3 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Ravanski sistem prizvljnih sila F 1,..., F n i spregva m M 1,..., M k čine sile čije napadne linije leže u jednj ravni, dk su spregvi, ka vektri, upravni na tu ravan, dnsn teže da izazvu brtanje u pmenutj ravni (Slika 3.1). Prstije ekvivalentn mehaničk dejstv vm sistemu sila ima glavni vektr F g, kji dgvara vektrskm zbiru svih sila: n Fg = Fi, i=1 i glavni mment M g, kji se nalazi algebarskm summ spregva M 1,..., M k i mmenata svih sila za prizvljn izabranu tačku : M g k = M + n j j= 1 i= 1 M F i Vektr mmenta sile F za tačku je, p definiciji: Slika 3.1 M F = B F, (3.1) gde je B prizvljna tačka na napadnj liniji sile F (Slika 3.a). Ovaj vektr je upravan na ravan sile F i tačke. P intenzitetu, mment sile F za tačku je jednak prizvdu intenziteta sile F i najkraćeg rastjanja h d tačke d napadne linije sile F (Slika 3.a): F M i = Fh. Treba naglasiti da pmeranje sile duž napadne linije ne menja njen mment za tačku. Smer mmenta sile za tačku je definisan pravilm desne ruke (Slika 3.b). U slučaju da sila F teži da izazve brtn dejstv k tačke suprtn d smera kazaljke na satu ( ª ), vektr mmenta sile za tu tačku je usmeren iz papira. k sila F teži da izazve brtn dejstv za tačku u smeru kazaljke na satu ( ), vektr mmenta sile za tu tačku je usmeren u papir. Izbr smera brtanja kji će biti definisan ka pzitivan (ª + ili +) je ptpun prizvljan.
48 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Slika 3. Mment sile za tačku se mže izračunati krišćenjem Varinjnve tereme za sistem u ravni. Naime, silu F treba razlžiti na dve kmpnente F x i F y, najpgdnije ne kje su međusbn upravne. Zatim treba izabrati pzitivan smer mmenta, te izračunati mment svake kmpnente za tačku i sabrati ih, stavljajući dgvarajući predznak mmenta. Za primer za Slike 3.c, mment sile F za tačku je: ª+ F M = F h + F h x, 1 y gde je h 1 krak kmpnente F x za tačku, a h krak kmpnente F y za istu tačku. 3.1 Uslv i jednačine ravnteže sistema prizvljnih sila i spregva u ravni Sistem prizvljnih sila i spregva u ravni se nalazi u ravnteži pd uslvm da su glavni vektr i glavni mment jednaki nuli: Fg = 0, Mg = 0. (3.) Prvi, vektrski uslv se, nakn prjektvanja na se krdinatng sistema xy mže svesti na dve skalarne jednačine, čime se prethdni uslvi ravnteže transfrmišu u sledeći sistem jednačina ravnteže prizvljng sistema sila i spregva u ravni: n 1. 0,. yi 0, 3. 0, i=11 i 1 n + (3.3)
Ravnteža sistema prizvljnih sila i spregva u ravni 49 kji pdrazumeva da je suma prjekcija svih sila na se krdinatng sistema jednaka nuli, i da je suma mmenata svih sila i spregva za prizvljnu tačku u ravni nula. Pstje i alternativni blici jednačina ravnteže ([1], str. 5), kji za razliku d blika (3.3) imaju izvesna graničenja. Jedan d njih pdrazumeva da suma prjekcija svih sila na su x krdinatng sistema bude jednaka nuli, ka i da sume mmenata svih sila i spregva za dve tačke i B budu nula: n + + 1. 0,. 0, 3. B 0. (3.4) i= 1 Ograničenje kje pstji za mmentne tačke i B je da ne nisu na pravcu upravnm na x su. Drugi alternativni blik uslva ravnteže se gleda u pisanju tri mmentne jednačine 9 za tačke, B i C: + + + 1. 0,. 0, 3. 0, (3.5) pri čemu su, B i C neklinearne tačke. 3.1.1 lgritam rešavanja zadataka Tkm rešavanja zadataka iz ravnteže prizvljng ravanskg sistema sila i spregva d pmći mže biti sledeći algritam: 1. Učiti bjekat čija se ravnteža psmatra;. Ucrtati sve aktivne sile i spregve kji na njega dejstvuju; 3. Učiti veze bjekta, slbditi se veza i u skladu sa ksimm vezama ([1], str. 1-7) ucrtati sve reakcije veza; 4. nalizirati gemetriju mehaničkg sistema radi pgdng izbra krdinatng sistema, mmente tačke, ili mmentnih tačaka. Krdinantni sistem treba izabrati tak, da se št je mguće veći brj nepznatih sila prjektuje u pravj veličini na jednu d njegvih sa. Ist tak, treba vditi računa pgdnm izbru mmente tačke, tak da št veći brj napadnih linija sila nepznatih intenziteta prlazi krz tu tačku ili da mment za izabranu tačku pravi sam jedna nepznata veličina, da bi se mgla drediti direktn iz napisane jednačine. Ovaj krak nije d suštinske važnsti, ali upršćava algebru rešavanja zadatka. Pri pisanju mmentne jednačine, treba prizvljn izabrati smer mmenta kji će se smatrati pzitivnim, i dsledn ga se pridržavati pri pisanju mmentne jednačine; 5. Pisati jednačine ravnteže i rešiti ih. 9 Indeks sumiranja će i u mmentnim jednačinama, pri rešavanju primera, biti izstavljan. Na taj način, znaka M će pdrazumevati M + k n F j M i za naznačen pzitivan smer mmenta. j= 1 i= 1 +
50 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Primer 3.1 Glatki štap B težine G, dužine L slanja se krajem na hrizntalni pd, a u tački C na ivicu zida visine h (Slika 3.3). U plžaju ravnteže štap sa hrizntalm brazuje uga β. U tm plžaju ga država hrizntaln uže O. Odredite silu u užetu i reakcije veza u tačkama i C. Slika 3.3 Slika 3.4 Rešenje: Objekat čija se ravnteža psmatra jeste štap B. U gemetrijskm središtu štapa, tački T, dejstvuje vertikaln naniže sila težine G (Slika 3.4). Reakcija veze užeta S je sila pravca O, usmerena d tačke ka tački O. Ka psledica veze štapa i glatke hrizntalne ravni dejstvuje reakcija veze N nrmalna na hrizntalni pd. U vm primeru, reakcija veze N C je upravna na štap, jer pravac štapa dgvara pravcu tangente u tački ddira ivice i štapa. Dakle, na štap dejstvuje ravanski sistem sila, čije se napadne linije ne sučeljavaju, već su prizvljnih pravaca u ravni. Kak su pravci G i N vertikalni, a sila S hrizntalna, pgdn je izabrati krdinatni sistem čija je jedna sa hrizntalna, a druga vertikalna (Slika 3.4). Uga izmedu N C i vertikalng pravca je β, ka uga s nrmalnim kracima u dnsu na zadati β. Jednačine ravnteže, dbijene prjektvanjem sila na se krdinatng sistema, glase: 1. F = 0 : S + N sin β = 0, xi. F = 0 : N cs β + N G = 0. yi C Kak krz tačku prlaze napadne linije sile S i N, sledi da će mment za tu tačku praviti sile G i N C, te će mmentna jednačina napisana za vu tačku sadržati sam jednu nepznatu veličinu, i t N C. Neka je pzitivan smer mmenta naj kji dgvara pzitivnm matematičkm smeru, suprtnm d kazaljke na satu. Krak sile G za tačku predstavlja najkraće rastjanje između pravca G, št je vertikala, i tačke. Prdužavanjem napadne linije sile G, te pvlačenjem nrmale iz tačke na taj pravac, u preseku se dbija tačka D. Prema tme, krak sile G za tačku dgvara rastjanju D. C
Ravnteža sistema prizvljnih sila i spregva u ravni 51 Iz trugla TD, t rastjanje se dbija prjektvanjem duži T = L / na hrizntalni pravac: L D = Tcs β = cs β. Pri tme, sila G teži da izazve brtn dejstv saglasn pzitivnm matematičkm smeru. Mment sile G za tačku je + G L cs β. U cilju dređivanja mmenta sile N C za tačku, krak se dređuje pvlačenjem nrmale iz tačke na pravac sile, u preseku sa pravcem sile, št je tačka C. Znači, krak ve sile je C. Ta duž predstavlja hiptenuzu pravuglg trugla OC, u kme je pznata naspramna kateta ugla β, tj. kateta h. Odatle sledi: C = sin hβ. Smer mmenta sile N C za tačku je suprtan N h C pzitivn definisanm. Na snvu tga je M = NC sin β. Dakle, treća jednačine ravnteže glasi: Iz ve jednačine se direktn dbija: ª 3. + M = 0: + G L h cs β NC = 0. sinβ N = G L C h sin β cs β, dk iz prethdn napisanih jednačina ravnteže sledi: S G L L = sin βcs β, N = G 1 sin βcs β. h h Primer 3. Štap B težine G, dužine L vezan je krajem B za nepkretni cilindrični zglb, a krajem za uže (Slika 3.5). Na štap u prikazanm smeru dejstvuje spreg M, dk je u tački kačen teret težine Q. U plžaju ravnteže štap sa vertikalm brazuje uga α, a uže sa štapm uga β. Odrediti reakciju zglba B i silu u užetu. Slika 3.5 Rešenje: Na štap, sim aktivnih vertikalnih sila G i Q, aktivng sprega M, dejstvuju reakcije veze užeta S i reakcija zglba.
5 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Reakcija zglba, ka sila nepznatg intenziteta, pravca i smera dejstva, se pri analitičkm rešavanju pgdnije predstavlja prek dve kmpnente prizvljn pretpstavljenih smerva, najčešće međusbn upravnih pravaca. Slika 3.6 Neka su kmpnente reakcije zglba X B i Y B klinearne sa hrizntalnim i vertikalnim pravcem, smerva prikazanih na Slici 3.6a. Zbg činjenice da tri sile dejstvuju u vertikalnm pravcu, usvjiće se krdinatni sistem čija je y sa vertikalna, a x sa hrizntalna. Pre pisanja jednačina ravnteže p vim sama, d kristi je učiti da je uga između vertikalng pravca u tački i štapa jednak uglu α, ka naizmenični u dnsu na zadati. T dvdi d zaključka da je uga između sile u užetu i vertikalng pravca ( α β). Prema tme, jednačine ravnteže su: 1. Fxi = 0: XB + Ssin ( α β)= 0,. F = 0: Y + Scs ( α β) Q G= 0. yi B Krz tačku B prlaze napadne linije nepznatih sila p intenzitetu X B i Y B, pa su im mmenti za tu tačku jednaki nuli. Obrtn dejstv za tačku B imaju sam Q i G, te nepznata p intenzitetu sila S. Stga je pgdn za mmentnu tačku izabrati uprav tačku B. Krak sile G za tačku B dgvara duži BB 1, št je iz pravuglg trugla BB 1 T naspramna kateta ugla α (naizmeničan sa zadatim α, dk je BT= L / hiptenuza vg trugla. Dakle, traženi krak predstavlja prjekciju hiptenuze BT naspram ugla α pa je BB 1= Lsinα /. Obrtn dejstv G za tačku B je pzitivng matematičkg smera, kji će se u vm zadatku usvjiti za pzitivan smer mmenta. T znači, da mment sile G za tačku B iznsi GLsinα /. Najkraće rastjanje napadne linije sile Q d tačke B, dgvara duži BB, kja se mže naći na snvu sličnsti pravuglih truglva BB 1 T i BB. Kak je kateta B dvstruk veća d katete TB, sledi i da je BB dvstruk veće d duži BB 1, te traženi krak sile Q za tačku B iznsi Lsinα. Znak mmenta sile Q za tačku B je, takđe, pzitivan. Pvlačenjem nrmale iz tačke B na
Ravnteža sistema prizvljnih sila i spregva u ravni 53 napadnu liniju sile S, nalazi se da je krak ve sile za tačku B jednak duži BB 3. Taj krak je naspramna kateta za uga β u pravuglm truglu BB 3, čija je hiptenuza dužina štapa L. Traženi krak je Lsinβ. Sila S k tačke B teži da izazve brtanje saglasn smeru kazaljke na satu, te je mment ve sile za tačku B negativan. Osim sila, mment za tačku B ptiče d aktivng sprega M, kji je saglasng smera sa pzitivn definisan smerm, pa će u mmentnj jednačinu figurisati ka pzitivan. Prema tme, mmentna jednačina za tačku B glasi: ª 3. + M = 0: + G L + QL SL + = 0. B sin α sin α sin β M Iz ve jednačine se dbija: 1 ( G + Q) sinα M S = + sin β Lsin β, dk prethdne dve jednačine dvde d: X = Ssin ( α β), Y = Scs ( α β)+ Q+ G. B B Intenzitet reakcije zglba, dgvara RB = XB + Y B (Slika 3.6b), dk je pravac dejstva ve sile definisan uglm γ: tanγ = Y. X B B Krak sile S za tačku B je mguće drediti i primenm Varinjnve tereme. Naime, sila S se mže razlžiti na dve kmpnente S 1 i S (Slika 3.6.c), d kjih je jedna klinearna sa pravcem kji prlazi krz mmentu tačku, št je pravac štapa, a druga kmpnenta ima pravac upravan na B. Mment sile S za tačku B je ekvivalentan algebarskj sumi mmenata vih kmpnenti za istu tačku. Kak napadna linija kmpnente S prlazi krz tačku B, njen mment za tu tačku je nula. Krak druge kmpnente, intenziteta Ssinβ, dgvara duži B=L, te se i vim načinm dbija da mment sile S za tačku B dgvara -SLsinβ. Primer 3.3 Štap O zanemraljive težine vezan je krajem O za nepkretni cilindrični zglb. Drugi kraj pridržava uže, prebačen prek idealng ktura B, te zategnut teretm težine Q. Tačka B se nalazi na vertikali krz tačku O, na rastjanju L (Slika 3.7). U tački C štapa kačen je teret težine P, pri čemu je OC=a. Odrediti uga ϕ kji štap u plžaju ravnteže gradi sa vertikalnim pravcem, ka i reakciju zglba u tm plžaju. Slika 3.7
54 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Rešenje: Na štap, čija se ravnteža psmatra, dejstvuje aktivna vertikalna sila P u tački C, reakcija veze užeta-sila S, klinearna sa užetm, usmerena d tačke ka tački B, jednakg intenziteta sa težinm tereta Q, ka i reakcija zglba. Reakcija zglba će se predstaviti u frmi dve međusbn upravne kmpnente X O i Y O, prizvljn pretpstavljenih smerva (Slika 3.8). Kak je truga OB jednakkrak, uglvi OB i OB su jednaki i iznse p ( 90 ϕ / ). Jednačine ravnteže za krdinatni sistem prikazan na Slici 3.8 glase: 1. Fxi = 0: XO Ssin ( 90 ϕ / )= 0,. Fyi = 0: YO + Scs ( 90 ϕ / ) P = 0. Slika 3.8 Na snvu ve dve jednačine je mguće izraziti intenzitete X O i Y O u funkciji nepznatg ugla ϕ: X = Scs ( ϕ/ ), Y = Ssin ( ϕ/ )+ P. O O Da bi se dredi uga ϕ, napisaće se i mmentna jednačina. Kak krz tačku O prlaze napadne linije be kmpnente reakcije zglba, mmentna jednačina će se napisati uprav za tu tačku. Mment sile S se mže drediti Varinjnvm teremm, prek mmenata njenih kmpnenti. Stga je pgdn razlžiti silu S na kmpnentu S u pravcu kji prlazi krz mmentu tačku, i kmpnentu S 1 upravnu na O. Pri tme je S1= Ssin ( 90 ϕ / ). Na taj način, mment sile S za tačku B dgvara mmentu kmpnente S 1 za istu tačku, čije je krak duž O=L. Smer mmeta S 1 za vu tačku je pzitivng matematičkg smera. Sila P teži da brne štap k tačke B u suprtnm smeru, dk je krak ve sile jednak duži OO 1 = asinϕ. Dakle, mmentna jednačina za tačku O glasi: ª+ ( ) = 3. MO = 0: + Ssin 90 ϕ/ L Pasin ϕ 0, pri čemu je S=Q, jer je uže prebačen prek idealng ktura. Transfrmacijm ϕ ϕ sinϕ = sin cs (videti fusntu 6), sledi: ϕ ϕ cs QL Pasin 0. =
Ravnteža sistema prizvljnih sila i spregva u ravni 55 Rešenja ve jednačine su ϕ1 = π, št je ravntežni plžaj kji dgvara vertikalnm štapu sa tačkm ispd tačke O i sin ϕ = QL Pa, kji je mguć sam pd uslvm. QL Pa 1 Primer 3.4 Krivlinijski štap B, prikazan na Slici 3.9, ima blik kružng luka pluprečnika R. Štap je uklešten na svm kraju, a slbdan na drugm kraju. Štap je pterećen spregm intenziteta M, dk u tački B dejstvuje sila intenziteta F, a u tački C sila intenziteta H. Sila F je u pravcu tangente na štap u tački B, a sila H je hrizntalna. Odrediti reakcije ukleštenja. Težinu štapa zanemariti. Slika 3.9 Rešenje: Veza ukleštenja sprečava pmeranje ukleštene tačke bjekta, ka i brtanje bjekta k te tačke. T znači da se u slučaju ravanskg sistema u tački ukleštenja javlja sila nepznatg pravca, intenziteta i smera, kja se najčešće predstavlja prek dve međusbn upravne kmpnente, i spreg nepznatg intenziteta i smera dejstva. Slika 3.10 sistem prikazan na Slici 3.10, glase: U skladu s tim, u tački na Slici 3.10 uvedene su dve kmpnente u hrizntalnm i vertikalnm, X i Y, te spreg intenziteta M. Sve tri veličine su prizvljnih smerva. Naglasim, da se kmpnente X i Y mgu pstaviti u bil km pravcu, na primer, u pravcu tangente i nrmale u tački na kružni luk. Jednačine ravnteže za krdinatni 1. F = 0 : X H + Fsin 30 = 0, xi. F = 0 : Y Fcs 30 = 0, yi dk mmentna jednačina napisana za tačku daje: ª+ 3. M = 0 : M + M + HR( cs 45 cs60 ) F( R+ Rcs 60 )= 0.
56 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Intenzitet reakcije veze ukleštenja iznsi R = X + Y = H HF + F, dk je HR FR M =-M + ( 1 3 ). Primer 3.5 Plča blika pravuglg trugla, kateta a=3m i b=4m, težine P = 1 kn, se država u prikazanm ravntežnm plžaju (Slika 3.11) pmću nepkretng cilindričng zglba vezang u temenu i lakg hrizntalng štapa, vezang u temenu C. Duž hiptenuze plče dejstvuje: a) ravnmern raspređen pterećenje (Slika 3.11a), upravn na hiptenuzu, specifičng pterećenja q=1 kn/ m; b) trugan kntinualn pterećenje (Slika 3.11b), takđe upravn na hiptenuzu, čija maksimalna vrednst specifičng pterećenja iznsi q = 0 kn / m. Kji je slučaj pterećenja nepvljniji p laki štap? Slika 3.11 Rešenje: a) U težištu plče T, kje se nalazi na trećinama kateta meren d temena pravg ugla, dejstvuje sila spstvene težine plče P. Pri pisanju jednačina ravnteže, ka psledica dejstva kntinualng pterećenja, mže se uvesti ekvivalentna kncentrisana sila F q kja dejstvuje u težištu pvršine kntinualng pterećenja i predstavlja rezultantu paralelng sistema sila. U slučaju ravnmern raspređeng pterećenja njen intenzitet je F = q ql, gde je l dužina p kjj pterećenje dejstvuje. Slika 3.1
Ravnteža sistema prizvljnih sila i spregva u ravni 57 Dakle, u tački kja se nalazi na sredini hiptenuze dejstvuje sila F = q 5 q m =5 kn. Kmpnente reakcije zglba su beležene sa X i Y, dk je S reakcija veze lakg štapa. Jednačine ravnteže za sistem prikazan na Slici 3.1a su: 1. Fxi = 0: X S Fq sin α = 0,. Fyi = 0: Y P Fq cs α = 0, 3. + M = 0: Sa P b a b + Fqsinα Fqcs α = 0, 3 83 9 čijim se rešavanjem dbija: X = kn, Y = 5kN, S = kn. 18 b) U drugm slučaju na hiptenuzu dejstvuje trugan kntinualn pterećenje. Uklik je kntinualn pterećenje trugan, intenzitet ekvivalentne kncentrisane sile iznsi F q q l = 0, gde je q 0 maksimalna vrednst specifi čng pterećenja, a l dužina p kjj pterećenje dejstvuje. U vm primeru, ta sila je intenziteta Fq = 5 kn i dejstvuje u težištu trugang pterećenja, št je na trećini hiptenuze BC meren d tačke C. Jednačine ravnteže p x i y si bivaju jednake nim u primeru a), dk mmentna jednačina za tačku glasi: ª 3b M 0 Sa P b a b. + = : + Fqsinα Fqcsα = 3 3 3 te se dbija S = 9 kn, št je približn 7 puta manje pterećenje d ng u prethdnm slučaju. 18 Primer 3.6 Pravugana plča stranica B = OC = a i O = BC = a 3, težine G je temenm O vezana za nepkretni cilindrični zglb (Slika 3.13). U tački D je vezan uže, prebačen prek idealng ktura K, pstavljeng na vertikali krz tačku O, i vezan u tački E. Pri tme je OD = DE = E = DJ. Na plču u prikazanm smeru dejstvuje spreg M. U plžaju ravnteže stranica O plče sa hrizntalm brazuje uga α. Odrediti silu u užetu i reakciju zglba O. Slika 3.13
58 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Rešenje: U preseku dijagnala OB i C, št je tačka T, dejstvuje sila težine G. U skladu sa zglbnm vezm u tački O uvde se reakcije veza X O i Y O (Slika 3.14). Usled veze užetm EKD, u tačkama E i D na plču dejstvuju sile S i S, jednakih intenziteta S, jer je ktur idealan. Učava se da krz tačku K prlaze napadne linije tih sila, ka i sila Y O. Stga je pgdn najpre napisati mmentnu jednačinu uprav za tu tačku, št će mgućiti nalaženje X O. Osim tga, i tačka O je pgdna za pisanje mmentne jednačine, jer će u tj jednačini ka jedina nepznata figurisati intenzitet sile S. Prestalu nepznatu Y O, kja dejstvuje u vertikalnm pravcu je mguće drediti iz jednačine ravnteže svih sila p y si. Stga će se vaj zadatak rešiti prek alternativnih jednačina ravnteže (3.4). Pre pisanja vih jednačina, treba učiti da je krak sile G za tačku K i tačku O iste dužine: KK1 = OO1, jer su tačke na pravcu paralelnm sa napadnm linijm sile. Taj krak je mguće naći prjekcijm plvine dijagnale: ( a 3 ) + OT = a = a, na hrizntalni pravac. Uga TOO 1 dgvara razlici ravntežne vrednsti ugla α i ^OT. Slika 3.14 Za ^OT, na snvu dužina stranica važi tan( ^OT)= a, te je taj uga 30, a traženi ^TOO a 3 1 = ( α 30 ). Mment sile G za be tačke je, prema tme, + Gacs( α 30 ), pri čemu je, ka i u prethdnim zadacima, usvjen da je pzitivan znak mmenta naj, kji dgvara pzitivnm matematičkm smeru. Krak sile X O za tačku K dgvara duži OK, kja se kasnije naći iz sinusne tereme napisane za truga OKE. U tm truglu, pznat je OE= a 3 3, dk je ^OKE=180 β ( 90 α)= 90 + α β. Pri tme je β = ^KED= ^KDE. Ovaj uga se mže drediti iz trugla KJD: a 3 JK OJ ct α ct α 3 tan β = = = = a 3 a 3 JD tan α 3 tanα dnsn sin β =, cs β =. 9+ tan α 9+ tan α Na snvu sinusne tereme za truga OKE važi: 6 a 3 OK 3 =, sin β sin 90 + α β 6 ( )
Ravnteža sistema prizvljnih sila i spregva u ravni 59 dakle sledi OK = a 3 sin α, št se mže dbiti i iz pravuglg trugla JKO. Mmentna jednačina za tačku K: ª 3 1. + M = 0: + + Ga ( 30 )+ X a K M cs α O sin α= 0, mgućava nalaženje X O : 3 M + Gacs( α 30 ) sin α X O =. 3a Mmentna jednačina za tačku O je: ª 3 3. + a a MO = 0: + M + Gacs( α 30 ) S sinβ S sin β = 0, 3 3 na snvu čega se mže drediti intenzitet sile u užetu: M + Gacs( α 30 ) S =, a 3sinβ dk se na snvu jednačine ravnteže: 3. Fyi = 0 : YO G+ Scs( 90 + α β)+ S cs ( β+ α 90 )= 0, dbija: YO = G Ssin β cs α. Primer 3.7 Uganik BC čine dva štapa B i BC istih dužina L. Težina štapa B je G, a težina štapa BC je P. Štapvi su krut spjeni pd pravim uglm u tački B. Uganik je pstavljen na glatku cilindričnu pvršinu pluprečnika R, kak je t pkazan na Slici 3.15. Odrediti ravntežnu vrednst ugla ϕ, kji krak uganika B gradi sa hrizntalnim pravcem. Slika 3.15 Rešenje: Kak je uganik BC sačinjen d dva hmgena štapa, umest da se dređuje plžaj težišta uganika, sile težine se mgu ucrtati za svaki d štapva pjedinačn u težištima štapva. Na uganik, sim sila težine G i P, kje dejstvuju u tačkama T i S, respektivn, dejstvuje reakcija glatke cilindrične pvrši N 1 u tački D, upravn na pravac B, tj. klinearn sa pravcem DO i reakcija N u pravcu EO (Slika 3.16a). Da bi se dredila ravntežna vrednst ugla ϕ, pgdn je napisati mmentnu jednačinu za tačku O, krz kju prlaze napadne linije nepznatih reakcija veza, te se na taj način izbegava njihv neptrebn dređivanje.
60 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Slika 3.16 Dakle, mmentna jednačina za tačku O glasi: ª 1. + M = 0 : + GTT PSS = 0, O 1 1 gde su TT1 i SS kraci sila 1 G, dnsn P za tačku O. Ovi se kraci mgu drediti učavanjem da je četvruga ODBE kvadrat, te su duži DT = SE = R L. Sa Slike 3.16b, sledi: TT = D O DD = Rsinϕ R L cs ϕ, 1 1 SS = E O EE = Rcsϕ R L sin ϕ. 1 1 ( ) ( ) Na taj način, nakn algebarskih i trignmetrijskih transfrmacija, mmentna jednačina daje: PR + G( R L) tan ϕ =. GR + P R L ( ) U slučaju da su težine krakva jednake P=G, izrazi u brjicu i imenicu će biti isti, pa je ravntežna vrednst ugla ϕ u tm slučaju 45. Primer 3.8 Štap B dužine L, težine G se slanja krajnjim tačkama glatk cilindričn udubljenje pluprečnika R (Slika 3.17). U tački štapa vezan je uže, prebačen prek idealng ktura K, i drugi kraj je kačen teret težine Q=G/4. Odrediti uga ϕ kji štap gradi sa hrizntalnim pravcem u prikazanm plžaju ravnteže, ka i sile pritiska štapa na udubljenje, ak je L= 3 R. Slika 3.17
Ravnteža sistema prizvljnih sila i spregva u ravni 61 Rešenje: Na štap, pred sile spstvene težine G, kja dejstvuje u tački T u gemetrijskm središtu štapa, dejstvuje sila u užetu S=Q u pravcu K, ka i reakcije glatkg udubljenja N i N B (Slika 3.18). Ove reakcije su upravne na pravce tangenti na kružnicu cilindričng udubljenja u tačkama i B, dnsn, prlaze krz centar cilindričng udubljenja. Kak je truga OB jednakkrak, dužina njegve snvice B dgvara dvstrukj prjekciji kraka na pravac snvice: L = 3 = ( ^OB) R Rcs, te je: cs ( ^OB)= 3 ^OB= 30. Prema tme, be reakcije N i N B sa pravcem štapa grade uga d 30. Mmentna jednačina za tačku O će sadržati mmente sile G i sile S za tu tačku. Ova jednačina glasi: ª 1. + ϕ MO = 0 : GsinϕRsin 30 + Ssin 75 + R = 0, gde je mment sile G dređen na snvu Varinjnve tereme. Mment kmpnente u pravcu visine OT jednakkrakg trugla OB za tačku O je nula, jer napadna linija te kmpnente prlazi krz tačku O, dk je krak kmpnenta intenziteta Gsinϕ u pravcu štapa za Slika 3.18 tačku O jednak visin OT = Rsin30. nalgn tme, mmet sile S za istu tačku ptiče sam d kmpnente upravne ( + ) na pravac O, št je S sin 75 ϕ, jer je krak ve sile jednak pluprečniku R, dk kmpnenta u pravcu O prlazi krz mmentnu tačku i ne daje mment za nju. Rešavanjem prethdne jednačine ravnteže sledi ϕ = 30. Da bi se dredi intenzitet N B, napisaće se mmentna jednačina za tačku : ª 3. + M = 0: Gcsϕ R N sin 30 R 3 = 0, B G te se dbija N = 3 B. Mmentna jednačina za tačku B, neklinearnu sa tačkama O i : 3 3. + ϕ MB = 0: Gcsϕ R + Nsin30 R 3 + Ssin 75 R 3 = 0, mgućuje nalaženje N = 3 G. 4
6 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI 3. Ravnteža sistema paralelnih sila i spregva u ravni Slika 3.19 Ravanski sistem paralelnih sila F F 1,..., n i spregva M,..., 1 Mk (Slika 3.19) čine sile čije su napadne linije međusbn paralelne, raspređene u jednj ravni, dk su vektri spregva upravni na tu ravan, dnsn teže da izazvu brtanje u ravni u kjj leže sile. Ekvivalentn mehaničk dejstv vm sistemu ima glavni vektr F g, kji se nalazi ka vektrski zbir svih sila n F F g = i i glavni mment k n i=1 F Mg j M i = M +, kji se nalazi algebarskm summ spregva M,..., 1 j= 1 i= 1 Mk i mmenata svih sila za prizvljn izabranu tačku. 3..1 Uslv i jednačine ravnteže sistema paralelnih sila i spregva Sistem paralelnih sila i spregva je u ravnteži pd uslvm da je glavni vektr jednak nuli i glavni mment jednak nuli (3.). Uklik je pravac svih sila paralelan sa sm y, i glavni vektr će biti paralelan sa tm sm. U tm smislu se sistem paralelnih sila i spregva mže smatrati specijalnim slučajem ravanskg sistema sila i spregva, te je prva jednačina iz sistema (3.3) identički zadvljena. Dakle, jednačine ravnteže paralelng sistema sila i spregva su: n 1. 0,. 0. (3.6) i= 1 ª + Pstji i drugi blik zapisivanja uslva ravnteže vg sistema u skalarnj frmi: ª + ª+ 1. 0,. B 0, (3.7) prema kme sume mmenata svih sila i spregva za tačke i B mraju biti jednake nuli, pd uslvm da tačke i B ne leže na pravcu paralelnm silama. Zadaci iz ravnteže krutg tela pd dejstvm paralelng ravanskg sistema sila i spregva se rešavaju algritmm kji se analgan algritmu prepručenm za prbleme ravnteže prizvljng ravanskg sistema sila i spregva (str. 43)
Ravnteža sistema paralelnih sila i spregva u ravni 63 Slika 3.0 Primer 3.9 Štap B dužine L, težine G se država u hrizntalnm ravntežnm plžaju uz pmć vertikalng užeta D i užeta kje je prebačen prek idealng ktura K, i čiji kraj je kačen teret težine P. De užeta BK zauzima vertikalan plžaj. Na rastjanju x d tačke pstavlja se teret M, težine Q (Slika 3.0). Odrediti interval vrednsti težine tereta P kji će mgućiti prikazani plžaj ravnteže, ka i plžaj tereta M u tm slučaju. Kliki je intenzitet sile u užetu D? Rešenje: Na štap B dejstvuju aktivne sile G i Q i reakcije užadi S i F, pri čemu je F=P. Pravci svih sila su međusbn paralelni (Slika 3.1). Jednačine ravnteže (3.6) za vaj sistem glase: 1. Fyi = 0: S Q G+ F = 0, ª + Slika 3.1. M = 0: FL G L Qx = 0, ( P L dakle sledi S=Q+G P. Iz mmentne jednačine se nalazi x = G ) Q. Zamenm dbijeng rešenja u izraz za graničenje x krdinate 0 x L, dbija se interval vrednsti za P: G G P + Q. Ograničenje kje za vrednst P nameće zatezni karakter sile S je: Q+G>P. Presek va dva uslva je pređašnja dvstruka nejednakst, kja predstavlja tražen rešenje za vrednst tereta P. Primer 3.10 Odrediti ptrebnu vrednst težine tereta P u funkciji težine tereta Q, za ravntežni sistem identičnih ktura prikazan na Slici 3.. Slika 3.
64 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Rešenje: Tretirajući vaj sistem ka sistem idealnih ktura, za reakcije veza užadi prikazane na Slici 3.3 važi: S=S =S, T=T =T, dk je S = P. Na taj način se mgu napisati jednačine ravnteže p vertikalnj y si za svaki ktur pnasb. Za ktur C jednačina ravnteže glasi: 1. F = 0: S P+ N = 0. yi Za ktur B na je blika: Slika 3.3 dk se za ktur mže pisati:. F = 0: S T = 0, yi 3. F = 0: T Q = 0. yi Q T Q Rešavanjem vg sistema algebarskih jednačina se dbija T=, S= = 4, dnsn P= Q 4. Primer 3.11 Uganik se sastji d dva štapa, međusbn krut vezana pd pravim uglm. Uganik je pmću užeta vezang u tački O kačen za tavanicu. Štap OC je dužine L, težine G, dk je štap B dužine L, težine G, pri čemu je C = CB (Slika 3.4). U tački kačen je teret težine P. Odrediti ptrebnu vrednst težine tereta P da bi uga kji štap OC gradi sa vertikalnim pravcem u plžaju ravnteže bi α=30. Slika 3.4 Rešenje: Na uganik dejstvuju sile spstvene težine štapva u njihvim težištima G i G, sila težine tereta P i sila u užetu S (Slika 3.5). Kak su sve sile težine vertikalng pravca, u plžaju ravnteže i uže mra zauzimati vertikalan pravac, tj. uganik je pd dejstvm sistema paralelnih sila. Da bi se dredila vrednst P, a izbegl traženje S, pgdn je napisati mmentnu jednačinu za tačku O: Slika 3.5
Ravnteža sistema paralelnih sila i spregva u ravni 65 ª 1. + M = 0: G L O sinα + GLsinα P ( Lcsα Lsin α)= 0. Iz ve jednačine se dbija: P = 5G sinα. csα sinα ( ) Za knkretnu vrednst ugla α=30, vrednst težine tereta P je: Primer 3.1 Kvadratna plča stranice a=1m, težine G=kN se slanja temenm na gladak hrizntalan pd, a u temenu B je vezan uže, prebačen prek idealng ktura, a drugi kraj je kačen teret težine P=1kN (Slika 3.6). Na plču u prikazanm smeru dejstvuje spreg intenziteta M=1kNm. Kliki je teret ptrebn kačiti u temenu D, da bi plča zauzela prikazani ravntežni plžaj, kada stranica B gradi uga 30 sa hrizntalm. 5G P = 3 1. ( ) Slika 3.6 Rešenje: Učavajući da na plču dejstvuju sila spstvene težine G, težina Q i reakcija idealne veze N, kje imaju vertikalan pravac, zaključuje se da i pravac užeta BK mra biti vertikalan, jer bi u suprtnm pstjala kmpnenta sile u užetu u hrizntalnm pravcu kja ne bi bila uravntežena. Na snvu tga, na plču dejstvuje paralelan sistem sila i spreg M (Slika 3.7). Slika 3.7
66 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Zadatak će se rešiti pisanjem dve mmentne jednačine (3.7) i t za tačke D i krz kje prlaze napadne linije sile Q, dnsn N. Izbr tih tačaka zadvljava kriterijum da mmentne tačke ne leže na pravcu kji je paralelan pravcu sila. Jednačine ravnteže u tm slučaju glase: ª + 1. M = 0: N acs60 G a D cs15 M + Pa cs 15 = 0, ª +. M = 0: M G a cs75 + Pa cs30 + Qa cs 60 = 0. Rešavanjem vg sistema dbija se: N = kn, a Q =1 kn. 3.3 Neidealne (hrapave) veze Pri kntaktu hrapavih pvršina dva tela kd kjih pstji težnja za kretanjem (klizanjem) jedng tela u dnsu na drug tel, dlazi d pjave trenja klizanja. Pri tme se, ka draz uticaja jedng tela na drug, sim nrmalne reakcije veze N u tački ddira, kja pstji i kada je veza idealna (glatka), pjavljuje i sila trenja klizanja. Sila trenja klizanja F tr je upravna na nrmalnu reakciju veze, a svjim smerm je suprtna d smera u km teži da se pmeri tačka ddira (linija ili pvršina ddira) u dnsu na drug tel. Sila trenja klizanja pri mirvanju je, prema Kulnvm zaknu, graničena p intenzitetu sa tzv. graničnm vrednšću F tr : 0 tr F. (3.8) gr Granična vrednst sile trenja dgvara prizvdu statičkg keficijenta trenja i intenziteta nrmalne reakcije veze: F μ N. (3.9) = F sa pravcem nr- Ukupna reakcija hrapave veze u graničnm slučaju kada je F male u tački ddira zaklapa tzv. uga trenja φ ([1], str. 85): gr tr tan φ = μ. (3.10) gr 3.3.1 lgritam rešavanja zadataka Pri rešavanju zadataka iz ravnteže krutg tela uz prisustv hrapavih veza, zadaci se mgu rešavati sledećim algritmm: 1. Učiti bjekat čija se ravnteža psmatra;. Ucrtati sve aktivne sile i spregve kji na njega dejstvuju; 3. Učiti veze bjekta, slbditi se veza i u skladu sa ksimm
Neidealne (hrapave) veze 67 vezama ([1], str. 1-7) ucrtati sve reakcije veza; pri tme, reakciju hrapave pvršine predstaviti sa dve kmpnente nrmalnm reakcijm veze i silm trenja, ili bez razlaganja na kmpnente usmeriti je pd uglm trenja φ prema nrmali na pvršinu; 4. nalizirati gemetriju mehaničkg sistema, te usvjiti krdinatni sistem i pisati jednačine ravnteže; 6. nalizirati saglasnst brja nepznatih veličina i jednačina ravnteže. k je brj nepznatih veličina manji d brja rasplživih jednačina, drediti ddatne jednačine kje se mgu pisati na snvu fizike prblema, iz Kulnvg zakna. Treba imati u vidu da pisanje Kulnvg zakna biva d kristi sam u zadacima u kjima je keficijent trenja pznat ili se treba drediti. Naime, ak se vrednst keficijenta trenja ne zna i ne traži, krišćenje Kulnvg zakna pdrazumeva uvđenje nve jednačine sa nvm nepznatm, št nije d kristi. Takđe, ne treba izgubiti iz vida da Kulnv zakn pruža vezu između intenziteta F tr i N. T znači, da u slučaju dbijeng predznaka - uz intenzitet vih sila, kada je njihv smer pgrešn pretpstavljen, ve veličine u Kulnv zakn treba zameniti p apslutnj vrednsti; 7. Rešiti frmirani sistem jednačina i nejednačina, izražavajući intenzitete sile trenja i nrmalne reakcije veza iz jednačina ravnteže i zameniti ih u Kulnv zakn. Primer 3.13 Štap težine G, dužine L, slanja se u tački C na glatku pvrš plucilindra radijusa R, a kraj B se nalazi na hrapavm pdu (Slika 3.8). Osa štapa u plžaju ravnteže sa hrizntalm brazuje pznat štar uga α. Odrediti reakciju hrapavg pda i silu pritiska štapa na plucilindar. Slika 3.8 Rešenje: Na štap, pred sile spstvene težine u tački T, ka jedine aktivne sile, dejstvuje nrmalna reakcija veze u tački C u radijalnm pravcu i reakcija hrapave veze u tački B (Slika 3.9). Reakcija veze se mže predstaviti prek nrmalne kmpnente, upravne na hrizntalni pd i sile trenja. Sila trenja je upravna na nrmalnu kmpnentu reakcije veze, dakle, hrizntalng pravca. Pd dejstvm sile spstvene težine štap teži da sklizne sa plucilindra, dnsna tačka B teži da se pmeri u hrizntalnm pravcu udesn. Tme se suprtstavlja sila trenja F trb bivajući usmerena ulev. Slika 3.9
68 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Za krdinatni sistem prikazan na Slici 3.9, jednačine ravnteže imaju blik: Slika 3.30 1. F = 0: N sin α F = 0, xi trb. F = 0: N cs α G+ N = 0. yi C C Mmentnu jednačinu je pgdn napisati za tačku B krz kju prlaze napadne linije sila N F B i trb : ª 3. + M = 0: N BC + G L B C cs = 0, α gde je BC krak sile N C za tačku B. Taj krak se, na snvu pravuglg traugla OBC, u kme je pznata kateta R i njj naspramni uga α, izražava ka BC = Rct α. Dbijeni sistem d tri algebarske jednačine sadrži tri nepznate NC, Ftr B i NB, te se vaj zadatak mže rešiti sam na snvu vih jednačina ravnteže: N = G L C R sinα, L L F = G sin α, N = G 1 sinαcs α. trb R B ( ) R B Primer 3.14 Tel kje je sastavljen d tri krut spjena štapa naslanja se u tački na hrizntalnu ravan, a u tački D na strmu ravan kja sa hrizntalm gradi uga d 60º (Slika 3.30). Štap BC je dužine l i težine 3 G, dk su štapvi B i CD dužine a = 4 l i zanemarljive težine. Štapvi B i CD su pd pravim uglm vezani za štap BC. Veza u tački D je idealna, dk u tački pstji trenje. U plžaju ravnteže štap BC gradi uga 30º sa hrizntalm. Odrediti reakcije veza u datm plžaju ravnteže i uslv kji treba da zadvlji keficijent trenja μ u tački, da bi taj plžaj ravnteže bi mguć. Rešenje: Budući da su težine štapva B i CD zanemarljive, d aktivnih sila na tel dejstvuje sila težine štapa BC u tački T (Slika 3.31a). Reakcija veze N D u tački D je u pravcu nrmale na strmu ravan. Reakcija hrapave veze u tački predstavljena je sa dve kmpnente: N upravn na hrizntalnu ravan i sila trenja F tr u pravcu hrizntale. Sila trenja je usmerena udesn, jer je čigledn da će, zbg dejstva sile spstvene težine, tel, dnsn tačka u kjj pstji hrapava veza, težiti da sklizne ulev. Sa Slike 3.31a je učljiv pstjanje tri nepznate reakcije veze, kje se mgu drediti iz tri jednačine ravnteže za psmatrani sistem prizvljnih sila u ravni. Sam redsled pisanja tih jednačina mže da bude ptpun prizvljan, i u tm smislu u vm zadatku je pgdn krenuti d mmentne jednačine i t za tačku, u kjj će ka jedina nepznata figurisati N D, s bzirm da napadne linije sila N F i tr prlaze krz tu tačku.
Neidealne (hrapave) veze 69 Mmentna jednačina glasi: Slika 3.31 ª 1. + M = 0 : G1 + N DD + N D = 0, D1 1 D 1 gde su ND1 i ND intenziteti kmpnenata reakcije N D u hrizntalnm i vertikalnm pravcu ( ND1 = ND sin60, ND = ND cs60 ), respektivn, dk su im kraci (Slika 3.31b): l 1 = BB1 B = cs30 asin 30, DD1 = CC + BB CC3 = lsin 30 + acs30 acs30 D = BC B + C D = lcs30 asin 30 + asin 30. 1 3 G Iz mmentne jednačine sledi N =. D 4 Intenzitet kmpnenti reakcije hrapave veze N i F tr drediće se iz jednačina ravnteže za krdinanti sistem prikazan na Slici 3.31a:. F = 0 : F N sin 60 = 0, xi tr 3. F = 0 : N G+ N cs 60 = 0, yi 3G 7G dakle se dbija Ftr = 8, N = 8. Uslv kji treba da zadvlji keficijent trenja se nalazi na snvu Kulnvg zakna: F μ N, te je: tr D μ 3 7. D
70 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Primer 3.15 Štap B težine G, dužine l se slanja glatku ivicu u tački C, i hrapav cilindričn udubljenje pluprečnika R u tački (Slika 3.3). Centar O cilindrične pvrši i tačka C se nalaze na istj hrizntali, na rastjanju R. Odrediti blast Slika 3.3 vrednsti keficijenta trenja μ, da bi prikazani ravntežni plžaj u km štap sa hrizntalm gradi uga d 30º bi mguć. Usvjiti da je l = R 3. Rešenje: Na štap dejstvuje aktivna sila težine G (Slika 3.33a). Slika 3.33 Na snvu jednakkrakg trugla OC, zaključuje se da je C = R 3, št znači da se težište štapa i tačka C pklapaju. U tački C dejstvuje nrmalna reakcije veze N C, u pravcu nrmale na štap. U tački se stvaruje hrapava veza, tak da se reakcija veze razlaže na kmpnentu N u pravcu O i silu trenja F tr, u pravcu tangente na cilindričnu pvršinu. Štap B će težiti da se brne u smeru kazaljke na satu k se kja je upravna na ravan crteža, te će tačka težiti da sklizne naviše p bdu cilindričng udubljenja. Stga će sila trenja biti usmerena naniže. Sa Slike 3.33a je učljiv da krz tačke i C prlaze napadne linije dve sile, te je za njih pgdn pisati mmentne jednačine. Takđe, i tačka O će se iskristiti za pisanje mmentne jednačine, budući da je sa njima neklinearna, a da se kraci sila kje prave brtn dejstv za tu tačku lak dređuju. Jednačine ravnteže glase: ª + ª + 1. M = 0 : N l Glcs 30 = 0, C. M = 0 : N Rcs 30 GR+ F R = 0, O C tr
Neidealne (hrapave) veze 71 ª 3. + MC = 0 : Nsin30 l + F sin 60 l = 0. tr 3G G 3G Rešenje vg sistema jednačina je NC =, Ftr = 4, N = 4. Na snvu Kulnvg zakna: uslv za vrednst keficijenta trenja je: F tr μ N, μ 3 3. naliza ravnteže štapa se mže izvršiti i krišćenjem tereme tri sile. Naime, reakcija hrapave pvrši F mra prći krz tačku C, u kjj se seku napadne linija sile težine i reakcije N C, tj. mra imati pravac štapa (Slika 3.33b). Sa slike pligna sila sledi: G F = Gcs 60 =, pa su njene kmpnente: G G Ftr F N F 3 = cs 60 =, = sin 60 =, 4 4 št je rezultat identičan rezultatu dbijenm pisanjem jednačina ravnteže. Primer 3.16 Materijalna tačka M težine G pstavljena je na hrapavu žicu blika kružng luka pluprečnika R (Slika 3.34). Za tačku je vezan uže, prebačen prek idealng ktura zanemarljivih dimenzija pstavljeng u tački K i drugi kraj užeta kačen je teret težine P. Pznat je keficijent trenja μ između tačke i žice. Odrediti interval vrednsti za težinu tereta P u funkciji G, ϕ μ i štrg ugla ϕ ( tan > μ) kji pravac OM gradi sa hrizntalm u ravntežnm plžaju. Slika 3.34 Rešenje: Na tačku M, pred sile spstvene težine, dejstvuju sila u užetu intenziteta S=P i reakcija hrapave pdlge. Njena kmpnenta N je u pravcu nrmale na tangentu, tj. u pravcu OM. Sila trenja leži na pravcu tangente. Smer sile trenja je diktiran smerm suprtnim d smera u km tačka M teži da se kreće. Međutim, u vm prblemu taj smer nije jednznačan. Naime, n je zavisan d dnsa prjekcije sile težine G i prjekcije sile u užetu na tangencijalan pravac, u km je mguće kretanje tačke M. Učavanjem jednakkrakg trugla OKM, zaključuje se da je uga između
7 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI pravca sile S i pravca MO jednak ϕ. Dakle, u prvm slučaju kada je G cs ϕ S ϕ < sin tačka teži da se kreće naviše, te će sila trenja biti usmerena naniže (Slika 3.35a). U ϕ drugm slučaju, za G cs ϕ > Ssin tačka teži da se kreće naniže, pa je sila trenja usmerena naviše (Slika 3.35b). Jednačine ravnteže za prvi slučaj, tj. sistem sučeljnih sila prikazan na Slici 3.35a su: ϕ 1. Fxi = 0: Gcsϕ + Ssin Ftr = 0, ϕ. Fyi = 0: N Gsinϕ Scs = 0. Slika 3.35 Iz vg sistema jednačina sledi da je F = tr Gcs ϕ + ϕ Psin, N = Gsin ϕ + ϕ Pcs. Dpunska jednačina u frmi Kulnvg zakna: F μ tr N, (3.11) dvdi d sledeće nejednaksti: μsinϕ + csϕ P G. (3.1) ϕ ϕ sin μ cs S bzirm na pstavljeni uslv tan ϕ > μ, izraz u imenicu je veći d nule. Za drugi slučaj, jednačine ravnteže su: ϕ 1b. Fxi = 0 : Gcsϕ + Ssin + Ftr = 0, ϕ b. Fyi = 0 : N Gsinϕ Scs = 0, te je F = tr Gcs ϕ ϕ Psin N = Gsin ϕ + ϕ, Pcs. Učava se da je intenzitet idealne reakcije veze nezavisan d smera sile trenja, tj. identičan u ba slučaja. Na snvu Kulnvg zakna (3.11) sledi: csϕ μsinϕ G P. (3.13) ϕ ϕ sin + μ cs
Neidealne (hrapave) veze 73 nalizm izraza (3.1) i (3.13), zaključuje se da ni predstavljaju grnju, dnsn dnju granicu intervala vrednsti težine tereta P: csϕ μsinϕ μsinϕ + csϕ G P G. sin ϕ + μ cs ϕ sin ϕ μ cs ϕ Primer 3.17 Disk pluprečnika R, težine G slanja se u tačkama i B na dve međusbn upravne strme ravni (Slika 3.36). Veza u tački je hrapava, keficijenta trenja μ, dk je veza u tački B idealna. Na disk je namtan uže i prebačen prek idealng ktura K. Na drugm kraju užeta je kačen teret težine P. U prikazanm plžaju ravnteže de užeta DK je hrizntalan. U ravni diska u prikazanm smeru dejstvuje spreg mmenta M. Odrediti interval vrednsti M da bi prikazani plžaj ravnteže bi mguć. Slika 3.36 Rešenje: Na disk, pred aktivng sprega M i sile spstvene težine, dejstvuju sila u užetu intenziteta S=P, reakcija glatke veze N B, upravn na OB i reakcija hrapave veze, čija kmpnenta N je upravna na O. Sila trenja je klinearna sa pravcem O. I u vm prblemu smer sile trenja nije jednznačan. naliza vg smera se mže izvršiti razmatranjem mmentne jednačine za tačku C. Naime, mment za tu tačku ptiče d sile trenja, aktivng sprega M i njemu suprtng p smeru mmenta sile S, čiji je krak za tačku C jednak pluprečniku R. k je M<SR, sila trenja će težiti da napravi mment istg smera ka M, da bi uravntežili SR. T znači da će sila trenja biti usmerena naviše (Slika 3.37a). U suprtnm, kada je M>SR, sila trenja za tačku C pravi mment istg smera ka i sila S, da bi uravntežili M, tj. usmerena je naniže (Slika 3.37b). Slika 3.37
74 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI U prvm slučaju, pstavljajući krdinatni sistem klinearn sa strmim ravnima, jednačine ravnteže imaju blik: ª + 1. M = 0: M + SR F R= 0, C tr. Fxi = 0 : Ftr + NB + Scs30 Gcs60 = 0, 3. F = 0 : N Ssin30 Gsin 60 = 0. yi Kak je S=P, vaj sistem sadrži četiri nepznate veličine: M, Ftr, N i NB. S bzirm da je pznat keficijent trenja, ka dpunska relacija kristiće se Kulnv zakn u bliku nejednačine: Ftr μ N. (3.14) Iz prve jednačine sledi F = M + P G tr R P, dk treća daje N = + 3. Zamenm vih vrednsti u Kulnv zakn (3.14), dbija se: PR R P + 3 μ G M. (3.15) Na snvu dgvarajućih jednačina ravnteže za drugi slučaj (Slika 3.37b): ª + 1b. M = 0: M + SR+ F R= 0, tr b. F = 0 : N Ssin30 Gsin 60 = 0, yi C P G dbija se Ftr = M R P, N = + 3. Kulnv zakn (3.14) nalaže: + M PR + R P 3 μ G. (3.16) Dakle, da bi se bezbedi prikazani ravntežni plžaj sistema mment sprega M, prema (3.15) i (3.16), mra biti u granicama: PR R P + 3 G PR + R P + 3 μ M μ G.
Neidealne (hrapave) veze 75 Slika 3.38 Primer 3.18 Štap B težine G, dužine L država se u ravnteži (Slika 3.38) slanjanjući se na dva hrapava plucilindra, pluprečnika R i r, čiji su centri O 1 i O na istj vertikali, pri čemu je O1O = a = ( R+ r). Keficijent trenja između štapa i ba plucilindra je isti i iznsi μ. Odrediti kji uslv mra da zadvlji dužina štapa, ak je pznat da je CB = b. Slika 3.39 L< b. Rešenje: Sile kje dejstvuju na štap su sila spstvene težine G i reakcije veza u tačkama C i D (Slika 3.39). Treba primetiti da u vm zadatku pstji trenje u dve tačke. Kak štap mže da sklizne naniže, sile trenja su usmerene naviše. Osim tga, težište štapa se mra nalaziti van duži CD da bi se sprečil brtanje štapa k se upravne na ravan crteža, tj. da bi se stvari kntakt štapa sa grnjim plucilindrm. Odatle sledi da: Pre pisanja jednačina ravnteže treba učiti da je uga nα kji štap gradi sa hrizntalm u plžaju ravnteže definisan gemetrijm prblema. Naime, truglvi OCE i O DE 1 su slični, pa je: DC = asinα = DE + EC = rtanα + Rtan α, dnsn cs α = R+ r a. S bzirm na zadatu vrednst dužine a, uga α je 45.
76 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Usvajanjem krdinatng sistema prikazang na Slici 3.39 i izbrm tačke C ka mmentne, jednačine ravnteže su: 1. F = 0: F + F Gsin = 0, xi tr D tr C α (3.17). Fyi = 0: NC ND Gcs α = 0, (3.18) ª + 3. M C = 0: NDasin α G( b L)= 0. (3.19) Ovm sistemu jednačina kji sadrži pet nepznatih veličina treba pridružiti i dve dpunske nejednačine: F μ N, (3.0) F trd trc D μ N. (3.1) Rešavanje vg sistema (3.17)-(3.1) je pgdn izvršiti sabiranjem nejednačina (3.0) i (3.1) 10, čime se dbija jedna nejednačina: F + F μ N + N. trd trc D C C ( ) Leva strana ve nejednačine, na snvu (3.17) je G sinα, a na snvu (3.18) i (3.19) mgu se drediti N D i N C, pa sledi: L b ( ) 1 μ a. 4μ Primer 3.19 Štap B duzine l i zanemarljive težine na kji dejstvuje vertikalna sila F, svjim krajevima naleže na hrapave strme ravni tak da zauzima hrizntalan ravntežni plžaj (Slika 3.40). Strme ravni su međusbn upravne, a desna sa hrizntalm gradi uga α. Keficijent trenja između štapa i strmih ravni je μ. Odrediti interval u kme se mže kretati napadna tačka sile F (rastjanje x ) za prikazani ravntežni plžaj. Slika 3.40 10 Pri sabiranju dve nejednačine, znak nejednaksti se zadržava, dk pri duzimanju nejednačina t ne mra biti slučaj. Na primer, ak je a<c i b<d, nda je a+b<c+d. Međutim, znak za dns a-b i c-d se unapred ne zna.
Neidealne (hrapave) veze 77 Rešenje: Na štap pred aktivne sile F, dejstvuju reakcije hrapavih veza u tačkama i B. Kak je u uvdu rečen, te reakcije veza u graničnm slučaju ravnteže sa pravcem nrmale u tački ddira zaklapaju uga trenja φ, za kji važi da je tan φ = μ. T znači da se pravci reakcija hrapavih veza nalaze unutar tzv. knusa trenja prikazanih na Slici 3.41. Osa svakg d tih knusa je u pravcu nrmale na hrapavu pvršinu, dk je pluuga pri vrhu Slika 3.41 uga trenja φ. Presek va dva knusa trenja u vm prblemu dgvara četvruglu CDCD 1 1. U skladu sa teremm tri sile, sledi da vertikalna napadna linija sile F, ka treće sile kja dejstvuje na štap, mra ležati u tj blasti ili seći tu blast. Maksimaln rastjanje napadne linije sile F d tačke B, na Slici 3.41 beležen sa x max, je definisan slučajem kada napadna linija sile prlazi krz tačku C 1. Na snvu trugla BC 1, sledi da je C1B = l sin ( α + φ), te je: xmax = CB 1 cs( 90 α φ)= lsin ( α + φ). Minimaln rastjanje napadne linije sile F je definisan napadnm linijm kja prlazi krz tačku C, pri čemu je CB = lsin( α φ), te je: xmin = CB cs( 90 α + φ)= lsin ( α φ). Primer 3.0 Disk težine G, pluprečnika r je pstavljen tak da ddiruje u tačkama i B dve ravni, kje međusbn zaklapaju uga α (Slika 3.4). Keficijent trenja između be ravni i diska je μ. Odrediti mment sprega M kjim treba dejstvvati u prikazanm smeru na disk da ravnteža ne bude narušena. Klika je veličina intenziteta tg sprega kada su ravni međusbn upravne? Slika 3.4
78 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI Rešenje: Na disk u tačkama i B dejstvuju reakcije hrapavih veza. Da bi se vaj zadatak reši primenm knusa trenja i tereme tri sile, ptrebn je izvršiti svđenje sistema kji čine sila težine G i spreg M na rezultantu (Slika 3.43a). Time će se dbiti jedna sila i mgućiti primena tereme tri sile na sistem neparalelnih sila u ravni kga će činiti ta rezultanta i reakcije hrapavih veza. Da bi se v svđenje izvršil, spreg M je ptrebn predstaviti prek sprega sila ([1], str. 9): dve sile F i F paralelnih pravaca kje leže u ravni brtanja sprega, suprtnih su smerva, istih intenziteta F = F, dk je najkraće rastjanje izmeđi napadnih linija sila tzv. krak sprega h (Slika 3.43b). Prema tme, mment sprega je: M = Fh. k se pstavi uslv da je F=G, sledi da je krak sprega sila: h = M. G Kak sile F i G predstavljaju dve uravntežene sile, prema ksimi 3 ([1], str. 17), ne se mgu uklniti. Dakle, rezultanta sistema je sila F, intenziteta G (Slika 3.43c). Slika 3.43 Na Slici 3.44 predstavljeni su knusi trenja u tačkama i B sa pluuglvima φ pri vrhu, pri čemu je tanφ= μ. U unutrašnjsti tih knusa leže napadne linije sila reakcija hrapavih veza u tačkama i B. Osenčena pvršina preseka knusa na Slici 3.44 je blast krz kju u plžaju ravnteže mra prći napadna linija rezultante sistema. Duž kja je na slici beležena sa h max se mže izraziti ka: h max = Ssin φ. Slika 3.44
Neidealne (hrapave) veze 79 Da bi se dredila dužina S, treba najpre učiti da su truglvi EC i ECB pdudarni, pa je ^CEB = ^CE = α. Time se mgu drediti svi uglvi u truglu BS, te na snvu sinusne tereme sledi: S B. α sin( + φ ) = sin 180 α ( ) Iz trugla BC snvica B je dvstruka prjekcija kraka C = CB = r : α B = r cs. Tražen maksimaln rastjanje napadne tačke rezultante d vertikale krz tačku C je: ( ) = + α sinφsin + φ α hmax = r rsinφ cs sin ct. sin φ φ α Na snvu trignmetrijskih identiteta 11, sledi da je: M G = r max μ 1 μ α μ α + ct = r 1+ μ ct 1+ μ 1+ μ 1+ μ 1+ μ Da bi se bezbedi prikazani plžaj ravnteže mra biti ispunjen uslv: M rg μ α + + 1 μ ct 1 μ. Uklik su ravni međusbn upravne α = 90, intenzitet sprega mra zadvljavati uslv: μ( 1+ μ) M α rg. = 90 1+ μ 11 csφ = 1,sinφ= tanφ 1+ tan φ 1+ tan φ
80 SISTEM PROIZVOLJNIH SIL I SPREGOV U RVNI 3.4 Ravnteža sistema krutih tela Sistem krutih tela čine dva ili više tela (Slika 3.45). Sistem mže da bude pvezan sa bjektima van sistema, št su tzv. spljašnje veze, dk veze kjima su međusbn pvezana tela unutar sistema predstavljaju unutrašnje veze. Prilikm razmatranja ravnteže sistema ka celine, ptreb- Slika 3.45 n je slbditi se spljašnjih veza i u skladu sa njima, uvesti dgvarajuće reakcije veza (Slika 3.46a). Slika 3.46 Uklik je celkupan sistem u ravnteži, u tm stanju će biti i svaki d elemenata sistema pnasb. Pri razmatranju ravnteže pjedinačnih elemenata sistema, ptrebn je uvesti unutrašnje reakcije veza, u skladu sa unutrašnjim vezama (Slika 3.46b). Unutrašnje reakcije veza se pstavljaju prema četvrtj ksimi statike ([1], str. 0) p principu akcije i reakcije, dnsn, ka sile istih napadnih linija, istih intenziteta, a suprtnih smerva ili ka spregvi istih sa brtanja, a suprtnih smerva. Vrl važna, principijelna psledica principa akcije i reakcije, jeste činjenica da se pri pručavanju ravnteže sistema ka celine, unutrašnje reakcije veza ne pjavljuju.
Ravnteža sistema krutih tela 81 3.4.1 lgritam rešavanja zadataka Rešavanje zadataka iz ravnteže sistema krutih tela pd dejstvm ravanskg sistema sila i spregva mže se vršiti prema sledećem algritmu: 1. Učiti sistem čija se ravnteža psmatra;. Ucrtati sve aktivne sile i spregve kji dejstvuju na elemente sistema; 3. Učiti spljašnje veze sistema, slbditi se spljašnjih veza i u skladu sa ksimm vezama ([1], str. 1-7) ucrtati reakcije veza; 4. Pisati jednačine ravnteže za sistem ka celinu; 5. Izvršiti dekmpziciju sistema, uvdeći reakcije unutrašnjih veza; 6. Pisati jednačine ravnteže za pjedinačne elemente sistema. Pri tme, načeln, treba vditi računa da je brj rasplživih jednačina ravnteže za sistem u celini i pjedinačne elemente veći d brja nepznatih veličina. U tm smislu, treba pisati sam nlik jednačina ravnteže, klik se nepznatih veličina u prblemu pjavljuje. Redsled pisanja jednačina ravnteže mže biti ptpun prizvljan, s tim št treba težiti da se napišu ne jednačine kje d rešenja dvde na najjednstavniji način. Treba naglasiti, da se krak brj četiri vg algritma mže izstaviti, te dmah vršiti dekmpzicija sistema, bez pisanja jednačina ravnteže za sistem ka celinu. U mngim zadacima, vakav pristup predstavlja jednstavniji način rešavanja prblema. Primer 3.1 Uganik OB, iste dužine krakva O = B = l i težine P vezan je nepkretnim cilindričnim zglbm za pdlgu. Za njega je u tački vezan štap C dužine l, težine P, na čijem je kraju u tački C kačen teret težine G =P. Sistem se država u ravnteži uz pmć užeta, kje je vezan za tačku C, prebačen prek idealng ktura B i vezan za pdlgu u tački D. U plžaju ravnteže pravac O gradi uga 60 sa hrizntalm, dk je štap C hrizntalan, a Slika 3.47 tačka B na istj vertikali sa tačkm O. Odrediti silu u užetu i uga α kji de užeta BD zaklapa sa vertikalm u ravntežnm plžaju (Slika 3.47). Odrediti i reakcije u zglbvima O i.