujeme hovori, kde sa teleso nachadza. Aspon sa tak zda. Avsak situacie su vo fyzike casto zlozitejsie. Zvacsa je ulohou fyzika popisat, ako sa bude spravat nejaka sustava. V uz spomenutych pripadoch kvetinac, auto na ceste ci na zemeguli. V niektorych pripadoch je vsak neprakticke popisovat stav sustavy, ktora nas zaujima, popisovat vzdialenostou. Napriklad pre kondenzator je najlepsie popisany jeho stav nabojom, ktory sa na nom nazbieral. Pre cely elektrck obvod to moze byt prud a napatie na jednotlyvych jeho castiach. Fyzik potom hlada rovnice, ktore popsiuju ako sa menia tieto suradnice v case. Takze nasa povodna definicia suradnice prechadza na o nieco vseobecnejsi pripad. Suradnice su sada cisel, ktore spolu s dobre znamim sposobom, ako tieto cisla zistujeme hovori, v ktorom zo svojich moznych stavov sa popisovana sustava nachadza. Riesenim rovnic pre suradnice potom zistime, ako sa bude stav telesa menit. Suradnice su teda sposob, ako zmatematizovat popis sustavy do reci cisel a funkcii, pre ktore vieme napisat a riesit rovnice. Teraz prichadza klucove vsimnutie tejto prednasky. Na popis sustavy neexistuju iba jedine suradnice. Naopak suradnic, ktore mozme vybrat na popis sustavy je nekonecne vela uz len napriklad vdaka moznej zmene referenceho miesta. Aby bolo jasne, o com hovorime, majme len jeden hmotny bod v priestore. Jeho polohu mozme popisat napriklad tak, ze zvolime pravouhlu suradnicou sustavu a zadame suradnice miesta, kde sa bod nachadza (x, y, z). Tento pod mozme popisat ale aj inak, napriklad sferickymi suradnicami, teda vzdialenostou od zvoleneho bodu a uhlami od x-ovej a z-ovej osy (r, φ, θ). Mozme ale zvolit suradnice inak. Polohu telesa by rovnako dobre popisovala aj trojica (x + y, x y, z) alebo trojica (x + 2y z, x + y 2z, y + z). Mohli sme ale zvolit aj zlozitejsiu zavyslost ako napriklad (sin(x), log(y), z 4 7 ). Upllne vseobecne mozu mat suradnice tvar (f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z)) za istych podmienok na funkcie f x, f y, f z, aby tieto suradnice boli nezavysle. V roznych suradniciach samozrejme vyzeraju rovnice, popisujuce pohyb sustavy rozne. Maju teda aj ine vysledky, ale vyznam tycht vysledkov, teda pohyb, ktory suradnice popisuju musi byt rovnaky. A to nam dava do ruk silnu zbran. Mozme si lubovole vybrat suradnice tak, aby rovnice, ktore v nich popisuju ako sa meni stav sustavy boli co najjednoduchsie a my sme ich vedeli vyriesit. Uvidime, ako nam tento fakt pomoze pri popise pohybu sprahnutych oscilatorov. Este budeme potrebovat nieco malo o harmonickych oscilatoroch. Majme teleso, ktoreho pohyb je viazany na priamku. Ak na teleso posobi sila, ktora sa da zapisat v tvare F = kx, kde k je nejaka 1 Akekolvek pripomienky, upozornenia alebo namety uvitam na adrese juraj.tekel@gmail.com 1
kladna konstanta, potom je pohybova rovnica a = ω 2.x kde ω = k/m. Tym sa zdoraznuje, ze cislo, stojace na pravej strane pred x je zaporne. Takato rovnica ma potom riesenie 2 x(t) = X 0 sin(ωt + φ) v(t) = X 0 ω cos(ωt + φ) a fyzici tomu radi hovoria harmonicke kmity. Perioda tohto pohybu je T = 2π/ω. Ak by bola poloha telesa, pripadne stav sustavy popisanou suradnicou, ale rovnica, popisujuca zmeny tejto suradnice by bola v tvare zrychleniesuradnice = ω 2 suradnica, jej riesenim su harmonicke kmity a plati pre nu predchadzajuce a nasledovne. Je dobre si ujasnit vyznam konstant X 0, ω, φ, ktore su postupne maximalna vychylka, nejak zakodovana perioda a zaciatocna faza Prve dve teda popisuju pohyb telesa ako taky a tretia situaciu, v akej teleso svoj pohyb zacina v case t = 0. Rovnice sa pouzitim suctoveho vzorca pre sinus daju prepisat do tvaru pripadne najcastejsie x(t) = A 0 sin ωt + B 0 cos ωt v(t) = A 0 ω cos ωt + B 0 ω sin ωt x(t) = A sin ωt + B cos ωt ω v(t) = A cos ωt + Bω sin ωt V konstantach A, B je zakodovana infotmacia o pociatocnych podmienkach. Lahko sa presvedcime, ze B je vychylka v case t = 0 a A je pociatocna rychlost. Pouzivaju sa oba tvary rieseni a zalezi od konkretnej situacie, ktora z dvoch sad je pre nas vyhodnejsia. A samozrejme budme potrebovat vediet, ze F = ma. No a mozme sa konecne venovat spriahnutym oscilatorom. Ilustrujme to na jednoduchom pripade. Neskor si povieme, ako nas postup zovseobecnime na vseobecny pripad. Dve telesa hmotnosti m na troch pruzinach, tak ze kazde je na jednej strane pripevnene jednou pruzinou k stene a medzi sebou maju dalsiu pruzinu. Nech je na zaciatku cela sustava v rovnovovahe a nech sa telesa mozu pohybovat len po jedne priamke. Polohu tejto sustavy opisuju dve suradnice, napriklad vychylka z rovnovaznej polhy prveho telesa x a duheho telesa y. Na kazde z telies posobi silou pruzinka, ktorou je teleso uchytene k stene velkosti kx resp. ky a pruzinka medzi nimi silou velkosti k(x y). Ked si dobre premyslime smery, ktorymi tieto sily posobia, dostaneme pohybove rovnice pre telesa ma x = kx k(x y) ma y = ky k(y x) Ked zavedieme oznacenie k m = ω2, rovnice prejdu na tvar a x = 2ω 2 x + ω 2 y (1) a y = 2ω 2 y + ω 2 x (2) 2 Je to diferencialna rovnica a na jej riesenia treba vediet vela netrivialnej matematiky. Treba sa preto na tejto urovni uspokojit s tym, ze niekto tu rovnicu za nas zratal a my sme vdacni, ze to nemusime robit zas a znova sami a toto riesenie si radsej zapamatame. Pri tom samozrejme pekne podakujeme. 2
Vidime, ze rovnice pre pohyb telies nemaj tvar rovnice pre LHO, ktory by sa nam pacil, nakolko by sme hned vedeli napisat jej riesenia. Dokonca su tieto rovnice previazane, teda v rovnici pre jedno teleso vystupuje suradnica druheho telesa. Taketo rovnice zatial riesit nevieme. Preto vyskusajme takuto vec. Skusme do rovnic dosadit riesnie v tvare harmonickych kmitov, tj. v tvare x = A x sin (Ωt + Φ x ), kde Ω je vseobecne cosi ine ako ω. A rovnake riesenie pre y 3. Co nas opravnuje k takemuto kroku? V prvom rade do pohybovych rovnic mozme dosadit akekovlek riesnie v tvare cohokolvek. Rovnice nam potom povedia, ci takyto pohyb moze alebo nemoze teleso vykonavat. Ak by sme dosadili naprikad riesenie v tvare rovnmerne zrychleneho pohybu 4, rovnice by povedali ze takyto pohyb mozny nie. Ak v navrhovanom rieseni nechame nejake volne parametre, v nasom pripadne to je A x,y, Ω, Φ x,y, rovnice nam povedia, pre ake, ak nejake, hodnoty tychto parametrov je riesenie takehoto tvaru pripustne. V pripade neuspechu sme nic nestratili, v pripadne uspechu sme ziskali konkretny tvar mozneho riesenia pohybovych rovnic. V druhom rade mame istotu, ze ked takto najdeme nejake risenie, ktore vyhovuje nejakym konkretnym pociatocnym podmienkam, ine riesenie tymto pociatocnym podmienkam vyhovovat nebude. Bolo by neprijemne, keby sme dva krat nastavili sustavu do rovnakej polohy a ona sa pohybovala inak. Keby to neplatilo, vsetci fyzici by prisli o pracu, lebo by stratila zmysel 5. Porozmyslajte, ako je to s hadzanim kockou a ako nahodnost vstupuje do hry. Dosadme teda navrhovane riesenia do rovnic (1). Ω 2 A x sin (Ωt + Φ x ) = 2ω 2 A x sin (Ωt + Φ x ) + ω 2 A y sin (Ωt + Φ y ) ( Ω 2 + 2ω 2 )A x sin (Ωt + Φ x ) = ω 2 A y sin (Ωt + Φ y ) Ω 2 A y sin (Ωt + Φ y ) = 2ω 2 A y sin (Ωt + Φ y ) + ω 2 A x sin (Ωt + Φ x ) ( Ω 2 + 2ω 2 )A y sin (Ωt + Φ y ) = ω 2 A x sin (Ωt + Φ x ) 3 Tu treba poznamenat, ze riesnie by sme mohli dosadzat aj tvare suctu sinusu a kosinusu. Takato cesta je vsak schodnejsia 4 Pre ilustraciu to spravme. Pre rovnomerne zrychelny pohyb x = x 0 + v x0t + 1 2 at2 y = y 0 + v y0t + 1 2 bt2 a x = a a y = b Dosadime toto riesenie do rovnic (1) a zistime, ze a = 2ω 2 ( x 0 + v x0t + 1 2 at2 ) + ω 2 ( y 0 + v y0t + 1 2 bt2 ) 0 = ω 2 ( 2x 0 + y 0) a + ω 2 ( 2v x0 + v y0)t + ω 2 ( a + 1 2 b)t2 Vidime, ze sme dosatli kvadraticku rovnicu pre cas. Vseobecne je tada platna iba pre dva konkretne casi. Jedniny pripad, kedy plati v kazdom case (co je presne to co chceme) je, ked v skutocnosti nepojde o kvadraticku rovnicu, ale o identitu, teda ked 0 = ω 2 ( 2x 0 + y 0) a ω 2 ( 2x 0 + y 0) = a 0 = ω 2 ( 2v x0 + v y0) 2v x0 = v y0 0 = ω 2 ( a + 1 b) 2a = b 2 Z druhej rovnice by sme dostali podobne podmienky, len s vymenenymi parametrami pre suradnice x a y. Tie su zjavne splnene iba v pripade a = b = v x0 = v y0 = x 0 = y 0 = 0. Takze jediny rovnomerne zrychleny pohyb, ktory je riesnim tychto rovnic je statie. 5 V kvanotvej teorii to prestava byt pravda a aj pri rovnakych podmienkach mozu nastat ine veci. Tu vsak vieme presne povedat s akou pradvepodobnostou ta ktora vec nastane, takze praca fyzika je istym sposobom zmysluplna. 3
Vydelenim tychto dvoch rovnic sa zbavime casu dostavame podmienku (2ω 2 Ω 2 ) 2 = ω 4 Ktora ma dve riesenia Ω 2 = ω 2 a Ω 2 = 3ω 2. Toto dosadime do povodnych podmienok a dostaneme V prvom a A x sin (Ωt + Φ x ) = A y sin (Ωt + Φ y ) A y sin (Ωt + Φ y ) = A x sin (Ωt + Φ x ) v druhom pripade. Nakolko tieto rovnice maju platit pre lubovolne t, na to, aby nase navrhovane riesnie bolo riesenim rovnice (1), musia byt splnene podmienky alebo A x = A y, Φ x = Φ y, Ω 2 = ω 2 A x = A y, Φ x = Φ y + π, Ω 2 = 3ω 2 Dostali sme teda dve mozne riesenia v tvare hamronickych kmitov. Premyslite si, ze to znamena, nasledovne. V prvom priadne vychylime obe telesa rovnako na rovnaku stranu a udelime im rovnaku rychlost. Vtedy sa streda pruzina nebude vobec predlzovat a telesa kmitaju akoby tam druhe teleso vobec nebolo. Druha moznost po preskumani vztahu parametrov pre prve a druhe teleso znamena, ze telesa vychylime za zaciatku rovnako opacnym smerom a udelime im rovnaku rychlost proti sebe. Vtedy bude stred strednej pruziny stat a telesa budu kmitat akoby tam druhe teleso nebolo a pruziny mali tuhost k a 2k. Z tvaru rovnic vyplyva, ze ked by sme scitali tieto dve riesenia a dostali riesenie v tvare ( ) x = A sin (ωt + Φ 1 ) + B sin 3ωt + Φ2 ( ) y = A sin (ωt + Φ 1 ) + B sin 3ωt + Φ2 + π aj toto bude riesenie rovnic. To preto, ze rovnice su linearne, teda v nich vystupuju suradnice iba v prvej mocnine. A teraz pride jeden z najvacsich zazrakov fyziky. Akekolvek riesenie uvedenych pohybovych rovnic sa da napisat ako sucet nejakych nasobkov nasich dvoch natypovanych rieseni! To sa da nahliadnut napriklad tak, ze akekolvek pociatocne podmienky sme schopny splnit tymto riesenim. Mame totiz styry pociatocne podmienky, tj. dve pociatocne suradnice a dve pociatocne rychlosti, a styry parametre v navrhovanom sucte A, B, Φ 1,2 6. Uz zo spominanej jednoznacnosti fyzikalnych procesov vyplyva, ze ine riesenie potom mat nebudeme. Napriak tomu, ze viedlo k uzastnemu a uplnemu vysledku, cele toto typovanie rieseni vyzera dost pofiderne. Podme sa na to teda pozriet z ineho uhlu. Najskro si musime spomenut na diskusiu o suradniciach z uvodu a zamysliet sa, ci ina volba suradnic nie je pre nas pripad vhodnejsia. Po niekolkych neuspesnych pokusom prideme na to, ze ked namiesto x, y zvolime suradnice q = x + y w = x y 6 Tato uvaha je samozrejem neuplna a nemame zarucene, ze pre lubovolny tvar x, y so styrmi volnymi parametrami sme schopny splnit styry pociatecone pdomeinky, ale podrobnejsia analyza, ktoru si zvedavy citatel isto rad urobi sam, ukaze, ze to nie je nas pripad. 4
pohybove rovnice prejdu na tvar a podobne pre a w. a q = a x + a y = [ 2ω 2 + ω 2] [ x + 2ω 2 + ω 2] y a q = ω 2 q (3) a w = 3ω 2 w (4) Vidime, cim su teda dobre tieto nove suradnice. Nemaju sidce ziadnu interpretaciu ako nejaka konkretna vychlka niecoho, ale ak nimi popisujeme system, prideme k rovniciam, ktore vieme riesnit. Mozme teda smelo pisat q = A q sin(ωt + Φ q ) w = A w sin( 3ωt + Φ w ) Ak chceme vidiet, ako sa telesa pohybuju v nasich povodnych suradniciach 7 staci riesit sustavu rovnic x + y = A q sin(ωt + Φ q ) (5) x y = w = A w sin(3ωt + Φ w ) (6) ktora ma riesenie x = 1 2 A q sin(ωt + Φ q ) + 1 2 A w sin( 3ωt + Φ w ) Ked sa teraz s tymito rieseniami trochu pohrame y = 1 2 A q sin(ωt + Φ q ) 1 2 A w sin( 3ωt + Φ w ) x = A sin(ωt + Φ q ) + B sin( 3ωt + Φ w ) (7) y = A sin(ωt + Φ q ) B sin( 3ωt + Φ w ) = A sin(ωt + Φ q ) + B sin( 3ωt + Φ w + π) (8) Postup, aky mse sa k tomu vysledku dostali zavysel od toho, ako sme vybrali q, w a ake boli cisla K, L, vysledok vsak od toho uz zavysly nie je. Vidime, ze sme dostali vseobecne riesnie v tvare lineranej kombinacie dvoch rieseni. Nikoho asi neprekvapuje, ze su to presne tie riesenia, ktore sme natypovali v prvej casti. Naslim ale uplne vseobnecne a uplne riesenie v suradniciach x, y, nakolko presne take bolo riesenie v suradniciach q, w, pomocou ktoreho sme k nemu dosli. Po tom, ako opadol vsetok prach, pozbierali sa mrtvy a raneny, dotiekla krv a prestalo prsat si strucne zhrnme, co sa vlastne udialo. Na zaciatku sme mali vcelku zlozitu situaciu. Zviazane rovnice a tak. Avsak prechodom k inym, vhodnejsim suradniciam sme presli k rovniciam, ktore nie len ze boli nezviazane ale vedeli sme ich aj jednoducho riesit. Najst potom riesenie v povodnych suradniach bola malina. Rieseniam, z ktorych su poskladane vysledne vseobence riesenia, teda tym, tkore sme najskor natypovali a potom nasli suradnice, v ktorych sa tak sustava skutocne hybe, sa hovori mody. Prave sme sa presvedcili, ze lubovolny pohyb sustavy je nejaka kombinacia modov. Ak teda tieto mody najdeme, vyhrali sme, nakolko vieme popisat kazdy jej mozny pohyb. To sa ale lahko povie... Este si na zaver spomenme, ze pri spriahnutych oscilatoroch, teda v sustave, kde posobia iba pruzne sily, ale vseobecne aj medzi castami sustavy, sa vzdy take suradnice, v ktorych sustava kona harmonicke kmity, daju najst a je ich prirodzene tolko, kolko bolo povodnych suradnic. Teda tolko, z kolkych casti sa sustava sklada krat pocet suradnic, potrebnych na opisanie polohy jednej casti. Tomuto poctu, teda poctu vsetkych suradnic potrebnych na opisanie polohy celej sustavy, sa hovori pocet stupnov volnosti. A spriahnute oscilatory maju presne tolko modov, kolko je stupnov volnosti. 7 Co zvacsa chceme, lebo len v nich si vieme predstavit, ako sa telesa pohybuju 5