Frekventne metode analize sistema automatskog upravljanja

Frekventne metode analize sistema automatskog upravljanja Pored odskočne pobude pri ispitivanju linearnih sistema automatskog upravljanja se često primjenjuje i prostoperiodična, odnosno sinusna pobuda. U okviru frekventnih metoda se analizira odziv sistema u stacionarnom stanju na prostoperiodičnu pobudu. U okviru funkcije prenosa SAU G(s), promjenljiva s se mijenja kompleksnom učestanošću jω, tako da se analizira funkcija prenosa sistema u frekventnom domenu G(jω), gde je ω promenljiva učestanost pobudnog signala. 1

Frekventna karakteristika SAU G(jω) se, kao i bilo koji drugi kompleksan broj, može predstaviti u eksponencijalnom obliku: 2

Snimanje frekvencijske karakteristike 3

4

Prethodni izrazi pokazuju da linearan sistem pobuđen prostoperiodičnom pobudom, u stacionarnom stanju daje prostperiodičan odziv iste učestanosti kao pobudni signal, ali sa promenjenom amplitudom i faznim pomerajem. Odnos amplituda ulaznog i izlaznog signala je jednak modulu funkcije prenosa sistema za razmatranu učestanost ω, a fazni pomeraj izlaznog u odnosu na ulazni signal je jednak argumentu funkcije prenosa za razmatranu učestanost ω. Za različite ωće pojačanje i fazni pomeraj signala pri prolasku kroz sistem biti različito, odnosno za različite ω će vrednosti G(jω) i Arg{G(jω)} biti različite. Promena G(jω) pri promjeni ω od - do se može predstaviti grafički, i ta kriva se naziva amplitudno fazno frekventna karakteristika (ili samo frekventna karakteristika, AFFK) sistema*. 5

Frekventna karakteristika sistema se crta u kompleksnoj ravni promjenljive G(jω). Jedan način je da se za nekoliko vrijednosti ω na intervalu [0, ) sračuna vrijednost Re i Im dijela G(jω) ili G(jω) i Arg{G(jω)}, te tačke se unesu u koordinatni sistem na čijoj se apscisi nanosi vrijednost za Re{G(jω)} a na ordinati za Im{G(jω)}, tačke se spoje, kriva se orijentiše u smjeru porasta frekvencije ω i dobija se tražena frekventna karakteristika. Ovaj način se rijetko primjenjuje jer je nepraktičan (potrebno je sračunavanje vrijednosti kompleksne funkcije u većem broju tačaka) i postoji realna šansa da se neke važne (karakteristične) tačke izostave (kao što su presjeci sa Re i Im osom), a upotrebna vrijednost precizno nacrtanog dijagrama nije značajno veća od približne skice. Iz navedenih razloga se najčešće AFFK sistema samo skicira i to na taj način da se odrede početak i kraj krive (G(jω) za ω=0 i ω ) i tačke presjeka krive sa Re i Im osom, spajanjem dobijenih tačaka u smjeru porasta frekvencije ω, dobija se skica AFFK koja nosi dovoljnu količinu informacija za njenu najčešću primjenu, a to je analiza stabilnosti sistema. Valja napomenuti, šta u stvari AFFK predstavlja fizički? Svaka tačka na AFFK odgovara tačno jednoj frekvenciji ω sa intervala [0, ). Udaljenost te tačke od koordinatnog početka jeste G(jω), to jest odnos amplituda izlaznog i ulaznog signala. Ugao koji zaklapa vektor povučen iz koordinatnog početka u tu tačku sa pozitivnim smerom Re ose jeste Arg{G(jω)}, to jest fazni pomeraj izlaznog u odnosu na ulazni signal. 6

Teoretski, sa AFFK je moguće za proizvoljnu frekvenciju ω x očitati kolika će biti promjena amplitude i fazni pomjeraj (kašnjenje) tog signala pri prolasku kroz razmatrani sistem. Praktično, veoma je teško (ako ne i nemoguće) očitati navedene podatke sa AFFK jer se za veće vrijednosti frekvencije tačke zgušnjavaju, a osim toga, frekvencija ω se pojavljuje kao parametar AFFK i teško je na crtežu fiksirati tačku koja odgovara tačno određenoj frekvenciji ω x. Za očitavanje navedenih podataka praktično se koriste mnogo podesniji Bodeovi dijagrami, o kojima će kasnije biti riječi. Primjer 1: Formirati frekventnu karakteristiku RC filtera prikazanog na slici 1.1. 7

Primjer 2. Skicirati AFFK sistema opisanog funkcijom prenosa G(s) = K/[s(sT+1)], gde su K i T realni, pozitivni parametri. 8

Način formiranja AFFK može biti različit, ali dobijena kriva je jedinstvena za jedan sistem. Ograničenja ovako formirane AFFK su očigledna. Pri ubacivanju u sistem novih elemenata moraju se ponovo preračunati vrijednosti iz tabele zbog uticaja novo dodatih nula i polova, što je zamoran posao. Dalje, na slici se vidi ukupan uticaj svih polova i nula sistema a ne pojedinačan, što je nepovoljna činjenica jer nijesu svi polovi i nule u sistemu podjednako važni i uticajni (sjetite se priče o dominatnim polovima). Iz tog razloga dobro bi bilo frekventnu karakteristiku sistema predstaviti na drugačiji način. Prvo se razdvajaju amplitudna i fazna frekventna karakteristika, odnosno na jednom dijagramu se crta zavisnost G(jω) od promenljive frekvencije ω, a na drugom zavisnost Arg{G(jω)} od ω. Na taj način se dobijaju dva dijagrama sa kojih se direktno očitava vrijednost modula i faze funkcije prenosa sistema za određenu frekvenciju ω. Drugo, radi proširenja intervala frekvencija koje se razmatraju uvodi se logaritamska podjela na apscisi, tako da se umesto ω,a osi nezavisno promenljive prikazuje log 10 ω. Na taj način je moguće prikazati opseg od vrlo niskih (10-5 rad/sec) do vrlo visokih (10 5 rad/sec) učestanosti bez gubitka preciznosti crteža. Treće, radi dobijanja dio po dio linearne amplitudne karakteristike pogodno je i amplitudnu karakteristiku G(jω) predstaviti pomoću logaritma osnove 10 (kao što je usvojeno predstavljanje ω preko njenog logaritma), tako da se sada G(jω) izražava u decibelima (db) i prema definiciji je: 9

10

Ako se frekventna karakteristika sistema formira na gore objašnjen način dobijaju se dva grafikona koji se nazivaju Bodeovi dijagrami. Njihov praktični značaj i primjenljivost je veoma velika, a način formiranja se vidi iz sledećeg primjera. Primjer 3. Formirati Bodeove dijagrame za RC filter iz primjera 1. Funkcija prenosa sistema, u frekventnom domenu, je: gde je T=RC (vremenska konstanta sistema). Moduo i argument G(jω) su: Ako se G(jω) izrazi u decibelima, izraz postaje: Iz poslednjeg izraza se vidi da je za male frekvencije ω<<1/t (ωt<<1): odnosno da je za velike frekvencije ω>>1/t (ωt>>1): a da je za ω=1/t (ωt=1): 11

Amplitudna i fazna karakteristika si predstavljene Bodeovim dijagramom na slici 3.1. Uz uvažavanje prethodnih pretpostavki, i uz činjenicu da je na apscisi logaritamska podjela (log 10 ω) vidi se da kompletna amplitudna karakteristika može biti aproksimirana sa dva linearna segmenta. Jednim horizontalnim, koji ima vrednost 0db i odgovara frekvencijama 0 ω 1/T, i drugim kosim, vrijednosti 20logωT, koji odgovara frekvencijama 1/T ω<. Presjek ova dva segmenta se nalazi u tački koja odgovara frekvenciji ω=1/t, i ta se frekvencija naziva prelomna ugaona učestanost. Ako se amplitudna karakteristika zamijeni aproksimacijom na gore navedeni način dobija se asimptotska amplitudna karakteristika koja se češće koristi, ali je i manje precizna (greška u prelomnoj učestanosti je, prema prethodnoj analizi oko 3db). Asimptotska karakteristika je prikazana zajedno sa realnom logaritamskom na amplitudnom dijagramu (slika 3.1). 12

Koliki je nagib "kosog" dijela asimptotske amplitudne karakteristike? Posmatra se G(jω) db na frekvencijama ω 1 i ω 2, koje su veće od1/t. Može se napisati: Ako je frekvencija ω 1 deset puta veća odω 2 (ω 2 =10ω 1 ) one tada čine dekadu, a iz prethodnog izraza slijedi: odnosno, ako frekvencija ω poraste deset puta, amplitudna karakteristika opadne za 20dB, pa je nagib tog dijela karakteristika 20dB/dekadi. U literaturi se susreće još i pojam oktave. Oktavu čine frekvencije koje se nalaze na intervalu između ω 1 i ω 2, gde je ω 2 =2ω 1. Ako se u prvi izraz unesu granične vrijednosti oktave dobija se: pa je nagib kosog dijela karakteristike je približno 6db/oktavi. Naravno, vidi se da je nagib 20db/dekadi isto što i 6db/oktavi. U okviru funkcije prenosa sistema mogu pojaviti četiri različita elementa: 13

Opšta 14

Pol ili nula u koordinatnom početku 15

Nula na realnoj osi 16

17

18

Iz prethodnog izlaganja se vidi da je konstanta greške uvijek jednaka Bodeovom pojačanju normalizovane funkcije prenosa sistema u frekventnom domenu. Sada se postavlja pitanje kako se ova vrednost očitava sa dijagrama? Prvo se nacrta dijagram i odredi red astatizma sistema. Na osnovu početnog segmenta dijagrama se očitava vrednost konstante greške, na sledeći način. 19

1. Konstanta položaja Kp Početni segment amplitudne karakteristike sistema bez astatizma (r=0) je 20logK, i to je upravo vrednost Kp izražena u decibelima 2. Brzinska konstanta Kv Početni segment amplitudne karakteristike sistema sa astatizmom prvog reda (r=1) je 20logK-20logω. Rešavanjem jednačine 20logK- 20logω=0 se dobija da je K=ω. To znači da je brzinska konstanta jednaka vrednosti frekvencije ω za koju početni segment Bodeovog amplitudnog dijagrama siječe apscisu. Sa dijagrama se ova vrijednost očitava tako da se prvi segment karakteristike produži do preseka sa ω-osom i očita se vrijednost presječne tačke, kako je prikazano na slici 20

2. Konstanta ubrzanja Ka Početni segment amplitudne karakteristike sistema sa astatizmom drugog reda (r=2) je 20logK-40logω. Rešavanjem jednačine 20logK-40logω=0 se dobija da je K=ω 2. To znači da je brzinska konstanta jednaka kvadratu vrijednosti frekvencije ω za koju početni segment Bodeovog amplitudnog dijagrama siječe apscisu. Sa dijagrama se ova vrijednost očitava tako da se prvi segment karakteristike produži do presjeka sa ω-osom, očita se vrijednost presječne tačke i izračuna vrijednost njenog kvadrata, kako je prikazano na slici 21

22

23

24

25

Grafički (grafoanalitički) kriterijumi stabilnosti Nyquistov kriterijum stabilnosti x(t) = Xm sin ωt - pobuda sistema generisana u generatoru funkcija (GF) promjenljive frekvencije ω. Pretpostavimo da je na slici sklopka S2 otvorena (tj. povratna veza je prekinuta) i S1 zatvorena. 26

Ako elementi sistema ne bi unosili vremenska kašnjenja (fazno zaostajanje), onda bi izlazni signal y(t) bio u fazi s ulaznim signalom x(t). U realnom sistemu izlazni signal y(t) fazno zaostaje za ulaznim signalom x(t) s porastom frekvencije ω. Kod neke frekvencije (ω = ω1) izlazni signal može fazno zaostajati za 180, što znači dasux(t) i y(t) u protivfazi. Pretpostavimo da je pri toj frekvenciji amplituda izlaznog signala Ym jednaka amplitudi ulaznog signala Xm. Ako istovremeno isključimo ulazni signal x(t) i uključimo signal povratne veze y(t), signal povratne veze nadomjestit će ulazni signal. Sistem podržava oscilacije (samooscilacije); Sistem se nalazi na granici stabilnosti. Ako je uz iste uslove Ko > 1, sistem je apsolutno nestabilan, amplitude oscilacija bi se povećavale teoretski do beskonačnosti. Za Ko < 1 sistem je stabilan. Stabilnost sistema određena je isključivo parametrima sistema; stabilnost ne zavisi od pobude sistema. 27

1 - sistem stabilan, 2 - sistem na granici stabilnosti 3 - sistem je apsolutno nestabilan ωc - presječna frekvencija otvorenog regulacionog kruga G 0 (jω). 28

Za praktičnu primjenu je orjentaciono: 29

30

Dobre strane Nyquistovog kriterijuma stabilnosti: nije potrebno poznavati diferencijalnu jednačinu sistema; polarna kriva se može odrediti eksperimentom ili iz poznatih prenosnih funkcija pojedinih elemenata, pored apsolutne stabilnosti dolazi se do uvida i u relativnu stabilnost preko amplitudne i fazne rezerve, može se odrediti uticaj pojedinačno svakog elementa sistema što je važno sa stajališta i analize i sinteze, mogu se analizirati i sistemi s raspodijeljenim parametrima (npr. sistemi s čistim kašnjenjem). 31

sistem je stabilan Ako otvoreni regulacioni krug ima pojačanje manje od 1 (0 db) na frekvenciji kod koje je fazno kašnjenje 180, onda je regulacioni krug stabilan. sistem je nestabilan 32

Gruba procjena stabilnosti sistema: sistem je vjerojatno nestabilan ako G 0 db siječe frekvencijsku osu pod nagibom - 40 db/dek. Bodeov dijagram veoma je prikladan za analizu i sintezu sistema upravljanja: vrlo je jasan uticaj parametara sistema na stabilnost sistema; relativno je jednostavno povezati frekvencijske karakteristike otvorenog sistema s vremenskim ponašanjem zatvorenog sistema upravljanja. Zaključak Za razliku od algebarskih postupaka (Routh, Hurwitz) frekvencijski postupak analize stabilnosti omogućava analizu relativne stabilnosti, tj. daje odgovor na pitanje koliko je sistem daleko od granice stabilnosti (A.O.- pretek pojačanja i F.O.- pretek faze) Frekvencijski postupci omogućuju analizu uslovno stabilnih SAU. Projektovanje korekcijskih sklopova (regulatora) je u frekvencijskm području (osobito u Bode prikazu) veoma pregledno. 33