.UVOD. Matematički model Matematički model se može definisati kao skup matematičkih relacija koje opisuju ili definišu veze između pojedinih fizičkih veličina u posmatranom procesu (dimenzije uređaja, svojstva supstanci, temperature, protoci, itd.). Matematički model predstavlja manje ili više uprošćenu predstavu stvarnih veza između veličina koje karakterišu neki proces i odražava najvažnije karakteristike procesa. Tako se dobrim matematičkim modelom smatra onaj koji odstupa od realne slike u granicama tolerancije, a pri tome nije tako kompleksan da bi određivanje brojnih vrednosti parametara koji figurišu u modelu (kao i njegovo rešavanje) bilo vrlo otežano ili nemoguće. Pre no što se formuliše model mora se jasno definisati sistem koji se modeluje ili posmatra. Pod sistemom podrazumevamo jasno izdvojen deo procesa tj. postrojenja ili ceo proces, ograničen granicom sistema. Pod procesom se podrazumeva jedna ili niz operacija ili jediničnih procesa koji za cilj imaju dobijanje nekog produkta. Jedinični procesi se u hemijskom inženjerstvu dele na: mehaničke operacije (transport čvrstih materija i fluida, drobljenje, oblikovanje, itd) toplotne operacije (proizvodnja i razmena toplote-izmenjivači, uparavanje, itd) separacione operacije (destilacija, ekstrakcija, filtracija, itd.) hemijske reakcije biohemijske reakcije Hemijsko-inženjerski sistemi se mogu podeliti na jednostavne i složene. Dok se jednostavni sistemi sastoje samo od jednog uređaja, složeni sistemi se sastoje od više međusobno povezanih uređaja. Matematički modeli složenih sistema sastoje se od matematičkih modela jediničnih uređaja iz kojih su sastavljeni i opisa veza između njih (opis topologije sistema). Osnovu matematičkog modela jednostavnog sistema predstavljaju zakoni održanja (konzervacije) mase, energije i količine kretanja. Opšti izraz zakona održanja, tj. opšti oblik bilansa glasi: ULAZ - IZLAZ + GENERISANJE = AKUMULACIJA (.) U SISTEMU U SISTEMU i odnosi se na neki period vremena t (specijalno, na jedinicu vremena). Termin generisanje obuhvata i stvaranje i trošenje (komponente, energije, količine kretanja). Tako je član generisanja pozitivan, ako je u pitanju stvaranje, a ima negativan predznak, ako je u pitanju trošenje (negativno generisanje). Definisanje pojedinih članova u bilansu (.), kao i dodatnih jednačina ili ograničenja zahteva : Podatke o fizičko-hemijskim karakteristikama supstanci (gustine, specifične toplote, naponi pare, entalpije, itd.) ;
Opisivanje ravnoteža faza ; 3 Metode proračuna brzina prenosa toplote, mase i količine kretanja i brzina hemijskih i biohemijskih reakcija (kinetika). Pretpostavke pri formulisanju modela Svaki model, kao približna predstava procesa, bazira se na nekim pretpostavkama. Dobre pretpostavke su rezultat iskustva, teorijskog znanja i inženjerskog osećaja i zahvaljujući njima model se uprošćava uz očuvanje neophodnog stepena realističnosti. Pretpostavke zavise od cilja analize, i ne smeju da unesu greške koje bi dovele do značajnih odstupanja od korektnih rezultata i zaključaka. Treba ih (izuzimajući eventulano uobičajene) navesti kao sastavni deo modela.. Klasifikacija matematičkih modela Uobičajene podele matematičkih modela su date na sl.. Deterministički model sadrži promenljive kojima se mogu pripisati tačno određene vrednosti pri zadatim uslovima, odnosno nisu podložne slučajnim kolebanjima. U inženjerstvu se najčešće bavimo determinističkim modelima zanemarujući pri tom prisutne neodređenosti u promenljivama, koje su najčešće posledice eksperimentalnih varijacija slučajnog karaktera i nemaju značajan udeo u ukupnim vrednostima (naprimer slučajne greške merenja). deterministički stohastički stacionaran nestacionaran MATEMATIČKI MODEL podele po matematičkoj strukturi sa raspodeljenim parametrima sa uniformnim parametrima sl... - Klasifikacija matematičkih modela Ponekad je međutim neke promenljive neophodno smatrati slučajnim što znači da njihove vrednosti upadaju u određeni interval sa nekom verovatnoćom u skladu sa nekim zakonom raspodele. Takvi procesi se nazivaju stohastičkim i opisuju se statističkim ili stohastičkim modelima, uz pomoć teorije verovatnoće i matematičke stohastike. Primer su problemi u okviru kojih je neophodno opisati raspodelu veličina čvrstih čestica, ili raspodelu veličina pora u poroznom materijalu kao i sistemi kod kojih su neke promenljive određene sa malom preciznošću (velika slučajna greška merenja). U okviru ovog kursa nećemo se baviti stohastičkim procesima.
Stacionarni i nestacionarni sistemi i procesi Za nestacionarne procese je karakteristično da se sve ili neke od promenljivih menjaju u toku vremena, a odgovarajući modeli se zovu nestacionarni. U bilansnim jednačinama (.) za nestacionarne sisteme, postoji član akumulacije. Za stacionaran sistem ili proces važi da se svojstva sistema odnosno promenljive ne menjaju sa vremenom, a član akumulacije u bilansnim jednačinama (.) jednak je nuli. Dakle, možemo da pišemo, X, X, X t X t,, za nestacionaran model za stacionaran model gde X označava promenljivu u modelu, a t vreme. Diskontinualni ili šaržni (engl. batch) procesi se opisuju nestacionarnim modelima. Na primer šaržni uparivač se napuni voćnim sokom i otparavanjem vode se određeno vreme koncentriše. U toku vremena, menja se sadržaj vode u soku, sadržaj nekih hranljivih sastojaka soka i njegova temperatura. Zatim se uparivač isprazni tj. ispusti se šarža.. Dakle, kroz granice sistema nema proticanja mase u posmatranom (operativnom) periodu vremena, tj. u pitanju su zatvoreni sistemi. Pri opisivanju kontinualnih procesa, odnosno otvorenih ili protočnih sistema, kod kojih postoji razmena mase sa okolinom kroz granicu sistema, ako su oni vremenom ustaljeni, koriste se stacionarni modeli. Pri opisivanju reakcije ili odziva kontinualnog sistema na vremenske poremećaje pojedinih parametara, neophodno je naravno, zbog prisutnih vremenskih promena pojedinih promenljivih, formulisati nestacionarne modele. Tako se u kontinualni procesi projektuju pomoću stacionarnih modela (naprimer višestepeni uparivači), ali je za projektovanje sistema automatskog upravljanja tih procesa neophodno koristiti nestacionarne modele. Sistemi sa neraspodeljenim i raspodeljenim parametrima Ako se pri opisivanju sistema mogu zanemariti prostorne varijacije promenljivih tj. njihove vrednosti smatrati uniformnim po celoj zapremini sistema, rezultat je model sa ne raspodeljenim ili uniformnim parametrima (engl. lumped model). Primer je šaržni ili protočni uparivač, sa idealnim mešanjem sadržaja. Dakle, za sisteme sa uniformnim parametrima imamo, X X, x, x gde x označava prostornu koordinatu. Sistemi kod kojih su prisutne promene pojedinih promenljivih duž jedne ili više prostornih koordinata (neuniformnos kao i odgovarajući modeli nazivaju se sistemi (modeli) sa raspodeljenim (distributed) parametrima, i za njih važi, 3
X X, x, x Primer je izmenjivač toplote, duž koga se menja temperatura oba fluida. U pitanju je stacionaran sistem sa raspodeljenim parametrima. Primer nestacionarnog sistema sa raspodeljenim parametrima je konzerva u toku termičke sterilizacije temperatura sadržaja konzerve u toku njenog zagrevanja nije uniformna - najviša je uz zid konzerve, a najniža u njenom centru. Matematički modeli sistema sa raspodeljenim Podela po matematičkoj strukturi U pogledu matematičke strukture, modeli mogu predstavljati: Jednu ili više algebarskih jednačina, Jednu ili više običnih diferencijalnih jednačina (ODJ), 3 Jednu ili više parcijalnih diferencijalnih jednačina (PDJ), ili 5 Kombinaciju navedenih struktura. Jasno je da su stacionarni uniformni sistemi opisani algebarskim modelima (napr. protočni uparivač sa idealnim mešanjem). Model nestacionarnog uniformnog sistema (napr. idealno mešan šaržni uparivač) i model stacionarnog sistema čija se svojstva menjaju samo po jednoj prostornoj koordinati (napr. izmenjivač toplote) je tipa (obične diferencijalne jednačine). Parcijalne diferencijalne jednačine opisuju nestacionarne sisteme sa prostorno promenljivim svojstvima (procesi termičke sterilizacije i zamrzavanja hrane), kao i stacionarne sisteme čija se svojstva menjaju u bar dva koordinatna pravca (napr. izmenjivač toplote sa podužnim i radijalnim promenama temperature).3. Granični uslovi za diferencijalne jednačine Poznato je da je pri rešavanju diferencijalnih modela (nalaženje partikularnih rešenja) neophodan određen broj graničnih uslova za funkcije opisane diferencijalnim jednačinama. Uopšte, može se reći da je broj potrebnih graničnih uslova u vezi neke zavisno promenljive, jednak tačno redu njenog najvišeg izvoda koji figuriše u modelu. Na primer, da bi dobili rešenje y(x) diferencijalne jednačine prvog reda, F(x, y, y ) =, neophodan je jedan granični uslov za traženu funkciju: x = x, y(x) = y koji se obično zove početni uslov, a problem rešavanja pomenute diferencijalne jednačine početnim problemom (initial value problem). Za rešavanje modela oblika: F(x, y, y, y ) = neophodna su, zbog drugog izvoda funkcije y(x), dva granična uslova u vezi sa vrednošću funkcije i/ili njenog prvog izvoda. Oni mogu biti dati u jednoj tački x : 4
x = x, y = y, y = y i tada opet imamo početni problem. Ako su granični uslovi razdvojeni tj. dati u dve tačke, x i x, recimo: x = x, y = y x = x, y = y Uzmimo sada na primer parcijalnu diferencijalnu jednačinu: F ( t, z z x, z z y, z, t, x, y, y ) = Da bi dobili partikularno rešenje, z = z(t, x, y) neophodan je po jedan granični uslov po t i po x i dva po y, recimo: z( x, y, t = ) = z z( x = x, y, = z y) ( y, z( x, y = y, = z 3 z y = y y, = z 4.4. Greške u rezultatima Vrednosti fizičkih veličina, dobijene u procesu rešavanja formulisanog matematičkog modela nekog realnog sistema ( tj. rešenja nekog od prethodno navedenih tipova računskih problema ), nisu nikada potpuno tačne (jednake stvarnim vrednostima). Izuzimajući grube greške u postavci problema ili u toku njegovog rešavanja, greške potiču od : aproksimacija pri formulisanju samog modela i nezaobilaznih grešaka u postupku rešavanja (Sl..) U svakoj od 4 faze u rešavanju problema, prikazane na slici, unose se, u opštem slučaju, određene greške, koje prouzrokuju netačnost konačnih rezultata.. Greške pri formulisanju modela rezultat su uprošćavajućih pretpostavki. Greške u brojnim podacima su drugi izvor grešaka u rezultatima. Vrednosti neophodnih parametara u modelu su, manje ili više, približne procene stvarnih vrednosti. Na primer, vrednost toplotne provodljivosti, λ u problemu simulacije razmenjivača toplote Polazni podaci su često rezultati merenja i kao takvi sadrže neminovne greške merenja - naprimer poznati protoci ili temperature u problemu simulacije razmenjivača. 3. Greške numeričkih metoda, čija je primena neophodna u slučaju da ne postoje (ili su suviše kompleksna) analitička rešenja pojedinih matematičkih problema u okviru proračuna, su treći izvor grešaka u konačnim rezultatima. Naprimer greške pri približnom (numeričkom) izračunavanju određenih integrala u nekom modelu, ili pri numeričkoj integraciji diferencijalnih jednačina. 5
Posmatrani hemijsko - inženjerski sistem Formulisanje matemat. modela Unos vrednosti parametara i ostalih podataka u model Primena približnih (numeričkih) metoda radi rešavanja modela 3 Realizacija proračuna 4 Rezultati Sl.. Izvori grešaka (.-4. ) u rezultatima matematičkog modelovanja 4. Greške koje potiču od zaokruživanja međurezultata pri realizaciji računskog procesa uslovljavaju da, i u potpunom odsustvu prethodna tri izvora grešaka, konačni rezultati nisu potpuno tačni. Ukupno odstupanje vrednosti neke veličine dobijene u procesu modelovanja, od njene tačne vrednosti, tj ukupna greška E jednaka je zbiru grešaka pojedinih faza (.-4.) : E = E { + E + E3 + E4 (.) 444 43 ( greska modela ( ( greske pri resavanju Osnovi teorije i metoda računanja sa približnim brojevima dati su u Dodatku A. ima : Pri realizaciji proračuna na računaru, dominantan doprinos ukupnoj greški rezultata greška koja potiče od netačnosti podataka ( E u jedn..), ili ređe greška numeričke metode ( E 3 u jedn..). Tako, ako se polazni podaci ne odlikuju velikom tačnošću, po pravilu nema smisla koristiti vrlo tačne i zato vrlo složene numeričke metode, jer to u skladu sa (.) neće značajno doprineti tačnosti rezultata. Ako pak proračun startuje sa kvalitetnim podacima, treba odabrati numeričke metode odgovarajuće tačnosti kao i dovoljno stroge kriterijume konveregencije iteracionih postupaka. 6