9. HIDARAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA

Transcript

1 MEHANIKA FLUIDA HIDARAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA 7 9. HIDARAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA 9. Osnone jednadžbe Hidraulički proračun cjeooda se temelji na jednadžbi kontinuiteta = A= konst. i modificiranoj Bernoullijeoj jednadžbi, koja za strujanje od presjeka prema presjeku cijei glasi p + α + z+ h p P ht = + α + z+ h F ρg g ρg g gdje je h P isina dobae pumpe, h T pad isine energije u turbini, a h F ukupna isina gubitaka između promatranih presjeka. Visina h F gubitaka mehaničke energije (pretorbe mehaničke energije u unutarnju) se dijeli na linijske gubitke h f i lokalne gubitke h fm, tj. rijedi h = h + h. F f fm 9. Modeliranje linijskih gubitaka Linijski gubici h f se modeliraju s pomoću izraza Darcy-Weissbacha koji glasi pf L 8L hf = = λ = λ 5 ρg D g π D g gdje je λ faktor trenja koji je određen eksperimentalno, a u općem je slučaju funkcija Reynoldsoa broja ρd 4ρ D 4 Re = = ili Re = = µ π Dµ υ πdυ

2 MEHANIKA FLUIDA HIDARAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA 73 i relatine isine k/d hrapaosti stijenke cijei. U gornjim izrazima: L je duljina cjeooda; D je promjer cjeooda; je srednja brzina strujanja fluida; je protok; µ je dinamička iskoznost fluida, a υ = µ / ρ kinematička iskoznost. Za strujanje u okruglim cijeima se uzima da je ono laminarno do Re=300, a pri išim Reynodsoim brojeima se uzima da je turbulentno, iako je u području Reynoldsoa broja od 300 do približno 4000 faktor trenja rlo nepredidi, te je pouzdanost proračuna slaba. Za laminarno strujanje postoji analitičko rješenje za faktor trenja 64 λ =, za Re<300 Re iz kojeg je jasno da faktor trenja u laminarnom strujanju ne zaisi od hrapaosti stijenke cijei. U području turbulentnog strujanja najtočnijom se smatra formula Colebrooka koja glasi 59 0, ln 0, 698 k, = + λ D Re λ Iz koje bi se faktor trenja odredio iteratinim postupkom, što je nepraktično, te se preporuča koristiti eksplicitnu formulu Swamee-Jain, koja je dooljno točna, a primjenjia praktički za čitao područje Moodyjea dijagrama uz Re>5000, a koja glasi, 35 λ = k 574, ln ,, D Re Oaj izraz rijedi i za hidraulički glatke cijei (k/d=0) i za područje potpuno izražene turbulencije ( Re ). Zaisnost faktora trenja λ od Reynoldsoa broja Re i relatine isine k/d hrapaosti stijenke cijei je prikazana grafički Moodyeim dijagramom, prema sljedećoj slici. Uz dijagram su dane neke tipične isine hrapaosti stijenke.

3 MEHANIKA FLUIDA HIDARAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA 74 Moodyje dijagram

4 MEHANIKA FLUIDA HIDARAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA 75 Treba imati na umu da prikazani model linijskih gubitaka rijedi za strujanje ustaljenim (izobraženim) profilom brzine, gdje je pad tlaka uslijed trenja linearno razmjeran duljini cjeooda. U određenim dionicama cjeooda, npr. ulazni dio cjeooda priključen na eliki spremnik, strujanje iza koljena, entila, naglog proširenja i slično, strujanje neće biti ustaljenim profilom. U realnim cjeoodima je duljina dionica u kojima je strujanje ustaljenim profilom brzine obično puno eća od duljine dionica s neustaljenim profilom te se prikazani model s dooljnom točnošću može primijeniti na čitau duljinu cjeooda. 9.3 Modeliranje lokalnih gubitaka Lokalni gubici strujanja nastaju pri strujanju kroz koljena, entile, zasune, filtre, nagla proširenja i slično. Gledajući lokalno u sim nabrojanim situacijama, strujanje je trodimenzijsko, ali se pretpostalja da su dimenzije prostora u kojem se to strujanje događa zanemario male u odnosu na ukupnu duljinu cjeooda pa se taka prostor može smatrati točkom cjeoodnog sustaa, a nastali gubitak lokalnim ili mjesnim. Jasno je da je gubitak mehaničke energije ezan uz strujanje pa će i isina lokalnih gubitaka biti razmjerna isini kinetičke energije u obliku 8 hfm = K = K 4 g π D g gdje je K koeficijent lokalnog gubitka. Usporedbom Darcy-Weissbachoe formule s gornjim izrazom može se reći da se i linijski gubici mogu izraziti koeficijentom gubitka K = λ L D. U općem je slučaju koeficijent K funkcija Reynoldsoa broja i relatine isine hrapaosti stijenke. Kao što i faktor trenja λ pri isokim rijednostima Reynoldsoa broja postaje konstantnim tako se i koeficijent lokalnog gubitka može smatrati konstantnim pri isokim rijednostima Reynoldsoa broja. Za slučaj da ulazna i izlazna brzina nisu jednake uz koeficijent lokalnog gubitka mora točno stajati na koju isinu kinetičke energije se on odnosi, iako se najčešće koristi najeća isina kinetičke energije. Tako je na sljedećoj slici definiran koeficijent lokalnog gubitka naglog proširenja (koji se može dobiti teorijskim razmatranjima), a s obzirom da ulazna i izlazna brzina nisu jednake definiran je i izraz za isinu lokalnih gubitaka da se zna uz koju isinu kinetičke energije se gubici računaju. D D D K = D hfm = K g Posebni slučaj naglog proširenja je utjecanje u eliki spremnik gdje se može uzeti da je D >> D te rijedi da je K=, kao što je i prije prikazano. Sljedeća tablica daje pregled nekih tipičnih lokalnih gubitaka. Lokalni gubitak Koeficijent lokalnog gubitka K Ulaz iz spremnika u cije: oštri ruboi 0,50 lijepo zaobljeni ruboi 0,04 Koljeno 90 - eliki radijus luka 0,0 - mali radijus luka 0,70 Kuglasti entil: potpuno otoren 0,05

5 MEHANIKA FLUIDA HIDARAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA 76 /3 zatoren 5,50 Ventil s pladnjem potpuno otoren 0,00 Veza među faktorom brzine i koeficijentom lokalnog gubitka Pri analizi istjecanja kroz otore ueden je pojam faktora brzine C kojim se uzima u obzir gubitak mehaničke energije uslijed trenja. Isti se ti gubici mogu obuhatiti koeficijentom lokalnog gubitka K. p Gledajući sliku može se pisati izraz za brzinu istjecanja 0 a = C gh, a modificirana Bernoullijea jednadžba od točke 0 to točke uz postojanje lokalnih gubitaka glasi h= + K h g g p Usporedbom tih izraza slijedi eza između koeficijenta brzine a C i koeficijenta lokalnog gubitka K, oblika K = C Očito je da za C = (strujanje bez gubitaka), slijedi K= Ekialentna duljina cjeooda Kod strujanja kroz cije konstantnog promjera lokalni gubici se mogu zamijeniti ekialentnom duljinom cjeooda. Sljedeća slika prikazuje energetsku liniju za strujanje kroz cije konstantnog promjera s ugrađenim entilom, koja ima skokoiti pad isine energije na mjestu lokalnog gubitka. E.L. E.L. L L L e L ue Na desnoj slici je lokalni gubitak entila zamijenjen ekialentnom duljinom L e cjeooda, tj. cije je fiktino produljena da bi pad tlaka u oba slučaja bio isti. Jasno ja da rijedi Le K = λ g D g iz čega je k Le = D λ 9.5 Hidraulički proračun cjeooda nekružnog poprečnog presjeka Opisani postupak za hidraulički proračun cjeooda kružnog poprečnog presjeka se može primijeniti i za proračun cjeooda nekružnog poprečnog presjeka. Proračun se temelji na

6 MEHANIKA FLUIDA HIDARAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA 77 ekialentnom promjeru D e, a rijedi za slučaj turbulentnog strujanja fluida. Ekialentni promjer je definiran kao T De = 4RH = 4 S O gdje je S T ploština poprečnog presjeka toka, a O oplakani opseg (duljina linije dodira fluida i stijenke cijei). Odnos ST O= R H se nazia hidrauličkim radijusom. Na sljedećoj slici su definirani ekialentni promjeri za neke tipične situacije strujanja fluida. Slučaj strujanja Ekialentni promjer Strujanje punim praokutnim presjekom b ab De = a+ b a Strujanje u otorenom praokutnom kanalu c 4ac De = a+ c a Strujanje između dije koaksijalne cijei D De = D D D Faktor trenja λ za ustaljeno strujanje kroz cijei nekružnog presjeka se također očitaa iz Moodyjea dijagrama ili računa iz formule Swamee-Jaina s tim što su Reynoldso broj D Re = e i relatina isina hrapaosti k definirani na temelju ekialentnog υ D e promjera. Srednja brzina u sim izrazima se definira omjerom protoka i starne ploštine poprečnog L presjeka toka =. Izraz za isinu linijskih gubitaka glasi hf = λ S u kojem T De g ponoo označuje starnu srednju brzinu strujanja fluida. 9.6 Ilustracija modificirane Bernoullijee jednadžbe g H K L p a ρ, ν K D Modificirana Bernoullijea jednadžba

7 MEHANIKA FLUIDA HIDARAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA 78 p 8 p 8 L 8 ρ ρ π z h 4 P h T z 4 K 4 4 g + α α λ D g D D g π g + + = + D π g D π hf 8 g koja se za slučaj postojanja pumpe u cjeoodu prema slici može sesti na oblik pa pa L hp = + H + λ + K 4 + K ρ g ρg D D π g D π g D π g D π g može se grafički ilustrirati crtanjem energetske linije, hidrauličke gradijentne linije i geodetske linije hfm L D g λ g h p H.G.L. g p a /ρ g E.L. K L g λ D g p a /ρ g H H.G.L. g L K g L λ D g ρ, ν K K D 9.7 Postupci proračuna jednostanih cjeooda Kategoriji hidraulički jednostanih cjeooda pripadaju si cjeoodi jednostane topološke strukture (cjeood može biti po olji razgranat, ali cjeood ne smije biti zatoren u prsten) kod kojih se problem proračuna sodi na postaljanje jedne modificirane Bernoullijee jednadžbe, a koja se za slučaj postojanja pumpe u cjeoodu može sesti na oblik p 8 p 8 L 8 8 α z 4 hp α z 4 λ K 4 4 ρ g + D g D D g π g + + = ρ + D π g + + π + (a) D π g Oom se izrazu pridodaje izraz za faktor trenja, 35 λ = (b) k 574, ln ,, D Re i izraz za Reynoldso broj 4ρ Re = (c) π Dµ hf hfm

8 MEHANIKA FLUIDA HIDARAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA 79 što čini osnoni susta jednadžbi za hidraulički proračun jednostanih cjeooda. Iz oog sustaa triju jednadžbi mogu se izračunati tri nepoznanice. S obzirom da se radi o sustau nelinearnih jednadžbi one će se u ećini slučajea rješaati iteratinim postupkom. Ako je npr. poznata geometrija cjeooda (kao na slici uz ilustraciju Bernoullijee jednadžbe) i raspoložia isina energije za sladaanje gubitaka h p, a potrebno je odrediti protok, susta jednadžbi (a) do (c) se rješaa iteratinim postupkom. pa pa L hp = + H + λ + K 4 + K 4 + (a) 4 4 ρ g ρg D D π g D π g D π g D π g, 35 λ = (b) k 574, ln ,, D Re 4ρ Re = (c) π Dµ Iteratini postupak započinje pretpostakom o faktoru trenja. Obično se pretpostalja turbulentno strujanje u režimu potpuno izražene hrapaosti (rijednost faktora trenja se očita iz Moodyjea dijagrama ili izračuna iz formule Swamee-Jaina uz pretpostaku Re= ). S tom rijednošću λ se ulazi u izraz (a) te se izračunaa protok. = 8 5 gπ D ( hp H) ( KD+ λl+ KD+ D) S tako izračunatim protokom se računa Reynoldso broj iz izraza (c), te se ponoo računa noa rijednost faktora trenja λ iz izraza (b). Nakon toga se postupak ponalja. Iteratini postupak se smatra zaršenim kada se rijednost protoka prestane mijenjati u pre tri signifikantne znamenke, a najčešće su potrebne sega dije ili tri iteracije. Iteratini postupak se prikazuje kroz sljedeću tablicu, koja se popunjaa redak po redak Broj iteracije λ Re Energetske karakteristike pumpe (a) Realna karakteristika hidrauličkog stroja n w Euleroa jednadžba i trokut brzina za hidrauličke strojee α θ β u

9 MEHANIKA FLUIDA HIDARAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA 80 hp = u( u wcosβ) u( u wcosβ) ( uθ u θ) g = g Iz jednadžbe jasno da će isina dobae pumpe biti maksimalna pri θ = 0 (što znači da je apsolutna brzina na ulazu u lopatice okomita na obodnu brzinu) u u( u wcos β θ ) ωr hp = = = ωr cos β g g g A Iz Euleroe jednadžbe za hidrauličke strojee slijedi da je isina dobae pumpe linearno zaisna od protoka. Oaj izraz je izeden pri pretpostaci strujanja neiskoznog fluida i beskonačnog broja beskonačno tankih lopatica. Idealna karakteristika pumpe prikazana je na dijagramu ispod. Realna karakteristika pumpe (prikazana na dijagramu ispod lijeo) ima isinu dobae pumpe umanjenu za gubitke nastalih konačnim brojem konačno tankih lopatica, gubicima trenja i sudarnim gubicima. h p Idealna karakteristika β = 90 0 Utjecaj konačnog broja lopatica Idealna karakteristika β <90 0 h p karakteristika pumpe faktor korisnosti Radna točka Realna karakteristika Utjecaj iskoznog trenja karakteristika cjeooda Utjecaj sudarnih Radna točka pumpe U otorenim cjeoodnim sustaima isinom dobae pumpe se sladaa razliku energija h i gubitke trenja, dok u zatorenim (cirkulacijskim) sustaima pumpa sladaa samo gubitke trenja. Uz pretpostaku da su gubici razmjerni kadratu protoka, potreba za isinom dobae pumpe može se općenito prikazati funkcijom h= h + r što označuje parabolu koja se nazia karakteristikom cjeooda. Dijagram (slika gore desno) prikazuje primjer na kojem je prikazana karakteristika pumpe (plaa kriulja) s ucrtanom karakteristikom cjeooda (crna kriulja). Crtkana plaa kriulja označuje faktor korisnosti pumpe. Visina dobae pumpe je maksimalna kod nultog protoka, a maksimalni je protok pri nultoj isini dobae pumpe. Radna točka pumpe definirana je presjekom karakteristike pumpe i karakteristike cjeooda. Pumpu treba izabrati tako da radna točka padne u područje maksimalnog faktora iskoristiosti pumpe. Zakoni sličnosti Karakteristika pumpe dana je izrazom ep = g hp = ωr ωr cos β A ili Φ ( e,,, ) 0 p ω D = primjenom dimenzione analize izodi se bezdimenziona zaisnost

10 MEHANIKA FLUIDA HIDARAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA 8 ep g hp ψ = = = f f( ϕ) 3 = ω D ω D ωd Dakle si hidrodinamički slični strojei opisani su jednom bezdimenziskom kriuljom ψ = f ( ϕ) Primjer: Ista pumpa radi na da različita broja okretaja Ukoliko obije pumpe rade u istim režimima rada oba bezdimenzijska parametra moraju biti jednaka (promjer rotora D identičan je za oba režima rada) g hp g hp ψ = ψ ϕ = ϕ odnosno ψ = ϕ = = 3 = 3 uz D = const. ω D ω D ωd ωd Izrazi prelaze u oblik hp = ω ω ω = hp ω = ili grafički na dijagramu ispod lijeo h h p p h p karakteristika pumpe ω Kriulje sličnosti hp = h p h p serijski rad pumpi karakteristika pumpe ω paralelni rad pumpi karakteristika pumpe Spajanje pumpi Često se u praksi radi s paralelno ili serijski spojenim pumpama. U paralelnom radu jednakih pumpi isina dobae je zajednička za se pumpe, a ukupni protok je jednak zbroju protoka kroz se pumpe. U serijskom radu pumpi protok je kroz saku pumpu jednak, a ukupna isina dobae jednaka je zbroju isina dobaa sih pumpi. Slika gore desno prikazuje karakteristiku jedne pumpe (plaa kriulja), te karakteristike serijskog rada (zelena kriulja) i paralelnog rada (crena kriulja) diju takih pumpi.