ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourir µιας συνάρτησης χρίς να καταφεύγουµε στην εξίσση ανάλυσης. Υπολογίζουµε εύκολα την απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήµατος από τη διαφορική εξίσση η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήµατος. ΥπολογίζουµετηνέξοδοενόςΓΧΑσυστήµατοςτουοποίουέχουµεπροσδιορίσει, µε τη βοήθεια του θερήµατος της συνέλιξης, το Μετασχηµατισµό Fourir της. Εξηγήσουµε έννοιες όπς ιδανικό κατπερατό φίλτρο ή χαµηλοπερατό, ζνοπερατό και υψηπερατό, χρονική σταθερά, ζώνη διέλευσης και συχνότητα αποκοπής. Περιγράψουµετιείναι διαγράµµατα Bodκαι εξηγήσουµεέννοιεςόπς dil και σηµείο -3dB.

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΧΑ y X h H Y Ένα γραµµικό χρονικά αναλλοίτο σύστηµα περιγράφεται πλήρς από την κρουστική του απόκριση h. Το σήµα εισόδου,, και το σήµα εξόδου, y, ενός ΓΧΑ συστήµατος συνδέονται µε το ολοκλήρµα της συνέλιξης. y h Τασήµαταεισόδου-εξόδουσυσχετίζονταιµετηδιαφορικήεξίσσης. N y τ h τ dτ h τ τ dτ k d y M d k k k k d d k k k Σεραφείµ Καραµπογιάς ΤοθεώρηµατηςΣυνέλιξης. y h F Y H X Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-

Παρατηρούµε ότι η απόκριση συχνότητας H µπορεί να βρεθεί, ς πηλίκο τν µετασχηµατισµών Fourir εξόδου-εισόδου. Σεραφείµ Καραµπογιάς H Y X Και µε τη βοήθεια της N k d y k k k k k d k d k d k έχουµε H k N M k k k k k Παρατηρούµε ότι η απόκριση συχνότητας H, ενός ΓΧΑ συστήµατος είναι µία ρητή συνάρτηση, δηλαδή, µπορείναεκφραστείςλόγοςδύοπολυνύµντηςµεταβλητής. Σηµειώνεται επίσης στον υπολογισµό της H ενός συστήµατος δεν υπεισέρχονται οι αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται πιθανόν το σύστηµα. Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-3

Σύστηµα πρώτης τάξες Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήµατος πρώτης τάξες το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσση: d y d y Απάντηση H H h h u τ Ηπαράµετροςτονοµάζεταισταθεράχρόνουτουκυκλώµατος, ενώησυχνότητα /τ, φυσική συχνότητα του κυκλώµατος. Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-4

Απάντηση 3 4 H 3 u u h Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήµατος δεύτερης τάξες το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσση: 3 4 d d y d dy d y d 3 H Σεραφείµ Καραµπογιάς Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-5 3

ρ ρ Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσµατα ρ ρ ρ ρ ρ ρ Οισταθερές και υπολογίζονταιαπότις και X u F Υπενθυµίζεται και το ζευγάρι µετασχηµατισµού Fourir Σεραφείµ Καραµπογιάς Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-6

Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήµατος του ΓΧΑ συστήµατος δεύτερης τάξες το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσση: d y d 4 dy d 3y d d u ΓΧΑ y ; Απάντηση y 4 4 3 u Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-7

Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσµατα ρ ρ ρ ρ ρ ρ Οισταθερές και υπολογίζονταιόπςκαιπροηγουµένςαπότις και 3 ρ ρ ρ ενώησταθερά υπολογίζεταιαπότην ρ ρ d d u F Από το ζευγάρι µετασχηµατισµού Fourir µε τη βοήθεια της παραγώγισης στο πεδίο συχνότητας έχουµε X d d F F u Σεραφείµ Καραµπογιάς Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-8

Προσδιορισµός συστήµατος από την είσοδό του και έξοδό του X F u Y F u y X Y H H Απάντηση Η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήµατος σε σήµα εισόδου είναι u u y Να βρεθεί η απόκριση συχνότητας του συστήµατος και η κρουστική απόκριση. Σηµειώνεται ότι όταν το σήµα εισόδου είναι σήµα µίας συχνότητας θα πρέπει και το σήµα εξόδου να είναι σήµα της ίδιας συχνότητας και στην περίπτση αυτή προσδιορίζεται µόνο η τιµή της απόκρισης συχνότητας στη συχνότητα του σήµατος εισόδου. u ; h u y H u h δ Η απόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι Σεραφείµ Καραµπογιάς Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-9

ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Ο MF του σήµατος εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος δίνεται από Y H X Y H X rg Y rg H rg X Για να πετύχουµε ανάλογη συµπεριφορά για το µέτρο, λογαριθµίζουµε την εξίσση Y H X Y H X rg Y rg H rg X Όπου H είναι η απόκριση πλάτους και rgη η απόκριση φάσης του συστήµατος και X ο MF του σήµατος εισόδου. logy log H log X Χρησιµοποιούµε λογαριθµική κλίµακα για τη συχνότητα, και ς µονάδα µέτρου το dil db. Η κλίµακα τν db βασίζεται στην αντιστοιχία db log H Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-

Να υπολογιστεί η απόκριση του συστήµατος πρώτης τάξες όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος. u y ΓΧΑ Το σύστηµα πρώτης τάξης έχει κρουστική απόκριση ση συχνότητας H Απάντηση Y y u y u,63 y h u τ και απόκρι- Σταθερά χρόνου Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-

Τα διαγράµµατα Bod συστήµατος πρώτης τάξες. Σεραφείµ Καραµπογιάς log H log H log τ log log H - -4 3dB -6 log, τ log τ log τ log rgh π 4 π log, τ log τ log / τ log Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-

Ι ΑΝΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ - ΚΑΤΩΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ H όπου είναιησυχνότητααποκοπής.,, < > H rg H κλίση - αποκοπής διέλευσης αποκοπής Η επίδραση του φίλτρου σε ένα σήµα εισόδου, µε φασµατικό περιεχόµενο εντοπισµένο στηζώνηδιέλευσης, είναιµιαχρονικήκαθυστέρηση. H y Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-3

H rgh y κλίση H rgh y κλίση H rgh y y y κλίση Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-4

H rgh y H rgh y H rgh y y y Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-5

sin π X, <, αλλιɺ ς Π X π π π Ολίσθησηστοχρόνογιακάθεπραγµατικόαριθµό είναι F X h sin[ π ] H Π C Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-6

Το αποτέλεσµα της παραθύρσης Η κρουστική απόκριση του ιδανικού κατπερατού φιλτρού [ ] sin h sin π π π Σεραφείµ Καραµπογιάς h π H π π Το αποτέλεσµα της παραθύρσης rg H T π Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-7

Ιδανικά φίλτρα H H διέλευσης αποκοπής αποκοπής διέλευσης Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο H H αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης Ιδανικό ζνοπερατό φίλτρο Ιδανικό ζνοφρακτικό φίλτρο Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-8

Πραγµατικά φίλτρα H A A LPF H A A HPF διέλευσης αποκοπής αποκοπής διέλευσης Πραγµατικό βαθυπερατό φίλτρο Πραγµατικό υψιπερατό φίλτρο H A A ΒPF H A A ΒRF αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης Πραγµατικό ζνοπερατό φίλτρο Πραγµατικό ζνοφρακτικό φίλτρο Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-9

Άσκηση Να βρεθεί το ανάπτυγµα σε τριγνοµετρική σειρά της τάσης υ υ V π π π π Σεραφείµ Καραµπογιάς T π π T T 4 Από το Παράδειγµα 3.6 έχουµε T T T T T T π π π os os 3 os 5 π T 3π T 5π T Παρατηρούµεότιητάσηεισόδουυ είναιέναπεριοδικόσήµαµε π/τ. T 4T π π k Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourir της τάσης εισόδου είναι υ V os os 3 os 5 π 3π 5π Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-

Άσκηση 4.5 υ V π π π π υ υ, < 4 H, > 4 Ητάσηεισόδουυ είναιέναπεριοδικόσήµαµεκυκλικήσυχνότητα π/τ. Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourir της τάσης εισόδου είναι Επειδήησυχνότητααποκοπήςτουιδανικούκατπερατούφίλτρουείναι 4, από 4V π os os os 3 5 υ 3 5 H H, < > το ιδανικό κατπερατό φίλτρο διέρχονται µόνο οι δύο πρώτοι όροι, µε χρονική, καθυστέρηση. Έτσιηέξοδοςτουφίλτρουείναι 4V υ o os os3 π 3 y Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-

Άσκηση υ V π π π π υ sin 4π υ h π Ητάσηεισόδουυ είναιέναπεριοδικόσήµαµεκυκλικήσυχνότητα π/τ. Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourir της τάσης εισόδου είναι h F, < H το ιδανικό κατπερατό φίλτρο διέρχονται µόνο οι δύο πρώτοι, όροι, > µε χρονική καθυστέρηση. Έτσιηέξοδοςτουφίλτρουείναι H y Επειδήησυχνότητααποκοπήςτουιδανικούκατπερατούφίλτρουείναι 4, από 4V π os os os 3 5 υ 3 5 4V υ o os os3 π 3 Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-

Άσκηση 4.6 υ V π π π π y d y d y Ητάσηεισόδουυ είναιέναπεριοδικόσήµαµε π/τ. Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourir της τάσης εισόδου είναι Στο Παράδειγµα 4. έχουµε υπολογίσει την απόκριση συχνότητας του συστήµατος πρώτης τάξης A os 4V π os os os 3 5 υ 3 5 H H y H A os[ rg H ] Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-3

Αν η είσοδος του συστήµατος είναι η αρµονική συνιστώσα υ 4V π os τότε η έξοδος του συστήµατος είναι y 4V H os π π 4V [ ] [ ] rgh os π 4 Με όµοιο τρόπο υπολογίζουµε την απόκριση y n για κάθε αρµονική συνιστώσα υ n, n, 3, τουσήµατοςεισόδουυ καιχρησιµοποιώνταςτηνιδιότητατης γραµµικότητας υπολογίζουµε την έξοδο του συστήµατος y 4V os π [ ] 4 os 3 n 3 π 3 Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-4

Άσκηση 4.7 5 u H Σεραφείµ Καραµπογιάς y Ο ΜF του σήµατος εισόδου και το µέτρο του µετασχηµατισµού είναι X, και X Η ολική ενέργεια του σήµατος εισόδου είναι E εισ, 4 Η ενέργεια του σήµατος εισόδου µπορεί να υπολογιστεί και στο πεδίο τν συχνοτήτν d 4 d 5 5 E εισ 4 4 n 4 4 π d d 5n 5 5 π,, π π d π [ ] Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-5

Ο µετασχηµατισµός Fourir του σήµατος εξόδου είναι Y H X,,, αλλις ɺ Θεώρηµα του Prsvl E d X d X d π H ολική ενέργεια του σήµατος εξόδου είναι E εξόδ. C [ ] 4 5n 5 5 n 5 4 4 4 d d π,, π π C C C C Επειδήηενέργειατουσήµατοςεξόδουπρέπειναείναιίσηµετηµισήτηςενέργειας του σήµατος εισόδου, έχουµε την εξίσση 4 5 n π 5 5 απ όπουπροκύπτει, rd s Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-6

Να βρεθεί η κρουστική απόκριση και η απόκριση συχνότητας του συστήµατος. Είσοδος δ Σύστηµα καθυστέρησης κατάτ δ δ τ δ τ Σύστηµα ολοκλήρσης d Περιγραφή του συστήµατος στο πεδίο του χρόνου. y h Π Έξοδος y h / δ ξ δ ξτ dξ u u τ τ τ Σεραφείµ Καραµπογιάς Είσοδος H H 3 Έξοδος H τ Περιγραφή του συστήµατος στο πεδίο συχνότητας. H ολική τ τ τ τ τ sin τ sin τ τ τ τ Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-7

Γραµµικόχρονικάαναλλοιώτοσύστηµαέχεικρουστικήαπόκριση h u Όταντο σήµαεισόδουείναι u ναβρεθούν α η φασµατική πυκνότητα ενέργειας β η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και γ ηενέργειατουσήµατοςεξόδου. Y α Η φασµατική πυκνότητα ενέργειας του σήµατος εξόδου είναι { } τ τ τ y Y F R β Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήµατος εξόδου είναι R E y y τ τ γ Η ενέργεια του σήµατος εξόδου είναι Απάντηση Άσκηση Σεραφείµ Καραµπογιάς Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-8

Υπενθυµίζονται οι γνστές σχέσεις από τη θερία κυκλµάτν κατά τις οποίες α Το µικό στοιχείο εµφανίζει αντίσταση R και η ένταση ρεύµατος που τη διαρρέει βρίσκεταισεσυµφνίαφάσηςµετηντάσησταάκρατης. υ R υ R i R i υr i R β Το πηνίο εµφανίζει επαγγική αντίσταση L και η ένταση του ρεύµατος που το διαρρέει βρίσκεταισεδιαφοράφάσηςπ/ µετηντάσησταάκρατου Z L L. υ L υ L i L i i υl Z γ Ο πυκντής εµφανίζει χρητική αντίσταση /C και η ένταση του ρεύµατος που το διαρρέειβρίσκεταισεδιαφοράφάσης π/ µετηντάσησταάκρατου Z C / C. υ C υ C i C i i Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-9 L υc Z C

Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-3 U in I H C L R H Z C L R Z R C L i υ in δ ΗεπαγγικήαντίστασηκυκλώµατοςείναιΖ U / Ι. Άσκηση Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος RLC σε σειρά C R L C L R L C R

H W H αποκοπής διέλευσης Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο µε εύρος-ζώνης W αποκοπής s p p Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε συνάρτηση µε τη κυκλική συχνότητα. H log H s αποκοπής Μεταβατική ζώνη p διέλευσης p s Μεταβατική ζώνη Πραγµατικό βαθυπερατό φίλτρο αποκοπής s p db db p Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε db σε συνάρτηση µε τη κυκλική συχνότητα. Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-3

Πλάτος Σήµα εισόδου 4 3 - - -3-4 3 4 5 6 7-3 Χρόνος Πάτος 3.5.5.5 Φάσµα του σήµατος εισόδου 4 6 Συχνότητα 8 Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-3

Σήµα και θόρυβος 3 Φάσµα του Σήµατος Θορύβου.5 Πλάτος 5 Πλάτος.5-5.5-3 4 5 6 7-3 Χρόνος 4 6 8 Συχνότητα Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-33

Πλάτος Το Σήµα εξόδου του φίλτρου - - 3 4 5 6 7-3 Χρόνος Πλάτος Το φάσµα του Σήµατος εξόδου του φίλτρου.8.6.4..8.6.4. 4 6 8 Συχνότητα Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-34

6 4 4 Το Σήµα εξόδου του φίλτρου Το φάσµα του Σήµατος εξόδου του φίλτρου 3 Πλάτος Πλάτος.5 - -.5-3 -4 3 4 5 6 7 Χρόνος -3 4 6 8 Συχνότητα Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-35

s in s ou H 4 6 S in S ou 4 4 log H 5 4 6 5 4 6 4 6 Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-36

s in s ou H 4 6 S in S ou 4 4 log H 5 4 6 5 4 6 4 6 Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-37

m in m ou H 4 8 M in M ou log H 5 5 4 8 4 6 8 KHz 4 6 8 KHz Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourir 4-38