Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση στο [, ] να είναι συνεχής Η συνάρτηση στο, να είναι παραγωγίσιμη Όταν μας ζητούν να εφαρμόσουμε το ΘΜΤ σε μια συνάρτηση στο διάστημα [, ] ουσιαστικά μας ζητούν να βρούμε (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) Για να βρούμε το ξ πρέπει: a Να βρούμε την παράγωγο της ( ) ( a) Να λύσουμε την εξίσωση '( ) a Tα ξ που βρήκαμε να ανήκουν στο διάστημα, 3 Aν η είναι πολύκλαδη τότε: Για να εξετάσουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα σημεία αλλαγής του τύπου της χρησιμοποιούμε τους αντίστοιχους ορισμούς ( ) ( a) Την εξίσωση '( ) a την λύνουμε ξεχωριστά για κάθε κλάδο της παραγώγου 65
Τρόπος αντιμετώπισης: 4 Αν μας ζητήσουν να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της όπου η εφαπτομένη της είναι παράλληλη προς μια ευθεία μας ζητούν μας ζητούν να εφαρμόσουμε το ΘΜΤ (αυτή η εκφώνηση αποτελεί την γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος) 7 Δίνεται η συνάρτηση,, α) Να αποδειχθεί ότι εφαρμόζεται το θεώρημα της μέσης τιμής στο διάστημα, για τη συνάρτηση β) Να βρεθεί το σημείο Μ της γραφικής παράστασης της όπου η εφαπτομένη της είναι παράλληλη προς την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία, ΛΥΣΗ και,4 α) Για η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με ' Για ' η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με Στο σημείο έχουμε: lim lim lim lim lim, άρα η είναι παραγωγίσιμη και στο με Οπότε, <, =, > και ' Τελικά, η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο,, οπότε εφαρμόζεται το ΘΜΤ για την συνάρτηση β) Επειδή και 4 τα σημεία, υπάρχει, ώστε η εφαπτομένη της στο σημείο προς την ευθεία ανήκουν στην, και λόγω του ΘΜΤ, να είναι παράλληλη 66
Δηλαδή λόγω ΘΜΤ υπάρχει, : ' 3 3 3 4 3 5 ζητούμενο σημείο είναι το, 4 6 3 3 έχουμε ' άρα άτοπο 3 3 ' άρα άτοπο ' 4 3 Αν, έχουμε ' άρα, και αφού Αν, Αν 5 6, το Κατηγορία η Εύρεση ξ ώστε να ισχύει μια σχέση Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν θέλουμε να βρούμε ένα ξ ώστε να ισχύει η σχέση ' και γνωρίζουμε την συνάρτηση Εξετάζουμε εάν ισχύουν οι απαιτούμενες συνθήκες του ΘΜΤ και το εφαρμόζουμε στο κατάλληλο διάστημα Όταν μας ζητούν να βρούμε εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει εφαπτομένη παράλληλη σε μια ευθεία (ε) πρέπει να βρούμε (, ) τέτοιο ώστε ( ) 7 Έστω η συνάρτηση, με: e α) Υπάρχει, τέτοιο, ώστε: ' e β) Υπάρχει, τέτοιο, ώστε: e ΛΥΣΗ Να αποδείξετε ότι: α) Για τη ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, αφού: είναι συνεχής στο, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων 67
είναι παραγωγίσιμη στο, με ' e άρα υπάρχει, τέτοιο, ώστε: ' e e e e β) Για τη ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, αφού: είναι συνεχής στο, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο, με ' e e e e τέτοιο, ώστε: ' e άρα υπάρχει, ' e e e e Οπότε: 73 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 3 4 3, όπου,,, με Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε η εφαπτόμενη ευθεία της γραφικής παράστασης της στο σημείο, να σχηματίζει γωνία με τον άξονα τον 3 ΛΥΣΗ Γνωρίζουμε ότι άρα αρκεί να δείξουμε ' ' ' 3 3 Για τη ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, αφού: είναι συνεχής στο, ως πολυωνυμική είναι παραγωγίσιμη στο, με ' 3 Άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε ' 8 4 ' ' 4 ' 3 3, 3 3 Όμως άρα άρα - και αφού έχουμε κ = 3 3 3 Οπότε 3 68
Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν θέλουμε να βρούμε ένα ξ ώστε να ισχύει μια σχέση που περιέχει τον όρο ' και δεν γνωρίζουμε την συνάρτηση oς τρόπος Φέρνουμε την σχέση στην μορφή ' g Θέτουμε όπου ξ το και θεωρούμε συνάρτηση g Εξετάζουμε εαν ισχύουν οι απαιτούμενες συνθήκες του ΘΜΤ για την συνάρτηση g και το εφαρμόζουμε στο κατάλληλο διάστημα 74 Έστω συνεχής στο, δείξτε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε παραγωγίσιμη στο ', με, ΛΥΣΗ Θέτουμε όπου ξ οπότε έχουμε ' και θεωρούμε την συνάρτηση Για τη ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, αφού: είναι συνεχής στο, είναι παραγωγίσιμη στο, Άρα, υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: ' Τρόπος αντιμετώπισης: oς τρόπος Θέτουμε στην θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση g Βρίσκουμε μια συνάρτηση G (αρχική) που η παράγωγος της να ισούται με την συνάρτηση g Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την G 69
Τρόπος αντιμετώπισης: 3 oς τρόπος Θέτουμε στην θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση g Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την g oς τρόπος για την άσκηση 74 Θέτουμε όπου ξ οπότε έχουμε ' και θεωρούμε την συνάρτηση g Για τη g ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού: είναι συνεχής στο, ως άθροισμα συνεχών είναι παραγωγίσιμη στο, με g ga a, g Οπότε ga g Άρα, υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: Παρατήρηση g ' άρα Ο 3 oς τρόπος δεν μπορεί εφαρμοσθεί σε αυτή την άσκηση αφού δεν ξέρουμε αν η είναι συνεχής (άρα και η g) οπότε δεν ισχύει το θεώρημα Bolzano 75 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, με για κάθε και e, όπου Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε ' ΛΥΣΗ ' ' ln ' Οπότε η συνάρτηση την οποία πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η g ln Για τη g ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, αφού: 7
είναι συνεχής στο, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο, με ' g' άρα από το υπάρχει, ln ln g ' τέτοιο ώστε e g' ln g' ln ln e g' g' Επομένως ' ' oς τρόπος Θεωρούμε την συνάρτηση h με τύπο h e Η h στο, είναι συνεχής ως γινόμενο συνεχών Η h στο, είναι παραγωγίσιμη με h' e e ' e ' h e e e e e h Επομένως η h ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστο, τέτοιο ώστε h' e ' ' 76 Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο,, παραγωγίσιμη στο, και, για κάθε, Να δείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε ' ln ΛΥΣΗ Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: ' ln ln ln ln ' ln ln ' 7
Θεωρούμε τη συνάρτηση g ln,, Για τη g ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, αφού: είναι συνεχής στο, ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο, με g' Άρα, υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, g g g ' ή ' τέτοιο, ώστε: ' ln ln Σημείωση: Ουσιαστικά τις ασκήσεις αυτής της κατηγορίας τις έχουμε δουλέψει ξανά (κεφάλαιο 6 κατηγορία ) Απλώς τώρα δείχνουμε ότι μπορεί να λυθούν και με χρήση του ΘΜΤ Αυτό βέβαια έπρεπε να το περιμένουμε αφού το θεώρημα Rolle είναι μια υποπερίπτωση του θεωρήματος μέσης τιμής Ο ποιο συνηθισμένος (και πολλές φορές ευκολότερος) τρόπος αντιμετώπισης αυτών των ασκήσεων είναι με την βοήθεια του θεωρήματος Rolle Κατηγορία 3 η Εύρεση ξ, ξ,, ξ ν ώστε να ισχύει μια σχέση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι υπάρχουν,,,, σχέση που περιέχει τους όρους ', ',, ' τέτοια ώστε να ισχύει μια τότε Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε τόσα υποδιαστήματα όσα και τα ξ (τα διαστήματα δεν είναι πάντα ίσου πλάτους) Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής για την σε καθένα από τα υποδιαστήματα οπότε βρίσκουμε τα ', ',, ' 7
Τρόπος αντιμετώπισης: Αντικαθιστούμε τα ', ',, ' στην ζητούμενη σχέση Βέβαιο το πιο σημαντικό είναι να μπορέσουμε να βρούμε τα υποδιαστήματα που θα εφαρμόσουμε το ΘΜΤ Η μεθοδολογία εύρεσης την διαστημάτων δεν είναι συγκεκριμένη αλλά εξαρτάται από την μορφή της άσκησης Παρακάτω αναγράφου τις πιο σημαντικές περιπτώσεις Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Μπορούμε από τα δεδομένα ή τα προηγούμενα ερωτήματα,, της άσκησης να βρούμε κάποια Τρόπος αντιμετώπισης: Με την βοήθεια κυρίως των θεωρημάτων Βolzano και Rolle (χωρίς να αποκλείονται φυσικά και οι άλλοι τρόποι εύρεσης ριζών) βρίσκουμε κάποια,, Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής συνήθως στα διαστήματα [α, ], [, ],, [ ν-, β] οπότε βρίσκουμε τα αντίστοιχα ', ',, ' τα οποία τα αντικαθιστούμε στην αρχική σχέση 77 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :, α) Να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε β) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τέτοια, ώστε ' ' ΛΥΣΗ με και, να δείξετε ότι υπάρχουν,, α) Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση τουλάχιστον, ρίζα στο, Θεωρούμε τη συνάρτηση g,, έχει μια, 73
Για την g ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο,, αφού είναι συνεχής στο, g, g ισχύει g g αφού g έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα Άρα η εξίσωση, β) Για την ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στα, και, ερωτήματος, αφού είναι συνεχής στα, είναι παραγωγίσιμη στα και,, και, Άρα υπάρχουν, και, ' ' τέτοια, ώστε ' ' Οπότε 78 Έστω συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο διάστημα Να αποδείξετε ότι:, 4 β) Αν 5 να είναι κάθετες μεταξύ τους α) Υπάρχει, τέτοιο, ώστε ΛΥΣΗ και, τότε υπάρχουν,, α) Θέτουμε όπου το και έχουμε Θεωρούμε τη συνάρτηση h, όπου το του (α),, τέτοια, ώστε:, ώστε οι εφαπτόμενες της στα,, 74
Για την h ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο,a, αφού είναι συνεχής στο,a ως παραγωγίσιμη, h 3 και h Άρα hh Επομένως υπάρχει, ώστε h και συνεπώς, β) Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχουν,,, ώστε Για την ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στα ερωτήματος, αφού είναι συνεχής στα, και, είναι παραγωγίσιμη στα, και, Άρα υπάρχουν,,, τέτοιοι, ώστε: 4 ' 5 4 3 5 4 ' 5 3 4 5 Οπότε είναι:, ' ' και, όπου το του (α) ' ' και συνεπώς οι εφαπτόμενες ευθείες της στο και αντίστοιχα, είναι κάθετες μεταξύ τους 79 Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα, στο, με Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, ' ' ΛΥΣΗ Για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο,, αφού είναι συνεχής στο,, a, παραγωγίσιμη τέτοια ώστε: 75
Για την ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στα ερωτήματος, αφού είναι συνεχής στα, και, είναι παραγωγίσιμη στα, και, Άρα υπάρχουν, και, ' ' τέτοια ώστε:, και, όπου το του (α), Οπότε: ' ' (αφού και ) Τρόπος αντιμετώπισης: Στις ασκήσεις που λύσαμε μέχρι τώρα τα διαστήματα στα οποία εφαρμόζαμε το ΘΜΤ δεν είχαν κοινά σημεία μεταξύ τους Άρα και τα,, βρίσκαμε ήταν μεταξύ τους διαφορετικά,, που Όμως υπάρχουν ασκήσεις όπου μας ζητούν να βρούμε,,,, που δεν είναι όλα διαφορετικά Επίσης τα στοιχεία που δίνονται από την άσκηση μας επιτρέπουν να βρούμε ένα λιγότερο διάστημα από αυτά που χρειαζόμαστε Σε αυτές τις ασκήσεις συνήθως ένα από τα ξ τα βρίσκουμε με εφαρμογή του ΘΜΤ στο διάστημα, 7 Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο, Να αποδειχθεί ότι: α) υπάρχει τέτοιο, ώστε 4 3, β) υπάρχουν,,, και παραγωγίσιμη στο,, με, με τέτοια, ώστε: ΛΥΣΗ 76 3 4 ' ' '
α) Θεωρούμε τη συνάρτηση g 4 3 Για την g ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο,, αφού Η g είναι συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών g g 4 3 Είναι επομένως: gg διότι 4 3 3 3 3 Άρα, υπάρχει, τέτοιο, ώστε: g 4 3 4 3 β) Η άσκηση μας υποχρεώνει Οπότε πρέπει να εφαρμόσουμε για τα, το ΘΜΤ σε διαστήματα που δεν έχουν κοινό σημείο μεταξύ τους Όμως για το ξ δεν έχουμε περιορισμό να είναι διάφορο των, Επίσης με την βοήθεια του πρώτου ερωτήματος και των δεδομένων της άσκησης μπορούμε να βρούμε δύο διαστήματα,,, ενώ χρειαζόμαστε τρία Οπότε το ξ το θα βρεθεί με εφαρμογή του ΘΜΤ στο διάστημα, Στα διαστήματα,,,,, ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ Υπάρχουν επομένως,,, και, ', ', ' Από τις πρώτες δύο σχέσεις παίρνουμε: 3 ' ' 3 3 3 4 4 3 3 τέτοια, ώστε: 4 4 4 77
4 4 4 Σημείωση ' Επειδή θα είναι και ', ', 3 3 ' 4 4 και όμοια: ' 4 ', αφού Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Η άσκηση μας δίνει τα διαστήματα Τρόπος αντιμετώπισης: Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα που μας δίνει η άσκηση Αν έχουμε ένα διάστημα λιγότερο από όσα θέλουμε βρίσκουμε ένα από τα ξ με εφαρμογή του ΘΜΤ συνήθως στο διάστημα, 7 Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα,4 Να αποδειχθεί ότι:,4 και παραγωγίσιμη στο α) για την ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήματα,3 και β) υπάρχουν,,,4 τέτοια, ώστε: ' ' ' ΛΥΣΗ με α) Η συνάρτηση είναι συνεχής στα,3, 3, 4, ως συνεχής στο στα,3, 3, 4 ως παραγωγίσιμη στο στα,3, 3, 4 3,4,, 4 και παραγωγίσιμη, 4 Επομένως εφαρμόζεται το ΘΜΤ για την β) Σύμφωνα με το ΘΜΤ για την στα,3, 3, 4,, 4 υπάρχουν,3,, 4 τέτοια, ώστε: 3, 4 και 78
' 3 3, ' 4 3 4 3, ' 4 4 Άρα με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε: 4 ' ' 3 4 3 4 ' 4 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Να γνωρίζουμε κάποιες τιμές της στο διάστημα, Τρόπος αντιμετώπισης: Αν γνωρίζουμε κάποιες τιμές της στο διάστημα,, τότε για παράδειγμα τα Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα [α,γ], [γ,δ], [δ,β] Αντικαθιστούμε τα ', ',, ' σχέση που βρήκαμε στην αρχική 7 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει, 4 4 6 7 3, με Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, και,,,7, διαφορετικά ανά δύο, ώστε 3 ' ' ' 3 ΛΥΣΗ Πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα, 7 σε 3 υποδιαστήματα και να εφαρμόσουμε το ΘΜΤ σε καθένα από αυτά,, 4 6 και,,, 4 και 4,7 Αφού γνωρίζουμε ότι 4 χωρίσουμε το, 7 στα εξής υποδιαστήματα: 7 3, είναι λογικό να Η είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα,,, 4 και 4,7, αφού είναι παραγωγίσιμη στο Επίσης η είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα,,, 4 και 4,7 εφαρμόζεται το ΘΜΤ, σύμφωνα με το οποίο: 79
υπάρχει, τέτοιο, ώστε: υπάρχει, 4 τέτοιο, ώστε: ' υπάρχει 3 4,7 τέτοιο, ώστε: 3 Για τα παραπάνω,, 3,7 4 ' 4 6 4 4 7 4 3 6 9 ' 3 7 4 3 3, που είναι διαφορετικά ανά δύο, ισχύει ότι: ' ' ' 3 3 4 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Η σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε είναι της μορφής ' ' ' και δεν έχουμε στοιχεία για να βρούμε τα διαστήματα Τρόπος αντιμετώπισης: Χωρίζουμε το διάστημα, σε ν διαστήματα (όσα και τα ξ) ίσου πλάτους Το πλάτος θα είναι ίσο με Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα παραπάνω διαστήματα Αντικαθιστούμε τα ', ',, ' σχέση που βρήκαμε στην αρχική 73 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει 3 και Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, τέτοια, ώστε ' ' 4 ΛΥΣΗ Πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα, σε διαστήματα ίσου πλάτους, τα οποία είναι:, και, 8
Η είναι συνεχής σε καθένα από τα, και, και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα, και,, αφού η είναι παραγωγίσιμη στο, Επομένως σε καθένα από τα διαστήματα, και, εφαρμόζεται για την το ΘΜΤ, σύμφωνα με το οποίο: υπάρχει ένα τουλάχιστον:, τέτοιο, ώστε: ' υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε: ' Για τα παραπάνω,, ισχύει ότι: ' ' Χωρισμός του, σε ίσα διαστήματα Κάθε υποδιάστημα έχει πλάτος άρα,,, Χωρισμός του, σε 3 ίσα διαστήματα Κάθε υποδιάστημα έχει πλάτος άρα 3, 3, 3, 3 3 3, 3 3, 3 8
3 3 4 4 5 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Η σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε είναι της μορφής ' ' ' με,,, φυσικοί αριθμοί και δεν έχουμε στοιχεία για να βρούμε τα διαστήματα Τρόπος αντιμετώπισης: Χωρίζουμε το διάστημα, σε ν διαστήματα (όσα και τα ξ) ως εξής: Βρίσκουμε το πλάτος του διαστήματος, που είναι c = β α Θεωρούμε τα υποδιαστήματα [α, ], [, ],, [ ν-, β] με αντίστοιχα πλάτη c c, c c,, c c όπου Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα παραπάνω διαστήματα Αντικαθιστούμε τα ', ',, ' σχέση που βρήκαμε στην αρχική 74 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : 5 3 8 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, 3 3,5 ώστε ' ' 3 ' 4 3 για την οποία ισχύει ότι, διαφορετικά ανά δύο, ΛΥΣΗ Το πλάτος του διαστήματος 3,5 είναι c β-α 5 3 Επίσης είναι: άρα 3 6 Θα χωρίσουμε το διάστημα 3,5 σε τρία υποδιαστήματα με πλάτη: c c 6 c c 4 6 3 3 c3 c 6 6 8
Θεωρούμε δηλαδή τα διαστήματα: Η είναι συνεχής στο 3,5, 5,9, 9,5 3,5 και παραγωγίσιμη στο 3,5, αφού είναι παραγωγίσιμη στο Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει 3,5, ώστε: ' 5 3 5 3 5 3 Ομοίως υπάρχουν 5,9 και 3 9,5, ώστε: 9 5 9 5 ' και ' 9 5 4 5 9 5 9 5 9 6 Ισχύει ότι: ' ' 3 ' 5 3 9 5 5 9 3 3 4 6 5 3 9 5 5 9 5 3 8 4 Κατηγορία 4 η Εύρεση ξ σε ασκήσεις που περιέχουν τον όρο Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν θέλουμε να βρούμε ένα, ώστε να ισχύει η σχέση τότε: Με την βοήθεια των δεδομένων ή των προηγούμενων ερωτημάτων χωρίζουμε το διάστημα [α, β] σε δύο υποδιαστήματα που δεν έχουν κοινά σημεία μεταξύ τους Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση σε κάθε υποδιάστημα το ΘΜΤ ή το θrolle και βρίσκουμε δύο, Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το θrolle στο διάστημα, 83
Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν θέλουμε να βρούμε ένα, ώστε να ισχύει η σχέση 3 τότε: Με την βοήθεια των δεδομένων ή των προηγούμενων ερωτημάτων χωρίζουμε το διάστημα [α, β] σε τρία υποδιαστήματα που δεν έχουν κοινά σημεία μεταξύ τους Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση σε κάθε υποδιάστημα το ΘΜΤ ή το θrolle ή το θbolzano και βρίσκουμε τρία,, 3 Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το ΘΜΤ ή το θrolle στα διαστήματα,,, 3 και βρίσκουμε δύο 4, 5 Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το θrolle στο διάστημα, 4 5 75 Δίνεται συνάρτηση :, 3 και υπάρχει ένα τουλάχιστον, 3, ώστε δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει 3 3 4, με, Να αποδείξετε ότι '' ΛΥΣΗ Η είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει,, ώστε: ' 3 Η είναι συνεχής στο,3 και παραγωγίσιμη στο Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει,3, ώστε: 3 ' 3 4 3 Η ' είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη στο 3 και παραγωγίσιμη στο,,,, αφού είναι παραγωγίσιμη στο,3, αφού είναι παραγωγίσιμη στο, αφού η είναι δύο φορές 84
Επίσης ισχύει: ' ' Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει,,3, ώστε: '' 76 Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο Αν στη γραφική παράσταση της υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε '' ΛΥΣΗ Αν,,, και, τα τρία σημεία με Τότε αφού είναι συνευθειακά ισχύει () Η είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, το ΘΜΤ υπάρχει, ', αφού είναι παραγωγίσιμη στο Σύμφωνα με, ώστε: Η είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, το ΘΜΤ υπάρχει, ' Η, αφού είναι παραγωγίσιμη στο Σύμφωνα με, ώστε: ' είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο,,, αφού η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο Επίσης ισχύει από () ότι ' ', Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει, ώστε: '' Υπενθύμιση Όταν γνωρίζουμε δύο σημεία A (, y) και B (, y ), με μιας ευθείας τότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι: y y λ Όταν γνωρίζουμε την γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία με τον τότε λ = εφω με ω Αν ε και ε δύο ευθείες με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ τότε ισχύουν: ε // ε λ = λ και 85
Τρόπος αντιμετώπισης: 3 Όταν θέλουμε να βρούμε ένα, ώστε να ισχύει η σχέση ή με τότε: ή Με την βοήθεια των δεδομένων ή των προηγούμενων ερωτημάτων χωρίζουμε το διάστημα [α, β] σε δύο υποδιαστήματα που δεν έχουν κοινά σημεία μεταξύ τους Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση σε κάθε υποδιάστημα το ΘΜΤ ή το θrolle και βρίσκουμε δύο, Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το ΘΜΤ στο διάστημα, την περίπτωση για την ) (για μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το θrolle 4 Όταν θέλουμε να βρούμε ένα, ώστε να ισχύει μια σχέση που περιέχει αλλά δεν είναι μια από τις προηγούμενες μορφές χρησιμοποιούμε θrolle (κοίτα άσκηση 64) 77 Δίνεται η συνάρτηση: Να αποδείξετε ότι:,, α) Υπάρχουν τέτοιοι, ώστε: β) Υπάρχει τέτοιο, ώστε: '', ' ' ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση είναι συνεχής στα διαστήματα,,,,,, αφού η είναι παραγωγίσιμη στο και παραγωγίσιμη στα Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής υπάρχουν, και, ώστε: 86
' 4 και ' ' ' Οπότε: β) Έχουμε ' 4, Για την ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα είναι συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο, Άρα,, τέτοιο, ώστε: '',αφού ' ' Αφού ' και ' 78 Έστω συνεχής συνάρτηση στο, με Αν για κάποιο, είναι α) υπάρχουν,, τέτοια, ώστε ' ', β) υπάρχει, τέτοιο, ώστε '' ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση είναι συνεχής στα διαστήματα,, και δύο φορές παραγωγίσιμη στο,, να αποδειχθεί ότι:,, και παραγωγίσιμη στα,, Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής υπάρχουν, και, ', ' διότι, και β) Η συνάρτηση ' είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη στο, ' ' Επομένως τέτοια, ώστε: (ως παραγωγίσιμη στο,, Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει,, άρα και, τέτοιο, ώστε: ) και 87
' ' διότι, και '' Κατηγορία 5 η Ανισώσεις και ΘΜΤ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Μας δίνουν για ανισοτική σχέση για την ',, και μας ζητούν μια ανισοτική σχέση για το,, Τρόπος αντιμετώπισης: Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στο διάστημα, ή, ανάλογα με τα δεδομένα της άσκησης Χρησιμοποιούμε την ανισοτική σχέση για την ' 79 Δίνονται οι συναρτήσεις :,, g :, πεδίο ορισμού τους επίσης ισχύουν ότι: ', οι οποίες είναι συνεχείς στο για κάθε, 8 g' 9, για κάθε, g Δείξτε ότι: 7 g 9 ΛΥΣΗ Εφαρμόζουμε ΘΜΤ για την στο, και για την g στο, Άρα υπάρχουν:, : ',, : g' g g () οπότε ' g' g ' Όμως g Και λόγω της (): g g 7 ' ' 9 8 ' 9 7 9 88 και
7 Έστω συνεχής συνάρτηση στο, 3 με και, 3 Να αποδειχθεί ότι 3 8 ΛΥΣΗ Ισχύει ότι Άρα αρκεί να δείξουμε ότι 6 3 3 8 3 86 3 Η είναι συνεχής στο, 3 και παραγωγίσιμη στο, 3 Σύμφωνα λοιπόν με το ΘΜΤ υπάρχει, 3 τέτοιο, ώστε: 3 3 ' () 3 Όμως ',4 και έτσι: 3 ' 4 44 38 6 3 ' 4 για κάθε Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Απόδειξη ανισοτήτων μιας μεταβλητής Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ανισότητες μιας μεταβλητής έχουμε τους παρακάτω τρόπους Με χρήση μονοτονίας (ο πιο συχνός) Με την βοήθεια των ακροτάτων ΘΜΕΤ ΘΜΤ Με την κυρτότητα Ιδιότητες ολοκληρωμάτων Με βοήθεια ταυτοτήτων Με την τριγωνική ανισότητα Με συνδυασμό των παραπάνω Φυσικά όλες οι ανισότητες δεν μπορούν να κατηγοριοποιηθούν Ο συνηθέστερος τρόπος απόδειξης είναι η μονοτονία που θα δούμε και σε επόμενο κεφάλαιο Όμως εμείς τώρα θα εξετάσουμε πως μπορούμε να αποδεικνύουμε ανισότητες μιας μεταβλητής με την χρήση του ΘΜΤ 89
Τρόπος αντιμετώπισης: ος τρόπος Μετασχηματίζουμε την ζητούμενη ανισότητα στην μορφή Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το ΘΜΤ στο διάστημα, οπότε προκύπτει, τέτοιο ώστε Με την βοήθεια των δεδομένων αποδεικνύουμε ότι 7 Έστω παραγωγίσιμη στο, ώστε και, Να δείξετε ότι:, για, ' για κάθε ΛΥΣΗ Έχουμε: Θεωρούμε την συνάρτηση στο διάστημα στο διάστημα t με,, με, t και εφαρμόζουμε ΘΜΤ για την συνάρτηση Οπότε υπάρχει, τέτοιο ώστε: ' Όμως ' άρα άρα 7 Να αποδείξετε ότι: ln ln για κάθε ΛΥΣΗ Έχουμε ln ln άρα ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση t ln t, t και εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την συνάρτηση στο διάστημα, όπου 9
Έχουμε λοιπόν: ' lnln (), ln ln οπότε ln ln Όμως άρα με τη βοήθεια της () έχουμε Τρόπος αντιμετώπισης: ος τρόπος Μετασχηματίζουμε την ζητούμενη ανισότητα στην μορφή Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το ΘΜΤ στο διάστημα, οπότε προκύπτει, τέτοιο ώστε Με την βοήθεια της μονοτονίας της ' αποδεικνύουμε το ζητούμενο 73 Έστω μια συνάρτηση της οποίας η ' είναι γνησίως αύξουσα στο, Να αποδείξετε ότι: ', για κάθε ΛΥΣΗ Έχουμε ότι ' t, t Για την συνάρτηση αφού είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, Άρα υπάρχει, τέτοιο, ώστε ' Οπότε, αρκεί να δείξουμε ' ' ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, ', που ισχύει 9
74 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει ' και η ' είναι γνησίως αύξουσα στο ισχύει ότι: ' ΛΥΣΗ Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γίνεται: ' ' () Αν, η σχέση () ισχύει ως ισότητα Αν, τότε έχουμε: ' Η είναι συνεχής στο,, Να αποδείξετε ότι για κάθε, και παραγωγίσιμη στο, Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει,, ώστε: ' Όμως η ' είναι γνησίως αύξουσα στο,, άρα έχουμε: ' ' ' ' ' ' Άρα για κάθε ' ισχύει ότι: Τρόπος αντιμετώπισης: 3 ος τρόπος Μετασχηματίζουμε την ζητούμενη ανισότητα στην μορφή Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το ΘΜΤ στα διαστήματα,,, οπότε προκύπτουν τέτοιο ώστε τέτοιο ώστε, και και Με την βοήθεια της μονοτονίας της ' αποδεικνύουμε το ζητούμενο, 9
75 Έστω η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, με γνησίως φθίνουσα στο Να δείξετε ότι για κάθε, ισχύει, () ΛΥΣΗ Η σχέση () γράφεται ισοδύναμα (αφού ) () Η είναι παραγωγίσιμη στο,, άρα και συνεχής σ αυτό Για την εφαρμόζεται το ΘΜΤ στο, και,, τέτοια, ώστε ' και ', και, οπότε υπάρχουν Η ' είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα ' ' που ισχύει 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Απόδειξη ανισοτήτων δύο μεταβλητών Τρόπος αντιμετώπισης: Ο καλύτερος τρόπος αντιμετώπισης για αυτού του είδους τις ασκήσεις είναι με την βοήθεια του ΘΜΤ Μετασχηματίζουμε την ζητούμενη ανισότητα στην μορφή Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το ΘΜΤ στο διάστημα, οπότε προκύπτει, τέτοιο ώστε Με την βοήθεια της μονοτονίας της ' αποδεικνύουμε το ζητούμενο 93
76 Να αποδειχθεί ότι e ΛΥΣΗ Η ζητούμενη ανισότητα γράφεται ισοδύναμα: e, ln ln e eln ln ln ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση: ln,, Σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, υπάρχει, ' τέτοιο, ώστε: Είναι ' n και, οπότε: ln ln ln ln ln ln ln ' ln ln ln ln ln () Κατηγορία 6 η Θεωρητικές - Συνδυαστικές Τρόπος αντιμετώπισης: Δεν υπάρχει συγκεκριμένη μεθόδευση Ο συνδυασμός των μεθοδολογιών που αναφέραμε παραπάνω και η εμπειρία μας οδηγούν στην λύση 77 Έστω παραγωγίσιμη στο, με και,, ισχύει ότι ', να υπολογιστεί το ΛΥΣΗ Αν για κάθε 94
Είναι η παραγωγίσιμη στο, άρα και συνεχής οπότε από: ΘΜΤ στο, Υπάρχει, ώστε ' ΘΜΤ στο Από (), () είναι και αφού, Υπάρχει ώστε ' (), ' ' () και αφού 78 Έστω οι συναρτήσεις, g συνεχείς στο, παραγωγίσιμες στο, και g g Να δειχθεί ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε να είναι ' g' g g ΛΥΣΗ Θέτουμε g g () Θα αποδείξουμε τη σχέση ' ' g' ' g' g ' Θεωρούμε τη συνάρτηση h g με, Για τη συνάρτηση h εφαρμόζεται το ΘΜΤ στο,, αφού είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, τέτοιο, ώστε Επομένως, υπάρχει ένα τουλάχιστον, hh g g h' g g g g g g ' ' Αφού h' ' g', που είναι το g' g' g g ζητούμενο 95
Παρατήρηση: Με το ΘΜΤ δεν λύνουμε εξισώσεις Εξαίρεση στην ύλη μας αποτελούν οι εξισώσεις της μορφής a 79 Δίνεται η συνάρτηση t t, α) Να εφαρμοστεί για την το θεώρημα της μέσης τιμής στα διαστήματα 5,6 β) Να λυθεί η εξίσωση 4 5 3 6 ΛΥΣΗ α) Η έχει πεδίο ορισμού το, Επειδή η είναι συνεχής στα 3, 4, 5,6 και παραγωγίσιμη στα 3, 4, για την το ΘΜΤ στα διαστήματα 3, 4 και 5,6 3,4 και 5,6, εφαρμόζεται Επομένως υπάρχουν 3, 4 και 5,6 4 3 ' 4 3 και 4 3 τέτοια, ώστε: 6 5 ' 6 5 6 5 () β) Για τη συνάρτηση t t συμπεραίνουμε ότι ' 4 3 4 3 () ισχύει ότι ' t t ' 6 5 6 5 (3), t Από τις σχέσεις () Επομένως η εξίσωση γράφεται:,3 4 5 3 6 4 3 6 5 ' ' ή ή διότι αφού 3, 4 και 5,6 Άρα η εξίσωση έχει ρίζες τις και 96
Σύνθετες ασκήσεις 73 Έστω συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο, και,6,, 3,5 σημεία της Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη ευθεία της παράλληλη στην ευθεία y ΛΥΣΗ : 7 και που είναι Η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης 7 Για να υπάρχει εφαπτομένη παράλληλη στην, αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει ' 7 τέτοιο, ώστε Η είναι συνεχής στα,, Για την εφαρμόζεται το ΘΜΤ στα διαστήματα και, τέτοια, ώστε 6 3 ' 3, και παραγωγίσιμη στα,,,,,,, οπότε υπάρχουν και 5 6 ' 9 Η ' είναι συνεχής στο, και ' 3, ' 9 Από το Θ Ενδιάμεσων Τιμών υπάρχει, τέτοιο, ώστε ζητούμενο 73 Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο, Να δείξετε ότι υπάρχουν,,, με ' ' ', ΛΥΣΗ και το 7 ενδιάμεση τιμή, ' 7, που είναι το, και παραγωγίσιμη στο τέτοια, ώστε Για την ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήματα, και, με, αφού είναι συνεχής στο, και, είναι παραγωγίσιμη στο, και, Οπότε υπάρχουν και, με, 97
' και ' Επειδή, έχουμε: ' ' () και με εφαρμογή του ΘΜΤ για την στο ', έχουμε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε Οπότε η () γίνεται: ' ' ' 73 Δίνεται συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο,, με α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε 3 β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, ώστε ' ' ΛΥΣΗ και παραγωγίσιμη στο α) Η είναι συνεχής στο,, άρα παίρνει μια μέγιστη τιμή και μια ελάχιστη τιμή Άρα 3 3 3 τέτοιο Επομένως με βάση το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστο, ώστε 3 3 Το ανήκει στο ανοιχτό διάστημα,, διότι αν:, τότε 3, τότε 3, άτοπο,, άτοπο β) Η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήματα, υπάρχουν και τέτοια ώστε:,, 98 και, Επομένως
' ' ' ' ' Επομένως ' ' Παρατήρηση: Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν,, ισχύει μια σχέση της μορφής,, τέτοια ώστε να a και από τα ' ' ' δεδομένα δεν μπορούμε να βρούμε τα διαστήματα στα οποία θα εφαρμόσουμε το ΘΜΤ ακολουθούμε την εξής διαδικασία Χωρίζουμε το διάστημα a, εξής: σε ν διαστήματα (όσα και τα ξ) ως Βρίσκουμε το πλάτος του διαστήματος a, c a που είναι Θεωρούμε τα υποδιαστήματα [α, ], [, ],, [ ν-, β] με αντίστοιχα πλάτη c c, c c,, c c όπου Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα παραπάνω διαστήματα Αντικαθιστούμε τα ', ',, ' σχέση που βρήκαμε στην αρχική 733 Έστω : παραγωγίσιμη συνάρτηση με Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε ' ΛΥΣΗ 99
Αν θέσουμε στη ζητούμενη, τότε αυτή γίνεται: ' ' ' ' ' Οδηγούμαστε λοιπόν στη συνάρτηση g, Η g είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο, ώστε: g g g' g' gg () Θέλουμε να αποδείξουμε ότι g', δηλαδή ότι g g g g Όμως: από την υπόθεση Άρα g', δηλαδή ' και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε 734 α) Έστω η συνάρτηση της οποίας η Να δείξετε ότι: 5 3 7 β) Να δείξετε ότι: e e e ' είναι γνησίως αύξουσα στο, ΛΥΣΗ α) Αν, έχουμε: () Για την ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στα, και,, αφού είναι συνεχής στα, και, παραγωγίσιμη στα, και, Άρα, υπάρχουν, και, ' Οπότε η () ' ' αντίστοιχα, τέτοια, ώστε και ', που ισχύει
β) Για την συνάρτηση e με ' e 37 3 7 e e ή 5 3 7 e e e e ισχύουν οι υποθέσεις στο 3, 7, οπότε 735 Δίνεται συνάρτηση που είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στα διαστήματα,, όπου Αν lim ', να αποδειχθεί ότι, η είναι παραγωγίσιμη στο ΛΥΣΗ,, με ' Έστω, Η είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο, ώστε: ' () και αν Έχουμε Επειδή lim, τότε lim, παίρνουμε: lim ' lim ' u ' u (από το κριτήριο παρεμβολής) () Έτσι η σχέση () δίνει: lim lim ' (3) Εντελώς ανάλογα, αν, τότε βρίσκουμε ότι: lim, Από τις σχέσεις (3) και (4) συμπεραίνουμε ότι η είναι παργωγίσιμη στο (4) με: ' 736 Έστω συνάρτηση συνεχής στο,5 και παραγωγίσιμη στο,5 Αν η ' είναι γνησίως φθίνουσα στο, 3 και γνησίως αύξουσα στο συγκρίνεται τους αριθμούς 5 και 4 ΛΥΣΗ Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για την στο ', παίρνουμε, τέτοιο ώστε 3,5, να
Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για την στο 3 ' Επειδή η,3 παίρνουμε,3 τέτοιο ώστε ' γνησίως φθίνουσα στο, 3 και παίρνουμε ' ' 3 3 () Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για την στο 4 3 ' 3 Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για την στο 5 4 ' Επειδή η 4 3, 4 παίρνουμε 4,5 παίρνουμε 3 3, 4 τέτοιο ώστε 4 4,5 τέτοιο ώστε ' γνησίως αύξουσα στο 3,5 και 3 4 παίρνουμε ' 3 ' 4 4 3 5 4 5 3 4 () Από () και (), προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: 5 3 3 4 5 4