qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 23/6/2016 opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop Δ.Ε.ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ Ψηφιακή Επιμέλεια : Μ.Ι.ΣΤΡΟΥΜΠΟΥΛΗ asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkl zxcvbnqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer
Τελευταία ενημέρωση 23/6/16 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΕΡΩΤΗΣΗ 1 η Πότε ορίζεται η εφαπτομένη της C f σε ένα σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )), όπου f συνάρτηση. Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης. Έστω f : συνάρτηση και Α(χ 0, f(χ 0 )) C f. Αν υπάρχει το lim χ χ0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = λ R, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο Α, την ευθεία που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης το λ. Άρα λ = εφφ και ε: y f(x 0 ) = λ. (x x o ) η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )).
ΕΡΩΤΗΣΗ 2 η Πότε λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ 0 ; Τι πρέπει να ισχύει με τα πλευρικά όρια ; Μία συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο f(x) f(x χ 0 D f, αν υπάρχει το lim 0 ) χ χ0 x x 0 f (x o ) = παράγωγος της f στο χ 0, δηλ. f f(x) f(x (x o ) = lim 0 ) χ χ0 x x 0 = λ R και συμβολίζεται με Προφανώς για να υπάρχει το όριο θα πρέπει τα πλευρικά όρια να είναι ίσα, δηλ. f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) lim = lim = f (x χ χ + 0 x x 0 χ χ 0 x x o ) 0 Ένας άλλος ορισμός για την f (x o ) είναι ο εξής: Πράγματι : f f(x) f(x (x o ) = lim 0 ) χ χ0 x x 0 f (x o ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h χ χ 0 =h χ=χ 0 +h f (x o ) = lim f(χ 0 +h) f(x 0 ) h 0 h. 2004 και 2009: Θέμα 1 ο B (5Μ) Πολλές φορές το h = x x 0 συμβολίζεται με Δχ, ενώ το f(x 0 + h) f(χ 0 ) συμβολίζεται με Δ f(χ 0 ), οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται : f Δ f(χ (x o ) = lim 0 ) Δχ 0 Δχ Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Leibniz να συμβολίσει την παράγωγο στο χ 0 με d f(χ 0 ) dx = d f(x) dx x=x 0
Σημείωση Λόγω του συμβολισμού f f(x) f(x (x o ) = lim 0 ) = λ = εφφ χ χ0 x x 0 Θέμα 1 ο (2000) Α1 (4μονάδες) Η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )) θα δίνεται από τον τύπο : ε: y f(x 0 ) = f (x o ) (x x o ) ΕΡΩΤΗΣΗ 3 η Nα διατυπωθεί και να αποδειχθεί το Θεώρημα, που συνδέει την παράγωγο και τη συνέχεια μιας συνάρτησης f στο χ=χ 0 <<Έστω f συνάρτηση με Π.Ο.=Α και χ 0 A αν η f παραγωγίσιμη στο χ 0 τότε και f συνεχής στο χ 0 >> ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αφού f παραγωγίσιμη στο χ 0 τότε f f(x) f(x (x 0 ) = lim 0 ) χ χ0 x x 0 δείξω ότι η f συνεχής στο x 0 αρκεί να δείξω ότι : Για χ χ 0 έχουμε : f(x 0 ) = lim χ χ0 f(x) f(x) f(x 0 ) lim [ f(x) f(x 0 )] = lim [ (x x χ χ 0 χ χ 0 x x 0 )] 0, για να = lim χ χ 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 lim(x x 0 χ χ 0 ) = f (x 0 ) 0 = 0 Άρα : lim [ χ χ 0 f(x) f(x 0 )] = 0 lim χ χ0 f(x) = f(x 0 ). 2000, 2003 και 2007(επαν): Θέμα 1 ο Α(8,5Μ-8Μ-10Μ) 2009: Θέμα 1 Ο Σ-Λ(2Μ) ΣΗΜΕΙΩΣΗ Όπως σε κάθε θεώρημα έτσι και εδώ ισχύει η αντιθετοαντιστροφή: 2016(επαν), 2012(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ <<Έστω f συνάρτηση με Π.Ο.=Α και χ 0 A αν η f ΌΧΙ συνεχής στο χ 0 τότε και f ΌΧΙ παραγωγίσιμη στο χ 0 >>
ΠΡΟΣΟΧΗ: Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει δηλαδή : Αν η f είναι συνεχής στο χ 0 A = Π. Ο., δεν είναι απαραίτητο ότι είναι και παραγωγίσιμη σε αυτό. ΕΡΩΤΗΣΗ 4 η Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο Π.Ο.=Α; Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) Α = Π. Ο.; Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] Α = Π. Ο.; Τι ονομάζεται 1 η παράγωγος της f ή παράγωγος της f, τι 2 η παράγωγος και τι νιοστή παράγωγος της f; Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο Π.Ο.= Α, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο χ 0 Α. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) Α = Π. Ο., όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο χ 0 (α, β). Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] Α = Π. Ο., όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο χ 0 (α, β) και ισχύει: f(x) f(α) lim χ α + x α f(x) f(β), lim χ β x β R Έστω f μία συνάρτηση με Π.Ο. το Α και Α 1 Α στο οποίο είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε χ Α 1 στο f (χ) = (f(x)), ορίζουμε τη συνάρτηση f, η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f. Την f μπορούμε να την συμβολίσουμε και με df dx. Προφανώς η παράγωγος της f είναι η δεύτερη παράγωγος της f και f = (f ). Γενικεύοντας με επαγωγική μέθοδο καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η νιοστή παράγωγος της f για ν 3 θα συμβολίζεται με f (ν) και θα ισχύει f (ν) = [f (ν 1) ]. 2011(επαν) και 2004(επαν) Θέμα 1 ο Σ-Λ(2Μ) 2010(επαν) Θέμα 1 ο Α2 (4Μ)
ΕΡΩΤΗΣΗ 5 η Nα συμπληρωθούν και να αποδειχθούν : (c) =..., c R Απόδειξη Έστω f(x)=c, c R Π.Ο.= R Για κάθε χ 0 R έχουμε f (x o ) = lim (χ) =... Απόδειξη Άρα (c) = 0, c R Έστω f(x)=χ Π.Ο.= R Για κάθε χ 0 R έχουμε f (x o ) = lim Άρα (χ) = 1. f(x) f(x 0 ) χ χ0 x x 0 f(x) f(x 0 ) χ χ0 x x 0 = lim χ χ0 c c x x 0 =0 = lim χ χ0 χ x 0 x x 0 =1 (χ ν ) =... Απόδειξη, ν N {0, 1} Έστω f(x)= χ ν Π.Ο.= R Για κάθε χ 0 R έχουμε f (x o ) = lim f(x) f(x 0 ) χ χ0 x x 0 χν χ ν 0 = χ χ0 x x 0 = lim (χ χ 0 )(χ ν 1 + χ ν 2 χ 0 + χ ν 3 χ 2 0 + + χ 2 χ ν 3 0 + χ χ ν 2 0 + χ ν 1 0 ) lim χ χ 0 x x 0 lim ( χ ν 1 + χ ν 2 χ 0 + χ ν 3 χ 2 0 + + χ 2 χ ν 3 0 + χ χ ν 2 0 + χ ν 1 0 ) χ χ 0 χ 0 ν 1 + χ 0 ν 2 χ 0 + χ 0 ν 3 χ 0 2 + + χ 0 2 χ 0 ν 3 + χ χ 0 ν 2 + χ 0 ν 1 = χ 0 ν 1 + χ 0 ν 1 + χ 0 ν 1 + + χ 0 ν 1 + χ 0 ν 1 + χ 0 ν 1 = ν χ 0 ν 1 Άρα (χ ν ) = ν χ ν 1.
( χ) =..., χ > 0 Απόδειξη Έστω f(x)= χ, Π.Ο.= [0, + ) Για κάθε χ 0 (0, + ) έχουμε f (x o ) = lim = lim f(x) f(x 0 ) χ χ0 x x 0 ( χ χ 0 )( χ+ χ 0 ) χ χ0 (x x 0 )( χ+ χ 0 ) = lim χ χ0 χ χ 0 x x 0 = = lim χ χ0 2 2 χ χ0 = (x x 0 )( χ+ χ 0 ) x x = lim 0 = lim 1 1 = = 1. χ χ0 (x x 0 )( χ+ χ 0 ) χ χ 0 χ+ χ 0 χ 0 + χ 0 2 χ 0 Άρα ( χ) = 1 2 χ, χ > 0 (ημχ) =... 2010(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Α1 (8Μ) 2009(επαν)και 2005(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Α1 (9Μ) (συνχ) =... 2006(επαν)-2011(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Α1 (10Μ), 2015 (Σ-Λ) (e χ ) = (lnχ) =..., χ > 0
ΕΡΩΤΗΣΗ 6 η Αν f,g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο χ 0, να δειχθεί ότι η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 και ισχύει : (f + g) ( χ 0 ) = f ( χ 0 ) + g ( χ 0 ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω F(x)=f(x) + g(x), Π.Ο.= A Για κάθε χ 0 A έχουμε F (x o ) = lim F(x) F(x 0 ) χ χ0 x x 0 = lim χ χ0 f(x)+g(x) f(x 0 ) g(x 0 ) x x 0 = lim [ = lim χ χ0 f(x)+g(x) [f(x 0 )+g(x 0 )] x x 0 = χ χ 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 + g(x) g(x 0) x x 0 ] = = lim χ χ0 f(x) f(x 0 ) x x 0 + lim χ χ0 g(x) g(x 0 ) x x 0 = f ( χ 0 ) + g ( χ 0 ). Άρα (f + g) = f + g. Γενικά για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f 1, f 2, f 3,, f ν θα ισχύει : (f 1 + f 2 + f 3 + + f ν ) = f 1 + f 2 + f 3 + + f ν. ΕΡΩΤΗΣΗ 7 η Nα συμπληρωθούν : [(f g)(x)] = [c f(x)] = [( f g ) (x)] =, g(x) 0 Να συμπληρωθεί η ισότητα : ( f(x) g(x) h(x)) = 2006(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ(2Μ)
ΕΡΩΤΗΣΗ 8 η Τι γνωρίζεται για την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο g(χ 0 ), τότε η συνάρτηση fog είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 και ισχύει : (fog) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ) Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g(δ), τότε η συνάρτηση fog είναι στο Δ και ισχύει : (f(g(χ))) = f (g(χ)) g (χ) Δηλαδή, αν u=g(x), τότε: (f(u)) = f (u) u Mε το συμβολισμό του Leibniz, αν y=f(u) και u=g(x), έχουμε τον τύπο : dy = dy du dx du dx (KANONAΣ ΤΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ)
ΕΡΩΤΗΣΗ 9 η Nα βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων : f(x)=εφχ, χ κπ + π, κ N. 2 g(x)=σφχ, χ κπ, κ N. h(χ)=χ ν, χ 0. τ(χ)=χ α, χ> 0, α R N. H(χ)=α χ F(χ)=ln x ΛΥΣΗ Έστω η συνάρτηση f(χ) = εφχ. Π.Ο.= A 1 = R {x /συνx = 0} Για κάθε χ A 1 έχουμε: f (x) = (εφχ) = ( ημχ συνχ ) = (ημχ) συνχ ημχ (συνχ) συν 2 = χ = συνχ συνχ ημχ ( ημχ) συν 2 χ = συν2 χ+ημ 2 χ συν 2 χ = 1 συν 2 χ Άρα (εφχ) = Έστω η συνάρτηση g(χ) = σφχ. Π.Ο.= A 2 = R {x /ημx = 0} Για κάθε χ A 2 έχουμε: g (x) = (σφχ) = 1 συν 2 χ 2011 και 2009(επαν): ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) Έστω η συνάρτηση h(χ) = x ν, ν N. Π.Ο.= R Για κάθε χ R έχουμε: f (x) = (x ν ) = ( 1 x ν) = (1) x ν 1 (x ν ) (x ν ) 2 = = 0 xν 1 νx ν 1 χ 2ν Άρα = (x ν ) = νχ ν+1 ν. χν 1 χ 2ν = νχ ν+1 2012: ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ)
Έστω η συνάρτηση H(χ) = x α, α R N. Π.Ο.= (0, + ) Για κάθε χ (0, + ) έχουμε: H(x) = x α = e ln(xα) u(x)=α lnx α lnx = e y = e u(x) y = (e u(x) ) = e u(x) u(x) = e α lnx (α lnx) = x α α 1 x = α xα 1. Άρα (x α ) = α χ α 1 Έστω η συνάρτηση H(χ) = α χ, α > 0. Π.Ο.= R Για κάθε χ R έχουμε: 2006 : ΘΕΜΑ 1 ο (2Μ) H(x) = α χ = e ln(αχ) u(x)=χ lnα χ lnα = e y = e u(x) y = (e u(x) ) Σ-Λ = e u(x) u(x) = e χ lnα (χ lnα) = α χ 1 lnα = α χ lnα. Άρα (α χ ) = α χ lna 2006 και 2010(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) lnx, αν χ > 0 Έστω η συνάρτηση F(χ) = ln x F(χ) = { ln( x), αν χ < 0 Π.Ο.= R Για κάθε χ (0, + ) έχουμε: F (χ) = (lnχ) = 1 x Για κάθε χ (, 0) έχουμε: F(χ) = ln( χ) u(x)= χ y = ln(u(x)) y = (ln(u(x))) = 1 u(x) u(x) = 1 x ( x) = 1 x ( 1) = 1 x Άρα (ln x ) = 1 x 2008:ΘΕΜΑ 1 ο Α1 (10Μ) 2016(επαν),2006(επαν): Θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ)
ΕΡΩΤΗΣΗ 10 η Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής των τιμών μιας συνάρτησης f ως προς χ στο σημείο χ 0 ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν δύο μεταβλητά μεγέθη χ, y συνδέονται με τη f(x)=y, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο χ 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το χ στο σημείο χ 0 την παράγωγο f (χ 0 ).
ΕΡΩΤΗΣΗ 11 η Να διατυπωθεί και να γραφτεί η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω f μια συνάρτηση με : f συνεχής στο [α,β] f παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=f(β) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0, δηλ. η παράγωγος έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Γεωμετρική Ερμηνεία 2007(επαν) : Θέμα 1 ο (5Μ) Παρατηρούμε ότι στην C f υπάρχουν σημεία στα οποία η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στον xx δηλ. φ = 0 εφφ = 0 f (ξ) = 0 με ξϵ(α, β). Σημείωση 2002(επαν): Θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ) Προφανώς αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και μη αντιστρέψιμη (άρα όχι γν. μονότονη ) σε αυτό, τότε θα υπάρχει διάστημα [α,β] που θα πληρούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle.
ΕΡΩΤΗΣΗ 12 η Να διατυπωθεί και να γραφτεί η γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω f συνάρτηση με f συνεχής στο [α,β] f παραγωγίσιμη (α,β) 2003,2008(επαν),2016: Θέμα 1 ο (7Μ,5Μ,4M) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξϵ(α, β) τέτοιο ώστε: f (ξ) = f(β) f(α) β α Γεωμετρική Ερμηνεία 2008(επαν) και 2003: Θέμα 1 ο (5Μ και 7Μ) λ ΑΒ = y 2 y 1 = f(β) f(α) = f (ξ x 2 x 1 β α 1 ) = λ ε1 άρα ε 1 AB δηλ. υπάρχει τουλάχιστον μια εφαπτόμενη της C f που είναι στην AB.
ΕΡΩΤΗΣΗ 13 η Έστω f: συνάρτηση ορισμένη στο Δ. Αν η f : συνεχής στο Δ και f (x)=0 για κάθε εσωτερικό σημείο του xεδ να δειχτεί ότι η f = σταθερή στο Δ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για κάθε x 1, x 2 ϵδ θα δειχθεί ότι f(x 1 ) = f(x 2 ) προφανώς αν x 1 = x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) Αν x 1 x 2 με x 1 < x 2 έχουμε ότι η f: συνεχής στο [x 1, x 2 ] και f: παραγωγίσιμη στο (x 1, x 2 ) άρα από θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξϵ(x 1, x 2 ) τέτοιο ώστε: f (ξ) = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 0 = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 1 ) = f(x 2 ) για κάθε x 1 < x 2 άρα f σταθερή. Ομοίως και για x 1 > x 2. 2014,2009 και 2004(επαν): Θέμα 1 ο Α (8Μ-10Μ και 9Μ) 2016 Σ-Λ(2Μ)
ΕΡΩΤΗΣΗ 14 η Έστω f,g: συναρτήσεις σε ένα διάστημα Δ. Αν: f,g συνεχείς στο Δ και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ τότε υπάρχει σταθερά c τέτοιο ώστε για κάθε xεδ να ισχύει: f(x) = g(x) + c ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω η συνάρτηση h(x) = f(x) g(x) με h συνεχείς στο Δ και h (x) = [f(x) g(x)] h (x) = f (x) g (x) h (x) = 0 από γνωστό θεώρημα h(x) = c, cϵr f(x) g(x) = c f(x) = g(x) + c. 2007(επαν) : Θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ ) ΕΡΩΤΗΣΗ 15 η Τα θεωρήματα : <<f (x) = 0 για κάθε xεδ(εσωτ. ) f: σταθερή στο Δ και f = g για κάθε xεδ (εσωτ. ) f(x) = g(x) + c c, εr με f,g συνεχείς στο Δ και παραγωγίσιμες στα εσωτερικά σημεία του Δ ισχύουν για Δ να είναι ένωση διαστημάτων; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα παραπάνω θεωρήματα δεν ισχύουν για ένωση διαστημάτων. Πράγματι έστω : f(x) = { 1, x < 0 1, x > 0 f (x) = 0 για κάθε xϵ(, 0) (0, + ) ενώ f(x) σταθερή στο (, 0) (0, + ) άφου f( 2) = 1 και f(2) = 1. Σημείωση Έστω f συνάρτηση με f (χ) = f(x) για κάθε χ R τότε f(x)=c.e x c R. με
ΕΡΩΤΗΣΗ 16 η Έστω f: συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f (x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι στο Δ. Αν f (x) < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f στο Δ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 2004: Θέμα 1 ο Σ-Λ :(2Μ) Αν f (x) > 0 θα δειχθεί ότι f στο Δ. Έστω x 1, x 2 ϵδ με x 1 < x 2 θα δειχθεί ότι f(x 1 ) < f(x 2 ) Εφαρμόζω για την f στο [x 1, x 2 ] το θεώρημα μέσης τιμής. 2006 και 2012: Θέμα 1 ο (10Μ και 7Μ) f : συνεχής στο [x 1, x 2 ] f : παραγωγίσιμη στο (x 1, x 2 ) άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξϵ(x 1, x 2 ) τέτοιο ώστε f (ξ) = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 f (ξ) (x 2 x 1 ) = f(x 2 ) f(x 1 ) { με x 2 x 1 > 0 f (ξ) > 0 f(x 2 ) f(x 1 ) > 0 f(x 2 ) > f(x 1 ) f(x 1 ) < f(x 2 ) άρα για κάθε x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) δηλ. f στο Δ.
ΕΡΩΤΗΣΗ 17 η Αν f στο διάστημα Δ τότε f(x) > 0 για κάθε xεδ (εσωτερικά); Σ - Λ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Είναι λάθος διότι: H f(x) = x 3 είναι στο R αλλά f (x) = 3x 2 0 2007-2010-2014: Θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ) Αφού για x=0 έχω f (0) = 0. ΕΡΩΤΗΣΗ 18 η Nα συμπληρωθούν τα κενά: Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι και. από ένα τοπικό ελάχιστο. Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το. από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει., τότε θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα. Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα, μιας συνάρτησης δεν είναι πάντα. αυτής. Επίσης το μικρότερο από τα.. μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης. Να γίνουν δύο γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων που να παρουσιάζουν τις πιο πάνω καταστάσεις.
ΕΡΩΤΗΣΗ 19 η Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα του fermat. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό τότε : f (x 0 )=0. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω x 0 = θέση τοπικού μεγίστου άρα f(x) f(x 0 ) για μια περιοχή του x 0, δηλαδή για κάθε xϵ(x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ) Δ. Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 τότε: αν xϵ(x 0 δ, x 0 ) τότε f (x 0 ) 0 αν xϵ(x 0, x 0 + δ) τότε f (x 0 ) 0 f(x) f(x 0 ) 0 lim f(x) f(x 0) x x x x0 0 0 x x 0 f(x) f(x 0 ) 0 lim f(x) f(x 0) x x x x0 + 0 0 x x 0 Άρα f (χ 0 ) = 0. 2012(επαν): Θέμα 1 ο (6Μ) και 2002(επαν): Θέμα 1 ο Σ-Λ(2Μ) 2016(επαν), 2011,2004: Θέμα 1 ο (10Μ) Σημείωση Η αντιθετοαντιστροφή του Θεωρήματος Fermat είναι : Έστω f: ορισμένη στο Δ και παραγωγίσιμη στα εσωτερικά του Δ με f (χ 0 ) 0 και χ 0 εσωτερικό σημείο του Δ τότε το χ 0 δεν είναι θέση τοπικού ακρότατου.
ΕΡΩΤΗΣΗ 20 η Ποια η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος fermat; Παρατηρούμε την Cf και βλέπουμε ότι το χ 0 είναι θέση τοπικού μεγίστου. Η εφαπτομένη (αν ορίζεται) στο σημείο με τετμημένη το χ 0 είναι παράλληλη στον χχ, δηλ. f (χ 0 ) = 0 λ ε = 0 εφφ = 0 φ = 0 ε χχ. ΕΡΩΤΗΣΗ 21 η Το αντίστροφο του θεωρήματος fermat ισχύει; 2003: Θέμα 1 ο Σ-Λ : (2Μ) Όχι διότι μπορεί να είναι f (χ 0 ) = 0 ενώ το χ 0 να μην είναι θέση τοπικού ακρότατου. Π.χ. f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 με f (x) = 0 3x 2 = 0 χ = 0 δηλ. f (0) = 0 με το χ 0 = 0 να μην είναι θέση τοπικού ακρότατου αφού.
ΕΡΩΤΗΣΗ 22 η Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακρότατων μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ. Ποιες από αυτές ονομάζονται κρίσιμα σημεία; Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακρότατων μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι : α) Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγός της μηδενίζεται. β) Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. γ) Τα άκρα του διαστήματος Δ (αν ανήκουν στο Π.Ο.) Τα κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ είναι: α) Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγός της μηδενίζεται. β) Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν Σημείωση παραγωγίζεται. 2005(επαν) : Θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ) Τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης μπορεί να είναι θέσεις τοπικών ακρότατων και μπορεί όχι.
ΕΡΩΤΗΣΗ 23 η Να γραφτεί το θεώρημα (κριτήριο) το οποίο μας πληροφορεί, ποια από τα κρίσιμα σημεία της f είναι θέσεις τοπικών ακρότατων αυτής και να αποδειχτεί. Να γραφτεί και η γεωμετρική ερμηνεία. Έστω η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο (α,β) με εξαίρεση ίσως σ ένα σημείο χ 0 στο οποίο η f είναι συνεχής. α) Αν η f (x) > 0 στο (α, χ 0 ) και f (x) < 0 στο ( χ 0, β) τότε το y 0 = f(χ 0 ) είναι τοπικό μέγιστο της f. Απόδειξη Έχουμε f (x) > 0 για κάθε χ (α, χ 0 ) και η f είναι συνεχή στο χ 0, άρα η f είναι γν. αύξουσα στο (α, χ 0 ] δηλ. για χ χ 0 f f (χ) f(χ0 ) για κάθε χ (α, χ 0 ] (1). 2003(επαν) : Θέμα 1 ο Σ-Λ(2Μ) 2012(επαν.),2016: Θέμα 1 ο (7Μ) Έχουμε f (x) < 0 για κάθε χ ( χ 0, β) και η f είναι συνεχή στο χ 0, άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο [ χ 0, β) δηλ. για χ χ 0 f f (χ) f(χ0 ) για κάθε χ [ χ 0, β)(2). Από (1), (2) έχουμε f (χ) f(χ 0 ) για κάθε χ (α, β) Δηλ. y 0 = f(χ 0 ) είναι τοπικό μέγιστο της f. x α χ 0 β f (x) + - f f(x) y max = f(χ 0 )
β) Αν η f (x) < 0 στο (α, χ 0 ) και f (x) > 0 στο ( χ 0, β) τότε το y 0 = f(χ 0 ) είναι τοπικό ελάχιστο της f. x α χ 0 β f (x) - + f f(x) y min = f(χ 0 )
γ) Αν η f (x) διατηρεί πρόσημο στο (α, χ 0 ) ( χ 0, β) τότε το f(χ 0 ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,β). Απόδειξη Έστω ότι έχουμε f (x) > 0 για κάθε χ (α, χ 0 ) ( χ 0, β) και επειδή η f είναι συνεχής στο χ 0 τότε θα είναι και γν. αύξουσα σε καθένα από τα (α, χ 0 ], [ χ 0, β) δηλ. αν χ 1 < χ 0 < χ 2 f f( χ 1 ) < f(χ 0 ) < f(χ 2 ) οπότε το f(χ 0 ) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. 2014(επαν): θέμα 1 ο Α1(7Μ) Θα δείξουμε τώρα ότι η f είναι γν. αύξουσα στο (α,β). Για κάθε χ 1, χ 2 (α, χ 0 ] με χ 1 < χ 2 f f( χ 1 ) < f(χ 2 ) Για κάθε χ 1, χ 2 [χ 0, β) με χ 1 < χ 2 f f( χ 1 ) < f(χ 2 ) Για κάθε χ 1 (α, χ 0 ] και χ 2 [χ 0, β) με χ 1 < χ 0 < χ 2 f f( χ 1 ) < f(χ 0 ) < f(χ 2 ) Οπότε και στις 3 περιπτώσεις έχουμε f( χ 1 ) < f(χ 2 ) με χ 1 < χ 2 Δηλ. η f γν. αύξουσα στο (α,β) x α χ 0 β f (x) + + f f(x) Δεν υπάρχουν ακρότατα.
ΕΡΩΤΗΣΗ 24 η Έστω f μία συνάρτηση συνεχής στο [α,β]. Πως εργαζόμαστε για την εύρεση του ολικού μεγίστου και ελαχίστου. Είναι γνωστό ότι οι πιθανές θέσεις ακρότατων είναι τα κρίσιμα σημεία και τα άκρα του διαστήματος άρα: Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f. (δηλ. τα χ 0 για τα οποία f (χ 0 ) = 0 ή f (χ 0 ) =δεν ορίζεται.) Προσοχή ελέγχω αν το πρόσημο της f αλλάζει γύρω από το χ 0. Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων. Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το ολικό μέγιστο και η μικρότερη το ολικό ελάχιστο. Εφαρμογή Να βρεθούν τα ακρότατα της f(x) = 2x 3 15x 2 + 24x + 19 για χ [0,5]. Λύση
ΕΡΩΤΗΣΗ 25 η Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f : α) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω (κυρτή); β) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω (κοίλη); Να ερμηνευτεί ο ορισμός γεωμετρικά. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι : α) Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ. Γεωμετρική Ερμηνεία 2006: θέμα 1 ο Α2 (5Μ) Παρατηρούμε ότι για: 90 0 <φ i<180 0 χ 1 < χ 2 φ 1 < φ 2 εφφ 1 < εφφ 2 f (χ 1 ) < f (χ 2 ) f στο Δ. Σημείωση Αν η f είναι κυρτή τότε κάθε σημείο της C f βρίσκεται πάνω από όλες τις εφαπτόμενές της, με εξαίρεση το σημείο επαφής. 2003: θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ)
β) Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. Γεωμετρική Ερμηνεία 2014-2010: θέμα 1 ο Α2 (4Μ)-Α3 (5Μ) Παρατηρούμε ότι για: 0 0 φ i<90 0 χ 1 < χ 2 φ 1 > φ 2 εφφ 1 > εφφ 2 f (χ 1 ) > f (χ 2 ) f στο Δ. Σημείωση Αν η f είναι κοίλη τότε κάθε σημείο της C f βρίσκεται κάτω από όλες τις εφαπτόμενές της, με εξαίρεση το σημείο επαφής. ΕΡΩΤΗΣΗ 26 η Να γραφτεί το θεώρημα που συνδέει τη 2 η παράγωγο της συνάρτησης με την κυρτότητά της. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ: Αν f (χ) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ (δηλ. f στο Δ) τότε η f είναι κυρτή στο Δ. Αν f (χ) < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ (δηλ. f στο Δ) τότε η f είναι κοίλη στο Δ. 2008(επαν): θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ) 2003: θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ)
ΕΡΩΤΗΣΗ 27 η Ισχύει το αντίστροφο του θεώρημα που συνδέει τη 2 η παράγωγο της συνάρτησης με την κυρτότητά της; Να δοθεί παράδειγμα. Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλ. αν π.χ. η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω τότε δεν συνεπάγεται ότι και f (χ) > 0. Πράγματι: Έστω f(x) = x 4 f (x) = 4x 3 f (x) = 12x 2 0 για κάθε χ R. Ενώ η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. 2014(επαν)-2008: θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ)
ΕΡΩΤΗΣΗ 28 η Τι ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f ; Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του χ 0. Αν : η f είναι κυρτή στο (α, χ 0 ) και κοίλη στο (χ 0, β) ή αντιστρόφως και η C f έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )) τότε το σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )) ονομάζεται σημείο καμπής της C f. Γεωμετρική ερμηνεία 2005(επαν): θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ) Παρατηρούμε ότι η f στο (α, χ 0 ) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, ενώ στο (χ 0, β) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω και στο σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )) η C f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη ( θα μπορούσε και πλάγια, οπότε είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 ). Τότε λέμε ότι το σημείο Α είναι Σημείο Καμπής της f.
Παρατηρούμε ότι η f στο (α, χ 0 ) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, ενώ στο (χ 0, β) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω και στο σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )) η C f δέχεται κατακόρυφη εφαπτομένη ( οπότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 ). Τότε λέμε ότι το σημείο Α είναι Σημείο Καμπής της f.
ΕΡΩΤΗΣΗ 29 η Να γραφτεί το θεώρημα που συνδέει το σημείο καμπής με την 2 η παράγωγο. << Αν το Α(x 0, f(x 0 )) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη, τότε f (x 0 ) = 0.>> Το αντίστροφο δεν ισχύει αφού αν f(x) = x 4 f (x) = 4x 3 f (x) = 12x 2 με f (0) = 0 ενώ η γραφική παράσταση της f είναι: παρατηρώντας την C f βλέπουμε ότι στο χ 0 = 0 δεν έχουμε σημείο καμπής. Προφανώς ισχύει η αντιθετοαντιστροφή του πιο πάνω θεωρήματος: <<Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα χ 0 με f (x 0 ) 0, τότε στο χ 0 δεν έχουμε σημείο καμπής. ΕΡΩΤΗΣΗ 30 η Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής; Οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ είναι : i. τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f μηδενίζεται ή ii. τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f.
ΕΡΩΤΗΣΗ 31 η Πότε λέμε ότι ένα σημείο είναι σημείο καμπής. Από τον ορισμό του σημείου καμπής και το θεώρημα κυρτότητας προκύπτει το ακόλουθο θεώρημα : <<Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα (α,β) και χ 0 (α, β).αν: η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του χ 0 και ορίζεται εφαπτομένη της C f στο Α(χ 0, f(χ 0 )), τότε το Α(χ 0, f(χ 0 )) είναι σημείο καμπής. ΕΡΩΤΗΣΗ 32 η Τι ονομάζεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Να γραφτεί η γεωμετρική ερμηνεία. <<Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim χ χ0 ± f(x) είναι ± τότε η ευθεία ε: χ=χ 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. >> Γεωμετρική Ερμηνεία 2015(επαν)-2010 και 2003(επαν): θέμα 1 ο Α3- Α2 (4Μ) και (7Μ) Παρατηρούμε ότι lim χ χ0 f(x) =, lim χ χ0 + f(x) = + οπότε η ευθεία ε: χ=χ 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f.
ΕΡΩΤΗΣΗ 33 η Πότε λέμε ότι η ευθεία ε: y=λ.χ+β είναι ασύμπτωτη ; Πως προσδιορίζουμε την ευθεία αυτή; << Η ευθεία y=λχ+β λέγεται ασύμπτωτη της C f στο ± αν : lim χ ± [f(x) (λχ + β)] = 0 >> Γεωμετρική Ερμηνεία 2010 και 2005: θέμα 1 ο Α2 (5Μ και 4Μ) Παρατηρούμε ότι η C f πλησιάζει την ευθεία ε: y=λχ+β αλλά δεν την τέμνει όταν χ ±, δηλ. lim χ ± [f(x) (λχ + β)] = 0. Για να προσδιορίσουμε την ασύμπτωτη ευθεία ε: y=λχ+β υπολογίζουμε τα όρια : f(x) lim = λ R χ ± x lim χ ± [f(x) λχ] = β R
ΕΡΩΤΗΣΗ 34 η Πότε λέμε ότι έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη ; Αν το όριο : f(x) λ = lim = 0 και χ ± x [f(x) 0. χ] = lim lim χ ± χ ± f(x) = β R Τότε προκύπτει η ευθεία ε: y=0.χ+β ε: y=β ε χχ (οριζόντια ασύμπτωτη). 2016(επαν),2007: θέμα 1 ο Α3 (4Μ,3Μ) 2016(επαν),2015(επαν) (Σ-Λ) ΕΡΩΤΗΣΗ 35 η Ποιες συναρτήσεις δεν έχουν ασύμπτωτες; Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες. Οι ρητές συναρτήσεις P(x), με βαθμ.p(x) βαθμ.q(x)+2 Q(x) δεν έχουν πλάγιες (άρα και οριζόντιες) ασύμπτωτες.
ΕΡΩΤΗΣΗ 36 η Σε ποια σημεία του Π.Ο. μιας συνάρτησης αναζητούμε ασύμπτωτες; Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f τις αναζητούμε : Στα άκρα των διαστημάτων του Π.Ο. της στα οποία η f δεν ορίζεται. Στα σημεία του Π.Ο. της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής. Στο ±, εφόσον η f είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής : (α, + ), (, α). ΕΡΩΤΗΣΗ 37 η Να γραφτούν οι κανόνες του de L Hospital. Aν lim χ χ0 f(x) = 0, lim χ χ0 g(x) = 0, χ 0 R {± } και υπάρχει το lim f (x) (πεπερασμένο ή άπειρο) τότε : χ χ 0 g (x) f(x) lim χ χ 0 g(x) = lim f (x) χ χ 0 g (x) Aν lim χ χ0 f(x) = ±, lim χ χ0 g(x) = ±, χ 0 R {± } και υπάρχει το lim f (x) (πεπερασμένο ή άπειρο) τότε : χ χ 0 g (x) f(x) lim χ χ 0 g(x) = lim f (x) χ χ 0 g (x)