ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6-6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 9 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 69 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 9/4/6 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑ ΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΚΑ () ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α 4. i) Σ ii) Σ iii) Λ iv) Σ v) Λ ΘΕΜΑ Β Β. Η f συνεχής στο = α συνεπώς: lim f = f α lim 4β +β = β α α α α 4βα +β = βα + α α 4βα +β + βα α + = α β = α βα +β + α α + = α β + α = α = α β = β = β = α = Συνεπώς η f γίνεται: f Όμως: 4 + =, = 4, + = συνεπώς: f = 4 + για κάθε R. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β. Η f παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με f 4 4 f = 4 + = άρα: Α (, ) και =. f = 4 4 = 4 Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο (, ) Α είναι: ε : y f = f y = 4 y = 4 7 Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ε Ω = f y d = 4 + 4 7 d = 8 + 8 d = Β. ( ) = ( 4 + 4) d = ( ) d = ( ) d = = ( ) ( ) 6 4 = = + = τ.μ. ηµ ( 4 4) 4( ) = = 4 4 ηµ f lim ηµ lim lim Θέτουμε: u 4 4 = με limu lim ( ) = 4 = συνεπώς: 4 4( ) ηµ f ηµ 4 ηµ u lim = lim = 4 lim = 4 = 4 u u lim + f 4+ = lim + 4 + Θέτουμε: u = συνεπώς: 4 + lim u = lim = lim = lim = + συνεπώς: + + + + f 4+ lim = lim = u lim = + + + u + ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
Β 4. f = 4 4 = =. Ο πίνακας μεταβολών είναι: ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ χ + f + f Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ). = η f παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο είναι το Στο f = 4 + = 4+ = H f αντιστρέφεται για κάθε διότι είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ) και συνεπώς είναι και «-». f 4 4 = + = + = + = ( ) y + = = =. Θέτουμε y f y ( ) ( ) lim f = lim 4 + = lim = + + + + Συνεπώς: [ ) ր ( + ) = ) = [ + ) f, f, lim f, + y y +. y + y + y + = = = + = άρα γνωρίζουμε ότι f ( y) + Συνεπώς ισχύει ότι: f = + με: [ ) Α = +. f, ΘΕΜΑ Γ h h h Γ. i) Είναι lim = lim = lim( ) = h h D.L.H h h h u= h f( + h) f() f( + u) f() lim = lim = f h h u u ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ Επίσης
και lim h h ( )( f( + h) f() ) h ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ = f (), > Άρα από υπόθεση: f () = f() + (ln ) ii) Από f () = f() + ( ln ), > = > f () f() ln, f() ln f() =, > άρα f = ln+ c c = άρα Η f είναι συνεχής στο = άρα f() ln = + c ln f () f() = ln, > =, > 4 f () f() ln () για = > = + f() = ln, > ( ) f = lim f() = lim ln = lim lim ln = lim ln = + + + + + ln + ( ln ) lim = lim = lim = lim ( ) = + D.L.H + + + Συνεπώς ο τύπος της f είναι: f Γ. Για > : f '() = ln και ln, > =, = f ''() = = χ + f - + f f κοίλη στο (,] και κυρτή στο [,+ ) με σημείο καμπής το (,) ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ χ + f f ց ց < < f > f f > f ր ր > f > f f > Άρα fրστο (, ) (, + ), f συνεχής στο [, + ) άρα fր στο [, + ). Τότε το ολικό ελάχιστο m = f() = 96 5 96 6 Γ. + = + f f f f. Πρέπει. Προφανείς ρίζες = και = Αν < < έχουμε 96 96 > και 5 6 > f 96 96 5 6 f > f και > f f οπότε 96 + 5 > 96 6 + f f f f Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη στο (,) Αν > έχουμε 96 96 < και 5 6 < f 96 96 5 6 f < f και < f f οπότε 96 + 5 < 96 6 + f f f f Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη στο (, + ) Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες στο [,+ ) τις = και =. ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ 4. Αν λ ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι εϕθ (t) = λ = f ( t) με ( t ) > εϕθ (t) = (t) ln((t)) ( + εϕ θ(t)) θ (t) = (t) (t) (t) θ (t) = (t) (t) = (t) f = ln = άρα Μ(,). (t) (t) (t) = = (t) ΘΕΜΑ Δ Δ. t f() + ln + f() =, > + ln t f() f() + ln f() + ln + f() = + ln + f() = + ln + f() = + ln = + + Έστω ln ϕ () = + με Rέχουμε ότι: ϕ '() = + > ϕր στοr ϕ" " ϕ ( f() ) = ϕ ( + ln ) ϕ + ϕ " " ln f() =, > " " f() = + ln, > π + ηµ ηµ συν + = > d g() ln, () π ηµ ηµ συνd θέτω u π = u = και = u = ηµ =, du = ηµ d = συν d, u u u u u = u du = 'u du = u (u ) du = udu = u u u = 'udu = u + (u)' du = ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 7ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ. α) u u = + du = + = + ( ) = Άρα από την () έχουμε + ln f() =, > + + = g() ln g() = ln, > ( + ln ) ln ln f '() = = =, > f '() = ln = ln = = ln = f '() > ( ln ) > ln > ln < ln < ln < < f (, ] χ + f + - f f [, + ) = f = ολικ ό µ έγιστο της f άρα f() f, για κάθε > f(), για κάθε > g() ln, = > g'() =, > g () = + >, με g' = για κάθε > g' γν. αύ ξουσα στο (, + ) χ + g + + g g Ο.Ε ΤΕΛΟΣ 7ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
g' g' ΑΡΧΗ 8ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ i < g'() g' = g γν. ϕθί νουσα στο (, ] i g'() g' = g γν. αύ ξουσα στο [, + ) = => g() = ελάχιστο της g Άρα g() g, για κάθε > g(), για κάθε > β) f(), για κάθε > g(), για κάθε > f() g() για κάθε > f() g(), για κάθε > f() g(), Θέτουμε: λ() = g() f() επομένως έχουμε: λ(), για κάθε, ΤΕΛΟΣ 8ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ λ() συνεχής, λ ()d > g() f() d > Ηισό τηταισχύ ειμό νογια = f() g() d < f()d g()d < f()d < g()d () h (t)dt f(t) g(t) dt Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση ϕ = ( ) συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική. ϕ = ( ) f(t)dt g(t)dt < ϕ = h (t)dt > * άρα (από το ερώτημα Δ ii) ϕ ϕ < από Θ. Bolzano υπάρχει η εξίσωση έχει ρίζα στο (, ). * Έχουμε: h() d = () Η συνεχής στο [,],h() δεν είναι ίση με / παντού., ώστε φ( ) = ή
Αν h() = / τότε από () Άρα από: ( ) ( ) ΑΡΧΗ 9ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ d = = ΑΤΟΠΟ h() h() d > h ( ) h ( ) + d > h ( ) d h ( ) d + d > h d + > h ()d + + > h ()d > Δ 4. Η παράγουσα Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στα παρακάτω διαστήματα όπου εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. α +β Από Θ.Μ.Τ. για την Η στο α, υπάρχει α +β, : α α +β α +β Η Η α Η Η α Η '( ) = h( ) = = α +β α β α α + β Από Θ.Μ.Τ. για την Η στο, β υπάρχει α + β, β : α + β α + β Η( β) Η Η β Η Η '( ) = h( ) = = α + β β β α Η h ( ) > για κάθε (, ) συνεπώς η h είναι γνησίως αύξουσα στο ( ) Ακόμη έχουμε: α, (, ) α + β,, β (, ) α + β α +β α + β α +β α + β < 6α + β < α + 6β α < βισχύει άρα: < < < και,. Συνεπώς: ΤΕΛΟΣ 9ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ α +β α + β Η Η α Η β Η hր < h < h < β α β α α +β α + β Η + Η < Η( α ) + Η( β). β α> ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ