1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)"

Transcript

1 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene koncentrisanim silama koje leže u ravni rešetke i dejstvuju u njenim čvorovima. Osnovni element svake ravanske rešetkaste kontrukcije je trougao. Između broja čvorova n i broja štapova s statički određene ravanske rešetke postoji veza s=n-3. Ukoliko je s>n-3 postoji unutrašnja statička neodređenost rešetke a ako je s<n-3 radi se o mehanizmu Rešetka može biti vezana za podlogu pokretnim zglobom nepokretnim zglobom užetom ili lakim štapom. Laki štap koji povezuje rešetku sa osloncima nije sastavni deo ravanske rešetke već njena spoljašnja veza. Proračun rešetke se svodi na određivanje reakcija spoljašnjih veza i sila u štapovima rešetke. Zbog uvedenih pretpostavki sile u lakim štapovima se poklapaju s pravcima lakih štapova te oni mogu biti opterećeni na zatezanje ili pritisak. 1.1 lgoritam rešavanja zadataka Proračun rešetke se može izvršiti na osnovu sledećih koraka: 1. Osloboditi se spoljašnjih veza i uvesti odgovarajuće reakcije veza (otpore oslonaca).. Za rešetku kao celinu pisati jednačine ravnoteže i odrediti reakcije veza. Naime kako na rešetku dejstvuje ravanski sistem sila njena ravnoteža će biti ostvarena ako su glavni vektor sistema i glavni moment za proizvoljno izabranu tačku jednaki nuli: Fg Mg = 0. (1.1) Prvi vektorski uslov se projektovanjem na ose koordinatnog sistema xy svodi na dve skalarne jednačine a prethodni uslovi ravnoteže transformišu u sledeći sistem jednačina ravnoteže 1 : n i=11 i 1 n (1.) 1 U daljem tekstu će se tokom rešavanja primera izostavljati oznaka za promenu indeksa i=1... n sume projekcija svih sila ali će se podrazumevati da se ta suma odnosi na sve sile koje dejstvuju na uočeni sistem. Indeks sumiranja će i u momentnim jednačinama pri rešavanju primera biti izostavljan. Na taj način oznaka M će podrazumevati k n F M j + M i (sumu spegova i momenata sila za izabranu tačku) za naznačen pozitivan smer momenta. j= 1 i= 1

2 8 RVNSKE REŠETKE koji podrazumeva da je suma projekcija svih sila na ose koordinatnog sistema jednaka nuli i da je suma momenata svih sila i spregova za proizvoljnu tačku u ravni nula. Osim jednačina ravnoteže (1.) mogu se pisati i alternativni oblici jednačina ravnoteže ([1] str. ). Jedan od njih se ogleda u pisanju tri momentne jednačine za tačke i C: (1.3) pri čemu su i C nekolinearne tačke. 3. Nakon određivanja otpora oslonaca vrši se izračunavanje sila u štapovima što se može izvršiti na dva načina: metodom izdvajanja čvorova i metodom izdvajanja dela rešetke (metod preseka Riterov metod). Ukoliko se primenjuje metod izdvajanja čvorova polazi se od čvora u kome se sučeljavaju samo dva štapa. Sile u lakim štapovima kao unutrašnje sile pretpostavljaju se kao zatezne. Osim toga sile reakcije veze istog lakog štapa koje dejstvuju na različite čvorove se postavljaju po principu akcije i reakcije. Pisanjem jednačina ravnoteže za sučeljan sistem sila u ravni: n 1. F. F = 0. (1.) i= 1 i= 1 n određuju se sile u štapovima. Sukcesivno prelazi se sa čvora na čvor imajući u vidu da broj nepoznatih sila koje dejstvuju u čvoru bude najviše dva. Dobijeni predznak minus uz intenzitet sile u lakom štapu ukazuje da je taj štap pritisnut dok predznak plus ukazuje da je štap zategnut. Pri primeni metoda izdvajanja dela rešetke vrši se zamišljeno presecanje rešetke po štapovima u kojima je potrebno odrediti sile tako da broj presečenih štapova ne bude veći od tri. Zatim se zamenjuje uticaj presečenih štapova silama koje su im kolinearne i zatezne. Pošto je rešetka na ovaj način podeljena na dva dela a svaki od njih mora biti u ravnoteži bira se deo rešetke za koji će se pisati jednačine ravnoteže. Preporučljivo je posmatrati onaj deo rešetke na koji dejstvuje manje sila. Takođe preporučuje se pisanje tri momentne jednačine za tri nekolinearne tačke (1.3) iako je moguće pisati i druge oblike jednačina ravnoteže na pr. (1.).

3 Ravanske rešetke 9 Primer 1.1 Za rešetku prikazanu na Slici 1.1 opterećenu silama intenziteta kn odrediti reakcije u osloncima i sile u štapovima metodom izdvajanja čvorova. Sile u štapovima presečenim sa R-R odrediti primenom Riterovog metoda. Slika 1.1 Rešenje: Pre oslobađanja od spoljašnjih veza numerisaće se štapovi i čvorovi. Ukupan broj štapova u ovoj rešetki je 13 a čvorova osam. Štapovi su numerisani arapskim a čvorovi rimskim brojevima (Slika 1.). Na osnovu jednakosti broja štapova i vrednosti koju daje relacija s= 8-3=13 zaključuje se da ova rešetka poseduje osobinu unutrašnje statičke određenosti. Ova rešetka je u tački oslonjena na nepokretni a u tački na pokretni oslonac. Dejstvo ovih veza je zamenjeno silama X i Y u tački i silom Y u tački. Jednačine ravnoteže rešetke su: 1. F = 0 : X F. F = 0 : Y F F F + Y M = 0 : F F 6F + F + 8Y = 0 pa su vrednosti reakcija oslonaca: 1 3 X = kn Y = kn Y = kn. Sile u štapovima će se najpre odrediti metodom izdvajanja čvorova. Ova metoda kao što je već rečeno podrazumeva analizu ravnoteže svakog čvora pojedinačno. Polazi se od čvora u kom se sučeljavaju najviše dva štapa. U ovom slučaju krenuće se U primerima u kojima nije naznačena jedinica za dužinu smatra se da je dužina izražena u metrima.

4 10 RVNSKE REŠETKE y F 1 F III R 6 V VII VI F 3 F 13 1 VIII Y X I Y 1 II R IV x Slika 1. od čvora (numerisanog rimskim I). U ovom čvoru dejstvuju komponente reakcije nepokretnog zgloba X Y i i sile u štapovima 1 i nepoznatih intenziteta i smerova u pravcu štapova. Pogodno je pretpostaviti da su štapovi opterećeni na zatezanje a priori. To znači da pri analizi ravnoteže čvora smer sila u štapovima ide od posmatranog čvora ka štapu. Na sledećim slikama prikazani su sistemi sila koji dejstvuju na čvorove a pored slike su ispisane jednačine ravnoteže 3 : X I Y S S 1 Čvor I:. F = 0 : X + S + S 1. F = 0 : Y + S = 0. Rešavanjem ovih jednačina dobija se da su sile u štapovima S1 = kn S = kn odakle se zaključuje da je štap 1 zategnut jer je dobijena vrednost za silu u štapu 1 pozitivna. S obzirom da je predznak ispred vrednosti sile u štapu negativan sledi da je štap opterećen na pritisak. Sada se prelazi na čvor II u kome su vezani štapovi 1 3 i. Nepoznate u jednačinama ravnoteže za ovaj čvor biće sile u štapovima 3 i dok je zbog principa akcije i reakcije sila u štapu 1 poznatog intenziteta. 3 Kako u ovom primeru svi kosi štapovi rešetke zaklapaju sa horizontalnim i vertikalnim pravcem uglove od vrednosti tih uglova neće biti posebno naznačeni na slikama. Pri rešаvаnju primerа vektori svih sila će se postavljаti jedan u odnosu na drugi po principu akcije i reakcije tе obeležavati istom slovnom oznakom uz dodatak oznake prim (na pr. S i S 1 1) pri čemu će se u jednačinama uvek koristiti jednakost intenziteta tih sila označeno bez prima (S S ). 1 = 1

5 Ravanske rešetke 11 Čvor II: S 1 S 3 II S 6. F = 0 : S + S 1 7. F = 0 : S = 0. 3 Odavde sledi da je štap 3 neopterećen a sila u štapu je S ovaj štap zategnut. = kn što znači da je F 1 S III 6 S S 3 S Čvor III: 8. F = 0 : S + S + S 6 9. F = 0 : S S S F = Na osnovu napisanih jednačina je S6 = 6kN S = kn. nalogno ovoj proceduri izvršiće se analiza ravnoteže preostalih čvorova. S S 7 S 8 S IV Čvor IV: 10. F = 0 : S S + S F = 0 : S + S + S = Dakle intenzitet sile u štapu 8 je S = kn dok je S = 6kN. 8 7 S 6 F V S 10 S 7 S 9 Čvor V: 1. F = 0 : S + S S F = 0 : F S + S = Intenziteti sila u štapu 9 i 10 su S = kn S = kn VII S 10 S 11 F S 13 Čvor VII: 1. F = 0 : S + S F F = 0 : S S S =

6 1 RVNSKE REŠETKE Rešenja ove dve jednačine su S13 = kn S11 = 6kN. Određivanje sile u štapu 1 moguće je izvršiti samo pisanjem jednačine ravnoteže po horizontalnom pravcu bilo za čvor VI ili VIII. Ovde će to biti urađeno analizom ravnoteže čvora VIII. S 1 S 13 VIII Y Čvor VIII: 16. F = 0 : S13 S1 te je S1 = kn. rojne vrednosti sila u štapovima kao i odgovarajući karakter opterećenja dati su u sledećim tablicama: roj štapa i roj štapa i Na Slici 1.3 prikazano je opterećenje rešetke gde su sa crvenom bojom obojeni štapovi opterećeni na pritisak crnom oni koji su zategnuti (obično se zategnuti štapovi boje plavo što ovde zbog tehničkih F VII razloga nije moguće) Neopterećen štap je nacrtan isprekidanom F 11 1 F VIII linijom. Ovakvo predstavljanje rešetke daje 6 9 III VI 1 V kompletnu sliku opterećenja njenih štapo- F va usled dejstva aktivnih sila. Slika I 1 II IV 1.3

7 Ravanske rešetke 13 Da bi se odredile vrednosti sila u štapovima i 6 Riterovom metodom vrši se zamišljeno presecanje rešetke po štapovima u kojima se žele odrediti sile (Slika 1.). Zatim se posmatra ravnoteža jednog od delova rešetke. Pogodno je analizirati onaj deo rešetke koji je opterećen F 1 manjim brojem sila. U ovom primeru S III 6 posmatraće se levi deo rešetke. Uticaj desnog dela rešetke ulazi preko presečenih štapova tj. preko sila u presečenim S štapovima za koje je pogodno pretpostaviti da su zategnuti. Na taj način levi S I II IV X deo rešetke se tretira kao ploča na koju Y dejstvuju komponente reakcije oslonca sila F Slika 1. 1 i sile S S i S6. Dalja analiza podrazumeva pisanje jednačina ravnoteže za ravanski sistem proizvoljnih sila za koji se kao što je poznato mogu napisati tri jednačine ravnoteže. Nepoznate vrednosti sila odrediće se pisanjem tri momentne jednačine kao alternativnog oblika jednačina ravnoteže. Momentne jednačine glase: 17. M = 0 : F Y S 18. M = 0 : X Y + S 19. IV 1 6 III M = 0 : F S S I 1 6 a njihovim rešavanjem sledi S6 = 6kN S = kn S = kn čime se potvrđuju rešenja dobijena analitički. Primer 1. Rešetkasti krovni nosač opterećen je vertikalnim silama kako je prikazano na Slici 1.. Odrediti otpore oslonaca i sile u svim štapovima. Rešetka je u tački oslonjena na nepokretni oslonac a u tački je horizontalnom zategom vezana za podlogu. Intenziteti sila su F = F = kn F = F= kn F 1 F F 3 F Slika 1.

8 1 RVNSKE REŠETKE Rešenje: Na Slici 1.6 prikazana je rešetka sa numerisanim štapovima i čvorovima kao i reakcijama oslonaca. Reakcija zatege S je u pravcu zatege i usmerena je ka njenoj unutrašnjosti. Određivanje reakcija oslonaca izvršiće se pisanjem uslova ravnoteže za celu rešetku. U tu svrhu uvedene su koordinatne ose a momentna jednačina pisaće se za tačku. Jednačine ravnoteže za ovu rešetku glase: 1. F = 0 : X S. F = 0 : Y F F F F M = 0 : 6S F 8F 1F 3 odakle se dobija da su otpori oslonaca X= Y= S=60 kn. Sile u štapovima biće određene metodom izdvajanja čvorova. U daljem tekstu prikazani su pojedinačni čvorovi sa silama koje dejstvuju na njih. Pored svakog čvora napisane su jednačine ravnoteže. y Najpre je analiziran F 1 čvor I budući da se S II F u njemu sučeljavaju dva štapa pa će broj 3 IV 8 F mogućih jednačina 3 za sučeljan ravanski 7 VI 11 sistem sila biti dovoljan da se odrede dve 9 F I 1 III 6 V 10 VII nepoznate sile u štapovima 1 i. Y X x Slika 1.6 X S I S 1 Y Čvor I:. F = 0: X + S. F = 0: Y + S = 0. 1 Iz ovih jednačina sledi da je S1= 60kNi S= 60kN odakle se zaključuje da su oba štapa pritisnuta.

9 Ravanske rešetke 1 Prelazi se na čvor II sada sa poznatom silom u štapu. Njen smer se pri analizi čvora II nanosi od ovog čvora ka štapu kao da je štap zategnut ali se u jednačine ravnoteže unosi sa negativnim predznakom. Čvor II: 6. F = 0: S+ S sin β+ S cos α= F = 0: F S S cosβ S sinα= Na osnovu geometrije rešetke vrednosti uglova α i β su: sin α = cosα = sin β = 13 i cos β = Intenziteti sila u štapovima 3 i iznose 13 S3 = 10 13kN i S = 0 kn. Zatim se vrši analiza ravnoteže čvora III. Čvor III: 8. F = 0: S S sinβ + S = F = 0: S cos β + S 3 odakle se dobija da je S = 30kN i S6 = 0kN. Znači ova dva štapa su pritisnuta. Sada će se preći na čvor VII. Čvor VII: 10. F = 0 : S S cos α F = 0 : S sin α F 11 Rešavanje ovog sistema daje: S10 = 0kN i S11 = 10. Sledeći će se analizirati čvor VI. Čvor VI: 1. F = 0 : S cos α+ S cos α= F = 0 : S + S sinα S sinα F3 = Iz ovog sistema jednačina dobijaju se intenziteti sila u štapovima 8 i 9 i oni su: S = 10 kn i S = 0kN. 8 9

10 16 RVNSKE REŠETKE Konačno piše se jedna jednačina ravnoteže čvora V. Čvor V: o 1. F = 0 : S S cos + S odakle se dobija da je sila u štapu 7 intenziteta S7 = 0 kn. Prikaz intenziteta i karaktera sila u štapovima dat je u sledećoj tabeli. roj štapa i F 6 F F Slika 1.7 Slika 1.8 Opterećenje konstrukcije predstavljeno je na Slici 1.7. Primer 1.3 Za rešetkasti nosač prikazan na Slici 1.8 odrediti otpore oslonaca a zatim Riterovom metodom odrediti sile u štapovima presečenim sa R-R. Usvojiti da su intenziteti F = F = F = F = 1kN F = F = 10kN

11 Ravanske rešetke 17 Rešenje: Kod ove rešetke potrebno je uočiti štap koji je vezan za oslonac. U uvodu ove sekcije je rečeno da će se ovakav štap koji povezuje rešetku sa osloncima tretirati kao njena spoljašnja veza a ne kao sastavni deo rešetke. Na taj način poznat je pravac reakcije nepokretnog zgloba tj. reakcija leži na pravcu ovog štapa. Na Slici 1.9 prikazana je ova rešetka sa ucrtanim reakcijama veza kao i sa numerisanim čvorovima i štapovima. Otpori oslonaca će se odrediti na osnovu dve momentne jednačine i na osnovu sume projekcija svih sila po horizontali. Momentne jednačine pisaće se za tačke oslanjanja rešetke za podlogu tj. za tačke i i one glase: 1. M = 0 : Y F F 6F 8F F 1 F M = 0 : hr = 0 F F F F F F gde je h krak sile R za tačku. Na osnovu Slike 1.9 sledi da je tan α = odnosno h = sin α = 17. Na osnovu jednačina ravnoteže dobija se da su 17 Y = 1kN i R = kn. Ostaje da se odredi i komponenta reakcije oslonca u horizontalnom pravcu. Suma svih sila po horizontali glasi: odakle je X = 1 3. F = 0 : Rcos α + F1+ F+ F3+ F6 X kn. pri čemu je (Slika 1.9) F β α α Slika 1.9 Slika 1.10

12 18 RVNSKE REŠETKE Riterovom metodom treba odrediti sile u štapovima 8 9 i 10. Zamišljenim presekom po ovim štapovima rešetka će se podeliti na dva dela (Slika 1.10). Posmatraće se ravnoteža gornjeg dela rešetke. Uticaj donjeg dela je izražen silama u presečenim štapovima za koje je pretpostavljeno da su opterećeni na zatezanje. Momentne jednačine pisaće se za čvorove V VI i VII i one glase:. M = 0 : 0 F + 1 F F F + h S V. M = 0 : F 1F h VI M = 0 : 1F F + H S + h S VII S ( ) krak sile S 9 za čvor pri čemu su: h 8-8 krak sile S 8 za čvor V h8 = sinα = m h VII ( h9 = 1sin β = m) H 8 - krak sile S 8 za čvor VII h 10 - krak sile S 10 za čvor VI ( h10= H8= 1 sin α = m ). Rešavanjem prethodnih jednačina ravnoteže sledi da sile u štapovima iznose: S8= kn S9= kni S10= 3 17kN. Zaključuje se da su sva tri štapa opterećena na pritisak. Primer 1. Za rešetkasti nosač prikazan na Slici 1.11 odrediti otpore oslonaca a zatim Riterovom metodom odrediti sile u štapovima. Usvojiti da je F1= F= F3=10 kn. Slika 1.11 Rešenje: Nakon uvođenja odgovarajućih otpora oslonaca pri čemu je laki horizontalan štap koji spaja zglob sa rešetkom tretiran kao spoljašnja veza a njegova reakcija obeležena sa X (Slika 1.1) jednačine ravnoteže su: 1. M = 0 : X F F 6F. F = 0 : X + X F = 0 : Y F F F =. I 1 3 0

13 Ravanske rešetke 19 Rešavanjem ovog sistema se dobija X= X=60 kn Y=30 kn. S obzirom da sve sile u štapovima numerisanim kako je to prikazano na Slici 1.1 treba da se odrede primenom Riterovog metoda postavljaju se preseci tako da nakon razdvajanja rešetke na dva dela te uvođenja reakcija u presečenim štapovima na posmatrani deo R 1 R rešetke ne dejstvuje više od tri nepoznate R 3 sile. Prvi presek R -R će se postaviti tako da seče štapove 3 i (Slika 1.1). R R Jednačine ravnoteže R 1 R R 3 za levi deo presečene rešetke glase: Slika 1.1. M = 0 : Y + X + S. M = 0 : Y + X S III II 6. M = 0 : X + S + S F I 3 1 odakle sledi da je S = 30kN S=30 kn i S3 = 0kN. Sledeći presek je moguće postaviti tako da preseca štapove i 6. Na taj način se nakon pisanja dve momentne jednačine za desni deo rešetke mogu odrediti intenziteti sila u štapovima i 6. Pogodno napisane jednačine su: 7. M IV = 0 : F + S M V = 0 : F S S 3 te je S6=10 kn a S=0 kn.

14 0 RVNSKE REŠETKE Jednačine ravnoteže za desni deo rešetke dobijen presecanjem štapova 8 9 i 10 glase: 9. M IV = 0 : S F M = 0 : S VII M VI = 0 : 1S8 1F 3 a njihovo rešavanje daje S10 =10 kn S9 = 0 i S8 = 10kN. Razmatranjem ravnoteže donjeg dela rešetke dobijene postavljanjem preseka -R (čija slika neće posebno biti prikazana) te pisanjem jednačina ravnoteže: R 1. M = 0 : F + S S + F S S + X V 13. M 0 : S IV = F + F S S M = 0 : S F F + S + S + S II sledi vrednosti za intenzitete sila u štapovima 1 7 i 11. Tablični prikaz karaktera opterećenja štapova i intenziteta sila u njima je dat niže a grafički prikaz opterećenja je predstavljen na Slici Slika 1.13 roj štapa i Ovaj tip rešetke se koristi u konstrukcijama za znatnim prepustima kod nekih tipova mostova kranova i krovnih konstrukcija. Osnovna karakteristika ovakvog tipa rešetke je da su gornji elementi opterećeni na zatezanje a donji na pritisak.

15 Ravanske rešetke 1 Primer 1. Za rešetku sa zglobom u tački C prikazanu na Slici 1.1 odrediti otpore oslonaca i sile u štapovima. Intenziteti sila su F = kn F = F = 10kN. 1 3 Slika 1.1 Rešenje: Slika 1.1 Ova rešetkasta konstrukcija predstavlja sistem od dve rešetke sa spoljašnjim zglobnim vezama u tačkama i. Jednačine ravnoteže za sistem kao celinu (Slika 1.1) se mogu napisati u formi: 1. M = 0 : 0F + 3F + 16F 8Y 1 3. M = 0 : 0F1 16F 3F3+ 8Y = 0.

16 RVNSKE REŠETKE Da bi se odredile sve četiri spoljašnje reakcije veza izvršiće se dekompozicija sistema. Ravnoteža leve rešetke (Slika 1.16) će se ostvariti ukoliko budu zadovoljene jednačine ravnoteže: 3. F = 0 : Y F + Y. M = 0 : 0F 16F + Y + 1X. C 1 C C M = 0 : 8F + 8F Y + 1X = 0. C 1 6 Rešavanjem prethodno napisanih sistema jednačina dobija se Y = 6 kn Y = 6 kn YC = 6 kn XC = 1kN X = 13kN. Posmatrajući rešetku kao celinu a na osnovu ravnoteže svih sila u horizontalnom pravcu sledi da je X = 1 kn. Da bi se odredile sile u štapovima potrebno je posmatrati svaku rešetku ponaosob i jednom od metoda odrediti tražene veličine što se prepušta čitaocu kao vežba. Intenziteti i karakter opterećenja štapova za obe rešetke su prikazani u sledećim tabelama. roj štapa i Slika 1.16 roj štapa i roj štapa i

17 Ravanske rešetke 3 Primer 1.6 Za rešetke sa Slike 1.17 odrediti i diskutovati karakter opterećenja štapova. Usvojiti da je F1=... = F7 = kn P1= P= P3= 0kN Q1= Q= kn G =... = G = 1kN Slika 1.17 Rešenje: Prikazane rešetke predstavljaju neke od osnovnih tipova konstrukcionih rešenja koja se primenjuju u praksi. Na Slici 1.17a prikazana je tzv. Pratt-ova rešetka kao jedna od najzastupljenijih. Projektovali su je Thomas i Caleb Pratt 18. godine u SD. Zbog karakteristika koje poseduje izveden je čitav niz njenih varijacija. 1

18 RVNSKE REŠETKE Konstrukcija ima pored vertikalnih i dijagonalne elemente koji padaju prema vertikalnoj osi simetrije rešetke. Svi dijagonalni štapovi osim onih na krajevima su opterećeni na zatezanje (Slika 1.18). Zahvaljujući postavljanju vertikalnih štapova dijagonalni štapovi su rasterećeniji samim tim su mogli biti tanji čime je ostvaren ekonomičniji dizajn rešetke. Na taj način izvršen je uspešan prelaz sa drvenih na metalne konstrukcije. Za prikazano opterećenje intenziteti i karakteri sila u štapovima su izračunati i predstavljeni u sledećoj tabeli. Preporučuje se čitaocu da jednom od prethodno opisanih metoda potvrdi navedene razultate. Slika 1.18 roj štapa i roj štapa i roj štapa i Rešetku tipa Howe (Slika 1.17b) patentirao je 180. godine američki pronalazač William Howe. Ona je slična Pratt-ovoj ali se dijagonalni elementi penju prema vertikalnoj osi simetrije rešetke. Vertikalni elementi su opterećeni na zatezanje dok su dijagonale pritisnute (Slika 1.19). Stoga je konstrukcija neekonomična za čelične mostove i u praksi se danas ređe sreće mada je u prošlosti bila u širokoj upotrebi pri konstrukciji železničkih mostova. Kod tih mostova obično su vertikale izrađivane od čelika a dijagonale od drveta. Upravo zbog takvog karaktera opterećenja i ma-

19 Ravanske rešetke terijala koji je korišćen za dijagonalne elemente ove konstrukcija su bile vrlo nepouzdane. One su smatrane uzročnikom velikog broja rušenja mostova te železničkih nesreća. Sledi tabelarni prikaz opterećenja štapova ove rešetke. Slika 1.19 roj štapa i roj štapa i roj štapa i Rešetku tipa Warren (Slika 1.17c) patentirali su 188. godine James Warren i Willoughby Monzoni u Velikoj ritaniji. Ona je jedna od najjednostavnijih tipova rešetki prepoznatljiva po osnovnim elementima oblika jednakostraničnog trougla. Ovaj oblik se koristi za premošćenje manjih raspona 0-100m. U praksi se sreću i varijacije osnovnog oblika sa dodatkom vertikala u cilju ostvarenja većih raspona. Opadajuće dijagonale (Slika 1.0) su opterećene na zatezanje (kao kod Pratt-ove rešetke) a rastuće na pritisak (kao kod rešetke tipa Howe). Prikaz intenziteta i karaktera sila u štapovima ove rešetke je dat u narednim tabelama.

20 6 RVNSKE REŠETKE roj štapa i Slika 1.0 roj štapa i Na Slici 1.17d prikazana rešetka sa tzv. K-ispunom. Ona se primenjuje kod visokih rešetkastih konstrukcija jer podupiruće dijagonale smanjuju moguće deformacije vertikalnih štapova. Nekadašnji Varadinski most u Novom Sadu posedovao je rešetkastu konstrukciju ovakvog tipa. Slika 1.1 Za zadato opterećenje ove rešetke šematski prikaz opterećenja štapova je prikazan na Slici 1.1 a tabelarni prikaz je dat niže. roj štapa i

21 Ravanske rešetke 7 roj štapa i roj štapa i roj štapa i Slika 1. altimorova rešetka (Slika 1.17e) je varijacija Prattove. Osnovna modifikacija se ogleda u postojanju štapova ispune. Na ovaj način postignuto je skraćenje štapova donjeg pojasa i dijagonala što je od značaja kod mostovskih konstrukcija. Karakter opterećenja štapova je prikazan na Slici 1. odnosno u sledećoj tabeli. Svi horizontalni štapovi donjeg pojasa su zategnuti pri čemu intenziteti u štapovima od tačke do C i D do iznose kn. Intenziteti sila u štapovima od tačke C do D su 8kN. roj štapa i C G 1 G G 3 G G G 6 G 7 G 8 G 9 G 10 G 11 D roj štapa i

22 8 RVNSKE REŠETKE roj štapa i roj štapa i

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona. Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA

OTPORNOST MATERIJALA 3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Savijanje statički neodređeni nosači

Savijanje statički neodređeni nosači Savijanje statički neodređeni nosači Statička neodređenost nosača Uslovi neprekidnosti elastične linije Prva jednačina savijanja Normalni napon u nekoj tački poprečnog preseka s M moment sprega s z M I

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje Osnovne vrste napreanja: ksijalno napreanje Smicanje Uvijanje Savijanje Ivijanje 1 SVIJNJE GREDE SI Greda je opterećena na desnom kraju silom paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi).

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit Modul za konstrukcije 16.06.009. NOVI NASTAVNI PLAN p 1 8 /m p 1 8 /m 1-1 POS 3 POS S1 40/d? POS 1 d p 16 cm 0/60 d? p 8 /m POS 5 POS d p 16 cm 0/60 3.0 m

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIČKA MEHANIKA I 9. PREDAVANJE SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA. Str knjiga Poglavlje 12 Unutrašnje sile

TEHNIČKA MEHANIKA I 9. PREDAVANJE SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA. Str knjiga Poglavlje 12 Unutrašnje sile 5.5.2016 1 TEHNIČKA MEHANIKA I 9. PREDAVANJE SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA Str 267-290 knjiga Poglavlje 12 Unutrašnje sile 5.5.2016 2 ŠTA ĆEMO NAUČITI U OVOM POGLAVLJU? Određivanje unutrašnjih sila u presecima

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca . Za zadati nosač odrediti: a) Statičke uticaje (, i T) a=.50 m b) Dimenzionisati nosač u kritičnom preseku i proveriti normalne, smičuće i uporedne napone F=00 k F=50 k q=30 k/m a a a a Kvalitet čelika:

Διαβάστε περισσότερα

VEKTOR MOMENTA SILE ZA TAČKU. Vektor momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za. proizvoljno izabranu tačku.

VEKTOR MOMENTA SILE ZA TAČKU. Vektor momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za. proizvoljno izabranu tačku. VEKTOR OENT SILE Z TČKU Vekto momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za poizvoljno izabanu tačku pedstavlja meu obtnog dejstva sile u odnosu na tu poizvoljno izabanu tačku. Ovde je tačka momentna

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

5.2 GRAFOSTATIKA. Prosta greda. Greda sa prepustima

5.2 GRAFOSTATIKA. Prosta greda. Greda sa prepustima 5.2 GRAFOSTATIKA Nosačem se naziva kruto telo koje prenosi opterećenje koje mu saopštavaju tela koja su sa njim u kontaktu. Nosači nogu biti: - ravni ( ako osa nosača i opterećenja leže u jednoj ravni)

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120 Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d Proračun štapova na zatezanje i pritisak Osnova za proračun je zadovojenje nejednačine, max d gde je max maksimum apsoutne vrednosti normanog napona štapa a d je dozvojeni normani napon Ovakva nejednakost

Διαβάστε περισσότερα

l r redukovana dužina (zavisno od dužine i načina vezivanja)

l r redukovana dužina (zavisno od dužine i načina vezivanja) Vežbe 6 IZVIJANJE 1 IZVIJANJE Izvijanje se javlja kod aksijalno napregnutih štapova na pritisak, kada imaju relativno veliku dužinu u odnosu na površinu poprečnog preseka. Zbog postojanja geometrijskih

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila) Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα