Sl. 3/1. Statički sistemi grednih nosača

Transcript

1 3. LINIJSKI ELEMENTI 3.1. GREDNI NOSAČI KARAKTERISTIKE, PRIMENA I SISTEMI Grednim nosačima smatramo one linijske elemente koji su pretežno opterećeni na savijanje silama. Javljaju se sastavnim delom praktično svih inženjerskih konstrukcija i najčešće su horizontalnog pravca pružanja. U zgradarstvu se primenjuju kao noseći elementi međuspratnih konstrukcija, kao glavni nosači krovnih konstrukcija većeg raspona, kao sastavni deo temeljnih konstrukcija (temeljne kontragrede). Kod mostova grednog sistema primenjuju se kao glavni i sekundarni nosači mostovske konstrukcije. Pojavljuju se i kao sastavni deo složenijih armiranobetonskih elemenata: rigle ramovskih konstrukcija, gredni nosači kombinovanih sistema, osnovni elementi temeljnih roštilja itd. U konstrukcijama se gredni elementi najčešće javljaju u sklopu sa drugim elementima: stubovima, pločama, zidovima (Sl. 3/2). Sl. 3/1. Statički sistemi grednih nosača Načelno, gredni nosači mogu biti projektovani preko jednog ili više raspona. Statički sistem grednog nosača je određen rasporedom oslonaca, koji mogu biti formirani kao nepomerljivi ili pomerljivi (potpuno, delimično). Ređi je slučaj da je greda na svom jednom kraju uklještena u masivni zid ili neki drugi element konstrukcije. U konstrukcijama zgradarstva su najčešće kruto vezane za vertikalne oslonce (stubove), čime se formiraju armiranobetonski Sl. 3/2. Okvirne i roštiljne konstrukcije okviri (Sl. 3/2). Grednim nosačima se mogu smatrati elementi kod kojih je odnos visine poprečnog preseka i raspona nosača manji od U ovim slučajevima su zadovoljene osnovne pretpostavke tehničke teorije savijanja (zanemarenje normalnih napona σy). Za veće odnose visine prema rasponu, grede se tretiraju saglasno teoriji ploča opterećenih u svojoj ravni, kao zidni nosači ili visoke grede. Ipak, u praksi je uobičajen gredni tretman elemenata sve do odnosa visine prema rasponu od Brujić: Betonske konstrukcije u zgradarstvu 99

2 Betonske konstrukcije u zgradarstvu OBLIKOVANJE Gredni nosači se najčešće projektuju punog pravougaonog poprečnog preseka. U slučaju krute veze sa međuspratnom pločom, preseci nosača postaju T-oblika, budući da, kao pritisnuta, ploča saučestvuje u prenosu napona pritiska. Za prefabrikovane gredne elemente je karakteristična optimizacija poprečnog preseka i za manje raspona. Tada se koriste T-preseci, nesimetrični i simetrični I-preseci ili, zavisno od namene i opterećenja neki drugi, razuđeni oblik poprečnog preseka. Sl. 3/3. Karakteristični poprečni preseci grednih nosača Kod većih raspona, u cilju uštede u težini, grede se mogu projektovati razuđenih ili sandučastih preseka. Optimalan oblik preseka je određen potrebnom nosivošću pritisnute zone betona, te minimiziranjem zategnute površine betonskog preseka na meru dovoljnu za smeštaj i pravilno vođenje armature. Širina nosača je primarno funkcija zadovoljenja glavnih napona zatezanja, ali se proporcionalno menja sa visinom nosača. Uobičajene visine poprečnih preseka greda se nalaze u rasponu od 1/12 do 1/8 raspona. Po dužini, gredni nosači mogu biti konstantnog ili promenljivog preseka. Silueta nosača se, kada je to ekonomski opravdano, projektuje tako da približno prati promenu momenata savijanja. Promenljiva silueta se može postići izvođenjem vuta, što je čest slučaj kod kontinualnih nosača u okolini oslonaca (mesta maksimalnih momenata savijanja). Vute su obično vertikalne i mogu biti projektovane kao pravolinijske ili krivolinijske (Sl. 3/4). U pojedinim situacijama kada je visina limitirana, opravdano je projektovanje horizontalnih vuta proširenjem preseka (Sl. 3/4). Sl. 3/4. Vertikalne i horizontalne vute 100

3 3. Linijski elementi Vertikalne vute se izvode strmije od horizontalnih. Proračunski, vertikalne vute su limitirane nagibom na 1:3, ma kako da su izvedene, dok horizontalne vute imaju uobičajene nagibe od 1:8 do 1:6. Uobičajene dužine vuta ne prelaze desetinu raspona grede. Jedna vrsta horizontalne vute se često primenjuje u oslonačkim delovima grednih elemenata (posebno karakteristično za montažne grede), kada se proširenjem preseka povećava moć prijema glavnih napona zatezanja, koji u ovim zonama imaju maksimalne vrednosti (Sl. 3/5). U konkretnoj situaciji, uobičajeno je proširenje Sl. 3/5. Oblikovanje oslonačkog dela rebra na širinu uže (donje) flanše. grede nesimetričnog I-preseka Osim vutama, promenljiva silueta može biti izvedena i promenom visine nosača duž cele njegove dužine, na primer. Takav je slučaj kod krovnih grednih glavnih nosača, kada se gornja ivica projektuje u nagibu, kojim je greda opskrbljena maksimalnim visinama preseka na mestima maksimalnih momenata savijanja, a, sa druge strane, obezbeđen nagib za krovne ravni (Sl. 3/6). Sl. 3/6. Montažna greda promenljive visine PRORAČUN UTICAJA Proračun statičkih uticaja grednih nosača se, načelno, sprovodi saglasno linearnoj teoriji elastičnosti. Pri tome, za raspon grede se usvajaju odgovarajuća rastojanja sistemskih linija. Međutim, kada je širina oslonca veća od desetina raspona grede, ili kada nije moguće utvrditi položaj sistemnih linija, teorijski raspon grede (raspon grede u statičkom sistemu) može se usvojiti kao svetli raspon uvećan za 5% (Sl. 3/7). Sa ovako usvojenim rasponima formira se statički sistem nosača, za koji se određuju uticaji. Uobičajeno je da se za gredne elemente u konstrukcijama zgradarstva uticaji određuju za u- kupno opterećenje i. Ipak, kad god to može dovesti do značajnijih promena u rezultatima, neophodno je razmatrati različite rasporede korisnog opterećenja (skladišta, biblioteke, sportski objekti...), te eventualnu povoljnost delovanja pojedinih dejstava (različiti rasponi kod kontinualnih nosača, na primer). Sl. 3/7. Teorijski rasponi grednog nosača Kod kontinualnih greda, bez obzira na rezultat određivanja statičkih uticaja, prilikom dimenzionisanja je, za pozitivne momente u polju, neophodno usvojiti vrednosti najmanje jednake i Razlog je relativno mali udeo korisnog tereta u ukupnom u konstrukcijama zgradarstva. Poglavlje 3 : strana 3 od

4 Betonske konstrukcije u zgradarstvu onima koje odgovaraju mometima u polju obostrano, odnosno jednostrano, uklještene grede opterećene ravnomerno podeljenim opterećenjem (Sl. 3/8). Sl. 3/8. Minimalne proračunske vrednosti momenata u polju kontinualne grede Uklještenje nad krajnjim osloncem kontinualne grede je opravdano usvojiti u statičkom sistemu samo kada je ono konstruktivnim merama obezbeđeno i dokazano. Kontinualne grede oslonjene na zidove ili stubove od opeke, kada rotacija grede nije sprečena, dakle, nad osloncima, treba dimenzionisati prema redukovanoj, Sl. 3/9. Oslonački momenti kod kontinualnih paraboličnoj raspodeli momentnog dijagrama (Sl. 3/9a). Češći slučaj je kruta veza greda zglobno i kruto spojenih sa osloncima grede sa stubovima, kada je opravdano oslonački presek grede dimenzionisati na momente na ivici oslonca (Sl. 3/9b). Sl. 3/10. Dijagrami momenata savijanja u grednim nosačima Prikazani su (Sl. 3/10) karakteristični oblici dijagrama momenata savijanja za najčešće statičke sisteme (prosta greda, kontinualna greda, okvir) u kojima se nalaze gredni elementi. Načelno, greda kod koje je nad krajnjim osloncima ostvareno delimično ili potpuno uklještenje je, statički, povoljnija od zglobne, jer joj odgovaraju manje ekstremne vrednosti momenata savijanja i manji Sl. 3/11. Određivanje momenta uklještenja kraja grede prvom iteracijom Cross-ovog postupka ugibi. Ipak, kada postoji opasnost od neravnomernog sleganja oslonaca ili nekog drugog deformacijskog opterećenja, statički određene ili manje statički neodređene konstrukcije su u prednosti. Kod montažnih konstrukcija, jednostavnije je izvođenje zglobnih od krutih veza (Okvir 3/1). 102

5 3. Linijski elementi U okvirnim konstrukcijama grede su najčešće kruto vezane za stubove. Stepen elastičnog u- klještenja kraja grede u ostatak okvirne konstrukcije može biti približno određen - procenjen (moment elastičnog uklještenja) korišćenjem prve iteracije Cross-ovog postupka, na primer, kako je to pokazano na Sl. 3/11. Rezultat je dovoljne tačnosti za potrebe dimenzionisanja, kada je o vertikalnom opterećenju reč, te o horizontalno ukrućenim okvirima. Tada se momenti u srednjim stubovima mogu zanemariti. Okvir 3/1. Montažni P-okvir Optimalno formiran okvir od montažnih elemenata bi, saglasno rečenom, bio formiran od stubova G- oblika, proizvedenih sa konzolnim ispustom dela grednog elementa, kako je prikazano na prvoj skici. Pozicioniranjem nastavaka/spojeva montažnih elemenata na mestima nultih momentnih tačaka odgovarajućeg monolitnog P-okvira, uz obezbeđenje prenosa aksijalne i transverzalne sile, bi omogućilo izostajanje potrebe za ostvarivanjem momentnog kontinuiteta na mestu spoja. Dijagram momenata bi imao isti oblik kao da je okvir monolitan. Međutim, značajno je jednostavnija (jeftinija) proizvodnja, transport i montaža pravih elemenata, nego elemenata izlomljene ose. Ovo je najčešće odlučujući faktor optimizacije u korist nepovoljnijeg statičkog sistema, kojim se momentno ne angažuje spoj grede i stuba (desna slika). Određenu kompenzaciju može da predstavlja racionalniji oblik poprečnog preseka, karakterističan za montažne elemente Preraspodela momenata savijanja i duktilnost preseka Statički uticaji kod statički neodređenih konstrukcija su funkcija krutosti elemenata i njihove promene. Krutosti po dužini armiranobetonskih elemenata se menjaju u skladu sa dostignutim naponsko-deformacijskim stanjem, isprskalošću preseka, promenom količine armature... Na Sl. 3/12 su prikazana karakteristična naponsko-deformacijska stanja grednog elementa opterećenog dvema koncentrisanim silama. Malim momentima savijanja odgovara (približno) pravolinijska raspodela normalnih napona (Ia), i u pritisnutom i u zategnutom delu. Momentima neposredno pred pojavu prslina (Ib) odgovara (približno) linearno promenljivo naponsko stanje u pritisnutoj i nelinearno promenljivo u zategnutoj zoni. Za momente jednake i veće od momenta pojave prsline, javljaju se prsline (na ovim mestima je zatežući normalni napon u betonu jednak nuli), a raspodela napona pritiska po visini pritisnute zone je kvazi-linearna (II). Daljim povećanjem opterećenja, šire se prsline, zategnuta podužna armatura je u plastičnoj fazi rada, a pritisnuti beton trpi nelinearne deformacije, zbog čega se i naponski dijagram odlikuje visokom nelinearnošću (III). Ovo stanje, stanje III, odgovara graničnom kapacitetu nosivosti preseka i koristi se za proračun preseka prema graničnoj nosivosti. Uticaji određeni primenom linearne teorije elastičnosti su, kod armiranobetonskih elemenata u statički neodređenim konstrukcijama, realni samo za male nivoe opterećenja. Razvoj prslina i plastifikacija u čeliku za armiranje mogu, nekad, kvalitativno da promene stanje Poglavlje 3 : strana 5 od

6 Betonske konstrukcije u zgradarstvu naprezanja elementa. I pored toga, linearna teorija elastičnosti, odnosno uticaji određeni njenom primenom, se koristi i za uticaje u stanju granične nosivosti. Kasnije, prilikom dimenzionisanja poprečnih preseka, uvažavaju se činjenice nelinearnog deformisanja, ali sa uticajima koji, još jednom, odgovaraju linearnoj teoriji elastičnosti. Sl. 3/12. Karakteristična naponsko-deformacijska stanja grednog elementa Postavlja se pitanje koliko ovakva nedoslednost može biti održiva i opravdana. Sa stanovišta jednostavnosti primene, nema dileme da je prednost na strani ovakvog pristupa. Ali, čak i kad je opravdanost u pitanju, ovakav koncept je održiv. Naime, rezultati linearne teorije elastičnosti predstavljaju jedno moguće ravnotežno stanje statički neodređene konstrukcije. Konstrukcija (i elementi) dimenzionisani i armirani saglasno ovim uticajima će se u velikoj meri i ponašati na ovaj način. Posledica je ovo, pre svega, činjenice da se, kolokvijalno, armiranobetonski elementi ponašaju na način na koji su armirani. Ovo ne znači da se u tako armiranoj konstrukciji neće realizovati preraspodele naprezanja, naravno, ali svakako ne u istoj meri u kojoj bi to bio slučaj da je sa ovakvim preraspodelama kalkulisano. Preraspodela naprezanja između preseka i elemenata konstrukcije je moguća tek ukoliko je najopterećenijim presecima (zonama) omogućena dovoljno dugačka plastična rotacija i. Preseci koji se odlikuju visokom sposobnošću postelastične (plastične) rotacije, duktilni preseci, su, na osnovu iznetog u prethodnom paragrafu, neophodni i kod konstrukcija/elemenata koji su proračunati i armirani saglasno uticajima li- Sl. 3/13. Promena krutosti preseka sa prirastom momenta nearne teorije elastičnosti. Pad krutosti preseka je funkcija nivoa naprezanja, oblika poprečnog preseka... Na Sl. 3/13 je prikazano kako za tri različita poprečna preseka (jedan pravougaoni i dva T-preseka zategnuta u različitim zonama) kvalitativno i kvantitativno izgleda pad krutosti sa prirastom spoljašnjeg momenta savijanja. i Rotacija kritičnih preseka je osnova mehanizma transfera opterećenja u realizaciji preraspodele. 104

7 3. Linijski elementi Za pravougaoni i T-presek zategnut u donjoj zoni karakterističan je relativno strm pad krutosti sa pojavom i razvojem prslina, te održavanje konstantne krutosti isprskalog preseka sve do pred lom. T-presek zategnut u gornjoj zoni se karakteriše mnogo dužim padom krutosti, koji je karakteristika praktično celog intervala od pojave prslina do loma. Kvantitativno, konstatujmo i da pad krutosti može biti vrlo velik, reda veličine 30 do 60%. Sada ćemo posmatrati kako se povećanje momenta savijanja koji deluje na poprečni presek, na primer pravougaoni, odražava na promenu krivine preseka. Idealizovano, ovo je prikazano na 0. Dijagram je, na neki način, analogan dijagramu napon-dilatacija, a nagib krive u nekoj tački definiše krutost preseka. U fazi malih vrednosti momenata, sve do Sl. 3/14. Zavisnost moment savijanja krivina preseka pojave prslina, prirast krivine je, saglasno Hooke-ovom zakonu, linearan. Pri momentu Mpr javljaju se prsline i, zbog čega krutost pada (nagib krive je manje strm), a prirast krivine sa povećanjem momenta savijanja je veći. Na ovaj način su dve veličine povezane sve do trenutka dostizanja granice razvlačenja u zategnutom čeliku (moment Mv, Okvir 3/2). Čelik koji se do tada ponašao linearno prelazi u plastičnu fazu rada (pri krivini κv), koja se karakteriše prirastom dilatacija bez (ili sa malim) prirasta napona. Povećanje dilatacija u čeliku je praćeno, usled potrebe očuvanja ravnoteže preseka, (manjim) povećanjem dilatacija u betonu i smanjenjem visine pritisnute zone betona. Kako sila u armaturi, sa ovim povećanjem dilatacije, ostaje približno konstantna, a promena kraka unutrašnjih sila (iako se povećava) nije značajna, to se i moment savijanja ne menja sa povećanjem dilatacija. Ili, presek nije u stanju da prihvati svo ono momentno opterećenje koje se javi nakon dostizanja plastifikacije u armaturi. Povećanje dilatacija, po definiciji, znači i povećanje krivine preseka, što se na analiziranom dijagramu manifestuje kao približno horizontalna grana prirast krivine bez prirasta momenta savijanja. Krutost preseka za ovaj nivo opterećenja je bliska nuli. Sam presek se, naponski, opire spoljašnjem momentu koji odgovara momentu nosivosti preseka, ali se za dalji prirast opterećenja ponaša kao zglob plastični zglob (iznad nekog nivoa opterećenja rotacija je nesprečena). Kako je povećanje krivine praćeno redukcijom visine pritisnute zone betona, to se lom preseka događa, najčešće, imajući na umu vrlo visoku sposobnost čelika za dugu plastičnu deformaciju, drobljenjem pritisnutog betona, za krivinu koja je na slici obeležena sa κu. Sl. 3/15. Duktilno i krto ponašanje materijala prikazano zavisnošću opterećenje-ugib i Razvoj prslina nije trenutan fenomen i realna kriva nema ovako izražene tačke loma. Poglavlje 3 : strana 7 od

8 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Dijagram na Sl. 3/14 direktno definiše faktor duktiliteta krivine preseka napregnutog na savijanje, kao količnik dve krivine one pri lomu i one pri kojoj počinje plastifikacija čelika: D κ / κ = u v... (3.1) Ova veličina predstavlja meru žilavosti preseka. Smatra se da je preraspodela uticaja u statički neodređenim konstrukcijama obezbeđena tek nakon ostvarenja duktiliteta većeg od nekog koji je u intervalu između 3 i 6. Tada govorimo o duktilnom (za razliku od krtog) ponašanju materijala (Sl. 3/15). Okvir 3/2. Momenti Mv i Mu Moment Mv se može približno odrediti (budući da granica uglavnom nije jasno izražena) pretpostavljajući linearnu raspodelu napona (AB elementi se ponašaju, idealizovano, linearno-elastično do ovog opterećenja) u pritisnutom betonu i linearnu raspodelu dilatacija po visini preseka, ako je As1 površina zategnute armature, fy granica razvlačenja čelika, a zy krak unutrašnjih sila: M = A f z. v s1 y y Granični moment nosivosti Mu se može odrediti iz uslova ravnoteže, istim oblikom jednačine, za granično stanje prikazano narednom skicom. Mere kojima je duktilitet moguće povećati, prilikom projektovanja se, pre svega, odnose na poboljšanje karakteristika pritisnute zone preseka, budući da je njegov kolaps najčešće izazvan drobljenjem betona, te da je čelik kritičan samo u situacijama vrlo jako armiranih poprečnih preseka: Smanjenje procenta armiranja podužnom zategnutom armaturom. Ovim se ne želi reći da preseke treba pod-armirati. Proračunom se određuje minimalno potrebna količina armature u preseku i ona tamo mora biti i obezbeđena u elementu. Ideja je da se ukaže na kontradiktornu situaciju kada višak čelika za armiranje ne rezultira dodatnom sigurnošću (prikazano na Sl. 3/16, za dva procenta armiranja, µ1>µ2). Duktilni preseci su armirani količinom zategnute armature koja je maksimalno bliska potrebnoj, određenoj uz uvažavanje svih postojećih okolnosti koje mogu uticati i na njeno smanjenje (na primer činjenica prisustva pritisnute armature u drugoj zoni). 106

9 3. Linijski elementi Sl. 3/16. Dijagram moment savijanja krivina za dva različita koeficijenta armiranja Armiranje pritisnute zone preseka. Čelik je, svojim nosivim karakteristikama, superioran u odnosu na beton čak i kada je prijem pritiska u pitanju. Zato, dodavanje čelika u pritisnutu zonu ima za posledicu povećanu mogućnost prijema pritiska, a samim tim se odlaže i trenutak kolapsa preseka. Kvalitet betona. Očigledno je da više marke betona obezbeđuju prijem većih napona/sila pritiska, te da povoljno utiču na duktilitet. Utezanje preseka gustom poprečnom armaturom. Poprečna armatura, obuhvatajući pritisnutu zonu, sprečava bočno širenje unoseći napone pritiska i u ravni normalnoj na pravac osnovnog pritiska. Ovako utegnut presek je sposoban za prijem većih pritisnih naprezanja od slabije utegnutog preseka (videti i #3.2.3, Sl. 3/57). Vrsta čelika. Načelno, čelici sa nižom granicom razvlačenja (GA ima granicu razvlačenja na dilataciji od oko 1.2 promila) su duktilniji od onih sa višom (RA približno 2 promila). Sa Sl. 3/14 proizilazi da će krivina κv imati manju vrednost, te da će time i duktilitet biti veći. Ipak, ovde treba biti oprezan. Za prijem istih uticaja prilikom dimenzionisanja, glatkog čelika će biti oko 65% više, koliko proizilazi iz odnosa njihovih granica razvlačenja (400/240~1.67). Na račun ovoga, konačni ishod po pitanju duktiliteta ne mora uvek biti na strani GA. Uticaj količine armature (nivo uticaja koji su je odre- Sl. 3/17. Uticaj vrste betona i čelika na duktilitet preseka dili) je sada presudan. Sa Sl. 3/17 ovo se, za nižu marku betona može i očitati. Poglavlje 3 : strana 9 od

10 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Ako je presek, osim momentom, opterećen i aksijalnom silom, treba imati u vidu da aksijalna sila pritiska smanjuje, a zatezanja povećava duktilnost. Prepoznajmo, još jednom, na Sl. 3/14 tri veličine krutosti koje odgovaraju prirastu spoljašnjeg momenta savijanja. Usvajajući ovakvu, skokovitu, promenu krutosti, na primeru obostrano uklještene grede biće pokazan (Sl. 3/18) tok preraspodele. Posmatrana greda je, zbog jednostavnosti analize, usvojena konstantne krutosti i nosivosti, kako po dužini, tako i za slučajeve zategnute gornje, odnosno donje zone. Analizira se promena momenata savijanja u krajnjem i u preseku u sredini raspona sa prirastom ravnomerno podeljenog opterećenja na gredi. Sl. 3/18. Preraspodela momenta savijanja obostrano uklještene grede Saglasno linearnoj teoriji elastičnosti, oslonački moment je dva puta, apsolutno, veći od momenta u polju. Sa prirastom opterećenja, do početka razvoja prslina, ovo će i biti slučaj. Kada se dostigne moment pojave prslina (tačka A1, skica c) u oslonačkom preseku, doći će i do pada njegove krutosti. Kako je, sada, presek u sredini raspona (neisprskao) veće krutosti, to će mu, pri daljem prirastu opterećenja, odgovarati i brži prirast momenta, sve do trenutka formiranja prslina u središnjem delu elementa (tačka B2, skica d). Opet ravnopravnih krutosti, preseci teže da uspostave momentnu sliku koja jednakim krutostima odgovara (dvostruko veći oslonački moment). Zato je dalji prirast momenta u sredini vrlo mali, a nad osloncem strm. Ovakvo ponašanje se prekida dostizanjem granice razvlačenja čelika u oslonačkom preseku (tačka D1, skica e). Sada, dalje povećanje opterećenja ne može biti više praćeno prirastom momenta nad osloncem, ovaj presek rotira na račun plastične deformacije, a posledica ove rotacije je dalji život grede, tj. preraspodela naknadnog opterećenja ka preseku u sredini, koji još nije dostigao, u čeliku, granicu razvlačenja. Konačno, kada je i ovaj presek dostigne (skica f), svako dalje povećanje opterećenja aktivira statički sistem kritične konfiguracije, koji nije održiv. O- vim je definisan kraj nosivosti grede, ali je očigledno da je greda, statički neodređena, u stanju da primi viši nivo opterećenja od onoga koji rezultira momentom nosivosti kritičnog (ili kritičnih) preseka. Krajnji dijagram momenata savijanja ima jednake vrednosti momenta u polju i nad osloncem momenat je preraspodeljen. 108

11 3. Linijski elementi U praksi, realizacija celog opisanog toka bi bila praćena vrlo velikim deformacijama čelika i, samim tim, velikim otvorima prslina. Budući da je reč o plastičnim deformacijama, po rasterećenju greda bi u znatnoj i vidljivoj meri bila oštećena Linearna teorija sa ograničenom preraspodelom Iako je pokazano da primena linearne teorije elastičnosti za granično stanje nosivosti može biti opravdana, valja primetiti da, pokrivajući jedno moguće ravnotežno stanje, na ovaj način nije obezbeđeno najracionalnije projektovanje. Ili, utrošak materijala, eventualno i dimenzije preseka, bi mogao biti manji. Dimenzionisanje koje bi za cilj imalo ovu vrstu optimizacije je bazirano na preraspodeljenim uticajima. Zbog velike međuzavisnosti ulaznih i izlaznih faktora u ovoj analizi, do potpunog optimuma nije lako doći, nego bi se rešenja morala tražiti zametnim iterativnim postupcima u kojima je relativno velik broj variranih parametara. Pravilnikom je dopušteno da se, pri proračunu prema graničnim stanjima loma, sile u presecima (konkretno, momenti savijanja) statički neodređenih nosača, sračunate prema linearnoj teoriji elastičnosti, umanje ili povećaju za sledeću vrednost datu u procentima: 20 1 µ µ (3.2) µ lim µ1 koeficijent armiranja zategnutom podužnom armaturom, µ2 koeficijent armiranja pritisnutom podužnom armaturom, µlim granična vrednost (granica) procentna armiranja. Umanjenje momenata savijanja u jednom preseku zahteva njegovo povećanje u drugim presecima, kako bi uslovi ravnoteže ostali zadovoljeni. Ili, na ovaj način se statički neodređena konstrukcija podvrgava drugom ravnotežnom stanju. Granica procenta armiranja je data u sledećem obliku: fb µ lim = 0.405,... (3.3) σ v a mogućnost primene preraspodeljenih uticaja se ograničava sledećim uslovom: µ µ 0.5 µ.... (3.4) 1 2 lim Granica µlim je proistekla iz analize pravougaonog poprečnog preseka (ili, bar preseka sa pritisnutom zonom pravougaonog oblika) i ograničenju pritisnute visine preseka na četvrtinu statičke visine: x 0.5 x = 0.25 h,... (3.5) lim gde je sa xlim obeležena visina pritisnute zone koja odgovara stanju dilatacija od εb/εa = - 3.5/3.5. Analizom izraza (3.2), može se zaključiti da se dozvoljena preraspodela kreće u granicama između 10 i 20%: 10% za µ 1 µ 2 = 0.5µ lim, 20% za µ 1 µ 2 = 0. Povećanjem količine pritisnute armature se povećava duktilnost (smanjenjem pritisnute visine preseka) i omogućuje preraspodela. Efekti proračuna na bazi preraspodeljenih uticaja mogu biti: smanjenje ukupne količine armature (slučaj kod nosača sa velikim udelom korisnog opterećenja) i/ili smanjenje razlike u Poglavlje 3 : strana 11 od

12 Betonske konstrukcije u zgradarstvu potrebnoj armaturi oslonačkih zona i preseka u polju, čime se postiže ujednačenije armiranje dve zone i izbegavaju se jako armirani oslonački preseci. U oba slučaja, efekti su pozitivni, te se primena preraspodele u ograničenom obliku preporučuje. Razlozi za ograničenje stepena preraspodele su u činjenici da visokim duktilnostima (zahtevanim višim stepenom preraspodele) mogu biti ugrožena granična stanja upotrebljivosti elementa Uticaj vremenskih deformacija Dugotrajno delovanje opterećenja izaziva tečenja betona i promenu deformacije (ne samo vrednosno, nego i kvalitativnu). U slučaju statički neodređenih elemenata/konstrukcija, ovo dovodi i do vremenske promene sila u presecima AB elemenata. O ovome je neophodno voditi računa kad god je od značaja DIMENZIONISANJE I ARMIRANJE i Pod dimenzionisanjem se, u užem smislu, podrazumeva određivanje potrebnih količina pojedinih armatura elementa, na bazi određenih uticaja i poznate geometrije betonskih preseka. Redovno je proračun prema graničnim stanjima loma merodavan za dimenzionisanje, ali ovo je neophodno dokazati kontrolom graničnih stanja upotrebljivosti. Samo u retkim situacijama (jako opterećeni i armirani elementi, strogi zahtevi po pitanju ugiba i/ili prslina) granično stanje upotrebljivosti je kritično i zahteva korekciju potrebnih količina armature određene prema prvom. Budući da je teorija proračuna elemenata prema graničnim stanjima već prikazana, na ovom mestu su date samo neke dodatne napomene. Podužna armatura grednih elemenata je, načelno, produkt proračuna grednog nosača prema graničnom stanju loma na simultano dejstvo momenata savijanja i aksijalnih sila, saglasno već izloženom (#2.1.3). Pri tome, granične vrednosti uticaja momenata savijanja i aksijalnih sila odgovaraju istoj kombinaciji opterećenja. Za praktičnu primenu razvijena su inženjerska pomagala u obliku tablica (bezdimenzionalni koeficijent k, kao funkcija spoljašnjih uticaja, geometrije preseka i kvaliteta betona) ili specijalizovanog softvera. Osim toga, postupak obezbeđenja glavnih napona zatezanja, takođe, rezultuje potrebom za dodatnom količinom podužne armature: deo glavnog napona izazvan smicanjem zahteva dodatnu količinu zategnute armature, dok torzionim uticajima odgovara potreba za podužnom armaturom ravnomerno raspoređenom po obimu poprečnog preseka. Sl. 3/19. Sadejstvujuća širina ploče i Posebne odredbe koje se odnose na detalje armiranja greda konstrukcija u seizmičkim područjima će biti prikazane u sklopu poglavlja Višespratne zgrade (#7.4). 110

13 3. Linijski elementi U proračunu prema graničnom stanju nosivosti, za grede izložene raspodeljenom opterećenju, sadejstvujuća širina ploče (debljine najmanje 10% visine grede ili 8cm), u funkciji širine grede (b0), razmaka nultih momentnih tačaka grede (l0) i međusobnog rastojanja greda (e), iznosi za simetrične preseke (Sl. 3/19a): b d b = min b l e (3.6) Za nesimetrične T-preseke, ako je sprečeno bočno pomeranje i torzija (Sl. 3/19b): b0 + b1 + 8 d b = min b0 + b l0 / 3 e / 2 Za ploče čija je debljina maja od desetine ukupne visine grede:... (3.7) 0 12 b min b + d b0 + b1 + 5 d =, b = min...(3.8) e e / 2 U proračunima prema graničnim stanjima upotrebljivosti ugiba, kao i za proračun statičkih uticaja, preporuka je da se za simetrične T-preseka usvaja manja širina: b = b0 + 6 d... (3.9) Nesimetrične T-preseke, kada nije sprečena torzija i bočno pomeranje, treba dimenzionisati na dejstvo kosog momenta savijanja (koso savijan presek). Sl. 3/20. Prijem indirektnog opterećenja uzengijama Proračunska poprečna armatura je rezultat proračuna grednog elementa na dejstvo glavnih napona zatezanja izazvanih transverzalnim silama i momentima torzije. Najčešće se projektuje u obliku vertikalnih uzengija, čija se potreba određuje posebno za dejstvo smicanja, a posebno za dejstvo torzije. Višesečnost (više od 2) uzengija koje se prostiru celom visinom preseka može biti obuhvaćena proračunom samo na dejstvo smicanja. Iako je pravac pružanja kosih gvožđa takav da se njima postiže efikasniji (sa manjom količinom armature) prijem glavnih napona zatezanja, iskustveno se njihova primena pokazala nepovoljnijom (veće širine prslina) od primene samo vertikalnih uzengija. Zato, ova vrstu armature Poglavlje 3 : strana 13 od

14 Betonske konstrukcije u zgradarstvu dobija preporuku primene samo kod preseka kod kojih bi armiranje vertikalnim uzengijama ugrozilo dobru ugradnju betona. Dodatno, povijanjem armature iz donje u gornju zonu, kosim delom redovno nije obezbeđeno i potrebno koso gvožđe, pošto je, redovno, mesto povijanja locirano suviše daleko od oslonca, tj. od mesta potrebe za kosim gvožđima. Kosa gvožđa se mogu projektovati samo u cilju prijema dela glavnog napona zatezanja izazvanog smicanjem. U pojedinim situacijama, uzengijama je neophodno prihvatiti indirektno koncentrisano opterećenje (Sl. 3/20) ili opterećenje po donjoj ivici grede ( obešeno opterećenje ). Tada se njihova potrebna dodatna količina određuje iz uslova da same mogu prihvatiti kompletno predmetno opterećenje Sl. 3/21. Prijem obešenog opterećenja uzengijama (Sl. 3/21). Sa ciljem prijema obešenog ili indirektnog opterećenja, mogu se projektovati i kose šipke (Sl. 3/20). Kod nosača promenljive visine (odnosi se i na nosače s vutama) potrebno je, prilikom kontrole i obezbeđenja glavnih napona zatezanja imati na umu i prirast (pozitivan ili negativan) smičuće sile izazvan dejstvom momenta savijanja na promenljivoj visini (#2.1.4): M x V x = Vx ± tanα.... (3.10) dx Sl. 3/22. Redukovani dijagrami transverzalnih sila kod nosača promenljive visine Grede se mogu armirati glatkom GA, rebrastom ili Bi-armaturom. Prilikom usvajanja i raspoređivanja šipki podužne armature neophodno je izborom profila i njihovim razmakom obezbediti uslove dobre ugradnje betona, dobre prionljivosti i postizanja kompaktnog zaštitnog sloja. U Pravilniku, minimalni čist razmak dve šipke, i horizontalno i vertikalno, je 3cm, ali ne manje od prečnika najkrupnije šipke ili 80% prečnika najveće frakcije agregata (Sl. 3/23a). Sl. 3/23. Minimalni razmaci armaturnih šipki Ovim se, između ostalog, obezbeđuje i prostor za prolaz igle pervibratora u sve delove elementa prilikom ugradnje betona. Ipak, treba primetiti da je, na ovaj način definisan, minimalni razmak premali, te da bi u praktičnim situacijama preporuka išla u pravcu usvajanja većih 112

15 3. Linijski elementi razmaka. Posebno je diskutabilna, i teško ostvarljiva kod jače armiranih preseka, odredba kojom se minimalni razmaci moraju obezbediti i na mestima nastavljanja armature preklapanjem. Kako bi se postigla povoljnija slika prslina, maksimalni razmak šipki podužne armature je ograničen na 15cm. U vertikalnom pravcu, ovaj limit je 30cm, za elemente čija visina nije manja od 50cm (Sl. 3/23b), a obezbeđuje se ubacivanjem podužnih profila ne manjih od Ø8. Sl. 3/24. Svežnjevi (cvasti) Dopušteno je, ali ne i preporučljivo, grupisanje armaturnih profila u cvasti (maksimalno četiri profila). U situacijama jako armiranih preseka, grupisanje armature može biti jedini način o- bezbeđenja ugradnje betona. Sa druge strane, korišćenje svežnjeva ima za posledicu i sve efekte analogne ugradnji profila velikog prečnika (granična stanja upotrebljivosti). Ako se grupa šipki (cvast) zameni ekvivalentnim (po površini) prečnikom, onda se za cvasti primenjuju ista pravila raspoređivanja armature u poprečnom preseku (Sl. 3/24). Radi sprečavanja krtog loma u trenutku pojave prsline, definisan je minimalni procenat armiranja glavnom zategnutom armaturom u funkciji marke betona (fbk) i vrste čelika (Sl. 3/25): 3 2 µ 1,min = 5.1 f bk / σ v, bk f i σ v u MPa....(3.11) Dodatno, u karakterističnim (lokalno najopterećenijim) presecima, minimalni koeficijent armiranja, bez obzira na prethodno, ne sme biti manji od 0.25% za glatku armaturu GA240/360, 0.20% za rebrastu RA400/500 ili BiA680/800 (Sl. 3/25, isprekidane linije). Ove odredbe se ne odnose na masivne betonske elemente. Sl. 3/25. Minimalni procenti armiranja Dimenzionisanjem su određene potrebe za podužnom armaturom samo u karakterističnim presecima. Potreba za armaturom duž nosača, kada aksijalne sile mogu biti zanemarene, se može odrediti prema liniji zatežućih sila, kojom se, grafički, određuje sila koju armaturom Poglavlje 3 : strana 15 od

16 Betonske konstrukcije u zgradarstvu treba prihvatiti duž nosača. Sila zatezanja u armaturi je količnik momenta savijanja i kraka unutrašnjih sila: Z M / z u = u.... (3.12) Kako bi se linijom zatežućih sila obuhvatila i potreba za dodatnom podužnom armaturom usled smicanja, to se radna linija zatežućih sila određuje horizontalnom translacijom prethodne, momentne, za veličinu v, jednaku 75% statičke visine preseka kada se smicanje osigurava samo vertikalnim uzengijama, odnosno 50% statičke visine ako se za prijem smicanja koriste i kosa gvožđa i. Sl. 3/26. Linija zatežućih sila Povijanje armature (i zategnute i pritisnute) izaziva skretne sile, saglasno kotlovskoj formuli (Sl. 3/27). Posledica skretnih sila je i pojava zatezanja upravno na ravan povijanja. U blizini ivice betonskog preseka ovo je posebno opasno, zbog mogućnosti istiskivanja zaštitnog sloja betona. Intenzitet skretnih sila je obrnuto proporcionalan radijusu povijanja, zbog čega je od izuzetne važnosti poštovanje pravila datih u smislu oblikovanja armature (#1.9.5). Sl. 3/27. Skretne sile izazvane povijanjem armature Sl. 3/28. Korišćenje ploče za smeštaj oslonačke podužne armature Kod oslonaca kontinualnih nosača T-preseka, deo oslonačke podužne armature (ne više od 50% ukupne) se može smestiti u ploču, van širine rebra, i, time, se obezbediti bolji uslovi ugradnje betona. Kod projektovanja razuđenih (nepravougaonih) poprečnih preseka, po pravilu sa tankim rebrom, često se donji deo preseka oblikuje proširen u vidu donje flanše, čime se omogućava komforniji smeštaj podužne armature (Sl. 3/28). Deo armature u širini rebra može biti povijen u gornju zonu (kosa gvožđa ili prijem negativnih momenata), a armatura van širine rebra se može postepeno ukidati, saglasno potrebi za armaturom. Vertikalne vute se armiraju posebnom podužnom armaturom koja prati ivicu preseka, a uzengije se na dužini vute projektuju promenljive visine. Podužna horizontalna armatura, u ovom i Kosa gvožđa, pravca pružanja bliskog pravcu glavnih napona zatezanja, ne zahtevaju dodatnu podužnu armaturu. 114

17 3. Linijski elementi slučaju, ne mora biti preklopljena. Kod horizontalnih vuta, glavna armatura se vodi neprekinuta (ili nastavljena) u širini nosača, a vuta dobija svoju podužnu armaturu po visini nosača. Uobičajeno je da armatura vute ima posebne uzengije, dok prava armatura nosača zadržava svoje (Sl. 3/29). Sl. 3/29. Armiranje vertikalnih i horizontalnih vuta Kod slobodnih krajeva grednih elemenata (konzole), koji su po pravilu opterećeni koncentrisanim silama, podužnu glavnu armaturu iz gornje zone je poželjno poviti u donju zonu, preko čela nosača, sidrenjem unatrag. Čelo nosača se obezbeđuje Sl. 3/30. Armiranje kraja prepusta horizontalnim ukosnicama (Sl. 3/30). Nastavljanje podužne armature je neophodno kod greda velikog raspona ili kod kontinualnih sistema. Pri izboru mesta nastavka, pravilno je armaturu nastavljati u pritisnutoj zoni, na mestima najmanjih naprezanja. Tako se, u slučaju kontinualnih greda, armatura donje zone nastavlja preklapanjem preko oslonca, dok je gornju poželjno nastavljati u središnjoj zoni polja. Sl. 3/31. Mesta nastavljanja armature kod kontinualnih greda Po celoj dužini, gredni nosači se armiraju zatvorenim uzengijama, načelno prema dijagramu glavnih napona zatezanja. Osim vertikalnih uzengija, za prijem glavnih napona zatezanja mogu biti upotrebljene i kose uzengije i kosa gvožđa. U linijskim AB nosačima uglavnom vlada ravno (ravansko) stanje napona. Glavni naponi, saglasno Teoriji elastičnosti, nakon zanemarenja normalnih napona upravnih na podužnu osu, mogu se odrediti na osnovu poznatih normalnih i smičućih napona, σb i τ. Kako se za AB presek s prslinom, u zategnutoj zoni može zanemariti normalni napon, to celom visinom zategnute zone postoje samo naponi smicanja i (videti i #2.1.4): 1 σ ( 2 2 1,2 = σ b ± 4 τ ) nakon σ b = 0 σ 1,2 = ± τ....(3.13) 2 Ovo je razlog čestom pogrešnom imenovanju problema kao smičućeg. i Maksimalne vrednosti glavnih napona zatezanja, po visini preseka, su karakteristične za zategnutu zonu i minimalnu širinu preseka. Poglavlje 3 : strana 17 od

18 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Na slici (Sl. 3/32) prikazan je smičući lom grede. Za kritičnu zonu karakteristične su kose prsline (savijana sredina grede ima vertikalne prsline), koje se pružaju u pravcu prostiranja glavnih napona pritiska (normalne na pravac glavnih napona zatezanja). Ipak, stalno valja imati na umu da lom nastupa usled prekoračenja glavnih napona zatezanja, a ovi naponi, uprkos uvedenim idealizacijama, nisu posledica Sl. 3/32. Lom grede smicanjem, izvor [42] samo smicanja (generalno, reč je o simultano dejstvujućoj kombinaciji smicanja, savijanja i torzije). Zato je ovu vrstu loma teško precizno predvideti (treba ovde pomenuti i još uvek nedovoljno razumevanje fenomena), a sam lom se redovno dešava kao iznenadan. Naponsko stanje i stanje prslina koje izaziva torzija grede su prikazani na Sl. 3/33 i Sl. 3/34. Sl. 3/33. Naponi izazvani torzijom Sl. 3/34. Pravac pružanja torzionih prslina Eksperimentalnim ispitivanjima (Sl. 3/35) je utvrđeno da najmanjom širinom kosih prslina rezultuje primena kosih uzengija, zatim vertikalnih, a da je najveća širina karakteristična za primenu koso povijene podužne armature (kosih gvožđa). Sa druge strane, primena kosih Sl. 3/35. Širina kosih prslina u funkciji načina poprečnog armiranja uzengija je vezana sa problemima izvođenja, zbog čega se ne primenjuju često. Uz napomenute probleme vezane za kosa gvožđa, armiranje vertikalnim uzengijama ostaje dominantno i preporučeno. Sl. 3/36. Načini armiranja pravougaonog preseka uzengijama 116

19 3. Linijski elementi Osim obezbeđenja glavnih napona zatezanja, uzengijama se postiže i utezanje (videti, na primer, Sl. 3/57) poprečnog preseka, što rezultira formiranjem troosnog stanja pritiska podužno pritisnutih elemenata (ili delova preseka, pri savijanju) sprečavanjem širenja i, time, povećanu sposobnost prijema pritiska. Pokazano je da se, u pojedinim situacijama, prima obešeno opterećenje, kada one imaju funkciju, lokalno, podužne zategnute armature (Sl. 3/21). Sl. 3/37. Uzengije širokih greda Kod širokih preseka, kada se koriste višesečne uzengije, poželjno je jednom neprekinutom spoljašnjom u- zengijom obuhvatiti ceo presek, a unutrašnje u- zengije povijati oko u- nutrašnjih šipki (Sl. 3/37). Maksimalno rastojanje uzengija je ograničeno na 2/3 visine grede, odnosno na 30cm, odnosno na 15Ø, gde je Ø prečnik najtanje podužne armature (manju od ovih vrednosti), kada nije prekoračena smičuća nosivost betona. U suprotnom, na dužini osiguranja, maksimalan razmak uzengija je ograničen na 1/2 visine grede, odnosno na 25cm. Dodatno, minimalni procenat armiranja uzengijama na dužini osiguranja iznosi 0.2%. Procenat armiranja uzengijama je definisan na sledeći način, u funkciji površine preseka šipke uzengije (auz) i razmaka uzengija (euz): m a µ uz = b e uz uz,... (3.14) gde je sa m označena sečnost uzengija. Višesečne (više sečnosti od 2) se projektuju u istom preseku i pružaju se celom visinom preseka (Sl. 3/36c). Poželjno je (jaka preporuka) da se jednom uzengijom obuhvati ceo poprečni presek. Uzengije se mogu projektovati kao zatvorene i preklopljene oko ugaone šipke ili preklopljene oko kraće stranice. Ove druge su obavezne kod torziono opterećenih preseka, ali i kod loših uslova sidrenja uzengija. Ukoliko se primenjuju, kosa gvožđa moraju biti postavljena na razmaku ne većem od 30cm ili 50% statičke visine preseka. Sl. 3/38. Uzengije kod razuđenih preseka Kada se deo oslonačke armature preseka spojenog sa pločom smešta u ploču, uzengijama je, oblikovanjem, potrebno obuhvatiti kompletnu podužnu armaturu, kako je prikazano na Sl. 3/28. Ovakvo oblikovanje uzengija može biti opravdano i kada je njima potrebno primiti momente savijanja u ploči, upravno na pravac pružanje grede (na primer kod rebrastih tavanica). Kod razuđenih poprečnih preseka (T, I), formiraju se, u istom preseku, posebne uzengije rebra Poglavlje 3 : strana 19 od

20 Betonske konstrukcije u zgradarstvu i flanši. Uzengije flanši mogu biti zatvorene ili se sidriti u rebru (Sl. 3/38a). Kod ovakvih preseka, glavne napone zatezanja je neophodno kontrolisati, osim u rebru, i u ploči (Sl. 3/38b). U zoni oslonca, naponi pritiska (od reakcije oslonca) normalni na pravac armature poboljšavaju uslove sidrenja, kao i formiranje pritisnutih dijagonala. Sl. 3/39. Trajektorije napona pritiska Sl. 3/40. Završetak horizontalne armature vertikalnim i horizontalnim kukama Ivične šipke donje zategnute armature moraju, slobodnim krajem, biti produžene preko slobodnog oslonca i sidriti kukom. Sidrenje može biti u horizontalnoj ili vertikalnoj (češće) ravni (Sl. 3/40). U slučaju ograničenog prostora za sidrenje, početak kuke mora biti bar 3cm udaljen od ivice oslonca, prečnik kuke Dr se proračunava, a čelo nosača se prožima otvorenim horizontalnim uzengijama, za prijem sila cepanja. U slučaju potrebe, izuzetno malih raspoloživih dužina, mogu se primeniti specijalni načini sidrenja armature, poput zavarenih ploča ili šipki upravnog pravca (Sl. 3/41). Sl. 3/41. Sidrenje podužne armature iznad oslonca Oslonačke zone moraju biti projektovane dovoljne širine, a locirane na način koji ne ugrožava ivični beton (Sl. 3/42). Indirektno oslonjena greda treba imati glavnu armaturu sidrenu u horizontalnoj Sl. 3/42. Loše projektovan položaj/širina oslonca ravni, kako bi se izbeglo poklapanje efekta cepanja betona usidrenjem šipki sa pravcem prslina glavne grede (Sl. 3/43). Sl. 3/43. Sidrenje glavne armature indirektno oslonjene grede 118

21 3. Linijski elementi Kod armiranja kontinualnih greda moguć je izbor između racionalnijeg (manji utrošak čelika) armiranja povijanjem šipki iz donje u gornju zonu, kada deo povijene armature, u svojim kosim delovima, može da preuzme i funkciju obezbeđenja glavnih napona zatezanja (diskutabilno!), i jednostavnijeg armiranja odvojenom armaturom dve zone, te pravim šipkama (Sl. 3/46). U oba slučaja, naravno, usvojenim načinom armiranja pokriva se potreba za armaturom definisana pomerenom linijom zatežućih sila. Visoke grede sa odnosom raspona prema visini u granicama između 2 i 5, orijentaciono, armiraju se odvojenim šipkama gornje i donje zone, te vertikalnim uzengijama, kojima treba prihvatiti ukupne glavne napone zatezanja. Od posebnog značaja kod ovih nosača je (analogno zidnim nosačima) dobro usidrenje šipki glavne armature i obezbeđenje nosača horizontalnom armaturom celom dužinom grede. Glavna armatura se celim ili većim iznosom prostire celim rasponom, u formi zatege (Sl. 3/44). Za nosače sistema proste grede relativno velikih raspona, zbog uštede u utrošku materijala, često se koriste nosači promenljive visine. Osim racionalizacije oblika (visina preseka prati, otprilike, promenu momenata savijanja), nagib ivice siluete prouzrokovan promenom visinom se može pogodno iskoristiti u cilju obezbeđenja nagiba krovne ravni. Otud se ovakvi nosači najčešće primenjuju kao glavni krovni nosači konstrukcija tipa industrijskih hala, pogotovu u situacijama kada su projektovane kao montažne konstrukcije. Tada se redovno izvode horizontalne donje ivice i nagnutih gornjih ivica, a u cilju dalje racionalizacije poprečni preseci se projektuju T ili I-oblika (Sl. 3/6). Sl. 3/44. Armiranje visokih greda: prosta i kontinualna greda Kako je prirast visine kod ovakvih nosača, najčešće, linearan, a prirast momenta, opet najčešće, paraboličan, to se maksimalna potreba za armaturom ne registruje u presecima sa maksimalnim momentom savijanja. Na Sl. 3/45 prikazan je primer četiri simetrične grede pravougaonog preseka raspona 10m, opterećene sopstvenom težinom i ravnomerno raspodeljenim linijskim opterećenjem. Varirana je visina preseka u sredini: visina preseka na krajevima je u svim slučajevima 60cm, a središnje visine su 70, 100, 130 i 160cm. Na slici su prikazani dijagrami potrebe za podužnom armaturom u donjoj zoni preseka. Već iz priloženog, očigledno je položaj preseka sa maksimalno potrebnom armaturom zavisi od nagiba gornje ivice većim nagibima odgovaraju kritični preseci bliži osloncima. Poglavlje 3 : strana 21 od

22 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Sl. 3/45. Dijagrami promene potrebe za podužnom armaturom za različite A-nosače U praksi, za grubu orijentaciju, mogu se kontrolisati preseci na trećini raspona. Čak i ako ovim nije određena maksimalna potreba za armaturom, razlike nisu velike. Prilikom armiranja ovakvih elemenata, pad potrebne armature u delu između kritičnih preseka se odražava i na pad usvojene armature presek u sredini će imati istu količinu armature kao i kritični preseci. Sl. 3/46. Dva varijantna rešenja armiranja kontinualnih greda 120

23 3. Linijski elementi 3.2. STUBOVI i Stubovi su linijski elementi značajnih vrednosti aksijalnih sila pritiska. U betonskim konstrukcijama se javljaju kao samostalni elementi ili u sklopu okvirnih sistema. Najčešće su vertikalnog pravca pružanja OBLIKOVANJE STUBOVA U konstrukcijama su, osim za prijem i prenos aksijalnih naprezanja, zaduženi i za prihvat momenata savijanja, koji prvenstveno potiču od horizontalnih dejstava. Imajući na umu alternativni karakter horizontalnih dejstava, stubovi se najčešće, presekom i armiranjem, projektuju kao dvoosno ili jednoosno simetrični. Najčešće se primenjuje pravougaoni oblik poprečnog preseka, kao najjednostavniji za izvođenje ii. Alternativno, primenjuju se kružni i poligonalni oblici, a kod montažnih stubova česta je primena razuđenih oblika preseka u cilju racionalizacije utroška materijala (Sl. 3/47). Načelno, stubom se smatraju elementi kod kojih je odnos stranica poprečnog preseka manji od 5. U suprotnom, reč je o zidovima. Sl. 3/47. Poprečni preseci stubova U pojedinim situacijama, stubovi mogu biti opterećeni i značajnim momentima savijanja nastalim kao posledica delovanja gravitacionog opterećenja. Tada može biti opravdano usvajanje nesimetrične dispozicije poprečnog preseka. Minimalne dimenzije preseka stubova su, osim uslovima dobre ugradnje betona i pravilnog konstruisanja betona, određeni i efektima izvijanja. Saglasno osetljivosti na uticaje izazvane deformacijom (izvijanje) stubovi se mogu klasifikovati na kratke, kod kojih ovi efekti mogu biti zanemareni proračunom, i vitke, kod kojih to nije slučaj. Momenti savijanja mogu biti orijentisani u pravcu jedne od glavnih osa preseka stuba, kada je stub jednoosno savijan, ili u pravcu koji se ne poklapa ni sa jednim od glavnih, kada je stub dvoosno, koso, savijan DIMENZIONISANJE KRATKIH STUBOVA Kratki stubovi se dimenzionišu saglasno uticajima proizašlim iz analize elementa/konstrukcije prvog reda. Preseci su u stanju centričnog ili ekscentričnog pritiska (u fazi malog ili velikog ekscentriciteta), a merodavna kombinacija opterećenja je, po pravilu, ona kojom se minimiziraju aksijalne sile pritiska, a maksimiziraju momenti savijanja. Kod stubova sa malim vrednostima momenta savijanja, parcijalni koeficijenti sigurnosti mogu uzeti povećane vrednosti, skladno rezultujućem dilatacionom stanju. Centrično pritisnutim stubovima će, izvesno, odgovarati maksimalne vrednosti parcijalnih koeficijenata. Potreba za podužnom armaturom stuba je u potpunosti određena osnovnim proračunskim pretpostavkama graničnog stanja nosivosti i proizilazi kao rezultat zadovoljenja uslova ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila na nivou preseka, za poznat odnos količina armatura uz i Aseizmički aspekti projektovanja stubova su obrađeni u #7. ii S obzirom na silu pritiska, pravougaoni presek stubova je racionalniji ovde nego kod greda. Poglavlje 3 : strana 23 od

24 Betonske konstrukcije u zgradarstvu pojedine ivice poprečnog preseka. Međutim, kalkulacija je, za praktične potrebe, zametna i zahteva pomoć odgovarajućih inženjerskih pomagala. U slučaju jednoosno savijanih stubova, to su interakcioni dijagrami, kojima se daje veza između graničnih vrednosti momenata savijanja i aksijalne sile, sa jedne strane, i potrebe za armaturom i graničnih dilatacija, sa druge. Daju se u formi familije izo-krivih kojima se na polju Mu-Nu spajaju tačke iste potrebe za armaturom. Paralelno, linije kojima se povezuju tačke istog dilatacinog stanja su prave. U cilju postizanja univerzalnosti, dijagrami se daju u bezdimenzionalnom obliku, preko bezdimenzionalnih vrednosti aksijalne sile (nu), momenta savijanja (mu) i količine armature (µ mehanički koeficijent armiranja): n N = u u b d f, B m u = M u σ 2 b d f, v Aa σ v µ = µ =....(3.15) f A f B B b B Sl. 3/48. Interakcioni dijagram za pravougaoni poprečni presek Projektantima danas, naravno, na raspolaganju stoji i lepeza specijalizovanih softverskih alata kojima se rešavaju problemi ovog dimenzionisanja. Sl. 3/49. Koso savijan presek Kod koso savijanih preseka, rešavanje problema određivanja potrebne količine podužne armature je složeniji, već utoliko što, umesto dva, podrazumeva zadovoljenje tri uslova ravnoteže. U opštem slučaju, presek opterećen momentom savijanja čiji se pravac (napadni pravac) ne poklapa sa nekom od glavnih osa se savija oko ose (pravac savijanja) koja se ne poklapa niti sa nekom od glavnih osa, niti sa napadnom osom momenta. Ugao ose savijanja (rezultujuće neutralne linije) uvek pravi otklon od napadne ose momenta ka osi manjeg momenta inercije idealizovanog preseka (Sl. 3/49). Samo u specijalnom slučaju rotaciono simetričnog preseka napadna osa momenta i osa savijanja se poklapaju. 122

25 3. Linijski elementi Granična nosivost nekog poprečnog preseka poznatog načina armiranja i količine armature, te saglasno opštim proračunskim pretpostavkama, može biti definisana kao maksimalni moment savijanja nekog napadnog ugla, α, pri određenoj vrednosti aksijalne sile. Rezultat može biti prikazan kao tačka u troosnom koordinatnom sistemu Mxu-Myu-Nu, gde su Mxu i Myu projekcije graničnog momenta na glavne pravce. Variranjem napadnog ugla i aksijalne sile formiraju se interakcione površi za predmetni presek (Sl. 3/50a). Geometrijski, tačke koje sad odgovaraju jednom stanju dilatacija ili jednoj vrednosti ugla savijanja nisu više krive u ravni, iako odstupanja, često, nisu velika (Sl. 3/50b). Sl. 3/50. Interakciona površ i kriva koja spaja tačke istog ugla savijanja Rešenje problema određivanja graničnog stanja napona i dilatacija koso savijanog preseka podrazumeva određivanje rezultujućeg nagiba neutralne linije i njenog visinskog položaja zadovoljavanje uslova ravnoteže po momentima i aksijalnim silama (Sl. 3/51). Reč je o zahtevnom problemu, zbog čega je na ovaj način samo korišćenjem odgovarajućeg softvera moguće doći do rešenja. Sl. 3/51. Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila za jedan nagib neutralne linije U praksi se i dalje koriste približna rešenja. U tom smislu se često koristi pomoć interakcionih dijagrama za koso savijane preseke (datih i u Prilozima Priručnika PBAB) ili se problem koso savijanog preseka razlaže na dva problema jednoosno savijanih preseka. U ovom drugom slučaju, PBAB zahteva i, dodatno, zadovoljenje tzv. Bresler-ovog kriterijuma recipročne sile. Naime, Bresler je predložio aproksimaciju interakcione površi: Poglavlje 3 : strana 25 od

26 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Nu Nux i Nuy Nu = +,...(3.16) Nu Nux Nuy Nu0 granična vrednost aksijalne sile, granične vrednost sile za jednoosno savijan presek, u dva pravca, granična vrednost aksijalne sile za centrično opterećen presek. Najjednostavnije je matematičku pozadinu predloženog izraza predstaviti modifikacijom interakcione površi, kojom se umesto veze Mx My N, daje veza ex ey 1/N (Sl. 3/52). Novoformirana površ je, takođe, konveksna. Tačka granične nosivosti na zadatim ekscentricitetima se određuje kao tačka sekantne ravni određene sa tri tačke: tačka A (0,0,1/Nu0) - odgovara maksimalnoj 1/N u graničnoj aksijalnoj sili za centrično opterećen presek, tačka B (ex,0,1/nux) - odgovara maksimalnoj graničnoj aksijalnoj sili na ekscentricitetu ex, pri čemu je ey = 0, tačka C (0,ey,1/Nuy) - odgovara maksimalnoj graničnoj aksijalnoj sili na ekscentricitetu ey, pri čemu je ex = 0. C 1/N uy e y 1/N u0 A D D B 1/N ux e x e x e y Sl. 3/52. Bresler-ov približni postupak Greška koja se ovom aproksimacijom čini odgovara razlici položaja tačaka D (tačka na interakcionoj površini) i D (tačka na sekantnoj ravni, koju određuje Bresler-ov kriterijum) na Sl. 3/52. Iako je, zbog konveksnosti interakcione površi, prikazani trougao izvesno unutar interakcione površi, ovim nije obezbeđena konzervativnost postupka a priori. Treba primetiti da tačka sekantne ravni D nije unutar trougla ARMIRANJE STUBOVA Minimalni poprečni presek podužne armature stubova je Ø12, minimalni ukupni koeficijent armiranja za kratke stubove je 0.6%, a maksimalni 6%. Ipak, projektantima je preporučena primena nešto većih minimalnih koeficijenata u praksi, između 0.8 i 1.0%. Kod vitkih elemenata, minimalni procenat armiranja je funkcija vitkosti, na sledeći način i : min µ = λ % 0.6%....(3.17) Sl. 3/53. Minimalan broj podužnih šipki Šipke podužne armature treba da budu simetrično raspoređene, tako da im se težište poklapa sa težištem preseka. Kod razuđenih i nesimetričnih preseka, takođe treba težiti ispunjenju i Dati izraz je čest predmet kritika i teško ga je opravdati. 124

27 3. Linijski elementi ovog zahteva, bar približno. Broj šipki podužne armature treba da zadovolji i uslov da se u svakom uglu preseka nađe bar jedna (Sl. 3/53). Maksimalno međusobno rastojanje podužnih šipki ne sme biti veće od 40cm, a ne-ugaone šipke podužne armature treba obuhvatiti dodatnim zatvorenim uzengijama u cilju sprečavanja njihovog lokalnog izvijanja (Sl. 3/54). Sl. 3/54. Maksimalno rastojanje podužnih šipki Kod jako armiranih preseka poželjno je grupisanje šipki podužne armature u uglovima preseka, jer su tamo najefikasnije (Sl. 3/55, desno). Sl. 3/55. Uzengije razuđenih preseka i grupisanje podužne armature Minimalni profil uzengija je Ø6, za podužnu armaturu do Ø20, odnosno Ø8, za podužne profile veće od Ø20. Uzengije na konkavnim uglovima stuba razuđenog preseka treba prekinuti kako bi se izbegla mogućnost izbijanja zaštitnog sloja. Umesto toga, treba predvideti preklapanje zatvorenih ili otvorenih uzengija (Sl. 3/55). U cilju obezbeđenja od lokalnog izvijanja pritisnutih šipki, razmak između uzengija stubova je ograničen na 15 prečnika najtanje šipke podužne armature, manju dimenziju preseka ili 30cm (najmanja od ove tri). Obuhvatanjem preseka stuba gusto postavljenom poprečnom armaturom (uzengijama, spiralama) može se vrlo značajno povećati duktilnost preseka i elementa uopšte, a često i njegova granična nosivost (posebno za spiralno armirane kružne preseke). Ovom armaturom, presek se poprečno uteže čime se stvara troosno naponsko stanje pritiska i. Spiralnim armiranjem se vrlo efikasno utežu poprečni preseci stubova, a smanjenjem hoda spirale (povećanjem koeficijenta armiranja poprečnom armaturom) se može značajno uticati na duktilnost i na nosivost pritisnutog kružnog elementa. Dijagramima datim na Sl. 3/56 ovo je ubedljivo demonstrirano. Kod pravougaonih preseka stubova, gusto utezanje preseka vodi značajnom porastu duktilnosti, ali ne i velikom prirastu nosivosti (Sl. 3/57). Objašnjenje za ovo je u činjenici da su efekti utezanja uzengijama izraženi najviše u uglovima, a zbog svoje male savojne krutosti, ne sprečavaju i deformisanje preseka između uglova ( ponašaju se poput lančanica, savijaju se ka spolja). Ovim površina utegnutog dela preseka ostaje relativno mala ii. i Podužno pritisnut, presek ima tendenciju širenja u poprečnoj ravni. Utegnut uzengijama, presek ovim širenjem podužno zateže uzengije, koje sprečavaju slobodno širenje preseka, unošenjem pritiska u poprečnoj ravni. Na ovaj način, presek je pritisnut u sva tri pravca. ii Neutegnuta zona se drobi (mrvi) nakon dostizanja jednoaksijalne čvrstoće pri pritisku. Poglavlje 3 : strana 27 od

28 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Logično je, zato da će dodatno utezanje preseka unutrašnjim uzengijama imati vrlo povoljan efekat u ovom smislu (Sl. 3/57 desno). Sl. 3/56. Naponsko-deformacijski dijagram za kružni spiralno armirani stub za različite hodove spirale Sl. 3/57. Naponsko-deformacijski dijagram za kvadratne stubove sa različitim razmakom uzengija, i utegnuti deo preseka u funkciji oblikovanja uzengija Maksimalni hod spirale spiralno armiranih stubova je ograničen na 20% prečnika betonskog jezgra, odnosno na 8cm (Sl. 3/58). Minimalni hod spirale je definisan opštim pravilima za armiranje. Sl. 3/58. Razmak uzengija i hod spirale Sl. 3/59. Sidrenje i nastavljanje spiralne armature Primena spiralno armiranih stubova je, Pravilnikom, ograničena na centrično pritisnute stubove vitkosti ne veće od 50, kružnog ili mnogougaonog poprečnog preseka prečnika ne ma- 126

29 3. Linijski elementi njeg od 20cm. Spiralna armatura se završava punim krugom u ravni poprečnog preseka, sidrenjem unutar mase betonskog preseka u minimalnoj dužini od 30Ø bez kuke. Nastavljanje se sprovodi na dužini ne manjoj od 30Ø uz dodatno sidrenje krajeva bez kuka, za dužinu ne manju od 20Ø (Sl. 3/59) VITKI STUBOVI i Uticaji na krajevima stuba, aksijalne sile i momenti, ili ekscentrična aksijalna sila (na ekscentricitetu e = Mu/Nu ii ), izazivaju deformaciju (ugib) stuba. Ovim ugibom, ekscentricitet aksijalne sile se povećava, a samim tim i momenat savijanja i, skladno, količina potrebne podužne armature. Budući da su stubovi opterećeni značajnim aksijalnim silama, prirast momenta i- zazvan ugibom može biti značajan, a njegovo zanemarenje može za posledicu imati značajan podbačaj u količini armature. Problem je utoliko izraženiji ukoliko je stub manjih dimenzija poprečnog preseka (vitkiji), te ukoliko je aksijalna sila veća, a prirast ugiba/momenta sa aksijalnom silom je nelinearan (Sl. 3/60). Očigledno, moguće su situacije u kojima razmatranje ravnotežnog stanja nedeformisanog stuba nije zadovoljavajuće tačnosti, nego je od interesa analizirati ravnotežno stanje deformisanog elementa, saglasno teoriji drugog reda (teorija velikih deformacija). Pri tome, stub je armiranobetonski, što njegovo ponašanje čini i materijalno nelinearnim. Simultano obuhvatanje dve nelinearnosti (prethodna je bila geometrijska) je, i na nivou izdvojenog stuba, računski zametno, zbog čega se u praksi koriste pojednostavljene metode, zasnovane na modifikovanim uticajima prvog reda (proisteklim iz analize konstrukcije). Sl. 3/60. Prirast ugiba sa porastom aksijalnog ekscentričnog opterećenja Prema teoriji elastične stabilnosti, kritična sila Pc (Euler-ova iii kritična sila), pod kojom dolazi do neograničeno velikog deformisanja (Sl. 3/60) aksijalno opterećenog elementa (do gubitka stabilnosti), se izračunava u funkciji savojne krutosti (EI) i dužine izvijanja stuba (li): π EI 2 c =, l 2 i li P = k l,... (3.18) i Na ovom mestu, stub se smatra zasebnim elementom ili izdvojenim iz konstrukcije. ii S obzirom da se razmatra granično stanje nosivosti, uticaji su dati u graničnom obliku (indeks u). iii Leonhard Euler ( ), švajcarski matematičar i fizičar. Poglavlje 3 : strana 29 od

30 Betonske konstrukcije u zgradarstvu gde se dužinom izvijanja naziva razmak nultih tačaka momenta drugog reda ili, tačaka infleksije. Dužina izvijanja je osnovni parametar mera osetljivosti elementa na efekte deformacije. Za aksijalno opterećene stubove sa nepomerljivim krajevima, faktor efektivne dužine k nalazi se u granicama od 0.5 k 1.0 (Sl. 3/61), dok je u slučaju stubova sa pomerljivim krajevima njegova vrednost veća jednaka 1.0 (Sl. 3/62). Sl. 3/61. Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno nepomerljivim krajevima Sl. 3/62. Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno pomerljivim krajevima Maksimalne poprečne deformacije ose stuba i maksimalni prirast momenta savijanja usled uticaja normalnih sila najveći su u srednjoj trećini dužine izvijanja, te je ovo oblast stuba koja može biti merodavna za kontrolu granične nosivosti preseka. Uopšteno gledano, ako na neki način može da se proceni dužina izvijanja stuba iv dalji proračun se može sprovesti na izdvojenom zglobno vezanom zamenjujućem stubu dužine li. U bezdimenzionalnom obliku, dužina izvijanja relativizovana radijusom inercije daje parametar vitkost stuba: l i A I λ = i = l i.... (3.19) Kod armiranobetonskih konstrukcija stubovi su, u opštem slučaju, sastavni deo podužnih i poprečnih okvira (ne figurišu kao samostalni elementi). Uslovi oslanjanja, a samim tim i deformacije, u dva ortogonalna pravca su različiti. Pored ovoga, na veličinu i oblik deformacione linije bitno utiče krutost greda (Sl. 3/63) i njena promena po dužini izazvana pojavom prslina duž AB elementa. Ovo čini problem određivanja dužine izvijanja kod stubova armiranobetonskih konstrukcija izuzetno kompleksnim, i samo približno rešivim. U praksi je uobičajeno određivanje dužine izvijanja stubova saglasno nomogramima za određivanje efektivne dužine stuba (Sl. 3/64) ili odgovarajućim izrazima kojima se koeficijent dužine izvijanja stavlja analitički u funkciju stepena uklještenja krajeva stuba. Za uklješten kraj stuba (vezan za beskonačno krutu gredu) biće k=0, dok će za zglobno vezan kraj stuba koeficijent k težiti beskonačno velikoj vrednosti. Sa određenim koeficijentima k, iz nomograma se iv U opštem slučaju, stubovi u konstrukcijama su na krajevima elastično uklješteni i različitog stepena pomerljivosti, a prikazani Euler-ovi slučajevi, su neka vrsta idealizacije. Dodatno, stalno je prisutan i problem obuhvatanja efekata prslina kroz redukciju savojne krutosti. 128

31 3. Linijski elementi očitava faktor efektivne dužine stuba. Vrednost k - koeficijenta treba minimalno uzeti kao 0.4, jer se u protivnom dobijaju potcenjene vrednosti dužine izvijanja. Takođe, bez obzira na rezultat, ne preporučuje se usvajanje koeficijenta manjeg od Sl. 3/63. Uticaj krutosti greda na dužinu izvijanja stubova u okvirnoj konstrukciji Sl. 3/64. Nomogrami za određivanje efektivne dužine stuba: a) nepomerljivi; b) pomerljivi krajevi stuba Sl. 3/65. Određivanje k koeficijenata krajeva stuba S2 Očigledno je da stepen uklještenja kraja stuba zavisi i od načina oslanjanja suprotnih krajeva greda kruto vezanih u posmatranom čvoru. Tako konzolna greda neće uopšte doprinositi povećanju stepena uklještenja stuba, te njenu krutost ne treba uračunavati u sumu krutosti greda. Greda koja je na suprotnom kraju zglobno vezana smanjuje stepen uklještenja stuba, zbog čega, prilikom sračunavanja krutosti greda, njenu krutost treba redukovati. Evrokodom je predložena redukcija krutosti za 50% preko faktora redukcije α (Sl. 3/65): k = ( EC IC / lc ) ( α E I / l ) B B B... (3.20) Poglavlje 3 : strana 31 od

32 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Granična nosivost stuba opterećenog aksijalnom silom pritiska na ekscentricitetu e, za različite vrednosti vitkosti stuba prikazana je na Sl. 3/66. Spoljašnja, interakciona kriva odgovara maksimalnoj nosivosti poprečnog preseka u smislu momenta savijanja za određi nivo aksijalnog naprezanja i za poznatu količinu armature u preseku. Prava linija odgovara teorijskoj nultoj vitkosti stuba. Uticaji drugog reda ne postoje, a nosivost preseka je uslovljena proračunom koji uvažava materijalnu nelinearnost i. Sa porastom vitkosti, povećavaju se i uticaji drugog reda. Za niske vitkosti, deformacija štapa ima zanemarljiv uticaj na njegovu graničnu nosivost, koja se dostiže iscrpljenjem nosivosti kritičnog poprečnog preseka. Sa povećanjem vitkosti (λ2) raste i uticaj efekata drugog reda, no granična nosivost je još uvek uslovljena nosivošću kritičnog preseka. Za stubove velikih vitkosti (λ3), prirast momenta spoljašnjeg savijanja je brži nego što je to presek u stanju da prati prirastom unutrašnjeg momenta savijanja. Granična ravnoteža je dostignuta pre iscrpljenja nosivosti preseka, gubitkom stabilnosti. Ova forma loma (gubitkom stabilnosti) se izuzetno retko realizuje kod AB stubova, zbog čega se problem izvijanja, po pravilu, svodi na određivanje uvećanih momenata savijanja na račun deformacije ose stuba. Sl. 3/66. Uticaj vitkosti na graničnu nosivost stuba i vrsta sloma u funkciji vitkosti Saglasno ovome postavljaju se i kriterijumi kojima se stubovi klasifikuju na kratke i vitke (Sl. 3/67). Načelno, kod kratkih stubova efekti deformacije mogu biti proračunski zanemareni. Sl. 3/67. Klasifikacija stubova Iako je ovo zanemarenje izvesno nekonzervativno, sa praktične strane posmatrano je opravdano. Istina je i da su uticaji izvijanja, kod AB konstrukcija, većinski bez većeg praktičnog i Dimenzionisanjem preseka saglasno graničnoj nosivosti uvažena je materijalna nelinearnost, preko nelinearnih komponentnih zavisnosti napona i betona. 130

33 3. Linijski elementi značaja, zbog čega je od interesa, relativno grubim kriterijuma, prepoznati kada je to izvesno slučaj. Prema Pravilniku, kratkima se smatraju oni stubovi kod kojih je zadovoljeno: ( M M ) λ 25 2 /,...(3.21) lim Momenti na krajevima stuba, M01 i M02, daju pozitivan odnos ukoliko zatežu istu stranu stuba. Po apsolutnoj vrednosti, M02 je veći od M01, a ukoliko je stub centrično opterećen, ovaj odnos se usvaja jednakim jedinici. Ovim čak i stub vitkosti 75, u situaciji najpovoljnije distribucije momenta savijanja, može biti tretiran kao kratak. Okvir 3/3. Komentar uz izraz (3.21) Treba primetiti da kriterijum (3.21) obuhvata samo geometrijske karakteristike i oblik momentne distribucije duž stuba, a ne i intenzitet aksijalnog opterećenja. Ovo je u velikoj meri pogrešno budući da, u bukvalnom tumačenju, zahteva proračunsku kontrolu efekata deformacije i za stubove opterećene vrlo niskim intenzitetima aksijalnih sila. Nije teško pokazati da je granica vitkosti (kojom se odvajaju kratki od vitkih stubova), za intenzitete relativne aksijalne sile manje od 0.2 (0.15) višestruko viša od ovako određene. U tom smislu, logičniji kriterijum se daje u Evrokodu, gde se na desnoj strani izraza, u imeniocu, javlja koren iz relativne aksijalne sile, n (uz parametre kojima se uvode efekti tečenja, A, i količine armature, B; date su konzervativne vrednosti za A i B): 20 A B C λlim =, A = 0.7, B = 1.1, M 01 C = 1.7 n M 02 Osim ovoga, stub se, prema domaćim propisima, smatra kratkim i u situacijama kada je dominantno savijan. Pravilnik ovo definiše sledećim uslovima, preko odnosa ekscentriciteta a- ksijalne sile i odgovarajuće dužine stranice preseka (visine): 1 e / d 3.5 za λ 75 1 e / d 3.5 λ / 75 za λ (3.22) Okvir 3/4. Ekvivalentni ekscentricitet prvog reda Slično, i prema Evrokodu se određuje ekvivalentni ekscentricitet prvog reda: e = M / N, M = 0.6 M M. 1 u u u 02, u 01, u Dijagramom je prikazana razlika, no treba imati na umu i da, saglasno Evrokodu, ovaj ekscentricitet ne može biti usvojen manjim od 40% ekscentriciteta e02. Momentima savijanja prvog reda, za nepromenljivu aksijalnu silu, odgovara ekscentricitet a- ksijalne sile prvog reda, e1. Načelno, reč je o odnosu momenta savijanja i aksijalne sile. No, Poglavlje 3 : strana 33 od

34 Betonske konstrukcije u zgradarstvu kako je, u opštem slučaju, moment savijanja promenljiv po dužini stuba, ovaj ekscentricitet se računa na bazi ekvivalentnog momenta savijanja prvog reda (Okvir 3/4): e = M / N = 0.65 e e, M = 0.65 M M,....(3.23) 1 u u u 02, u 01, u Ukoliko stub ne može biti klasifikovan kao kratak, stub je vitak i dodatna analiza kojom se procenjuju dodatni uticaji (momenti savijanja) izazvani izvijanjem mora biti sprovedena. Ovom analizom se razmatraju svi fenomeni koji mogu bitno da opredele ponašanje stuba osetljivog na deformaciju. Osim efekata drugog reda, to su još i efekti geometrijskih netačnosti (imperfekcija), kao i reološki efekti Ukupni ekscentricitet Najpogodnije je problem analizirati preko ekscentriciteta aksijalne sile, kako je to već učinjeno za ekscentricitet prvog reda. Tako, ukupni (totalni) ekscentricitet aksijalne sile, nakon deformacije stuba, može biti prikazan kao zbir sledećih pojedinačnih ekscentriciteta (Sl. 3/68): ekscentricitet prvog reda, e0, ekscentricitet usled geometrijskih Sl. 3/68. Parcijalni i ukupni ekscentriciteti imperfekcija (slučajni), ea, ekscentricitet usled tečenja, eφ, i ekscentricitet drugog reda, e2: e = e + e + e + e = e + e....(3.24) tot 0 a φ 2 I 2 Prva tri imaju karakter ekscentriciteta prvog reda, zbog čega su i grupisana u vidu ekscentriciteta ei. Ekscentricitetom usled netačnosti pri izvođenju obuhvataju se dimenzionalne netačnosti i nepouzdanosti položaja i pravca delovanja aksijalnih sila. Domaći propisi ga definišu kao (Sl. 3/69a): 2 cm < e = l / 300 < 10 cm,...(3.25) a 0 ili preko dodatnog nagiba i (Sl. 3/69b): 1 / 150 za jednospratne okvire tgα =....(3.26) 1 / 200 za visespratne okvire Sl. 3/69. Računska imperfekcija Tečenje betona kod pritisnutih vitkih armiranobetonskih stubova izaziva povećanje ugiba, a samim tim i smanjenje njihove nosivosti. Tačan proračun ovih efekata podrazumeva upotrebu složenog matematičkog aparata (isprskao presek, nelinearan zakon tečenja, redistribucija i Za horizontalno pomerljive konstrukcije. 132

35 3. Linijski elementi naprezanja beton-čelik i dr.). Zbog toga se može smatrati opravdanim korišćenje približnih metoda proračuna, kao i postavljanje odgovarajućih kriterijuma kada uticaj tečenja betona nije neophodno obuhvatiti proračunom. Zbog jednostavnosti primene, analiza uticaja efekata tečenja betona se izdvaja posebno prilikom dokaza granične nosivosti vitkog armiranobetonskog stuba. Efekti tečenja se u proračun uvode putem procene ekscentriciteta usled tečenja i. Prema PBAB87, efekti tečenja mogu biti zanemareni proračunom ako je ispunjen bar jedan od sledeća tri uslova: λ < 50, e / 2 0 d > ili N 0.2 N,...(3.27) g q gde su Ng i Nq eksploatacione vrednosti aksijalne sile pritiska usled stalnog i usled ukupnog opterećenja. Ukoliko ni jedan od uslova nije ispunjen, efekti tečenja se uvode preko dodatnog ekscentriciteta njime izazvanog: αe 1 α E eϕ = ( e0 g + ea ) e 1 Ng α E =, N N, E π E I 2 b b E =....(3.28) 2 l0 NE je Euler-ova sila izvijanja za stub krutosti preseka EbIb i dužine izvijanja l0. Konačno, ekscentricitet drugog reda je faktor koji primarno razlikuje metode proračuna efekata vitkosti, a nekoliko postupaka je prikazano u nastavku. Sa određenim parcijalnim i ukupnim ekscentricitetom, kritični presek stuba se dimenzioniše prema aksijalnoj sili i uvećanom momentu savijanja, recimo Mu2, koji odgovara ukupnom ekscentricitetu etot (moment savijanja I reda Mu odgovara ekscentricitetu I reda e0 < etot). No, kako god određeni uvećani momenti bili, stub uvek treba proveriti i u presecima koji se nalaze izvan dužine izvijanja. Naime, može se dogoditi da uticaji prvog reda na krajevima nepomerljivog stuba (linearno promenljivi momenti po dužini stuba imaju maksimalne vrednosti baš na krajevima) rezultuju većom potrebnom količinom armature nego preseci u kritičnoj zoni dužine izvijanja Postupak dopunske ekscentričnosti Domaćim Pravilnikom, za stubove u rasponu vitkosti između 25 i 75 (područje umereno vitkih stubova, Sl. 3/67) dozvoljena je primena približnog postupka dopunske ekscentričnosti ii. Sl. 3/70. Zavisnost ekscentriciteta drugog reda od ekscentriciteta prvog reda i U praksi se, osim ovog, primenjuju i postupci kojima se modifikuje veza između napona i dilatacija u betonu za dugotrajna opterećenja, kao i postupci kojima se redukuju krutosti AB elemenata (tečenje). ii Ovim postupkom dozvoljeno je proračunavati i stubove pomerljivih konstrukcija. Poglavlje 3 : strana 35 od

36 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Postupak bazira na izračunavanju ukupnog, uvećanog, ekscentriciteta aksijalne sile kao zbira parcijalnih (3.24), te na gruboj proceni samog ekscentriciteta drugog reda, e2, u funkciji vitkosti i ekscentriciteta prvog reda, e0, na sledeći način (Sl. 3/70): e e e λ 25 e0 e0 = d 0.1 +, kada je ,...(3.29) 100 d d λ 25 e, kada je = d 2.50,...(3.30) 160 d λ 25 e e = d 160 < d d , kada je 2.50< (3.31) Veza M-N-κ i model-stub metod Prethodni postupak, iako jednostavan za primenu, ne može biti primenjen kod stubova vitkosti veće od 75 (na stranu činjenica da je ekscentricitet drugog reda njime vrlo grubo procenjen). Za stubove veće vitkosti moraju biti primenjeni složeniji postupci, koji se odlikuju većom tačnošću. Naravno, kao tačniji, ovi postupci mogu biti primenjeni i u polju umereno vitkih stubova. Jedan od najpogodnijih (najmanje nepogodnih) za praktičnu primenu je postupak model-stub. Kao osnovu, ovaj metod koristi poznatu vezu na nivou preseka između momenta savijanja, aksijalne sile i njegove krivine, tzv M-N-κ vezu, koju je pogodno predstavljati u obliku M(κ), za različite vrednosti N. Pri tome, krivina preseka se definiše kao (h je statička visina): κ ε + ε h b a =.... (3.32) Za praksu je (zato što postaje nezavisan od kvaliteta betona i odnosa stranica pravougaonog preseka) pogodniji bezdimenzionalni oblik M-N-κ veze, odnosno m-n-k veza, gde su m, n i k bezdimenzionalne vrednosti momenta savijanja, normalne sile i krivine preseka: M N m n k κ h 3 = u, = u, = 10...(3.33) Ab dfb Ab fb Za uspostavljanje ove veze uvode se pretpostavke proračuna prema graničnom stanju loma, s tim što se, prema PBAB87, dilatacije zategnute armature iz praktičnih (i ne samo praktičnih) razloga ograničavaju na veličinu blisku pragu velikih izduženja čelika: σ max ε = v.... (3.34) a E a Sl. 3/71. Spoljašnje i unutrašnje sile preseka pri krivini κi Za presek poznatih karakteristika i za poznatu vrednost spoljašnje granične normalne sile Nu moguće je odrediti maksimalnu nosivost preseka na savijanje (maxmu) i odgovarajuću maksimalnu krivinu (maxκ). Svakoj krivini κi (u intervalu od 0 do maxκ), na osnovu uslova ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila, odgovara jedinstveno stanje dilatacija (εai i εbi), a time i moment 134

37 3. Linijski elementi unutrašnjih sila Mri, pri kojem ostaje očuvana ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila (Sl. 3/71). Njemu mora da bude jednak spoljašnji moment savijanja Mu, čime je definisana veličina spoljašnjeg momenta koji će, uz datu silu Nu, da izazove pretpostavljenu krivinu: M ui = M ri... (3.35) Sl. 3/72. Veze m-n-k Ilustracije radi, prikazan je oblik m n k veze sračunate prema odredbama domaćih propisa (Sl. 3/72a) i prema odredbama Evrokoda (Sl. 3/72b) za nivo aksijalnog opterećenja definisan bezdimenzionalnom normalnom silom -0.30, uz pretpostavku korišćenja čelika RA400/500, te za različite koeficijente armiranja preseka. Posmatrajući ovu drugu (za koju nije primenjena pretpostavka ograničenja dilatacije zategnute armature), očigledno je da kriva koja predstavlja ovu vezu ima dva loma. Oba odgovaraju lomu bilinearnog radnog dijagrama čelika za armiranje. Prvi lom se javlja kada dilatacija gornje (pritisnute) armature dostigne dilataciju na granici razvlačenja, a drugi kada se to dogodi sa dilatacijom donje (zategnute) armature. Kako je prema odredbama PBAB'87 dilatacija zatezanja ograničena baš na vrednost koja odgovara granici razvlačenja, to je treći deo m n k veze, u slučaju domaćih propisa, izostavljen. No, svakako, treba primetiti da je prirast momenta savijanja posle ove granice minimalan što odgovara i ranije iznetoj konstataciji. Okvir 3/5. Ograničenje dilatacije zategnute armature Posledica ove pretpostavke je opravdanost upotrebe maksimalnih koeficijenata sigurnosti, prilikom proračuna prema PBAB, iako samoj granici razvlačenja odgovaraju nešto veće vrednosti. Iako se uvedenom pretpostavkom maksimalna moguća krivina, k, drastično redukuje sa 13.5 (10+3.5) promila na, za rebrasti čelik, na primer, 5.5 (2+3.5), posledice nisu drastične. Najbolje je ovo ilustrovano narednim dijagramom gde su predstavljene interakcione krive koje odgovaraju pojedinim vrednostima krivina. Očigledno je da je već interakcionom linijom za krivinu (bezdimenzionalnu) od 5.5, praktično, pokrivena kompletna granična nosivost preseka. Poglavlje 3 : strana 37 od

38 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Sa stanovišta teorije konstrukcija, kod analize pritisnutog vitkog stuba potrebno je rešiti stanje unutrašnjih sila i deformacija elementa, problem koji je zbog uticaja normalnih sila na stanje momenata savijanja geometrijski nelinearan, a zbog nelinearnih deformacija preseka pri datim spoljnim opterećenjima još i materijalno nelinearan. Posmatrajmo konzolu sa Sl. 3/73. Da bi se odredilo pomeranje vrha konzole opterećene horizontalnom silom H u vrhu, kod koje, zbog materijalne nelinearnosti, spoljašnjim linearno promenljivim momentima savijanja odgovara nelinearna raspodela krivina preseka, treba rešiti iz Teorije konstrukcija poznati integral: l ( ) ( ) / ( ) ( ) κ ( ) a = M x M x EI x dx = M x x dx 0 0 l... (3.36) Ako se zna zakon promene krivine preseka u funkciji veličine momenta savijanja, veličine normalne sile pritiska, količine i rasporeda armature u preseku date geometrije (m-n-k veza), onda se pomeranje može sračunati korišćenjem Mohr-ove analogije ili numeričkom integracijom. Ako je stub visok i pritisnut, tada se proračun u principu sprovodi iterativno, jer svakom novosračunatom stanju pomeranja odgovara novo stanje momenata savijanja. Ako proračun deformacija i sila ne konvergira - pomeranja usled normalnih sila rastu brže od prirasta nosivosti preseka pri povećanju krivina - lom usled gubitka stabilnosti. Umesto ovakvog, egzaktnog, rešenja, može se iskoristiti iskustvo teorije elastične stabilnosti kojim se oblik deformisane ose stuba može dovoljno tačno aproksimirati sinusnim zakonom. Ovo je pretpostavka model-stub postupka. Model stub je, dakle, konzolni stub za koji se pretpostavlja da je usled Sl. 3/73. Pomeranje vrha konzole materijalna nelinearnost uticaja prvog i drugog reda pretrpeo deformaciju u obliku sinusnog polutalasa. Najveći moment savijanja prvog i drugog reda (stub je poprečno neopterećen između krajeva) se javlja u preseku u uklještenju. Uz opravdano zaokruženje π 2 ~10, pomeranje vrha stuba može da se izrazi u funkciji, za sada nepoznate, krivine preseka u uklještenju (κ0): e = 0.4 κ l = 0.1 κ l, l = 2l...(3.37) Ranije je (3.24) ukupni ekscentricitet definisan kao zbir početnog ekscentriciteta ei i ekscentriciteta drugog reda e2: e = e + e = e κ l...(3.38) tot ili, u bezdimenzionalnom obliku: κ 0 d 0.1 k...(3.39) 0 etot e l e d l = + d d d = + d d a d gde je: k0 bezdimenzionalna krivina preseka u uklještenju, d visina poprečnog preseka stuba, a h=d-a statička visina preseka stuba. U nastavku će bezdimenzionalni ekscentriciteti biti obeležavani oznakama koje su korišćene za stvarne ekscentricitete: 136

39 etot e e etot, e, e d d d Linijski elementi Na dijagramu etot-k0, linija promene ukupnog ekscentriciteta je prava i raste sa porastom promenljive krivine. Podelimo li sada bezdimenzionalnu m n k vezu bezdimenzionalnom normalnom silom n, svešćemo M N κ vezu na isti oblik bezdimenzionalnosti: m M e = = = f n N d d ( k ) 0... (3.40) Sada prava (3.39) daje zakon promene spoljašnjeg opterećenja za presek u uklještenju u funkciji krivine tog preseka, dok kriva (3.40) daje zakon promene unutrašnjih sila poprečnog preseka (Sl. 3/74). Pod uticajem spoljašnjeg opterećenja krivina u kritičnom preseku se povećava dok ne bude zadovoljena ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila. Razvoj deformacija će se zaustaviti Sl. 3/74. Spoljašnji i unutrašnji ekscentricitet na onoj vrednosti krivine k0 koja odgovara jednakom ekscentricitetu spoljašnje i unutrašnje aksijalne sile (jednakost momenata savijanja). Na Sl. 3/74 to je prikazano presekom krive unutrašnjeg i prave spoljašnjeg opterećenja. Sl. 3/75. Slučaj koji odgovara gubitku stabilnosti, odnosno minimalnoj potrebnoj količini armature Ukoliko kriva unutrašnjeg ekscentriciteta sve vreme ostaje ispod prave spoljašnjeg ekscentriciteta (Sl. 3/75a), ne može doći do uravnoteženja spoljašnjeg i unutrašnjeg momenta savijanja, te ovakav slučaj odgovara gubitku stabilnosti konstrukcije. Granični slučaj odgovara situaciji u kojoj prava spoljašnjeg ekscentriciteta tangira krivu unutrašnjeg ekscentriciteta (Sl. 3/75b). Ovim slučajem je definisan minimalni koeficijent armiranja preseka, tj. potrebna količina armature u preseku. Ovo znači da bi iterativnim postupkom po količini armature mogao da se reši problem dimenzionisanja stuba, a ne samo kontrole usvojene armature. Sl. 3/76. Izdvajanje model stuba Za druge tipove nepomerljivih stubova (stubovi koji nisu konzole) bez poprečnog opterećenja, za "model-stub" se može usvojiti polovina "zglobno" vezanog dela stuba (deo stuba između tačaka infleksije) - konzola - čija je visina jednaka polovini dužine izvijanja (Sl. 3/76). Primena Poglavlje 3 : strana 39 od

40 Betonske konstrukcije u zgradarstvu model-stub metode je ograničena, prema PBAB87, na nepomerljive stubove sa vitkošću manjom od 140 (maksimalna dozvoljena vitkost AB elemenata). Linearno promenljivi moment prvog reda se može zameniti ekvivalentnim konstantnim duž ose stuba Koso savijani vitki stubovi Problem koso savijanih vitkih stubova je znatno kompleksniji od prethodnog, jednoosnog problema. Već sama činjenica da bi stub u dva glavna pravca mogao biti različitih relativnih pomerljivosti krajeva, kao i da za ovaj problem ne postoji dužina izvijanja ili vitkost kao karakteristika stuba, ukazuje na to. U nedostatku preporuka domaćeg Priručnika, u nastavku je dat približni postupak preporučen u Evrokodu. Ideja (iako inženjerski diskutabilna) približne analize je u prostoj dekompoziciji problema kosog izvijanja na dva problema jednoosnog. Tako, za svaki glavni pravac se posebno utvrđuje pomerljivost, dužina izvijanja i vitkost, te uvećani momenti prvog reda. Preporučuje se apliciranje geometrijskih imperfekcija samo u jednom, nepovoljnijem, od dva pravca. Nakon što su određeni uvećani momenti savijanja, zahteva se zadovoljenje sledećeg kriterijuma po odnosu proračunskih momenata i momenata nosivosti za dva pravca: a a ( M M ) ( M M ) (3.41) Edz Rdz Edy Rdy Tabela 3/1. Eksponent a za pravougaone preseke NEd/NRd < a Dati izraz predstavlja aproksimaciju horizontalnog preseka kroz interakcionu površ (koordinatne ose su dve momentne ose). Kako je oblik ovog preseka zavisan od nivoa aksijalnog opterećenja za koji se presek pravi, to i eksponent a zavisi od ovog nivoa. Treba primetiti i da kontrola uslova (3.41) pretpostavlja poznatu armaturu u stubu, te ona mora biti usvojena (očekivano nakon uvećanja momenta savijanja u dva pravca i dimenzionisanja kritičnog preseka kao koso savijanog) kako bi se mogle odrediti momentne nosivosti za svaki od pravaca i. Eksponent je, za pravougaone preseke, dat u narednoj tabeli (Tabela 3/1). Parametar koji određuje eksponent je odnos granične aksijalne sile i granične nosivosti centrično pritisnutog preseka (poznate armature). Za kružne preseke, njegova je vrednost uvek 2.0. Ukoliko je stub dominantno savijan u jednom pravcu, a vitkosti stuba u dva pravca su uporedive, uslov (3.41) nije neophodno kontrolisati. Uslovi koji određuju kada je stub dominantno savijan u jednom pravcu su dati narednim izrazima, a očiglednije prikazani na Sl. 3/77: λ λ λ i z λ 2 e ) i ( y d e b 0.2 e i z b e d 0.2 y ( 2 z y z y ).... (3.42) i Momentne nosivosti se određuju za predmetnu proračunsku (graničnu) aksijalnu silu (NEd u Evrokodu; domaći ekvivalent bi bila sila Nu), na primer korišćenjem interakcionih dijagrama. 138

41 3. Linijski elementi Sl. 3/77. Presek dominantno savijan u jednom pravcu 3.3. OKVIRNE KONSTRUKCIJE UVOD Okvirni sistemi su među najčešće korišćenim konstruktivnim elementima kod armiranobetonskih konstrukcija. Činjenica da je ostvarivanje monolitne veze elemenata, kojom je omogućen prenos momenata savijanja, transverzalnih i/ili aksijalnih sila sa jednog na drugi element, svojstveno i prirodno monolitno izvođenim armiranobetonskim konstrukcijama je značajno uticala na ovo. Okviri se najčešće primenjuju u konstrukcijama zgrada i hala, ali i u praktično svim drugim vrstama armiranobetonskih konstrukcija. Sl. 3/78. Karakteristični primeri okvirnih sistema Okvir (prost okvir) je element koji čine dva stuba povezana gredom na način da je između elemenata ostvarena kruta, monolitna, veza. Različite dispozicije prostih okvira sa vertikalnim ili kosim stubovima, horizontalnim ili nagnutim, pravolinijskim ili poligonalnim gredama... prikazane su na Sl. 3/78. Sl. 3/79. Okvirno dejstvo Zahvaljujući krutim vezama grede i stuba, te nepomerljivim osloncima, postiže se, takozvano okvirno dejstvo: pod dejstvom vertikalnog opterećenja sa grede se, na stub, prenose i momenti savijanja, što za posledicu ima manje apsolutne vrednosti momenata savijanja u gredi (Sl. 3/79). Dalje, greda prima i određenu aksijalnu silu, čime je, takođe, u povoljnijem položaju Poglavlje 3 : strana 41 od

42 Betonske konstrukcije u zgradarstvu od odgovarajuće proste grede. Sa druge strane, stubovi su sada izloženi i savijanju, zbog čega moraju biti krući. Sl. 3/80. Statički sistemi prostih okvira U statičkom smislu okviri mogu biti statički određeni ili neodređeni, a osnovni tipovi su okvir na tri zgloba, okvir na dva zgloba i uklješteni okvir (Sl. 3/80). Sa stanovišta konstruktivne racionalnosti prednost je na strani uklještenih okvira, budući da se njima obezbeđuje minimalan utrošak materijala. Opet uslovi fundiranja ili karakteristike tla, ali i neki drugi faktori, mogu usloviti primenu dvozglobnih ili statički određenih, trozglobnih, sistema. Ovo poslednje je slučaj kod konstrukcija fundiranih na tlu lošijih karakteristika ili kod okvira izloženih velikim temperaturnim opterećenjima, kada je potrebno neutralisati uticaje izazvane, na primer, neravnomernim sleganjem oslonaca. Očigledno, horizontalna nepomerljivost oslonaca je uslov okvirnog dejstva. Postiže se konstruisanjem temelja u koje su stubovi uklješteni ili s njima zglobno nepomerljivo vezani. Na temelje se time prenosi, osim Sl. 3/81. Nepomerljivost oslonaca vertikalne, horizontalna sila i, e- ventualno, moment savijanja. Nepomerljivost temelja (Sl. 3/81) se obezbeđuje trenjem preko kontaktne površine temelja i tla, za manja, ili povezivanjem temelja zategom, za veća horizontalna opterećenja (sada se zategom primaju horizontalne komponente, a na tlo se prenosi samo vertikalna reakcija). Sl. 3/82. Brodovi i spratovi okvira Složeni okvirni sistemi (takođe ih zovemo okvirima) se formiraju povećanjem broja etaža i/ili brodova (polja), razigravanjem dispozicije (Sl. 3/84a) ali i umetanjem zglobova. Tako, zavisno od broja polja i broja etaža, okviri mogu biti jednobrodni ili višebrodni, jednospratni ili višespratni (Sl. 3/82), a u funkciji načina oslanjanja i veze sa temeljima, kao i međusobne veze pojedinih okvira, mogu biti sa krutim, sa zglobnim vezama ili kombinovani (Sl. 3/83). Sl. 3/83. Zglobovi u okvirnim sistemima 140

43 3. Linijski elementi Sl. 3/84. Karakteristični primeri okvira kod industrijskih hala Kao specijalan slučaj ravanskih okvirnih sistema mogu se javiti i zatvoreni okviri, Sl. 3/85. Mogu biti formirani od linijskih elemenata ili, što je češći slučaj, mogu se delovi konstrukcija formiranih od površinskih elemenata statički tretirati kao zatvoren okvir. To je često slučaj kod analize konstrukcija silosa, tunela, cevi, podzemnih prolaza... (Sl. 3/86). Ovakve, najčešće prizmatično oblikovane, konstrukcije velike dužine u odnosu na dimenzije preseka dozvoljavaju izdvajanje preseka jedinične dužine forme zatvorenog okvira. Sl. 3/85. Zatvoreni okvirni sistemi Sl. 3/86. Izdvajanje zatvorenih okvira iz površinskih konstrukcija Okvir, načelno, prenosi opterećenje u svojoj ravni. Prostorni rad, mogućnost prijema opterećenja proizvoljnog pravca, postiže se formiranjem prostornih okvira. Sl. 3/87. Prostorne ramovske konstrukcije Ovo se najčešće čini povezivanjem stubova gredama u dva ortogonalna pravca, ali raspored stubova može usloviti i ramove drugačijih dispozicija (Sl. 3/87). Iako danas primena softvera za strukturalnu analizu obezbeđuje brz proračun uticaja u prostornim okvirima, za grubu kontrolu ili za orijentaciju, pogodno je prostorne okvire svesti na pojedinačne ravanske. Poglavlje 3 : strana 43 od

44 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Na Sl. 3/88 je prikazana prostorna okvirna jednospratna konstrukcija karakteristična za industrijske hale, a označavanjem podužnih i poprečnih okvira je asocirana ravanska dekompozicija prostornog sistema. Ekonomičnost jednospratnih ramovskih konstrukcija izvedenih u armiranom betonu ide do raspona od oko 25m. Stu- Sl. 3/88. Jednospratni prostorni okvir industrijske hale bovi se najčešće projektuju pravougaonog preseka, a relativno retko (montažne konstrukcije) se projektuju razuđenih oblika preseka. Gredni elementi se konstruišu pravougaonog preseka za manje raspona, odnosno T ili I oblika preseka, za veće. Višespratne okvirne konstrukcije se najviše primenjuju u konstrukcijama različitih vrsta zgrada i formiraju se, načelno, ređanjem jednospratnih okvira jedan na drugi, njihovim zglobnim ili krutim povezivanjem u prostornu konstrukciju. Uobičajeni rasponi u konstrukcijama zgradarstva se kreću u granicama 4 do 10m, a veze elemenata, zbog monolitnog načina izvođenja, su najčešće krute PRORAČUN I DIMENZIONISANJE OKVIRA Proračun uticaja u elementima okvirnih konstrukcija se sprovodi uobičajenim metodama teorije elastičnosti. Za novije vreme je karakteristična primena softverskih alata, te prostorno modeliranje ramovskih konstrukcija, zajedno sa površinskim elementima. Pri formiranju proračunskog modela, za sistemske linije se usvajaju težišne linije elemenata, a geometrijske karakteristike koje se modeliranim elementima pridružuju najčešće odgovaraju homogenim betonskim presecima. Međutim, izvesno je da se grede i stubovi okvira međusobno razlikuju u stepenu isprskalosti, a samim tim i u krutosti, te da već pri eksploatacionom opterećenju dolazi do određene preraspodele uticaja u odnosu na rešenja teorije elastičnosti. Ne samo to, deo opterećenja je aktivan i pre formiranja kompletne konstrukcije, tečenje i skupljanje dodatno pospešuju preraspodele uticaja, a i granični uslovi predstavljaju samo grubu idealizaciju stvarnih uslova fundiranja. Sve ovo vodi zaključku da uticaji određeni primenom teorije elastičnosti mogu biti prihvaćeni samo kao približni, ali praktično upotrebljivi. Iako su danas (zbog razvoja računarske tehnike) od sve manjeg značaja, za grubu analizu uticaja u pojedinim elementima, orijentacije radi, mogu poslužiti približne praktične metode. Tako, za vertikalna dejstva, kruta veza stuba i grede može biti zanemarena i greda tretirana kao kontinualna. Ivični stubovi i kraj grede mogu, uticajno, biti proračunati korišćenjem jednostavnog modela na Sl. 3/89b. Tačnije rezultate obezbeđuje složeniji model na shemi Sl. 3/89c. 142

45 3. Linijski elementi Sl. 3/89. Modeli približnog proračuna Za horizontalna dejstva, raspodela uticaja je određena odnosom krutosti greda i stubova (Sl. 3/90). Grede male krutosti vode situaciji u kojoj se veći deo momenta spoljašnjih sila prihvata uklještenjima, a manji spregom sila, i obrnuto. Dimenzionisanje elemenata okvira u potpunosti odgovara postupcima za dimenzionisanje grednih elemenata i stubova. Sprovodi se prema određenim vrednostima uticaja (presečnih sila). Prostorno modelirane konstrukcije se karakterišu koso savijanim stubovima. Sl. 3/90. Uticaj odnosa krutosti greda i stubova na raspodelu momenata savijanja u stubovima NASTAVLJANJE ARMATURE STUBOVA Na delu stuba na kome se nastavlja podužna armatura broj uzengija treba udvostručiti tako da njihovo rastojanje ne prelazi 7.5 prečnika najtanje podužne šipke, niti 15cm (Sl. 3/91). Ove uzengije treba da budu preklopljene preko kraće strane, a uloga im je prijem zatežućih horizontalnih sila. Nastavak armature stuba se najčešće izvodi preklapanjem, neposredno iznad međuspratne konstrukcije. Radi izvođenja nastavka potrebno je predvideti ankere Sl. 3/91. Progušćenje uzengija stuba na čija dužina iznad međuspratne konstrukcije odgovara mestu nastavka podužne armature dužini preklopa ili potrebnoj dužini za izvođenje zavarivanja (Sl. 3/92a). Ukoliko je stub više etaže manjih dimenzija preseka, propuštanje donjih šipki u gornji stub je moguće samo ukoliko nagib povijanja ne prelazi 6:1 (Sl. 3/92b). U suprotnom, potrebno je predvideti posebne ankere za nastavljanje armature (Sl. 3/92c). Poglavlje 3 : strana 45 od

46 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Sl. 3/92. Nastavljanje armature stubova iznad međuspratne konstrukcije ČVOROVI OKVIRNIH KONSTRUKCIJA Postizanje krute veze elemenata u okvirnim konstrukcijama je određeno pravilnim proračunom i armiranjem čvorova. Potrebno je obezbediti da nosivost čvorova bude jednaka nosivosti priključnih elemenata, a takva da do krtog loma čvora ne dođe pre nego što se u vezanim elementima razviju plastične deformacije (plastični zglobovi). Pojedini čvorovi mogu biti izloženi dejstvu alternativnih momenata, što ih čini predmetom detaljnije analize. Jednostavno armiranje bez nastavaka armature u čvoru, kao i dobar kvalitet i ugradnja betona su osnov dobrog ponašanja čvora u eksploataciji. U nastavku su zasebno razmatrani karakteristični čvorovi okvirnih konstrukcija. Poseban problem predstavlja analiza čvorova u situacijama kada su opterećeni cikličnom opterećenju i rasterećenju, kao što je slučaj pri delovanju seizmičkog opterećenja. Principi za ovo vezani su razmatrani u poglavlju koje se odnosi na aseizmičko projektovanje višespratnih zgrada Spoj krajnjeg stuba i krajnje grede Kod ugaonih čvorova okvirnih sistema opterećenih na način da im je spoljašnja strana zategnuta (što je slučaj, na primer, za gravitaciona opterećenja), ispitivanja su pokazala veliku koncentraciju napona pritiska na unutrašnjoj ivici, te maksimalna zatezanja locirana bliže neutralnoj osi nego spoljašnjoj ivici preseka (Sl. 3/93). Sl. 3/93. Naponsko stanje u čvoru i oblikovanje čvora sa vutama Efekat koncentracije napona pritiska je moguće značajno ublažiti konstruisanjem vuta (pravolinijskih ili krivolinijskih, Sl. 3/93). Potreba za vutama ove vrste raste sa povećanjem momenta u čvoru, te sa krutošću stuba u odnosu na gredu. 144

47 3. Linijski elementi Sl. 3/94. Skretne sile, lokalni naponi i armiranje čvora Zategnuta armatura se kroz čvor vodi neprekinuta i povija se po određenom poluprečniku. S jedne strane, ovaj poluprečnik mora biti takav da zadovolji uslove pravilnog oblikovanja armature. U skladu s tim, treba primetiti da bi izbor velikih profila armature mogao rezultovati poluprečnicima kojima bi nosivost čvora, zbog spuštanja armature po visini preseka, mogla biti bitno narušena. Sa druge strane, povijanje zategnute armature po luku izaziva skretne sile, kojima armaturna šipka lokalno napreže okolni beton (Sl. 3/94). Zato, poluprečnikom povijanja (veći poluprečnik manje skretne sile kotlovska formula) mora biti obezbeđeno da lokalni naponi pritiska nisu prekoračeni. Sl. 3/95. Proračunski model čvora - naponi cepanja u betonu izazvani skretnim silama Na Sl. 3/95 je prikazan model čvora. Ovako, idealizovano, posmatrano, glavni naponi su u pravcima dijagonala čvora, a u jezgru čvora se javlja čisto smicanje. Zatežuće sile u armaturi i pritiskujuće u betonu daju dijagonalnu rezultantu 2 V pravcu ukoliko je dostignuta zatežuća čvrstoća betona., koja izaziva cepanje u upravnom Sl. 3/96. Armiranje čvora sa obezbeđenjem od cepanja U cilju predupređenja formiranja dijagonalne pukotine, čvor može biti i dodatno armiran čelikom (mrežom), u dva ili tri reda obično, za prijem sila cepanja. Radijalno postavljene uzengije učestvuju u prenosu pritiska, ukrućuju čvor i, horizontalnim delovima, prihvataju poprečne sile cepanja (Sl. 3/96). Poglavlje 3 : strana 47 od

48 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Sl. 3/97. Vertikalno i horizontalno opterećen uklješteni okvir Horizontalno opterećeni okviri, na mestu posmatranog čvora, mogu biti u situaciji, zavisno od smera horizontalnog opterećenja, da im je unutrašnja ivica zategnuta (Sl. 3/97). Ukoliko je horizontalno opterećenje velikog intenziteta, pozitivni momenti mogu da budu veći od negativnih koji odgovaraju gravitacionom, te da ceo čvor dovedu u stanje zategnute unutrašnje ivice. Jasno, u tim situacijama čvor će naizmenično biti zatezan na spoljašnjoj i na unutrašnjoj strani. Sa stanovišta analize i armiranja ovo je znatno nepovoljniji slučaj. Pojedina ispitivanja su pokazala da je nosivost ovako opterećenog čvora može biti znatno manja od prethodnog, kada je zategnuta spoljašnja i- vica. Posebno je to slučaj (Sl. 3/98) kada zategnuta armatura nije pravilno usidrena, bilo Sl. 3/98. Zategnuta unutrašnja strana čvora po pitanju dužine, bilo načina (ne obuhvata čvor). Već za mali nivo opterećenja, u ovako armiranim čvorovima se formiraju prsline i stvaraju mogućnosti za odvajanje pritisnutog dela. Bolju nosivost je moguće obezbediti upravo dovoljnim dužinama sidrenja zategnute armature i njenim povijanjem na način da uteže čvor. U tom smislu, korišćenje armaturnih petlji (Sl. 3/99a) je idealno, ali je, zbog poluprečnika povijanja, ograničeno na manje armaturne profile. Sličan efekat obezbeđuje i način armiranja dat na Sl. 3/99b. Sl. 3/99. Pravilno armiranje čvora sa pozitivnim momentom Dalje povećanje nosivosti čvora, u smislu približavanja nosivosti priključnih elemenata, moguće je postići dodavanjem kose armature (Sl. 3/99c). Preporučuje se (Evrokod) da količina dodatne kose armature (Asv) bude bar polovina veće od armatura As1, za slabije armirane elemente (koeficijent armiranja manji od 1%), odnosno da joj bude jednaka za jače armirane preseke (Sl. 3/100). Sl. 3/100. Kosa armatura kod čvora opterećenog pozitivnim momentom 146

49 3. Linijski elementi Ako za ovaj slučaj opterećenja čvora formiramo idealizovani proračunski model (Sl. 3/101), opet se može konstatovati da su glavni naponi dijagonalnog pravca, suprotnog znaka od onih na Sl. 3/95. Ako se, dodatno pretpostavi (potvrđeno ispitivanima) da su naponi zatezanja raspodeljeni po paraboličnom zakonu i da deluju na širini bliskoj 0.8 visine preseka, može se proračunati i maksimalni zatežući napon, te armatura potrebna za njegovo prihvatanje, ukoliko je veći od zatežuće čvrstoće betona (Asd na Sl. 3/102). Sl. 3/101. Proračunski model Na Sl. 3/102 su prikazani pravilni načini armiranja čvora opterećenog pozitivnim momentom i čvora opterećenog momentima alternativnog znaka. Sl. 3/102. Armiranje čvora koji je ili može biti zategnut po unutrašnjoj ivici Slična situacija se javlja i kod kolenastih delova grednih elemenata. Način prihvatanja pozitivnih momenata armaturom je, ovde, zavisan od ugla koji priključni elementi zaklapaju (Sl. 3/103). Za uglove bliske 180 (veće od 160 ) dozvoljava se neprekinuto vođenje zategnute armature. Nepovoljan uticaj skretnih sila (težnja odvaljivanju zaštitnog sloja betona) se predupređuje njihovim prihvatanjem dovoljnom količinom uzengija. Za uglove manje od 160, armiranje odgovara armiranju prethodno analiziranih ugaonih čvorova opterećenih pozitivnim momentom savijanja. Poglavlje 3 : strana 49 od

50 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Sl. 3/103. Armiranje kolenaste grede Spoljašnji i gornji čvor Na Sl. 3/104 su prikazani, uz detalje klasičnog armiranja, karakteristični oblici i smerovi dijagrama momenata savijanja za spoljašnje i gornje čvorove okvirnih konstrukcija. Nosivost spoljašnjeg čvora može biti narušena bilo dostizanjem čvrstoće prionljivosti između betona i armature (Sl. 3/105a), bilo dostizanjem zatežuće čvrstoće betona u jezgru čvora. Sl. 3/104. Momentni dijagrami u spoljašnjem i gornjem čvoru Sl. 3/105. Naponsko stanje u čvoru Mala čvrstoća prionljivosti je karakteristična za gornju zonu grede neposredno uz čvor, gde se očekuje pojava prsline, ali i gde je i beton lošiji. Veliki naponi prijanjanja pojavljuju se između armature stuba i betona u području čvora. Sile, zatezanja i pritiska, Fs2g+Fs1d prenose se prijanjanjem na visini ne većoj od visine grede hb. Malu visinu grede prate veliki naponi prijanjanja, te vertikalne pukotine (odvaljivanje zaštitnog sloja) sa spoljašnje strane čvora. O- tud, mala visina grede može biti uzrokom male nosivosti čvora. 148

51 3. Linijski elementi Sa druge strane, pod dejstvom sila na čvor, pojavljuju se približno dijagonalni glavni naponi zatezanja i pritiska (Sl. 3/105b). Ovi zatežući relativno brzo dostižu zateznu čvrstoću betona, što ima za posledicu formiranje dijagonalne prsline. U cilju prevencije ovih pukotina, eksperimentalno je pokazano, od najvećeg zna- Sl. 3/106. Armiranje spoljašnjeg čvora čaja su gusto postavljene horizontalne zatvorene uzengije u čvoru (Sl. 3/106a, b, c). Sl. 3/107. Armatura spoljašnjeg i unutrašnjeg čvora Zategnuta, gornja, armatura grede može biti usidrena u stub (Sl. 3/106a), ali je ovo povezano sa problemima izvođenja, zbog prekida betoniranja neposredno ispod grede. Otud, rešenja prikazana na slikama Sl. 3/106b i c mogu biti razmatrana kao alternativa Unutrašnji čvor Na Sl. 3/108 je prikazan najnepovoljniji slučaj opterećenja unutrašnjeg čvora, koji odgovara visokim intenzitetima horizontalnog dejstva. I ovde, zbog delovanja sila na čvor, u njegovom jezgru se javljaju dijagonalno orijentisani glavni naponi pritiska i zatezanja. Ovi drugi su, zbog malih zatežućih čvrstoća betona, razlog pojavi pukotina. Sl. 3/108. Proračunski model Najefikasniji način prijema napona zatezanja u čvoru podrazumeva propuštanja kroz čvor u- zengija i stuba i grede, iako je ovo, izvođački posmatrano, vrlo zahtevno. Poglavlje 3 : strana 51 od

52 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Podužna armatura optimalno neprekinuta prolazi pravo kroz čvor, bez povijanja iz stuba u gredu (Sl. 3/108b) Kruta veza stuba i temelja Na Sl. 3/109 prikazani su detalji armiranja stuba uklještenog u temelj. U prvom slučaju dato je uklještenje stuba u nearmirani temelj preko temeljnog jastuka, a u drugom klasični primer uklještenog temelja. Ukoliko se na spoju temeljnog jastuka i temelja mogu pojaviti i zatežući naponi, njih je, kako je pokazano, potrebno prihvatiti posebnom armaturom. Sl. 3/109. Veza temelja i stuba ZGLOBOVI U OKVIRNIM KONSTRUKCIJAMA Zglob (momentni zglob) je mesto u armiranobetonskoj konstrukciji koje dozvoljava relativnu rotaciju delova sa njegove dve strane. Može biti projektovan u cilju smanjenja stepena statičke neodređenosti konstrukcije ili postizanja statički određenih sistema (Sl. 3/110). Izložen je uticajima aksijalne i transverzalne sile (ne i momenta Sl. 3/110. Primena zglobova savijanja). Načelno, može biti ostvaren naglim suženjem poprečnog preseka na maloj dužini elementa (pravi zglob) ili se sličan efekat može ostvariti i promenljivom visinom preseka elementa, te izborom preseka malog momenta inercije, u poređenju sa susednim elementom (Sl. 3/111). Sl. 3/111. Način ostvarivanja zglobova Zavisno od toga kakvu rotaciju omogućuju, zglobovi mogu biti linijski i tačkasti (Sl. 3/112b,c). Linijski zglob dozvoljava rotaciju samo u jednom pravcu, dok je tačkasti ekvivalent sfernom zglobu. Pravi zglobovi se projektuju naglim suženjem poprečnog preseka (najčešće stuba), kako je prikazano na Sl. 3/112a. Visina poprečnog preseka zgloba, kao i širina preseka tačkastog zgloba se usvajaju u sledećim granicama, ne manji od 15cm: 150

53 d = d 15cm b = b 15cm 4 3, 0 3. Linijski elementi,... (3.43) dok se visina zgloba (t) redovno usvaja kao petina manje dimenzije poprečnog preseka. Grlo zgloba se projektuje zaobljeno, a visina se ka krajevima postepeno povećava za, ukupno, 1 do 2cm (lakše uklanjanje oplate). Prekid betoniranja ne sme biti u samom zglobu. Sl. 3/112. Pravi zglob geometrija Na mestima gde se spoljašnja sila unosi u element preko relativno male površine javljaju se lokalni naponi pritiska. Osim kod zglobova, karakterističan primer lokalnog naprezanja je u- nos sile prednaprezanja na mestu ukotvljenja. Lokalni naponi se relativno brzo rasprostiru na širinu elementa: smatra se da je već na dubini približno jednakoj širini elementa (z d) raspodela napona po širini konstantna (Sl. 3/113a). Sl. 3/113. Rasprostiranje lokalnog pritiska Za veće dimenzije preseka na koji deluje, možda i nesimetrično, lokalni napon (ili za delovanje više lokalnih napona), površina rasprostiranja može biti i manja od površine preseka elementa. Može se računati sa nagibom rasprostiranja napona od približno 1:2 uz zadovoljenje uslova: d1 < 3d0, i, u drugom pravcu, b 1 < 3b 0 (Sl. 3/113b, c). Zglob mora biti kontrolisan u smislu zadovoljenja lokalnih napona pritiska. Čvrstoća betona pri lokalnom pritisku (f0) je veća od čvrstoće pri pritisku betonske kocke marke betona (fbk). Razlog ovome je sprečenost bočnog deformisanja okolnim betonom (ekvivalent utegnutosti preseka) i, posledično, formiranje troosnog (kod linijskih - dvoosnog) stanja pritiska. Saglasno Pravilniku, lokalna čvrstoća definisana je na sledeći način, za tačkasti, odnosno linijski zglob: Ab0 i Ab1 A =, b1 f0 fb 1.6 fbk Ab 0 A =...(3.44) b1 f 3 0 fb 1.6 fbk Ab 0 površina preseka suženog i nesuženog dela (Sl. 3/112b). Apsolutnim ograničenjem lokalnog napona sprečava se obračunavanje prevelike angažovane površine. Poglavlje 3 : strana 53 od

54 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Podužna armatura stuba se dodatno obavija ukosnicama koje prate njegovo donje čelo. Kontrolisan na lokalna pritiskujuća naprezanja, zglob se, kao pritisnut, armira minimalnom količinom podužne armature (0.8 do 1.0%). Usvajaju se tanji profili, koji moraju biti gusto utegnuti preklopljenim uzengijama. U slučaju većih intenziteta aksijalne sile, podužnu armaturu zgloba treba obuhvatiti i unutrašnjim uzengijama (Sl. 3/114, Sl. 3/116). Sl. 3/114. Armiranje zgloba i okolnih elemenata Otklon u prostiranju pritiskujućih napona σz (Sl. 3/113a) dovodi do pojave napona cepanja zatežućih napona σx u pravcima upravnim na trajektorije pritiska. Naponi u x-pravcu su do dubine od približno z 0.1d pritiskujući, a tek za veće dubine zatežući. Maksimalnu vrednost dostižu na dubini od približno z 0.6d (Sl. 3/115) i mogu se odrediti empirijskim izrazom: ( ) F d d σ x b1 d1.... (3.45) Ukupna sila zatezanja na dubini z = d1 može se odrediti iz proporcije, prema datom planu sila na Sl. 3/115: F0 d1 d0 d 1 d 0 Fq : = : Fq 0.25 F = 2 d1.... (3.46) U praktičnim situacijama neophodno je preduprediti cepanje betona uzrokovano ovom silom postavljanjem odgovarajuće količine armature. Za proračunske potrebe se koristi nešto veća, empirijski određena, vrednost sile cepanja. Tako je, saglasno Pravilniku, armaturu jednog pravca je potrebno proračunati iz granične zatužeće sile definisane na sledeći način: Z u d 0 = 0.3 Nu 1 d1 Z u Aa =....(3.47) σ v Kako je sila Zu posledica pritiskujućih napona, to se njena granična vrednost određuje sa maksimalnim vrednostima parcijalnih koeficijenata. Ova armatura se obezbeđuje u obliku progušćenih uzengija na strani stuba, te u obliku armaturne mreže ili zmijaste armature na strani temelja (Sl. 3/114). Dijagram rasprostiranja napona cepanja po dubini elementa ukazuje na potrebnu visinu zone obezbeđenja (armatura postavljena samo uz lokalnim-pritiskom-opterećenu ivicu nije efikasna, čak ni zategnuta). Ukoliko je zglob opterećen transverzalnom silom visokog intenziteta, tj. kada je transverzalna sila veća od 0.75Nu, potrebno je projektovati i kosu armaturu za prijem smicanja. Njen oblik 152

55 3. Linijski elementi je prikazan na Sl. 3/114b, a ovako armiran zglob se naziva Menager-ovim. Potrebna količina ove armature se određuje iz celokupne transverzalne sile: A ak Tu =... (3.48) 2 sinα σ v Sl. 3/115. Naponi cepanja kao posledica lokalnih napona pritiska Sl. 3/116. Armiranje zgloba Zglob u grednom elementu može biti izveden kao Gerber-ov, uzajamnim oslanjanjem dva kratka elementa. Armiranje i proračun su povezani sa projektovanjem kratkih elemenata (Sl. 3/117). Sl. 3/117. Armiranje Gerber-ovog zgloba Poglavlje 3 : strana 55 od

56 Betonske konstrukcije u zgradarstvu 3.4. REŠETKASTI NOSAČI UVOD, PRIMENA Rešetkasti nosač se formira od niza štapova povezanih u čvorovima u stabilnu strukturu. Formiraju je pojasni štapovi štapovi gornjeg i donjeg pojasa, i štapovi ispune dijagonale i, ne neophodno, vertikale (Sl. 3/118). Sl. 3/118. Rešetkast nosači: elementi i geometrija Odlikuju se malim utroškom betona i komplikovanom oplatom, zbog čega se primenjuju za savladavanje većih raspona, kada su troškovi proizvodnje kompenzovani uštedom u materijalu. Nalaze primenu u konstrukcijama zgradarstva, kao glavni krovni nosači, i kod mostovskih konstrukcija, gde se koriste kao glavni nosači. U zgradarstvu, rasponi su uobičajeno između 15 i 30m. Rešetkasti nosači u zgradarstvu su, po pravilu, montažni elementi, a mogu da se proizvode prefabrikovane u celini ili u delovima. Za raspone preko cca. 15m, u situacijama kada postoji mogućnost (ako ne postoje visinska ograničenja, te ako postoje dovoljno snažne dizalice) za njihovo izvođenje, rešetkastim nosačem je, u odnosu na gredni, moguća ušteda čelika i do 40%. No, troškovi oplate, po pravilu, anuliraju ovaj benefit. Za mostovske rešetkaste nosače su karakteristična polumontažna ili monolitna rešenja. Mogu se projektovati kao armiranobetonske ili prednapregnute. Iako su, kod armiranobetonskih rešetkastih nosača, veze između štapova su krute, izborom odgovarajućih oblika i dimenzija poprečnih preseka, te samom konfiguracijom strukture, štapovi rešetke su pretežno aksijalno opterećeni. Pri tome, štapovi gornjeg pojasa su izloženi pritisku, donjeg zatezanju, a štapovi ispune, zavisno od orijentacije, mogu biti pritisnuti ili zategnuti. Mali utrošak materijala čini ih racionalnim elementima i, u polju navedenih raspona, konkurentnim drugim vrstama nosača GEOMETRIJA Odnos ukupne visine rešetke (H) prema rasponu (L) naziva se stinjenost rešetke. Kod krovnih konstrukcija, stinjenost ovih nosača se kreće u rasponu od 1/10 do 1/7. Stinjenost opredeljuje nivo uticaja, pre svega, u pojasnim štapovima na način da manjim vrednostima stinjenosti (rešetke manje visine) odgovaraju veće sile (manji krak unutrašnjih sila), i obrnuto. Oblik rešetke zavisi od nagiba krovne površine (štapovi gornjeg pojasa se obično projektuju u nagibu koji prati nagib krovne ravni), visinskog položaja krovnog pokrivača u odnosu na rešetku, kao i od stinjenosti. Uobičajeno je da se svi štapovi krovne rešetke projektuju unutar zatvorene prostorije (Sl. 3/119a, b), čime se izbegavaju neprijatni prodori štapova kroz krovni pokrivač (prokišnjavanje), eliminišu nejednaka temperaturna dejstva na štapove i postiže bolji estetski efekat. Retko, rešetka može biti postavljena i izvan gabarita korisnog prostora, kada krovni pokrivač opterećuje donji pojas nosača (Sl. 3/119c). 154

57 3. Linijski elementi Kako su rešetkasti nosači montažni elementi, to je od značaja obezbediti sigurnost od njegovog prevrtanja u fazi montaže, kada još nije pričvršćen za ostatak konstrukcije (na primer vetrom upravnim na ravan rešetke). Zato je izborom oblika zgodno obezbediti da se ravan oslanjanja rešetke nalazi iznad težišta ukupne njene mase, kako je pokazano na Sl. 3/119a. U suprotnom, neophodno je kontrolisati stabilnost rešetke u fazi montaže, ali i eksploatacije, te preduzeti privremene i/ili konstruktivne mere kojima se ona (stabilnost) obezbeđuje. Po pravilu, rešetkasti nosač povezan rožnjačama sa drugim elementima krovne konstrukcije (drugim rešetkastim nosačima, najčešće) je obezbeđen od preturanja u eksploatacionoj fazi. Sl. 3/119. Oblici rešetkastih nosača Kod krovova na jednu vodu ili, uopšte, kod jednovodnih rešetki, pojasevi se najčešće projektuju kao paralelni (Sl. 3/119b), a stubovi na koje se oslanja se rade različitih dužina. Kao krovni pokrivači kojima se zatvara krovna ravan, a oslanjaju se na rešetkaste nosače, koriste se najčešće laki krovni pokrivači koji se oslanjaju na sistem paralelno postavljenih rožnjača, najčešće armiranobetonskih i/ili prednapregnutih. U ovom slučaju opterećenje se sa pokrivača prenosi na rožnjače, a dalje, u vidu koncentrisanih sila, na rešetkasti nosač. Alternativno, umesto rožnjača, mogu se koristiti i montažne betonske ploče ili ploče od lakog betona, kojima se savladava raspon dva rešetkasta glavna nosača. U tom slučaju, krovno opterećenje se na rešetkasti nosač prenosi kao ravnomerno raspodeljeno. Sl. 3/120. Potreba za vertikalama uzrokovana rasporedom rožnjača Pri određivanju oblika ispune i razmaka čvorova rešetke poželjno je imati situaciju u kojoj se koncentrisano opterećenje sa krova na rešetku prenosi u njenim čvorovima, zbog čega valja uskladiti razmak rožnjača sa razmakom čvorova rešetke. Iako su rešetke sa trougaonom ispunom estetski prihvatljivije, često se njima ne obezbeđuje dovoljno mali razmak čvorova, pa je neophodno projektovati i vertikalne štapove ispune, kao na Sl. 3/120. Sl. 3/121. Oblikovanje čvora rešetkastog nosača Takođe, dijagonalne štapove valja projektovati u nagibu što bližem uglu od 45, a, generalno, kod štapova ispune, poželjna je struktura u kojoj su duži štapovi zategnuti, a kraći pritisnuti (zbog izvijanja). Štapovi pritisnutog pojasa se mogu projektovati promenljivog nagiba, čime je, osim praćenja krovne ravni, moguće postići i statičke pogodnosti (oblik potporne linije). Zategnuti pojas, pak, zbog nepovoljnog uticaja skretnih sila, treba projektovati pravim. Poglavlje 3 : strana 57 od

58 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Čvorovi rešetke se oblikuju tako da se ose svih štapova koji se u jednom čvoru sustiču seku u jednoj tački (centrisanje štapova). Čvor treba da bude bez oštrih ivica kako bi se izbegli nepovoljni uticaji koncentracije napona. U slučaju da se u čvoru sustiču štapovi različitih širina, čvor treba da ima širinu najšireg štapa (Sl. 3/121). Poprečni preseci štapova rešetke zavise primarno od znaka i intenziteta aksijalne sile, te od nivoa sekundarnih uticaja (momenti savijanja). Najčešće se štapovi projektuju konstantnog poprečnog preseka po dužini, jednostavnih oblika preseka, najčešće pravougaonih. Zbog većih sila, pojasni štapovi su obično većih površina preseka od štapova ispune. Pritisnuti pojasni štapovi su projektuju pravougaonog ili T preseka (Sl. 3/122). Veći moment i- nercije u ravni rešetke je logičan izbor u situacijama kada momenti savijanja nisu mali. Savojnom krutošću van ravni rešetke, štapovi se odupiru bočnom izvijanju. Oblikovanjem štapa u T Sl. 3/122. Mogući poprečni preseci štapova pritisnutog pojasa obliku moguće je postići oba cilja. Zategnuti pojasni štapovi su izloženi velikim aksijalnim silama zatezanja, a nedvosmisleno je od interesa umanjiti momente savijanja. Zato se najčešće projektuju pravougaonog preseka (oblik nije od posebnog interesa, a pravougaoni je najjednostavniji) na način da im se minimizira savojna krutost (Sl. 3/122b). Štapovi ispune se biraju pravougaonog ili kvadratnog oblika preseka. Poželjno je da međusobno budu jednake širine, radi lakšeg izvođenja. Estetski, prednost imaju rešetkasti nosači kojima su svi štapovi (i pojasni i štapovi ispune) jednake širine (Sl. 3/121a) UTICAJI Rešetke se najčešće konstruišu kao jednorasponske, a retko kao kontinualne. Dominantno su opterećene u svojoj ravni. S obzirom da su veze štapova, de facto, krute, rešetke su višestruko statički neodređene strukture. Kao dominantni, u štapovima rešetke se javljaju aksijalni uticaji, dok se, kao posledica krutih veza u čvorovima, kao sekundarni javljaju relativno mali momenti savijanja u ravni rešetke. Često se ovi uticaji savijanja nazivaju sekundarnim, a cilj projektovanja rešetki je njihova minimizacija. To se postiže izborom preseka štapova sa malom savojnom krutošću u ravni rešetke, te forsiranjem prenosa krovnog opterećenja u čvorove rešetke. Ipak, rešetkasti nosači su neminovno, ako ničim onda sopstvenom težinom, opterećeni i van čvorova, a prenos krovnog opterećenja van čvora, po dužini štapa, može da ima za posledicu potrebu za većom savojnom krutošću štapa. Iako je uobičajeno da se, statičkim proračunom, AB rešetkasti nosači tretiraju kao nosači sa zglobno vezanim štapovima, danas, kada ni analiza znatno složenijih modela nije problem, nema potrebe za ovom vrstom pojednostavljenja proračuna. Štapove rešetke valja modelirati kruto spojenima u čvorovima. Međutim, pravilan izbor aksijalnih krutosti pojedinih štapova je od velikog značaja kad je o deformacijama rešetkastog elementa reč, ali i, s njima vezano, preraspodeli uticaja unutar elemenata samog nosača. Posebno je značajan pravilan izbor aksijalne krutosti zategnutih štapova, pre svega štapova donjeg pojasa (videti deo kod Lučnih nosača, Sl. 3/139). Tako, kod 156

59 3. Linijski elementi armiranobetonskih zatega (štapovi donjeg pojasa), aksijalna krutost je bliska onoj koja potiče samo od armature, dok se kod prednapregnutih donjih pojaseva najčešće računa sa aksijalnom krutošću bruto betonskog preseka. Kako se u pojasnim (nekad i u štapovima ispune) realizuju velike sile pritiska, to problem stabilnosti (izvijanja) postaje aktuelan. Za dužinu izvijanja štapa u ravni rešetke uvek, bez obzira na krute veze, treba usvajati čvorno rastojanje, a dimenzije poprečnog preseka pritisnutih štapova birati imajući na umu moguće izvijanje. Mnogo većim problemom se može pojaviti izvijanje upravno na ravan rešetke, problem aktuelan u fazi montaže rešetkastog nosača, kada pritisnuti pojas nije ničim bočno pridržan. Iako je opterećenje u fazi montaže malo i isključuje težinu krovnog pokrivača, dužina izvijanja je cela dužina pritisnutog pojasa. Naknadnim povezivanjem rešetke sa ostalim elementima krovne konstrukcije problem bočnog izvijanja nestaje (osim ukoliko se krvno opterećenje ne prenosi na donji pojas), ali za fazu montaže se potrebnim mogu pojaviti mere privremenog obezbeđenja od izbočavanja. Rešetkasti montažni elementi se najčešće izvode u horizontalnom položaju, u drvenoj ili čeličnoj oplati. Nakon očvršćavanja i skidanja oplate, ispravljaju se u vertikalni položaj u kojem se vrši njihov transport i montaža. Pri tome, iako poželjno, prihvatanje rešetke najčešće ne odgovara njenom eksploatacionom oslanjanju, zbog čega pojedini štapovi u ovoj fazi mogu biti izloženi aksijalnim silama suprotnog znaka od eksploatacionog. Zato, rešetkasti nosači, kao uostalom svi montažni elementi, moraju biti proračunski obezbeđeni i za sve predeksploatacione faze DIMENZIONISANJE I ARMIRANJE Preseci pritisnutih pojasnih štapova se, najčešće, nalaze u stanju pritiska malog ekscentriciteta, čime je i njihovo armiranje određeno, poput odgovarajućih stubova. Presek se armira (Sl. 3/123) minimalnom količinom podužne armature, 0.8 do 1.0%. S obzirom da je reč o montažnim elementima, te da se koristi pritisna čvrstoća betona, prednost ima primena viših marki betona, preko 30 (naravno, u meri u kojoj je to limitirano stabilnošću elementa). Sl. 3/123. Armiranje poprečnih preseka pritisnutog pojasa Zategnuti pojas se karakteriše velikim intenzitetima aksijalne sile, te vrlo malim momentima savijanja. Dimenzionišu se kao centrično ili ekscentrično (faza malog ekscentriciteta) zategnuti, po pravilu uz pretpostavljanje Sl. 3/124. Armiranje preseka zatege simetričnog rasporeda armature po površini preseka. Kako kod zategnutih elemenata krak armature nije od interesa, to je, u cilju smanjenja površine poprečnog preseka štapa, poželjno podužnu armaturu raspoređivati po celoj površini preseka, kako je dato na Sl. 3/124. Zmijasta armatura na Poglavlje 3 : strana 59 od

60 Betonske konstrukcije u zgradarstvu slici ima funkciju obezbeđenja položaja (i razmaka) šipki podužne armature. Ukoliko je moguće, treba izbeći nastavljanje podužne armature, a ukoliko nije, armaturu je poželjno nastavljati zavarivanjem. Aksijalne sile u štapovima ispune su znatno manjih intenziteta, a opet je reč o presecima koji su centrično ili ekscentrično (mali ekscentricitet) pritisnuti ili zategnuti. Generalno, minimalna armatura pritisnutih štapova može biti određena i njihovom vitkošću, u skladu sa odredbom Pravilnika kojom se ove dve veličine dovode u vezu: λ min µ = (3.49) 50 Sl. 3/125. Čvor: gornji pojas vertikala dijagonala Na narednim skicama su dati karakteristični detalji armiranja čvorova rešetkastih nosača. Načelno, konstruisanje armature mora biti takvo da se o- bezbedi monolitnost i krutost uz što jednostavnije izvođenje. Armatura pritisnutog štapa se vodi do teorijskog čvora i, a zategnuta se produžava za dužinu sidrenja. Sidrenje može biti pravim delom šipke, sa ili bez kuke, ili talasasto (Sl. 3/125a, Sl. 3/126). Na Sl. 3/127 prikazana su armiranja čvora u kojem se sustiču dva zategnuta štapa i pritisnuta vertikala. Promena pravca sile zatezanja unosi veliku aksijalnu (skretnu) silu u vertikalu. Usidrenje zategnute armature u oslonački čvor, ukoliko ne postoji dovoljno prostora za razvoj dužine sidrenja, može Sl. 3/126. Čvor: donji pojas vertikala dijagonala Sl. 3/127. Čvor: donji pojas krajnja dijagonala vertikala i I pritisnuta armatura se sidri. 158

61 3. Linijski elementi biti sprovedeno preko ploče za sidrenje (Sl. 3/128b). Sam donji pojas može biti prednapregnut (Sl. 3/127b). Oslonački čvor se karakteriše prostornim stanjem naprezanja usled unosa velik koncentrisanih sila. Zato ga treba armirati u sva tri pravca kako bi se obezbedio od cepanja. Sl. 3/128. Oslonački čvor 3.5. LUČNI NOSAČI UVOD, PRIMENA Lukovi su zakrivljeni ili izlomljeni nosači sa konveksnom stranom prema gore i sa nepomerljivim (praktično nepomerljivim) osloncima. Primenjuju se kao glavni nosači srednjih i velikih raspona industrijskih ili sportskih hala ili drugih objekata visokogradnje, te kao glavni mostovski nosači. Sl. 3/129. Elementi i geometrija luka Osa luka je linija koja spaja središta njegovih poprečnih preseka, raspon (L) je horizontalno rastojanje oslonaca, a strela (f) je visina luka merena u polovini raspona (Sl. 3/129). Odnos strele i raspona se naziva stinjenost luka. Na mestu oslanjanja, lukovi mogu biti zglobno nepomerljivo oslonjeni ili uklješteni. Horizontalna, uz vertikalnu, nepomerljivost oslonaca obezbeđuje postojanje horizontalnih reakcija pri vertikalnim opterećenjima, čime se oslonci odupiru težnji ispravljanja luka. Ovim se duž luka, od uticaja, javljaju dominantno sile pritiska i, ukoliko je pravilno projektovane geometrije, relativno mali momenti savijanja, što, dalje implicira rad preseka u fazi malog ekscentriciteta pritiska i odsustvo prslina. Ovim, armiranobetonski luk predstavlja jedan od najracionalnijih elemenata u betonskim konstrukcijama uopšte. U konstrukcijama zgradarstva se primenjuju za raspone veće od 20m, dok se kod mostovskih konstrukcija retko koriste za raspone manje od 30m (do nekoliko stotina metara). Primena betona visokih čvrstoća je, u novije vreme, u- činila lučne elemente još lakšim i racionalnijim i omogućila savladavanje izuzetno velikih raspona (danas, kod mostovskih konstrukcija, višestruko prevazilaze raspone od 100m). Danas se vrlo često primenjuju lučne konstrukcije sa krutom armaturom (čelični profili ispunjeni betonom visoke čvrstoće), kada čelična armatura ima i ulogu skele i oplate. Takođe, za novije vreme je karakteristično i montažno izvođenje lučnih konstrukcija, spajanjem lamela u konzolnom načinu gradnje. Poglavlje 3 : strana 61 od

62 Betonske konstrukcije u zgradarstvu GEOMETRIJA LUKA I STATIČKI SISTEMI Za poznatu konfiguraciju opterećenja, oblik ose luka je moguće pogodno izabrati na način da se poklapa (da minimalno) sa potpornom linijom opterećenja i, time, da se minimiziraju momenti savijanja, a preseci lukova pretežno aksijalno opterete. Kako je opterećenje tokom eksploatacije promenljivo, to se oblik ose luka prilagođava uglavnom stalnom opterećenju kod konstrukcija zgradarstva, odnosno stalnom i polovini korisnog (prosek minimalnog i maksimalnog eksploatacionog opterećenja), kod mostovskih konstrukcija. Stinjenost lukova u konstrukcijama zgradarstva je uobičajeno u intervalu između 1/10 i 1/6. Kod mostovskih sistema, zavisno od statičkog sistema, uslova oslanjanja ili nivoa opterećenja, stinjenost može biti u širokom intervalu između 1/16 i 1/2. Pri tome, plići lukovi odgovaraju slabo opterećenim, pešačkim mostovima, a duboki su karakteristični za mostove visokog nivoa opterećenja, preko dubokih dolina (povezano sa dobrom mogućnošću prijema horizontalnih sila na mestima oslanjanja). Sl. 3/130. Statički sistemi prostih lukova Mogući statički sistemi prostih lučnih nosača su (Sl. 3/130): Uklješteni luk je najjednostavnija lučna konstrukcija i, ujedno, najpogodnija za savladavanje velikih raspona. Negativna (loša) posledica uklještenih krajeva je pojava većih momenata savijanja (tzv. sekundarni uticaji), posebno blisko krajevima. Takođe, kao višestruko statički neodređena konstrukcija relativno velike savojne krutosti, osetljiva je na deformacijska dejstva kakva su pomeranje oslonaca, temperaturni uticaji ili uticaji skupljanja betona. Veličine sekundarnih uticaja su srazmerne stinjenosti (veće su kod dubljih lukova). Dvozglobni luk se najčešće primenjuje kod plitkih lukova u cilju smanjenja statičke neodređenosti i redukcije intenziteta momenata savijanja. Trozglobni lukovi su statički određene konstrukcije minimalnih momenata savijanja i i- mune na deformacione uticaje. Ovo i opredeljuje njihovu primenu na slučajeve kada postoji realna opasnost od pomeranja/razmicanja oslonaca, ili na lukove velike stinjenosti (plitke). Zglobovi komplikuju i usporavaju izvođenje, izazivaju oštre lomove deformacione linije (neprijatni udari vozila, kod mostova) i zahtevaju strožiji režim održavanja tokom eksploatacije. Kod svih ovih sistema neophodno je, kako je rečeno, obezbediti horizontalnu nepomerljivost oslonaca, te je od posebnog značaja pravilan izbor načina i realizacija fundiranja, kojim je potrebno primiti opterećenje uz minimiziranje deformacija tla. U cilju dalje racionalizacije elementa, kao i oslobađanja temeljnih konstrukcija od velikih horizontalnih sila, luk se često kombinuje sa ostalim elementima krovne ili mostovske konstrukcije, čime se formiraju kombinovani lučni sistemi. Osnovni reprezenti ovakvih sistema su (Sl. 3/131): 160

63 3. Linijski elementi Sl. 3/131. Kombinovani lučni sistemi Luk sa zategom je lučna konstrukcija čiji su krajevi spojeni zategom, koja preuzima horizontalne reakcije luka i time oslobađa oslonce potrebe njihovog prijema. Kombinovani sistem sada može biti samo prosto oslonjen. Ipak, ovde se mora puna pažnja posvetiti izduženjima zatege: s jedne strane ovo je ekvivalent razmicanju oslonaca, sa druge opredeljuje projektovanje oslonačkih elemenata. Sama zatega može biti projektovana u armiranom ili prednapregnutom betonu, ili kao čelični element. Primena ovakvog sistema je redovna kod industrijskih hala (Sl. 3/133a), gde bi prenos horizontalnih reakcija u vrhove stubova za posledicu imala velike momente u uklještenjima stubova. Radi smanjenja momenata savijanja u zatezi (usled sopstvene težine), zatega se, takozvanim vešaljkama (Sl. 3/132), veša o lučni element. Sl. 3/132. Vešaljke luka sa zategom Greda ojačana vitkim lukom, ili Langer-ova greda, podrazumeva lučni deo male savojne krutosti, zbog čega se u njemu generišu vrlo mali momenti savijanja, čime je izložen skoro isključivo aksijalnom pritisku. Greda, koja se projektuje kao savojno kruta, sada, osim u- loge zatege, preuzima na sebe kompletno savijanje. Ovakav sistem je pogodan za mostovske konstrukcije sa kolovoznom konstrukcijom postavljenom preko ovih krutih greda. Ređe, u situacijama kada postoji potreba da se sekundarni elementi oslone u horizontalnoj ravni, ovakvi sistemi se koriste i za glavne krovne nosače konstrukcija hala (Sl. 3/133b). Sl. 3/133. Luk sa zategom i Langer-ova greda kao glavni krovni vezači Luk sa zategom i kosim vešaljkama, ili Nilsen-ov luk, se projektuje sa kosim vešaljkama, kako bi se i one angažovale u prijemu savijanja i, time, rasteretile lučni nosač u izvesnoj meri. Vitki luk sa gredom za ukrućenje sa gornje strane, za razliku od prethodnih sistema, nema zategu, nego se horizontalne reakcije predaju fundamentima. Kruta greda je elastično Poglavlje 3 : strana 63 od

64 Betonske konstrukcije u zgradarstvu oslonjena na stubove, kojima opterećenje predaje vitkom luku. Opet, mala savojna krutost luka implicira i dominantno stanje pritiska u presecima luka. Sistem se često primenjuje kod mostovskih konstrukcija. Osa luka je najčešće zakrivljena, kružnog ili paraboličnog oblika, ili poligonalna na način da aproksimira neku od ovih krivih. Većim stinjenostima (dubokim lukovima) odgovara parabolični, a manjim oblik kružnog luka. Luk se može projektovati i kao poligonalni ili kolenast, u situacijama kada je to iz nekog razloga pogodno ili potrebno (montažne konstrukcije, velika koncentrisana opterećenja koja prave lomove u potpornoj liniji...). Mogućnosti izbora oblika poprečnog preseka lučnih nosača su velike, a neke od njih su prikazane na Sl. 3/134. Najjednostavniji, i najstariji u primeni, je pravougaoni oblik. Zavisno od statičkog sistema u kom se primenjuju, mogu se projektovati većih i manjih savojnih krutosti (a ili b), zavisno od težnje Sl. 3/134. Poprečni preseci lučnih nosača za minimiziranjem momenata savijanja ili njenog odsustva. Većom širinom preseka, u odnosu na visinu, postiže se veća stabilnost luka na izvijanje upravno na svoju ravan, a minimizira se i savojna krutost luka u svojoj ravni. Visina preseka luka (Sl. 3/132), kod objekata zgradarstva je redovno u granicama između 1/40 do 1/30 raspona, dok je kod mostovskih konstrukcija manja (1/100 do 1/60 raspona). Povećanje bočne stabilnosti se još efikasnije ostvaruje projektovanjem višedelnih poprečnih preseka, kojim se obezbeđuje velika krutost van ravni luka uz minimalan utrošak materijala. Delovi poprečnog preseka su povezani poprečnim rebrima (c, d, e). Sa druge strane, višedelni preseci zahtevaju i skupu i komplikovanu oplatu. Optimalno (najracionalnije) rešenje podrazumeva primenu sandučastih preseka (f do i). I ovi preseci se projektuju velike savojne krutosti na bočno savijanje, a karakterišu se i manjim vitkostima u ravni luka. Primenjuju se kod mostovskih konstrukcija velikih raspona. Sl. 3/135. Zglobovi Silueta luka može biti konstantne ili promenljive visine i/ili širine. Promenom momenta inercije utiče se na raspodelu uticaja duž statički neodređenog luka, a time je moguće postići i efekat zglobnih veza. Zglobove je, naravno, moguće projektovati i u obliku naglog suženja poprečnog preseka luka (Sl. 3/135). Pri izboru zakona promene visine/širine luka, teži se maksimalnom iskorišćenju materijala. Kako se aksijalna naprezanja relativno malo menjaju duž luka, to promenu otpornih momenata preseka treba uskladiti sa promenom maksimalnih (anvelopa) momenata savijanja. 162

65 3. Linijski elementi Na Sl. 3/136 prikazani su dijagrami momenata savijanja u lukovima različitih statičkih sistema: 1 uklješteni luk sa prirastom momenta inercije ka osloncima (Sl. 3/130a), 2 uklješteni luk sa konstantnim momentom inercije, 3 uklješteni luk u obliku srpa, 4 luk na dva zgloba, i 5 luk na tri Sl. 3/136. Momenati savijanja za lukove različitih sistema zgloba. U slučaju uklještenog luka, najracionalnije je srednje dve trećine projektovati konstantnog preseka, a ka krajevima povećavati moment inercije. Dvozglobni lukovi, optimalno, srednju polovinu imaju konstantne visine i sužavaju se ka krajevima. Saglasno, luk na tri zgloba ima najveće momente inercije u četvrtinama i sužava se ka zglobovima. Kako je horizontalna nepomerljivost krajeva element na kojem bazira racionalnost lučnih elemenata, od izuzetnog je značaja njeno obezbeđenje. Kod prostih lučnih sistema, bez zatege, kada se na oslonce luka prenose kosa sila i, eventualno, momenat savijanja, oslonci se projektuju kao masivni temelji oblika prilagođenog pravcu i veličini opterećenja. Dodatno, oblik i dimenzije temelja su određene i vrstom i karakteristikama tla na kojem se fundira. Sl. 3/137. Oslonci prostih lučnih sistema Kod kvalitetnog tla (npr. stena), temeljna stopa se obično konstruiše u nagibu, kako bi se povećala otpornost na klizanje. Dodatno povećanje je moguće postići stepenastim oblikovanjem kontaktne površine temelja (Sl. 3/137). Pri proračunu sigurnosti na klizanje, dodatne sigurnosti radi, pretpostavlja se da ukupna horizontalna sila luka mora biti primljena samo silama trenja na donjoj površini (A-B), a zanemaruje se, osim u slučaju kvalitetne stene, doprinos (pasivni otpor tla) površine A-C. U slučaju kombinovanih sistema kod kojih se horizontalna reakcija prima zategom, fundiranje je uobičajeno za prijem vertikalnih opterećenja. Sl. 3/138. Oslanjanje lučnih krovnih nosača sa zategom na stubove Kod krovnih nosača u sistemu sa zategom, oslanjanje na stubove se projektuje preko ležišta od tvrde gume ili preko metalnih valjaka, kada se želi postići pokretni oslonac. Nepokretna veza se može ostvariti zavarivanjem čeličnih pločica ankerovanih u stub i u luk, ili preko ispuštenih ankera i direktnog oslanjanja oslonačkog luka na stub i (Sl. 3/138). i Primetiti da su lučni nosači u zgradarstvu redovno montažni elementi. Poglavlje 3 : strana 65 od

66 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Kod lukova sa zategom koji se fundiraju u tlu, i zatega se redovno projektuje ispod nivoa terena, u zatvorenom kanalu, kojim je obezbeđena zaštita i kontrola zatege. Unutar kanala, zatega se oslanja na blisko postavljene pokretne (omogućuju rad zatege) oslonce (ekvivalent vešaljki), opet u cilju minimiziranja momenata savijanja od sopstvene težine UTICAJI Preseci luka su izloženi centričnom pritisku ili pritisku u fazi malog ekscentriciteta, zbog čega proračun saglasno uticajima proizašlim iz proračuna prema teoriji prvog reda daje zadovoljavajuće rezultate. Ovi uticaji se određuju standardnim postupcima teorije konstrukcija (metoda sila) ili, danas uobičajeno, uz pomoć odgovarajućih softverskih alata. Pri tome, logično, lučne elemente je opravdano modelirati takvima da im savojna i aksijalna krutost proizilaze iz bruto betonskog preseka. Doprinos armature, budući da preseci nisu jako armirani, nema potrebe obuhvatati prilikom procene krutosti. Međutim, pravilna procena krutosti (aksijalne) zatege može biti od velikog značaja. Kod čeličnih zatega usvaja se aksijalna krutost bruto čeličnog preseka. Kod zatega od Sl. 3/139. Promena napona u armaturi zatege prednapregnutog betona obračunava se aksijalna krutost bruto betonskog ili idealizovanog (doprinos čelika) preseka. Ovde je od interesa trenutak utezanja kablova utezanje kablova nakon izvođenja luka ima za posledicu uticaje u luku izazvane silom prednaprezanja. Ovi uticaji izostaju ukoliko se zatega prednapreže pre izvođenja luka. Kod armiranobetonske zatege, procena aksijalne krutosti je složenija. Zategnuta, armiranobetonska zatega će imati razvijene prsline, a samim tim i krutost značajno redukovanu u odnosu na krutost bruto betonskog preseka. Sa druge strane, beton koji se u eksploatacionom stanju karakteriše izvesnom zatežućom čvrstoćom, između dve prsline saučestvuje u prijemu zatezanja, zbog čega napon u armaturi zatege nije konstantan (Sl. 3/139), prosečan napon σap je manji od onog na mestu prsline σa, a samim tim i izduženje čelika (ujedno i izduženje zatege) je manje nego što bi bio slučaj kada bi se aksijalna krutost zatege izjednačila sa krutošću samo čelika za armiranje. Neka je sa ψ obeležen odnos maksimalnog i prosečnog napona, a (EF)ef efektivna aksijalna krutost zatege: σ ap EaFa ψ =. ( EF ) =....(3.50) σ ef ψ a Za određivanje koeficijenta ψ, modelom propisa CEB-FIP je predloženo: βz Fbz Fa Ebz β F E F ψ = σ F E F 1 z bz a a 2 a a bz bz,... (3.51) čvrstoća betona na zatezanje, površina betonskog preseka zatege, površina armature u zatezi, modul deformacije betona pri zatezanju, oko polovine onoga koji odgovara pritisku. Treba primetiti da procena krutosti zatege zavisi od količine armature, koja u trenutku određivanja uticaja nije poznata, čime je impliciran iterativni proračun. 164

67 3. Linijski elementi Kod lučnih nosača velikog raspona i neophodna je kontrola stabilnosti luka, kako u ravni, tako i upravno na ravan luka. U prilog ovoj opreznosti idu i sve manje dimenzije poprečnih preseka lukova sa porastom čvrstoća betona. Na Sl. 3/140 su prikazani karakteristični oblici deformacije lukova u trenutku gubitka stabilnosti, za slučaj simetrične i antimetrične deformacije. Načelno, za uklještene i dvozglobne lukove, merodavna je antimetrična konfiguracija, a za trozglobne simetrična za stinjenosti manje od 0.3, odnosno antimetrična za stinjenosti veće od ove. Sl. 3/140. Karakteristični oblici pri gubitku stabilnosti Za proračunske dužine izvijanja približno mogu biti usvojene sledeće dužine (sa s je obeležena kriva/razvijena dužina luka): 0.58 s za trozglobne lukove li = 0.54 s za dvozglobne lukove 0.36 s za ukljestene lukove.... (3.52) Aksijalna sila pritiska koja odgovara pravom (ispravljenom) proračunskom, ekvivalentnom, štapu, u trenutku gubitka stabilnosti iznosi: N 2 π Ecm Im c =,... (3.53) 2 li Im Ecm srednja vrednost momenta inercije luka, sekantni modul elastičnosti betona DIMENZIONISANJE I ARMIRANJE Dimenzionisanje preseka luka se sprovodi saglasno uticajima proisteklim iz statičkog proračuna. Preseci luka su najčešće pritisnuti u fazi malog ekscentriciteta, zbog čega se u njima usvaja minimalna armatura, poput preseka stubova, oko 0.8%. Armatura se raspoređuje simetrično (Sl. 3/141), a retke su situacije (veliki momenti savijanja) kada je opravdan njen nesimetričan raspored. Sl. 3/141. Armiranje poprečnih preseka lukova i Prema Evrokodu 2, proračun luka na izvijanje u sopstvenoj ravni je neophodan uvek kada je visina preseka luka manja od 1/25 raspona. Poglavlje 3 : strana 67 od

68 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Nastavljanje podužne armature se projektuje preklopom ili zavarivanjem. Obuhvata se uzengijama, dvosečnim ili, za veće širine, višesečnim, dodavanjem unutrašnjih, radi boljeg utezanja preseka. Sl. 3/142. Uzengije, spoljašnje i unutrašnje Pritisnuta armatura na spoljašnjoj i zategnuta na unutrašnjoj strani savijanih lukova, imaju tendenciju ka izbacivanju zaštitnog sloja betona skretnim silama, zbog čega treba predvideti uzengije kojima će ove sile biti primljene. Sila u uzengijama (po metru dužnom) se određuje prema kotlovskoj formuli, ako je Fa sila u armaturi: F F r a uz =.... (3.54) Sl. 3/143. Prihvatanje skretnih sila uzengijama Zglobovi se dimenzionišu i armiraju (Sl. 3/144) na način kako je to pokazano kod okvirnih konstrukcija (#3.3.5). Sl. 3/144. Armiranje zglobova lučnog nosača Vešaljke kombinovanih lučnih sistema se dimenzionišu na centrično zatezanje (eventualno na zatezanje u fazi malog ekscentriciteta) i armiraju simetrično uz pravilno obezbeđenje dobrog sidrenja šipki (Sl. 3/145). Od velikog je značaja dobro usidrenje armature zatege (Sl. 3/146). Kod manjih raspona (a) treba nastojati da se veći deo armature zatege prevede preko oslonca (tačka A) a ostatak, bar, preko ivice oslonca. Kako bi se smanjile sile cepanja (posledica skretnih sila), savijanje armature u čvoru mora biti po blagom Sl. 3/145. Armiranje vešaljke luku, a ovu zonu treba ojačati i gustom poprečnom armaturom. Ukoliko postoji mogućnost, dobro je obezbediti konzolno produženje zatege preko oslonca, čime je omogućeno jednostavno pravo sidrenje šipki (b). U nedostatku prostora za sidrenje, ankerovanje se može sprovesti zavarivanjem armature za čeličnu ploču koja se postavlja na oslonački blok sa spoljašnje strane (c). 166

69 3. Linijski elementi Sl. 3/146. Sidrenje armature zatege Oslonački blok i ovde, u cilju prihvatanja lokalnih napona, treba armirati gustom troosnom mrežom formiranom od tanjih profila (Sl. 3/147). Sl. 3/147. Armiranje oslonačkog bloka i sidrenje armature zatege 3.6. OSTALI KOMBINOVANI LINIJSKI NOSAČI ARMIRANOBETONSKI GREDNI ROŠTILJI Gredni roštilji su ravanske konstrukcije formirane od greda dva ili više pravaca pružanja, koje se međusobno presecaju u čvorovima. Oslonjene su na krajevima greda i/ili u pojedinim čvorovima (Sl. 3/148). Najčešća je primena roštilja sa ortogonalno postavljenim gredama, ali su moguće i drugačije dispozicije, poput onih primenjivanih kod rebrastih međuspratnih konstrukcija (Sl. 3/149). U objektima zgradarstva se koriste u sklopu međuspratnih konstrukcija, kada su u obodnim čvorovima oslonjeni na stubove. Sl. 3/148. Nekoliko primera statičkih sistema grednih roštilja U statičkom smislu, opterećenje koje deluje na jedan nosač se prenosi na susedne, budući da je opterećena elastično oslonjena na poprečne elemente, a ovi, opet, na podužne... Ovo ih čini racionalnim nosačima. Roštiljne konstrukcije se u zgradarstvu koriste za pokrivanje većih površina, najčešće pravougaone, ali i trougaone, kružne, trapezne... osnove. Sl. 3/149. Neki primeri grednih roštilja Poglavlje 3 : strana 69 od

70 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Poprečni preseci greda su najčešće pravougaoni, odnosno, u sadejstvu sa pločom, T oblika. Grede dva pravca mogu biti iste ili različite visine, što je uslovljeno intenzitetom sila u presecima, te uslovima pravilnog vođenja armature. Pod dejstvom vertikalnog opterećenja, u gredama roštilja se javljaju i torzioni uticaji, izazvani ugibom grede drugog pravca. Prilikom određivanja statičkih uticaja, od posebnog je značaja procena torzione krutosti greda roštilja. Precenjivanjem (na primer usvajanjem torzione krutosti homogenog betonskog preseka), mogu se značajno potceniti vrednosti momenata savijanja. Sl. 3/150. Uvrtanje grede roštilja Za granično stanje nosivosti opravdano je zanemariti postojanje torzione krutosti. U statičkom proračunu ovo može da znači značajnu redukciju statičke neodređenosti, kako je pokazano na Sl. 3/151. Sl. 3/151. Redukcija statičke neodređenosti zanemarenjem torzione krutosti greda Armiranje grednih roštilja u svemu odgovara armiranju grednih elemenata. Zbog pojave uvrtanja greda, uzengije treba izvoditi preklopljene preko kraće strane. Pogodno je da grede dva pravca budu različite visine iz razloga nesmetanog prolaska podužne armature dva pravca kroz čvor. U suprotnom, kada su grede dva pravca iste visine, na mestu ukrštanja armatura se ređa naizmenično, ukoliko je usvojena u više redova (Sl. 3/152). Sl. 3/152. Podužna armatura u čvoru GREDE SA ZATEGAMA (DVOPOJASNI NOSAČI) Kombinacijom grednog nosača i poligonalne zatege mogu se formirati vrlo racionalni elementi sposobni da savladaju velike raspone uz minimalan utrošak materijala. Primena ovakvih sistema je karakteristična za krovne konstrukcije velikog raspona, gde se upotrebljavaju kao glavni ili sekundarni nosači. Greda se projektuje kao armiranobetonski element, vertikale mogu biti armiranobetonske ili čelične, a zatega se projektuje kao čelična, prednapregnuta ili armiranobetonska. Kod nosača velikog raspona, u armiranobetonskoj zatezi, meka armatura može uspešno biti zamenjena 168

71 3. Linijski elementi kablovima od visokokvalitetnog čelika. Međutim, u takvim situacijama, znatno većim vrednostima dopuštenih napona odgovaraju i znatno veća izduženja zatege, pa se proračun saglasan teoriji drugog reda javlja neophodnim. Sl. 3/153. Dvopojasni nosači Statički, greda se oslanja kruto na krajevima, a elastično, na zategu, na mestima vertikala kontinualni nosač na elastičnim osloncima. Ovim se značajno redukuju momenti savijanja u gredi, u odnosu na prostu gredu, a pošto je zatega usidrena u samu gredu, predaje joj i značajne sile pritiska. Ovim, gredni element može da ostane u stanju pritiska u fazi malog ekscentriciteta. Kako je greda pritisnuta, to se i u ovom slučaju mora kontrolisati mogućnost bočnog izvijanja. Ovo je razlog što su poprečni preseci greda često većeg momenta inerciju u ravni normalnoj na ravan nosača, često i višedelni (Sl. 3/154). Za velike raspone povoljna je primena sandučastih preseka. Sl. 3/154. Poprečni preseci dvopojasnih nosača Vertikale se obično projektuju u trećinama raspona u slučaju kolenaste grede, odnosno u četvrtinama kod pravih greda. Stinjenost ovakvih nosača je u granicama između 1/15 i 1/7. Sl. 3/155. Shematski prikaz konstrukcije Hangara 2 na aerodromu u Surčinu Dvopojasni nosači, osetljivi na deformacije generalno, moraju biti kontrolisani i u smislu vremenskih deformacija betona promene dužine (skraćenja) pritisnute grede. Skraćenje grede ima za posledicu i skraćenje raspona zatege (lančanice), te povećanja ugiba kablova. Primer uspešno izvedene konstrukcije velikog raspona sa ovim sistemom je konstrukcija Hangara 2 na aerodromu u Surčinu, a u novije vreme, prostorna krovna konstrukcija Beogradske arene. Poglavlje 3 : strana 71 od

72 Betonske konstrukcije u zgradarstvu VIRANDEL NOSAČI Virandel nosači su gredni elementi sastavljeni od mreže krutih četvorouglova, koji formiraju gornji i donji pojas, te sistem vertikala. Mogu biti projektovani u sistemu proste ili kontinualne grede, a primenjuju se kao krovni i međuspratni glavni nosači u zgradarstvu, te kao glavni nosači mostovskih konstrukcija. Pojasevi se konstruišu kao paralelni pravolinijski ili poligonalni. Sve veze elemenata su krute. Sl. 3/156. Pravolinijska i poligonalna konfiguracija Nastali su u težnji da se racionalizuje puni gredni element formiranjem četvorougaonih otvora. Postignuta je racionalna konstrukcija, koja u nekim situacijama može biti konkurentna rešetkastim ili lučnim nosačima. Forsirano krute veze između štapova imaju za posledicu vrlo krutu konstrukciju velike nosivosti, nezavisno od konfiguracije ili promene opterećenja. Sa druge strane, zbog momenata savijanja i transverzalnih sila visokog nivoa, utrošak armature je neuporedivo veći nego kod ostalih kombinovanih linijskih sistema. Velika vertikalna opterećenja mogu usloviti projektovanje virandel nosača bez otvora u krajnjim poljima, radi mogućnosti prijema smicanja KRUŽNI PRSTENASTI NOSAČI UVOD, PRIMENA, OBLIKOVANJE... Kružni zatvoreni prstenasti nosač je čest element armiranobetonskih konstrukcija kružne osnove i javlja se o- bodnim oslonačkim elementom kružnih i prstenastih ploča, obodnim nosačem na spoju ljuskastih elemenata, temeljnim nosačem (gredom) ispod stubova raspoređenih po obimu Sl. 3/157. Primena kružnog prstenastog nosača kruga... (Sl. 3/157). U konstrukcijama, prstenasti nosač se koristi kao prelazni oslonački element, kojim se, na primer, kružne ploče oslanjaju na niz stubova, a kada ploči, dovoljnom savojnom krutošću, obezbeđuje linijske uslove oslanjanja po obodu, dok je sam oslonjen diskontinualno na stubove. U tom slučaju, prstenasti nosač je dominantno savijan u vertikalnoj ravni, a kao posledica zakrivljenosti realizuju se i momenti torzije po dužini prstena (Sl. 3/158a). U drugom slučaju, prstenasti nosač može biti kontinualno oslonjen na zidove, bilo da je reč o zidovima od opeke ili da je monolitno spojen sa armiranobetonskim ljuskastim elementom kružne osnove. I tada, i pored obezbeđene vertikalne nepomerljivosti, usled momenata uvrtanja, 170

73 3. Linijski elementi može biti izložen uticajima momenata savijanja. U oba slučaja, prstenasti element može biti izložen i dejstvu horizontalnog opterećenja, u sopstvenoj ravni, kada se kao posledica javljaju dominantno aksijalne sile. Šta više, neretka uloga prstenastog nosača je obezbeđenje horizontalnog oslonca ljuskastim (sferični, konični) elementima, kada je nosač izložen aksijalnim silama visokog intenziteta. U takvim situacijama, uobičajeno je njegovo projektovanje u prednapregnutom betonu. Kako se javlja elementom konstrukcija koje svojom geometrijom zadovoljavaju rotacionu simetriju i, te kako su ovakve konstrukcije gravitaciono najčešće rotaciono-simetrično i opterećene gravitacionim opterećenjem, to se i sam prsten često proračunava u uslovima zadovoljene rotacione simetrije geometrije i opterećenja (Sl. 3/158b). Sl. 3/158. Diskontinualno oslonjen prsten i rotaciono-simetrično opterećenje prstenastog nosača U poprečnom preseku, prstenasti nosač se najčešće oblikuje pravougaonog oblika, mada su, posebno kad je spoj ljuskastih elemenata u pitanju, mogući i drugi, nepravilni, oblici (Sl. 3/157b, na primer) UTICAJI Kontinualno oslonjen kružni prsten U uslovima rotacione simetrije, kontinualno oslonjen kružni prstenasti nosač može biti opterećen ravnomerno podeljenim (linijskim) opterećenjem, koje se može razložiti na vertikalnu i horizontalnu komponentu, te ravnomerno raspodeljenim momentima uvrtanja. Membranski (statički određeni) uslovi oslanjanja prstena podrazumevaju nesmetanu promenu prečnika ploče i sprečeno vertikalno ugibanje. Pod dejstvom horizontalnog rotaciono-simetričnog opterećenja (Sl. 3/159) koje deluje u težištu prstena ii, za membranske uslove, u prstenu se realizuje aksijalna sila, prema kotlovskoj formuli (direktno iz uslova ravnoteže): Z = H r.... (3.55) Sl. 3/159. Prsten opterećen u svojoj ravni (kotlovska formula) i Rotaciona simetrija podrazumeva nezavisnost oblika od rotacije, ili, jednake karakteristike u svim radijalnim pravcima. ii Primetiti da je opterećenje ravnotežno. Poglavlje 3 : strana 73 od

74 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Normalni naponi i dilatacije su, za pravougaoni presek: Z H r σ = = F b d H r = = E b d, ε r ε ϕ,... (3.56) dok je promena poluprečnika ( r) data narednim izrazom, a obrtanje izostaje: 2 H r r = ε r = E b d, χ = 0....(3.57) Uz zanemarenje širine b prema radijusu, može se smatrati da sve tačke preseka prstena imaju jednaku deformaciju, tj. da se presek pomera kao kruto telo (Sl. 3/160). Sl. 3/160. Deformacija prstena opterećenog u svojoj ravni Sl. 3/161. Prsten opterećen rotaciono-simetričnim momentima uvrtanja i kombinovanim uticajima Pod dejstvom rotaciono-simetričnih momenata uvrtanja (m), kako je opet reč o ravnotežnom opterećenju, ne realizuju se oslonačke reakcije. Kako membranski uslovi oslanjanja obezbeđuju nesmetanu rotaciju preseka, uz ponovno zanemarenje širine preseka prema radijusu, u prstenu se realizuju konstantni momenti savijanja u vertikalnoj ravni i (Sl. 3/161a): M = m r.... (3.58) Normalni naponi, linearno promenljivi, su funkcija položaja po visini preseka: M 12 m r σ = y = y 3 I b d dok su naponi na ivici: 6 m r m r σ = ± = ± 2 b d W,... (3.59).... (3.60) i Kao posledica zakrivljenosti, situacija je pomalo paradoksalna: po dužini linijski element ne trpi vertikalnu deformaciju, a izložen je momentima savijanja. Prikazanom smeru opterećenja odgovaraju momenti savijanja koji zatežu donju stranu prstena. 172

75 3. Linijski elementi Prsten se deformiše obrtanjem poprečnih preseka oko svog težišta za veličinu χ. Dilatacija, odnosno promena poluprečnika, u funkciji položaja po visini preseka je: 12 m r ε = y 3 E b d, 2 12 m r r = ε r = y 3 E b d.... (3.61) Sada se do obrtanja preseka može doći iz promene poluprečnika ivičnih vlakana ( r0): 2 6 m r r0 = χ 2 E b d r d / 2 m r EI 2 0 = =....(3.62) U opštem slučaju, kada na kontinualno, membranski oslonjen, prsten deluju rotaciono-simetrična opterećenja proizvoljnog pravca, i kada se širina preseka može zanemariti u odnosu na radijus, svođenjem spoljašnjih sila na težište preseka i dekompozicijom (projekcijama) moguće je opšti slučaj opterećenja svesti na dva navedena (Sl. 3/161b). Uslovi oslanjanja koji podrazumevaju slobodno horizontalno pomeranje redovno se ne javljaju u realnim konstrukcijama, ali je moguće usvojiti ih u osnovnom, statički određenom sistemu, a za statički prekobrojnu izabrati horizontalnu, rotaciono-simetričnu, reakciju Diskontinualno oslonjen prstenasti nosač Sl. 3/162. Analiza sila na elementarnom delu diskontinualno oslonjenog kružnog prstena Uslovi ravnoteže za diferencijalno mali isečak diskontinualno oslonjenog prstenastog nosača, prema Sl. 3/162, su: dq p r 0 dα + = dm, x dm 0 y dα + = dm, y = Q r + M x,...(3.63) dα iz čega se sređivanjem dolazi do diferencijalne jednačine, te njenog rešenja: 2 d M y 2 2 M y p r dα + =, 2 M y = A sinα + B cosα p r....(3.64) Integracione konstante su u funkciji ivičnih uslova. Sile u presecima su, u opštem slučaju, statički neodređene, ali se za neke specijalne slučajeve opterećenja mogu izvesti samo iz uslova ravnoteže. U nastavku su data rešenja za dva karakteristična slučaja opterećenja. Kružni nosač sa proizvoljnim brojem (n) ravnomerno po obimu raspoređenih oslonaca i opterećen ravnomerno raspodeljenim vertikalnim opterećenjem (p) (Sl. 3/163): R = 2 π r p / n, Qmax = ± π r p / n, 2 π cosα M y = r p 1 n sinα0, 2 π sinα M x = r p α n sinα0, 2α 0 = 2 π / n, Q = r p α. Poglavlje 3 : strana 75 od

76 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Sl. 3/163. Ravnomerno vertikalno opterećenje; Dijagrami My, Mx i Tz Sl. 3/164. Naizmenično opterećenje; Dijagrami My, Mx i Tz Kružni nosač sa parnim brojem oslonaca ravnomerno raspoređenih po krugu, opterećen u poljima naizmeničnim ravnomerno podeljenim opterećenjem ±p (Sl. 3/164): R = 0, Qmax = ± π r p / n, 2 cosα M y = r p 1 sinα0, 2 sinα Mx = r p + α sinα0, 2α 0 = 2 π / n, Q = r p α DIMENZIONISANJE I ARMIRANJE Dimenzionisanje i armiranje kružnog nosača u svemu odgovara onom kod grednih elemenata napregnutih pomenutim uticajima momenata savijanja, torzije, aksijalne i transverzalne sile. Pravila i preporuke za vođenje i nastavljanje armature su, takođe, identična. 174

77 3. Linijski elementi 3.8. KRATKI ELEMENTI Kratki elementi su, načelno, kratki konzolni nosači opterećeni koncentrisanom silom, često velikog intenziteta, na svom kraju. Raspon elementa (krak sile u odnosu na u- klještenje), a, nije veći od statičke visine e- lementa, h (0a). Slično, kratkim elementima se, prilikom proračuna, smatraju i delovi grednih nosača na kojima dolazi do znatne Sl. 3/165. Kratki elementi promene transverzalne sile na dužini grede koja nije veća od njegove visine, kakav je, na primer, slučaj kada u neposrednoj blizini oslonca deluje poprečna koncentrisana sila velikog intenziteta (0b). U praksi, kratki elementi se često primenjuju (Sl. 3/166): kao oslonci podužnih nosača kranskih staza, kao oslonci prefabrikovanih elemenata u montažnom načinu gradnje, ili na dilatacionim razdelnicama, pri oblikovanju Gerber-ovih zglobova... Zbog specifičnosti oblika, kratki elementi su pre površinski elementi opterećeni u svojoj ravni nego linijski, zbog čega ni njihov proračun kao linijskih nije prihvatljiv. Takođe, primena teorije elastičnosti kod ovih elemenata nije primerena, zbog prslina koje su karakteristika već eksploatacionih opterećenja, a za posledicu imaju plastične i viskozne deformacije. Sl. 3/166. Primena kratkih elemenata Sl. 3/167. Trajektorije naprezanja kratkih elemenata sa zakošenom i ravnom donjom ivicom i Na Sl. 3/167 prikazane su trajektorije glavnih napona ii kod kratkih elemenata opterećenih vertikalnom silom, koji se razlikuju u nagibu donje ivice. Punim linijama su, očigledno, date trajektorije napona pritiska, a isprekidanim zatezanja. Slika pravaca naprezanja je izuzetno i Visina nosača, a ne statička visina, na crtežima je obeležena sa hc (ovakvo obeležavanje, invertovane oznake za ukupnu i statičku visinu, karakteristično je za Evrokod). ii Trajektorije mogu biti određene, na primer, fotoelastičnim postupkom, eksperimentalno, ili primenom metode konačnih elemenata, računski. Poglavlje 3 : strana 77 od

78 Betonske konstrukcije u zgradarstvu informativna i omogućava postavljanje aproksimativnih postupaka proračuna. Upoređenjem dva slučaja, može se zaključiti da je kosa ivica povoljnija u statičkom smislu, jer obezbeđuje nešto povoljniji (male razlike) ugao unosa sile pritiska u stub. Kod ravne donje ivice (jednostavnije za izvođenje), dodatno, jedan deo elementa ostaje neiskorišćen i, pogotovu izložen dinamičkim opterećenjima, sklon odvaljivanju na spoju napregnutog i nenapregnutog dela. Eksperimentalno je pokazano i da su naponi zatezanja uz gornju ivicu konzole praktično konstantni celom dužinom od ivice stuba do mesta dejstva sile. Samim tim, i ukupna zatežuća sila Fs je nepromenljiva. Takođe, sila pritiska, koja se pruža od napadne tačke sile do korena kratkog elementa je približno konstantna, a već je konstatovan relativno mali uticaj oblika konzolnog elementa na trajektornu sliku. Na osnovu iznetog kristalisao se štapni mehanizam kao aproksimativni pristup proračunu Sl. 3/168. Štapni mehanizam kratkog elementa kratkih elemenata (Sl. 3/168), koji podrazumeva razlaganje spoljašnjeg koncentrisanog dejstva (u opštem slučaju kosog) na horizontalnu silu zatezanja i kosu silu pritiska. Na Sl. 3/169 prikazani su mogući mehanizmi otkaza kratkih elemenata, intenzivno istraživani od strane Kriz-a i Raths-a. Slomu usled zatezanja gornje zone izazvanog momentom savijanja (slika a) prethode velike deformacije horizontalne armature, a slom se realizuje drobljenjem pritisnutog betona. Dijagonalno cepanje po dužini pritisnutog štapa (slika b), nakon pojave pukotine uz lice stuba, rezultiraće slomom smicanjem u pritisnutoj zoni. Niz kratkih i odvojenih dijagonalnih pukotina (slika c) vodi slomu usled klizanja, nakon spajanja ovih prslina. Opterećenje naneto blizu kraja konzole (slika d) formira vertikalni pritisnuti štap i vodi slomu odsecanjem. Kod malih površina podložnih pločica može doći do lokalnog preopterećenja i drobljenja betona ispod pločice (slika e). Konačno, horizontalno, uz vertikalno, opterećenje može biti uzrok vertikalnim prslinama i slomu po njoj (slika f). Sl. 3/169. Mogući tipovi sloma kratkih elemenata i Najčešće se citiraju eksperimentalna istraživanja Franz-a i Niedenhoff-a. 176

79 3. Linijski elementi Armatura za prijem napona zatezanja izazvanih momentom savijanja se određuje i konstruiše na isti način kao i kod ostalih konzola. Pri tome je, saglasno Sl. 3/168, moment savijanja uz lice stuba: M = Fv ac + H c h....(3.65) Granična vrednost ovog momenta i horizontalne sile rezultuje potrebnom količinom armature, nakon što se za krak unutrašnjih sila, preporučeno, usvoji nešto niža vrednost od one koja odgovara grednim elementima oko 80% statičke visine. Ova armatura se oblikuje na način prikazan na Sl. 3/170, i sidri se, dovoljnom dužinom, u stub, na oba kraja. Armatura za prijem uticaja od transverzalne sile se sračunava direktno iz ukupne transverzalne sile i, preporučeno, postavlja se kao kosa, potrebne površine: A ak = T u 2 σ cos β v,... (3.66) gde je sa β obeležena razlika uglova nagiba kose armature i kosog pravca od 45º. Potrebna količina kose armature treba da bude raspoređena na način (prema tzv. Mehmel-ovom modelu) da bude relativno ravnomerno raspoređena duž linije koja spaja napadnu tačku sile i koren elementa (Sl. 3/171a). Kod vrlo kratkih konzola, kada je raspon znatno manji od visine, kosi glavni naponi zatezanja, umesto kosom, mogu biti primljeni horizontalnom armaturom (otvorene uzengije) raspoređenom po visini elementa (Sl. 3/171b). Sl. 3/170. Armatura za prijem napona zatezanja od momenta savijanja Sl. 3/171. Kosa armatura za prijem transverzalnih sila i armiranje kratkih elemenata Treba naglasiti i da mnogi savremeni propisi ne preporučuju korišćenje kose armature za prijem glavnih napona zatezanja ni kod kratkih elemenata. Razlog ovome je nemogućnost njenog potpunog iskorišćenja, ali i komplikovano izvođenje i otežano betoniranje. Shema armiranja u kojoj izostaju kose šipke je prikazana na 0, za kratki element horizontalne donje ivice. Osim proračunskom, kratki element, dodatno, mora biti gusto armiran i horizontalnim i vertikalnim konstruktivnim uzengi- Sl. 3/172. Samo horizontalna i vertikalna armatura jama. Razlog ovome je i u mogućim drugačijim mehanizmima sloma kratkog elementa. Poglavlje 3 : strana 79 od

80 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Saglasno Evrokodu, kod kratkog elementa je neophodno dokazati i nosivost pritisnute dijagonale/štapa. U tom cilju se granična vrednost sile pritiska deli površinom određenom širinom preseka, b, i širinom (efektivnom) pritisnutog štapa, c, za koju se usvaja jedna petina statičke visine (Sl. 3/168). Ovako određen napon se upoređuje sa računskom vrednošću pritisne čvrstoće pri savijanju. Indirektno opterećeni kratki elementi (Sl. 3/173) mogu biti približno analizirani podelom vertikalnog opterećenja na dva jednaka dela, od kojih jedan deluje u gornjem, a drugi u donjem delu. Za silu na gornjoj ivici proračun odgovara iznetom, a donja polovina sile se razlaže na zatežuću, Fs2, i pritiskujuću, Fc2. Zatežućoj sili, sada, odgovara i dodatna količina armature. Sl. 3/173. Indirektno opterećen kratki element Podmetač, preko kojeg se prenosi sila na kratki element, mora biti dovoljno udaljen od ivice, kako je slikom prikazano (Sl. 3/174a). Proračun i armiranje grednog elementa opterećenog u blizini oslonca je u svemu analogno proračunu i armiranju kratkog elementa (Sl. 3/174b). Sl. 3/174. Udaljenje podmetača od ivice i deo grede koji se tretira kao kratki element Oslabljeni deo grede kod Gerber-ovog zgloba se, takođe, tretira kao kratki element. Jedan način njegovog armiranja prikazan je na Sl. 3/175. Sl. 3/175. Armiranje Gerber-ovog zgloba 178

81 3. Linijski elementi 3.9. ZIDNI NOSAČI UVOD Kada gredni nosači, bilo zbog visokog intenziteta opterećenja, bilo iz funkcionalnih razloga, imaju veliku visinu, uporedivu s rasponom, postaju zidni nosači. Iako svojim gabaritima površinski (jedna dimenzija je ubedljivo manja od preostale dve), ovi elementi su funkcijom pre linijski, uporedivi s grednim, opterećenim na savijanje. Međutim, ponašanje ovih nosača se, uslovljeno oblikom i velikom krutošću u vertikalnoj ravni, unekoliko razlikuje od greda, što njihovim projektovanjem mora biti obuhvaćeno. Sl. 3/176. Jednorasponski i kontinualni zidni nosač Zidni nosači se primenjuju u konstrukcijama bunkera, silosa, kod višespratnih zgrada (najčešće u podrumskim etažama ili u krupnopanelnoj gradnji), kod rezervoara, u temeljnim konstrukcijama... Javljaju se kao jednorasponski ili kontinualni elementi. Zidovi iznad otvora (prozori, vrata), relativno malih raspona, kao ni konzolni nosači visine do 1m, ne moraju biti proračunski tretirani kao zidni nosači, bez obzira na odnos dimenzija. Teorijski, već za odnose visine prema rasponu veće od 0.20 (ili 0.25) nema opravdanja za usvajanje hipoteze ravnog deformisanja (ravni preseci nakon deformacije ostaju ravni). Samim tim ni pretpostavka o linearnom rasporedu normalnih napona σx po visini preseka (linearnoelastična analiza) nije opravdana. Na Sl. 3/177 prikazane su distribucije ovih normalnih napona (za presek iznad oslonca i u polju) koje odgovaraju različitim odnosima visine i raspona nosača: sa porastom ovog odnosa raspodela je sve udaljenija od linearne. Sl. 3/177. Distribucija normalnih napona po visini preseka za različite odnose H/L Ovo je bio razlog prethodno uvedenoj klasifikaciji elemenata kao grednih ukoliko po ovom odnosu ostaju ispod navedenih Ipak, zidnim nosačima se redovno smatraju oni kojima je visina bar 40% raspona: H / L 0.40 i,... (3.67) a nosači sa odnosima između 0.20 i 0.40 se tretiraju kao visoke grede (Sl. 3/44) i proračunavaju kao obični gredni nosači uz pojedine detalje koji odgovaraju zidnim nosačima (pre svega i Konzole se tek sa odnosom H/L većim od 1.0 smatraju zidnim nosačima. Poglavlje 3 : strana 81 od

82 Betonske konstrukcije u zgradarstvu one koji se odnose na dužinu pružanja zategnute donje armature). Uslov (3.67) je formulisan da na jednostavan način unificira precizniji uslov postavljen ( osrednjen ) po odnosu visine prema razmaku nultih momentnih tačaka, l0: gde je l0: H / l0 0.5,... (3.68) jednako rasponu L kod nosača na dva oslonca, jednako 0.8L kod krajnjih polja kontinualnih nosača, i jednako 0.6L kod srednjih polja kontinualnih nosača. Sl. 3/178. Promena maksimalnih ivičnih napona pritiska s promenom odnosa H/L Za raspon, L, zidnog nosača se usvaja osovinski raspon oslonačkih stubova ili, u slučaju širokih oslonaca, 15%-no uvećanje svetlog raspona L0 (Sl. 3/176). Na Sl. 3/178 su, zarad ilustracije razlike zidnih i grednih nosača, upoređeni maksimalni ivični naponi pritiska (napon s superskriptom 0 se odnosi na gredni element) u središnjem preseku nosača različitih odnosa L/H. Osim po gornjoj ivici, zidni nosači su često opterećeni i po donjoj ivici, kada se ploča vezuje/oslanja za zid uz njegovu donju konturu. Ovaj slučaj opterećenja, u odnosu na opterećenje po gornjoj ivici, pravi kvalitativnu razliku u distribuciji normalnih napona σy po visini preseka (Sl. 3/179), čineći nosač u vertikalnom pravcu zategnutim. Na istoj skici date su i distribucije normalnih napona σx i smičućih τxy u karakterističnim presecima. Sl. 3/179. Distribucije normalnih i smičućih napona u karakterističnim presecima Osim po ivicama, zidni nosač se može javiti opterećenim i negde po svojoj visini (Sl. 3/180). Sl. 3/180. Različiti položaji opterećenja po visini zidnog nosača 180

83 3. Linijski elementi Kod nosača vrlo velike visine, kada je visina veća od raspona, teorijska rešenja pokazuju da su vrednosti horizontalnih normalnih napona u delu zida iznad visine jednake rasponu praktično zanemarljive (Sl. 3/181). Ovo je razlog što se proračunski aproksimiraju kvadratnim zidnim nosačima sa jediničnim odnosom visine i raspona: H / L > 1.0 H / L = (3.69) U svim narednim analizama će se podrazumevati da za ovako visoke nosače proračunski biva angažovana samo kvadratna zona zida, te da se deo zida iznad ove zone tretira samo konstruktivno. Kod konzolnih zidnih nosača, ova granica se postavlja na odnosu H/L=2. Ostajući u domenu elastične analize, na primer iz Sl. 3/177, može se primetiti da je krak unutrašnjih sila (rezultante pritiska i zatezanja) kod zidnih nosača (relativizovan visinom preseka) manji nego kod grednih. Takođe, sa porastom visine preseka i krak unutrašnjih sila u oslonačkom preseku postaje manji od odgovarajućeg u preseku u polju. Ovo se, kod kontinualnih (statički neodređenih) zidnih nosača, manifestuje kao pad krutosti u oslonačkim zonama, zbog čega se i realna raspodela momenata savijanja karakteriše preraspodelom, odnosno nešto manjom vrednošću oslonačkih, a nešto većom vrednošću momenata u polju, u odnosu na dijagram momenata kontinualne grede. Sl. 3/181. Zidni nosači izuzetno velike visine Stepen preraspodele je funkcija i širine oslonca. Tako, Dischinger predlaže primenu sledećih izraza za središnja polja kontinualnih nosača (Sl. 3/182): 2 ql max M p ( ε ) =, min M ( 1 2ε ) ( 1 ε ) o 2 ql =....(3.70) 12 Sl. 3/182. Preraspodela momenata savijanja kontinualnog nosača Zidni nosač može biti oslonjen samo u svom donjem krajnjem delu na stubove (na primer kao na Sl. 3/176), direktno ili, preko oslonačkih ojačanja, indirektno. Imajući na umu redovno vrlo Poglavlje 3 : strana 83 od

84 Betonske konstrukcije u zgradarstvu visoke intenzitete sila koje zidni nosači prenose na oslonce, prednost je uvek na strani indirektnog (posrednog) oslanjanja na stubove ili poprečne zidove celom visinom ili delimično, do neke visine (Sl. 3/183). Kontinualni (statički neodređeni) zidni nosači se karakterišu izuzetno visokom krutošću na savijanje u vertikalnoj ravni, zbog čega su vrlo osetljivi na deformacijska opterećenja kakva su, na primer, nejednaka sleganja oslonaca. Vrlo mala diferencijalna sleganja mogu izazvati značajne preraspodele uticaja poduž nosača, te prsline koje, zavisno od uslova agresivnosti sredine, mogu i značajno ugroziti funkcionalnost i trajnost konstrukcije. Osim toga, razvojem prslina, zidni nosač se, putanjama transfera opterećenja, transformiše u lučni sistem sa zategom, što valja imati na umu prilikom projektovanja armature elementa. Sl. 3/183. Indirektno (posredno) oslanjanje zidnog nosača. Dugotrajna opterećenja mogu inicijalne prsline u širini povećati i preko 3 puta, a kako još uvek ne postoje dovoljno razrađeni i provereni postupci za proračun prslina u zidnim nosačima, to je dodatni oprez za preporuku PRORAČUN, DIMENZIONISANJE I ARMIRANJE I pored napomena datih u vezi realne, preraspodeljene, distribucije momenata savijanja, u praksi je uobičajeno da se statički uticaji u zidnim nosačima određuju kao i za gredne uz procenu naprezanja izazvanih deformacijskim opterećenjima (diferencijalna sleganja, temperaturna dejstva, skupljanje, tečenje betona) primenom teorije elastičnosti. Pri određivanju krutosti nosača, koristi se neisprskali homogeni betonski presek. Minimalna debljina zidnog nosača je 10cm, ali se u praksi, zbog zahteva dobre ugradnje betona, pravilnog usidrenja armaturnih šipki, kao i izbegavanja previsokih vrednosti glavnih napona, koriste i značajno veće debljine. Glavna podužna armatura, načelno, položajem odgovara onoj kod grednih nosača. Kod jednorasponskih zidova je locirana u donjoj zoni za prijem pozitivnih, a kod kontinualnih i u gornjoj, za prijem negativnih momenata savijanja (odgovarajućih zatežućih sila, Sl. 3/184). Sl. 3/184. Podužne zatežuće sile 182

85 3. Linijski elementi Sile zatezanja, za preseke opterećenje momentom savijanja, a ne i aksijalnom silom, se određuje kao količnik graničnih vrednosti momenata i kraka unutrašnjih sila u karakterističnim presecima. Silom je određena i potreba za armaturom: Z = M / z, A Z / σ u u a = u v....(3.71) Izvesno je dilatacijsko stanje kojim je dilatacija u armaturi, na strani zatezanja, veća od 3, zbog čega treba koristiti osnovne vrednosti parcijalnih koeficijenata sigurnost (na primer, 1.6 i 1.8, za kombinacije stalnih i promenljivih dejstava). Za krak unutrašnjih sila se koriste preporučene vrednosti date na sledeći način i : za jednorasponski nosač: ( ) z = 0.3 H 3 H / L,...(3.72) p za krajnja polja i prve oslonce kontinualnog nosača: ( ) z = z = 0.5 H 1.9 H / L,...(3.73) p o za srednja polja (počev od drugog) i srednje oslonce kontinualnog nosača: ( ) z = z = 0.5 H 1.8 H / L, i...(3.74) p o za konzolne zidne nosače ili prepuste: z = 0.65 L H....(3.75) o k Očigledno, zanemarena je realna razlika u kraku unutrašnjih sila za presek nad osloncem i presek u polju (usvajaju se jednake vrednosti). Kod jednorasponskih nosača, glavna podužna armatura vodi se neprekinuta duž celog raspona, od oslonca, do oslonca, a u oblasti oslonca se mora dobro usidriti. Razlog ovome je pomenuti mehanizam rada zidnog nosača poput luka sa zategom, gde ova armatura preuzima ulogu zatege sa malo promenljivom aksijalnom silom po dužini. Sl. 3/185. Armiranje jednorasponskog zidnog nosača i sidrenje podužne armature ii Ova armatura se raspoređuje u najnižih 15% visine poprečnog preseka (Sl. 3/185), na oba lica nosača jednako. Prednost je uvek na strani rebraste armature (bolje prijanjanje, pravilnija raspodela prslina), a tanji profili povoljno utiču na širinu prslina, a time i na efikasnije sidrenje. Pojedinim predlozima se kvantifikuju zahtevi vezani za sidrenje armature, na primer na minimalnu sposobnost prijema 80% najveće zatežuće sile u preseku na ivici oslonca. Sidrenje ove armature je neophodno sprovesti povijanjem, obavezno u horizontalnoj ravni, kako bi se izbei U svim izrazima, u situacijama kada je H>L, treba koristiti H=L. ii Na slikama i u jednačinama se, za visinu zida, ravnopravno koriste oznake d i H. Poglavlje 3 : strana 85 od

86 Betonske konstrukcije u zgradarstvu gla opasnost cepanja betona (u slučaju kuka u vertikalnoj ravni). Eksperimentalno je nesumnjivo utvrđena jaka zavisnost granične nosivosti zidnog nosača od realizovanog stepena usidrenja. Kod kontinualnih zidnih nosača, donja armatura se vodi na isti način, u nepromenljivoj količini duž celog raspona i u visini jednakoj 0.15H. Sidri se u zoni oslonaca, pri čemu se iznad srednjih oslonaca pravo prepušta u susedno polje. Sidrenje na krajnjim osloncima odgovara onom kod jednorasponskih nosača (Sl. 3/185). Oslonačka armatura se raspoređuje u dve zone. Zona uz gornju ivicu (zona 1) je visine 0.2H, a ispod nje je zona visine čak 0.6H (zona 2). Ovim, oslonačka armatura se raspoređuje na čak 80% visine preseka, uz gornju ivicu. Razlozi za ovo leže u velikoj visini zategnutog dela preseka (videti Sl. 3/182, na primer). Od ukupne potrebe za oslonačkom armaturom, deo koji se postavlja u zonu 1 je određen s: ( ) o o Aa,1 = 0.5 Aa L / H 1,...(3.76) dok se ostatak smešta u zonu 2. Sa smanjenjem visine (približavanjem gredi) zida raste procenat oslonačke armature zone 1. Oslonačka armatura se simetrično usvaja i postavlja na oba lica nosača, pri čemu se polovina ove podužne armature ( neparne šipke) vodi celom dužinom raspona (načelno, od polovine do polovine susednih raspona), a druga polovina ( parne šipke) može biti ukinuta na horizontalnom odstojanju 0.4H od ivice oslonca. I ovde je poželjna upotreba tanjih armaturnih profila na razmaku koji ne prelazi 15cm (vezano za maksimalni dopušteni razmak šipki armature koja se postavlja po licu nosača). Pre usvajanja armature mora se kontrolisati ispunjenost zahteva minimalne količine podužne armature (identičan je zahtev i za donju i za gornju armaturu) određenog srednjom vrednosti čvrstoće betona pri aksijalnom zatezanju, fbzm: p o fbzm min Aa = min Aa = k b H....(3.77) σ v Koeficijent k se određuje pravilom linearne promene prema datim vrednostima (Tabela 3/2), dok su predmetne zatežuće čvrstoće funkcija marke betona (Tabela 3/3). Tabela 3/2. Koeficijent k H/L k Tabela 3/3. Srednje vrednosti čvrstoće betona pri aksijalnom zatezanju MB fbzm [MPa] Cela površina zidnog nosača se armira armaturom po stranama zidnog nosača, koja se sastoji od horizontalnih i vertikalnih šipki postavljenih na oba lica zida. Reč je o konstruktivnoj armaturnoj mreži sa maksimalnim razmakom između šipki ne većim od 30cm, niti od dvostruke debljine zida. Minimum ove armature je definisan procentima armiranja: ± 0.125% za GA240/360 min aav = min aah = ± 0.100% za RA400/500 ± 0.075% za MA500/ (3.78) Kod nosača opterećenih po gornjoj ivici formira se sistem strmih prslina (Sl. 3/186a), zbog čega se vertikalna armatura javlja neefikasnom. Zato se preporučuje usvajanje horizontalne 184

87 3. Linijski elementi armature za 25 do 50% veće od minimalne (i na razmaku ne većem od 15cm) u zonama iznad donje glavne podužne armature, do visine polovine nosača. Ovo progušćenje može izostati ukoliko je računska potreba za glavnom podužnom armaturom manja od minimalne. U gornjem delu kontinualnih nosača se horizontalna armatura najčešće formira od prepuštene polovine oslonačke armature, što, zbog ograničenja razmaka, valja imati na umu prilikom usvajanja glavne podužne armature. Sl. 3/186. Prsline kod zidnih nosača opterećenih po gornjoj i donjoj ivici Vertikalnu armaturu čine uzengije (najčešće formirane od dve nezavisne šipke) koje spolja obuhvataju horizontalnu armaturu. Za slučaj delovanja opterećenja po donjoj ivici (Sl. 3/187), već pri eksploatacionim opterećenjima javlja se sistem prslina koje su u središnjem delu praktično horizontalne (Sl. 3/186b) i koji formira sistem etažiranih lukova. Kako bi se ove prsline držale u prihvatljivoj širini, neophodno je predvideti relativno gustu (razmaci manji od 15cm) vertikalnu armaturu, kojom se veša opterećenje za gornje delove nosača. Tada se potrebna količina vertikalne armature određuje iz uslova da se njom prihvata kompletno opterećenje po donjoj ivici. Za slučaj ravnomerno podeljenog opterećenja q, biće: a q / σ av = u v.... (3.79) Ova vertikalna armatura se bez prekidanja vodi na način da obuhvata donju glavnu armaturu i pruža se visinom preseka, sa mogućnošću skraćenja u zonama bližim osloncu, kako je prikazano na Sl. 3/187. I kod nosača opterećenih po donjoj ivici se preporučuje progušćenje horizontalne armature u donjoj polovini visine nosača. Ukoliko opterećenje deluje negde po visini zidnog nosača, između gornje i donje ivice, deo nosača iznad opterećenja se tretira na način koji odgovara opterećenoj donjoj ivici, za deo opterećenja određen odnosom (oznake sa Sl. 3/180c) (d-y)/d. Sl. 3/187. Vertikalna armatura za vešanje opterećenja Ukoliko se opterećenje na zidni nosač prenosi preko cele njegove visine, kao što je slučaj kod oslanjanja poprečnog zida, reč je o indirektnom opterećenju zidnog nosača (Sl. 3/188). U Poglavlje 3 : strana 87 od

88 Betonske konstrukcije u zgradarstvu takvim slučajevima neophodno je predvideti armaturu za prihvat ( vešanje ) indirektnog opterećenja određenu iz uslova prijema kompletne indirektne rezultante, Pu. Za manje i umerene intenzitete posrednog opterećenja, ova armatura može biti formirana od vertikalnih uzengija koje obuhvataju donju armaturu i protežu se celom visinom nosača u zoni definisanoj trostrukom širinom poprečnog zida (Sl. 3/188a). Kod većih intenziteta, do 60% sile može biti prihvaćen koso povijenom armaturom (prema Sl. 3/188b), a ostatak vertikalnim uzengijama. Valja imati na umu i da veliki intenziteti ovako koncentrisanog opterećenja mogu zahtevati dodatnu horizontalnu armaturu za predupređivanje efekata cepanja betona. Sl. 3/188. Indirektno opterećen zidni nosač U oslonačkim zonama, kako bi se izbegle previsoke vrednosti glavnih napona pritiska, ograničavaju se vrednosti transverzalne sile. Kod indirektno oslonjenih nosača, maksimalna vrednost se, u stanju granične nosivosti, ograničava na sledeći način: maxt = 0.1 b d f....(3.80) u B Armatura za prihvat smicanja se formira u obliku ortogonalne mreže (Sl. 3/189) ili se koriste kose šipke (Sl. 3/190). Sl. 3/189. Ortogonalna armatura za prihvat smicanja indirektno oslonjenih zidnih nosača Sl. 3/190. Kosa armatura za prihvat smicanja indirektno oslonjenih zidnih nosača 186

89 3. Linijski elementi Kod ortogonalne mreže, potreba za vertikalnom armaturom se određuje iz kompletne, a za horizontalnom iz 80% transverzalne sile: A = T / σ, A = 0.8 T / σ....(3.81) av u v ah u v Ova armatura se postavlja u zoni koja se prostire u donjoj polovini visine, a u dužini ide do 0.4H od ivice oslonca (Sl. 3/189). Ako se primenjuju kose položene šipke (uzengije), njihova površina se određuje iz ukupne transverzalne sile, a postavlja se pod uglom bliskim 45⁰, u zoni koja, po dimenzijama, odgovara onoj datoj za ortogonalnu mrežu (Sl. 3/190): A = T cos α / σ.... (3.82) ak u v Načelno, koso položena armatura se preporučuje tek za velike intenzitete granične transverzalne sile (veće od 0.75Tmax). Dobre rezultate daje i kombinacija dve vrste armature. Uslov je, u svakom slučaju, dobro sidrenje smičuće armature na krajevima. Kod direktno oslonjenih nosača, ograničava se maksimalni intenzitet krajnjih (Au) i srednjih (Bu) reakcija, u funkciji širine oslonca, c, i debljine eventualne ploče, dp (Sl. 3/191): 0.8 ( + ), Bu 1.2 fb b ( c 2d p ) A f b c d u B p (3.83) Sl. 3/191. Reakcije direktno oslonjenog zidnog nosača Pri tome, granične vrednosti reakcija se određuju s maksimalnim vrednostima parcijalnih koeficijenata sigurnosti. Korišćena 20%-na umanjenja i uvećanja granica po reaktivnoj sile su uzrokovana uvažavanjem činjenice da, zbog manje savojne krutosti oslonačkih preseka, negativni momenti, a samim tim i središnje reakcije, kontinualnih zidnih nosača imaju manje vrednosti od onih koje su određene kao za gredne nosače. Dodatno, ovim se kvantifikuje i oprez vezan za mogućnost potpunog usidrenja podužne armature kod krajnjih oslonaca. Kod ovako oslonjenih nosača, smičuća armatura se ne proračunava, nego se konstruktivno obezbeđuje dupliranjem (progušćenjem) postojeće armaturne mreže po licu nosača, a u zoni obeleženoj na Sl. 3/192. Sl. 3/192. Armatura u zoni oslonca direktno oslonjenog zidnog nosača Poglavlje 3 : strana 89 od

90 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Kada je zidni nosač opterećen koncentrisanim silama, za preporuku je da se svaki konkretan slučaj posebno analizira, posebno s aspekta prijema i uvođenja sila u površinski element, te pratećeg cepanja. Generalno, najbolje je velike intenzitete koncentrisanog opterećenja prihvatiti projektovanjem vertikalnih rebara (stubova), koja se prostiru celom visinom zida (baš kao što je to preporučeno i kod oslanjanja indirektno). Sl. 3/193. Koncentrisano opterećenje zidnog nosača Na Sl. 3/193 prikazan je slučaj delovanja koncentrisanog opterećenja na gornjoj ivici zida, iznad oslonaca, pri čemu je pretpostavljeno da vertikalno rebro ne postoji. Lokalizovano pritiskujuće dejstvo će za posledicu imati razvoj napona zatezanja u horizontalnom pravcu, za koje je potrebno predvideti armaturu uz obe ivice, kako je pokazano na skici. Količina svake od ovih armatura se određuje na način da je dovoljna za prijem četvrtine sile Qu, a od velike važnosti je njeno dobro sidrenje na ivičnim osloncima. Transverzalnoj sili od ostatka opterećenja, sada, treba dodati i silu koja potiče od koncentrisanog opterećenja, a koja se računa kao manja od sledećih vrednosti: Qu l 2c Qu d 2c min, za srednje oslonce 2 l 2 d Tu = l c d 2c min Qu, Qu za ivične oslonce l d.... (3.84) Uslovi postavljeni po intenzitetu reakcija (3.83) moraju biti zadovoljeni i za ovo opterećenje (sabrano s ostalim), Qu. 188

91 3. Linijski elementi STRUTT-AND-TIE METOD UVOD Proračun AB elemenata (prema teoriji savijanja), načelno, zasniva se na ravnoteži spoljašnjih i unutrašnjih sila, kompatibilnosti deformacija na spoju čelika i betona, te na usvojenim (idealizovanim) konstitutivnim zakonima za materijale, čelik i beton. Posebno važna pretpostavka, kojom je ovakav pristup proračunu omogućen, je ona kojom se usvaja linearna promena dilatacija po visini preseka, odnosno, pretpostavka da ravni preseci po deformisanju ostaju ravni. Ovakva pretpostavka (a, time i kompletna teorija savijanja) je utemeljena u St.Venant-ovom principu, kojim se konstatuje da se efekti diskontinuiteta-poremećaja (tačke u kojima se aplicira opterećenje, nagle promene geometrije, čvorovi...) gube ( amortizuju ) na udaljenostima od tačke poremećaja većim od veće dimenzije poprečnog preseka, h. Sl. 3/194. Ilustracija St.Venant-ovog principa Međutim, St.Venant-ov princip se ne odnosi na zone diskontinuiteta, u okolini poremećaja. U zoni oko diskontinuiteta (dimenziono određenoj većom dimenzijom poprečnog preseka) usvojene pretpostavke teorije savijanja AB greda ne mogu biti primenjene (ne važe). Na ovaj način, kompletna armiranobetonska konstrukcija može biti izdeljena na zone diskontinuiteta, često, pa i u daljem tekstu, nazivane D-regionima ( D od diskontinuitet ili od disturbance /poremećaj/), unutar kojih principi teorije savijanja ne važe, te na zone u kojima mogu biti primenjeni, često nazivane B-regionima ( B od beam /greda/ ili od Bernoulli). Nekoliko karakterističnih primera D-regiona je prikazano na Sl. 3/195. U nekim slučajevima, kakvi su na primer kratki elementi ili visoke gredne ili zidni nosači, kompletan element može biti klasifikovan kao D-region. Pri (relativno) malim naponima, kada se beton nalazi u elastičnom području rada i dok je neisprskao, naponi i u D-regionima mogu biti određeni primenom teorije elastičnosti. Međutim, po pojavi prslina naponski kontinuum (naponsko polje) je poremećen i dolazi do preraspodele unutrašnjih sila. Kada se to dogodi, moguće je (po cenu gubitka tačnosti, pojednostavljeno) prezentovati unutrašnje sile unutar D-regiona korišćenjem odgovarajućeg statički određenog rešetkastog modela, koji se naziva strut-and-tie model i. Zamenjujućim nosačem se simulira tok sila u isprskalom betonu nakon realizovanja plastičnih preraspodela. Ovim se i vrlo kompleksni problemi mogu predstaviti modelom jednostavnim za rešavanje. Pritom, rešenja se odlikuju konzervativnošću: usvajanjem naponske slike (polja napona) koja obezbeđuje ravnotežu sa spoljašnjim opterećenjem, uz poštovanje kriterijuma tečenja (ograničenje napona), i Doslovni domaći ekvivalent ovom nazivu ne postoji. U opisnoj formi, mogao bi se nazvati, na primer, model (ili metod) sa pritisnutim štapovima i zategama. Kako bi se izbeglo stalno korišćenje opisnog naziva, u daljem tekstu se koriste engleski termini: strut-and-tie model/metod ili akronim S&T. Poglavlje 3 : strana 91 od

92 Betonske konstrukcije u zgradarstvu obezbeđena je konzervativnost i. Pretpostavljajući/obezbeđujući da je konstrukcija dovoljno duktilna da obezbedi realizaciju potrebnih preraspodela sila/napona ii, opterećenje loma na ovaj način određeno potcenjuje (manje je) od teorijskog opterećenja loma. Drugim rečima: konstrukcija će pronaći (bar) taj, ili neki drugi efikasniji, način prijema i prenosa opterećenja. Ovo koincidira s više puta ponovljenim: ponašanje AB konstrukcije je u velikoj meri određeno načinom (konfiguracijom) njenog armiranja. Sl. 3/195. Zone diskontinuiteta (D-regioni) Ovako postavljen, S&T metod je vrlo pogodan za analizu D-regiona i zona opterećenih smičućim silama. Može se okarakterisati kao univerzalni metod/pristup, budući da simultano u- ključuje uticaje svih sila (aksijalne sile, transverzalne sile, momenti savijanja i torzije) u analizu, što nije slučaj s klasičnim pristupom poprečnog preseka. Dalje, ovim metodom se o- bezbeđuje mehanički model za proračun konstrukcije koji projektantu pruža mogućnost boljeg razumevanja ponašanja D-regiona iii (u odnosu, na primer, na empirijske ili polu-empirijske metode/formule). Sa druge strane, sam rešetkasti model nije jedinstven niti jednoznačan, a domen primene je ograničen fiksnom konfiguracijom opterećenja, budući da se model usvaja saglasno dispoziciji spoljašnjeg opterećenja. Sl. 3/196. Strut-and-tie model iv i Naime, S&T metod je baziran na lower bound teoremi (teorema donje granice) teorije plastičnosti (videti i #3.1.3): Ako postoji opterećenje qu za koje je moguće odrediti naponsku sliku koja zadovoljava uslove ravnoteže, a da pri tome nigde nije prekoračen napon granice razvlačenja, onda je qu donja granična vrednost (lower bound) kapaciteta nošenja - konstrukcija sigurno može da primi opterećenje qu. ii Načelno, ovo (potrebna duktilnost) treba shvatiti kao zahtev da se drobljenja betona neće dogoditi pre intenzivnog razvoja plastičnih deformacija u čeliku za armiranje. iii Iako se često (na primer u Evrokodu 2) strut-and-tie postupak navodi kao univerzalan, u smislu da se njime mogu analizirati i zone kontinuiteta, pa i granična stanja upotrebljivosti, zbog niza drugih razloga, metod nalazi primarnu primenu u zonama diskontinuiteta prilikom analize graničnog stanja nosivosti, ili u graničnim stanjima upotrebljivosti isprskalih elemenata. iv Ustaljeno je obeležavanje zatega punim, a pritisnutih štapova isprekidanim linijama. 190

93 3. Linijski elementi Jedan S&T model se sastoji od: pritisnutih prostih betonskih štapova (struts), zategnutih čeličnih štapova (ties) i čvorova, odnosno čvornih zona (nodes, odnosno nodal zones). Na primeru zidnog nosača sistema proste grede, opterećenog koncentrisanom silom u sredini raspona, prikazan je (Sl. 3/196) najjednostavniji S&T model, koji se sastoji od dva pritisnuta kosa betonska štapa i jednog horizontalnog čeličnog zategnutog. Sivo šrafirano su obeležene čvorne zone. Počeci primene metoda datiraju još s kraja XIX i početka XX veka, kada su modeli kojima se prati tok sila primarno korišćeni za opisivanje naponskog stanja u regionima opterećenim smičućim silama, gde klasična teorija savijanja nije mogla biti primenjena. Prvu primenu postupka nalazimo kod Ritter-a i Morsch-a, da bi kasnije bio proširen u istraživanjima Leonhardt-a, Rusch-a, Kupfer-a i drugih. Kao ilustracija, na Sl. 3/197 je prikazan Ritter-ov rešetkasti model za proračun smicanja grednog elementa. Međutim, pravi razvoj ovog metoda je vezan za osamdesete godine XX veka, kada je u istraživanjima Marti-ja i Mueller-a (u okviru Ciriške škole), a zatim i Schlaich-a, Schafer-a, prvi put dosledno sistematizovan i kada su postavljene naučne osnove oslonjene na Teoriju plastičnosti. Dalji razvoj je polje primene postupka proširio sa domena visokih greda, zidnih nosača ili kratkih elemenata na praktično sve betonske konstrukcije. Posebno značajna su istraživanja Bay-a, Franz-a, Leonhardt-a i Thulmann-a. Collins i Mitchell su razmatrali deformacije rešetkastog modela i izveli racionalan postupak proračuna za smičuća i torziona opterećenja. Nakon toga sprovedena su brojna istraživanja kojima je postupak dalje razvijan, ali i kojima je ispitivana njegova pouzdanost. Ovim ispitivanjima je ustanovljeno polje primene S&T postupka, odnosno domen problema za koje se ovakav pristup rešenju može smatrati pogodnim. Takođe, konstatuje se i, uglavnom, prevelika konzervativnost postupka (posebno zbog zanemarenja doprinosa betona smičućoj nosivosti) ali, čak, i njegova nekonzervativnost u pojedinim situacijama. Sl. 3/197. Ritter-ov rešetkasti model (1899) Konzervativno prateći njegov razvoj, S&T postupak se postepeno uključuje u propise za projektovanje betonskih konstrukcija. Danas svi najvažniji svetski propisi koji se odnose na betonske konstrukcije predviđaju mogućnost njegove primene. Kanadski propisi (Canadian Concrete Code), tako, godine, dopuštaju primenu postupka, kao alternativu, u analizi smicanja u zonama statičkih ili geometrijskih diskontinuiteta. Model propisa CEB-FIP 1990 daje mogućnost primene strut-and-tie postupka, kao generalnog pristupa u analizi D-regiona. U reviziji iz godine, američki ACI, a godine i evropski Evrokod 2 propisi uvode ovaj proračunski postupak ELEMENTI STRUT-AND-TIE MODELA Strut-and-tie postupak podrazumeva podelu elemenata na D-regione i B-regione, pri čemu su D-regioni delovi elementa unutar udaljenosti h (veća dimenzija poprečnog preseka) od mesta apliciranja sile ili geometrijskog diskontinuiteta. B-regionima se, načelno, smatraju svi delovi elementa van D-regiona. Kako je rečeno, u B-regionima se može smatrati da ravni preseci po deformaciji ostaju ravni. Poglavlje 3 : strana 93 od

94 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Strut-and-tie modeli se odnose na D-regione. Formiraju ih pritisnuti štapovi i zatege međusobno povezani u čvornim zonama, sposobni da prenesu opterećenje do oslonaca ili susednih B-regiona. Dimenzije poprečnih preseka pritisnutih štapova i zatega se nazivaju debljinom i širinom, gde je debljina, b, dimenzija upravna na ravan rešetkastog modela, a širina, w, se meri u ravni rešetke (Sl. 3/196). Pritisnuti štap (strut) je unutrašnji betonski štap koji prenosi sile pritiska. Može biti samostalan element, može se sastojati od paralelnih elemenata ili biti predstavljen lepezastim poljem (fun-shaped) pritiska (Sl. 3/198, Sl. 3/199). Po dužini, može biti prizmatičan (pravougaonog oblika) ili flašastog oblika (bottle-shaped), kada se polje pritiska širi poprečno između čvornih zona. Za potrebe dimenzionisanja, češće se koriste prizmatični štapovi, zbog jednostavnosti. Dimenzije poprečnog preseka su određene naponskim uslovima na kontaktu pritisnutog štapa i čvorne zone. Flašasti oblik se razvija u zonama gde je polju pritiska slobodno poprečno širenje u masu elementa. Ovo poprečno širenje je praćeno naponima zatezanja upravno na pravac pružanja pritisnutog štapa, koji mogu da izazovu podužne prsline (Sl. 3/200). U cilju pojednostavljenja, flašasti oblik se zamenjuje oborenim krajevima (nagib 1:2) i uniformnim centralnim delom (Sl. 3/200). Sl. 3/198. Različiti tipovi pritisnutih štapova Sl. 3/199. Tipovi pritisnutih štapova Kapacitet nosivosti pritisnutog štapa je funkcija efektivne čvrstoće betona na pritisak, koja je određena poprečnim naprezanjima pritisnutog štapa. Zbog podužnog prskanja, flašasti pritisnuti štapovi su manje nosivosti od prizmatičnih, iako imaju veći presek u središnjem delu. Saglasno ovome, dimenzioniše se poprečna armatura sa ciljem kontrole podužnih prslina, korišćenjem S&T modela pritisnutog štapa prikazanog na Sl. 3/200. Sl. 3/200. Flašasti oblik pritisnutog štapa (bottle-shaped strut) 192

95 3. Linijski elementi Načelno, pritisnuti betonski štapovi u S&T modelu imaju funkciju ili pojasnih štapova rešetkastog nosača, kada su deo sprega sila kojim se prihvata momentno opterećenje, ili funkciju dijagonala kojima se prenosi smicanje do oslonaca. U ovom drugom slučaju, dijagonalni štapovi su orijentisani paralelno očekivanim pravcima prslina. Zatega (tie) je zategnuti element u strut-and-tie modelu. Sastoji se od armature i okolnog betona, koncentrično. Okolni beton definiše površinu preseka zatege i širinu regiona raspoloživu za njeno sidrenje. Za potrebe proračuna, konzervativno se zanemaruje doprinos betona u prijemu sila zatezanja (kompletno zatezanje se poverava armaturi). Sl. 3/201. Jedinstvena i podeljena čvorna zona Zategama se u S&T modelu predstavlja podužna armatura (funkcija pojasnog štapa), uzengije (poprečna armatura) ili bilo koja armatura druge namene (konstruktivna, na primer). Kritičnim će se pokazati adekvatno usidrenje zatega, budući da se u suprotnom može očekivati krti lom u zoni sidrenja, redovno pri opterećenjima manjim od projektovanog kapaciteta. Sl. 3/202. Klasifikacija čvorova Čvorovi (nodes) su tačke u strut-and-tie modelu u kojima se seku ose pritisnutih štapova, zatega i koncentrisanih opterećenja. Takođe, mogu se opisati i kao mesta u kojima sile menjaju svoj tok (pravac). Čvorna zona (nodal zone) je zapremina betona u okolini čvora unutar koje se odvija transfer sila. Može biti tretirana kao jedna celina ili podeljena na manje zone, kako je ilustrovano na Sl. 3/201. Da bi ravnoteža u čvoru bila moguća, najmanje tri sile se moraju susticati u čvoru. Zavisno od znakova sustičućih sila, čvorovi se klasifikuju na: CCC, CCT, CTT i TTT (Sl. 3/202). Ovde se podrazumeva da se u čvoru sustiču tri štapa, a C (compression) se odnosi na pritisnuti štap (strut), dok se T (tension) odnosi na zategnuti štap (tie). Tako se u čvoru mogu susticati tri pritisnuta štapa, dva pritisnuta i jedan zategnuti, jedan pritisnuti i dva zategnuta ili tri zategnuta štapa. Sl. 3/203. Ekvivalentno predstavljanje CCT čvora CCC čvorom Poglavlje 3 : strana 95 od

96 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Međutim, i sile pritiska i sile zatezanja izazivaju pritisak u čvornoj zoni, zato što se zatežuće sile tretiraju takvima da prolaze kroz čvornu zonu i sidre na udaljenijoj strani čvora unoseći pritisak u zonu čvora (Sl. 3/203). Tako, u ravni strut-and-tie modela, čvorne zone se smatraju izložene hidrostatičkom pritisku i (Sl. 3/204): dimenzije čvorne zone, wstrut, wsupport i us, su proporcionalne silama pritiska koje deluju na čvornu zonu. Dimenzija jedne stranice čvorne zone je redovno određena fizičkim uslovima, kao što su dimenzija oslonačkog stuba, ploče preko koje se nanosi opterećenje, oslonačke ploče ili slično. Dimenzije ostalih strana se, onda, određuju tako da očuvaju konstantan nivo napona unutar čvora. Sl. 3/204. Čvorna zona pod hidrostatičkim pritiskom Hidrostatičke čvorne zone podrazumevaju da su lica zone upravna na dejstvujuće sile, a da su dužine stranica proporcionalne silama, čime naponi na licima postaju jednaki, a ne realizuju se smičući naponi u čvoru (Sl. 3/204, τ=0). Međutim, praktično je nemoguće formirati složenije strut-and-tie modele korišćenjem samo hidrostatičkih čvorova (na primer, Sl. 3/205), pa se, tada, koriste ne-hidrostatički čvorovi (Sl. 3/206), kod kojih se pojavljuju smičući naponi. Prema Schlaich-u [56], odnos napona na susednim ivicama valja držati većim od 0.5. U protivnom, rezultati mogu biti nekonzervativni. Sl. 3/205. Nemogućnost primene hidrostatičke čvorne zone Sl. 3/206. Ne-hidrostatički čvor i Istina, pravi hidrostatički pritisak podrazumeva tri dimenzije, a ne dve kao u ovom slučaju. Zato termin treba shvatiti samo kao intuitivan. 194

97 3. Linijski elementi Dužina čvorne zone često nije dovoljna za adekvatno usidrenje armature. Zato se koristi proširena (extended) čvorna zona (Sl. 3/207, Sl. 3/206), određena presekom čvorne zone i odgovarajućeg pritisnutog štapa. Ova zona se može shvatiti kao deo zone preklopa pritisnutih štapova i zatega, koja nije uključena u primarnu čvornu zonu. Ovim se produžava zona u kojoj se sila iz zatege predaje betonu. Ili: ovim je određena raspoloživa dužina sidrenja zatega. Kako je pokazano desno, dužina sidrenja se može realizovati i van čvorne zone. Sl. 3/207. Proširena čvorna zona ALGORITAM STRUT-AND-TIE POSTUPKA Strut-and-tie modeli mogu biti korišćeni u različite svrhe, t.j. na nekoliko proračunskih nivoa. Tako, mogu biti korišćeni na nivou konceptualnog projektovanja obezbeđujući grubi uvid u ponašanje konstrukcije ili njenog dela. Dalje, mogu biti korišćeni za verifikaciju postojećeg rešenja, sa poznatom konfiguracijom armature. Konačno, najveći značaj postupka je u pružanju osnove za detaljni proračun i dimenzionisanje konstrukcije ili njenog dela. Primena postupka podrazumeva, okvirno, sprovođenje sledećeg algoritma: 1. Definisanje i izdvajanje D-regiona. 2. Određivanje rezultantnih sila na konturama izdvojenih regiona. 3. Izbor rešetkastog modela prenosa sila unutar izdvojenog regiona. 4. Usvajanje dimenzija čvornih zona i preseka štapova. 5. Provera kapaciteta nosivosti pritisnutih štapova, kako na krajevima, kod čvornih zona, tako i u središnjim delovima. 6. Projektovanje zatega i njihovog usidrenja. 7. Detalji i provere minimalnih zahteva. Sl. 3/208. Trajektorije napona u D- i B-regionima Ovako definisan algoritam nije u potpunosti jednosmeran, budući da postoji interakcija pojedinih koraka. Otud, do konačnog rešenja se dolazi kroz iterativni proces u kojem su neophodne korekcije prethodnih konfiguracija. Načelno, dimenzionisanje je određeno logičnim stavom da mora biti zadovoljeno da su granične sile koje deluju u pritisnutom štapu, zatezi, čvornoj zoni ili opterećenoj površi, najviše jednake njihovoj efektivnoj nosivosti (kapacitetu). Poglavlje 3 : strana 97 od

98 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Izdvajanje D-regiona U prvom koraku, dakle, identifikuju se D-regioni za kasnije izolovano razmatranje. Kao jedan od indikatora zona poremećaja mogu da se koriste trajektorije napona i/ili dilatacija. One su uglavnom glatke (bez naglih promena) unutar B-regiona, za razliku od turbulentnog toka koji imaju u D-regionima (Sl. 3/208). Takođe, intenziteti napona naglo opadaju s udaljavanjem od tačaka/zona poremećaja. Sl. 3/209. Podela greda na B- i D-regione Sl. 3/210. D-regioni okvirne konstrukcije Kako je rečeno, D-region se pruža na obe strane mesta diskontinuiteta (nagla promena geometrije, mesto delovanja koncentrisanog opterećenja ili oslonačke reakcije) u dužini jednakoj visini preseka (ili drugoj, većoj, dimenziji). U slučaju geometrijskog diskontinuiteta, njegova dužina pružanja ne mora biti jednaka na obe strane (Sl. 3/195, prvi primer). Još nekoliko karakterističnih primera dato je na narednim slikama (Sl. 3/209, Sl. 3/210). Sl. 3/211. Raspodeljeno opterećenje na zidnom nosaču: aplicirano opterećenje i rezultantne sile Kada je D-region definisan, određuju se intenziteti, položaji i pravci rezultujućih sila koje deluju po konturi regiona. Ove sile su ulaz (spoljašnje opterećenje) za strut-and-tie model, a, takođe, daju i smernice za formiranje rešetkastog zamenjujućeg nosača. Sl. 3/212. Momentno opterećenje ugaonog čvora okvira 196

99 3. Linijski elementi Kada je jedno lice D-regiona opterećeno konstantnim ili linearno promenljivim naponom, često se pokaže neophodnim podeliti konturu na segmente koji će odgovarati pojedinim pritisnutim štapovima ili zategama, te izračunati rezultujuće sile za svaki segment. Tako je raspodeljeno opterećenje zidnog nosača na Sl. 3/211 predstavljeno nizom koncentrisanih sila, dok je reaktivno raspodeljeno opterećenje predstavljeno koncentrisanim. Momentno opterećenje ugaonog čvora okvira je, na , predstavljeno spregom koncentrisanih sila Izbor rešetkastog modela Izbor rešetkastog modela koji reprezentuje D-region je najdelikatniji korak postupka, budući da nije jednoznačan i da je projektantska procena i veliko iskustvo i veština, važan faktor i. Kompletan rešetkasti model, u svojim spoljašnjim dimenzijama, mora biti unutar gabarita i- zolovanog D-regiona, a dispoziciono rešenje rešetke je ograničeno zahtevom da se pritisnuti štapovi mogu presecati samo u čvornim zonama (zatege mogu presecati pritisnute štapove). Načelno, efikasna rešenja su ona koja odgovaraju energetskom minimumu, odnosno: sile bi trebalo da prate putanje maksimalnih krutosti. Dalje, budući da su pritisnuti štapovi znatno veće krutosti od zatega, to je poželjan model u kojem je broj zatega sveden na minimum. Ovome valja dodati i praktičnu nemogućnost vođenja armature (zatega) pod proizvoljnim uglovima, kao ograničavajući faktor. Na primeru zidnog nosača (Sl. 3/213) analiziraju se tri alternativna rešetkasta modela (svaki od njih zadovoljava osnovne zahteve). Sl. 3/213. Alternativni rešetkasti modeli za zidni nosač Prvom skicom se daje poželjni model ovako opterećenog i oslonjenog nosača. Pritisnutim štapovima se opterećenje direktno prenosi čvornim zonama kod oslonaca, koje su povezane jednom zategom. Drugom skicom je prikazana alternativa kod koje se vertikalnim pritisnutim štapom opterećenje prenosi u čvornu zonu u dnu nosača, a prihvata se s dve dijagonalne zatege, koje su, dalje, oslonjene na vertikalne pritisnute štapove iznad oslonaca. Upoređujući model s prethodnim, broj tačaka prenosa opterećenja je veći, broj zatega je veći, fleksibilnost rešetke je veća. Sve ovo ukazuje na manju efikasnost modela (neefikasan tok sila). Poslednji model, ne samo što je nepotrebno komplikovan, nego sadrži i gornju zategu koja se aktivira sa velikim kašnjenjem u odnosu na donju, tek kada se realizuju velika tečenja. Slična analiza je data i za konzolni zidni nosač, te za tri alternativna rešetkasta modela (Sl. 3/214). Ovog puta, poželjan izbor je argumentovan analizom ponašanja rešetkastog nosača kroz zavisnost pomeranje-opterećenje. Teorijski, postoji jedinstveno optimalno (energetski minimum) rešenje za izbor rešetkastog nosača. Međutim, broj parametara koji moraju biti varirani u potrazi za minimumom je prevelik i, posebno položajno gledano, težak za kvantifikativno sistematizovanje. Praktično, svaki moi The S&T method is a design tool for thinking engineers, not a cookbook analysis procedure. [33] Poglavlje 3 : strana 99 od

100 Betonske konstrukcije u zgradarstvu del kojim se poštuje (bar približno) konstrukcijska krutost (naravno, i koji zadovoljava ravnotežne uslove) se može okvalifikovati zadovoljavajućim i upotrebljivim. Ovim, na projektantu je izbor logičnog modela koji efikasno koristi zatege i kojim se minimizira potencijal za razvoj prslina. Sl. 3/214. Alternativni rešetkasti modeli za konzolni zidni nosač Sl. 3/215. Trajektorije napona i S&T model Mogući postupci za formiranje odgovarajućih rešetkastih modela uključuju i usvajanje trajektorija i dijagrama napona određenih elastičnom analizom. Rešenja teorije elastičnosti mogu ukazati na zone maksimalnih naprezanja, ali i na pravce glavnih napona i tok sila (trajektorije). Rešetkasti modeli koji imaju pritisnute štapove u zonama i pravcima maksimalnog pritiska, a zatege u zonama i pravcima maksimalnog zatezanja, će, načelno, dati efikasne rešetkaste modele za S&T analizu. Ilustracija ovoga je data na Sl. 3/215. Sl. 3/216. Ravanski rešetkasti modeli Pogodnost koju donosi formiranje rešetkastog modela na osnovu rezultata elastične analize je i mogućnost korišćenja S&T postupka za probleme pri eksploatacionim opterećenjima. Na nekoliko slika, prikazani su rešetkasti modeli za nekoliko karakterističnih konstrukcija/dregiona, ravanski i prostorni (Sl. 3/216, Sl. 3/217). 198

101 3. Linijski elementi Sl. 3/217. Trodimenzionalni rešetkasti modeli Da bi se redukovale prsline (odnosno, da bi se sprečile velike plastične deformacije), ali i izbegle komplikacije vezane za nekompatibilnost deformisanja štapova, uglove između pritisnutih štapova i zatega treba držati većim od usvojene minimalne vrednosti. Tako se u [29] preporučuje (Sl. 3/218) usvojiti ugao θ1 oko 60⁰, ne manje od 45⁰, a za uglove θ2 i θ3 oko 45⁰, ne manje od 30⁰. Takođe, za skretanja koncentrisanog opterećenja (ugao α) se predlaže ugao od oko 30⁰, svakako manji od 45⁰. U većini vodećih svetskih propisa za projektovanje AB konstrukcija, ugao između pritisnutih štapova i zatega, u čvoru, se ograničava s donje strane na 25⁰ do 31⁰ (na primer u [2]). Sl. 3/218. Preporuke za usvajanje nagiba pritisnutih štapova Dimenzionisanje štapova i čvornih zona U narednom koraku postupka potrebno je odrediti dimenzije preseka štapova i čvornih zona. Zbog uslova da rešetkasti model svojim gabaritima (koji uključuju širine štapova) mora ostati unutar gabarita D-regiona koji reprezentuje, usvojene dimenzije mogu donekle promeniti geometriju rešetke. Načelno, širina štapova rešetke zavisi od intenziteta sile koja se njom prenosi, ali i od dimenzija susednih elemenata, s kojim se predmetni štap sučeljava u čvoru. Generalno, za elemente modela i za čvorne zone, dimenzionisanjem se obezbeđuje da sile u štapovima ili sile na licima čvorne zone, (Fu, u (3.85)), ne budu veće od kapaciteta nosivosti štapa ili čvorne zone. Tako, na primer, prema ACI 318 [2], mora da bude zadovoljeno: F u φ F,... (3.85) n gde je Fn nominalna nosivost (štapa ili čvorne zone), a φ je faktor redukcije nosivosti, kojim se dosledno (dakle, ne samo vezano za S&T postupak) obuhvataju nesigurnosti čvrstoće materijala, dimenzija, proračunskih modela... Za S&T modele propisana je njegova vrednost od Poglavlje 3 : strana 101 od

102 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Spoljašnji elementi fiksne geometrije, poput oslonačke ploče, dužine apliciranja opterećenja ili širine oslonačkog stuba, na primer, redovno predstavljaju polazište za određivanje dimenzija, definišući dimenzije čvornih zona. Rečeno je već da vrlo često neće biti moguće organizovati S&T model korišćenjem samo hidrostatičkih čvornih zona. Dimenzionisanje čvornih zona se zasniva na pretpostavci da su glavni naponi u sučeljenim štapovima paralelni osama tih štapova. Ukoliko dva ili više pritisnutih štapova idu ka istom licu čvorne zone, u analizi čvorne zone ove štapove treba zameniti ekvivalentnim, rezultantnim (Sl. 3/219), upravnim na lice čvora. Sl. 3/219. Ekvivalentni čvor Debljine (upravno na ravan modela) štapova i čvornih zona su, po pravilu, jednake međusobno i odgovaraju debljini AB elementa. Međutim, često je dimenzija oslonačke ploče ili opterećene površine u tom pravcu manja. Tada se može pokazati neophodnim da se smanji i debljina elemenata S&T modela, ili da se obezbedi dodatna armatura, upravna na ravan elementa, kojom se ovaj, u zoni čvora, obezbeđuje od cepanja betona. U tom slučaju, S&T model se može koristiti za određivanje potrebe za tom armaturom (slično kao kod pritisnutih štapova flašastog oblika). Osim pristupa u kojem se dimenzije preseka štapova usvajaju u funkciji maksimalnih napona, mogući su i alternativni pristupi. Tako se neretko (kada postoji raspoloživ prostor za to) koristi onaj koji pritisnute štapove drži znatno širim od minimalnih zahteva, akcentujući u proračunu dimenzionisanje zatega. Kapacitet nosivosti pritisnutog štapa (kapacitet pritisnutog štapa) je, uopšteno, određen presekom samog štapa i nosivošću čvorne zone. Ukoliko pritisnuti štap nema dovoljan kapacitet nošenja, neophodno je, ili povećati njegovu širinu (samim tim i dimenzije čvorne zone, te, posledično, i dimenzije oslonačke ploče, širine stuba...), ili povećati nosivost štapa podužnom armaturom. Prema Evrokodu 2 [22], nosivost (maksimalni napon pritiska, σrd,max) pritisnutog betonskog štapa, u situacijama kada je izložen poprečnom pritisku ili nije izložen nikakvom poprečnom naprezanju (Sl. 3/220a), odgovara proračunskoj čvrstoći betona pri pritisku: σ =.... (3.86) Rd,max f cd Sl. 3/220. Pritisnuti štapovi bez i sa poprečnim zatezanjem 200

103 3. Linijski elementi Ukoliko je, pak, štap u poprečnom pravcu zategnut, nosivost se redukuje: σ = ν f, ν = 1 / 250MPa....(3.87) Rd,max 0.6 cd f ck Sa fck se obeležava karakteristična čvrstoća betona na pritisak pri starosti od 28 dana. Poprečna armatura pritisnutih štapova flašastog oblika se određuje iz zatežuće sile, T, koja se razlikuje za slučajeve parcijalnog diskontinuiteta (T1) i punog diskontinuiteta (T2) prikazane na Sl. 3/221: 1 b a 1 a T1 = F, T2 = F 4 b 4 h.... (3.88) Sl. 3/221. Parcijalni i puni diskontinuitet Prema ACI 318 [2], [35], nominalna nosivost pritisnutog štapa je određena površinom preseka pritisnutog štapa (na njegovom kraju, ako je reč o flašastom oblik) i efektivnom čvrstoćom fcu, kao manjom od dve čvrstoće: efektivne pritisne čvrstoće pritisnutog štapa, fcu,s i efektivne pritisne čvrstoće čvorne zone, fcu,n (3.96): Fns fcu Ac =, fcu min { fcu, s, fcu, n} =.... (3.89) Efektivna čvrstoća pritisnutog štapa, fcu,s, određuje se na bazi pritisne čvrstoće betona, fc : f, = β 0.85 f i.... (3.90) cu s s c Faktor βs treba uzeti jednakim 1.0 za prizmatične oblike pritisnutih štapova. Za pritisnute štapove flašastog oblika, vrednost ovog faktora je, ili 0.75, za slučajeve kada je obezbeđena dovoljna količina poprečne armature, ili 0.60 λ (λ=1.0 za normalne betone, a 0.75 ili 0.85 za lakoagregatne), za situacije kada to nije slučaj. Za pritisnute štapove u zategnutim elementima usvaja se βs = 0.40, a u svim ostalim slučajevima (Sl. 3/222) βs=0.60. Sl. 3/222. Prsline paralelne pritisnutim štapovima i prsline koje seku pritisnute štapove i Faktor (0.85 fc ) predstavlja efektivnu pritisnu čvrstoću betona pod dugotrajnim pritiskom. Odgovara naponu pritiska u situacijama kad se koristi pravougaoni blok pritiska umesto, na primer, parabola + prava oblika. Poglavlje 3 : strana 103 od

104 Betonske konstrukcije u zgradarstvu Dovoljna količina poprečne armature (iz prethodnog pasusa) je ona kojom se mogu prihvatiti poprečna zatezanja nastala kao posledica poprečnog širenja polja pritisnih napona (Sl. 3/200). Ovu potrebu za armaturom može pokriti bilo koja armatura koja preseca pritisnuti štap pod nekim uglom, kakve su As1 i As2 na Sl. 3/223. Proračunska potreba za poprečnom armaturom se može odrediti korišćenjem lokalnog S&T modela prikazanog na Sl. 3/200 (poput Sl. 3/221), uz korišćenje nagiba 2:1. Sl. 3/223. Armatura koja preseca pritisnuti štap poprečna armatura Dodatni zahtev se postavlja preko minimalne količine/procenta poprečne armature (Sl. 3/223): A b s A sin γ + sin γ 0.3% s1 s b s2... (3.91) Načelno, ovih serija šipki može biti i više od dve. Međutim, ukoliko postoji samo jedna serija, ugao koji pravac serije zaklapa s osom pritisnutog štapa ne sme biti manji od 40⁰. Pritisna nosivost pritisnutog štapa (u smislu sile koju može da prenese) može biti povećana dodavanjem pritisnute podužne armature, paralelne osi štapa, pravilno usidrene i obuhvaćene uzengijama (poput centrično pritisnutih stubova). Nosivost pritisnutog štapa je, tada, zbir nosivosti betona i čelika (proizvod napona u pritisnutom čeliku /može se koristiti napon na granici razvlačenja, fy/ i njegove površine): F = f A + A f....(3.92) ns cu c s s Da bi se kontrolisala isprskalost unutar D-regiona, zatege se projektuju tako da pri eksploatacionim opterećenjima naponi u armaturi ostanu ispod granice tečenja. Geometrija zatege mora biti izabrana na način da armatura ostaje unutar geometrije D-regiona. Nominalna nosivost zatege, za AB elemente (bez prednaprezanja), je prost proizvod površine podužne armature zatege i napona na granici razvlačenja: Fnt = Ats f y.... (3.93) Težišna osa podužne armature i osa zatege treba da se poklapaju. Širina zategnutog štapa, wt, može da varira između sledećih krajnjih vrednosti: Minimalna širina odgovara samo jednom redu armature zatege i jednaka je zbiru prečnika te armature i dvostrukog zaštitnog sloja betona do ivice armature zatege. Maksimalna širina je ona koja odgovara iscrpljenju efektivne čvrstoće čvorne zone (3.96): w = F / f.... (3.94) t,max nt cu, n Sidrenje zatega se realizuje unutar čvorne i proširene čvorne zone, kao i produžetkom armature preko suprotnog kraja čvora (Sl. 3/207), ukoliko postoji prostor za to. Sidrenjem armature treba da se obezbedi puno usidrenje pre mesta gde šipka (rezultantna šipka) napusti proširenu 202

105 3. Linijski elementi čvornu zonu. Na Sl. 3/224a prikazana je proširena čvorna zona CCT čvora s ekscentričnim pritisnutim štapom, obeležen presek od kojeg počinje sidrenje armature, a puna dužina sidrenja, la, je ostvarena prepuštanjem šipki u prostor iza čvora. Oblik proširene čvorne zone je funkcija ugla, θ, pod kojim pritisnuti štap ulazi u čvornu zonu, širine oslonačke ploče, lb, i širine zatege, wt. Na Sl. 3/224b, prikazana je proširena čvorna zona i sidrenje armature jednog CTT čvora. Ukoliko ne postoji razvoja dužine sidrenja pravim produžetkom šipke, potrebno je usidriti armaturu na neki od alternativnih načina (čeone ploče, na primer). Sl. 3/224. Sidrenje zatega Sl. 3/225. Ne-hidrostatički čvor i podeljena čvorna zona Nominalna pritisna nosivost čvorne zone je funkcija efektivne čvrstoće čvorne zone, fcu,n: F = f A.... (3.95) nn cu, n n Pritom, površina An je: ili površina lica čvorne zone na koje sila deluje, uzeto upravno na pravac sile. Kod hidrostatičkog čvora osa štapa je svakako upravna na lice čvorne zone. Kod nehidrostatičkog čvora (Sl. 3/206, Sl. 3/225a), na licu čvorne zone, koja nije upravna na osu štapa, uz normalne, deluju i smičući naponi. Uobičajeno se ovi naponi menjaju normalnim (glavnim) koji deluju na površini koja odgovara preseku štapa i upravna je na osu štapa. U pojedinim slučajevima naponi moraju biti provereni i u presecima kroz podeljene čvorne zone (Sl. 3/225b). Opet se analizira sila upravna na presek (pravac AB na slici). Za određivanje efektivne pritisne čvrstoće čvorne zone može se, prema ACI 318, koristiti: f, = β 0.85 f.... (3.96) cu n n c Ovde faktor βn reflektuje rastući stepen poremećaja čvorne zone usled inkompatibilnosti dilatacija zatezanja u zategama i dilatacija pritiska u pritisnutim štapovima, sa porastom broja Poglavlje 3 : strana 105 od