ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr

ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία κανόνα, με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας πραγματικής συνάρτησης με πεδίο ορισμού το Α; Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα A, λέγεται σύνολο τιμών της και συμβολίζεται A Είναι δηλαδή : A / για κάποιο 3 Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση ή καμπύλη της :A ; Πως τη συμβολίζουμε; Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο Το σύνολο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει =, δηλαδή το σύνολο των σημείων Μ,, λέγεται γραφική παράσταση της και συμβολίζεται συνήθως με C 4 Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει g 5 Τι ονομάζουμε σύνθεση της με την g Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με go, τη συνάρτηση με τύπο go g A A A g B g gb g Το πεδίο ορισμού της go αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A { A } Είναι φανερό ότι η go ορίζεται αν B 4 A, δηλαδή αν A B

6 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα συνάρτηση και πότε γνησίως φθίνουσα συνάρτηση Μια συνάρτηση λέγεται : γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: Σχ α γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: Σχ β 5 Ο Δ a Ο 7 Τι ονομάζουμε μέγιστο, ελάχιστο, συνάρτησης Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, όταν Παρουσιάζει στο για κάθε A Σχ 7α A ολικό ελάχιστο, το Δ, όταν για κάθε A Σχ 7β β 7 C O O a C β 8 Πότε μια συνάρτηση λέγεται - Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε Μια συνάρτηση λέγεται, απλώς,: αύξουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε με φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε 3,, ισχύει με ισχύει

Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι: Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε 9 Έστω : A μια «-» συνάρτηση Πως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της ; Πως τη συμβολίζουμε; Για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών A της, υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση με την οποία κάθε A αντιστοιχίζεται στο μοναδικό A για το οποίο ισχύει Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται αντίστροφη συνάρτηση της και συμβολίζεται Επομένως ισχύει: Να αποδείξετε ότι η ευθεία = είναι άξονας συμμετρίας των και - Ας πάρουμε μια - συνάρτηση και ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις C και C των και - αντίστοιχα, στο ίδιο σύστημα αξόνων Επειδή, αν ένα σημείο Μα,β ανήκει στη γραφική παράσταση C της, τότε το σημείο Μ β,α θα ανήκει στη γραφική παράσταση C της - και αντιστρόφως Τα σημεία όμως αυτά, είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες O και Ο Επομένως οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και - είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία = που διχοτομεί τις γωνίες O και O Έστω το πολυώνυμο P και χ ο Να αποδείξετε ότι P P ν ν Έστω το πολυώνυμο P α α α α και Σύμφωνα με τις ιδιότητες έχουμε: ν ν ν P α α α ν ν ν α α α ν ν ν ν α α α ν ν ν ν α α α P ν ν ν ν Επομένως, P P 4

Έστω P,Q πολυώνυμα του και ο με Q Να αποδείξετε ότι P P Q Q P Έστω η ρητή συνάρτηση όπου P, Q πολυώνυμα του Q και με Q Τότε, P P P Q Q Q Επομένως, P P, εφόσον Q Q Q 3 Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής Έστω οι συναρτήσεις, g, h Αν h g κοντά στο και h g, τότε 4 Τι ονομάζουμε ακολουθία Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση :N 5 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής στο Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο, όταν 6 Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο Α Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του Α 7 Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο α,β Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα α, β, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, 8 Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β] 5

Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, και επιπλέον και 9 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα, Να εξηγήσετε γεωμετρικά το Θ Bolzano Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης στο [, ] Επειδή τα σημεία A, και B, βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο β O a a Αα,α 64 Bβ,β β ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ Σχ 65 65 > O a β O a < β α Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της β 6

66 + ρ + + ρ ρ 3 ρ 4 ρ 5 Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της για τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α Βρίσκουμε τις ρίζες της β Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της στον αριθμό αυτό Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της στο αντίστοιχο διάστημα Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και να το αποδείξετε Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον, τέτοιος, ώστε Ας υποθέσουμε ότι Τότε θα ισχύει Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g, [, ], παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [, ] και g g, 67 αφού g και g Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε g, οπότε β η a Αα,α Bβ,β =η O a β 7

Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η παίρνει στο [, ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή, υπάρχουν, [, ] τέτοια, ώστε, αν m και M, να ισχύει m M, για κάθε [ α, β] ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είναι το κλειστό διάστημα [ m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Τέλος, αποδεικνύεται ότι: Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα,, όπου και B Αν, όμως, η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα B, A 8

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της Α; Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν υπάρχει το και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A, είναι λ, Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με Δηλαδή: 3 Να αποδείξετε ότι Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο o, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Για έχουμε οπότε, [ ], αφού η είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως,, δηλαδή η είναι συνεχής στο 9

4 Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α ; H είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A 5 Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα α, β ; Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα α, β του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο, 6 Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] ; Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο, και επιπλέον ισχύει και 7 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α Τι ονομάζουμε πρώτη παράγωγο μιας συνάρτησης ; Έστω Α το σύνολο των σημείων του Α στα οποία η είναι παραγωγίσιμη Αντιστοιχίζοντας κάθε A στο ορίζουμε την συνάρτηση ': A ' η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της 8 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α Τι ονομάζουμε δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης ; Αν υποθέσουμε ότι το Α το σύνολο των σημείων του πεδίου ορισμού Α της στα οποία η είναι παραγωγίσιμη είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της, αν υπάρχει λέγεται δεύτερη παράγωγος της και συμβολίζεται 9 Εστω η σταθερή συνάρτηση = c, Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει χ =, δηλαδή c = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει: c c Επομένως,, δηλαδή c

Έστω η συνάρτηση = Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει =, δηλαδή = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: Επομένως,, δηλαδή Έστω η συνάρτηση = v,v R {, } Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει = v v, δηλαδή Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει:, οπότε, δηλαδή Έστω η συνάρτηση = Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, + και ισχύει =, δηλαδή Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του,, τότε για ισχύει:, Οπότε, δηλαδή

Όπως είδαμε στην παράγραφο 3 η στο δεν είναι παραγωγίσιμη 3 Έστω συνάρτηση = ημ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει = συν, δηλαδή ημ συν Πράγματι, για κάθε και h ισχύει h ημ h ημ ημ συνh συν ημh ημ h h h συνh ημh ημ συν h h Επειδή ημh συνh και, h h h h έχουμε h ημ συν συν h h Δηλαδή, ημ συν 4 Έστω η συνάρτηση = συν Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει = ημ, δηλαδή συν ημ Πράγματι, για κάθε R και h ισχύει: Οπότε h συν h συν συν συνh ημ ημh συν h h h συνh ημh συν ημ, h h h συνh ημh συν ημ h h h h h h συν ημ ημ Δηλαδή, συν ημ 5 Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο o, τότε η συνάρτηση +g είναι παραγωγίσιμη στο o και ισχύει: g g Για, ισχύει:

g g Επειδή οι συναρτήσεις g g g g, g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: g g g g g, Δηλαδή g g 6 Έστω η συνάρτηση στο και ισχύει, ν N Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, δηλαδή Πράγματι, για κάθε έχουμε: 7 Έστω η συνάρτήση εφ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R { συν } και ισχύει, δηλαδή εφ συν συν Πράγματι, για κάθε R έχουμε: ημ ημ συν ημσυν συνσυν ημημ εφ συν συν συν συν ημ συν συν 8 Η συνάρτηση, είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει, δηλαδή Πράγματι, αν Επομένως, e ln e και θέσουμε u ln u e u u e ln, τότε έχουμε u e 9 Η συνάρτηση, είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ln, δηλαδή ln 3

Πράγματι, αν Επομένως, e ln και θέσουμε u ln u u ln e e u e ln ln, τότε έχουμε u e Η συνάρτηση ln, είναι παραγωγίσιμη στο ln και ισχύει Πράγματι αν, τότε ln ln, ενώ αν, τότε ln ln, οπότε, αν θέσουμε ln και u, έχουμε ln u Επομένως, ln u u u και άρα ln Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, συνδέονται με τη σχέση =, τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ως προς το στο σημείο o Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, συνδέονται με τη σχέση, όταν είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ως προς το στο σημείο την παράγωγο Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle και να το εξηγήσετε γεωμετρικά Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα, και τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο M, να είναι παράλληλη στον άξονα των 8 Μξ,ξ Ββ,β Αα,α O α ξ ξ β 4

3 Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης Τιμής και να το εξηγήσετε γεωμετρικά Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M, να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ Ο Ββ,β Mξ,ξ Aa,a a ξ ξ β 4 Συνέπεια ΘΜΤ: Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η είναι συνεχής στο Δ και = για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε Πράγματι Αν, τότε προφανώς, ισχύει Αν, τότε στο διάστημα [, ] η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής Επομένως, υπάρχει, τέτοιο, ώστε Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει,οπότε, λόγω της, είναι Αν, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι 5 Πόρισμα του παραπάνω θεωρήματος: Έστω δυο συναρτήσεις, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι, g είναι συνεχείς στο Δ και =g για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε Δ να ισχύει: g c 5

Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει g g Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση g είναι σταθερή στο Δ Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει g c, οπότε g c =g+c =g O 6 Παράγωγος και μονοτονία: Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ Αν σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι Έστω, με Θα δείξουμε ότι Πράγματι, στο διάστημα [, ] η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει, τέτοιο, ώστε, οπότε έχουμε Επειδή και, έχουμε, οπότε Στην περίπτωση που είναι εργαζόμαστε αναλόγως 7 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο; Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε A δ, δ Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το τοπικό μέγιστο της 8 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο; Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε A δ, δ 6

Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το τοπικό ελάχιστο της 9 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat και να το αποδείξετε: Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει τέτοιο, ώστε, και, για κάθε, Επειδή, επιπλέον, η είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει Επομένως, αν,, τότε, λόγω της, θα είναι, οπότε θα έχουμε αν,, τότε, λόγω της, θα είναι, οπότε θα έχουμε 3 Έτσι, από τις και 3 έχουμε Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη O δ +δ 33 7

ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η είναι διαφορετική από το μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων Επομένως, οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης σ ένα διάστημα Δ είναι: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της μηδενίζεται Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η δεν παραγωγίζεται 3 Τα άκρα του Δ αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της στο διάστημα Δ 3 Κριτήριο για τα ακρότατα Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα,, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Αν στο, και στο,, τότε να αποδείξετε ότι το είναι τοπικό μέγιστο της Eπειδή για κάθε, και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως αύξουσα στο, ] Έτσι έχουμε, για κάθε, ] Επειδή για κάθε, και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, Έτσι έχουμε:, για κάθε [, > < > < 35a O a β O a β Επομένως, λόγω των και, ισχύει:, για κάθε,, που σημαίνει ότι το είναι μέγιστο της στο, και άρα τοπικό μέγιστο αυτής 3 Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα,, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Aν η διατηρεί πρόσημο στο,,, τότε το δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο, 8

Έστω ότι, για κάθε,, > > 35γ > > O a β O a β Επειδή η είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα, ] και [, Επομένως, για ισχύει Άρα το δεν είναι τοπικό ακρότατο της Θα δείξουμε, τώρα, ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο, Πράγματι, έστω,, με Αν,, ], επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο, ], θα ισχύει Αν, [,, επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο [,, θα ισχύει Τέλος, αν, τότε όπως είδαμε Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει, οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο, Ομοίως, αν για κάθε,, 33 Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, πότε θα λέμε ότι η στρέφει τα κοίλα προς τα άνω και πότε προς τα κάτω; Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ 9

34 Πότε το σημείο A o, o ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα,, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του Αν η είναι κυρτή στο, και κοίλη στο,, ή αντιστρόφως, και η C έχει εφαπτομένη στο σημείο A,, τότε το σημείο A, ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της 35 Πότε η ευθεία = o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια, είναι ή, τότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της 36 Πότε η ευθεία λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο αντίστοιχα στο - Αν αντιστοίχως, τότε η ευθεία λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο στο αντιστοίχως 37 Πότε η ευθεία = λ + β λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + αντίστοιχα στο Η ευθεία λ β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο, αντιστοίχως στο, αν [ ], αντιστοίχως [ ] 38 Να διατυπώσετε τους κανόνες de l Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Αν, g, R {, } και υπάρχει το πεπερασμένο ή άπειρο, τότε: g g g

ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Αν, g, R {, } και υπάρχει το πεπερασμένο ή άπειρο, τότε: g g g ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έστω μια ορισμένη συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ Tι ονομάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F, για κάθε Πως ορίζεται το ορισμένο ολοκλήρωμα; Έστω μια συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς στο [, ] Με τα σημεία χωρίζουμε το διάστημα [, ] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους = O a= ξ ξ k v- ξ v v =β ξ Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα [, ], για κάθε {,,, }, και σχηματίζουμε το άθροισμα S το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής: Aποδεικνύεται ότι, S Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό Το άθροισμα αυτό ονομάζεται ένα άθροισμα RIEMANN

Το όριο του αθροίσματος S, δηλαδή το ν ξ κ Δ 3 υπάρχει στο και ν κ είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων Το παραπάνω όριο 3 ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης β από το α στο β, συμβολίζεται με α και διαβάζεται ολοκλήρωμα της από το α στο β Δηλαδή, d 3 Να αποδείξετε ότι: Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G=F+c, c, είναι παράγουσες της στο Δ και Κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G=F+c, c Κάθε συνάρτηση της μορφής της στο Δ, αφού G F c, όπου,είναι μια παράγουσα G F c F, για κάθε Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της στο Δ Τότε για κάθε ισχύουν F και G, οπότε G F, για κάθε Άρα, σύμφωνα με το πόρισμα της 6, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G F c, για κάθε 4 Να διατυπώσετε το θεώρημα ολοκλήρωτικού λογισμού και να το αποδείξετε Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [, ] Αν G είναι μια παράγουσα της στο [, ], τότε t dt G G Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση F t dt είναι μια παράγουσα της στο [, ] Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της στο [, ], θα υπάρχει c R τέτοιο, ώστε G F c Από την, για Επομένως,, έχουμε G F c t dt c c, οπότε c G

οπότε, για, έχουμε G F G, και άρα G F G t dt G t dt G G 5 Εμβαδόν χωρίου που ορίζεται από δύο θετικές συναρτήσεις: Έστω, τώρα, δυο συναρτήσεις και g, συνεχείς στο διάστημα [, ] με g για κάθε [, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες και Σχ 8 Να αποδείξετε ότι E Ω g d β α = = 8 Ω =g O α Ω O β =g Ω O γ Παρατηρούμε ότι Επομένως, d g d g d E g d 6 Εμβαδόν χωρίου που ορίζεται από δύο συναρτήσεις: Έστω δυο συναρτήσεις και g, συνεχείς στο διάστημα [, ] με g για κάθε [, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες και Να αποδείξετε ότι E Ω g d β α 3

Επειδή οι συναρτήσεις,g είναι συνεχείς στο [α,β] θα υπάρχει αριθμός c τέτοιος ώστε c g c, για κάθε [, ] Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω σχα έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο Ω σχβ =+c ΩΩ = Ω =g+c α O β α O β =g α β Επομένως σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα έχουμε [ c g c] d g d Άρα, E g d 7 Εμβαδόν χωρίου που ορίζεται από συνάρτηση g,τον άξονα και τις ευθείες =α και =β, με α < β Έτσι αν για τη συνεχή συνάρτηση g ισχύει g για κάθε [α,β], τότε E g d Ο άξονας είναι η γραφική παράσταση της = Έχουμε λοιπόν E g d [ g ] d g d Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g για κάθε [, ], τότε E g d O α Ω β =g 4

8 Εμβαδόν χωρίου που ορίζεται από δύο συναρτήσεις που δεν διατηρούν σταθερό πρόσημο Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συνεχών συναρτήσεων,g στο διάστημα [α,β] όταν η διαφορά g δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α,β] και τις ευθείες =α και =β είναι E g d Όταν η διαφορά g δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [, ], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες και είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων, και 3 Δηλαδή, 3 g d g d g d g d g d g d g d Επομένως, E g d O Ω α γ =g = Ω Ω 3 δ β 3 Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΟΕΔΒ 7 Ανδρεαδάκης Σ-Κατσαργύρης Β-Μέτης Σ-Μπρουχούτας Κ-Παπασταυρίδης Σ-Πολύζος Γ 5