1. POČETNI STABILITET

Transcript

1

2 SADRŽAJ NEKI OSNOVNI POJOVI I VELIČINE Glavne dimenzije brda Keficijenti frme Plvnst brda (snvni pjmvi) Stanja ravnteže brda 1. POČETNI STABILITET 1.1. Statički stabilitet ment stabiliteta Uga statičkg nagiba Pčetna metacentarska visina Pčetni metacentarski radijus ment nakretanja ment usled pprečng pmeranja ment usled vetra ment usled skretanja ment usled tegljenja Uticaj vertikalng pmeranja tereta Uticaj visećih masa Pmeranje tereta u pprečnj ravni Uticaj tečng tereta 1.2. Dinamički stabilitet 2. UZDUŽNI STABILITET Uzdužn pmeranje tereta Pmeranje tereta pšti slučaj

3 3. STABILITET PRI VEĆI UGLOVIA NAGIBA 3.1. Kriva težišta istisnuća, težišta vdne linije i metacentra Brd sa kružnim rebrima Brd sa uspravnim rebrima 3.2. Kriva kraka i mmenta stabiliteta Brd sa kružnim rebrima Brd sa uspravnim rebrima 3.3. Kriva puta stabiliteta i kriva stvarne metacentarske visine 3.4. Pprečne krive stabiliteta 3.5. Pdela stabiliteta 3.6. Statički stabilitet 3.7. Dinamički stabilitet USLOVI POLAGANJA ISPITA Pdela p Atvudu Pdela p Štajnenu Krive stabiliteta pri negativnm uglu Plinmi za krive stabiliteta Karakteristični slučajevi Nesimetričn pterećen brd Brd sa negativnm metacentarskm visinm Uticaj tečng tereta Neki karakteristični slučajevi Brd nagnut ka mmentu nakretanja Brd nagnut d mmenta nakretanja Slučaj knstantng mmenta Kriterijum vremenskih uslva Nesimetričn pterećen brd Brd sa negativnm metacentarskm visinm

4 ilan Hfman Predavanja 2008 NEKI OSNOVNI POJOVI I VELIČINE Trup brda krmeni pik Pregrade... pramčani pik krma paluba srednjak dn pramac unutrašnje dn dvdn mašinski prstr dvbk Nadgrađe kaštel, kasar kasar palubne kućice kaštel bk dvdn bk levi, desni... Engleski... Vidi Sliku I Predavanje I 1

5 ilan Hfman Predavanja 2008 Centralna linija brda, linija preseka trupa i ravni simetrije Linija rebra, rebr, terijsk rebr, R linija preseka trupa i pprečne ravni Glavn rebr, reža: rebra, VL, uzdužni preseci Vdna linija, VL linija preseka trupa i hrizntalne ravni KVL, TVL, LVL... Predavanje I 2

6 ilan Hfman Predavanja 2008 Osnvne (glavne) dimenzije brda Dužina brda L Gaz brda T T, T max Visina i slbdni bk brda H, F B L PP, L OA, L KVL, L VL... Širina brda B B, B OA, B VL... F B +T = H Predavanje I 3

7 ilan Hfman Predavanja 2008 Keficijenti frme δ = V LBT Keficijent (punće) istisnuća V zapremina urnjeng dela brda kada brd pliva u ravnteži, zapremina istisnuća, δ, C B istisnuće brda δ 1 α = A VL LB Keficijent (punće) vdne linije A VL pvršina unutar vdne linije, pvršina vdne linije α, C VL α 1 A R pvršina unutar rebra, pvršina rebra β = A R BT Keficijent (punće) rebra β, C R β 1 Predavanje I 4

8 ilan Hfman Predavanja 2008 V = A L GR Keficijent finće, prizmatični keficijent A GR pvršina glavng rebra, C P 1 δlbt δ = = βbt L β = v V A T VL Vertikalni keficijent finće, vertikalni prizmatični keficijent v, C Pv v 1 δlbt δ v = = αlb T α Predavanje I 5

9 ilan Hfman Predavanja 2008 Plvnst brda (snvni pjmvi) Dve sile... be psledica gravitacije Težina W = g m B W deluje u tački G, težištu mase Ukupna sila vde hidrstatički pritisak Vertikalna sila, uzgn U = = ρ gv F v = p n da A p = pat +ρ gh U = F k = p n k da v A Arhimedv zakn Ravnteža U deluje u tački F, težištu zapremine V F = 0 i W = U Predavanje I 6

10 ilan Hfman Predavanja 2008 Termini preciznije V 3 ( ) m Zapremina brdm istisnute tečnsti kada brd pliva u ravnteži zapremina istisnuća (zapremina deplasmana) ρv = D ( ρ = Δ) jednaka je zapremini pdvdng (urnjeng) dela brda D [t] masa brdm istisnute tečnsti kada brd pliva u ravnteži masa istisnuća (masa deplasmana) gd [kn] težina brdm istisnute tečnsti kada brd pliva u ravnteži težina istisnuća (težina deplasmana) Važi W U = U = ρ gv sledi W = gd m B = D U praksi ki( (p pravilu) il) istisnuće = V (m 3 ) deplasman = D (t) Predavanje I 7

11 ilan Hfman Predavanja 2008 Pjam rezerva istisnuća (rezervn istisnuće) V R zapremina nadvdng vdneprpusng dela trupa (dređuje ga slbdni bk) U vezi minimalng V R, dnsn F Bmin, dnsn T max, pstje striktni međunardni prpisi (ILLC Internatinal Lad Line Cnventin, Prpisi teretnj liniji, Prpisi nadvđu) de IO prpisa IO Internatinal aritime Organizatin (UN) Grub brdvi se dele na dva tipa A i B A tankeri (nema tvra na palubi, paluba vdneprpusna) B svi stali brdvi Prpisi i daju F Bmin = snvni + ppravke snvni F Bmin = f(l) ppravke - zavise d nadgrađa, skka palube, itd... Predavanje I 8

12 ilan Hfman Predavanja 2008 Pjam dedvejt (Deadweight) mb = mče + mmaš + mpr + mter + mps + mzal prazan brd,( Lightship) nsivst ( Deadweight) DWT (t) Pjam registar tna BRT (GT), NRT (NT) Nije masa, već zapremina... Pstje međunardni prpisi (IO): Prpisi baždarenju (Tnnage Rules) Grub: Brut svi zatvreni prstri Net svi zatvreni prstri na kjima se zarađuje... BRT = k V zat k = 0, 2+ 0, 02 lgv zat Pšl se (davn) d 1 RT = 100 kubnih stpa... vi prpisi imaju veliki uticaj na frmu brda... Vidi slike I 2, 3... Predavanje I 9

13 ilan Hfman Predavanja 2008 Stanje ravnteže brda klasični primeri Stanje ravnteže mže biti STABILNO LABINLNO (NESTABILNO) INDIFERENTNO da li mže...? Stabilan plžaj ravnteže minimum ptencijalne energije Ravnteža stabilna, labilna, indiferentna? Brd - šest stepeni slbde ξ ο, η ο, ζ ο, ψ, θ ξ ο, η ο, θ ζ ο, ψ?? Predavanje I 10

14 ilan Hfman Predavanja 2008 Pri naginjanju k uzdužne se (naginjanju za uga ), javljaju se tri slučaja Da li će ravnteža biti stabilna, nestabilna ili indiferentna, zavisi d plžaja tačke metacentar (presek napadnih linija uzgna u plžaju ravnteže i plžaju pd uglm ) iznad G ravnteža stabilna ispd G ravnteža nestabilna u G ravnteža indiferentna G metacentarska visina Kaže se G > 0 G< 0 G = 0 G = z zg razlika krdinata Predavanje I 11

15 ilan Hfman Predavanja 2008 je tzv. pprečni metacentar, dnsi se na pprečni stabilitet naginjanje u pprečnj ravni - uga nagiba (uga nakretanja) Kakva je ravnteža u dnsu na naginjanje k pprečne se y naginjanje u uzdužnj ravni?? L uzdužni metacentar LG uzdužna metacentarska visina ψ uga trima, uga pretege G > 0 L G < 0 L G = 0 L?? L B G G L L dalek iznad L G uvek pzitivna... ravnteža stabilna Predavanje I 12

16 ilan Hfman Predavanja POČETNI STABILITET BRODA ment stabiliteta 1.1. Statički stabilitet ment sprega sila W i U... st = W h h= G sin G h krak stabiliteta G pčetna metacentarska visina W = gd U U = ρ gv 1 = W U = ρ gv sledi U = W U = U V = V st gd G 1?? 01rad, 5 6 dve aprksimacije... sin (cs 1, tg ) G f( ) Predavanje II 1

17 ilan Hfman Predavanja 2008 i = 0 k = st = gd G k s Uga statičkg nagiba s k gd G = (,, ) f D G s k ne znam unapred da li je zadvljen uslv s 1 Predavanje II 2

18 ilan Hfman Predavanja Pčetna metacentarska visina Težište x S = f xdf f x S fixi = f G = FK + F GK K FK= z = VCB= F V zdv V mz i GK = zg = VCG = m B i SS SS f = f1 + f2 = f S S f f 2 = S2S 2 f F=?? Predavanje II 3

19 ilan Hfman Predavanja 2008 Pčetni metacentarski radujus V V v v = + v, v V = V = V F=?? 1 urnjeni i izrnjeni klin v = v = v psmatram ka pmeranje klina v za l s... važi v F = l V v l s =?? l s 2y s s v FF = l V y s = v s FF= F ydv v vl F = V ydv v v ls = v 2 = 2 ydv =...?? v v s Predavanje II 4

20 ilan Hfman Predavanja 2008 v 2 ydv = y dxdy y = y dxdy v ydv = 1 2 A VL 2 y da dv = dx dy dz = dxdy y 2 yda = Ix A VL 1 2 AVL yda = 2 1 I 2 I x mment inercije pvršine (unutar) vdne linije za uzdužnu težišnu su x 1 vl s = 2 ydv= 2 Ix = Ix 2 2 v x F vl V s = = Ix V F = I x V Predavanje II 5

21 ilan Hfman Predavanja 2008 I x?? Otprnst... Pntn...zavisi i d raspreda pvršine VL k se A VL 1 I x 12 LB 1 B B F = = = 0083, V LBT 12 T T ( 1 ) ( 2 ) = A I < I B, F VL 1 2 x x T, F katamarani, trimarani... Slike II-1,2 I kada nije pntn, važi mže se prikazati ka F b B = 12 T 2 F 2 B T b = f( α) 1 Predavanje II 6

22 ilan Hfman Predavanja 2008 etacentarski radijus sledi iz frmule etacentarski radijus se mže drediti i za svaku drugu su k kje se naginje brd F 2 yda = I x A VL... V = dv = V ali pstji i niz približnih brazaca... b 1, 5α 0, 5 2 b 0, , 89α ( α ) b 0, važi... F n In = V Pprečnj si y dgvara uzdužni metacentarski radijus C VL težište VL 2 b 1, 04α I y 2 b 0, 13 α + 0, 87 α ± 0, 005 LF = V Predavanje II 7

23 ilan Hfman Predavanja 2008 Za pntn... k pprečne se F L 1 12 LB 1 L = = LBT 12 T za brd F L L T 2 2 b L L 2 2 L B LF F I I 1 2 = 12 T L je dalek iznad... Glavne se inercije... se (1), (2) = I = I max min = I y = I F x = ( F n ) min F = ( F ) L n max Nazad na G... pčetna pprečna metacentarske visina G = F K + F GK ( G ) < G < ( G ) min ( G ) =, ( G ) min max 0 15m = Tip brda max IO prepruka Prepruke... G (m) (pung brda) Teretni brd 0,8-1 Kntejnerski brd 0,3 0,6 Remrker 0,8 1,2 Veliki putnički 1,5 2,2 Rečni putnički 0,5 1,5... Predavanje II 8

24 ilan Hfman Predavanja ment nakretanja k s = gd G k =?? k k =?? = = mg l = mgl cs k ( A) mg psledica različitih spljnih uticaja... ment usled pprečng pmeranja tereta že i = = W GG cs ( G) k W 1 m GG1 = l D ml k = gd cs = mgl D cs Predavanje II 9

25 ilan Hfman Predavanja 2008 Pčetni stabilitet 1, cs 1 Uga statičkg nagiba k mgl ml s = = = gd G gd G D G k mg l GG1 že i s = =... G s usled pmeranja tereta bavezn se prverava za putničke brdve... putnici su lak, ali nezgdan teret... max = 10 strgi prpisi Uga d 10, p pravilu, nije pasan za brd... ali putnici pstaju uznemireni uga panike! Slika II-3 Na frmuli za s bazira se prva (d dve) eksperimentalne metde za dređivanje (prveru) G tzv. prba (eksperiment) nakretanja ml s = G = D G ml D Pznate mase m pprečn se pmeraju za pznata rastjanja l... i meri se s Princip jednstavan, ali prpisi daju strgu prceduru... Vidi npr. Ribar, str. 131 (Pitanje na usmenm) s Predavanje II 10

26 ilan Hfman Predavanje 2008 nastavak: ment nakretanja ment usled vetra k s = gd G Realn, nema statičkg rešenja... pstje i talasi, brd se ljulja.. Slika III-1 Javlja se i ddatni prblem... v F v v = v () t v = F () t v ipak, brd se ljulja k plžaja ravnteže s Prblem upršćavam... pretpstavljam... v f() t zanemarujem talase... v v v = cnst Takđe, za pčetak pretpstavljam v vv sr f( z) Predavanje III 1

27 ilan Hfman Predavanje 2008 Rezultujuću silu vetra pretpstavljam u bliku 1 2 F = v vaz c vv S 2 ρ Dlazi d zanšenja brda... javlja se sila F 1 2 =1,226 3 w F = cv S ρ ρ vaz kg/m 2 c ( - ) = 1,0 1,3 Ravnteža... (v zan = cnst) w w zan w v =?? F 0 i = Fv = Fw = F l v v Predavanje III 2

28 ilan Hfman Predavanje 2008 žem naći brzinu zanšenja... 1 ρ c v S = 1 ρ c 2 2 v S c c w 2 2 vaz v w zan w v zan = v v ρ vaz ρ S S w v zan v v Interesuje nas, pre svega 1 2 = v F v l = vazc vv S l 2 ρ Prblem je S, l = f( ) 1 2 = v vazcvv S( ) l cs?? 2 ρ = 1 2 v = v vazc vv S l cnst 2 ρ = =... 0, 75+ 0, 25 cs 3 v v ( ) l = l cs S( ) =?? S S cs = 1 2 cs 2 cs 2 v vazcvv Sl v 2 ρ = Predavanje III 3

29 ilan Hfman Predavanje 2008 Pčetni stabilitet 1 cs 1 v v Treba raditi... Uga statičkg č nagiba ρ cv S l s = = gd G 2gD G 2 v vaz v guće je uzeti u bzir i v v = f (z) Pstji niz (približnih) frmula z 7 vv( z) = v 19, , z vv ( z) = v 10 nm nm v ( z) = 0, 17v ln( 100z) v nm WO Davenprt Eurcde = 1 c v Sl 2 ρ v = vi 2 vi vaz i i i Nagib brda usled lujng vetra se uvek prverava... Pstje (strgi) prpisi Psebn su ugrženi brdvi s velikm pvršinm izlženm vetru... Slike III-2,3,4 Prblem uticaja vetra na vezani brd sami... Predavanje III 4

30 ilan Hfman Predavanje 2008 ment usled skretanja Vektr brzine ne leži u ravni simetrije pstji zakretanje za uga θ «1 Pri tme važi v cnst a G ma 2 v = an = R = F B G R ma = F B N N θ, F N...? Terija krmilarenja (manevra) je slžena... Pseban predmet U pslednjj fazi se uspstavlja stacinarn kretanje p kružnj putanji radijusa R (krugu kretanja), brzinm v = cnst Slika III-5 θ = 0 FN = 0 Predavanje III 5

31 ilan Hfman Predavanje 2008 k =?? ( ) v = 0, 75 0, 8 v T l VCG 2 R =?? Krmilarenje... Tipični teretni brdvi min ( ) R = 2 3 L c d v v 2 L R = cd = ( 0, 19 0, 25) Brd se naginje d centra putanje... F N = = F csθ l ( G) k F N cs 2 D v = D an = csθ 1 R k 2 Dv l = cs = R k cs ment pčetng stabiliteta cs 1 k = = k Dv l 2 R Predavanje III 6

32 ilan Hfman Predavanje 2008 Treba učiti sledeće... Kristili sm redukcini mment za tačku G... = ( G) k F?? U slučaju statike, redukcina tačka je prizvljna... U slučaju dinamike nephdn je uzeti = 0 ( G ) i N = 0 (??) i... t je zakn prmeni mmenta kličine kretanja Prblem je mguće rešiti i prek centrifugalne sile... Uga statičkg nagiba Dv l 2 2 k v l s = = R = gd G gd G gr G Uga s, pri skretanju ubičajenih brdva, nije pasan... Nije zanemarljiv kd brzih brdva, dbrih manevarskih svjstava... Slika III-6... anarčit u superpziciji s vetrm i pmeranjem tereta... Obavezn se (prema prpisima) prverava kd putničkih brdva ( s < 10 ) Pstji niz havarija u kjima je skretanje digral značajnu č ulgu... Slike III-7... Rezultati važe za deplasmanske brdve Gliseri se pnašaju drugačije... Slike III-8... Predavanje III 7

33 ilan Hfman Predavanje 2008 ment usled tegljenja Pri nrmalnm tegljenju ne javlja se pprečna sila... Primeri tegljenja... Slike III-8, 9 Javljaju se slučajevi Sile kje tada deluju na remrker Slika III-10 F Tmax sila na stubu... ključna karakteristika remrkera Za remrker pasn Predavanje III 8

34 ilan Hfman Predavanje 2008 = F l = F l cs = k N N ( F R) = tgα cs T kliki je maksimalni mment? ( FT R) FT max v 0 S Pretpstavljam v = cnst Uže zategnut... F = 0, F = 0 = x FT R csα y Prblem je dinamički, slžen... Rešavam ga upršćen, statički?? FT R Scsα = 0 Ssinα F = 0 N F = ( F R)tgα N T = F max l tgα cs k T za α = 45 = F l cs k T max pazi α 90, tgα svaki remrker se prevrće?? ali tada d više ne važe ž plazne l pretpstavke... za 1 F l k T max Predavanje III 9

35 ilan Hfman Predavanje Uticaj vertikalng pmeranja tereta Težište brda G se pmera u G 1 GG m = l u smeru pmeranja tereta D 1 z enja se metacentarska visina Brd plvi sa teretm mase m u tački A (A težište tereta) Teret se vertikaln pmeri (pdigne/spusti) u tačku A 1 Ništa se ne dešava?? (sila mg se pmera duž svje napadna linije...) m G1 = G GG1 = G lz D ili m G = G+ z z D ( ) 1 1 enja se i mment stabiliteta m st = gd 1 G1 = gd G lz D st = gd 1 G mg lz = st mg l z st 1 ( ) = + mg z z st st 1 Predavanje III 10

36 ilan Hfman Predavanje 2008 Stabilan brd ( G > 0) mže, pdizanjem tereta, izgubiti stabilitet Pmeranje tereta u pprečnj ravni G1 = 0 dgvara pdizanju tereta za l kr m G lkr = 0 D l kr D = G m šta se dešava kada je l z > l kr, G< 0 kasnije... Pmeranje se sastji iz vertikalng i pprečng p Vertikaln, menja mment stabiliteta: Pprečn, stvara nagib: ml = mg l st st z 1 ml k y y s = = = gdg 1 DG 1 DG mlz Ak zamislim dve faze pmeranja tereta: 1. faza vertikaln pmeranje Predavanje III 11

37 ilan Hfman Uticaj visećih masa Teret mase m bešen u tački Q Slika IV-1. Brd se naginje p dejstvm k Dlazi d spntang pmeranja (dklanjanja) tereta u stranu nagiba st = W h = gd A sin st gd A st A = G AG GG GG PP A G m = P P D 1 1 l 1 AG = = l = l GG m m D D Predavanje IV 1

38 ilan Hfman = gd A = st ( AG ) = gd G = = gd G mg l st = st 0 mgl Ak se vretim na pčetnu skicu......rezultat je isti ka da je teret pdignut u tačku vešanja Q st 0 mment stabiliteta sa fiksnim teretm (sa teretm u P ) S aspekta stabiliteta teret bešen tačku Q = teretu u tački Q s =?? Uticaj mže biti značajan i pasan... Ravnteža k = st = s k gd A A < G s > s 0 že dći d trenutng gubitka stabiliteta... Predavanje IV 2

39 ilan Hfman Uticaj tečng tereta Brd pliva bez nagiba, sa tečnim teretm u tanku......pstji slbdna pvršina Brd se nagne pd dejstvm k... Tečnst se preliva na stranu nagiba... Sličn ka kd bešene mase, dlazi d spntang pmeranja tereta......dk se ne uspstavi ravnteža sa hrizntalnm slbdnm pvršinm st = W h h A gd A st A = G AG ( ) = gd G AG = gd G gd AG st st = st fs mment sa zaleđenim teretm mment slbdne pvršine A G =?? Predavanje IV 3

40 ilan Hfman m ρ v = = D ρv t t GG1 l l GG AG A G 1 GG ρ v l ρ V 1 t = = v l =?? l 2y ydv v v l = v 2y = v 2 = 2 ydv =? v v v dv = dx dy dz = dxdy y ydv = y dxdy y = y dxdy A 2 yda 1 = I x 2 da element slbdne pvršine tečnsti u tanku (pvršine A ) I x mment inercije slbdne pvršine tečnsti u tanku za uzdužnu težišnu su 1 v l = 2v y = 2 I x = I x 2 ρt v l ρt I x AG = = ρ V ρ V Predavanje IV 4

41 ilan Hfman ρt I x AG = ρ V = γ I st st t x 0 Smanjenje G ne zavisi d kličine tečnsti... zavisi d veličine i blika slbdne pvršine... t je uticaj slbdne pvršine... Efektivna metacentarska visina A ρt I x = G ρ V Uga statičkg nagiba Ravnteža A k = st k s = gd A < G s > s 0 ment stabiliteta ρ t I x st = st gd AG 0 = st ρgv 0 ρ V = ρ g I st st t x 0 U slučaju većeg brja tankva uticaj se superpnira ( ρ I ) AG = ( AG ) = i ρv t x i Predavanje IV 5

42 ilan Hfman Uticaj je vema pasan... pkazaćem t na primeru brda s uspravnim rebrima Puni se vdm p celm dnu (npr. kišm) eksperiment... Kak smanjiti vaj uticaj...? G > 0 A = G AG = F FG AG Ix ρt I x A = FG V ρ V A =... = FG A iznad efektivna metacentarske visina je negativna Ptpun napuniti tankve? Tečnst u punm tanku se pnaša ka krut teret... Ipak, treba napuniti / isprazniti tankve... teret se trši, isparava... Prjektant treba da predvidi najnepvljniji slučaj......punjenje tankva nije prav rešenje Predavanje IV 6

43 ilan Hfman Prav rešenje su uzdužne vdneprpusne pregrade Primer tankva sa pravuganm slbdnm pvršinm l x b slučaj (0) slučaj (1) 1 ( AG) = 2 ( AG ) n 1 vema efikasn... n = 2 (jedna pregrada) 1 ( AG) = ( AG ) atematički smanjuje se mment inercije slbdne pvršine (n 1) brj uzdužnih pregrada ( AG ) 1 3 lb 3 ρt 12 ρt lb = = ρ V 12ρ V 3 1 b l ρ t 12 n ρt lb 1 ρt lb AG = n = = n = ρ V 12ρ n V n 12ρ V ( )... n 3 3 i= 1 Fizički smanjuje se kličina tečnsti kja se preliva na stranu nagiba... U širke tankve se, bavezn, ugrađuju uzdužne pregrade... Predavanje IV 7

44 ilan Hfman Pprečne pregrade? Brdvi imaju velike nepregređene palube za prevz vzila... iznad vde 1 l b 3 ρt 12 n ρt lb ( AG) = n = n = ( AG ) ρ 3 V 12ρ nv 1 nemaju uticaja... Negativan uticaj slbdnih pvršina je (u principu) najveći kd tankera......pznat i (uglavnm) rešen Danas je dalek pasniji uticaj tečng tereta (slbdnih pvršina) na feribte i R-R R brdve... U pslednjih 40 gdina, prek 40 brdva vg tipa je dživel nesreću... Ak vda (iz nekg razlga) dspe na ve palube... havarija Slike IV-2,3,4... Rešenje... Prblem tankva u dvbku... Da li ih spjiti? Zašt? Predavanje IV 8

45 ilan Hfman 1.2 Dinamički stabilitet Ne važe uslvi ravnteže, već dl G ( G) = i dt Prjekcija jkij na su x = x k st x J x = x Skica slična prethdnim... ali bitna razlika D sada ravnteža, brd je mirva... Sada, nv prblem brd se ljulja (valja) cnst = (t), 0 st x gd G psledica hidrstatičkg pritiska (Arhimedve sile uzgna) dk se brd ljulja, vda ne miruje... slžen... Pretpstavljam = n + m linearna funkcija ugane brzine i ubrzanja... (time nism rešili prblem...) x Predavanje IV 9

46 ilan Hfman J = gd G n m x k Sledi diferencijalna jednačina valjanja ( J x + m) + n + gd G = k m ddatna masa pri valjanju (ddatni mment inercije) n prigušenje pri valjanju μ = ω = Ubič Ubičajeni j i blik: n ( x + ) 2 J m gd G J + m x + μ + ω = 2 2 m k keficijent prigušenja pri valjanju spstvena frekvencija neprigušeng valjanja Rešenje diferencijalne jednačine valjanja t = + m () part hm k = cnst part = cnst part part, part = 0 2 ω = mk k = =... = ω gd G part 2 part = s part Pstje tri slučaja hmgeng rešenja mk slučaj jakg prigušenja (μ > ω ) slučaj slabg prigušenja (μ < ω ) slučaj vema slabg prigušenja (μ «ω ) m k = J x + k m Predavanje IV 10

47 ilan Hfman Ψ U slučaju slabg prigušenja hm μ t ( 1cs 2sin ) = e C ω t + C ω t C 1, C 2 su integracine knstante, slede iz pčetnih uslva ω = ω 1 Ψ 2 μ spstvena frekvencija prigušeng valjanja = bezdimenzini keficijent ω prigušenja U slučaju vema slabg prigušenja Ψ 1 ω ω Pčetni uslvi?? žem razmatrati različite slučajeve... Pčinjem d: Slučaja ( a ) ( 0) = 0 ( 0) = 0 Brd je u ravnteži, bez nagiba, d trenutka t = 0 Tada, na njega trenutn deluje mment nakretanja (npr. vetar), kji staje knstantan tkm valjanja... ( ) μ t s 1 2 () t = + e C csω t + C sinω t Predavanje IV 11

48 ilan Hfman Dbija se Prigušenje je mal... μ t () t = s 1 e ( csωt+ Ψ sinωt) ali i vema slžen za dređivanje... μ Ak ga zanemarim Ψ = 1 μ t μ () ( cs ) ω t s 1 e ω t Ψ = 0 ω sledi ( ) () t s 1 csω t d dinamički uga nakretanja > d s d < ~ 2 s T 2π = ω = = 2 = d max s 2 k gd G Predavanje IV 12

49 ilan Hfman nastavak: 1.2. Pčetni dinamički stabilitet ( ) J + m + n + gd G = x k Slučaj ( a ) d dinamički uga nakretanja d > s d < ~ 2 s Predavanje V 1

50 ilan Hfman Slučaj ( b ) ( 0) = ( 0) = 0 Brd se valja amplitudm, i mment (na primer vetar) ga zahvata u plžaju amplitude ka mmentu... Slučaj ( c ) ( 0) = ( 0) = 0 Brd se valja amplitudm, i mment (na primer vetar) ga zahvata u plžaju amplitude d mmenta... Šta je pasnije?? Dbija j se ( )( ) μ t s s () t = e + csω t + Ψ sinω t ( )( ) μ t s s () t = e csω t + Ψ sinω t Predavanje V 2

51 ilan Hfman Spstveni perid valjanja, T =?? 2π ω gd G T = ω = J x + m T gde je Važi 2 2π Jx + m 2π jx + κ = = = gd G g G m κ = J J x J = D j x 2 x κ 1 κ = O(,) 01 Frmula je približna, u njj su zanemareni mali (ali slženi) uticaji prigušenja i ddatne mase pri valjanju... Prema tme: G, Stabilniji brd manji spstveni perid... T Brd sa suviše velikm G je krut brd... Detaljnije: Pnašanje brda na talasima κ keficijent ddatne mase pri valjanju j x radijus inercije brda za su x Za približn dređivanje T mže se uzeti jx = k B pri čemu je k = 0,3 0,4 O znaka za red veličine... ili preciznije (IO prepruka) Sledi T 2π j x g G g B L k = 0, , 023 0, 043 π T 100 Predavanje V 3

52 ilan Hfman Spstveni perid valjanja T menja se u širkim granicama, u zavisnsti d veličine i stanja pterećenja brda... T φ = 6 45 s Najduže spstvene peride su (nekada) imali putnički lajneri, kji su time pbljšavali kmfr putnika na uzburkanm keanu... Danas, najduže peride dstižu veliki kntejnerski brdvi, zbg prblema sa bezbeđivanjem dvljne metacentarske visine brda nakrcang sa više redva kntejnera na palubi... Na frmuli za T zasniva se (drugi) eksperiment za dređivanje G 1 2π j 2 x G = g T Eksperiment (prba) ljuljanja Brd se zaljulja na mirnj vdi, i meri spstveni perid valjanja... Jednstavan eksperiment, ali manje tačan d prbe nakretanja... Predavanje V 4

53 ilan Hfman Rezultat za dinamički uga naginjanja Psmatrajm slučaj (a) d = 2 s dbijen je rešavanjem diferencijalne jednačine valjanja... Isti rezultat se mže dbiti i na drugi način... primenm zakna prmeni kinetičke energije (0) pčetni plžaj (1) plžaj prve amplitude E E = A k k Ovaj pstupak će biti značajan kd većih uglva nagiba, kada je diferencijalna jednačina valjanja dalek slženija... Važi 1 E J 2 2 k Jx Ek = Ek = 0 A0 1= Predavanje V 5

54 ilan Hfman A 0 1 = ( 1) ( 0) da Za slučaj pčetng stabiliteta... k d d = gd G d kd = gd G d 2 d d 2 k = = gd G 2 s da= d d d d d k st x k st d A = d d = k st 0 0 d d d = k 0 0 Važi i za velike uglve... d d st U slučajevima ( b ) i ( c ) za prizvljn velike uglve d d = k d Za male uglve d st d = Predavanje V 6

55 ilan Hfman 2. UZDUŽNI STABILITET LG uzdužna metacentarska visina Na brd deluje mment trima t, u uzdužnj ravni ( L) st gd G ψ LG = LF FG = LF 1 L F L F G Javlja se uga trima ψ Pri čemu je (za praktičn sve prbleme) ψ 1 ment uzdužng stabiliteta ( L) h L krak uzdužng stabiliteta st = W h L Kd ubičajenih brdskih frmi je F G F L pa važi I y LG LF = V I ( L) y st gd L F ψ ρgv ψ V h = G sinψ G ψ L L L ( L) st ρgi y ψ Predavanje V 7

56 ilan Hfman Ravnteža = gd G ψ t L s t = 0 i = ( L) st Odnsn, t je pprečna težišna (centralna) sa VL (t je rečen...) Sd Sada ćem id dkazati ida se dve bliske vdne linije seku duž težišne se... ψ s t = gd G L t ρ gi y ψ s uga statičkg trima Osa y?? t je sa duž kje se seku vdne linije pri malm uglu ψ... (sledi iz izvđenja za metacentarski radijus...) Važi v = v xψ v = dv = dxdydz = dz dxdy 0 v A v = ψ xda= ψ S A VL y VL v da v = dv = = ψ S y Predavanje V 8

57 ilan Hfman v = v S = S Statički mmenti pvršina vdne linije kje dgvaraju urnjenm i izrnjenm klinu su jednaki y y Neki ddatni pjmvi i definicije Umest ugla trima ψ, čest se kristi trim (ukupan trim) t t = T T T p gaz na pramčanm perpendikularu T k gaz na krmenm perpendikularu dnsn, za male uglve ψ, tačka C je težište VL, trim (meren) na pramcu tp = Tp T a sa y je težišna sa ukupne pvršine trim (meren) na krmi t k = T k T p k I y mment inercije vdne linije za pprečnu težišnu su T gaz bez trima (gaz na ravnj kbilici ) Plžaj tačke C dređen je krdinatm LCF u dijagramskm listu... Važi t = t + t p k Predavanje V 9

58 ilan Hfman Važi T k > T p T k < T p t l p p brd ima krmeni trim, zategu brd ima pramčani trim, pretegu pramčani trim +... (?) t L t = Lpp ψ tp = lp ψ tk = lk ψ Izveli sm Važi = tgψ ψ t l k k ψ pp t t ψ s = gd G ρ gi L L t = gd G ρ gi t p t k t pp t pp L l l = gd G ρ gi L t p t p L l l = gd G ρ gi t k t k L y y y y ψ že se pisati t = t1 t tp = tp1 t t = t k k1 t t 1 t Lpp m = ρ gi knm p1 t k1 t 1, t p1, t k1 jedinični trim, že se pisati = t t t1 = = y l p ρ gi l k y ρ gi trim izazvan mmentm d 1 knm t1 t1 = y ρ gi y knm L pp jedinični mment trima mment kji stvara trim d 1 m m Predavanje V 10

59 ilan Hfman Uzdužn pmeranje tereta Brd pliva bez trima s teretm mase m u tački A Teret se uzdužn pmeri za rastjanje l x Kak drediti uga statičkg trima ψ s =?? Redukujem silu mg na tačku A... Redukcini mment je mment trima... ( A) mg = t Javlja se trim... = mg l csψ mgl ψ t x x t mglx mlx ψ s = = = gd G gd G D G L L L ml ψ s = ρi x y Predavanje V 11

60 ilan Hfman Istvremeni nagib i trim Kada brd istvremen ima i nagib i trim Treba, pri prračuni, uzeti njihv međusbni uticaj... Odnsn, treba računati I F = V I y L F = V ( ψ ) x ( ) Tada iz dijagramskg lista sledi I x za brd bez trima, dnsn I y za brd bez nagiba... Srećm, kd malih uglva trima i nagiba, vaj međusbni uticaj je mali i (uglavnm) zanemarljiv... Izuzetak su brdvi kd kji se pri malj prmeni trima, vdna linija značajn menja... Kd vih brdva, i pri ψ «1, uticaj trima na nagib nije zanemarljiv... Treba prepznati takve brdve... Na primer... Kd savremenih kmpjuterskih prgrama t nije prblem... Prblem je (bi) št se dijagramski list (ubičajen) prračunava za brd bez trima i bez nagiba... Predavanje V 12

61 ilan Hfman Pmeranje tereta (pšti slučaj) Brd pliva bez trima i nagiba s teretm mase m u tački A I vertikaln pmeranje utiče na pprečni stabilitet... G G 1 uticaj na uzdužni stabilitet, zanematljiv LG LG1 LG LF Teret se pmeri u tačku A 1 Psle pmeranja brd pliva u nvm plžaju ravnteže, s nagibm s i trimm ψ s II uzdužn pmeranje III pprečn pmeranje stvara trim ψ s stvara nagib s Pmeranje delim u 3 faze... Bitan redsled (Da li uzeti u bzir trim, pri prračunu naguba..?) Predavanje V 13

62 ilan Hfman 3. STABILITET PRI VEĆI UGLOVIA NAGIBA Pručavam sam pprečni stabilitet... sin Krak stabiliteta NG= f( ) cnst NG h = N G sin ima manji značaj d pčetne metacentarske visine... Najčešće se računa direktn... Slžen prračun... č III prjekat h = h( ) Rezultat (najčešće) u bliku dijagrama N N prividni metacentar?? NG prividna metacentarsk visina Ali pre tga... Predavanje V 14

63 ilan Hfman 3.1. Kriva težišta istisnuća, težišta vdne linije i metacentra Brd pliva nagnut, na VL Učiti F,, N... Brd se, dalje, nagne za d, pri čemu je V = V = cnst Odnsn C težište VL Direktn sledi iz uslva V = cnst, dnsn v = v Presek nrmala na vdne linije (presek pravaca uzgna) definiše tačku stvarni (pravi) metacentar Prema tme imam Bliske vdne linije seku se duž težišne se F stvarni (pravi) metacentarski radijus Predavanje V 15

64 ilan Hfman Važi F = = ( ) I x V izvđenje ist ka za F Učiti, imam tri metacentra:, N, pri čemu važi 0, N, Sada psmatrajm brd kji se pstupn naginje... pri naginjanju je zadvljen uslv V = V = cnst Fizički, brd se naginje pd dejstvm mmenta, a svaki plžaj pd uglm je plžaj ravnteže... Uzastpni plžaji tačaka F frmiraju krivu težišta istisnuća (F krivu) Uzastpni preseci vdnih linija (tačaka C ) frmiraju krivu težišta vdnih linija (C krivu) Uzastpni plžaji tačaka frmiraju krivu metacentra ( krivu) Predavanje V 16

65 ilan Hfman Odnsn Sledi Vdna linija VL je tangenta na C krivu u tački C Tangenta na F krivu u tački F je paralelna VL ili Nrmala na F krivu u tački F je tangenta na krivu u tački P definiciji, je centar krivine F - krive Zat je F pluprečnik (radijus) krivine F - krive Odatle i termin metacentarski radijus... Predavanje V 17

66 ilan Hfman Sve tri krive zavise d frme (gemetrije) trupa Kd brdva čija se rebra sužavaju Brd, čija se rebra šire, imaju F, C, krive blika: C kriva je (p pravilu) tužna a se pmera naniže kriva kriva t je nepvljn za stabilitet, jer je tada se (d uranjanja palube) pmera naviše, dnsn N je iznad t je pvljn za stabilitet, jer je tada NG > G Istrijat brdskih frmi sa rebrima kja se sužavaju... Slike V-1, 2, 3,... NG < G Predavanje V 18

67 ilan Hfman Brd sa kružnim rebrima kriva?? je centar krivine F - krive Centar krivine (sva tri) kruga je u tački O (za svak )jeutački O krivase transfrmiše u tačku... O OF = r F OC = r C Brd se nagne za uga... pri V = cnst Kd kružnih rebara, i sam kd kružnih rebara važi: = N = r f ( ) = cnst r f ( ) = cnst F C F = F = r = F cnst F kriva, krug radijusa r F y + z = r F F F C kriva, krug radijusa r C y + z = r C C C Predavanje VI 1

68 ilan Hfman Brd sa uspravnim rebrima Brd se naginje pri V = V = cnst... težišta vdnih linija je (zbg simetrije) u ravni simetrije brda... C kriva se transfrmiše u tačku Šta je sa F krivm?? y F, z F =? P definiciji... y F = V ydv V z F = V zdv V Ka št važi žem pisati V V v v = + ydv ydv ydv v v v yf = yf + = 2 V V V zdv zdv zdv v v 1 v zf = zf + = T + 2 V V 2 V Prblem se svdi na rešavanje integrala p zapremini urnjeng klina v... ydv, v v zdv Predavanje VI 2

69 ilan Hfman Za urnjeni klin važi y tg ydv = y dxdydz = y dz dxdy 0 v v v 2 2 ydv = y tg da = tg y da v v v 1 1 AVL A ydv = I x tg 2 v y tg zdv = z dxdydz = zdz dxdy zdv = y tg da = tg y da 2 2 v VL 1 1 AVL A zdv = I tg 2 x 4 VL ydv v I x tg yf = 2 = 2 = F tg V 2V zdv 2 1 v 1 I x tg zf = T + 2 = T + 2 = 2 V 2 4V = T + F tg 2 2 y = F tg F 1 1 z tg 2 F = T + F 2 2 že se eliminisati uga yf tg = F yf z = T + F 2 2 F F 2 Predavanje VI 3

70 ilan Hfman Knačn sledi Šta je sa metacentrm?? 1 1 zf = T + y 2 2 F 2 F F kriva je kvadratna parabla tangens pravca F - krive dzf 2yF F tg = = = tg dy 2 F F nagib tangente je jednak nagibu vdne linije... y = FF = F tg F 1 1 z tg 2 F = T + F 2 2 FF S druge strane F F tg = N F FF = NF tg Predavanje VI 4

71 ilan Hfman Sledi N F = F N = FF 1 FF tg 2 = F 2 1 N tg 2 = F 2 etacentarska visina raste s prastm nagiba... kriva? Važi B F = F N iznad, kriva, iz naviše B cs ( ) 2 2 I cb x cb F = = = = 2 2 V T T cs cs... raste s prastm nagiba... jednačinu krive, y, z =?? sami Kriva kraka i mmenta stabiliteta h() ) =?? st = gd h ( ) cnst etde za dređivanje h, dnsn st će učiti nešt kasnije (III prjekat...) Sada razmatram karakteristike jedne tipične brdske h - krive Predavanje VI 5

72 ilan Hfman tačka Q(, h max ) h max maksimalni krak stabiliteta uga maksimalng kraka tačka P ( p, h p ) prevjna tačka...pzitivn h dgvara pzitivnm st, kji deluje suprtn d smera naginjanja... tačka R( ps, 0) 0 ps pseg stabiliteta ps uga psega stabiliteta ps za = ps, h = 0, st = 0 h kriva mže (a ne mra) imati prevjnu tačku... Uklik pstji, dgvara urnu palube, ili izrnu uzvja... Za > ps, st menja smer R je plžaj (labilne) ravnteže Predavanje VI 6

73 ilan Hfman Nagib h krive u krdinatnm pčetku dh( 0)?? d = h( ) = N G sin dh d = ( NG )sin + NG cs d d Kada je 1 h( ) G tangenta i kriva se (približn) pklapaju Knstrukcija tangente je jednstavna... Kriva kraka stabiliteta važi sam d ugla uranjanja prvg nezaštićeng tvra... d ugla naplavljivanja nap = 0 : cs = 1, sin = 0 NG = G dh( 0) G d =... za uglve veće d nap, Jednačina tangente je... G h - kriva gubi tehnički smisa Predavanje VI 7

74 ilan Hfman Prepruke i prpisi inimalne krive stabiliteta... Danny, IO, Res A749(18) Rahla, Ratni brdvi Predavanje VI 8

75 ilan Hfman Brd sa kružnim rebrima h( ) = N G sin N G = G = cnst h ( ) = G sin st ( ) = gd G sin sinusida... Brdvi, sem retkih izuzetaka (npr. nekih jedrilica) nemaju kružna rebra... Slika VI-1 Ipak, dbijeni izraz (zbg svje jednstavnsti) pkazaće se vema pgdan za analizu realnih brdva.. Predavanje VI 9

76 ilan Hfman Brd sa uspravnim rebrima 1 2 st ( ) = gd G+ F tg sin 2 h ( ) = N G sin 90, h NG= G+ N N ( ) h( ) = G+ N sin 1 = F tg h( ) = G+ F tg sin 2 Skribantijeva frmula st ( 90 ) Brd je nemguće nagnuti d 90?? Frmula izvedena za uspravna rebra negraničene visine... Realn, važi sam d uranjanja palube, ili izranjanja dna... Predavanje VI 10

77 ilan Hfman Skribantijeva frmula važi i za realne (punije) brdske frme, d uglva ~10 A tek za veće uglve je nephdan prračun h()... Slika VI-2 Prema tme Za vema male uglve, d ~5, važi h( ) G Za umeren male uglve, d ~10, važi 1 2 h( ) G+ F tg sin 2 Predavanje VI 11

78 ilan Hfman 3.3. Kriva puta stabiliteta i kriva stvarne metacentarske visine Za tipični brd Na snvu h krive, dfiiš definišu se jš jš dve krive vezane za stabilitet brda kriva puta stabiliteta, e( ) kriva stvarne (prave) metacentarske visine, m( ) e( ) = h d h( ) = 0 de d 2 dh d e m( ( ) = = 2 d d Predavanje VI 12

79 ilan Hfman Važe sledeće relacije vrednst e krive u krdinatnm pčetku nagib e krive u krdinatnm pčetku maksimum e krive 0 e0 ( ) = hd = 0 0 de( 0) h0 ( ) 0 d = = de( ps ) = h( ps ) = 0 d Gemetrijsk značenje h, m, i e - krive Dkaz: Ribar, str. 96 prevj e krive ki vrednst m krive u krdinatnm pčetku dh ( 2 ) d e ( ) = = 0 2 d d dh( 0) m0 ( ) = = G d maksimum ki h krive prevji h krive dm( p ) d dh ( ) m ( ) = 0 d = = 0 dm( 0) d = 0 h( ) = GH m( ) = H e( ) = F H F G Predavanje VI 13

80 ilan Hfman Kružna rebra h( ) = G sin 0 e ( ) = h ( ) d = G cs = G( 1 cs) dh m( ) = G cs d = 0 Uspravna rebra 1 2 h( ) = G sin + F tg sin ( 1 cs ) e( ) = h( ) d = = G( 1 cs) + F 0 2 cs 2 dh tg 1 2 m ( ) = = = G cs F F tg cs d + + cs 2 Predavanje VI 14

81 ilan Hfman Prpisi IO (Res. A749(18)) m0 ( ) = G 015m, e30 ( ) > 0055m. ( m rad) e40 ( ) > 009m. e40 ( ) e30 ( ) > 003m. Pv. 1 > 0,055 m Pv. 2 > 0,03 m Pv. 1 + Pv. 2 > 0,09 m Predavanje VI 15

82 ilan Hfman 3.4. Pprečne krive stabiliteta s F Važi se mže računati i prek krdinatng sistema yz y dv y F = V s = y cs + z F F F V sin z s F F = = V V s dv V z dv V Uz krdinatni sistem ykz, vezan za brd kji se naginje... Uvdim nepkretni sistem skn s F Krak stabiliteta se mže izraziti ka h = s GK sin zavisi d frme trupa s F krdinata težišta istisnuća F GK zavisi d raspreda masa Učim, za dati brd i plžaj težišta G F h, s F = f(, D) Predavanje VII 1

83 ilan Hfman s F se dređuje za niz paralelnih vdnih linija brda pd knstantnim nagibm... s F kriva pprečna kriva stabiliteta Učiti h kriva: h( ), pri D = cnst s kriva: s( D ), = cnst s, V s, V... F 1 1 F 2 2 Dbija se dijagram ρv = D Prračunava se (i crta) dijagram s krivih za niz različitih uglva Predavanje VII 2

84 ilan Hfman s F (D, ) dijagram se mže prikazati u 3D krdinatnm sistemu... Iz dijagrama s krivih, za dat D idatgk, sledi dijagram h( ) prema frmuli h = s GK sin F Prjekat STABILITET je, ustvari, dređivanje dijagrama s krivih, iz kga se dalje dređuje h() za niz različitih stanja pterećenja brda... Predavanje VII 3

85 ilan Hfman 3.5. Pdela stabiliteta U izrazu h( ) = N G sin član NG zavisi d frme brda i d raspreda masa... Da bi se lakšala analiza, kristi se neklik pdela... Jedna sm pručili: ali ima i drugih... h = s GK sin Pdela stabiliteta p Atvudu (Atwd) NG= NF FG F ( ) h( ) = N F F G sin h( ) = N F sin FG sin h f h t h( ) = hf ht h f stabilitet frme h t stabilitet težine N F F G zavisi sam d frme brda zavisi i d frme brda, i d raspreda masa... ali ne zavisi d ugla Plžaj F je u uskim granicama... (,, ) F K = T tak da član F G uglavnm zavisi d raspreda masa... Predavanje VII 4

86 ilan Hfman Krak stabiliteta frme hf ( ) = N F sin st ( ) = gd h( ) = ρgη v gd F G sin mže se izraziti... ( f ) () t Ključ prračuna je statički mment klinva... st st η v =?? v = v = v V = V = V η v = hf V hf h( ) = hf ht v = η V že se dkazati (Ribar, str. 221, Barensva metda prračuna stabiliteta) η v = = I ( φ)cs( φ) dφ = 0 x = cs I ( φ)csφ dφ + sin I ( φ)sinφ dφ x numerička integracija x η v h( ) = F G sin V Atvudva frmula (1798) Gerge Atwd, Danas se retk kristi... ima uglavnm istrijski značaj Predavanje VII 5

87 ilan Hfman Pdela stabiliteta p Štajnenu (Steinen) h( ) = G sin + N sin h h h( ) = hk + hd k d h( ) = N G sin N G NG= G+ N zavisi sam d frme brda zavisi i d frme brda, i d raspreda masa... ali ne zavisi d ugla ( ) h( ) = G+ N sin h k stabilitet brda sa kružnim rebrima h d ddatni stabilitet mžem shvatiti ka psledicu razlike frme rebara u dnsu na kružnicu... st ( ) = gd G sin + gd N sin Član k ( k ) ( d ) st st h ( ) = G sin Ostaje da se pruči h d je već pručen... Predavanje VII 6

88 ilan Hfman Treba učiti da je dhd ( 0) d = 0 Dkaz h ( ) = N sin d dhd d = ( N)sin + N cs d d = 0 : cs = 1, sin = 0, N = N = 0 Oblik h d krive se razlikuje d brda d brda, ali je tangenta u krdinatnm pčetku uvek hrizntalna... Na samm pčetku je rečen G = 0 ravnteža indiferentna T nije sasvim tačn... Važi sam za kružna rebra... a za stale frme ravnteža mže biti i stabilna i labilna Predavanje VII 7

89 ilan Hfman U zavisnsti d znaka funkcija h k, h d, mže se javiti više slučajeva... Krive stabiliteta pri negativnm uglu nakretanja Pri prmeni smera ugla, mment stabiliteta st ( ) menja smer... Kd simetričng brda su zat st ( ) i h( ) neparne funkcije st ( ) = ( ) st h( ) = h( ) Prepznati slučajeve... Učiti: u sva četiri slučaja plžaj = 0 je plžaj ravnteže... Kakav?? Predavanje VII 8

90 ilan Hfman Put stabiliteta je e( ) = h d 0 Integral neparne funkcije je (matematički) parna funkcija Plinmi za krive stabiliteta Za realne brdve se (p pravilu) h kriva ne dbija u analitičkm bliku, već ka niz tačaka, krz kje se pvlaći splajn... e( ) = e( ) Fizičk bjašnjenje će se videti kasnije... Danas je, zbg primene u prgramima, pgdn aprksimirati h( ) i e( ) dgvarajućim plinmima... Treba paziti h( ) je neparna, a e( ) parna funkcija ( ) = h a a a a e a a a ( ) = a = G a, a, a... =?? Predavanje VII 9

91 ilan Hfman Ak je a3 > 0 h kriva ima prevjnu tačku Statički stabilitet Slična skica ka ranije... že se kristiti i pdela 3 5 ( ) = + = sin h h h G b b k d 3 5 Ak je b 3 > 0, ddatni stabilitet h d je pzitivnan... za slučaj Kak je 0 < b < sin = G 6 h kriva ima pzitivan ddatni stabilitet, a nema prevjnu tačku... Tražim uga statičke ravnteže s =? Uslvi ravnteže isti ka kd pčetng stabiliteta: t F = 0 W = U = gd i = 0 = i st k Predavanje VII 10

92 ilan Hfman Važi, međutim st ( ) = gd h pri čemu h( ) sledi iz prračuna stabiliteta... Jednačina a st = se zat ne mže analitički rešiti... Prblem se rešava graf-analitički pmću dijagrama statičkg stabiliteta k k i st su suprtng smera... k u smeru Pri tme, za mment nakretanja važe sledeći slučajevi st nasuprt nansim ih ka pzitivne k = k cs cs 2 k = k Pmeranje tereta, skretanje Vetar, za jedrilice... = Vetar, na strani sigurnsti... k k Za većinu tehnički važnih slučajeva je, prema tme cs n k = k n = 0, 1, 2 Predavanje VII 11

93 ilan Hfman Da li je u plžaju φ = φ s ravnteža stabilna?? = s + d st > k = 1 + d, st > k = 2 +d, st < k Neki karakteristični slučajevi Brd pliva u stabilnm plžaju Slučaj dva preseka s = 1 Treba učiti da u stabilnm Pstje dva rešenja jednačine k = st plžaju ravnteže važi d st d k > unutar psega stabiliteta d d dk je u labilnm plžaju ravnteže U km, d dva plžaja ravnteže, brd pliva? d Treba (pet) prveriti stabilnst plžaja st d k < ravnteže... d d Predavanje VII 12

94 ilan Hfman Slučaj bez preseka Ne pstji rešenje jednačine k = st unutar psega stabiliteta Slučaj ddira Pstji jedn rešenje jednačine k = st unutar psega stabiliteta... d ali takv, da važi st d k = d d U celm psegu stabiliteta je k > st Brd se prevrće Krive k i st se ddiruju, dnsn imaju zajedničku tangentu... Ov rešenje treba razumeti... Predavanje VII 13

95 ilan Hfman Ak se mment nakretanja mal pveća = + Δ brd se prevrće... k1 k k Ak se mment nakretanja mal smanji k2 = k Δk brd pliva u stabilnm plžaju... Uga = s je granični uga d kga se brd, u slučaju ravnteže, mže nagnuti T je uga statičkg prevrtanja ( p) s ment kji dvdi d prevrtanja je mment statičkg prevrtanja ( p) k Za prste frme (kružna i uspravna rebra) izveli sm analitičke izraze za mment stabiliteta... Sam plžaj = s je nestabilan... Klik nam t pmaže pri prračunu statičkg stabiliteta? = s + d, st < k Predavanje VII 14

96 ilan Hfman Kružna rebra k n = 0 : sin s = gd G = gd G sin st = cs n k k n = 1 : k tg s = gd G n = 2 : 2 gd G 2 k sins = = k gd G Uspravna rebra st = k cs = gd G sin n k s s Jednačina se ne mže analitički rašiti za prizvljn n... Ali 1 2 st ( ) = gd G+ F tg sin 2 Predavanje VII 15

97 ilan Hfman = cs n k st k = k 1 2 mgl css = gd G sins + gd F tg s sins 2 n 1 2 k cs s = gd G sin s + gd F tg s sin s 2 Št predstavlja prblem za analitičk rešavanje i pri n = 0 Zat se prblem rešava grafanalitički, a Skribantijeva frmula sam lakšava dređivanje st Ipak, uslv ravnteže daje jednu krisnu frmuli... Neka je k psledica pprečng pmeranja tereta = mgl cs k Št se mže rešiti p G... ml 1 G= = F tg D tg 2 2 s s T je frmula za metacentarsku visinu kju, prema IO pravilima, treba kristiti kd prbe nakretanja... Ranije sm izveli frmulu ml G = D s kja važi za suviše male uglve... Tada za uspravna rebra važi Predavanje VII 16

98 ilan Hfman Nesimetričn pterećen brd Psmatram slučaj kada je težište G van ravni simerije... npr. usled ldnesimertičng i raspreda tereta Uga s mže se drediti redukcijm težine W na tačku G G = = gd GG cs k W Brd tada legne na bk, i pliva pd nagibm s Tada je, klasičnim pstupkm Predavanje VIII 1

99 ilan Hfman Kada se vakav brd izvede iz ravntežng plžaja (plžaja s ) mment kji teži da ga vrati je st = st k Dijagram a mmenta izgleda st Plžaj plivanja brda se, prema tme, mže drediti na dva načina... Klasičn, redukcijm težine na tačku u ravni simetrije... ili uvđenjem mmenta st Značaj vg mmenta će se videti tek u predmetu Plvnst i stabilitet 2 (kd nesimetrićn štećeng brda) Sd Sada ga treba razumeti... Uslv ravnteže, kji dređuje uga statičkg nagiba s je = 0 st st ment stabiliteta nesimetričn pterećeng brda Razmisliti ispravljenju brda pprečnim pmeranjem tereta. Deluje = mgl cs k1 nasuprt mmentu k Kak se t vidi u jednm, a kak u drugm dijagramu? Kak se vidi vertikaln pmeranje tereta? y Predavanje VIII 2

100 ilan Hfman Brd sa negativnm metacentarskm visinm U slučaju G < 0 (G iznad ) plžaj = 0 je plžaj labilne ravnteže... Uklik ima pzitivan ddatni stabilitet brd mže zauzeti nvi stabilni plžaj ravnteže pd uglm s Brd legne na bk Dijagram stabiliteta je Brd se naginje... Uklik ima negativan ddatni stabilitet brd se prevrće... Treba paziti na smer st... Predavanje VIII 3

101 ilan Hfman Opasnst d G < 0 se javlja kd brdva s lakim teretm teret ppuni skladišta, a nakn tga se tvari na palubu... tg 2 = s G 2 G F = G T su kntejnerski brdvi, brdvi za prevz drveta, putnički brdvi, brdvi za prevz autmbila... Slike VIII-1, 2, 3, 4,... tg = s 2 G F Uga s se mže naći iz krive mmenta stabiliteta... ali (pšt je, p pravilu, mali) mže se kristiti i Skribantijeva frmula 1 2 st ( s ) = gd G + F tg s sins = tg 2 G+ F s = 0 2 Učiti, pčetni stabilitet st ( ) = gd G ne daje s za slučaj G < 0... Prblem G < 0 je mng kmplikvaniji (i interesantniji) neg št na prvi pgled izgleda... Predavanje VIII 4

102 ilan Hfman Dijagram mmenta stabiliteta je Ispravljanje brda pprečnim pmeranjem tereta = mg l cs k k y mg l y Brd ima dva stabilna i jedan nestabilni plžaj ravnteže... mže ležati na jednm, ili drugm bku, št zavisi d pčetnih uslva... Nagnuti ravntežni plžaj plivanja, bez dejstva spljng mmenta, je (na izgled) isti ka kd nesimetričn raspređeng tereta... Kak prveriti zašt je brd nagnut..? Kak mže?? Brd sa negativnm G se ne mže ispraviti pprečnim pmeranjem tereta... Nesreća brda Cugar Ace Predavanje VIII 5

103 ilan Hfman Uticaj tečng tereta st ( ) = gd NG sin gd AG sin st Kd pčetng stabiliteta sm izveli st ( ) = gd G gd A G ρt I x AG = st ( ) = st γt I x ρ V Sada treba rešiti prblem za veće uglve... fs Ka i u slučaju pčetng stabiliteta... dlazi d prelivanja tereta na stranu nagiba, usled čega se težište brda pmera iz G u G 1 ment stabiliteta se smenjuje st = gd h ( ) h ( ) = h r = N Gsin A Gsin Treba drediti r ( ) =?? smanjenje j kraka stabiliteta pd uticajem tečng tereta Važi r( ) = A G sin Sledi dr d = ( AG ) sin + AG cs d d ρt I x = 0: sin = 0,cs = 1, A G = A G = ρ V dr( 0) A G d = Predavanje VIII 6

104 ilan Hfman Kriva r( ) je, prema tme Ostaje jš da se dredi funkcija r( ) r mt = r D m ρ v = = D ρ V t t t r r r r =?? a kriva kraka stabiliteta sa uticajem tečng tereta je r = s K F sin F F s = v t t s dv v Pstupak kdetaljn pručen kd s krivih, sada umest urnjeng dela trupa brda tečnst u tanku... Pstji ce niz metda... kje sada treba primeniti na tankve... Predavanje VIII 7

105 ilan Hfman Odredi se r( ), dnsn fs ( ) za svaki tank... Ukupan uticaj se dbija superpzicijm r( ) = r i ( ) st ( ) = st gd ri ( ) Obiman psa... Uklik tank ima pravugani pprečni presek dbija se, analgn Skribantijevj frmuli ρti x 1 2 r( ) = 1+ tg sin ρv fs ( ) = γt I x 1+ tg sin 2 Rezultat važi sam uklik je slbdna pvršina između bčnih zidva tanka... pa rezultat (ipak) zavisi d kličine tečnsti u tanku... Uklik je ce tank blika kvadra 1 3 I x = btlt 12 3 bl T T 1 2 fs ( ) = γt 1+ tg sin 12 2 bt 1 2 fs ( ) = γt bt lt ht bt 1+ tg sin 12hT 2 v kt = ctgθt 1+ tg sin 12 2 T ( ) = γ v b k fs t T T T Predavanje VIII 8

106 ilan Hfman IO prpisi dzvljavaju i približan prračun uticaja slbdnih pvršina ( ) = γ v b k δ fs t T T T T vt δ T = l b h T T T kt = ctgθt 1+ tg sin 12 2 θ T 1 kt = ( 1+ tgθt tg) cs tg θt 1 + ctg cs 12 2 Ak je r i (30 ) < 1 cm uticaj tanka se zanemaruje... > θ T δ T?? 3.7. Dinamički stabilitet Razmtrili sm prblem za slučaj pčetng stabiliteta... Rešili snvni v slučaj slučaj ( a ) pmću linearne diferencijalne jednačine valjanja... Tada sm, pmću zakna prmeni kinetičke energije, izveli frmulu kja važi i za velike uglve nagiba d d d = d k 0 0 Iz ve frmule, dređuje se d jednačine... st i bez diferencijalne Predavanje VIII 9

107 ilan Hfman Knstruiše se dijagram statičkg stabiliteta Pvršina 1 se dređuje numeričkm integracijm... d se zatim dređuje iz neklik interacija... iz uslva pv. 1 = pv. 2 Na snvu važi d d = k 0 0 d d s d s d d + d = d + d k k st st 0 0 dnsn s s d ( ) = ( ) d d k st st k 0 s pvršina 1 pvršina 2 st s Prblem se mže rešiti i pmću dijagrama dinamičkg stabiliteta Knstruiše se kriva 0 d = A (, 0 ) = E ( ) st st st A st (0, ) rad mmenta stabiliteta d plžaja = 0 d prizvljng plžaja E st ( ) ptencijalna energija stabiliteta u dnsu na plžaja = 0 Predavanje VIII 10

108 ilan Hfman E ( ) = d = gd h( ) d st st 0 0 Est ( ) = gd h( ) d 0 E st Takđe se knstruiše kriva 0 d = A (, 0 ) k k ( ) = gd e ( ) A k (0, ) rad mmenta nakretanja d plžaja = 0 d prizvljng plžaja Iz jednačine Sledi d d = k 0 0 A ( 0, ) = E ( ) k d st d Presek krivih dređuje uga d d d Dijagram dinamičkg stabiliteta se mra slžiti s dijagramm statičkg stabiliteta... st Važe relacije de st d ( ) = st ( ) dak (, 0 ) = d k ( ) Predavanje VIII 11

109 ilan Hfman Razmatrali slučaj dinamičkg stabiliteta slučaj ( a ) Uga dinamičkg nagiba d se dređuje (alternativn) iz dijagrama statičkg stabiliteta (uga je dređen jednakšću pvršina...) i dijagrama dinamičkg stabiliteta... uga je dređen presekm krivih E st i A k Predavanje IX 1

110 ilan Hfman Neki karakteristični slučajevi dinamikg stabiliteta Slučaj bez preseka (krive E st i A k se ne seku) U dijagranu statičkg stabiliteta, t se vidi ka Ne pstji rešenje jednačine E k ( d ) = A k (0, d ) unutar psega stabiliteta Nema ugla dinamičkg nagiba... U celm psegu stabiliteta je E st ( ) < A k (0, ) pv. 1 > pv. 2 Pstji plžaj statičke ravnteže s, ali dlazi d dinamičkg prevrtanja brda Brd se prevrće... Predavanje IX 2

111 ilan Hfman Slučaj ddira (krive E st i A k se ddiruju) Pstji jedn rešenje jednačine E st ( d ) = A k (0, d ) unutar psega stabiliteta... ali takv, da krive A k i E st imaju zajedničku tangentu... pstji dinamički uga nakretanja d... Važi dest ( d ) dak ( 0, d ) = d d pv. 1 = pv. 2 ( ) = ( ) st d k d uga dinamičkg nagiba jednak je uglu labilne ravnteže Slučaj treba detaljnije analizirati... Predavanje IX 3

112 ilan Hfman Ak se mment nakretanja mal pveća k1 = k + Δk dlazi d dinamičkg prevrtanja brda Ak se mment nakretanja mal smanji k2 = k Δk brd se naginje d dinamičkg ugla d Prikazani uga = d je granični uga d kga se brd mže nagnuti, a da ne dđe d prevrtanja Zvem ga uga dinamičkg prevrtanja ( p) d a mment kji jiizaziva i taj uga je mment dinamičkg prevrtanja ( d ) k Uprediti uga statičkg i dinamičkg ( p) ( p) prevrtanja... s, d Uprediti mment statičkg i dinamičkg ( p) ( d) prevrtanja k, k Razumeti razliku... Predavanje IX 4

113 ilan Hfman Brd nagnut ka mmentu nakretanja Brd se valja amplitudm... mment (na primer vetar) zahvata ga u plžaju amplitude ka mmentu... slučaj ( b ) U dijagramu statičkg stabiliteta, t se vidi ka Iz zakna prmeni kinetičke energije... izveli frmulu d d = k d d Transfrmišem je (sličn ka ranije) s d ( ) = ( ) d d k st st k s pvršina 1 pvršina 2 st pv. 1 = pv. 2 Da je brd bi zahvaćen mmentm u plžaju bez nagiba uga d bi bi manji... Razmatrani uticaj je nepvljniji... Kak se prblem rešava prek dijagrama dinamičkg stabiliteta? Predavanje IX 5

114 ilan Hfman Jednačina d d = k d d st U dijagramu dinamičkg stabiliteta t je mže se transfrmisati u blik d 0 = + d d d k st st 0 d d d k = st d + std 0 0 E ( ) E ( ) Odakle sledi st st d d Ak(, d) = Est( ) + Est( d) Presek krivih (pet) dređuje uga dinamičkg ičk nagiba... Odnsn Da je brd bi zahvaćen mmentm u E ( ) = E ( ) + A (, ) plžaju bez nagiba... st d st k d Predavanje IX 6

115 ilan Hfman Brd nagnut d mmenta nakretanja Brd se valja amplitudm... mment (na primer vetar) zahvata ga u plžaju amplitude d mmentu... slučaj (c) S druge strane (istim pstupkm ka i ranije) dbija se jednačina E ( ) = E ( ) + A (, ) st d st k d U dijagramima se t vidi ka Iz zakna prmeni kinetičke energije... izveli frmulu d d = k d d Transfrmišem je (sličn ka ranije) s d ( ) = ( ) d d k st st k s pvršina 1 pvršina 2 st Predavanje IX 7

116 ilan Hfman Slučaj knstantng mmenta nakretanja Prblem se, narčit u slučaju vetra, čest rešava pd pretpstavkm k = cnst... Tada je k k k 0 A (, 0 ) = d = Na primer... Odrediti mment k = cnst kji zahvata brd bez nagiba i dvdi d dinamičkg prevrtanja brda... št mgućava da se prethdni slučajevi nešt jednstavnije reše... Sami prek dijagrama statičkg stabiliteta... Predavanje IX 8

117 ilan Hfman Da li zadati mment k = cnst, kji zahvata brd u najnepvljnijem plžaju valjanja, prevrće brd... Kriterijum vremenskih uslva Osnvni IO kriterijum stabiliteta (Weather Criterin) Uticaj vetra i talasa, uticaj nevremena... raju, prema Res.A 749(18), da zadvlje svi brdvi.. Ptiče iz japanskih prpisa Jamagata... U vm slučaju, ne... Scenari je sledeći... Predavanje IX 9

118 ilan Hfman Pretpstavlja se da je brd izlžen bčnj luji... srednja brzina vetra 26 m/s (10 Bf ), pstje lujni talasi (stanje mra 8, visina ii talasa tl 11 m) ) i udari vetra... Brd se, pd dejstvm vetra, nagne d ugla statičke ravnteže s1 i valja, pd dejstvm talasa, k tg plžaja amplitudm se prračunava tak da iznsi 70% reznantne amplitude valjanja brda na regularnm (sinusnm) talasu... U najnepvljnijem plžaju brda, deluje udar vetra i pvečava mment vetra za 50%... Određuje se dinamički uga nagiba brda d psle udara vetra Prpisi graničavaju vaj uga d dp ( p ) dp = d, f, 50 Rešiti prek dijagrama dinamičkg stabiliteta... Predavanje IX 10

119 ilan Hfman Nesimetričn pterećen brd Brd nagnut u smeru mmenta nakretanja Brd nagnut nasuprt mmentu nakretanja pv. 1 = pv. 2 pv. 1 = pv. 2 Dkaz sami... Zadatak se mže (alternativn) rešiti redukcijm težine na ravan simetrije... Predavanje IX 11

120 ilan Hfman Brd sa negativnm metacentarskm visinm Brd nagnut u smeru mmenta nakretanja Brd nagnut nasuprt mmentu nakretanja pv. 1 = pv. 2 pv. 1 = pv. 2 Učiti stabilne i labilne plžaje ravnteže... Predavanje IX 12

121 ilan Hfman USLOVI ZA POLAGANJE ISPITA Da bi se plži ispit iz predmeta PLOVNOST I STABILITET BRODA 1 nephdna je pzitivna cena iz sva tri dela ispita prjekat pismeni ispit usmeni ispit Za plaganje pismeng ispita nephdan pzitivn cenjen prjekat: PLAN BRODSKIH LINIJA Za plaganje usmeng dela ispita nephdn je plžiti pismeni i de ispita u istm ispitnm rku... De pismeng ispita (1. zadatak) mguće je plžiti i tkm semestra, na klkvijumu. Klkvijum nije bavezan - ne predstavlja uslv za izlazak na pismeni ispit. Ukupna cena je srednja vrednst cene prjekta, klkvijuma, k pismeng i usmeng dela ispita Prestala dva prjekta DIJAGRASKI LIST BRODA STABILITET BRODA završavaju se u kviru diplmskg rada i brane na diplmskm ispitu Predavanje IX 13

122 DODATAK SLIKE DODATAK - SLIKE D1- Slike 1

123 DODATAK SLIKE Slika I 1. Tipičan brd za prevz rasutg tereta (bulk carrier) Nazad na predavanje I... D1- Slike 2

124 DODATAK SLIKE ali brd za prevz kntejnera (fider) Obratiti pažnju na mali slbdni bk... Prt Said Brdlm na mirnm mru, nakn skretanja Kapetan kriv zbg nepravilng raspreda tereta... t Ustvari brd žrtva prpisa... Takse se plaćaju p BRT... št manje zatvreng prstra, št više kntejnera na palubi... Sistem plaćanja smišljen za drugačije brdve... Slika I - 2 D1- Slike 3

125 DODATAK SLIKE Jš drastičniji primer negativng uticaja prpisa... Nazad na predavanje I... Slika I - 3 Brdvi na Velikim Jezerima, dk su se takse plaćale u zavisnsti d pvršine palube... D1- Slike 4

126 DODATAK SLIKE Slika II-1. Brzi katamaran jedan d mgućih kmprmisa stabiliteta i tpra brda D1- Slike 5

127 DODATAK SLIKE Slika II-2. Trimaran eksperimentalna fregata TRITON Nazad na predavanje (II-6) D1- Slike 6

128 DODATAK SLIKE Slika II-3. Uga nagiba d k 30 (najčešće) nije pasan za brd, i mrnari sa slike t znaju... Neke putnike hvata panika već pri uglu nagiba d 12 - tzv. uglu panike... Nazad na predavanje (II-10) D1- Slike 7

129 DODATAK SLIKE Slika III-1. Realni uslvi u bčnj luji. Uz vetar, tu su i talasi, brd se ljulja tak da nema statičkih rešenja... Nazad na predavanje (III-1) D1- Slike 8

130 DODATAK SLIKE Slika III-2. Brdvi kji su, zbg velike lateralne pvršine, setljivi na bčni vetar... Kntejnerski brdvi D1- Slike 9

131 DODATAK SLIKE Slika III-3. Putnički brdvi D1- Slike 10

132 DODATAK SLIKE Slika III-4. Brdvi za prevz autmbila Nazad na predavanje (III-4) D1- Slike 11

133 DODATAK SLIKE Slika III-5. Prazan kntejnerski brd u krugu kretanja... Nazad na predavanja (III-5) D1- Slike 12

134 DODATAK SLIKE Slika III-6. Brzi brd (nsač avina) nagnut usled skretanja... Nazad na predavanje (III-7)... D1- Slike 13

135 DODATAK SLIKE Slika III-7. Pstji niz havarija u kjima je s skretanje digral značajnu ulgu... Brd Turija... Exelsir, Keln 2007 Dngedijk, Prt Said Nazad na predavanje (III-7)... D1- Slike 14

136 DODATAK SLIKE Slika III-8. Gliseri se, pri skretanju, naginju ka centru krivine... Nazad na predavanje (III-7) D1- Slike 15

137 DODATAK SLIKE Slika III-8. Primeri tegljenja D1- Slike 16

138 DODATAK SLIKE Slika III-9. Nazad na predavanje (III-8)... D1- Slike 17

139 DODATAK SLIKE Slika III-10. Remrker upravan na brd kji treba da tegli. Uže nije zategnut... Nazad na predavanje (III-8)... D1- Slike 18

140 DODATAK SLIKE Slika IV-1. Primer visećeg tereta: Plveća dizalica nsi dizalicu za kntejnere na kuki... Nazad na predavanje (IV-1)... D1- Slike 19

141 DODATAK SLIKE Slika IV-2. Herald f Free Enterprze pre brdlma D1- Slike 20

142 DODATAK SLIKE SlikaIV-3. Psle nesreće (Zebig, Belgija 1987) D1- Slike 21

143 DODATAK SLIKE Slika IV-5 D1- Slike 22

144 DODATAK SLIKE Slika IV-6. D1- Slike 23

145 DODATAK SLIKE Slika IV-7. Estnija D1- Slike 24

146 DODATAK SLIKE Slika IV-8. Simulacija brdlma (brd Estnija, 1994) Nazad na predavanje (IV-8) D1- Slike 25

147 DODATAK SLIKE Slika V-1. Tipičan srednjvekvni jedrenjak D1- Slike 26

148 DODATAK SLIKE Slika V-2. Bjni brdvi k Bitka kd Tušime I svetski rat D1- Slike 27

149 DODATAK SLIKE Slika V-3. Pnv, STELT tehnlgija... D1- Slike 28

150 DODATAK SLIKE Slika V-4. D1- Slike 29

151 DODATAK SLIKE Slika V-5. D1- Slike 30

152 DODATAK SLIKE 2008.?? Slika V-6. Nazad na predavanja (V-18) D1- Slike 31

153 DODATAK SLIKE Jedrilica sa približn kružnim rebrima... Nazad na predavanje (VI-9) D1- Slike 32

154 DODATAK SLIKE Plan rebara tipičng teretng brda Nazad na predavanja (VI-11) D1- Slike 33

155 DODATAK SLIKE Primeri brdva kd kjih pstji pasnst negativne d metacentarske visine Slika VIII-1. Brd za prevz drveta D1- Slike 34

156 DODATAK SLIKE Slika VIII-2. Brd za prevz autmbila D1- Slike 35

157 DODATAK SLIKE Slika VIII-3. Da li je brd lega na bk usled negativne metacentarske visine? D1- Slike 36

158 DODATAK SLIKE Slika VIII-4. derni putnički brd - kruzer D1- Slike 37

159 DODATAK SLIKE Slika VIII-5. Jš jedan putnički brd D1- Slike 38

160 DODATAK SLIKE Slika VIII-6. Kntejnerski brd D1- Slike 39

161 DODATAK SLIKE Slika VIII-7. Kntejnerski brd D1- Slike 40

162 DODATAK SLIKE Slika VIII-9. ali kntejnerski brd - fider Nazad... D1- Slike 41