Σεµινάρι Αυτµάτυ Ελέγχυ Μάθηµα 3 Γενικευµένς τόπς ριζών Συστήµατα µε θετική ανάδραση Καλλιγερόπυλς 3
Γενικευµένς τόπς ριζών Έστω ανιχτό σύστηµα µε συνάρτηση µεταράς: G µε,, ρίζες και,, πόλυς > Ορισµός Γενικευµένς τόπς ριζών total root locu ενός κλειστύ συστήµατς ελέγχυ µε δεδµένη συνάρτηση µεταράς ανιχτύ συστήµατς G και µεταβλητή παράµετρ τ κέρδς, νµάζεται γεωµετρικός τόπς των πόλων τυ κλειστύ συστήµατς ελέγχυ στ µιγαδικό επίπεδ, για διάρες τιµές τυ κέρδυς, µε < <, δηλαδή για > και < Οι πόλι,,, αυτύ τυ κλειστύ συστήµατς απτελύν λύση της χαρακτηριστικής τυ εξίσωσης για > και < Γενική χαρακτηριστική εξίσωση ή G, δηλαδή G Από τη σχέση αυτή πρκύπτυν αντίστιχα τα γενικά κριτήρια µέτρων και γωνιών, πυ διαρπιύνται για > και < 3
3 3 Ο γενικευµένς τόπς ριζών πρκύπτει από τη σύνθεση δύ απλών τόπων ριζών κλειστών συστηµάτων, µε αρνητική και µε θετική αντίστιχα ανάδραση > < ή > G G G G G G G Οπότε: 8 και G Οπότε: 36 ή και Από τις σχέσεις αυτές πρκύπτυν ι κανόνες σχεδιασµύ τυ γενικευµένυ τόπυ ριζών
Πίνακας κανόνων σχεδιασµύ τυ γενικευµένυ τόπυ ριζών Για Κ > Για Κ < Οι πόλι,,, τυ ανιχτύ συστήµατς είναι αετηρίες των κλάδων τυ τόπυ ριζών για Οι πόλι,,, τυ ανιχτύ συστήµατς είναι καταλήξεις των κλάδων τυ τόπυ ριζών για Οι ρίζες,, τυ ανιχτύ συστήµατς απτελύν καταλήξεις των κλάδων τυ τόπυ ριζών για Οι ρίζες,, τυ ανιχτύ συστήµατς απτελύν αετηρίες των κλάδων τυ τόπυ ριζών για 3 Πάνω στν πραγµατικό άξνα, τµήµα τυ τόπυ ριζών είναι κάθε περιττό διάστηµα µεταξύ πόλων ή ριζών τυ ανιχτύ συστήµατς Πάνω στν πραγµατικό άξνα, τµήµα τυ τόπυ ριζών είναι κάθε άρτι διάστηµα µεταξύ πόλων ή ριζών τυ ανιχτύ συστήµατς 4 Τα σηµεία διακλάδωσης τυ τόπυ ριζών πρκύπτυν από τη σχέση: dg d και είναι όσα εµπίπτυν στα περιττά τµήµατα Τα σηµεία διακλάδωσης τυ τόπυ ριζών πρκύπτυν από τη σχέση: dg d και είναι όσα εµπίπτυν στα άρτια τµήµατα 3 4
5 Oι ελεύθερι κλάδι τυ τόπυ ριζών πυ δηγύνται στ άπειρ, πρσεγγίζυν ασύµπτωτες ευθείες πυ ρίζνται από τις σχέσεις: Oι ελεύθερι κλάδι τυ τόπυ ριζών πυ δηγύνται στ άπειρ, πρσεγγίζυν ασύµπτωτες ευθείες πυ ρίζνται από τις σχέσεις: και λ 8 o και λ8 o µε λ,,, µε λ,,, 6 Τα σηµεία τµής τυ τόπυ ριζών µε τ ανταστικό άξνα ω, υπλγίζνται από τη χαρακτηριστική εξίσωση για jω : jω jω jω, πότε Re jω και I jω Τα σηµεία τµής τυ τόπυ ριζών µε τ ανταστικό άξνα ω, υπλγίζνται από τη χαρακτηριστική εξίσωση για jω : jω jω jω, πότε Re jω και I jω 7 Τ κριτήρι γωνιών είναι: 8 Τ κριτήρι γωνιών είναι: 36 ή γενικότερα λ 8 ή γενικότερα λ 8 8 Τ κριτήρι µέτρων είναι: Τ κριτήρι µέτρων είναι: 3 5
Παραδείγµατα Παράδειγµα : ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταράς: G 4 4 8 8 Ασύµπτωτες:, λ λ λ 6, 3 3 δηλαδή για > και λ ν περιττό είναι 6,8, 3 και για < και λ ν άρτι είναι,, 4 dg Σηµεί διακλάδωσης:, πότε 3 8 d Οπότε: διακ, 8 για > 3 για < Σηµεία τµής µε τ ανταστικό άξνα: Χαρακτηριστική εξίσωση: 3 6 8 Για jω είναι: 3 jω 6ω 8 jω ή 6ω jω8 ω, πότε πρέπει: ω 8 και άρα: ω 8, 48 6ω, Σύστηµα ευσταθές για < < 48 και ασταθές για κάθε > 48 και < 3 6
4 Παράδειγµα : ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταράς: G 3 8 8 Μία ασύµπτωτς: λ λ λ 8, δηλαδή για > 8 και για < dg 3 Σηµεί διακλάδωσης:, πότε 6 6 83 d ή 4 95 για > Οπότε: διακ, και διακ3,4 5 για < Σηµεία τµής µε τ ανταστικό άξνα: 3 3 Χαρακτηριστική εξίσωση: 6 8 6 8 Για 3 jω είναι: jω ω 6jω 8 ή 8 ω jω6 ω, πότε πρέπει: ω 8 και 6 ω, άρα: 8 ω, 35 Γωνίες εξόδυ για > και εισόδυ για < στν πλλαπλό πόλ :,,3 Για > : Για < : 3 8, 3 36, άρα άρα 8 6 3 36 3 Σύστηµα ευσταθές για > 35 και ασταθές για κάθε < 35 3 7
Παράδειγµα 3: ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταράς: 8 8 Μία ασύµπτωτς: λ λ λ 8, 4 G δηλαδή για > και για < 8 dg Σηµεί διακλάδωσης:, πότε 6 6 8 d 49 για < ή 4 Οπότε: διακ, 9 για < Σηµεία τµής µε τ ανταστικό άξνα: Για Χαρακτηριστική εξίσωση: 6 8 6 8 jω είναι: ω 6 jω 8 ή ω 8 jω6, πότε πρέπει: ω 6 και ω 8, άρα: ω, 5 ή 8 7 και ω 3 9 άρα ω 3 7 Σύστηµα ευσταθές για > 5 και < 7 και ασταθές για κάθε 7 < < 5 3 8
Γενικευµένς τόπς ριζών Σύνψη G :, :, ρίζες πόλι Γενική χαρακτηριστική εξίσωση κλειστύ συστήµατς,,, : πόλι κλειστύ συστήµατς Ορισµός: Γενικευµένς τόπς ριζών είναι τ διάγραµµα των πόλων,,, τυ κλειστύ συστήµατς στ µιγαδικό επίπεδ συναρτήσει τυ κέρδυς, για > και < Κανόνες σχεδιασµύ Για Κ > Για Κ < Πόλι,,, : αετηρίες για καταλήξεις Ρίζες,, : καταλήξεις για αετηρίες 3 Στν πραγµατικό άξνα: κάθε περιττό διάστηµα άρτι dg 4 Σηµεία διακλάδωσης: διακ d 5 Ασύµπτωτες: o λ 8 µε,,, λ 6 Σηµεία τµής µε τ ανταστικό άξνα: jω Re jω j I jω ω, λ8 o 7 Κριτήρι γωνιών: 8 36 8 Κριτήρι µέτρων: 3 9