0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER Ορισμός : Οι γραμμικές διαφορικές ξισώσις, των οποίων οι συντλστές ίναι δυνάμις του βαθμού ίσου μ την τάξη της αντίστοιχης παραγώγου, ονομάζονται ξισώσις του Eule Πχ η ομογνής ξίσωση του Eule n τάξης έχι την γνική μορφή : α n n y (n) +α n- n- y (n-) + +α y +α 0 y0 () και η αντίστοιχη μη ομογνής α n n y (n) +α n- n- y (n-) + +α y +α 0 yf() () Η γνική λύση της () ως γνωστό ίναι : y γν y ομ +y μρ όπου η y ομ ίναι η γνική λύση της () και η y μρ μια μρική λύση της (), που μπορί πχ να βρθί μ την μέθοδο των προσδιοριστέων συντλστών, αφού θα ξέρουμ την y ομ Από την μορφή της ξίσωσης Eule () ίναι φανρό ότι μ την αντικατάσταση y s για >0, (ή y(-) s για <0), θα προκύψι μια κοινή δύναμη του απ' όλους τους όρους, συγκκριμένα η s Εάν το s κλγί κατάλληλα ώστ ο ολικός συντλστής αυτής της κοινής δύναμης να μηδνίζται, τότ θα έχουμ στη διάθση μας μια λύση της () Ας - φαρμόσουμ τα παραπάνω για την πρίπτωση της ομογνούς ξίσωσης Eule ης τάξης : α y +βy +γy 0 y s () α s(s-) s- +βs s- +γ s 0 [αs +(β-α)s+γ] s 0 Εάν s και s ίναι οι ρίζς του τριωνύμου αs +(β-α)s+γ0, τότ η γνική λύση της () ίναι : s y ομ ()c + s c () Παράδιγμα : Να λυθί η ΔΕ y -y -y0 για >0 Λύση : Θέτουμ y s στην ΔΕ και έχουμ: s(s-) s- -s s- - s 0 [s(s-)-s-] s 0 s -s-0 s -, s Άρα y ομ ()c - +c Εάν θέλουμ να βρούμ τη λύση για <0 τότ αντικαθιστούμ στον παραπάνω τύπο της γνικής λύσης το μ το - και θα έχουμ : y ομ ()c (-) - +c (-) Παράδιγμα : Να λυθί η ΔΕ y +y -y0 για >0 Λύση : Θέτοντας s στη ΔΕ παίρνουμ s (s -s-)0 μ χαρακτηριστικές ρίζς : s -/, s Επομένως η γνική λύση της ΔΕ ίναι : yομ c+ c για >0 Εάν θέλουμ να βρούμ τη λύση για <0 τότ αντικαθιστούμ στον παραπάνω τύπο της γνικής λύσης το μ το - και θα έχουμ : y c ( ομ ) + c για <0 Παρατήρηση : Στην πρίπτωση διπλής ρίζας s s s θα ίναι :
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 β α s- και (β-α) -αγ0 () α Για να βρούμ μια άλλη λύση χρησιμοποιούμ τον ομογνή γραμμικό μτασχηματισμό y s Y και έχουμ : y s Y() y s s- Y+ s Y (6) y s(s-) s- Y+s s- Y +s s- Y + s Y s Y +s s- Y +s(s-) s- Y Θέτοντας τις (6) στην () έχουμ : α[ s+ Y +s s+ Y +s(s-) s Y]+β[s s Y+ s+ Y ]+γ s Y0 α s+ Y +[αs s+ +β s+ ]Y +[αs(s-) s +βs s +γ s ]Y0 (7) Επιδή το s ίναι λύση της () θα ίναι : αs(s-) s +βs s +γ s 0 από την (7) έχουμ τώρα : αy +(sα+β)y 0 (πιδή αsα-β) αy +αy 0 Y +Y 0 Θέτουμ Y ()h() και έχουμ : h) ( dh d h ()- ln h) ( ln h) ( h και Y ()/ dy/d/ dyd/ Y()ln Τλικά y s ln και η γνική λύση θα ίναι : y ομ c s +c s ln Παράδιγμα : Να λυθί η ξίσωση y -y+y0 για >0 Λύση : Θέτουμ y s και έχουμ s(s-) s -s s + s 0 s(s-)-s+0 s -s+0 (s-) 0 s, και η μια λύση ίναι y νώ η άλλη ίναι y ln Τλικά η γνική λύση θα ίναι y ομ c +c ln(c +c ln) Παράδιγμα : Να λυθί η ΔΕ y +y +y0 για >0 Λύση : Θέτοντας s στη ΔΕ παίρνουμ s (s +s+)0 s +s+0 s s - (διπλή ρίζα) Επομένως η γνική λύση της ΔΕ ίναι : y ομ - (c +c ln) για >0 Γνικά ισχύι το πόμνο θώρημα : Θώρημα : Όταν η χαρακτηριστική ξίσωση που προέρχται από την ομογνή ΔΕ () μ την αντικατάσταση y s, έχι τις ρίζς s, s,, s μ αντίστοιχς πολλαπλότητς,,, m, ( + + + m n), τότ σ κάθ ρίζα s i αντιστοιχούν οι i γραμμικά ανξάρτητς λύσις : si si si, ln, (ln), si i, (ln) >0 και η γνική λύση ίναι : s y ομ P s (ln ) + P (ln ) + s + P (ln ) (8) όπου P i m (ln) πολυώνυμα i - βαθμού ως προς ln Παρατήρηση : Στην πρίπτωση που έχουμ μια μιγαδική ρίζα α+iβ μαζί μ την συζυγή
Εξισώσις του Eule 8 της α-iβ πολλαπλότητας, τότ στις μιγαδικές αυτές ρίζς αντιστοιχί η παρακάτω έκφραση που θα πριέχται στη γνική λύση της ομογνούς y ομ : α P ( ln ) cs ( β ln ) + Q ( ln ) sin ( βln ) όπου Ρ - (ln), Q - (ln) πολυώνυμα - βαθμού της μταβλητής ln Απόδιξη: Ας θωρήσουμ για υκολία ότι έχουμ μια απλή μιγαδική ρίζα α+iβ μαζί μ την συζυγή της α-iβ Τότ σ αυτές τις ρίζς αντιστοιχούν οι λύσις: y α+iβ και y α-iβ Θα προσπαθήσουμ στη συνέχια να βρούμ το πραγματικό και φανταστικό μέρος αυτών των λύσων Έχουμ: y α+iβ α iβ α e iβ(ln) α [cs(βln)+isin(βln)], ομοίως y α-iβ α - iβ α e -iβ(ln) α [cs(βln)-isin(βln)] Άρα Re(y, ) α cs(βln) και Im(y, ) α sin(βln) Εύκολα τώρα αποδικνύται ότι ο γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω κφράσων: c α cs(βln)+c α sin(βln) α [c cs(βln)+c sin(βln)] ίναι λύση της διαφορικής ξίσωσης Παράδιγμα : Να λυθί η ΔΕ y +y +y0 για >0 Λύση : Θέτοντας s στη ΔΕ παίρνουμ s (s +)0 s i, s -i δηλ α0 και β Ε- πομένως η γνική λύση της ΔΕ ίναι : y ομ c cs(ln)+c sin(ln) για >0 Παρατήρηση : Οι ξισώσις Eule δν ίναι παρά μια διαφορτική μορφή των ξισώσων μ σταθρούς συντλστές Πράγματι μ την αντικατάσταση e t tln πχ η ΔΕ α y +βy +γy0 μτατρέπται σ ΔΕ μ σταθρούς συντλστές ως ξής : yy()y(e t ) y dy dy dt y y y (9) d dt d y d d y d d y d y d y y d + + dt y dt d y y - y y y y y + (0) όπου οι τλίς δηλώνουν παραγωγίσις ως προς τη νέα μταβλητή t Μ τις σχέσις (9) και (0) η ΔΕ γίνται : α(y y) +β y+γ y 0 α y + ( β α )y+γ y0 () που ίναι προφανώς μια ξίσωση μ σταθρούς συντλστές Παράδιγμα 6 : Να λυθί η ΔΕ y + y -y +y0 αφού προηγουμένως μτατραπί σ ΔΕ μ σταθρούς συντλστές, α) για >0, β) για <0 Λύση : α) θέτουμ e t και έχουμ : dy dy, dy dy dy, dy dy dy dy + d dt d dt dt d dt dt dt και αντικαθιστώντας στη ΔΕ παίρνουμ τη γραμμική ΔΕ dy dy + y 0 dt dt μ σταθρούς συντλστές Η γνική λύση αυτής της ΔΕ ίναι : y ομ c e t +c te t +c e -t
86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 και πομένως η γνική λύση της ΔΕ που δόθηκ ίναι : y ομ c +c ln+c - για >0 β) για <0 χρησιμοποιούμ τον μτασχηματισμό -e t, οπότ έχουμ d t dt t e e dt d και όπως στην (α) πρίπτωση παίρνουμ τις ίδις σχέσις και καταλήγουμ στην ίδια ΔΕ μ τη χαρακτηριστική ξίσωση που έχι ρίζς s (διπλή), s - Έτσι η γνική λύση αυτής της ΔΕ ίναι και πάλι η y ομ c e t +c te t +c e -t αλλά τώρα ίναι e t - και tln(-), οπότ η γνική λύση της ΔΕ ίναι y ομ (-)[c +c ln(-)]+c (-) - για <0 Παρατήρηση : Στην πρίπτωση των μη ομογνών ΔΕ Eule μια μρική λύση μπορί να βρθί κατά τους ξής δυο τρόπους : α) Εφαρμόζουμ την μέθοδο της μταβολής των παραμέτρων, που χρησιμοποιήσαμ στις γραμμικές ΔΕ μ σταθρούς συντλστές, αφού διαιρέσουμ την ΔΕ μ το α n n f ( ) Τότ ο μη ομογνής όρος θα ίναι Πχ για την Δ Ε Eule ης : α y +βy +γyf() n α n έστω ότι η γνική λύση της αντιστοίχου ομογνούς ίναι: y ομ () ( ) ( μρική λύση της μη ομογνούς θα την αναζητήσουμ υπό την μορφή: y μρ v ()y ()+v ()y () και λύνουμ το σύστημα: vy() + vy () 0 ( ) cy + cy ) Μια f vy () + vy () α n n β) Μτατρέπουμ την ΔΕ Eule σ γραμμική ΔΕ μ σταθρούς συντλστές και στη συνέχια ργαζόμαστ κατά τα γνωστά Παράδιγμα 7 : Να βρθί η γνική λύση της ΔΕ y +y -y Λύση: Πρώτα θα βρούμ την λύση της αντίστοιχης ομογνούς ΔΕ y +y -y0 Θέτοντας s στη ΔΕ παίρνουμ s(s-)+s-0 s +s-0 s -, s / Επομένως η γνική λύση της αντίστοιχης ομογνούς της ΔΕ ίναι : y ομ c + c Δηλαδή δυο μρικές λύσις της ομογνούς ίναι y () και y () Για να βρούμ μια μρική λύση, θέτουμ y μρ v ()y ()+v ()y () v ( ) + v( ) και λύνουμ το σύστημα:
v + v 0 v + v Η λύση του οποίου δίνι: v ( ), v ( ) 6 v( ) 0, v( ) 6 0 Άρα y μρ v ( ) + v( ) 6 Τλικά y γν y ομ +y μρ c + c + Εξισώσις του Eule 87 Ασκήσις : Να λυθούν οι ΔΕ του Eule ) y + y"-y +y0 Απ yc +c ln+c - ) y"+y -y0 Απ yc +c [/] ) y"+y +y0 Απ yc cs(ln)+c sin(ln) Εφαρμογές της Δ Ε Eule ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ Θωρούμ μια λπτή στρογγυλή πλάκα μ συμμτρική κατανομή του ξωτρικού φορτίου p() όπου η απόσταση από το κέντρο και Ν η ακαμψία της πλάκας Θέλουμ να προσδιορίσουμ το βέλος σ αυτήν την πρίπτωση () Το βέλος θα υπακούι την ΔΕ: w + w w + w p() N Θα μλτήσουμ την πρίπτωση που p () Έτσι η ΔΕ θα γραφί: () () w + w w + w w + w w + w () N N Μη ομογνής ΔΕ Eule Επιλύουμ αρχικά την αντίστοιχη ομογνή ΔΕ: () w + w w + w 0 Θέτουμ w w w ( )
88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 () w ( )( ) w ( )( )( ) Μ τις αντικαταστάσις αυτές η ομογνής ΔΕ Eule θα γίνι: ( )( )( ) + ( )( ) ( ) + 0 ( Άρα [ ( )( )( ) + ( )( ) ( ) + ] 0 ( )( )( ) + ( )( ) ( ) + 0 [( )( )( ) + ( )( ) ( ) + ] 0 ( + ) 0 + ) κ 0 (Διπλή ρίζα) και + 0 (Διπλή ρίζα) w ομογ C + C n + C + C ίναι η λύση της ομογνούς ξίσωσης Ως μρική λύση αναζητούμ πολυώνυμο της μορφής: u () a + a + a + a + a + a u () u u u a n ( ) + a + a + a + a + a 6 7 6 () a + a + a + a + 6a + 7a () a + 6a + a + 0a + 0a + a () 6a + a + 60a + 0a + 0a () () a + 0a + 60a 80a u + Έτσι από την () θα έχουμ: 6 7 6 a + 0a + 60a + 80a + a + 8a + 0a + 0a + 7 6 7 0 a a 6a a 0a 0a a + a + a + a 6 7 + a + 6a + 7a N 7 6 80a + 0a a + 60a + 0a 0a + 6a + 0a + 0a + a ) + ( a + 8a a + a ) + ( a 6a + a ) + ( a + ) N a a a a 0 a a 0a + 0a 0a + a N a 0 a a ( ) ( ) (, απροσδιόριστο και για το ισχύι η σχέση: Για υκολία πιλέγουμ a 0, οπότ η γνική λύση της () ίναι: w () C + + C n + C + C n ( ) ) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Το ηλκτροστατικό δυναμικό σ χώρο χωρίς φορτία Το ηλκτροστατικό δυναμικό παληθύι την ξίσωση Pissn: ρ V Σ χώρο χωρίς φορτία, ρ0 (Αν ρ0 παντού τότ βέβαια V0, μπορί όμως να υπάρχι φορτίο αλλού, απλώς η προσοχή μας έχι πικντρωθί σ πριοχές όπου δν υπάρχι φορτίο) υπακούι την ΔΕ Laplace: V 0 Η ξίσωση Laplace σ σφαιρικές συντταγμένς γράφται:
Εξισώσις του Eule 89 V V V sin 0 + θ + () sin θ θ θ sin θ φ Εφαρμόζουμ τη μέθοδο χωρισμού των μταβλητών Θωρούμ λύση της μορφής Φ(, θ, φ) R() Θ( θ) Φ( φ) οπότ η () γράφται: + sin θ θ θ + sin θ φ ( RΘΦ) sin θ ( RΘΦ) ( RΘΦ) 0 ΘΦ R RΦ Θ RΘ Φ sin 0 + + θ sin θ θ θ sin θ φ Διαιρούμ μ RΘΦ οπότ προκύπτι : d dr d dθ d Φ + sin θ + R d d Θ sin θ dθ Φ sin θ dφ Πολλαπλασιάζουμ μ sin θ, έτσι έχουμ: sin θ d dr sin θ d dθ d Φ + sin θ + 0 R d d Θ dθ Φ dφ sin θ d dr sin θ d dθ d Φ + sin θ R d d Θ dθ Φ dφ Το αριστρό μέλος ίναι συνάρτηση των μταβλητών,θ νώ το δξί του φ Άρα και τα δύο μέλη πρέπι να ισούνται μ την ίδια σταθρά έστω m Οπότ: d Φ sin θ d dr sin θ d dθ m, sin m + θ () Φ dφ R d d Θ dθ Επιλύοντας την () έχουμ : d dr d dθ m + sin θ R d d Θsin θ dθ sin θ d dr m d dθ sin θ R d d sin θ Θsin θ dθ Το αριστρό μέλος ίναι μια συνάρτηση μόνο του, νώ το δξί μόνο του θ Για να ίναι αυτό δυνατόν θα πρέπι και τα δυο μέλη να ισούνται μ την ίδια σταθρά, έστω ν Έτσι: d dr d R dr ν + νr 0 () R d d d d m d dθ και sin θ ν sin θ Θsin θ dθ Η ακτινική συνάρτηση R() υπακούι την () που ίναι ΔΕ τύπου Eule: d R dr + νr 0 d d s dr s d R s Θέτουμ R() s s(s ) οπότ η () γίνται: d d s s s s(s ) + s ν 0 [ ] s s(s ) + s ν 0 s(s ) + s ν 0 s + s ν 0 Η διακρίνουσα αυτής της ξίσωσης ίναι Δ + ν οπότ: 0
90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ± + ν + + ν + ν s, s, s ( + s) Άρα η λύση της ακτινικής ξίσωσης ίναι: s s s (+ s) s B R () A + B A + B A + s + Αν στο πρόβλημα που ξτάζουμ πριλαμβάνται το σημίο 0 η λύση γίνται A s R () ώστ να ίναι ομαλή σ όλα τα σημία του προβλήματος Αν αντίθτα στο B πρόβλημά μας πριέχται το άπιρο, τότ η λύση μταπίπτι σ () για τον ίδιο λόγο R s + ) Δυναμικό διόδου ηλκτρονικής λυχνίας Η κάθοδος και η άνοδος σ μια δίοδο ηλκτρονική λυχνία σχηματίζονται από δυο ομοαξονικά κυλινδρικά αγώγιμα φύλλα μ ακτίνς α και b Το ηλκτρικό δυναμικό της καθόδου ίναι 0 και της ανόδου V ο Λόγω της κπομπής ηλκτρονίων από την κάθοδο, η β χωρική πυκνότητα φορτίου στο κνό χώρο μταξύ καθόδου και ανόδου ίναι ρ ό- που β ίναι μια θτική σταθρά Υποθέτουμ ότι το μήκος των κυλινδρικών φύλλων ίναι άπιρο Θα υπολογίσουμ τα Φ(),E() για α<<b Το δυναμικό αποτλί την λύση της - ξίσωσης Pissn ρ V () Παρατηρούμ ότι η πυκνότητα φορτίου ξαρτάται μόνο από την μταβλητή Έτσι η ξίσωση Pissn γράφται d V dv β d V dv β + + () d d d d Πολλαπλασιάζουμ την () μ οπότ έχουμ: d V dv β + () d d Η () ίναι ΔΕ τύπου Eule, μη ομογνής Θα λύσουμ αρχικά την αντίστοιχη ομογνή d V dv + 0 d d () s dv s d V s Θέτουμ V s s(s ) οπότ η () γίνται: d d s s s s(s ) + s 0 [ s(s ) + s] 0 s s + s 0 s 0 s 0 (Διπλή ρίζα) Έτσι η λύση της ομογνούς ΔΕ Eule ίναι : 0 V n n ομ Στη συνέχια αναζητάμ μια μρική λύση της () Η λύση αυτή θα ίναι της μορφής A + B V B V 0 V μρ μρ μρ
Εξισώσις του Eule 9 Αντικαθιστώντας στην () έχουμ β β B B 0 Άρα τλικά η γνική λύση της () ίναι: β β V C n + A + + C C n + A + Οι σταθρές C,A θα προσδιοριστούν από τις οριακές συνθήκς Από τις οριακές συνθήκς του προβλήματος έχουμ ότι: β V( α ) 0 C nα + A + α α β β A n V + ( α b) nα α, β b V(b) V C nb A b + + e α n V b C + β ο ( α b) ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Η ξίσωση της συνέχιας ίναι η ΔΕ που κφράζι την διατήρηση της ύλης: ρ + divρv 0 t όπου ρ η πυκνότητα και V το πδίο ταχυτήτων Αντικαθιστώντας το V μ gad Φ, θα ρ έχουμ div ( ρgad( Φ) ) + 0 t όπου το Φ ονομάζται δυναμική συνάρτηση ταχύτητας ή συνάρτηση δυναμικού ταχυτήτων ή δυναμικό του πδίου ταχυτήτων Για ένα πδίο σταθρής πυκνότητας η ξίσωση απλοποιίται στην div ( ρ gad( Φ) ) 0 Για ασυμπίστο ρυστό σ αστρόβιλη ροή θα έχουμ div ( gad( Φ )) 0 Η ξίσωση αυτή ίναι η ξίσωση Laplace Ας θωρήσουμ ένα ορθό κύλινδρο ακτίνας α που κτλί μταφορική κίνηση μ ταχύτητα V c στην θτική κατύθυνση του άξονα Υποθέτουμ ότι ίναι βυθισμένος σ ένα απριόριστο υγρό που ίναι αλλιώς σ ηρμία Αν το υγρό ίναι ασυμπίστο, θέλουμ να βρούμ τη δυναμική συνάρτηση ταχύτητας Φ όταν ο άξονας του κυλίνδρου ίναι στο Ο Για αστρόβιλη δυδιάστατη κίνηση η ξίσωση Laplace σ κυλινδρικές συντταγμένς γράφται + + 0, Φ Φ Φ θ z
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 σημιώνοντας ότι Φ στο πρόβλημα αυτό 0, θα έχουμ τλικά z Φ Φ + 0 () θ Εφαρμόζουμ τη μέθοδο χωρισμού των μταβλητών, έτσι αναζητούμ λύση της μορφής Φ(, θ) R() Θ( θ) Έτσι η () γράφται: Θ d dr R d Θ ( RΘ) + ( RΘ) 0 + 0 θ d d dθ Θ dr d R R d Θ dr d R d Θ + Θ + 0 + + 0 d d dθ R d R d Θ dθ d Θ d R dr Θ dθ R d R d Το αριστρό μέλος ίναι συνάρτηση μόνο του θ, το δξί μόνο του Για να ίναι αυτό δυνατό θα πρέπι και τα δύο μέλη να ισούνται μ την ίδια σταθρά έστω β όπου β πραγ- ματικός, θτικός αριθμός Έτσι θα έχουμ d Θ + β Θ 0 dθ () ΔΕ ας τάξως μ σταθρούς συντλστές και d R dr + β R 0 d d () ομογνής ΔΕ Eule Η λύση της () ίναι Θ ( θ) C cs( βθ) + C sin( βθ) s s Η λύση της () θα βρθί θέτοντας R R s s R s(s ) Έτσι η () γίνται: s s s s(s ) + s β 0 s s + s β s 0 s s + s β 0 s β 0 s ±β ( ( ) ) ( ) β Άρα R() C β + C Έτσι η γνική λύση θα ίναι : β β Φ(, θ) ( C + C )( C cs( βθ) + C sin( βθ) ) όπου οι σταθρές C,C,C,C προσδιορίζονται από τις οριακές συνθήκς Οριακές συνθήκς: Φ V gadφ V ˆ Φ ˆ gad Vc csθ α Φ όταν το V 0 Φ όταν Vθ 0 θ
Εξισώσις του Eule 9 Τέλος το Φ(, θ) πρέπι να έχι ππρασμένη τιμή για όλς τις τιμές των,θ, δηλαδή για α και 0 θ π Για να ισχύι η θα πρέπι C 0 β Άρα Φ(, θ) C ( C cs( βθ) + C sin( βθ) ) Φ β Η παράγωγός της ίναι: βc ( C cs( βθ) + C sin( βθ) ), οπότ από την πρώτη συνθήκη έχουμ ότι: Φ β βc α ( C cs( βθ) + C sin( βθ) ) Vc csθ C C C 0, β, V c C C α Vc α α Vc Άρα τλικά Φ(, θ) cs θ που ικανοποιί και τις υπόλοιπς οριακές συνθήκς