BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Sadržaj 1 2 Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r

Jedno od osnovnih oblika naprezanja grednog nosača je (pravo) savijanje silama Posmatra se pravo savijanje silama (nosači u ravni, opterećenje upravno na osu nosača u ravni simetrije poprečnih preseka) Prilikom savijanja silama, ukoliko nema opterećenja u pravcu ose nosača, sile u preseku su transverzalne sile T i momenti savijanja M Naponsko stanje nosača je ravno: čine ga normalni naponi σ z (usled M) i smičući naponi τ zy (usled T)

Normalni naponi σ z dati su sa izrazom σ z = M x(z) I x Smičući naponi τ zy određeni su u skladu sa hipotezom Žuravskog: Pri pravom savijanju grede silama, komponenta smičućeg napona paralelna ravni savijanja može da se smatra konstantnom duž pravih paralelnih sa neutralnom osom, a komponenta upravna na ravan savijanja može da se zanemari y

- hipoteza Žuravskog Iz nosača je izdvojen deo poprečnog preseka elementarne dužine dz Iz uslova ravnoteže sila koje deluju na izdvojen element ose, u pravcu ose štapa z, dolazi se do izraza za smičući napon τ zy

Smičući naponi τ zy određeni su u skladu sa hipotezom Žuravskog τ zy = T y S b I x (1) gde je - I x... momenat inercije poprečnog preseka - S... statički momenat površine F 2 dela preseka ispod (ili iznad) posmatrane tačke, u odnosu na neutralnu osu - T y (z)... transverzalna sila u posmatranom preseku - b... širina poprečnog preseka na mestu vlakna gde se određuje smičući napon

- hipoteza Žuravskog Raspodela smičućih napona τ zy po visini pravougaonog preseka

- hipoteza Žuravskog Raspodela smičućih napona τ zy po visini kružnog preseka τ zy,max = 4 3 Ty(z) F

Prema tome, usled pravog savijanja silama, u grednom nosaču se javlja ravno stanje napona Glavni normalni naponi su dati sa σ 1,2 = σ (σz ) z 2 2 ± + τ 2 2 zy (2) dok su pravci glavnih napona dati sa tan 2α 1,2 = ± 2 τ zy σ z

- ravno stanje napona Ravno stanje napona i Morov krug

- trajektorije glavnih napona Trajektorije glavnih napona: puna linija pritisak, isprekidana zatezanje

Ako je u pitanju AB štap, koji je izložen savijanju silama, normalni i smičući napon obeležavaju se sa σ z = σ b, kao i τ zy = τ, tako da se glavni naponi (2) prikazuju u obliku σ 1,2 = σ b 2 ± (σb ) 2 + τ 2 AB elementi su, po pravilu, u Fazi II, dakle, u zategnutom delu preseka su prsline i celokupno zatezanje je povereno armaturi Prema tome, u neutralnoj osi i ispod nje normalni napon zatezanja je jednak nuli, σ bz = 0, pa su glavni naponi u neutralnoj osi i u zategnutom delu preseka dati sa 2 σ 1,2 = ±τ (3)

Savijanje grede (silama i/ili čisto) - Faze I i II

Prema tome, u presecima sa prslinama, najveći glavni naponi zatezanja javljaju se u neutralnoj liniji ili na zategnutom delu preseka Glavni napon zatezanja u zategnutom delu preseka na mestu prsline brojno je jednak smičućem naponu Imajući u vidu (3), najveći glavni napon zatezanja je jednak najvećem smičućem naponu: σ 2,max = τ max U slučaju delovanja transverzalnih sila, lom preseka se događa iscrpljivanjem čvrstoće betona pri zatezanju

Usled delovanja momenata savijanja M, sa ili bez normalne sile N, proračun se vrši prema normalnim naponima u betonu Usled delovanja transverzalnih sila T (savijanje silama) i/ili momenata torzije M T, proračun se vrši prema smičućim naponima Iako se kaže proračun prema smičućim naponima, u stvari je to proračun prema glavnim naponima zatezanja Za prijem glavnih napona zatezanja koristi se poprečna armatura (uzengije), u kombinaciji sa koso povijenom podužnom armaturom

Pri delovanju granične transverzalne sile lom u nosaču može da nastane iz sledećih razloga: - usled nedostatka, ili nedovoljne količine, poprečne armature za prijem uticaja usled glavnih napona zatezanja (odn. za prijem smičućih napona) - usled loma betona zbog pojave kosih prslina koje se protežu visoko po preseku - usled proklizavanja zategnute armature kada ona nije pravilno usidrena u području oslonaca

Kose prsline u blizini oslonaca Kose prsline u blizini oslonaca (uticaj T sila) i vertikalne prsline u srednjem delu (uticaj M)

Kose prsline u blizini oslonaca Kose prsline u blizini oslonaca (uticaj T sila)

Kose prsline u blizini oslonaca

- prsline u nosaču Različite vrste prslina duž nosača izloženog savijanju silama

- prsline u nosaču Različite vrste prslina duž nosača izloženog savijanju silama u zavisnosti od odnosa položaja sile a i visine preseka d

Kose prsline u blizini oslonaca - eksperimenti Kose prsline u blizini oslonaca (uticaj T sila)

- poprečna armatura (uzengije)

- koso povijena podužna armatura

Idealizovani model rešetke Analiza naponskog stanja u zonama oslonaca, gde su veće vrednosti transverzalnih sila, dosta je komplikovana Za nosače sa prslinama koje se formiraju pri dostizanju graničnog stanja loma, oblast nosača u blizini oslonaca može da se prikaže idealizovanim modelom rešetke To je tzv. Ritter-Mörsch-ova rešetka kojom se uspostavlja analogija između rešetke i nosača u stanju granične nosivosti

Model idealizovane rešetke Idealizovana rešetka u blizini oslonca - analogija sa lomom u nosaču usled delovanja graničnih transverzalnih sila

Idealizovani model rešetke U idealizovanm modelu rešetke, analogija sila u štapovima rešetke i elemenata AB nosača je sledeća: - gornji pojas rešetke... pritisnuta zona betona - donji pojas rešetke... zategnuta podužna armatura - pritisnute dijagonale rešetke... betonski štapovi odvojeni kosim prslinama, nagnuti pod uglom θ u odnosu na osu nosača - zategnute dijagonale, ili vetikale rešetke... poprečna armatura: uzengije ili koso povijena armatura, nagnuta pod uglom α prema osi nosača

Model idealizovane rešetke Idealizovana rešetka u blizini oslonca - analogija sa lomom u nosaču usled delovanja graničnih transverzalnih sila

Idealizovani model rešetke Analogija između AB nosača u stanju granične ravnoteže i rešetke, koju su uočili Ritter i Mörsch, omogućava jednostavniji način proračuna Uvodeći određena pojednostavljenja, uz zanemarivanje doprinosa zategnutog dela betona, dobija se analogija između nosača i statički rešetke Sile u štapovima takve rešetke mogu da se odrede samo iz uslova ravnoteže

Model idealizovane rešetke Idealizovani model rešetke u blizini oslonca s = z (cot α + cot θ) c = z (cot α + 2 cot θ)

Sadržaj 1 2 Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r

Određivanje glavnih napona zatezanja svodi se na određivanje maksimalnih smičućih napona: σ 2,max = τ max Zato se ovaj proračun i zove proračun preseka prema smicanju, iako je reč o proračunu prema glavnim naponima zatezanja σ 2 Prema Hipotezi Žuravskog, najveći smičući napon (u pritisnutom delu preseka) dat je sa (1): τ max = T S i b min I i (4)

Sa S i u relaciji (4) označen je statički momenat dela površine idealizovanog preseka koji je dalje od (iznad) posmatranog vlakna u odnosu na neutralnu osu Sa I i je označen momenat inercije idealizovanog preseka u odnosu na neutralnu osu Imajući u vidu da je I i = S i z, gde je z krak unutrašnjih sila, relacija (4) može da se napiše u obliku τ max = T b min z (5)

Merodavna transverzalna sila T mu je transverzalna sila prema kojoj se vrši dimenzionisanje AB elemenata na dejstvo glavnih napona zatezanja, odn. na dejstvo smičućih napona U opštem slučaju, nosač može da bude (linearno) promenljive visine preseka Neka je ugao nagiba gornje ivice preseka prema (horizontalnoj) osi štapa označen sa δ, a ugao nagiba donje ivice preseka sa γ Posmatra se element ose štapa dužine x koji je izdvojen iz nosača Na levom kraju elementa statička visina preseka je h, dok je na desnom kraju statička visina h + h

Na krajevima elementa deluju granične sile u preseku: (M u, T u, N u ) na levom kraju, kao i granične sile sa malim priraštajima (M u + M u, T u + T u, N u + δn u ) na desnom kraju Ne ulazeći u detalje izvođenja, iz uslova ravnoteže posmatranog elementa može da se dobije merodavna transverzalna sila: T mu = T u M u h + N u (tan γ + tan δ) N u x (z c a) [ tan γ c a h (tan γ + tan δ) ] (6)

Izdvojen element nosača promenljive visine T mu = T u M u h + N u (tan γ + tan δ) N u x (z c a) [ tan γ c a h (tan γ + tan δ) ]

U izrazu (6) uvedene su oznake: - h = d a 1... statička visina preseka - z = 0.9 h... krak unutrašnih sila (za pravougaoni presek) - c a... rastojanje od ose štapa do težišta zategnute armature: c a = d/2 a 1 Drugi član u izrazu (6) uzima se sa negativnim znakom ako se M menja na isti način kao i h (oboje rastu ili opadaju), a sa pozitivnim znakom ako povećanje M na delu nosača prati smanjenje h ili obrnuto

U slučaju kada je normalna sila konstantna, N u = const, onda je N u = 0 U slučaju nosača sa konstantnom visinom preseka, d = const, onda je γ = δ = 0, odn. tan γ = tan δ = 0 Prema tome, za nosač konstantne visine preseka, sa konstantnim normalnim silama, što je često kod grednih nosača, merodavna transverzalna sila jednaka je graničnoj transverzalnoj sili: T mu = T u = i γ ui T i

Nominalni (računski) smičući napon τ n određuje stepen naprezanja nosača i računa se prema izrazu (5): τ n(t ) = T mu b z (7) gde je b minimalna širina poprečnog preseka na delu od neutrane linije do težišta zategnute armature Ovaj nominalni napon smicanja τ n(t ), određen za granične uticaje transverzalnih sila, upoređuje se sa računskom čvrstoćom pri smicanju τ r, koja zavisi od marke betona

Računska čvrstoća pri smicanju τ r u funkciji marke betona, prema PBAB 87: MB 15 20 30 40 50 60 τ r [MPa] 0.6 0.8 1.1 1.3 1.5 1.6 Uslovi granične nosivosti pri smicanju 1 τ n(t ) τ r... celokupni smičući napon prihvata beton, pa nije potrebno da se predvidi nikakva računska armatura za uticaje usled dejstva transverzalnih sila Nosač se armira konstruktivnim uzengijama

Uslovi granične nosivosti pri smicanju 2 τ r τ n(t ) 3 τ r... deo smičućeg napona prihvata beton, a deo računska poprečna armatura (uzengije), jer se u ovoj oblasti javljaju prsline relativno malih širina 3 3 τ r τ n(t ) 5 τ r... celokupni smičući napon prihvata računska poprečna armatura, odn. beton ne učestvuje u prijemu smičućih napona, jer se u ovoj oblasti smičućih napona javljaju prsline relativno velikih širina 4 τ n(t ) > 5 τ r... nije dozvoljeno (povećava se presek ili MB)

Oblast τ r τ n(t ) 3 τ r U oblasti smičućih napona τ r τ n(t ) 3 τ r transverzalna sila koju prihvata sam beton data je sa T bu = 1 2 [3 τ r τ n(t ) ] b z (8) dok je redukovana računska transverzalna sila koju prihvata poprečna armatura data kao razlika T Ru = T mu T bu (9) Deo T sile koju prihvata beton T bu prenosi se delom preko neravnina površine u samoj prslini, a delom preko pritisnute zone betona u poprečnom preseku

Oblast 3 τ r τ n(t ) 5 τ r U oblasti smičućih napona 3 τ r τ n(t ) 5 τ r kompletna merodavna transverzalna sila prihvata se samo poprečnom armaturom (uzengijama i, ako je potrebno, koso povijenom armaturom) Imajući to u vidu, u ovoj oblasti smičućih napona važi T Ru = T mu T bu = 0 Razvoj prslina je takav da je prenošenje T sile putem betona neizvesno, pa se usvaja da je T bu = 0

Oblast 3 τ r τ n(t ) 5 τ r U ovoj oblasti se ne vrši redukcija merodavne transverzalne sile U proračunu armature usvaja se da celokupnu zatežuću silu koja potiče od glavnih napona zatezanja prihvata armatura Na delu nosača na kome se nominalni napon smicanja nalazi u granicama τ r τ n(t ) 3 τ r, redukcija merodavne transverzalne sile vrši se prema relacijama (8) i (9)

Oblast τ n(t ) > 5 τ r Ako se dobije da je τ n(t ) > 5 τ r, zbog suviše visokih glavnih napona pritiska može da dođe do pojave krtog loma po betonu usled mrvljenja pritisnutih betonskih dijagonala između kosih prslina U takvom slučaju se - povećavaju dimenzije poprečnog preseka (pre svega širina b) - i/ili povećava kvalitet betona (povećava se MB) Kako je na ovaj način izbegnuta pojava krtog loma po betonu, određivanje graničnih T sila se vrši sa parcijalnim koeficijentima sigurnosti koji važe za lom po armaturi u slučaju čistog savijanja (kada je 3 ε a 10 )

Nominalni smičući napon τ n(t ) i redukcija T sile Raspodela nominalnog smičućeg napona τ n(t ) i prikaz dela površine napona smicanja koju prihvata beton, odn. armatura (šrafirano) λ... dužina osiguranja, l 01... dužina na kojoj je T u istog znaka

Sadržaj Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r 1 2 Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja zasniva se na analogiji sa rešetkom (Ritter-Mörsch) U prijemu glavnih napona zatezanja (smičućih napona) učestvuje: - poprečna armatura A ak (uzengije i koso povijena armatura) - dodatna podužna armatura A a

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem smičućih napona

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Sila zatezanja u kosoj (poprečnoj) armaturi u blizini oslonca određuje se iz uslova ravnoteže V = 0: T Ru = Z ku sin α Z ku = T Ru sin α Sila zatezanja u poprečnoj armaturi po jedinici dužine Z ku s = T Ru s sin α = T Ru z (cot α + cot θ) sin α (10)

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Dužina λ je dužina osiguranja glavnih napona zatezanja Ukupan integral napona smicanja (za koje se računa armatura) na dužini osiguranja zove se horizontalna sila veze H vu Horizontalna sila veze H vu data je sa H vu = x=λ x=0 τ Ru b dx = x=λ x=0 T Ru z dx (11) jer je τ Ru = T Ru b z

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Ako je dijagram T sila linearan (za jednakopodeljena opterećenja), integral u (11) je jednak: H vu = τ Ru λ 2 b (12) gde je - λ... dužina osiguranja poprečnom armaturom, data sa ( λ = l 01 1 τ ) r τ n(t ) - l 01... dužina na kojoj je T u istog znaka

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Unošenjem relacije Z ku = σ v A ak, gde je A ak površina poprečne (kose) armature, i integracijom izraza (10), dobija se ukupna površina kose armature za osiguranje od delovanja graničnih transverzalih sila: A ak = 1 σ v (cot α + cot θ) sin α x=λ x=0 τ Ru b dx (13) Imajući u vidu da je integral u (13) horizontalna sila veze H vu (11), izraz za površinu kose armature (13) može da se prikaže kao H vu A ak = (14) σ v (cos α + sin α cot θ)

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Ugao α je ugao nagiba poprečne armature i obično je α = 90 za uzengije, a α = 45 za koso povijenu armaturu Ugao θ je ugao nagiba pritisnutih betonskih dijagonala Ugao θ se slobodno bira u granicama 25 θ 55, od čega zavisi i ukupna količina armature za osiguranje glavnih napona zatezanja Ugao θ se obično bira u granicama 35 45, najčešće θ = 45

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Ukupna poprečna armatura A ak može da bude od uzengija i/ili koso povijene podužne armature Za koso povijenu armaturu koriste se (obično) već postojeći profili podužne armature (određeni dimenzionisanjem prema M u i N u ), koji više nisu neophodni u funkciji zategnute armature A a1 Ako je moguće, bolje je, zbog jednostavnijeg izvođenja, da se koriste samo uzengije

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Ako se osiguranje vrši samo vertikalnim uzengijama (α = 0 ) prema maksimalnom redukovanom smičućem naponu τ Ru, onda je α = 0, odn. cot α = 0 i sin α = 1 Uslov da je ukupna sila u uzengijama Z u,u jednaka redukovanoj transverzalnoj sili T Ru glasi Z u,u = T Ru m a (1) s au σ v = T Ru = τ Ru b z (15) e u gde je - m... sečnost uzengija (m = 2 ili m = 4) - broj šipki uzengija u preseku - a (1) au... površina jedne šipke uzengije - e u... razmak uzengija

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Iz uslova (15), unoseći izraz za dužinu s, dobija se potrebna površina preseka jedne uzengije m a (1) au = τ Ru b σ v cot θ e u (16) Obično se usvoji profil i sečnost uzengije, pa se iz relacije (16) izračunava potreban razmak uzengija e u Uzengije se usvajaju sa profilima UΦ8, 10, 12mm

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Minimalna površina preseka poprečne armature, odn. uzengija a (1) au određuje se iz uslova zadovoljenja minimalnog procenta armiranja na dužini osiguranja λ: a (1) au µ u,min b e u m (17) pri čemu je µ u,min minimalni procenat armiranja uzengijama na dužini osiguranja λ dat sa µ u,min 0.2 %

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Procenat armiranja uzengijama µ u na dužini osiguranja λ dat je sa µ u = m a(1) au b e u 100 pri čemu je µ u,min 0.2 % Maksimalno rastojanje uzengija e u,max iznosi (BAB 87) e u,max = min h/2 b 25 cm Minimalno rastojanje uzengija je e u,min = 7.5cm

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Pri proračunu napona smicanja u neposrednoj blizini oslonaca, može da se izvrši redukcija T sile na dužini c/2 + 0.75 d (sa jedne strane ivičnog oslonca), gde je c širina oslonca, a d je visina preseka Ako je u pitanju srednji oslonac, onda se redukcija T sile vrši posebno sa obe strane (ukupna dužina redukcije je c + 1.5 d) Smatra se da se deo raspodeljenog opterećenja na dužini c/2 + 0.75 d sa jedne strane direktno uliva u oslonac, pa ne izaziva smičuće napone u tom području

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Osim poprečne armature A ak, za prijem glavnih napona zatezanja, potrebno je da se predvidi i dodatna podužna armatura A a Ova armatura A a se dodaje na već postojeću zategnutu armaturu A a1 određenu za uticaje M u i N u Proračun nosača po modelu rešetke u analizi dejstva graničnih transverzalnih sila zahteva da se donji pojas nosača (rešetke) armira dodatnom zategnutom armaturom A a

Model idealizovane rešetke Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Idealizovani model rešetke Standardni model grede s = z (cot α + cot θ) c = z (cot α + 2 cot θ)

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Postavlja se (Riterov) uslov ravnoteže M (A) = 0 za model rešetke: Z au,r z = T mu c Z au,r = T mu c z = T mu (2 cot θ+cot α) Kada se sila zatezanja u istom preseku odredi kao za nosač - gredu, dobija se sila (18) Z au,n = 3 2 s T mu z = 3 2 T mu (cot θ + cot α) (19)

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Razlika ove dve sile (18) i (19) data je sa Z a = Z au,r Z au,n = T mu 2 (cot θ cot α) Ova sila Z a treba da bude pokrivena sa dodatnom zategnutom armaturom A a Imajući u vidu relaciju Z a = σ v A a, dobija se A a = T mu 2 σ v (cot θ cot α) (20)

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Proračun armature za prijem glavnih napona zatezanja Ako se koriste samo vertikalne uzengije, onda je α = 90, odn. cot α = 0, tako da se dobija: A a = T mu 2 σ v cot θ Ao se koristi samo koso povijena armatura, onda je α = 45, odn. cot α = 1, tako da se dobija: A a = T mu 2 σ v (cot θ 1)

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Postupak proračuna uticaja merodavnih transverzalnnih sila 1 Određuje se merodavna transverzalna sila T mu, prema (6), ali za nosač konstantne visine i bez promene N sila, sila T mu data je sa T mu = T u = γ ui T i i 2 Za poznatu geometriju preseka, za širinu preseka b i za krak unutrašnjih sila z 0.9 h = 0.9 (d a 1 ), određuje se nominalni (računski) smičući napon τ n(t ) : τ n(t ) = T mu b z

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Postupak proračuna uticaja merodavnih transverzalnnih sila 3 Za definisanu MB i za datu računsku čvrstoću betona pri smicanju τ r, određuje se oblast granične nosivosti pri smicanju: τ n(t ) τ r T bu = T mu T Ru = 0 τ r < τ n(t ) 3 τ r T bu = 1 2 (3 τ r τ n(t ) ) b z T Ru = T mu T bu 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r T bu = 0 T Ru = T mu određuje se za delovanje sile T Ru

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Postupak proračuna uticaja T mu : oblast τ r < τ n(t ) 3 τ r U ovoj oblasti smičućih napona osiguranje se najčešće vrši samo pomoću vertikalnih uzengija, pa je α = 0, odn. sin α = 1, cos α = 0, cot α = 0 4 Unapred se usvaja sečnost uzengija m i bira se neki od uobičajenih prečnika uzengija U Φ8, 10, 12mm Time je određena površina jedne šipke uzengija a (1) au i bira se ugao pritisnutih dijagonala θ u granicama 35 45

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Postupak proračuna uticaja T mu : oblast τ r < τ n(t ) 3 τ r 5 Određuje se rastojanje uzengija e u iz izraza e u1 = m a(1) au b e u2 = m a(1) au b σv cot θ τ Ru 1 µ u,min e u = min(e u1, e u2 ) e u,max gde je h 2 e u,max = min b e u,min = 7.5 cm 25 cm gde je h statička visina preseka

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Postupak proračuna uticaja T mu : oblast τ r < τ n(t ) 3 τ r 6 Ukoliko se dobije da je e u1 < e u,min = 7.5cm, potrebno je da se poveća sečnost uzengije m, prečnik uzengija Φ u, smanji ugao θ, da se poveća MB i σ v, ili da se povećaju dimenzije preseka b i d 7 Ukoliko je nemoguće da se poboljša kvalitet betona i čelika i/ili povećaju dimenzije preseka, deo smičućih napona se poverava koso povijenoj armaturi 8 Ukoliko se dobije da je e u2 < e u,min = 7.5cm, potrebno je da se poveća sečnost uzengije m, prečnik uzengija Φ u, ili da se smanji širina preseka b

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Postupak proračuna uticaja T mu : oblast τ r < τ n(t ) 3 τ r 9 Potrebno je da se kontroliše stvarni procenat armiranja uzengijama i da se utvrdi da li je veći od minimalnog: µ u = m a(1) au b e u µ u µ u,min = 0.2% 10 Potrebno je da se odredi stvarni smičući napon u uzengijama i da se uporedi sa računskim naponom: τ Ru,u = µ u σ v cot θ τ Ru,u τ Ru 11 Dodatna zategnuta armatura je data sa A a = T mu 2 σ v cot θ

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Postupak proračuna uticaja T mu : oblast 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r U ovoj oblasti smičućih napona osiguranje se vrši pomoću vertikalnih uzengija i koso povijene armature Ako je prekoračenje napona 3 τ r malo, treba težiti da se i tada osiguranje vrši samo uzengijama U slučaju da se koriste i uzengije i kosa armatura, onda je α u = 0 sin α u = 1 cos α u = 0 cot α u = 0 α k = 45 sin α k = 1/ 2 cos α k = 1/ 2 cot α k = 1

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Postupak proračuna uticaja T mu : oblast 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Koraci (1) do (5) su isti kao i u oblasti smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r, jedino je preporučena izmena u maksimalnom razmaku uzengija: { e u,max = min (bilo je e u,max = min(h/2, b, 25cm)) h 3 20 cm 6 U ovoj oblasti napona je najčešće teško da se zadovolji uslov da je e u1 e u,min = 7.5cm, jer je τ Ru dosta veliko, pa se rastojanje uzengija usvaja kao e u e u2

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Postupak proračuna uticaja T mu : oblast 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Treba birati jače uzengije, većih prečnika, npr U Φ12, jer je tada preostali deo smicanja koji se poverava koso povijenim šipkama manji, čime se dobija manje koso povijene armature 7 Za usvojene karakteristike uzengija određuje se µ u = m a(1) au b e u µ u,min = 0.2%... stvarni procenat armiranja uzengijama τ Ru,u = µ u σ v cot θ... stvarni smičući napon u uzengijama T Ru,u = τ Ru,u b z... granična transverzalna sila koju prihvataju uzengije H vu,u = τ Ru,u λ 2 b... horizontalna sila veze koju prihvataju uzengije

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Postupak proračuna uticaja T mu : oblast 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r 8 Osiguranje od smicanja uzegijama vrši se na celoj dužini osiguranja ( λ = l 01 1 τ ) r τ n(t ) 9 Za koso povijenu armaturu, kao dodatak na već određene uzengije, izračunava se: horizontalna sila veze koju prihvata kosa armatura H vu,k = H vu H vu,u potrebna površina kose armature A ak = H vu,k σ v (cos α k + sin α k cot θ)

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Postupak proračuna uticaja T mu : oblast 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r 10 Maksimalan razmak koso povijene armature dat je sa e k,max = min { h 2 25cm Tačan položaj koso povijene armature duž ose nosača obično se određuje grafičkom konstrukcijom, korišćenjem tzv. integralne krive Ako se za kosu armaturu koristi podužna zategnuta armatura, onda, pri određivanju položaja kose armature, mora da se vodi računa i o pokrivanju linije zatežućih sila

Proračun armature Oblast smičućih napona τ r < τ n(t ) 3 τ r Oblast smičućih napona 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r Postupak proračuna uticaja T mu : oblast 3 τ r < τ n(t ) 5 τ r 11 Osiguranje od napona smicanja koso povijenom armaturom vrši se na redukovanoj dužini osiguranja: ( λ k = λ 1 τ ) Ru,u τ Ru 12 Dodatna podužna armatura data je sa A a = au + A ak = T mu 2 σ v cot θ + T mu 2 σ v (cot θ 1)