Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο o R Έστω συνάρτηση ορισμένη στο Δ και Δ. Για να εξετάσουμε, αν η παραγωγίζεται ή όχι στο και στην περίπτωση που παραγωγίζεται να βρούμε την ( o ), κάνουμε τα εξής : Α. Αν η παραγωγίζεται σ ένα υποσύνολο του Δ που περιέχει το o, τότε βρίσκουμε την () και στη συνέχεια αντικαθιστούμε όπου το o. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση () = ημ + συν. Να βρείτε την (π). Λύση Για κάθε R είναι () = ( ημ + συν) = ( ημ) + (συν) = ημ + συν ημ = συν Επομένως (π) = π συνπ = π ( ) = π. Β. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις, όπου η παραγωγισιμότητα της στο o εξετάζεται υποχρεωτικά με τον ορισμό: ()-( ) lim = ( ) - ή ( + h) - ( ) lim = ( ) h h Αυτές είναι:. Aν το o είναι σημείο μηδενισμού απόλυτης τιμής. Παράδειγμα ο Δίνεται η συνάρτηση () =. Να αποδείξετε ότι η παραγωγίζεται στο o = και να βρείτε την (). Λύση () () Για έχουμε lim = lim = lim = R. Άρα η συνάρτηση παραγωγίζεται στο o = με () =.

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Παράδειγμα ο Δίνεται η συνάρτηση () = -. Να εξετάσετε αν η παραγωγίζεται στο o = Λύση () () ( ) Για > έχουμε lim = lim = lim = lim =. + () () ( ) Για < έχουμε lim = lim = lim = lim( ) =. - () () () () Παρατηρούμε ότι lim lim, άρα η συνάρτηση δεν - + παραγωγίζεται στο o =. Aν το o είναι σημείο μηδενισμού υπόριζης ποσότητας. Παράδειγμα ο Δίνεται η συνάρτηση () = ημ. Να αποδείξετε ότι η παραγωγίζεται στο o = και να βρείτε την (). Λύση () () ημ ημ Για > έχουμε lim = lim = lim = = R. + Άρα η συνάρτηση παραγωγίζεται στο o = με () =. Παράδειγμα ο Δίνεται η συνάρτηση () = +. Να εξετάσετε αν η παραγωγίζεται στο o = Λύση () ( ) + Για > έχουμε lim = lim = lim = +, αφού + ( ) + + lim + = και + > για (, + ). Άρα η συνάρτηση δεν παραγωγίζεται στο o =.. Aν το o είναι σημείο αλλαγής του τύπου της συνάρτησης.

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Παράδειγμα ο Δίνεται η συνάρτηση () =,,. Να αποδείξετε ότι η παραγωγίζε- < ται στο o = και να βρείτε την (). Για > έχουμε Λύση () () ( )( + + ) lim = lim = lim = lim( + + + ) =. () () ( ) Για < έχουμε lim = lim = lim =. - () () () () Παρατηρούμε ότι lim = lim =, άρα η συνάρτηση παραγωγίζεται στο o = με () =. + - Παράδειγμα ο Δίνεται η συνάρτηση () ημ =,,. Να εξετάσετε αν η παραγωγίζεται < στο o = Λύση () () ημ ημ Για > έχουμε lim = lim = lim =. + () () Για < έχουμε lim = lim = lim =. - () () () () Παρατηρούμε ότι lim lim, άρα η συνάρτηση δεν - + παραγωγίζεται στο =. 4. Aν το o δίνεται με ειδική τιμή. Παράδειγμα ο Δίνεται η συνάρτηση () ημ =. Να αποδείξετε ότι η παραγωγίζεται στο o = και να βρείτε την ().,, = 4

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Λύση ημ () () ημ Για έχουμε lim lim = = lim = Άρα η συνάρτηση παραγωγίζεται στο o = με () =. Παράδειγμα ο Δίνεται η συνάρτηση. Να εξετάσετε αν η παραγωγίζε- = ται στο o = Για έχουμε () συν =,, Λύση συν () () συν lim = lim = lim = lim συν = +, γιατί lim (συν) = > και lim = +. Άρα η συνάρτηση δεν παραγωγίζεται στο o = Σημείωση : Ένας ος τρόπος για να αποδείξουμε ότι η δεν παραγωγίζεται στο o = είναι η ασυνέχεια της στο o = ( Ο οποίος πρέπει και να προηγείται). 5. Αν δε γνωρίζω τον τύπο της, αλλά γνωρίζω ένα όριο μιας παράστασης της. Παράδειγμα () + 6 Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο o = με lim = 6. Να αποδείξετε ότι η παραγωγίζεται στο o = και να βρείτε την ( ). Θέτουμε Λύση () + 6 g( ) = κοντά στο o =, οπότε () = ( )g( ) + Είναι lim g() = 6, οπότε lim () = lim ( 6. ( )g( ) + 6) = 6 + 4 = 8. 5

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Επειδή η είναι συνεχής στο o = είναι () = lim () = 8 Για κοντά στο o = έχουμε () () ( )g( ) + 6 ( 8) lim = lim = ( )g( ) 6 + 8 lim + = lim[ g ( ) + 4] = 6 + 4 = 4. Άρα η συνάρτηση παραγωγίζεται στο o = με () = 4. 6. Αν δε γνωρίζω τον τύπο της, αλλά γνωρίζω μια ανισότητα για την. Παράδειγμα Έστω συνάρτηση η οποία για κάθε ημ () ημ +. Αν, R ικανοποιεί τη σχέση () = να αποδείξετε ότι η παραγωγίζεται στο o = και να βρείτε την (). Λύση Για κοντά στο είναι >, οπότε έχουμε : ημ () ημ + + ημ () ημ ημ () ημ + ημ () () ημ +, αφού () =. ημ ημ Είναι lim = = και lim + = + =, οπότε από κριτήριο παρεμβολής () () έχουμε lim =. () =. Άρα η συνάρτηση παραγωγίζεται στο o = με 7. Αν δε γνωρίζω τον τύπο της, αλλά γνωρίζω μια ισότητα για την. Παράδειγμα Έστω συνάρτηση η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση () + () = + ημ. Αν η παραγωγίζεται στο o = να βρείτε την (). Λύση () () Η παραγωγίζεται στο o = οπότε () = lim. 6

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Για = από την αρχική σχέση έχουμε () = () =, άρα () () = lim (). Για κοντά στο είναι, οπότε έχουμε : () () ημ () () ημ + = + + = + () () ημ + = +. Άρα () () ημ lim + = lim + () () () ημ lim + lim = + lim [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) () + () = () () + () + = () = 8. Αν δε γνωρίζω τον τύπο της, αλλά γνωρίζω μια συναρτησιακή σχέση για την. Παράδειγμα Αν για τη συνάρτηση ισχύει () = και ( + y) = συ ν (y) + συ νy () για κάθε, y R, να αποδείξετε ότι η παραγωγίζεται στο o = π και να βρείτε την ( π). Λύση Για = y = από την αρχική σχέση έχουμε : ( + ) = συ ν () + συ ν () () = () + () () =. (h) () (h) Η παραγωγίζεται στο, οπότε () = lim lim =. h h h Για π θα βρούμε το όριο h και έχουμε () (π) lim. Θέτουμε = π + h, όταν π το π π () (π) (π + h) (π) συνπ (h) + συνh (π) (π) lim = lim = lim π π h π + h π h h (h) συνh (h) συνh lim συνπ (π) ( )lim (π) lim h + = + h h h h h h ( ) + (π) = = 7

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Άρα η συνάρτηση παραγωγίζεται στο o = π με (π) =. Παρατήρηση: Στο προηγούμενο παράδειγμα μπορούμε να δουλέψουμε κατευθείαν με τον τύπο ( +h) ( ) (π + h) (π) lim = lim = h h h h ΣΧΟΛΙΟ: Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζονται οι συναρτήσεις ()= log, > (εφαρμόζουμε τον τύπο αλλαγής βάσης), g( θ) = ημθ (και όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις), όταν το θ εκφράζει το μέτρο της γωνίας σε μοίρες. Ισχύει: ' ln α. ()= ( log) = = ln ln β. Είναι γνωστή η σχέση που συνδέει τα ακτίνια με τις μοίρες. θ πθ = =. π 8 8 Άρα: dg dg d π π ο = =συν = συνθ (επειδή αν θ το μέτρο σε μοίρες και dθ d dθ 8 8 το μέτρο σε ακτίνια της ίδιας γωνίας ισχύει Δηλαδή ισχύει g (θ) = π συνθ 8 ο συν=συνθ ). Ασκήσεις για λύση. Α. Να βρεθούν τα α, β R ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι παραγωγίσιμες στα αντίστοιχα o. i., < () = α + β, α + β, < ii. ( ) =, = +, ³, ο = (απ. α =, β = 6 ) (απ. α =, β = ) iii. iv. α, +β, > + α + β, ( ) = +5, > ( ) =, = (απ. α = /4, β = 7/4 ), = (απ. α = /, β =7/ ) 8

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Β. Δίνεται η συνάρτηση: () = 7, = α + β 5, i. Να βρεθούν οι α, β R ώστε η να είναι συνεχής στο o =. ii. Να βρεθεί η (), για κάθε R. (απ. α =, β = 4 ).. α. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο o = και ότι () = 5. () lim = 5, αποδείξτε β. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο o = και ότι () =. () lim =, αποδείξτε γ. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο R, () lim = και 4 g() = ( + + 5) (), αποδείξτε ότι g () = 6.. α. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο o = 5 και g( ) = ( 7+) ( ) δείξτε ότι: g () 5= () 5. β. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο o = και για κάθε R ισχύει g() = ( + )() αποδείξτε ότι g () = (). γ. Δίνονται οι συναρτήσεις, g τέτοιες ώστε ( ) = ( 5 ) g( ) R. Αν g() = και g ( =. ) Δείξτε ότι () = 4. + για κάθε 4. α. Αν για τη συνάρτηση ισχύει () + e για κάθε R, να αποδείξετε ότι () =. β. Αν για τη συνάρτηση ισχύει () ημ για κάθε R, να αποδείξετε ότι () =. γ. Δίνονται οι συναρτήσεις, g τέτοιες ώστε για κάθε R, να ισχύει: g( ) ( ) g( ) + ( ). Αν η g είναι παραγωγίσιμη στο o = με 9

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός g ( ) = 7 δείξτε ότι ( =7. ) 5. α. Έστω η συνάρτηση :R R με: ( + y ) = ( ) ( y), για κάθε, y R, με (). Δείξτε ότι αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι παραγωγίσιμη σε κάθε ο β. Έστω η συνάρτηση :R R R και ισχύει ( ) = ( ) () + y = συνy+ y συν, με: ( ) ( ) ( ) για κάθε,y R. Δείξτε ότι αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι παραγωγίσιμη στο R με ( ) = ( ) συν. 6. Έστω η συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι η συνάρτηση g( ) ( ) παραγωγίσιμη στο o αν και μόνο αν ( o ) =. 7. Έστω συνάρτηση :R R = είναι παραγωγίσιμη στο R με: ( α + β) ( α) ( β) ο για κάθε α, β R. Αν ( ) = και ( ) =, δείξτε ότι: ( ) = ( ),για κάθε R. 8. Έστω συνάρτηση :R R τέτοια ώστε ( + y ) = ( ) ( y), y R. Έστω επίσης συνάρτηση g:r R για κάθε lim g = και, τέτοια ώστε ( ) ( ) =+ g( ) για κάθε R. Δείξτε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο R με ( ) =( ), για κάθε R. 9. Να αποδείξετε τις παρακάτω αντιστοιχίσεις: Στήλη Α (συνάρτηση) Στήλη Β (πρώτη παράγωγος) i. () = lnσυν () = ( () = συν )ημ g() = ημ( ) h() = e ημ + φ()=e ημ () = συν lnημ () = ( )ημ + ( )συν () = ημ ημ g () = συν( ) ημ h () = e συν + φ () = e (ημ + συν)

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός ii. () = ln, > h() =, >, ln ln () =, > ln h ()=, >, (ln) iii. g() = ln(ln), > ln φ() =, > + () = ln, > g() = ln(e +) g () =, > ln ln + + φ() =, > ( +) () =, > e g () = e + iv. h() = e + () =, + h ()=e + + ( ) ( ) ()= +, + g() = e + g () = g() + e + v. () = ( ln ) ln, > ημ g() =, > Σημειώνουμε ότι: ( ) ln + ln(ln) () = ln ημ g () = συνln + ημ, >, > ( ) g() g()ln(()) () = e, () > vi. () = g()= συν, π, = ημ,, = () = π π συν +πημ,, = ημ συν, g () =, =

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός vii. viii. g() = +, < () = + 5, 6 () = g() = 4, ± h() = ημ, κπ, κ Ζ Σημειώνουμε ότι:. Πρέπει πρώτα να βγάλουμε το απόλυτο.. Μπορούμε να δουλέψουμε χρησιμοποιώντας και την ισότητα =. i. ( ) 4 () = + + 5, ( ) g() = 4 h() = ( ). g() = (ημ) h() = ημ( () ) φ() = ( (συν) ) g () = ( +), < < () =, +, <, > ()=, < < ( 4) g () =, ± 4 ημσυν h ()=, κπ ημ 4 () =, > g() = 5 5 +, >, < 4, h () = 4, < Παρατήρηση: Αποδεικνύουμε με τον ορισμό ότι οι συναρτήσεις και g δεν είναι παραγωγίσιμες στο και αντιστοίχως. g () = (ημ)συν h ()=() ()συν( () ) φ (χ) = (συν) (συν)ημ Παρατήρηση: Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R.

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός. i. Αν () = + ημ + συν, αποδείξτε ότι () + () + =. ii. Αν () = ln + ln +, iii. Αν () = συν, αποδείξτε ότι >, αποδείξτε ότι iv. Αν () = ημ( ln ), >, αποδείξτε ότι ημ =. () () () + () =. () + () + () =. v. Αν () = ( ημ( ln) συν( ln )), >, αποδείξτε ότι (). () vi. Αν () = ln, >, αποδείξτε ότι () e + =. ( + ) vii. Αν () = ημ (α), R, να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α, ώστε να ισχύει () + 4α () = για κάθε R. ( απ. α =± ),+ και για. α. Η συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο ( ) κάθε (, + ) είναι ln, δείξτε ότι ( elnπ) e = =. lnπ β. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R *, για την οποία ισχύει = για κάθε >. Αποδείξτε ότι e π +π π (π) e ( e ) (ln) e ln = +.. Δίνεται η άρτια και παραγωγίσιμη συνάρτηση :R R. Έστω η συνάρτηση g( ) = + ( ) +, R. Να βρεθεί η τιμή του g (). ( απ. g ()= ). Δίνονται οι συναρτήσεις, g παραγωγίσιμες στο o με g( o ) και g ( o ). ( ) ( ) ο Ορίζουμε F( ) =, με F ( ο ) =. Δείξτε ότι F( ο) =. g( ) g ( ) ο (ΘΕΜΑ) 4. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει () = + ( () ), για κάθε R και () =. Αποδείξτε ότι: () i. = () () ii. () =., για κάθε R. () iii. lim =. 5. Έστω περιττή συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, και η συνάρτηση φ =. Δείξτε ότι : ( ) ( ) ( ) i. Η είναι άρτια και η περιττή ii. ( ) = ( ) =

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός iii. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ = +, ( ) ( ). φ 6. Αν ρ, ρ, ρ πραγματικές και άνισες ρίζες της συνάρτησης = α + β + γ + δ, (α, β, γ, δ R, α ), να αποδειχθεί ότι: ( ) i. ii. ( ) ( ) = + +, ρ, ρ, ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ + + = ρ ρ ρ ( ) ( ) ( ) 7. Αν η συνάρτηση :R R είναι συνεχής στο και i. Αποδείξτε ότι: () = ii. Αποδείξτε ότι: () = 8. Αν για κάθε R ισχύει: ( ) g( ). Αν ( ) i. Να βρείτε τη τιμή του () ( ) 5 lim = 4. g= και g () =. ii. Να υπολογίσετε το ( ). (απ. () = ) 9. Αποδείξτε ότι αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο o τότε: ( +h) ( ) i. lim = ( ο) h h ii. ( ) ( ) h + h ( ) lim = 4 h h ( ) ( ) h iii. lim = ( ) ( ) h h. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο o =, να υπολογίσετε τα όρια: i. ii. lim lim ( ) ( ) + 4 ( ) ( ) ( ) ( ) συν + 4. i. Αν ( ) ii. Αν = α, α > αποδείξτε ότι: α () = e, α R * αποδείξτε ότι ( απ. i) (), ii) ) ( ν ) ( ) ( ) ν * =. α lnα, ν N (ν) ν α. () = α e (ν) ν (ν )! iii. Αν () = ln, > αποδείξτε ότι: () = ( ), >. ν. Έστω πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού ν. Δείξτε ότι η εξίσωση () = έχει διπλή ρίζα τον αριθμό ρ R αν και μόνο αν ( ρ ) = ( ρ= ). 4

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος 5

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και Δ. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης στο σημείο (, ( )) Α την ευθεία ( ε ) που διέρχεται από το Α και έχει κλίση ( συντελεστή διεύθυνσης ) την ( ), δηλαδή την ευθεία με εξίσωση ( ε ) : ( ) = ( )( ) y Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη (ε) με τον άξονα, τότε ισχύει : ( ) = λ ε = ε φω ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α ΟΜΑΔΑ : Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης και γνωρίζουμε το σημείο επαφής. Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση () = ( ). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης α. (, ()) Α και β. Β ( 4, (4)). α. Για C της συνάρτησης στο σημείο: Λύση () () lim = lim = ( ) > έχουμε lim( ). Άρα η παραγωγίζεται στο = με () =, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο (, ()) Α είναι (ε ) : y () = () ( ) y = ( ) y =. = 6

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός β. Για [ ] > έχουμε ( ) = ( ) = ( ) + ( ) = = + = + =. Η παραγωγίζεται στο = 4 με (4) = 4 =, επίσης είναι (4) = 4 ( 4 ) = 4. Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο ( 4, (4)) ( ε ) : y (4) = (4) ( 4) y ( 4) = ( 4) y = 4. Β είναι Β ΟΜΑΔΑ : Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης και δεν γνωρίζουμε το σημείο επαφής. Στη περίπτωση αυτή θεωρούμε σημείο επαφής (, ( )) Μ και προσδιορίζουμε τον συντελεστή διεύθυνσης, αν πρόκειται για μη κατακόρυφη εφαπτομένη, ή βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης, αν αυτό είναι απαραίτητο. Στη συνέχεια με κάποια συνθήκη που θα δίνεται στην άσκηση προσδιορίζουμε την τετμημένη του σημείου επαφής και ότι άλλο απαιτείται. Άσκηση : ( Δίνεται έμμεσα ο συντελεστής διεύθυνσης ) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης C της συ- νάρτησης () = + 4 + 8 οι οποίες α. είναι παράλληλες προς την ευθεία ζ : y = 7. β. είναι κάθετες στην ευθεία η : y = +. 4 γ. σχηματίζουν με τον άξονα γωνία ω = 45 Για κάθε Λύση R έχουμε ( ) = 6 + 4. Επομένως ορίζεται εφαπτομένη της C σε κάθε σημείο της. Αν (, ( )) Μ C στο Μ, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης λ = ( ) λε = 6 ε + α. ΕίναιQ το σημείο επαφής και ( ε ) η εφαπτομένη της 4. λ ε της εφαπτομένης είναι 7

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός ( ) = ε // ζ λ ε = λ ζ 6 + 4= 6 9 = = = ή = Αν = τότε η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) της. C στο σημείο Μ (, ()) είναι (ε): y () = () ( ) y = ( ) y = 9. Αν = τότε η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C στο σημείο Μ (, ( ) ) είναι (ε) : y ( ) = ( ) ( + ) y = ( + ) y = +. β. Είναι: ( + ) = 6 4 6 + 4 = η λ ε λ η = 4 4 ε ( ) 6 = = = ή =. Αν = τότε η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) της C στο σημείο Μ (, ()) είναι (ε) : y () = () ( ) y 8 = 4 ( ) y = 4 + 8. Αν = τότε η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) της C στο σημείο Μ (, ()) είναι (ε) : y () = () ( ) y = 4 ( ) y = 4 + 4. γ. Είναι ( + ) = = εφ45 6 + 4 = 6 + = λ ε ( ) = =. = Για = η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) της (ε) : y () = () ( ) y = ( ) y = + 9. C στο σημείο (, ()) Μ είναι Άσκηση : ( Δίνεται σημείο εκτός της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης από το οποίο διέρχεται η εφαπτομένη ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης Για κάθε () = + + η οποία διέρχεται από το σημείο Α (, ). Λύση R έχουμε ( ) = + +. Επομένως ορίζεται εφαπτομένη της C σε κάθε σημείο της. Αν (, ( )) Μ C στο Μ, τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι το σημείο επαφής και ( ε ) η εφαπτομένη της ( ε ) : y ( ) = ( ) ( ) y ( + + ) = ( + + ) ( ) Επειδή (, ) (). Α (ε ) η εξίσωση () επαληθεύεται για = και y =, οπότε έχουμε: 8

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός ( + + ) = ( + + ) ( ) = ( ) ( ) + + = + + = + = = Για = η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) της C στο σημείο Μ(, ( ) ) είναι (ε) : y ( ) = ( ) ( + ) y + = ( + ) y = +. Γ ΟΜΑΔΑ: Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια ευθεία εφάπτεται στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Μια ευθεία ( ε ) με εξίσωση της μορφής y = α + β εφάπτεται στη γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης, αν και μόνο αν, υπάρχει σημείο (, ( )) τέτοιο ώστε : Μ, η ευθεία (ε) να διέρχεται από το σημείο Μ και η κλίση της ευθείας (ε) στο Μ να ισούται με την ( o ). Δηλαδή: ( ) = α + β Tο σύστημα πρέπει να έχει μια τουλάχιστον λύση ως προς o. ( ) = λε = α Άσκηση Να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ε ) : y = + εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης () = + 4. Για κάθε Λύση R έχουμε ( ) =, οπότε ορίζεται εφαπτομένη της C σε κάθε σημείο της. Η ευθεία (ε): y = + εφάπτεται της C στο σημείο (, ( )) Μ, αν και μόνο αν Μ (ε) ( ) = λ ε ( ) = + + 4= + ( ) = = + = + = + = =. = = =± Άρα η ευθεία (ε) : y = + εφάπτεται της C στο σημείο M(, ) Άσκηση : Να προσδιορίσετε την τιμή του λ R για την οποία η ευθεία ( ε ) : y = + λ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης () = e. 9

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Λύση Για κάθε R έχουμε ( ) = e, οπότε ορίζεται εφαπτομένη της C σε κάθε σημείο της. Η ευθεία (ε) : y = + λ εφάπτεται της C στο σημείο (, ( )) Μ, αν και μόνο αν Μ (ε) ( ) = + λ e = + λ e = + λ λ = ( ) = λ ε ( ) = e = e = e =. Άρα για λ = η ευθεία ( ε ) : y = + εφάπτεται της C στο σημείο Μ (, ). Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση () = α, < α. Να προσδιορίσετε την τιμή του α εφάπτεται στη γραφική πα- για την οποία η ευθεία ( ε ) με εξίσωση : y = ράσταση της συνάρτησης. Λύση Για κάθε R έχουμε ( ) = α ln α, οπότε ορίζεται εφαπτομένη της C σε κάθε σημείο της. Η ευθεία (ε) : y = εφάπτεται της C στο σημείο (, ( )) Μ, αν και μόνο αν Μ (ε) ( ) = α = α = α = ( ) = λ ε ( ) = α lnα = lnα = lnα = α = α = ln = ln = ln e Άρα για = = e α = e elnα = lnα e e α = e = e = e = e e. e α = e η ευθεία ( ε ) : y = εφάπτεται της C στο σημείο Μ ( e, e). Δ ΟΜΑΔΑ: Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο γραφικές παραστάσεις δέχονται κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο. Οι γραφικές παραστάσεις C και C g δύο συναρτήσεων και g αντίστοιχα, δέχονται κοινή μη κατακόρυφη εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο με τετμημένη, αν και μόνο αν ( ) = g( ) και ( ) = g ( )

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Άσκηση Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () = e και g() Για κάθε και = 4 4e δέχονται κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο. R έχουμε Λύση ( ) = e και g ( ) 4e. = Οι γραφικές παραστάσεις C C g των συναρτήσεων και g αντίστοιχα, δέχονται κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο με τετμημένη, αν και μόνο αν, το σύστημα μια τουλάχιστον λύση ως προς. ( ( ) = g( ) ) = g ( ) έχει Είναι () = g() e = 4 4e e = 4 e e = 4 ( ) = g ( ) e = 4e e = 4e e = 4 e = = ln. ln Είναι ( ) = (ln) = e. Άρα οι C και = κοινό τους σημείο Μ ( ln, ). C g δέχονται κοινή εφαπτομένη στο Άσκηση Να βρείτε τους α, β R ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = συν(π) α και g() = + β + να έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη =. Για κάθε Λύση R έχουμε ( ) = π ημ(π ) και g ( ) = + β. Οι γραφικές παραστάσεις C και C g των συναρτήσεων και g αντίστοιχα, δέχονται κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη =, αν και μόνο αν, () = g() () = g () α = + β = + β α = β= Ε ΟΜΑΔΑ: Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο γραφικές παραστάσεις δέχονται κοινή εφαπτομένη όχι όμως σε κοινό τους σημείο. Έστω ευθεία ( ε ) η οποία εφάπτεται στις γραφικές παραστάσεις C g δύο συναρτήσεων και g στα σημεία Α ( α, (α)) και ( β, g(β) ) C και Β με α β αντίστοιχα.

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Είναι : ( ε ) : y (α) = (α) ( α) y = (α) + (α) α (α) ( ε ) : y g(β) = g (β) ( β) y = g (β) + g(β) β g (β) Η ευθεία ( ε ) είναι κοινή εφαπτομένη των C και C g, αν και μόνο αν, ισχύουν (α) = g (β) (α) α (α) = g(β) β g (β) Άσκηση Να βρείτε την κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ( ) = και g() =. Λύση Για κάθε R έχουμε ( ) =, οπότε ορίζεται εφαπτομένη σε κάθε σημείο της C. Για κάθε σημείο της C g. Η εξίσωση της εφαπτομένης της R έχουμε g ( ) =, οπότε ορίζεται εφαπτομένη σε κάθε C στο σημείο ( α, (α)) (ε) : (α) = (α) ( α) y = ( α) Α, α είναι y y = α α α Η εξίσωση της εφαπτομένης της g + C στο σημείο ( β, g(β) ) Β είναι (ε) : ( ) ( ) y g(β) = g (β) ( β) y β = β β y = β + β Η ευθεία ( ε ) είναι κοινή εφαπτομένη των C και α C g, αν και μόνο αν, ισχύουν α = β α = β β = α = α 4α 4 β = α = α 8 β = α = α 8 β = α = Επομένως Α, και B(, 4) είναι τα σημεία επαφής της κοινής εφαπτομένης (ε) με τις C και C g αντίστοιχα. Η κοινή εφαπτομένη έχει εξίσωση ( ε ) : y g() = g () ( ) y ( 4) = 4 ( ) y = 4 + 4.

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Ασκήσεις για λύσεις. α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο αντίστοιχο σημείο της Μ(,( )), όταν i. () =, o = 4 ii. () = ln, o = iii. + () =, o = απ. i. y = 4, ii. y =, iii. y = + 7 β. Αποδείξτε ότι ο άξονας είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 5 () =, στο σημείο της Μ(, ()). γ. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της () = 6 + στα οποία η εφαπτομένη είναι: i. παράλληλη προς την ευθεία y= 6+ 5 ii. κάθετη προς την ευθεία y= + 4. (απ. i. A(6, ), ii. B(9/, 9/4)) δ. Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της () = + η εφαπτομένη σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45 ο ; (απ. Α(, ) ) ε. Δίνεται η συνάρτηση () = + α + β,να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η ευθεία y= + να είναι εφαπτομένη της C στο σημείο της Μ(,5). (απ. α=, β = ) στ. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων με τύπους () = και g() = + 4 8 έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη o =. ζ. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β R ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g() = + 4 στο σημείο Α(, 4) να εφάπτεται της γραφικής παράστασης της () = + α + β στο σημείο Β(, ). (απ. Α = 5, β = 6)

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός η. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της () = + που διέρχεται από το σημείο Μ(,/). (απ. y= + ) θ. Δίνεται η συνάρτηση () =. Έστω Α, Β τα σημεία επαφής των ε- φαπτόμενων της C που διέρχονται από το σημείο Μ(,-). Αποδείξτε ότι η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση y=. ι. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) = ημ και τα σημεία της γραφικής της παράστασης Ο(, ) και Μ (π, ). Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τη χορδή ΟΜ και τις εφαπτόμενες της C στα σημεία Ο και Μ. (απ. Ε = π /4) 4. α. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση και έστω y = + η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της Α(, ()). Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g() = ( + + ) στο σημείο της Β(, g()). (απ. y= 6 + ) β. Δίνεται η συνάρτηση () = +. Να αποδείξετε ότι η δεν είναι παραγωγίσιμη στο o = και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της Μ(,6). (απ. y= 5 + ) γ. Δίνεται η συνάρτηση, για την οποία ισχύει () ln ( ), για κάθε >. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της Α(, ()). (απ. y= ) +, < δ. Δίνεται η συνάρτηση () =, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(, ). Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς α- α + β + γ, ριθμούς α, β, γ, αν γνωρίζουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο o = και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο με τετμημένη o =. απ. ( α = 8,β =, γ = 9, y = 6 ) 4

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός ε. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει ( ) + ( ) + + =, R. Υποθέτουμε ότι η γραφική παράσταση της g() () e, R = +, έχει στο σημείο Α(, g()) εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο Μ(, ()) να είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση (λ + ) + y =. (απ. λ= ) στ. Δίνεται συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με ( ), για κάθε R. Δείξτε ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) ( ) g() = διχοτόμο της γωνίας Oy. στο σημείο που η C g τέμνει τον άξονα, είναι παράλληλη στη ζ. Έστω η συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με ( ) ( ) ( ), για κάθε R. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() =, R. Αν η C g τέμνει τον άξονα στο σημείο Α, αποδείξτε ότι η εφαπτόμενη της C g στο Α είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση + y + =. (ΘΕΜΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Να λυθούν τα ερωτήματα (στ) και (ζ), αν η είναι απλώς παραγωγίσιμη με συνεχή πρώτη παράγωγο. 5. Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού το R, για τις οποίες ισχύει ( ) = g( + ). Αν η ευθεία y = εφάπτεται της C g στο σημείο Α( g()), α βρείτε την εφαπτόμενη της C στο σημείο Β (, () ). (απ. y= ( + ln) ln ) (ΘΕΜΑ) 6. Δίνεται η συνάρτηση () = ln, >. Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικό, o στο οποίο η εφαπτομένη της C διέρχεται από την αρχή των αξόνων. (ΘΕΜΑ) 7. Δίνεται η συνάρτηση () = + +. Αποδείξτε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της o =. (Θεωρούμε ότι η είναι παραγωγίσιμη ). (απ. y = + ) 4 4 5

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 7. Η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγμή t sec δίνεται από τον τύπο s(t) = 4t 7t t + 6. α. Να βρείτε την ταχύτητα του κινητού. β. Να βρείτε την αρχική ταχύτητα. γ. Ποια χρονική στιγμή η ταχύτητα είναι ; δ. Να βρεθεί η επιτάχυνση του κινητού κατά τη χρονική στιγμή που έχει ταχύτητα υ = 6 m/sec. (απ. α. υ(t)= s (t), β. υ()= - m/sec, γ. t =5 sec δ. υ ( / ) = 78 m/sec 8. Η αντίδραση y ενός ασθενούς σε ένα φάρμακο, συνδέεται με την ποσότητα του φαρμάκου που του χορηγείται και από τη διάρκεια t της θεραπείας, με τη σχέση t y= ημt e. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του y όταν: α. μεταβάλλεται η ποσότητα του φαρμάκου, β. μεταβάλλεται η διάρκεια της θεραπείας 9. Η πλευρά α ενός κύβου αυξάνεται με ταχύτητα cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του, κατά τη χρονική στιγμή που η πλευρά του είναι cm. (απ. 9 cm /sec ). Δίνονται τα σημεία Α( +, ) και Β(, ln), >. Αν το μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου με ρυθμό cm/sec, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΒ (Ο η αρχή των αξόνων), τη χρονική στιγμή που το σημείο Α έχει τετμημένη cm. (απ. ln8 +5/4 cm /sec) Δύο σημεία Α(χ,) και Β(,ψ) απομακρύνονται από την αρχή των αξόνων κινούμενα πάνω στους ημιάξονες οχ και οψ αντίστοιχα, με ταχύτητες cm/sec και 5 cm/sec αντίστοιχα. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ΑΒ κατά τη χρονική στιγμή που είναι Α(8,) και Β(,6). (απ. 5,4 cm/sec ). Ένας γεωργός προσθέτει μονάδες λιπάσματος σε μία αγροτική καλλιέργεια και συλλέγει g ( ) μονάδες του παραγόμενου προιόντος. g() M M e, = + όπου ο ο μ Αν ( ) M, M, μ θετικές σταθερές. Να εκφράσετε το ρυθμό του παραγόμενου προιόντος ως συνάρτηση του g(). ) Ποια είναι η σημασία της σταθεράς M ; ο 6

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός (απ. ( M ) g () = μ g() M, M = g() ( ΘΕΜΑ 998). Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους cm του ο- ποίου τα άκρα Α, Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy και O αντιστοίχως. Το σημείο Β κινείται με σταθερή ταχύτητα υ = cm/sec και η θέση του πάνω στον άξονα O δίνεται από την συνάρτηση s(t) = υt, t [, 5] όπου t ο χρόνος (σε δευτερόλεπτα). α. Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(t) του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του χρόνου. β. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε(t) τη στιγμή κατά την οποία το μήκος του τμήματος ΟΑ είναι 6cm; (απ. α. E(t) = t 5 t, β. 4. Έστω η συνάρτηση ( ) = ln, >. ο ο 4 E (4) = cm /sec ) ( ΘΕΜΑ 99) A. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Μ ( α, ( α) ) και να προσδιορίσετε το σημείο τομής A, της εφαπτομένης με τον άξονα. B. Έστω ότι ένα κινητό με τις συντεταγμένες του Μ κινείται πάνω στη C. Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ συναρτήσει του χρόνου είναι α ( t ) =α( t ), να βρείτε: i. Το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου τομής Α της εφαπτομένης της C στο σημείο Μ με τον άξονα τη χρονική στιγμή που το Μ έχει τετμημένη e. ii. Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η εφαπτομένη αυτή με τον άξονα την ίδια χρονική στιγμή (δηλ. όταν α ( t ) = α( t ) και α(t) = e ). ( απ. B. i. e μ.μηκους, ii. e rad ) (ΘΕΜΑ) μ.χρονου + e s 5. Δίνεται η συνάρτηση () = ( ). Ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της και η τετμημένη του απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων κινούμενη στον θετικό ημιάξονα O με ταχύτητα cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της C στο σημείο Μ με τον άξονα, τη χρονική στιγμή που αυτή είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση y= 5 (απ. /5 rad/sec). 7

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 8

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (Θ.Μ.Τ.) ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. 9

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (Θ.M.T.) Θεώρημα Rolle: Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) (α) = (β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε (ξ) =. Γεωμετρική ερμηνεία (ξ) = Είναι λε = ε //, δηλαδή: λ ε = (ξ) Αν για μια συνάρτηση ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο κλειστό διάστημα [ α, β ], τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο Μ( ξ,(ξ) ) να είναι παράλληλη στον άξονα. Παρατηρήσεις:. Για να ισχύει το Θεώρημα Rolle πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και οι τρεις προϋποθέσεις του.. Δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος Rolle.. Το Θεώρημα Rolle μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης () =, χωρίς όμως να μας την προσδιορίζει πάντα. 4. Το Θεώρημα Rolle εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. 5. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ α, β ] και (α) = (β), τότε ισχύει το Θεώρημα Rolle, αφού η παραγωγισιμότητα της στο κλειστό διάστημα [ α, β ] καλύπτει και τη συνέχεια της στο διάστημα αυτό. 6. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R, τότε: Μεταξύ δύο διαδοχικών πραγματικών ριζών της υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της.

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Μεταξύ δύο διαδοχικών πραγματικών ριζών της υπάρχει μια το πολύ ρίζα της. 7. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει () για κάθε R, τότε η είναι. Παρατήρηση: οι αποδείξεις των 6, 7 να θεωρηθούν ως ασκήσεις. Θεώρημα Μέσης Τιμής: Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε Γεωμετρική ερμηνεία Είναι (β) (α) (ξ) = β α (ξ) = λε λ ε=λαβ ε// ΑΒ, (β) (α) =λ ΑΒ β α (β) (α) (ξ) =. β α Άρα αν για μια συνάρτηση ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο κλειστό διάστημα [ α, β ], τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της χορδή ΑΒ. Παρατηρήσεις C στο σημείο Μ( ξ,(ξ) ) να είναι παράλληλη στην. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και οι δύο προϋποθέσεις του.. Δεν ισχύει το αντίστροφο του Θ.Μ.Τ.. Το Θ.Μ.Τ. εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. 4. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ α, β ], τότε ισχύει το Θ.Μ.Τ. αφού η παραγωγισιμότητα της στο κλειστό διάστημα [ α, β ] καλύπτει και τη συνέχεια της στο διάστημα αυτό. (β) (α) 5. Αν (α) = (β), τότε από τη σχέση (ξ) = προκύπτει ότι (ξ) =, β α δηλαδή ισχύει το Θεώρημα Rolle. Επομένως το Θεώρημα Rolle είναι ειδική περίπτωση του Θ.Μ.Τ.

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός 6. Αν (α) < (β) τότε (ξ) >, οπότε η (ε) σχηματίζει με τον άξονα οξεία γωνία. 7. Αν (α) > (β) τότε (ξ) <, οπότε η (ε) σχηματίζει με τον άξονα αμβλεία γωνία. Παραδείγματα: Α ΟΜΑΔΑ : Περιλαμβάνει παραδείγματα στα οποία: Ελέγχουμε αν ισχύει το Θεώρημα Rolle ή το Θ.Μ.Τ. Προσδιορίζουμε παραμέτρους ώστε να ισχύει το Θεώρημα Rolle ή το Θ.Μ.Τ. Αποδεικνύουμε ανισότητες (διπλές) με το Θ.Μ.Τ. Παράδειγμα : Δίνεται η συνάρτηση (βλέπε ασκ. σελ. 49 σχολ. Βιβλίου) 5 + +, ()=. Να αποδείξετε ότι η ικανο- ++,> ποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο διάστημα [ -, ] και να βρείτε ξ (-,) τέτοιο, ώστε (ξ)=. Λύση Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, ) άρα και στο [,) ( ) = +. με Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) άρα και στο (, ] με () = +. Εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο = o. Για (, ) είναι - () () 5 + + (5 + ) lim = lim = lim = lim (5 + ) = Για (, + ) είναι () () + + ( + ) lim = lim = lim = lim ( + ) = + - Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο = o με () =. Επομένως η είναι παραγωγίσιμη στο [,] ( ) = () = 4. +, αν με () =. +, αν < Επίσης είναι

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Παρατηρούμε λοιπόν ότι η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο διάστημα [,], επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε (ξ) =. Έχουμε : Παράδειγμα ξ + =, ξ (, ) ή ξ = 5 ξ + =, ξ (, ) Δίνεται η συνάρτηση α +β+, ()= +γ, >. Να βρείτε τους α,β, γ R, ώστε η να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο διάστημα [ -, ]. Λύση Η συνάρτηση είναι συνεχής στο (, ) άρα και στο [, ) ως πολυωνυμική. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο (, + ) άρα και στο (, ] ως πολυωνυμική. Για να είναι η συνεχής στο [, ] πρέπει να είναι συνεχής και στο o =. δηλαδή lim() =lim() = () γ =. Άρα η είναι συνεχής στο [, ] - + όταν γ =. Πρέπει () = γ = ( ) = () α β + = + γ β = α, οπότε α + (α ) +, +, > Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) άρα και στο (, ) με () = α + α. Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) άρα και στο (, ) με () =. Για να είναι η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) πρέπει να είναι παραγωγίσιμη () () () () και στο = o, δηλαδή lim = lim. + Για (, ) είναι: () () α + (α ) + (α + α ) lim = lim = lim lim(α + α ) = α Για (,+ ) είναι: =

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός () () + lim = lim = lim = lim = + Πρέπει α = α =. Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) όταν α =. Ε- πομένως η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle, όταν: α = α = β = α β = γ = γ = Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση 4 +, - ()=. Να αποδείξετε ότι η ικανο- +7, > ποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [ -,5] και στη συνέχεια να βρείτε σημείο Μ της C, όπου η εφαπτομένη της είναι παράλληλη προς την ευθεία ΑΒ, με Α( -,4) και Β ( 5, ). Λύση Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) άρα και στο [, ) με () =. + Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) άρα και στο (, 5 ] με () =. Για να είναι η είναι παραγωγίσιμη στο [, 5] πρέπει να είναι παραγωγίσιμη και () () () () στο = o, δηλαδή lim = lim. + Για (, ) είναι: ( ) () () 4 + 8 4 + lim = lim = lim = 4( ) 4 lim = lim = ( ) + + + + ( ) Για (, + ) είναι: () () + 7 8 lim = lim = lim = + Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο = o με () =. Επομένως η είναι παραγωγίσιμη στο [, 5] με, αν () = +, αν < 5 Παρατηρούμε λοιπόν ότι η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.M.T. στο 4

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός διάστημα [, 5], επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,5) τέτοιο, ώστε (5) ( ) 4 8 (ξ) = (ξ) = (ξ) =. 5 ( ) 7 7 Έχουμε : 8 =, αν ξ ξ+ 7 ή ξ= 6 8 =, αν < ξ 5 7 Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το Β ΟΜΑΔΑ: Μ,7. 6 (Περιλαμβάνει παραδείγματα στα οποία μας ζητούν να βρούμε το πλήθος ριζών εξίσωσης) η περίπτωση ( Μια τουλάχιστον ρίζα) Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) ελέγχουμε αν: Υπάρχει προφανής ρίζα της στο (α, β). Εφαρμόζεται το Θεώρημα Bolzano στο διάστημα [ α, β ] για τη συνάρτηση Το ανήκει στο σύνολο τιμών ( (α, β) ) της. Εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle για μια αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της (Μην ξεχνάτε ότι ένα πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. γιατί ;) Παράδειγμα Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (, ) για κάθε α R. Θεωρούμε τη συνάρτηση 6 + α =α +έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Λύση () =6 +α (α + ), R.. Μια παράγουσα της στο R είναι η συνάρτηση F() = + α (α + ), R. Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και στο κλειστό διάστημα [, ] με F () = (). Επίσης είναι F () = F() (= ). Παρατηρούμε λοιπόν ότι στο[, ] 5

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός η συνάρτηση F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο διάστημα, επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε F ( ξ ) = ( ξ )=. Παρατήρηση: Παρατηρήστε ότι το προηγούμενο παράδειγμα δεν μπορούσε να λυθεί με καμία άλλη μέθοδο. η περίπτωση (Το πολύ μια ρίζα ) Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα ακολουθούμε την εξής μέθοδο. Μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης σ ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο, αν δε βρίσκονται ήδη στο μέλος αυτό. Θεωρούμε συνάρτηση με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της εξίσωσης. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση () = έχει δύο ρίζες ρ, ρ με ρ < ρ. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο διάστημα [ ] ρ, ρ, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (ρ, ρ ) τέτοιο, ώστε (ξ) =, το οποίο και θα είναι άτοπο. Παράδειγμα Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ν+ +α =(ν +), ν Ν έχει το πολύ μια ρίζα στο διάστημα (-,) για κάθε α R. Θεωρούμε τη συνάρτηση ν+ () = Λύση (ν+) + α, R, ν Ν και α R. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση () = έχει δύο ρίζες ρ, ρ (, ) με ρ < ρ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [ ρ, ρ ] [,] ν () = (ν + ) (ν + ). Επίσης με (ρ ) = (ρ )(=), άρα η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο [ ] ρ, ρ, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (ρ, ρ ) (, ) τέτοιο, ώστε ν ν (ξ) = (ν+)ξ (ν+) = ξ = ξ = ± ου είναι άτοπο αφού < ξ <. π Άρα η εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα στο διάστημα (,). 6

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός η περίπτωση ( Το πολύ δύο ρίζες ) Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες ακολουθούμε την εξής μέθοδο. Μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης σ ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο, αν δε βρίσκονται ήδη στο μέλος αυτό. Θεωρούμε συνάρτηση με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της εξίσωσης. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση () = έχει τρεις ρίζες ρ, ρ, ρ με ρ < ρ < ρ. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle σε δύο διαστήματα στα [ ρ, ρ] και [ ] ρ, ρ οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (ρ, ρ ) τέτοιο, ώστε (ξ ) = και ένα τουλάχιστον ξ (ρ, ρ ) τέτοιο, ώστε (ξ ) =. Στο σημείο αυτό ίσως να καταλήξουμε σε άτοπο, αν όχι, τότε εφαρμόζουμε στο διάστημα [ ] το Θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση ξ, ξ, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον t (ξ, ξ ) τέτοιο, ώστε (t)=, το οποίο φυσικά και θα είναι άτοπο. Παράδειγμα : Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 8-8 = έχει το πολύ δύο ρίζες στο R. Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση 8 () = 8, R. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση () = έχει τρεις ρίζες ρ, ρ, ρ με ρ < ρ < ρ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R άρα και στα διαστήματα [ ρ, ρ] [ ρ, ρ ] με 7 () =8. Επίσης (ρ )=(ρ )=(ρ )(= ), άρα η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle σε δύο διαστήματα στα [ ρ, ρ] και [ ] ρ, ρ οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (ρ, ρ ) τέτοιο, ώστε (ξ ) = και ένα τουλάχιστον ξ (ρ, ρ ) τέτοιο, ώστε (ξ )=. Είναι προφανές ότι ξ ξ, αφού ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. Βρήκαμε λοιπόν δύο τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης και ( ) = το οποίο είναι άτοπο, αφού η εξίσωση 7 7 ( ) = 8 = = 4 7

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός είναι διωνυμική περιττού βαθμού, οπότε έχει πάντοτε μια μόνο ρίζα. Άρα η εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες στο R. 4 η περίπτωση ( Μια ακριβώς ρίζα) Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση () = έχει μια ακριβώς ρίζα κάνουμε τα εξής: Εξασφαλίζουμε την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης, εφαρμόζοντας μια από τις τέσσερις μεθόδους που αναφέραμε στη η περίπτωση. Αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα ακολουθώντας τη μέθοδο που αναλύσαμε στην η περίπτωση ή βασιζόμαστε στη μονοτονία της μια μέθοδο που θα αναλύσουμε σε επόμενη ενότητα ή χρησιμοποιούμε το της. Παράδειγμα Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln + = α έχει ακριβώς μια ρίζα στο (,+ ). Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση () = ln + α, (,+ ). Είναι lim () = lim ( ln + α ) + =, που σημαίνει ότι υπάρχει δ > τέτοιο, ώ- στε () < για κάθε (,δ ), οπότε (κ) < με ( ) Επίσης είναι ( ) + τέτοιο, ώστε () Παρατηρούμε λοιπόν ότι: + κ,δ. lim () = lim ln + α = +, που σημαίνει ότι υπάρχει Μ > > για κάθε ( Μ,+ ), οπότε (λ) > με ( ) λ Μ,+. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [ κ, λ] (, + ), ως άθροισμα συνεχών. (κ) (λ) < Επομένως η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [ κ, λ ], οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( κ, λ ) (, ) ώστε (ξ) =. + τέτοιο, Υποθέτουμε ότι η εξίσωση () = έχει δύο ρίζες ρ, ρ (, + ) με ρ < ρ μια από τις οποίες είναι η ξ και παρατηρούμε ότι: Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [ ] ρ, ρ (,+ ) με 8

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός + () = + = (ρ ) = (ρ )(= ). Άρα η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο [ ρ, ρ ] υπάρχει ένα τουλάχιστον t (ρ, ρ ) (, + ) τέτοιο, ώστε, οπότε θα t + (t) = = t =, που είναι άτοπο, αφού t (ρ, ρ ) (, + ). t,+. Άρα ο αριθμός ξ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης ln + = α στο ( ) 5 η περίπτωση ( Δύο ακριβώς ρίζες) Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση () = έχει δύο ακριβώς ρίζες κάνουμε τα εξής: Εξασφαλίζουμε την ύπαρξη δύο τουλάχιστον ριζών της εξίσωσης, εφαρμόζοντας (δύο φορές κάποια από τις τέσσερις μεθόδους που αναφέραμε στη η περίπτωση ή ένα συνδυασμό δύο εξ αυτών). Αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες ακολουθώντας τη μέθοδο που αναλύσαμε στην η περίπτωση ή βασιζόμαστε στη μονοτονία της μια μέθοδο που θα αναλύσουμε σε επόμενη ενότητα. Παράδειγμα Να αποδείξετε ότι η εξίσωση -συν=ημ έχει δύο ακριβώς ρίζες στο διάστημα (-π, π ). Θεωρούμε τη συνάρτηση Παρατηρούμε ότι: Λύση, [ ] () = ημ συν π, π. Η συνάρτηση είναι συνεχής στα διαστήματα [ π,] και [, π ], ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. ( π)() = (π +) ( ) = π < και ()(π) = ( ) (π +) = π < Άρα η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano σε δύο διαστήματα, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( π,) και ένα τουλάχιστον ξ (, π ) τέτοιο, ώστε (ξ ) =. τέτοιο, ώστε (ξ ) = Είναι προφανές ότι ξ ξ, αφού ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. Βρήκαμε λοιπόν δύο τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης () = στο διάστημα ( π, π ). 9

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Υποθέτουμε ότι η εξίσωση () = έχει τρεις ρίζες ρ, ρ, ρ ( π, π) ρ < ρ < ρ δύο από τις οποίες είναι οι ξ, ξ. με Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα [ ρ, ρ ] και [ ] () = ( συν). ρ, ρ με Επίσης (ρ )=(ρ )=(ρ )(=), άρα η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle σε δύο διαστήματα στα [ ρ, ρ] και [ ] ρ, ρ οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον t (ρ, ρ ) τέτοιο, ώστε (t ) = και ένα τουλάχιστον t (ρ, ρ ) τέτοιο, ώστε (t )=. Είναι προφανές ότι t t, αφού ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. Βρήκαμε λοιπόν δύο τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης ( ) = στο διάστημα ( π, π ), που είναι άτοπο αφού η εξίσωση () = ( συν) = = έχει μια μόνο ρίζα. Άρα η εξίσωση Γ ΟΜΑΔΑ: συν = ημ έχει δύο ακριβώς ρίζες στο ( π, π ). Περιλαμβάνει παραδείγματα στα οποία θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, που ανήκει σε ένα διάστημα, ώστε να ισχύει μια ισότητα στην ο- ποία εμφανίζονται τα (ξ ), ( ξ ), ( ξ ) και ενδεχομένως κάποιες άλλες αλγεβρικές παραστάσεις που περιέχουν το ξ. Στις ασκήσεις αυτές συνήθως ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Αφού εκτελέσουμε τις πράξεις που απαιτούνται, μεταφέρουμε όλους τους όρους σε ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο, αν δε βρίσκονται ήδη στο μέλος αυτό και θέτουμε όπου ξ το. Γράφουμε την ισότητα στη μορφή F () =. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle και καταλήγουμε στο ζητούμενο. Σχόλιο Επειδή οι ασκήσεις αυτής της κατηγορίας είναι κατά γενική ομολογία αρκετά δύσκολες και απαιτούν ιδιαίτερη προσοχή στην επιλογή της συνάρτησης, κρίνουμε σκόπιμο να αναφέρουμε μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις. 4

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ ΠΡΟΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F (ξ)=λ ()= λ ( () λ) = F() = ( ) λ ν (ξ)= νξ ν ν ( ) ()= ν () = F() = ( ) ν (ξ)(λ ξ) = (ξ) ()(λ ) = () () (λ ) + () (λ ) = F() = ( ) (λ ) (ξ) (ξ λ) = (ξ) () () ( λ) = () = -λ () F() = λ ξ (ξ)= ν(ξ) ()= ν() () ν ν () ν () = = ν () F() = ν (ξ) + σφξ = (ξ) () + σφ = ( () ημ ) = F() = () ημ () λ F() = () e (ξ )+ (ξ) = () + λ() = λ λ ()e + e λ() = λ ( ()e ) = ()+ () = ( ) ()+ () ( ) = ( ) () + () = λ F() = ()e F() = ( ) + ( () ) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [,π ] με () για κάθε ( ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,π) τέτοιο, ώστε, π. (ξ) + σφξ =. (ξ) Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση F() = () ημ, [, π ]. 4

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Παρατηρούμε ότι: Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο [, π ], με F () = () ημ + ()συν F() = F(π)= Άρα η συνάρτηση F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,π) τέτοιο, ώστε F (ξ) = (ξ) ημ ξ + (ξ)συν ξ = (ξ) ημ ξ + (ξ)συν ξ (ξ) ημ ξ (ξ) = + σφξ =. (ξ) Παράδειγμα Έστω συνάρτηση συνεχής στο [ α, β ] παραγωγίσιμη στο ( α, β ) με (α)=(β)=. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε (ξ)=λ (ξ) για κάθε λ R. Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση F() = e λ (), [ α, β ]. Παρατηρούμε ότι: Η συνάρτηση F είναι συνεχής στο [ α, β ], ως γινόμενο συνεχών. Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β ), με λ λ F () = λ e ()+ e () F(α) = F(β) = Άρα η συνάρτηση F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( ) α, β τέτοιο, ώστε λξ λξ F (ξ) = λ e (ξ)+ e (ξ) = e λξ ( ) λ (ξ )+ (ξ) = (ξ) λ(ξ)= (ξ) = λ(ξ ). 4

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Ασκήσεις για λύση. Δίνεται η συνάρτηση () = + 4 + k, k R. Αποδείξτε ότι για τη συνάρτηση εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο διάστημα [, ] και να υπολογίσετε το o ( ), για το οποίο ισχύει ( o ).. Δίνεται η συνάρτηση ισχύει + α + γ ± (απ. = (, ) ) o α β β () = + + + γ + α, α, β, γ R. Αν =, αποδείξτε ότι υπάρχει (, ) o, τέτοιος ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο (, ( )) να είναι παράλληλη o o στον άξονα.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [,], παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει () = e (), (), να βρείτε τον πραγματικό αριθμό k ώστε να ι- σχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση g() = e + k () στο διάστημα [,]. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχει (,) ώστε να ισχύει ( ) = ( )( ). ο ο ο (απ. k = ) 4. Δίνεται η συνάρτηση που είναι συνεχής στο διάστημα [, ], παραγωγίσιμη στο (, ) και () = () + k, k R. στε ( ) = k. Αποδείξτε ότι υπάρχει (, ) o τέτοιο ώ- π π 5. Α. Έστω η συνάρτηση συνεχής στο,, παραγωγίσιμη στο, με π ( ), για κάθε,. i. Δείξτε ότι η συνάρτηση g( ) = ημ ( ) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Rolle στο π,. π ii. Δείξτε ότι υπάρχει o, ώστε να ισχύει ( ) ( ) = σφ. 4

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Β. Έστω συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) με (β) = και () για κάθε (α, β). Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = ( α) (). Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε να ισχύει (ξ) =. (ξ) α ξ 6. Έστω συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β). Αν () για κάθε [α, β], να αποδείξετε ότι (α) (β). 7. Δίνεται η συνάρτηση που είναι συνεχής στο διάστημα [,] και παραγωγίσιμη στο (,). Αν () = να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε (ξ) (ξ) =. ξ 8. Έστω οι συναρτήσεις, g ορισμένες και συνεχείς στο [α, β], παραγωγίσιμες στο (α, β) με g() και g () για κάθε (α, β) και (α) = g(β) =.Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε (ξ) (ξ) + =. g (ξ) g(ξ) 9. Δίνεται η συνάρτηση που είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) για την οποία ισχύει τέτοιο ώστε (ξ) = ξ. (α) (β) = α β. Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ (α, β). Έστω οι συναρτήσεις, g ορισμένες και συνεχείς στο [α, β], παραγωγίσιμες στο (α, β) με () >, για κάθε [α, β]. Αν είναι (α) g(α) g(β) = ln, απο- (β) δείξτε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε (ξ) g (ξ) (ξ) =.. Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] με () για κάθε [α, β]. Αν ισχύει (α) (β) = (α) (β), να αποδείξετε ότι υπάρχει (ξ) (ξ) = (ξ). ξ (α,β) τέτοιο ώστε να ισχύει [ ]. Δίνεται συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της εξίσωσης () = περιέχεται το πολύ μία ρίζα της () =. 44

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός. Δίνεται η συνάρτηση που είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] με () > για κάθε [α, β] και η συνάρτηση g με τύπο g() = e (). Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) με α β= ln (β) ln (α), αποδείξτε ότι: i. Υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε g (ξ) =. ii. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο Α(ξ,(ξ)) περνά από το Β(, ξ(ξ)). iii. Αν η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β) και ισχύει g (ξ) =, τότε (ξ) = (ξ). 4. Έστω η συνάρτηση συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) με ( ), για κάθε (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ = ξ ξ 5. Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) = ( ) R. i. Αποδείξτε ότι ( ). Δείξτε ότι υπάρχει ξ (, ), ώστε ( ) h όπου συνάρτηση παραγωγίσιμη στο ( ) h = +,. ii. Αν ρ είναι μια ρίζα της εξίσωσης ( ) =, ρ, αποδείξτε ότι υπάρχει ξ ξ ξ. ξ * R ώστε () = () 6. Θεωρούμε τη συνάρτηση που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, β ] με ( α ) = ( β= ). Δείξτε ότι υπάρχει ξ ( α, β), ώστε ( ξ) ( ξ) = [ ( ξ) ] 7. i. Δείξτε ότι η εξίσωση μ + μ =, έχει ακριβώς μία πραγματική και απλή ρίζα. 7 5 ii Δείξτε ότι η εξίσωση + + + = λ ( α ) μ ( β ) ν ( γ ) το πολύ μία ρίζα στο R. iii. Αν α, β, γ R με κριβώς μία ρίζα στο R. α < β, δείξτε ότι η εξίσωση + +, έχει + α + β + γ =, έχει α- iv. Δείξτε ότι η εξίσωση e = έχει μία μόνο ρίζα στο (, ) 45

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός v. Δείξτε ότι η εξίσωση e = + α, < α < έχει ακριβώς μία ρίζα στο R. vi. Δείξτε ότι η εξίσωση = +, α R έχει ακριβώς μία ρίζα στο R. e α vii. Δείξτε ότι η εξίσωση viii. Δείξτε ότι η εξίσωση = + + έχει το πολύ δύο διακε- 6 κριμένες ρίζες στο R. = έχει ακριβώς μία ρίζα στο R. e λ μ, λ, μ R i. Δείξτε ότι η εξίσωση ( + ) = ln έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα.. Δείξτε ότι η εξίσωση + 9 = 6 ln έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. 8. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και η εξίσωση () = έχει ακριβώς μία ρίζα στο R, αποδείξτε ότι η εξίσωση () = δεν μπορεί να έχει τρείς ρίζες στο R. 9. Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση και έστω ρ μία ρίζα της εξίσωσης ( ) =. Αποδείξτε ότι : i. Αν το ρ είναι ρίζα πολλαπλότητας, τότε το ρ δεν είναι ρίζα της ( ) =. ii. Αν το ρ είναι ρίζα πολλαπλότητας ν >, τότε το ρ είναι ρίζα της ( ) = πολλαπλότητας ν.. Δείξτε ότι η εξίσωση 6 + 9 = έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα στο διάστημα (, ). Ποιος είναι ο βαθμός πολλαπλότητας της ρίζας αυτής; Πόσες άλλες ρίζες έχει η εξίσωση αυτή στο R;. Έστω συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, β ] με < α < β, () α = () β = και ( ), για κάθε [ α, β]. i. Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) ( ) = έχει ακριβώς μία ρίζα ( α, β) ii. Δείξτε ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της στο σημείο (, ( )) διέρχεται από την αρχή των αξόνων.. Μια συνάρτηση : [ α,β] R είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β ) και ισχύει: () α = () β =. Να δείξτε ότι: i. Υπάρχει ξ ( α, β) τέτοιο ώστε g () ξ= όπου g η συνάρτηση ο ο ο 46

Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός ( ) g( ) = c [ α, β ] c ii. Η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της στο σημείο ξ, () ξ διέρχεται ( ) από το σημείο Α ( c,). (ΘEMA). Δίνεται συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] με ( ) =. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) g = i. Αποδείξτε ότι υπάρχει ρ (, ), τέτοιο ώστε ( ) g ρ =. ii. Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε: () ( ) () ξ =. 4. Έστω συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β), με (α) = β και (β) = α. Αποδείξτε ότι υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση y+ 5=. 5. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με () = α + β, () = α + β, () = α + β. Αποδείξτε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός ξ τέτοιος ώστε (ξ) =. 6. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, 7] με () + (7) = (4). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, 7), τέτοιο ώστε (ξ) =. 7. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, α] για την οποία ισχύει ( α) + (α) = (). Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ ( α, α) τέτοιο ώστε (ξ) =. 8. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] για την οποία ισχύει () ( ) + () =. Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε (ξ) =. 9. Μια συνάρτηση : [ α, β] R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] και ισχύει ( ) για κάθε (α, β). Αποδείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί ξ, ξ, ξ με ξ (α, β ) και α < ξ < α + β < ξ < β ώστε να ισχύει (ξ) = (ξ ) + (ξ ).. Μια συνάρτηση : [ α,β] R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] και = α + β (α) + (β) ισχύει. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β), τέτοιο ώ- στε (ξ) =. 47