0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA. ri maksimalnoj potrošnji max = 00 l/s u odoodnom sustau prema slici pumpa dobalja 7% protoka, a akumulacijsko jezero %. Stupanj djeloanja pumpe je η =0,8, a lokalni ubici su ranomjerno rasporeñeni po mreži i iznose 6% od linijski ubitaka. Odredite pretlak u točki 4, snau pumpe i snau koja se troši na sladaanje ubitaka. Koliki je stupanj djeloanja cjeooda? Zadano je: ρ=000 k/m, ν =, 0-6 m /s, =68 m, L =890 m, L =6 m, L =4 m, =40 mm, k=0,04 mm., k z=0 0, k A, k max 4 A ρ,ν Rješenje: max = 0, m s = 0, =0,07 m s A = max 0, 7 max =0, m s Linijski ubici u dijelu cjeooda od točke do točke L 8 L 8 π π f -= λ = λ 4 Linijski +lokalni ubici u dijelu cjeooda od točke do točke L 8 F-= f -+ 0,06 f -=,06 λ π
0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA Re πν = = 4,9 0 k = 0, 000 F-= 6,70 m λ = 0, 047 Linijski +lokalni ubici u dijelu cjeooda od točke do točke 4 L 8max F -4=,06 λ π Re πν,8 0 max = = k = 0, 000 λ = 0, 04 = 9,49 m F -4 Linijski +lokalni ubici u dijelu cjeooda od točke do točke L 8A F -=,06 λ π Re πν A = =,9 0 k = 0, 000 λ = 0, 074 = 0,0994 m F - M.B.J. -4 p/ M p M4 4 + = + + + ρ ρ F - F -4 8ρ p ( ) π p = 70, a =,7 bar max M4= ρ F -+ F -4 4 M4
0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA M.B.J. 0-4 (uz zanemarenje ubitaka u usisnom dijelu cjeooda-od usisa do pumpe) p ρ = 74,6 m M4 4 = + + F-+ F -4 = ρ = 6460,9 W=64,6 kw M η = = 0,76 kw Snaa za saladaanje ubitaka cjeooda = ρ + ρ + ρ F F F- max F-4 A F- = 4,8 kw Stupanj djeloanja cjeooda η p + ρ 4 max M4 4 u točki 4 c = = + A + A ρ η c = 0,8007
0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA 4. Treba odrediti isinu, protok i snau F koja se troši na sladaanje trenja, u situaciji prema slici. Koliku bi isinu id doseao mlaz i koliki bi bio protok id da je fluid idealan. Zadano je: ρ=999 k/m, ν=,. 0-6 m /s, =6 mm, d=0 mm, L uk =9,9 m, k=0,04 mm, =,4 m, K k =0,9, K u =0,, K m =0,0 (uz izlaznu brzinu), p M0 =0,86 bar. p M0 K u ρ, ν, k =? K m d K k L uk K k Rješenje: Osnoni zadatak u oom primjeru je naći protok, odnosno brzinu na izlazu iz mlaznice jer je tada jednostano odrediti isinu koju će dosenuti mlaz. Zadatak se kao i uijek rješaa primjenom modificirane Bernoullijee jednadžbe i jednadžbe kontinuiteta. Na slici (a) su ucrtane karakteristične točke sustaa. Točka p M0 0 0 se nalazi na slobodnoj poršini fluida u elikom spremniku, tako da ρ, ν =? je brzina u točki 0 jednaka nuli. K u d Neka je izlazna brzina u točki označena sa, a brzina strujanja u cijei s. Ukupni lokalni i linijski z=0 ubici meaničke enerije su, k K m K k K k Slika (a) L uk F = ( Ku + Kk ) + K L m + λ (a) dje je lokalni ubitak u mlaznici izračunat s izlaznom brzinom. Modificirana Bernoullijea jednadžba od točke 0 do točke lasi pm0 F ρ + = + (b) a jednadžba kontinuiteta π d π = = (c) 4 4 Ako se brzine i u jednadžbama (a) i (b) izraze s pomoću protoka, te jednadžba (a) ursti u jednadžbu (b), slijedi izraz
0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA L u k 8 + K K + K + λ m p M0 + 4 4 = + (d) π d ρ U ornjem su izrazu nepoznati protok i koeficijent trenja λ, koji zaisi od protoka, te će za odreñianje protoka trebati primijeniti iteratini postupak. Za tu sru će se u izraz (d) urstiti se poznate eličine, nakon čea se dobia,6 { } = (e) m s 6 6,4 0 + 8, 0 λ Reynoldso broj izražen s pomoću protoka je 6 Re = 7, 0 { } m s π ν = (f) U izrazima (e) i (f) se konstante su dimenzijske, a s obzirom da su se eličine urštaane u SI sustau jedinica, protok će biti izražen u m /s. Koeficijent trenja λ za turbulentno strujanje se računa iz izraza, λ = () k,74 ln +,7 0,9 Re Iteratini postupak započinje s pretpostaljenom rijednošću koeficijenta trenja λ u režimu potpuno izražene rapaosti, koja se dobije iz izraza () za Re. Nakon toa se iz izraza (e) računa protok, a iz izraza (f) Reynoldso broj koji uršten u izraz () daje koriiranu rijednost koeficijenta trenja λ, s kojom započinje noa iteracija. Rezultati iteratino postupka su sumirani u sljedećoj tablici Broj iteracije λ, m /s Re 0 0,080 0,00 0,00 0,0096 0,00900 0,00900,60. 0,9. 0 Očito se protok u posljednje dije iteracije slaže u pre četiri sinifikantne znamenke te se iteratini postupak prekida i usaja =9, l/s. Iz jednadžbe (c) slijede brzine =,77 m/s i =,0 m/s, a iz jednadžbe (a) uz λ=0,00 prema ornjoj tablici F =,4 m. Snaa koja se troši na sladaanje ubitaka je F = ρ F = 9 W. Visina koju dosene mlaz se odreñuje iz Bernoullijee jednadžbe od točke do točke prema slici (a). U obje točke lada atmosferski tlak, a s obzirom da je točka najiša točka mlaza, u njoj je brzina jednaka nuli. Ako se zanemari utjecaj sile trenja izmeñu mlaza i okolne atmosfere, može se trditi da od točke do točke nema ubitaka meaničke enerije, te rijedi 8,64 m = = () Kada bi fluid bio idealan, tj. strujanje bez ubitaka meaničke enerije, brzina strujanja bi se računala na temelju Bernoullijee jednadžbe koja ima oblik jednadžbe (b) uz F =0, odnosno id = pm0 + = 4,8 m s (i) ρ rotok bi bio id =0, l/s, a mlaz bi dosenuo isinu id =,8 m. Napomena: Kao što je kod istjecanja fluida kroz otor na elikom spremniku ueden koeficijent korekcije brzine C, tako bi se i u oom slučaju moao definirati isti taj koeficijent kao odnos starne i idealne brzine strujanja što bi u oom slučaju bilo
0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA 6 C = = 0,878 (j) id U oom slučaju koeficijent C obuaća se lokalne i linijske ubitke meaničke enerije, koji se takoñer mou pokazati jednim jedinstenim koeficijentom lokalno ubitka uz izlaznu brzinu Kuk = = 0, 94 (k) C Isti taj koeficijent se može izračunati iz izraza (a) uz ujet uk m u k =, tj. F K uk L K = K + K + K + λ = 0, 94. (l)
0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA 7. Odredite promjer cjeooda da bi razina fluida u spremniku prema slici ostala konstantna. Zadano je: ρ=997 k/m, ν =0,86 0-6 m /s, =8, m, =,4 m, L =898 m, =00 mm, k =k =0,0 mm i L =60 m. ρ L,, k =? ρ L, k, =? Rješenje: U oom primjeru imamo istjecanje fluida iz eliko spremnika, u spremnik konačni dimenzija, iz koje fluid istječe u atmosferu. Traži se da razina fluida u spremniku ostane konstantna, te je prema jednadžbi kontinuiteta jasno da protok kojim fluid utiče u spremnik mora biti jednak protoku kojim fluid iz njea istječe. Budući je zadana isinska razlika, te si podaci za cjeood izmeñu spremnika i, mouće je izračunati protok, kojim fluid utiče u spremnik, a zatim se treba odrediti promjer, da bi fluid istim tim protokom istjecao iz spremnika. rotok će se odrediti iz modificirane Bernoullijee jednadžbe, koja postaljena od točke na slobodnoj poršini u spremniku, do točke na slobodnoj poršini u spremniku. Uzimajući u obzir da su brzine na obje slobodne poršine jednake nuli, te da izmeñu točaka i imamo lokalni ubitak utjecanja u spremnik (K=) modificirana Bernoullijea jednadžba lasi: pa pa L + = + K + λ (a) ρ ρ a brzina u cjeoodu izmeñu spremnika i se može izraziti preko protoka u obliku = (b) π Kombinacijom izraza (a) i (b) slijedi 8 = ( + λl ), π odnosno traženi protok je = π 8( + λ L ) Urštaanjem zadani eličina iz ornje izraza slijedi 0, 64 { } = m /s 0, + 898λ dje je (c) (d)
0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA 8 i, λ = k,74 ln +,7 0,9 Re Re e 4 7, 4 0 { } 6 = = = (f) m /s ν π υ rotok se odreñuje iteratino iz izraza (d), (e) i (f), s tim da iteratini postupak započinjemo s izrazom (e) uz pretpostaku Re =. Nakon odreñianja λ, odreñuje se protok prema izrazu (d), a zatim Reynoldso broj prema izrazu (f), nakon čea se ponoo može izračunati λ prema izrazu (e). Tablica se popunjaa se dok se protok ne prestane mijenjati u pre tri znamenke. (e) Iteracije λ [m /s] Re 0 0,09 0,080,947 0 0,04 0,079,467 0 0,04 0,07,44 0 0,04 0,07 Iz tablice je očito da je strujanje turbulentno jer je Reynoldso broj daleko eći od kritične rijednosti 00, što opradaa i pretpostaku da je koeficijent ispraka kinetičke enerije približno jednak jedinici. Budući se protok prestao mijenjati u pre tri znamenke nakon drue iteracije, za rješenje se uzima konačna rijednost =7, l/s. Nakon što je odreñen protok kroz pru cije, traži se promjer drue cijei da bi kroz nju fluid strujao jednakim protokom. romjer će se odrediti iz modificirane Bernoullijee jednadžbe (M.B.J.) postaljene od točke na slobodnoj poršini spremnika, dje lada atmosferski tlak, a brzina strujanja je nula, do točke u mlazu, na izlazu iz cjeooda, dje je tlak jednak atmosferskom tlaku, a brzina mlaza jednaka brzini u cjeoodu =. Uzimajući u obzir linijske ubitke π M.B.J. lasi 8 = + λ L = ( λl + ) () π odakle je 8 = ( + λl ) () π Urštaanjem si zadani rijednosti u izraz () slijedi: { } { } = 0,4 ( + 60 λ ) (i) m m dje je, λ = (j) k,74 ln +,7 0,9 Re i Reynoldso broj 0887 Re = = (k) πν { } m
0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA 9 romjer će se takoñer odrediti iteratino iz izraza (i), (j) i (k), pri čemu je iteratini postupak mouće započeti pretpostakom bilo koje eličine. Sljedeća tablica prikazuje rezultate dobiene u iteratinom postupku koji započinje s pretpostakom = =0, m. Na kraju bi dobili isti rezultat da se krenulo i s nekom druom rijednošću promjera. Iteracije [m] k / Re λ 0 0,000 0,000,40 0 0,00 0,80 0,00007 4,99 0 0,0446 0,7 0,000074,998 0 0,040 0,7 Iz tablice je očito da se nakon drue iteracije promjer prestao mijenjati u pre četiri znamenke, pa se za konačno rješenje usaja =7 mm.
0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA 0 4. Treba odrediti snau koju pumpa predaje fluidu u sustau za lañenje kada je izeden kao otoreni, prema slici (a), te kao zatoreni prema slici (b). U oba je slučaja protok u sustau = l/s, a promjenu ustoće i iskoznosti s temperaturom se može zanemariti. Zadano je: ρ=998, k/m, ν=,. 0-6 m /s, L a =0,4 m, =80 mm, k=0,0 mm, =,4 m, =0, m, si lokalni ubici u otorenom sustau ΣK a =4,, a u zatorenom ΣK b =4,8, L b =L a +. lañeni objekt lañeni objekt L a L b=l a+ k k ladnjak pumpa ρ, ν pumpa = a? = b? (a) (b) Rješenje: lañeni objekt z=0 0 ρ, ν Slika (a) Otoreni susta roblem strujanja u otorenom sustau će se riješiti postaljanjem modificirane Bernoullijee jednadžbe od točke 0 na slobodnoj poršini spremnika do točke na izlazi iz cijei sustaa za lañenje, kao što je prikazano na slici (a). U otorenom sustau za lañenje cirkulira stalno jedan te isti fluid, te se može pretpostaiti da je razina fluida u spremniku stalno na istoj isini te da je brzina strujanja u točki 0 približno jednaka nuli. rema tome je očito da je kinetička enerija mlaza u točki sa stajališta strujanja izubljena. Ako se usoji da se ranina z=0 poklapa sa slobodnom poršinom u spremniku, modificirana Bernoullijea jednadžba od točke 0 do točke lasi La p = + + Ka + λ (a)
0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA iz koje je očito da će se isina dobae pumpe trošiti na sladaanje eodetske isine, lokalni i linijski ubitaka, a da će se dio isine dobae pretoriti u kinetičku eneriju izlazno mlaza. Tražena se isina dobae pumpe može izračunati direktno iz izraza (a) jer su poznati i protok i promjer cjeooda. Brzina strujanja fluida je = = 0,99 m s (b) π Reynoldso broj je 4 Re = = 6,6 0 (c) ν iz čea se zaključuje da je strujanje u cijei turbulentno, te se koeficijent trenja λ računa iz izraza, λ = (d) k,74 ln +,7 0,9 Re što uršteno u izraz (a) daje isinu dobae pumpe p =,8 m. Snaa koju pumpa predaje fluidu je tada a = ρp = 7,4 W (e) lañeni objekt ladnjak Slika (b) prikazuje zatoreni susta lañenja u kojem cirkulira jedan te isti rasladni fluid. U oom su slučaju strujnice zatorene kriulje, te se modificirana Bernoullijea jednadžba može postaiti npr. od ulaza u pumpu, točka na slici (b), duž strujnice kroz pumpu, lañeni objekt i ladnjak ponoo do točke na ulazu u pumpu. S obzirom da polazna točka odoara dolaznoj u Bernoullijeoj jednadžbi se izjednačuju doedena enerija i enerija ubitaka, tj. rijedi Lb p = K + λ (f) b Iz ornje je jednadžbe očito da će se isina dobae pumpe trošiti samo na sladaanje lokalni i linijski ubitaka trenja. Brzina i koeficijent trenja λ su jednaki kao i u pretodnom slučaju, te je p = 0,4 m. Slika (b) Zatoreni susta Snaa pumpe u oom slučaju je b = ρp = 0,6 W () Očito je u zatorenom sustau potrebna puno manja snaa pumpe neo u otorenom jer u zatorenom sustau nije potrebno sladaati eodetsku isinu, a nema ni ubitka kinetičke enerije.
0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA. Treba odrediti promjer cjeooda da bi se na izlazu iz mlaznice dobilo 9% raspoložie potencijalne enerije u obliku kinetičke enerije izlazno mlaza uz protok od =0, m /s. Koliki je promjer mlaznice. Zadano je: ρ=998, k/m, ν=,9. 0-6 m /s, L=90 m, k=0, mm, =74 m, K u =0,, K m =0,06. ρ,ν K u =? L, k K m Rješenje: Odje se radi o cjeoodu koji doodi fluid iz akumulacijsko jezera do elton turbine, dje se traži da se turbini priede što iše raspoložie enerije. Zbo toa će se fluid transportirati kroz cjeood eliko promjera, u kojem će strujanje biti malom brzinom, te će i ubici meaničke enerije biti mali. red mlaznicom će tlak biti isok, a u mlaznici će se ta enerija tlaka pretoriti u kinetičku eneriju mlaza. ρ,ν K u 0 Slika (a) K m Slika (a) prikazuje cjeood s ucrtanim karakterističnim točkama. U točki na ulazu u cjeood nastaje lokalni ubitak meaničke enerije koji se obračunaa kroz koeficijent lokalno ubitka K u, od točke do točke postoje linijski ubici, a od točke do točke, ponoo lokalni ubitak u mlaznici koji je zadan koeficijentom K m lokalno ubitka. S obzirom da nije nalašeno uz koju se isinu brzine računa oaj lokalni ubitak, podrazumijea se eća isina brzine, a u oom slučaju to je izlazna brzina. Visinska razlika označuje raspoložiu potencijalnu eneriju po jedinici težine fluida, a kinetička enerija mlaza po jedinici težine fluida je, dje je brzina mlaza. Traži se da kinetička enerija mlaza bude 9% raspoložie potencijalne enerije, tj. 0,9 = (a) odakle je brzina =70, m/s. romjer mlaznice koji će osiurati traženu brzinu kod zadano protoka slijedi iz jednadžbe kontinuiteta = = 00 mm (b) π romjer cjeooda će se odrediti iz modificirane Bernoullijee jednadžbe, koja postaljena od točke 0 do točke lasi
0. VJEŽBA - RIJEŠENI ZAACI IZ MEANIKE FLUIA L = + Km + Ku + λ (c) i jednadžbe kontinuiteta π π = = (d) 4 4 dje je sa označena brzina u cijei promjera. Urštaanjem jednadžbe (d) u (c) se dobia 8 = ( + Km ) + ( Ku + λl) (e) π iz koje se može izraziti promjer u obliku ( + λ ) 8 Ku L { } { } m m π ( + Km ) = = 0,6 0, + 90λ Reynoldso broj je 6,7 0 Re = = π ν () { } m Iz jednadžbe (f) je očito da za odreñianje promjera treba poznaati koeficijent trenja λ koji je funkcija Reynoldsoa broja, a za čije je odreñianje potrebno poznaati promjer, te je očito nužan iteratini postupak. Iteratini postupak započinje pretpostaljanjem promjera. Jedan od načina je da se u jednadžbi (f) pretpostai koeficijent trenja λ=0,0, a da se član 0, zanemari. Tada je 0 = 0,6 90 0,0 = 0, 49 m () Sljedeća tablica prikazuje rezultate iteratino postupka koji započinje s rijednošću 0. Broj iteracije, m k Re λ 0,000407,4. 0 6 0,06 0,0004,0. 0 6 0,066 0 0,49 0,479 0,474 U ornjoj tablici je koeficijent trenja λ izračunat iz izraza (7.6) jer se očito radi o turbulentnom strujanju. Vrijednost promjera u ornjoj tablici se prestala mijenjati u pre tri znamenke te se može usojiti da je konačna rijednost =474 mm. Isti bi se rezultat dobio da se krenulo od neke drue rijednosti promjera 0. Za kontrolu se može izračunati brzinu = π =, m s, koja urštena u polaznu modificiranu Bernoullijeu jednadžbu (c) daje isinu =7,9 m, što se rlo dobro slaže sa zadanom rijednošću =74 m, te je time dokazana točnost rezultata. (f)