ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ότν σιγά σιγά άρχισ ν ενηµερώνοµι γύρω πό τις µθηµτικές γνώσεις των ρχίων Ελλήνων µθηµτικών κι µελετητών, ένοιωσ µεγάλη έκπληξη τόσο γι την ποιότητ κι ποσότητ των γνώσεών τους, όσο κι γι τη δική µου άγνοι. Την άγνοι υτή µπορεί κνείς ν διπιστώσει σ έν µεγάλο µέρος συνδέλφων µθηµτικών, τουλάχιστο στο χώρο της ευτεροβάθµις εκπίδευσης. Τ Μθηµτικά στην ελληνική ρχιότητ έχουν υποδιιρεθεί πό τους µελετητές σε κλάδους νάλογ µε το περιεχόµενό τους. Η Γεωµετρί ήτν ο πρώτος κλάδος της νθρώπινης γνώσης που διµορφώθηκε ως επιστήµη κι επί ιώνες ο µόνος. Αθάντος ο Ευκλείδης πέρσε στην ιστορί µε την συγγρφή του έργου ορόσηµου «Στοιχεί». Αυτό το έργο είνι η πρώτη µορφή του γνωστικού περιεχοµένου που διδάσκετι σε όλ σχεδόν τ σχολεί του κόσµου µε τον ένδοξο, γι τον λεξνδρινό γεωµέτρη τίτλο, «Ευκλείδειος Γεωµετρί». Στο έργο υτό συνντάµε τ πρώτ «προβλήµτ» γεωµετρικών κτσκευών όπου ζητείτι η κτσκευή κάποιου ντικειµένου που ν έχει ορισµένη ιδιότητ. Στ «Στοιχεί» οι γεωµετρικές κτσκευές στηρίζοντι στ τρί πρώτ ιτήµτ του A βιβλίου. Η φορµή γι το θέµ υτής της διπλωµτικής εργσίς µου δόθηκε πό µι εργσί µε τίτλο «Ρέκβιεµ γι την νλυτικοσυνθετική µέθοδο στο Λύκειο κι έν πράθυρο νοικτό γι τις γεωµετρικές κτσκευές στο Γυµνάσιο», που προυσιάστηκε στο ο Πνελ. Συνέδριο Μθ. Πιδ. της ΕΜΕ στ Τρίκλ το 00 πό τον κ. Α. Πτρώνη. Στ πρκτικά του Συνεδρίου (σελίδ ) µετξύ των άλλων διβάζουµε: «Η νοητική διδικσί της νάλυσης κι της σύνθεσης (ή πιο συνοπτικά: η νλυτικοσυνθετική µέθοδος), υτό το κτεξοχήν πράδειγµ µις διλεκτικής ολότητς σκέψης στ µθηµτικά, µοιάζει ν πέφτει θύµ µις στενόθωρης ντίληψης». Μι τέτοι ντίληψη ποτυπώνετι στις οδηγίες του Πιδγωγικού Ινστιτούτου, γι τη διδσκλί των µθηµτικών κι ειδικότερ γι το µάθηµ της Ευκλείδεις Γεωµετρίς (Σχολ. έτος 00 0). Είνι χρκτηριστικό το γεγονός ότι µε τις οδηγίες υτές, η µονδική πράγρφος του σχολικού βιβλίου Γεωµετρίς στην οποί εισάγετι η διδικσί συµπληρωµένη κτά το σκέλος της νάλυσης, τίθετι εκτός διδκτές ύλης. Ευκλείδει Γεωµετρί Α κι Β Ενιίου Λυκείου ΟΕ Β (πργ. 6.)
Η διπίστωση υτή, έρχετι ν προστεθεί στη δική µου πολύχρονη εµπειρί ως δσκάλου των µθηµτικών στη ευτεροβάθµι εκπίδευση, όπου η υποβάθµιση της διδσκλίς της νλυτικο-συνθετικής µεθόδου στην ντιµετώπιση προβληµάτων γεωµετρικών τόπων κι κτσκευών µε κνόν κι διβήτη είνι συνεχής. Συνέπει υτής της κτάστσης είνι, οι µθητές κι ργότερ φοιτητές, ν δυντούν ν κολουθήσουν κι ν εφρµόσουν υτή τη διδικσί σκέψης κι επιχειρηµτολογίς γι την κτνόηση, ερµηνεί κι τεκµηρίωση στην επιστηµονική έρευν. Η διπλωµτική υτή εργσί χωρίζετι σε δύο µέρη. Στο Α µέρος επιχειρείτι: Η προυσίση µερικών προβληµάτων γεωµετρικών κτσκευών όπως τέθηκν κι ντιµετωπίσθηκν πό τους ρχίους προγόνους µς. Η προυσίση των τριών «περίφηµων» άλυτων προβληµάτων κτσκευών πό την ελληνική ρχιότητ µέχρι την τελική πάντηση που δόθηκε γι υτά. Η εξιστόρηση της κτσκευής κνονικών πολυγώνων. Το ιστορικό υτό µέρος της εργσίς κρίθηκε πρίτητο γι τους πρκάτω λόγους: ) Ν γνωρίσει ο νγνώστης κι ν θυµάσει τη σκέψη των ρχίων Ελλήνων κι των νεότερων γεωµετρών µέσ πό τ προβλήµτ γεωµετρικών κτσκευών µε κνόν κι διβήτη. Έτσι νδεικνύετι η συµβολή των προγόνων µς λλά κι µερικών νεότερων µθηµτικών στην εξέλιξη της Γεωµετρίς κι της Μθηµτικής επιστήµης γενικότερ. β) Ν έρθουµε πιο κοντά σε έν µικρό µέρος πό το µθηµτικό έργο υτών των νθρώπων κι ν εκτιµήσουµε την συνεισφορά τους στον πολιτισµό γι τον οποίο νοιώθουµε υπερήφνοι. Στο Β µέρος επιχειρείτι ν διερευνηθεί η δυντότητ των µθητών του Λυκείου (όπως υτό λειτουργεί σήµερ στη χώρ µς) ν εργστούν πάνω σε προβλήµτ γεωµετρικών κτσκευών µε κνόν κι διβήτη. Αν δηλδή, µε τη διδσκλί της νλυτικο-συνθετικής µεθόδου που ήτν γνωστή κόµ κι στους προ ευκλείδειους γεωµέτρες - οι µθητές του σηµερινού Λυκείου ντποκρίνοντι, κι σε ποιο βθµό δυσκολίς ντιµετωπίζουν, προβλήµτ γεωµετρικών
κτσκευών. Με τον τρόπο υτό προσπθούµε ν βρούµε έν λόγο γι τον οποίο θ έπρεπε ν διδάσκοντι οι γεωµετρικές κτσκευές στο µάθηµ της Ευκλείδεις Γεωµετρίς στο Λύκειο, κι µάλιστ συστηµτικά, µε την νλυτικο-συνθετική µέθοδο.
Α ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Γενικά περί γεωµετρικών κτσκευών. Οι γεωµετρικές κτσκευές στην Ελληνική Αρχιότητ Οι ευθύγρµµες κτίνες του φωτός κι ο κυκλικός δίσκος της Σελήνης κι του Ήλιου, ήτν πό τ πρώτ «σχήµτ» που έπεσν στην ντίληψη του νθρώπου. Ήτν φυσικό, λοιπόν, τ πρώτ γεωµετρικά σχήµτ που κτσκευάστηκν, ότν πι η Γεωµετρί µε την εµπειρική µορφή της είχε µπει στη ζωή των νθρώπων, ν είνι η ευθεί κι ο κύκλος. Τ Μθηµτικά πό πολύ νωρίς βρέθηκν συνδεδεµέν µε τη φιλοσοφί κι τη στήριξν στις διάφορες προσπάθειες της ν διερευνήσει το «θείον». Το ποτέλεσµ ήτν η ευθεί κι ο κύκλος ν ποκτήσουν ιδιίτερη σηµσί, εκφράζοντς η µεν ευθεί τη ζωή, ο δε κύκλος το «θείον». Έτσι φθάσµε στο σηµείο, γι ιώνες µετά την νκάλυψη της πόδειξης, ν θεωρείτι νεπίτρεπτη η κτσκευή οποιουδήποτε προβλήµτος µε τη χρήση άλλων γρµµών ή οργάνων εκτός πό το χάρκ κι το διβήτη. Σχετικά µε τις διάφορες κτηγορίες προβληµάτων ο Πάππος ο Αλεξνδρινός, στο ο βιβλίο της «Συνγωγής» του νφέρει ότι: «..Οι ρχίοι πρδέχοντο ότι τ γεωµετρικά προβλήµτ νήκουν εις τρεις κτηγορίς: τ επίπεδ, τ στερεά κι τ γρµµικά. Κλούντι επίπεδ τ προβλήµτ τ δυνάµεν ν επιλυθούν τή βοηθεί ευθειών κι περιφερειών κύκλου, ορθώς δε διότι ι ούτω χρησιµοποιούµενι γρµµί προέρχοντι εκ του επιπέδου. Όσον φορά εις τ προβλήµτ, των οποίων η λύσις πιτεί µιν ή κι περισσοτέρς κωνικάς τοµάς, τύτ κλούντι στερεά, διότι εις υτά γίνετι χρήσις επιφνειών στερεών, κυρίως δε κωνικών επιφνειών. Τέλος, η τρίτη κτηγορί προβληµάτων, ή των γρµµικών, κλείτι ούτω, διότι εις υτά, πέρν των γρµµών, τς οποίς έχοµεν νφέρει, γίνοντι δεκτί κι έτερι πολυπλοκώτερι, ως ι έλικες, ι τετργωνίζουσι, ι κογχοειδείς κι ι κισσοειδείς, ι οποίι προυσιάζουν ιδιότητς ποικίλς κι θυµστάς». Ιστορί των Ελληνικών Μθηµτικών Ε. Στµάτη Αθήν 976.
Πολλοί θεωρούν πως πό τον Πλάτων (0-0 π.χ.) ξεκίνησε η ντίληψη ότι τ µόν γνήσι µέσ γι γεωµετρικές κτσκευές είνι ο κνόνς κι ο διβήτης. Με υτά σχεδιάζοντι ευθείες κι κύκλοι είνι γρµµές µε συµµετρικές ιδιότητες κι µι τελειότητ τιριστή µε τις φιλοσοφικές ιδέες του Πλάτων. Ίσως ν έχουν δίκιο φού είνι γνωστό ότι ο Πλάτωνς υπήρξε ένθερµος θυµστής της Γεωµετρίς, ενίσχυσε την κλλιέργειά της µέσ στην Ακδηµί, πιστεύοντς πόλυτ στην εκπιδευτική ξί υτής της επιστήµης. Λέγετι πως στην είσοδο της κδηµίς του υπήρχε το επίγρµµ: «Μηδείς γεωµέτρητος εισίτω µοι την στέγην» (Εδώ µέσ γεωµέτρητος ν µην περάσει). Η προσωπική του συµβολή στη Γεωµετρί, εκτός των εργσιών των µθητών κι συνεργτών του µέσ στην κδηµί έγκειτι στο ότι: Έδωσε γενική µορφή στην Ανλυτική µέθοδο. Η µέθοδος υτή κτά την οποί υποθέτουµε ότι ισχύει η πίτηση του προβλήµτος κι µε διδοχικούς ντιστρεπτούς συλλογισµούς φθάνουµε σε κάποι λήθει, γνωστή πό πριν, είχε εφρµοστεί κι πλιότερ. Όµως στον Πλάτων χρωστά τη διτύπωσή της µε γενικούς όρους κι µεθοδολογική δισάφηση. Μελέτησε προβλήµτ γεωµετρικών τόπων. Ασχολήθηκε (περισσότερο φιλοσοφικά πρά κθρά µθηµτικά) µε τ γεωµετρικά στερεά κι ειδικότερ τ κνονικά πολύεδρ: Το τετράεδρο, τον κύβο, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο κι το εικοσάεδρο. Τ στερεά υτά οι ρχίοι τ νφέρουν µε το όνοµ «πλτωνικά στερεά» µάλλον γιτί µέσω του Πλάτων έγινν διάσηµ, φού ήτν γνωστά πό την εποχή των Πυθγορείων (βλ. [], σελ. 99). Ύστερ πό την εποχή του λύθηκν πολλά ενδιφέροντ προβλήµτ, στ οποί πρεµβάλλοντν κτσκευές, ιδιότητες κι χρήση των πλτωνικών στερεών. Το δέκτο τρίτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη πργµτεύετι υτά τ στερεά. Ασχολήθηκε, όπως νφέρετι κι µε το ήλιο Πρόβληµ. Ωστόσο δεν φίνετι ν είνι υτός που βρήκε υτή τη λύση, µι κι πρόκειτι γι λύση που στηρίζετι σε τέχνσµ µηχνικό. Με τον κνόν κι τον διβήτη λύνοντι, πράγµ που ήτν γνωστό στους ρχίους Έλληνες, όλ τ προβλήµτ ου κι ου βθµού. Ότν όµως προέκυψν προβλήµτ νωτέρου βθµού, όπως το ήλιο, η τριχοτόµηση γωνίς κλπ, διπιστώθηκε ότι τ όργν υτά κι µόνο δεν µπορούσν ν δώσουν λύσεις. Έτσι πρά τις θρησκευτικές προλήψεις, χρησιµοποιήθηκν νέες κµπύλες, εκτός του 6
κύκλου, κι όργν διφορετικά πό τον διβήτη, που έδωσν υπέροχες θεωρητικές κι πρκτικές λύσεις, που όµως γι ιώνες είχν τον τίτλο του «πράδεκτου». Οι λύσεις υτές ξεπέρσν το θρησκευτικό «νεπίτρεπτο» κι έφθσν σε µς δείχνοντς την κθρότητ της σκέψης των ρχίων µελετητών.. Ευκλείδης: Οι γεωµετρικές κτσκευές στ «Στοιχεί» Σήµερ ξέρουµε τ Μθηµτικά ως έν σύστηµ ποτελούµενο πό ξιώµτ, ορισµούς κι προτάσεις. Η προσπάθει ν πελευθερωθούν πό τ ισθητά πράγµτ µε βάση τις πιτήσεις του Πλάτων κι εποµένως πό τ συγκεκριµέν σχήµτ, είχε ως ποτέλεσµ ν νοίξει ο δρόµος που οδηγεί προς έν τέτοιο σύστηµ. Ότν δεν επιτρέπετι η συνγωγή της λήθεις µις πρότσης µε τρόπο εµπειρικό (λ.χ. πό την άµεση εποπτεί ενός σχήµτος), τότε δεν µένει άλλη επιλογή πό το ν ποδείχνοντι οι προτάσεις µε λογικούς συλλογισµούς, που στηρίζοντι σε προηγούµενες ποδειγµένες προτάσεις δηλ. σε τελευτί νάλυση ν είνι συνέπειες των ξιωµάτων. Οι Έλληνες είχν πεισθεί γι το ότι τ Μθηµτικά πρέπει ν είνι νεξάρτητ πό τις γνώσεις που ποχτιούντι εµπειρικά. έχθηκν εποµένως κι τις συνέπειες υτής τους της πεποίθησης κι οικοδόµησν τη γεωµετρί µε βάση τις πιο πάνω ρχές. ώσνε την ονοµσί «Στοιχεί» σ έν σύστηµ µθηµτικών προτάσεων βσισµένο σε ξιώµτ. Τ πιο πλιά Στοιχεί που δισώθηκν, είνι τ «Στοιχεί» του Ευκλείδη (γύρω στο 00 π.χ.). Τ «Στοιχεί» ποτελούντι πό βιβλί. Τ πρώτ έξι πργµτεύοντι την επίπεδη γεωµετρί. Η ύλη στην οποί εκτείνοντι, ντιστοιχεί σε µεγάλο βθµό σε υτήν που διδάσκετι σήµερ στ σχολεί. Αφότου ο Ευκλείδης έθεσε τ θεµέλι, άρχισε ν οικοδοµεί το γεωµετρικό σύστηµ των «Στοιχείων» προσπθώντς ν τηρήσει τη θέση του Πλάτων κι ν µην ποµκρύνετι πό τις θέσεις του Αριστοτέλη:. Κάθε νέ πόφνση πρέπει ν ποδείχνετι κτσκευστικά.. Κάθε νέ έννοι πρέπει ν ορίζετι. Επιπλέον η ύπρξή της πρέπει ν ποδείχνετι κτσκευστικά. Το Α βιβλίο των «Στοιχείων» περιέχει 8 προτάσεις. Στις ρχικές υτές προτάσεις, φήνετι ν εννοηθεί ότι ο γεωµέτρης είνι υποχρεωµένος ν κάνει χρήση µόνο του κνόν (µη βθµολογηµένου) κι του διβήτη. 7
. Ανλυτικο συνθετική µέθοδος Η νοητική διδικσί της νάλυσης κι της σύνθεσης είνι το κτεξοχήν πράδειγµ µις διλεκτικής ολότητς σκέψης στ Μθηµτικά. Οι γεωµετρικοί τόποι έχουν συνδεθεί ιστορικά µε την πρώτη ρητή διτύπωση της νλυτικο-συνθετικής µεθόδου επίλυσης των γεωµετρικών προβληµάτων. Η νλυτικο-συνθετική διδικσί σκέψης έχει µεγάλη σηµσί, γιτί συνδέετι βθιά µε την τοποθέτηση κι επίλυση εκείνων των κτστάσεων, που πό την ελληνική ρχιότητ µέχρι σήµερ κι ιδιίτερ στ σχολικά Μθηµτικά - θ άξιζν ν ονοµστούν προβλήµτ. «Σε µι λίγο πολύ γενική κι σύγχρονη, διτύπωση, έν πρόβληµ είνι «µι κτάστση», κτά την οποί δίνοντι κάποι στοιχεί, β, κι ζητείτι ν κτσκευστεί π υτά, σύµφων µε ορισµένους κνόνες (ή περιορισµούς), έν στοιχείο ω φ (, β, ) έτσι ώστε ν ικνοποιείτι µι συνθήκη C (, β,, ω). ( ) Εξετζόµενη στο πιο πάνω γενικό πλίσιο, η νάλυση ξεκινά πό τ δεδοµέν,, β, κι τη συνθήκη C (, β,, ω) κι πό υτά συνάγει νέες συνθήκες C, C, που πρέπει ν πληρεί η συνάρτηση φ (οι οποίες εµπλέκουν ενδεχοµένως κι νέ «ζητούµεν» ω, ω, που µπορεί ν είνι ευκολότερο ν βρεθούν πό το ω), σε τρόπο ώστε ν γίνετι ολοέν κι πιο φνερή η κτσκευή της συνάρτησης φ (, β, ) ω (σύνθεση)».. Το νόηµ των κτσκευών στην Ευκλείδει Γεωµετρί υο πό τ ξιώµτ της Ευκλείδεις επίπεδης Γεωµετρίς είνι: І. οσµένων δυο διφορετικών σηµείων, υπάρχει µι µονδική ευθεί που διέρχετι πό υτά τ δυο σηµεί κι στην οποί ευθεί τ σηµεί υτά νήκουν. ΙΙ. οσµένων, ενός σηµείου κι ενός ευθυγράµµου τµήµτος, µπορεί ν κτσκευστεί ένς κύκλος, µε κέντρο το δοσµένο σηµείο κι κτίν το δοσµένο ευθύγρµµο τµήµ. Πάππου «Συνγωγή», Βιβλ. 7 ο, (πόδοση Ε. Στµάτη). Γ. Ζάρκος, κ.ά., «ΡΕΚΒΙΕΜ γι την νλυτικο-συνθετική µέθοδο στο Λύκειο κι έν πράθυρο νοιχτό γι τις γεωµετρικές κτσκευές στο Γυµνάσιο», Πρκτικά ου Πνελ. Συνεδρ. Μθ. Πιδείς, ΕΜΕ, Τρίκλ 00. 8
Αυτά τ δυο ξιώµτ ποτελούν τη βάση γι τις Ευκλείδειες κτσκευές (κτσκευές µε χρήση µόνο µη βθµολογηµένου κνόν κι διβήτη). Με υτά τ δυο όργν οι Έλληνες µθηµτικοί, µπορούσν ν εκτελέσουν πολλές κτσκευές λλά σχολήθηκν κι µε κτσκευές που δεν µπόρεσν ν πργµτοποιήσουν. Έτσι ενώ µπορούσν ν διχοτοµήσουν κάθε δοσµένη γωνί, δεν µπορούσν ν τριχοτοµήσουν οποιδήποτε γωνί. Ενώ ήτν σε θέση ν κτσκευάσουν έν τετράγωνο ίσο σε εµβδόν µε το διπλάσιο ενός δοσµένου τετργώνου, δεν µπορούσν ν λύσουν το πρόβληµ του «διπλσισµού ενός κύβου». Ενώ ήτν ικνοί ν κτσκευάσουν έν τετράγωνο ίσο σε εµβδόν µε έν δοσµένο πολύγωνο, δεν µπορούσν ν λύσουν το πρόβληµ του «τετργωνισµού του κύκλου». Επίσης ενώ κτσκεύσν κνονικό πολύγωνο µε,,, 6, 8 κι 0 πλευρές, δεν µπορούσν ν κτσκευάσουν κνονικό πολύγωνο µε 7 ή 9 πλευρές. Πριν το τέλος του 9 ου ιών οι µθηµτικοί είχν δώσει τελική πάντηση σ υτά τ «άλυτ» προβλήµτ των ρχίων, ποδεικνύοντς ότι όντως δεν είνι δυντό ν λυθούν µε κνόν κι διβήτη. Αλλά γιτί οι Έλληνες µθηµτικοί δεν ήτν σε θέση ν λύσουν υτά τ προβλήµτ; Γιτί µεσολάβησν περίπου 000 χρόνι µέχρι ν δοθεί µι πάντηση στο ερώτηµ υτό; Κάνοντς χρήση των γεωµετρικών θεωρηµάτων των Ελλήνων µθηµτικών (κι µόνον υτών) είµστε σήµερ ικνοί ν κτσκευάσουµε κάθε επιθυµητό γεωµετρικό στοιχείο το οποίο πράγετι πό έν πεπερσµένο πλήθος ρητών εκφράσεων κι εξγωγή των πργµτικών ριζών των δοσµένων στοιχείων. Γι πράδειγµ ν δίνοντι τ στοιχεί, b κι το στοιχείο «µονάδ» µπορούµε ν κτσκευάσουµε (σε σύγχρονο συµβολισµό) τ b, -b, b, /b, κι. Θ προσπθήσουµε ν εκφράσουµε µε σύγχρονο τρόπο το περιεχόµενο του Α βιβλίου των «Στοιχείων» που φορά τις κτσκευές κι θ κολουθήσουµε όσο γίνετι πιο πιστά την πορεί των συλλογισµών του. Θ χρησιµοποιήσουµε το σύµβολο οπουδήποτε θέλουµε ν εκφράσουµε συµβολικά υτό που ο Ευκλείδης ονοµάζει «ισότητ» δυο σχηµάτων µε την έννοι ότι µπορούν, κινούµεν πάνω στο επίπεδο, ν συµπέσουν. Θ χρησιµοποιήσουµε τον όρο «ευθύγρµµο τµήµ», εκεί όπου ο Ευκλείδης µιλάει γι ευθεί γρµµή κι ότν θ λέµε «ευθεί γρµµή» ή «γρµµή» θ εννοούµε ότι έν ευθύγρµµο τµήµ έχει προεκτθεί περιόριστ κι πό τις δυο µεριές. 9
Ξεκινάµε µε έν πράδειγµ πό το Α βιβλίο των «Στοιχείων» Πρότση Ν κτσκευστεί, πάνω σε έν ευθύγρµµο τµήµ ΑΒ, ισόπλευρο τρίγωνο. Η λύση υτού του πλού προβλήµτος γίνετι ως εξής:. Σχεδιάζουµε τους κύκλους (Α, ΑΒ) κι (Β,ΒΑ).. Έστω C έν σηµείο τοµής υτών των κύκλων.. Φέρνουµε τ ευθύγρµµ τµήµτ AC κι BC. Σχ... Το τρίγωνο ABC, το οποίο έχει κτσκευστεί πάνω στο ευθύγ. τµήµ ΑΒ, είνι το ζητούµενο ισόπλευρο τρίγωνο. Απόδειξη AC AB (ως κτίνες του ίδιου κύκλου) BC AB (ορισµός του κύκλου) Από εδώ έπετι ότι AC BC (ξ.. Τ προς τρίτο ίσ κι λλήλοις ίσ). Εποµένως το τρίγωνο ABC είνι ισόπλευρο. Σχόλι Όπως σηµειώνουν, µετξύ άλλων, πολύ εύστοχ οι L. Bunt, P. Jones & J. Bedient στο βιβλίο τους ([], σελ. 68 69). ) Αν κοιτάξουµε τ βήµτ κι της πρπάνω κτσκευής, η σχεδίση των κύκλων (Α, ΑΒ) κι (Β, ΒΑ) είνι δυντή λόγω του ιτήµτος II (κι µε οποιοδήποτε κέντρο κι διάστηµ γράφετι κύκλος) κι η δυντότητ ν φέρουµε τ ΑΒ κι BC στηρίζετι στο ίτηµ Ι. β) Στο βήµ () της κτσκευής θεωρούµε έν πό τ σηµεί τοµής των κύκλων (Α, ΑΒ) κι (Β, ΒΑ), το C, εννοώντς ότι: υτό το σηµείο υπάρχει. Αλλά την 0
ύπρξη σηµείου τοµής την ντιλµβνόµστε µόνο πό το σχήµ, ενώ γι ν ποδείξουµε την ύπρξη υστηρότερ, θ πρέπει ν έχουµε στην διάθεσή µς κι άλλ ιτήµτ, εκτός πό υτά που έθεσε ο Ευκλείδης. γ) Είνι φνερό ότι κάθε κτσκευή είνι µι ειδικής µορφής πόδειξη, µι πόδειξη µε την οποί βεβιώνετι η ύπρξη κάποιου σχήµτος. Ίσως εδώ, κτά τους Bunt, Jones & Bedient, βρίσκετι ο λόγος που ο Ευκλείδης δεν διχωρίζει τις κτσκευές πό τις προτάσεις κι τις πργµτεύετι ισοδύνµ. Προβλήµτ γεωµετρικών κτσκευών συνντάµε κι σε άλλ βιβλί των «Στοιχείων» όπως στο Β βιβλίο που µπίνουν οι βάσεις της µεθόδου που λέγετι πό ορισµένους ιστορικούς «Γεωµετρική άλγεβρ» (βλ. [] σελ. 07). Η η πρότση υτού του βιβλίου πργµτεύετι το πρόβληµ της διίρεσης τµήµτος σε µέσο κι άκρο λόγο, δηλδή το πρόβληµ της «χρυσής τοµής» µε το οποίο θ σχοληθούµε πιο κάτω, στο Β µέρος της εργσίς υτής. Επίσης στο βιβλίο των «Στοιχείων» περιέχοντι τ προβλήµτ που φορούν τον συνδυσµό κύκλου κι ευθείς κι η κτσκευή εγγεγρµµένων κι περιγεγρµµένων κνονικών πολυγώνων. Εδώ συνντάµε κι την κτσκευή του κνονικού πεντγώνου µε τη βοήθει του προβλήµτος της «χρυσής τοµής» που επίσης θ συζητήσουµε ργότερ. Στο δέκτο βιβλίο ο Ευκλείδης σχολείτι µε τη θεωρί κι την κτσκευή των συµµέτρων που προέρχοντι πό τη λύση διτετράγωνων εξισώσεων της µορφής: x - x β 0, x x β 0, x x β 0. Στο σηµείο υτό θ νφέρουµε τις βσικές κτσκευές, των ρχίων Ελλήνων γεωµετρών, µε κνόν κι διβήτη (επίπεδες) µε τη βοήθει των οποίων έλυνν τ διάφορ προβλήµτά τους.. Προβλήµτ Α βθµού. Αν δοθούν τρί τµήµτ, β, γ ν κτσκευστεί η τέτρτη νάλογός τους.. Αν δοθεί τµήµ ν υποδιιρεθεί σε δυο τµήµτ που ν έχουν µετξύ τους δοσµένο λόγο ν µ
. Αν δοθεί τετράγωνο µε πλευρά β, ν κτσκευστεί ισοδύνµο ορθογώνιο µε δοσµένη τη µι του πλευρά.. Αν δοθούν δυο τµήµτ, β ν κτσκευστεί ο µέσος ριθµητικός, ο µέσος γεωµετρικός κι ο µέσος ρµονικός τους. β β δηλ. x, x β, x β..6 Προβλήµτ Β βθµού. Ν κτσκευστεί τετράγωνο ισοδύνµο µε δοσµένο ορθογώνιο, ή δοσµένο πρλληλόγρµµο ή δοσµένο τρίγωνο. 6. Ν κτσκευστεί ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές ν έχουν άθροισµ δοσµένο τµήµ, ισοδύνµο µε δοσµένο τετράγωνο πλευράς β. 7. Ν κτσκευστεί ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές ν έχουν διφορά δοσµένο τµήµ, ισοδύνµο µε δοσµένο τετράγωνο πλευράς β. 8. Ν κτσκευστεί τετράγωνο που ν έχει λόγο προς δοσµένο τετράγωνο πλευράς, ίσο προς το λόγο δυο δοσµένων τµηµάτων µ, ν..7 Προβλήµτ νωτέρου βθµού Γενικά δεν γνωρίζουµε µεθόδους λύσεων προβληµάτων νωτέρου βθµού, µε κνόν κι διβήτη. Προβλήµτ, που η λύση τους πιτεί την κτσκευή ριζών εξισώσεων τρίτου βθµού, συνντάµε στο έργο του Αρχιµήδη. Οι ρχίοι γεωµέτρες είχν λύσει προβλήµτ τρίτου βθµού, όχι όµως ποκλειστικά µε κνόν κι διβήτη (φού όπως θ δούµε πρκάτω υτά γενικά δεν λύνοντι), λλά µε τη χρήση κινητικής γεωµετρίς ή κµπύλων διφορετικών του κύκλου. Κρντάνο (0-76 µ.χ). Φιλόσοφος, γιτρός κι µθηµτικός, ερεύνησε τη µεττροπή των ριζών, µελέτησε τις ρνητικές ρίζες στις εξισώσεις κι εισήγγε πρώτος τ φντστικά µεγέθη στ Μθηµτικά. Σε υτόν ποδίδετι ο «Κρντάνειος τύπος» που δίνει τις ρίζες µις τριτοβάθµις εξίσωσης της µορφής x px q 0. Ο τύπος υτός είνι: x q q q p. όπου 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τ «περίφηµ» προβλήµτ της Ελληνικής Αρχιότητς. Εισγωγή Τ τρί περίφηµ άλυτ προβλήµτ των ρχίων Ελλήνων ήσν:. Ο τετργωνισµός του κύκλου. Ο διπλσισµός του κύβου ( ή ήλιο πρόβληµ). Η τριχοτόµηση µις τυχίς γωνίς. Αυτά τ προβλήµτ είχν «λυθεί», πό τους ίδιους τους ρχίους Έλληνες, λλά οι «λύσεις» είχν επιτευχθεί µε τη χρήση άλλων γρµµών διφορετικών πό την ευθεί κι τον κύκλο (ή µε άλλ µηχνικά µέσ, διφορετικά πό τον κνόν κι τον διβήτη). Οι Έλληνες δεν έµεινν ικνοποιηµένοι µε τις λύσεις που είχν δώσει κι υτό γιτί οι Έλληνες φιλόσοφοι πίστευν ότι η ευθεί κι ο κύκλος θ έπρεπε ν επρκούν γι την εκτέλεση κι υτών των κτσκευών. Η νζήτηση λύσεων των προβληµάτων υτών, οδήγησν τους ρχίους Έλληνες, λλά κι τους νεότερους ερευνητές όπως τον Gauss, στην νκάλυψη δηµιουργί ενός µεγάλου µέρους νέων µθηµτικών. Η πάντηση σχετικά µε τ προβλήµτ υτά τελικά δόθηκε τον ΙΘ ιών. Αποδείχθηκε το δύντο των κτσκευών υτών µε κνόν κι διβήτη κι σ υτό βοήθησν λγεβρικές προτάσεις, που φυσικά ήτν άγνωστες στους Έλληνες.. Ο διπλσισµός του κύβου ή «ήλιο Πρόβληµ» Ο διπλσισµός του κύβου πέκτησε δηµοσιότητ σύµφων µε τον Ερτοσθένη 6 ότν ο βσιλιάς της Κρήτης Μίνως, διµρτυρήθηκε γιτί το κενοτάφιο, που προοριζότν γι το γιο του Γλύκο, ήτν πολύ µικρό γι βσιλικό µνηµείο κι πίτησε το διπλσισµό του όγκου του, χωρίς ν λλάξει το κυβικό του σχήµ. 6 Γράµµ του Ερτοσθένη (76-9 π.χ) στον βσιλιά Πτολεµίο τον Γ τον Ευεργέτη (6 π.χ.)
Πνελλήνι όµως έγινε γνωστό το πρόβληµ ότν ρωτήθηκε το Μντείο του ηλίου Απόλλων γι το τι πρέπει ν κάνουν γι ν πλλγούν πό το λοιµό που µάστιζε το νησί της ήλου. Το Μντείο πάντησε ότι τούτο θ συµβεί ν διπλσιάσουν τον κυβικό βωµό του Απόλλων. Έτσι το πρόβληµ του διπλσισµού του κύβου πέρσε στην ιστορί µε το όνοµ «ήλιο πρόβληµ». Εδώ πρέπει ν σηµειώσουµε πως το ντίστοιχο πρόβληµ του διπλσισµού ενός τετργώνου δεν προυσιάζει κµιά δυσκολί. Έστω έν τετράγωνο µε πλευρά κι x η πλευρά του ζητούµενου τετργώνου. Τότε x () x Η () µπορεί ν γρφεί µε τη µορφή οπότε το x κτσκευάζετι ως x µέση νάλογος των κι, ή µε τη µορφή x οπότε το x είνι η διγώνιος του δοσµένου τετργώνου. Γι ν διπλσιάσουµε, τώρ, έν κύβο µε µήκος κµής, πρέπει όµοι ν κτσκευάσουµε έν κύβο µε µήκος κµής x, έτσι ώστε x. Ο Ιπποκράτης ο Χίος (70 00 π.χ) ως εµπνευστής της µεθόδου νγωγής ενός προβλήµτος σε άλλο, µετά πό προσπάθειες διπίστωσε ότι γι ν λυθεί η πιο πάνω εξίσωση, πρέπει ν κτορθωθεί η πρεµβολή µετξύ των τµηµάτων κι που είνι γνωστά δυο µέσων νλόγων. Ν κτσκευστούν δηλδή δυο τµήµτ µε µήκη x, τέτοι ώστε x x () Αν υτό πργµτοποιηθεί τότε η κµή του διπλσίου κύβου θ είνι η x η οποί θ είνι λύση της εξίσωσης x. Πργµτικά πό την () έχουµε: x κι x πό τις οποίες προκύπτει η x x ή x. Οι Έλληνες στην προσπάθειά τους ν λύσουν υτό το πρόβληµ κτάφυγν σε άλλες κµπύλες κι σε άλλ όργν εκτός πό τον κνόν κι τον διβήτη. Με τον τρόπο υτό βρήκν διάφορες λύσεις του προβλήµτος. Οι λύσεις που δόθηκν στο πρόβληµ κτά την ελληνική ρχιότητ () τον ριθµό, σώθηκν κι φθάσνε σε µς πό τον σχολιστή των έργων του Αρχιµήδη Ευτόκιο (6 ος ιώνς µ.χ). Εµείς θ προυσιάσουµε δύο πό υτές.
.. Η λύση του Μένιχµου (0 π.χ) Στον Μένιχµο ποδίνετι η νκάλυψη της πρβολής κι της ισοσκελούς υπερβολής, τις οποίες χρησιµοποίησε στο πρόβληµ του διπλσισµού του κύβου. Τ τρί είδη των κωνικών τοµών τ βρήκν οι Έλληνες, ότν ργότερ µελέτησν υτές τις κµπύλες ως τοµές κώνου πό επίπεδο κι τις ονόµσν έλλειψη, πρβολή κι υπερβολή. Σήµερ µελετάµε τις κµπύλες υτές ως γρφήµτ εξισώσεων δεύτερου βθµού. Η λύση του Μένιχµου γι το πρόβληµ του διπλσισµού του κύβου συνίσττι στο ότι η κτσκευή των δύο µέσων νλόγων που νζητούµε ο Ιπποκράτης, µπορεί ν γίνει, εφόσον προσδιοριστούν οι τοµές δυο πρβολών (ή µις πρβολής κι µις υπερβολής). Από τη συνεχή νλογί του Ιπποκράτη πίρνουµε τις εξισώσεις x x () x. () Από την () προκύπτει ότι x οπότε Από την () προκύπτει ότι x οπότε x () x (6) Το γράφηµ της () είνι µι πρβολή µε κορυφή Ο(ο,ο) κι άξον συµµετρίς τον. Το σηµείο Α(,) νήκει σε υτή κι κτσκευάζετι φού είνι η κµή του δοσµένου κύβου. Συνεπώς, η πρβολή υτή είνι πλήρως κθορισµένη φού ξέρουµε την κορυφή, τον άξον συµµετρίς κι έν σηµείο της. Όµοι το γράφηµ της (6) είνι επίσης µι κθορισµένη πρβολή της οποίς ξέρουµε την κορυφή της Ο(ο,ο), τον άξον συµµετρίς της x x κι το σηµείο της B,. Λύνουµε το σύστηµ των (), (6) κι βρίσκουµε τ σηµεί τοµής τους. Έτσι έχουµε: x x ή x x 0 ή Αν (, ) x ( x ) 0 ή ( x 0 ή x ). Γ είνι το άλλο κοινό τους σηµείο κι η ορθή προβολή του στον
άξον x x, τότε Ο. Άρ το τµήµ υτό είνι η κµή του κύβου που έχει όγκο. Έτσι πρόλο που το πρόβληµ λύθηκε, η λύση υτή δεν πργµτοποιήθηκε µε κνόν κι διβήτη, φού υτά τ όργν δεν επρκούν γι την κτσκευή της πρβολής. Σχ..... Η λύση του Πλάτων (0-0 π.χ) Η λύση που κολουθεί ποδίδετι στον Πλάτων. Στο σχήµ.. τ τρίγων ΒΑ κι Α Γ είνι ορθογώνι. Έχουν την πλευρά Α κοινή κι οι υποτείνουσες ΑΓ κι Β τέµνοντι κάθετ στο Ε. Από την οµοιότητ των τριγώνων ΕΓ, ΑΕ, ΒΕΑ ν θέσουµε ΕΓ, ΕΒ, Ε x κι ΕΑ έχουµε: x x δηλ. η συνεχιζόµενη µέση νλογί του Ιπποκράτη. Η κτσκευή όµως του σχήµτος έτσι ώστε το ΕΓ, 6
ΕΒ κι οι γωνίες A,, Ε ν είνι ορθές γίνετι µε µηχνικό τέχνσµ κι όχι µε κνόν κι διβήτη. Σχ.... Η τριχοτόµηση (τυχούσς) δοσµένης γωνίς Οι ρχίοι Έλληνες ενδιφερόντουσν µετξύ άλλων κι γι κτσκευές γωνιών διφόρων µεγεθών. Γι το σκοπό υτό εφάρµοζν µι ή περισσότερες πό τις κόλουθες διδικσίες.. Την πρόσθεση δύο δοσµένων γωνιών.. Την φίρεση µις δοσµένης γωνίς πό άλλη.. Τη διχοτόµηση δοσµένης γωνίς. Σήµερ δεν γνωρίζουµε κάτω πό ποιες συνθήκες τέθηκε το πρόβληµ της τριχοτόµησης γωνίς στην ελληνική ρχιότητ. Ξέρουµε όµως ότι ποτελούσε το έν πό τ τρί µεγάλ προβλήµτ µετά το ήλιο κι τον τετργωνισµό του κύκλου. Ουσιστικά το πρόβληµ έγκειτι στην τριχοτόµηση οξείς γωνίς, διότι ν είνι µβλεί φιρούµε πό υτήν την ορθή, που µπορεί ν τριχοτοµηθεί µε χάρκ κι διβήτη. Ο Βάντσελ (P.L.Wantzel) πόδειξε το 87 ότι υπάρχουν γωνίες, που δεν είνι δυντό ν τριχοτοµηθούν. Η πόδειξη στηρίχθηκε σε λγεβρικές προτάσεις, µε τις οποίες ποδείχθηκε, όπως θ δούµε πρκάτω, ότι κι ο διπλσισµός του κύβου είνι δύντος. Κι στο πρόβληµ υτό οι ρχίοι Έλληνες, ότν οι προσπάθειες τους µε κνόν κι διβήτη δεν πέδωσν, στράφηκν σε άλλες κµπύλες εκτός του κύκλου κι σε άλλες µεθόδους. 7
Το πρώτο ποτέλεσµ υτής της προσπάθεις ήτν η επινόηση πό τον Ιππί τον Ηλείο, (0 π.χ) της πρώτης κµπύλης στην Ελληνική Γεωµετρί, µετά τον κύκλο, της τετργωνίζουσς, µε τη βοήθει της οποίς έδωσε κι την πρώτη λύση του προβλήµτος κι την οποί θ προυσιάσουµε ργότερ... Μι λύση του Αρχιµήδη (8- π.χ) Ο Αρχιµήδης έδωσε δυο λύσεις. Μι κάνοντς χρήση µις «νεύσης», που δεν κτσκευάζετι στοιχειωδώς, λλά µε κινητική γεωµετρί κι µι µε τη βοήθει της έλικάς του. Εµείς θ προυσιάσουµε την πρώτη λύση. Έστω xo η δοσµένη γωνί. Με κέντρο Ο κι κτίν r γράφουµε κύκλο, που τέµνει τις πλευρές στ σηµεί Α, Β. Προεκτείνουµε το τµήµ ΑΟ κτά τη διεύθυνση πό το Α προς το Ο. Φέρνουµε πό το Β ευθεί που ν τέµνει τον κύκλο κι την προέκτσή του ΑΟ στ σηµεί Γ, ντίστοιχ ώστε ν είνι Γ r, τότε θ είνι Α Β ΑΟΒ. Απόδειξη: Επειδή Γ ΓΟ ΟΒ r, τ τρίγων ΓΟ κι ΓΟΒ είνι ισοσκελή. Συνεπώς Ο Γ ΓΟ κι ΟΓΒ ΓΒΟ. Άρ ΑΟΒ Ο Γ ΓΒΟ Ο Γ ΟΓΒ Ο Γ Ο Γ ΓΟ Ο Γ Α Β δηλ. Α Β ΑΟΒ. Η νεύση χρησιµοποιείτι ότν φέρνουµε την ευθεί Γ (Γ στον κύκλο, στην ευθεί ΟΑ ) µε τέτοιο τρόπο ώστε ν ικνοποιείτι η συνθήκη ν περνάει η ευθεί πό το Β κι η συνθήκη ν είνι r το µήκος του τµήµτος Γ. Σχ... 8
.. Η λύση του Νικοµήδη (0 π.χ) Έστω AO B η δοσµένη γωνί που ζητούµε ν τριχοτοµήσουµε. Έστω ΟΒ. Φέρνουµε ΒΓ ΟΑ κι την ηµιευθεί Β //ΟΑ. Κτόπιν φέρνουµε την ηµιευθεί OPQ, έτσι ώστε ν είνι PQ OB. Τότε ποδείχνετι). AOQ AOB (εύκολ Η νεύση γίνετι στο σηµείο που τοποθετούµε το PQ ώστε Ρ ΒΓ, το Q στο Β κι η ευθεί PQ ν διέρχετι πό το Ο. Ρ Σχ... Τόσο η λύση του Αρχιµήδη όσο κι η λύση του Νικοµήδη µπορούν ν πργµτοποιηθούν µε τη βοήθει της κµπύλης που λέγετι κογχοειδής (βλ. [], σελ. 8). Μετά την ελληνική ρχιότητ δόθηκν διάφορες λύσεις του προβλήµτος είτε µε τη βοήθει νέων κµπυλών, είτε µε τη βοήθει της ιδές των ισοσκελών τριγώνων του Αρχιµήδη κι την κινητική Γεωµετρί. Οι λύσεις υτές ούτε πλούστερες, ούτε κοµψότερες είνι εκείνων των ρχίων Ελλήνων γεωµετρών.. Ο Ιππίς κι ο τετργωνισµός του κύκλου O Iππίς (0 π.χ) είνι ο πρώτος γεωµέτρης που «έλυσε» το πρόβληµ της τριχοτόµησης µις γωνίς, µε τη βοήθει µις κµπύλης που επινόησε γι το σκοπό υτό. Η κµπύλη υτή πολύ ργότερ ονοµάστηκε τετργωνίζουσ, επειδή ο εινόστρτος, την χρησιµοποίησε γι ν τετργωνίσει τον κύκλο. Η κµπύλη υτή είνι η τροχιά ενός σηµείου που συµµετέχει σε δυο οµλές κινήσεις. Ας δούµε πως πράγετι. 9
Σχ... Θεωρούµε τετράγωνο ΑΒΓ µε πλευρά κι γράφουµε κύκλο µε κέντρο Α κι κτίν. υο σηµεί Μ κι Λ κινούντι µε στθερή τχύτητ πάνω στην Α κι στο τόξο Β ντίστοιχ. Ξεκινώντς την ίδι χρονική στιγµή πό το Α κι το Β τ δυο σηµεί φθάνουν τυτόχρον στο. Το σηµείο τοµής Ζ της ΑΛ κι της πρλλήλου προς την ΑΒ πό το Μ διγράφει την τετργωνίζουσ. Από τον ορισµό υτό προκύπτει ότι είνι νάλογο του θ. Επιπλέον επειδή γι, θ π/, έχουµε: π θ πό την σχέση κι x tn θ, η εξίσωση της κµπύλης γίνετι:, (x ) 0 π θ n t n t x ή π n t x () Από την () προκύπτει: π n t x, ( 0) () Η κµπύλη υτή τέµνει τον άξον x στο σηµείο µε τετµηµένη π π π π π π π π n t lim n t lim n t lim x 0 0 0 δηλ. π x. Αν κτορθωνότν µε κνόν κι διβήτη η κτσκευή του ΑΗ, τότε µε κνόν κι διβήτη θ µπορούσµε ν κτσκευάσουµε κι το π, διότι πό την σχέση π ΑΗ έχουµε π ΑΗ. ηλδή το π θ κτσκευζότν ως η τέτρτη 0
νάλογος των ΑΗ,,. Κτόπιν ν x η πλευρά του ζητούµενου τετργώνου µε εµβδό ίσο µε το εµβδό του κύκλου κτίνς θ έχουµε x π ή x π. Η κτσκευή τώρ του x είνι γνωστή κι έτσι προκύπτει η πλευρά του ζητούµενου τετργώνου (βλ. [], σελ. ). Η εφρµογή της κµπύλης στην τριχοτόµηση της γωνίς είνι πιο πλή. Έστω γι τριχοτόµηση η οξεί γωνί ΖΑΒ θ. Από την εξίσωση της κµπύλης θ π θ θ προκύπτει που φνερώνει ότι η γωνί ντιστοιχεί σε έν σηµείο Z π της κµπύλης του οποίου η τετγµένη είνι. Το σηµείο Z κτσκευάζετι ρκεί ν τριχοτοµήσουµε το τµήµ ΖΚ κι πό το ύψος ΛΖ προς την ΑΧ. Τότε Z θ AB. ΚΛ ν φέρουµε πράλληλο Οι ρχίοι Έλληνες δεν θ σκέφθηκν έτσι. Το πιθνότερο είνι ν εκµετλλεύτηκν την ιδιότητ της τετργωνίζουσς κτά την οποί, ότν η πλευρά Γ κτεβίνει ίσ µήκη, η Α που στρέφετι ισόχρον, θ διγράφει ίσ τόξ. Με τον τρόπο υτό θ υπάρχει ντιστοιχί νάµεσ στο τρίτο του ευθυγ. τµήµτος κι στο τρίτο του τόξου. Πρέπει ν πρτηρήσουµε κόµ ότι η τριχοτόµηση οξείς γωνίς γίνετι νεξάρτητ πό τον προσδιορισµό ή όχι του τµήµτος ΑΗ κι ότι µε τη διδικσί υτή το πρόβληµ λύνετι γενικά, φού η δοσµένη γωνί µπορεί ν διιρεθεί σε όσ ίσ µέρη θέλουµε. Προϋπόθεση γι όλ υτά είνι ν έχουµε σχεδιάσει την κµπύλη πράγµ που είνι κτορθωτό µε τον προσδιορισµό ικνού πλήθους σηµείων κι όχι µε συνεχή κίνηση.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Κριτήρι γι τις κτσκευές Το δύντο της επίλυσης των «περίφηµων» ρχίων ελληνικών προβληµάτων. Κτσκευάσιµοι ριθµοί Θεωρούµε έν ευθύγρµµο τµήµ το οποίο λµβάνουµε ως µονδιίο. Ένς πργµτικός ριθµός λέγετι κτσκευάσιµος ν µπορούµε ν κτσκευάσουµε έν ευθύγρµµο τµήµ µήκους µε πεπερσµένο πλήθος βηµάτων, ξεκινώντς πό το πρπάνω µονδιίο ευθύγρµµο τµήµ κι χρησιµοποιώντς µόνο κνόν κι διβήτη. Με κνόν κι διβήτη, µετξύ των άλλων, µπορούµε ν φέρουµε πό έν γνωστό σηµείο µις ευθείς την κάθετη σ υτήν κι ν βρούµε µι ευθεί που ν περνάει πό δοσµένο σηµείο κι ν είνι πράλληλη σε δοσµένη ευθεί. Το πρώτο σχετικό ποτέλεσµ είνι το κόλουθο θεώρηµ. Θεώρηµ Αν κι β είνι κτσκευάσιµοι πργµτικοί ριθµοί, τότε το ίδιο ισχύει κι γι τους β, -β, β, /β, ( β 0). Απόδειξη Αφού οι, β είνι κτσκευάσιµοι, υπάρχουν ευθύγρµµ τµήµτ µε µήκη κι β. Αν, β>0 η κτσκευή των ευθυγράµµων τµηµάτων µε µήκη β, -β φίνετι στο Σχ... Αν κι β δεν είνι κι οι δυο θετικοί, µι προφνής διάκριση περιπτώσεων νάλογ µε τ πρόσηµ τους δείχνει ότι β κι -β είνι κι πάλι κτσκευάσιµοι. Κτσκευάζουµε τώρ τον ριθµό β. Θεωρούµε δυο ηµιευθείες ΟΧ κι ΟΥ κι πίρνουµε πάνω σ υτές τ ευθύγρµµ τµήµτ ΟΑ µε µήκος στην ΟΧ κι ΟΒ µε µήκος β κι ΟΡ µε µήκος στην ΟΥ. β β Σχ... -β β
Σχ... Γ Σχ... Φέρουµε το ΡΑ κι πό το Β ευθεί πράλληλη προς την ΡΑ που τέµνει την ΟΧ στο σηµείο Γ. Από το θεώρηµ Θλή ή πό την οµοιότητ των τριγώνων ΟΡΑ κι ΟΒΓ έχουµε: β ΟΓ ή ΟΓ β β (βλέπε Σχ...). Τέλος κτσκευάζουµε τον ριθµό /β, β 0. Θεωρούµε τις ηµιευθείες ΟΧ, ΟΥ κι πάνω στην ΟΧ πίρνουµε ευθύγρµµο τµήµ ΟΑ µε µήκος. Στην ΟΥ πίρνουµε δυο ευθύγρµµ τµήµτ ΟΒ µε µήκος β κι ΟΡ µε µήκος. Φέρουµε το ΒΑ κι πό το Ρ φέρουµε πράλληλη προς την ΒΑ που τέµνει την ΟΧ στο Γ. Από το θεώρηµ του Θλή ή πό τ όµοι τρίγων. ΟΒΑ κι ΟΡΓ έχουµε: ΟΓ β ή ΟΓ β β (βλέπε Σχ...).
Από το προηγούµενο θεώρηµ προκύπτει άµεσ το εξής: Πόρισµ Το σύνολο όλων των κτσκευάσιµων πργµτικών ριθµών είνι έν υπόσωµ F του σώµτος των πργµτικών ριθµών. Πρτήρηση Το σώµ F όλων των κτσκευάσιµων πργµτικών ριθµών περιέχει το Q, το σώµ των ρητών ριθµών, φού το Q είνι το µικρότερο υπόσωµ του. Θεωρούµε τώρ µονάδ µήκους στον άξον Χ Χ το δοσµένο µονδιίο τµήµ. Έτσι µπορούµε ν εντοπίσουµε οποιοδήποτε σηµείο του επιπέδου του οποίου κι οι δυο συντετγµένες είνι ρητές. Οποιοδήποτε άλλο σηµείο του επιπέδου, που µπορούµε ν εντοπίσουµε µε κνόν κι διβήτη, µπορεί ν βρεθεί µε ένν πό τους πιο κάτω τρόπους. () Ως τοµή δυο ευθειών όπου κάθε µι διέρχετι πό δυο γνωστά σηµεί µε ρητές συν/νες. () Ως τοµή µις ευθείς που διέρχετι πό δυο γνωστά σηµεί, µε ρητές συν/νες κι ενός κύκλου του οποίου το κέντρο έχει ρητές συν/νες κι το τετράγωνο της κτίνς του είνι ρητός ριθµός. () Ως τοµή δυο κύκλων µε κέντρ που έχουν ρητές συν/νες κι τ τετράγων των κτίνων τους είνι ρητοί ριθµοί. Στην περίπτωση () µι κοινή λύση δυο γρµµικών εξισώσεων της µορφής x b c 0 (εξισώσεις ευθειών) a, b, c Q, οδηγεί σε ρητές τιµές των x,, εποµένως δεν έχουµε νέ σηµεί. Στην περίπτωση () η λύση του συστήµτος των εξισώσεων των κύκλων: x x β γ 0 x x β γ 0 οδηγεί στην περίπτωση () της τοµής του κύκλου x x β γ 0 κι της ευθείς ( ) ( β β ) γ γ 0 (Ριζικός άξονς των δύο κύκλων). x Η λύση του συστήµτος υτού οδηγεί σε µι δευτεροβάθµι εξίσωση µε ρητούς συντελεστές η οποί µπορεί ν έχει λύσεις, στις οποίες εµφνίζοντι τετργωνικές ρίζες ριθµών που δεν είνι τετράγων στο Q.
Έτσι ν Η είνι το µικρότερο σώµ που περιέχει όλους τους πργµτικούς ριθµούς που έχουµε κτσκευάσει ως τώρ, τότε ο επόµενος νέος ριθµός που θ κτσκευάσουµε περιέχετι σε κάποιο σώµ ( ) επόµενο θεώρηµ (βλ. [], σελ. 6). Η, Η κι >0. Ισχύει το Θεώρηµ Το σώµ F των κτσκευάσιµων πργµτικών ριθµών ποτελείτι κριβώς πό εκείνους τους πργµτικούς ριθµούς που µπορούµε ν πάρουµε πό τους ρητούς, εξάγοντς τετργωνικές ρίζες θετικών ριθµών πεπερσµένες το πλήθος φορές κι εφρµόζοντς πεπερσµένες το πλήθος πράξεις του σώµτος. Αν ο ριθµός >0 είνι κτσκευάσιµος τότε κι ο ριθµός είνι κτσκευάσιµος (βλέπε σχήµ..). Εποµένως, οι τετργωνικές ρίζες των κτσκευάσιµων ριθµών είνι κτσκευάσιµες. Σχ.... Κτσκευή των ριζών της δευτεροβάθµις εξίσωσης ( > b ) x x b 0 Κτσκευάζουµε, (βλ. Σχ...), έν κύκλο µε διάµετρο Β όπου Β(0,) κι (, b). Αν G κι F τ σηµεί τοµής του κύκλου µε τον άξον x, τότε OG, OF είνι οι ρίζες της εξίσωσης. Πργµτικά η εξίσωση του κύκλου είνι: b x ( b ). Θέτουµε 0, οπότε 6
( b ) b x ή x x b 0. Έτσι τ σηµεί τοµής του κύκλου µε τον άξον x έχουν τετµηµένες της ρίζες x, x της εξίσωσης, δηλδή G(x, 0), F(x,0). Σχ.... Έν νλυτικό κριτήριο γι τις κτσκευές Γι ν πντήσουµε στο ερώτηµ, ποιες γεωµετρικές κτσκευές είνι δυντές µε κνόν κι διβήτη, είνι νάγκη ν βρούµε έν νλυτικό κριτήριο γι την κτσκευσιµότητ. Κάθε πρόβληµ κτσκευής εµφνίζετι µε δοσµέν στοιχεί, b, c, κι χρειάζετι ν βρούµε άλλ στοιχεί x,, z, Οι συνθήκες του προβλήµτος ορίζουν έν σύνολο ποτελούµενο πό µι ή περισσότερες εξισώσεις µε συντελεστές που πριστάνουν τ δοσµέν στοιχεί,b,c, Οι λύσεις των εξισώσεων θ µς επιτρέψουν ν εκφράσουµε τ άγνωστ στοιχεί συνρτήσει των γνωστών στοιχείων. Γνωρίζουµε ότι οι ρίζες µις γρµµικής ή µις δευτεροβάθµις εξίσωσης, µπορούν ν κτσκευστούν. Θ διερευνήσουµε τη δυντότητ κτσκευής των ριζών µις εξίσωσης βθµού µεγλύτερου πό το κι ιδιίτερ µις κυβικής εξίσωσης. Με τον όρο «κτσκευάσιµη ρίζ» µις εξίσωσης εννοούµε κάθε ρίζ της ρ, που έχει την ιδιότητ: Όποι µονάδ µέτρησης µηκών κι ν δοθεί, µπορεί ν κτσκευστεί µε κνόν κι διβήτη ευθύγρµµο τµήµ, του οποίου το µήκος ν είνι ίσο ρ. 7
Γνωρίζουµε πό την Άλγεβρ το εξής θεώρηµ: Ανγκί κι ικνή συνθήκη ώστε ν είνι δυντή η κτσκευή ενός γεωµετρικού στοιχείου µε κνόν κι διβήτη είνι το στοιχείο υτό ν πράγετι πό τ δοσµέν στοιχεί µε έν πεπερσµένο ριθµό ρητών πράξεων (πρόσθεση, φίρεση, πολ/µό, διίρεση) κι εξγωγή πργµτικών τετργωνικών ριζών (βλ. [], σελ. ). Εποµένως, σύµφων µε το θεώρηµ, δυντές είνι εκείνες οι κτσκευές των γεωµετρικών στοιχείων που λµβάνοντι πό τ δοσµέν στοιχεί µε πεπερσµένο ριθµό ρητών πράξεων κι εξγωγή πργµτικών τετργωνικών ριζών. Ακόµ, σύµφων µε το θεώρηµ, ν θέλουµε ν δείξουµε ότι έν γεωµετρικό στοιχείο δεν µπορεί ν κτσκευστεί µε κνόν κι διβήτη, ρκεί ν δείξουµε ότι η ντίστοιχη εξίσωση µε άγνωστο το στοιχείο υτό, δεν έχει λύση που ν δίνει το στοιχείο υτό ως έκφρση πεπερσµένου ριθµού ρητών πράξεων κι πργµτικών τετργωνικών ριζών. Γι τις κυβικές εξισώσεις ισχύει το κόλουθο θεώρηµ. Εάν µι κυβική εξίσωση µε ρητούς συντελεστές δεν έχει ρητή ρίζ, τότε κµιά πό τις ρίζες της δεν είνι κτσκευάσιµη (βλ. [], σελ. 0). Κάθε κυβική εξίσωση µε ρητούς συντελεστές θ λέµε ότι είνι επιλύσιµη στο σώµ των ρητών ριθµών, εάν υτή έχει τουλάχιστον µι ρητή ρίζ. Αν η εξίσωση δεν έχει ρητή ρίζ θ λέµε ότι δεν είνι επιλύσιµη στο σώµ των ρητών ριθµών. Έτσι κµιά ρίζ µις µη επιλύσιµης (ή µη νάγωγης) στο Q κυβικής εξίσωσης δεν µπορεί ν κτσκευστεί. Αν µι κυβική εξίσωση µε ρητούς συντελεστές έχει µι κτσκευάσιµη ρίζ, υτή επίσης έχει µι ρητή ρίζ. Τελικά ισχύει το εξής θεώρηµ: Οι ρίζες µις κυβικής εξίσωσης µε ρητούς συντελεστές, είνι κτσκευάσιµες ν κι µόνο ν η εξίσωση έχει µι ρητή ρίζ. Αν η εξίσωση είνι µη επιλύσιµη στο σώµ των ρητών ριθµών, τότε κµιά πό υτές τις ρίζες δεν µπορεί ν κτσκευστεί µε κνόν κι διβήτη (βλ. [], σελ. 6). Θ στηριχθούµε σ υτό το θεώρηµ γι ν δώσουµε πάντηση στο ερώτηµ της επιλυσιµότητς των κόλουθων προβληµάτων: ιπλσισµός του κύβου. Τριχοτόµηση γωνίς. Κτσκευή κνονικού πολυγώνου µε 7 ή 9 πλευρές. 8
Γι το πρόβληµ του τετργωνισµού του κύκλου χρειζόµστε διφορετικής φύσεως ποτελέσµτ.. Το δύντο του διπλσισµού του κύβου Εκλέγουµε τη µονάδ µέτρησης µηκών ίση µε την κµή του δοσµένου κύβου. Τότε ο όγκος του κύβου θ είνι: Ο κύβος, λοιπόν που ζητάµε, θ έχει όγκο. Θέλουµε ν κτσκευάσουµε έν ευθύγρµµο τµήµ µε µήκος ίσο µε την κµή υτού του κύβου. Έστω x το µήκος υτού του τµήµτος. Θ πρέπει ν έχουµε: x () Αν δείξουµε ότι η () δεν έχει κτσκευάσιµη ρίζ, τότε ο διπλσισµός του κύβου θ είνι δύντος. Γι το σκοπό υτό ρκεί ν δείξουµε ότι η () δεν έχει ρητή ρίζ. Έστω ότι η εξίσωση έχει ρητή ρίζ της µορφής /b,, b κέριοι, b 0. Υποθέτουµε ότι ο ρητός /b έχει τους µικρότερους όρους κι οι, b δεν έχουν κοινό πράγοντ µεγλύτερο πό το. Τότε ή b b. Τότε ο θ είνι άρτιος κέριος, έστω n. Τότε όµως θ έχουµε (n) b ή 8n b ή b n. Άρ κι ο b θ πρέπει ν είνι άρτιος κι εποµένως κι ο b θ είνι άρτιος. Αυτό όµως έρχετι σε ντίθεση µε την υπόθεση ότι οι, b δεν έχουν κοινό πράγοντ µεγλύτερο πό το. Συνεπώς η εξίσωση δεν έχει ρητή ρίζ κι εποµένως οι ρίζες της είνι µη κτσκευάσιµες µε κνόν κι διβήτη. Αποδείξµε εποµένως το δύντο υτής της κτσκευής.. Το δύντο της τριχοτόµησης της γωνίς των 60 ο Ορισµένες γωνίες µπορούν ν τριχοτοµηθούν χωρίς δυσκολί. Γι πράδειγµ µι ορθή γωνί µπορεί ν τριχοτοµηθεί επειδή η γωνί των 0 ο µπορεί ν κτσκευστεί. Αντίθετ δεν υπάρχει διδικσί κάνοντς χρήση µόνο κνόν κι διβήτη γι την κτσκευή του µις υθίρετης γωνίς. Θ ποδείξουµε υτό 9
τον ισχυρισµό εάν ποδείξουµε γι πράδειγµ ότι η γωνί των 60 ο δεν µπορεί ν τριχοτοµηθεί. Είνι γνωστό ότι: cosθ cos θ cosθ. Έστω θ 60 ο τότε cosθ. Θέτουµε x cosθ cos0 o x x. Τότε ή x x 0. Θ ποδείξουµε ότι υτή η κυβική εξίσωση είνι µη επιλύσιµη στο σώµ των ρητών. Έστω x /b όπου, b κέριοι µε µη κοινό πράγοντ µεγλύτερο πό, b b b 0 ή b 0. Τότε 0 b b b ή b ( b ) ή 0 ή b b. Τότε ο είνι διιρέτης του b. Επειδή κι b δεν έχουν κοινό πράγοντ µεγλύτερο πό το, το πρέπει ν είνι ή -. Όµοι b b ή b (b). Τότε b είνι διιρέτης του. Οπότε b είνι επίσης ή -. Έτσι οι µόνες δυντές ρητές ρίζες της εξίσωσης x x 0 είνι ±. Όµως οι ριθµοί υτοί δεν είνι ρίζες της εξίσωσης. Συνεπώς, η εξίσωση υτή δεν έχει λύση στο σώµ των ρητών κι εποµένως οι ρίζες o της δεν είνι κτσκευάσιµες µε κνόν κι διβήτη. Άρ το cos0 δεν µπορεί ν κτσκευστεί µε κνόν κι διβήτη. Επειδή µι γωνί µπορεί ν κτσκευστεί ν κι µόνο ν το συνηµίτονό της κτσκευάζετι, έχουµε ποδείξει ότι η γωνί των 0 ο δεν µπορεί ν κτσκευστεί κι εποµένως µι υθίρετη γωνί δεν µπορεί ν τριχοτοµηθεί. Σηµείωση Μι άλλη µέθοδος γι ν ποδείξουµε ότι η εξίσωση x x 0 δεν έχει λύση στο σώµ των ρητών ριθµών είνι ν χρησιµοποιήσουµε το κόλουθο θεώρηµ πό την άλγεβρ. Εάν η εξίσωση C o x n C x n- C n 0 µε συντελεστές κέριους έχει ρητή ρίζ /b, τότε είνι διιρέτης του C n κι b είνι πράγοντς του Co (βλ. [], σελ. 0). Με βάση το θεώρηµ υτό κτλήγουµε στο συµπέρσµ ότι ± είνι οι µόνες πιθνές ρητές ρίζες της εξίσωσης x x 0. 0
.6 Το πρόβληµ του τετργωνισµού του κύκλου Οι Έλληνες ήτν σε θέση ν κτσκευάσουν έν τετράγωνο ίσο µε το εµβδόν ενός δοσµένου πολυγώνου. Έτσι γι ν κτσκευάσουµε έν τετράγωνο µε εµβδόν ίσο µε το εµβδόν δοσµένου πρλληλογράµµου πίρνουµε την εξίσωση x όπου b κι h είνι η βάση κι το ύψος του πρλληλόγρµµου κι x είνι η πλευρά του τετργώνου. b h Γράφουµε ηµικύκλιο µε διάµετρο b h. Φέρουµε κάθετο στην DF στο σηµείο Ε, που τέµνει το ηµικύκλιο στο σηµείο G. Τότε EG x (η πόδειξη είνι πλή). Σχ..6. Η κτσκευή τετργώνου ίσου σε εµβδό µε το εµβδό δοσµένου τετρπλεύρου γίνετι ως εξής. Φέρνουµε τη διγώνιο DB του τετράπλευρου ABCD. Από την κορυφή C φέρνουµε πράλληλη προς την DB που τέµνει την προέκτση της ΑΒ στο σηµείο F. Φέρνουµε την DF. Τότε το τρίγωνο AFD είνι ίσο σε εµβδό µε το τετράπλευρο ABCD (πλή πόδειξη). Έν τετράγωνο µπορεί ν κτσκευστεί ίσο σε εµβδό µε κάθε δοσµένο τρίγωνο ν κάνουµε χρήση της εξίσωσης x b h. Σχ..6.
Θ δούµε τώρ, ν µπορούµε ν κτσκευάσουµε έν τετράγωνο ίσο σε εµβδό µε έν δοσµένο κύκλο µε κτίν τη µονάδ. Αν x η πλευρά του τετργώνου, τότε έχουµε την εξίσωση x π ή π η οποί µς οδηγεί στην εξής κτσκευή. Γράφουµε ηµικύκλιο µε διάµετρο AC π κι φέρουµε κάθετο πάνω στην AC στο σηµείο Β, που τέµνει το ηµικύκλιο στο D. Αλλά πώς θ προσδιορίσουµε γεωµετρικά έν µήκος ΑΒπ; x Σχ..6. Υπάρχουν τρεις περίοδοι στην ιστορί των προσπθειών γι την κτσκευή του π γεωµετρικά, δηλδή µε κνόν κι διβήτη ή στον κθορισµό της λγεβρικής τιµής του. Η πρώτη περίοδος εκτείνετι πό τους ρχίους χρόνους µέχρι το µέσο του 7 ου ιών. Χρκτηρίζετι πό έξυπνες προσπάθειες υπολογισµού προσεγγιστικών τιµών του π µε κθρά γεωµετρικές µεθόδους. Σε προηγούµενο κεφάλιο ποδείξµε ότι η τετργωνίζουσ του Ιππί θ µπορούσε ν χρησιµοποιεί στην κτσκευή του κι στον τετργωνισµό του κύκλου, λλά η τετργωνίζουσ πό µόνη της δεν π µπορεί ν κτσκευστεί µε κνόν κι διβήτη. Ο Αρχιµήδης µε εγγρφή κι περιγρφή σε δοσµένο κύκλο ενός κνονικού 0 πολυγώνου µε 96 πλευρές πέτυχε ν ποδείξει ότι > π >. 7 7 Πριν το τέλος της πρώτης περιόδου ο Ludolph van Ceulen (6 ος ιώνς) υπολόγισε το π µε 7 ψηφί. Πρέπει εδώ ν σηµειώσουµε ότι υτές οι τιµές του π, βρέθηκν ότν κόµ δεν γνώριζν ν ο ριθµός π είνι ρητός ή όχι.
Οι Έλληνες πορροφήθηκν στην δική τους έρευν γι τη λύση του προβλήµτος του τετργωνισµού του κύκλου πό µι νκάλυψη του Ιπποκράτη ( ος ιώνς π.χ). Ο Ιπποκράτης πέδειξε ότι είνι δυντή η κτσκευή ενός τετργώνου ίσου σε εµβδό µε το εµβδό ενός κµπυλόγρµµου σχήµτος. Πιο συγκεκριµέν, θεώρησε έν ορθογώνιο κι ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, κι έγρψε τόξο κύκλου µε κέντρο Α κι κτίν ΑΒ. Με κέντρο το µέσο Μ του ΒΓ κι κτίν ΜΒ έγρψε το ηµικύκλιο Β Γ. Το εµβδό του µηνίσκου Β ΓΖ είνι ίσο µε το εµβδό του τετργώνου που έχει πλευρά ίση µε το µήκος του ΜΓ. Σχ..6. Το γεγονός ότι µπορεί ν κτσκευστεί έν τετράγωνο ίσο σε εµβδό µε το εµβδό του µηνίσκου έκνε τους Έλληνες µθηµτικούς ν πιστέψουν ότι ο τετργωνισµός του κύκλου δεν θ ήτν τόσο δύσκολος. Η πρώτη περίοδος τελείωσε χωρίς ν δοθεί λύση στο πρόβληµ. Η δεύτερη περίοδος ρχίζει στο δεύτερο µισό του 7 ου ιών. Με τη βοήθει της Νεώτερης Ανάλυσης οι Newton, Fermat, Wallis κι Euler προσέγγισν το πρόβληµ, µε ποτέλεσµ ν νκλυφθούν νέες ριθµητικές εκφράσεις γι το π (πεπλεγµένες µη περσµένες σειρές κι συνεχή κλάσµτ). Το 68 ο Adam Kochansk έδωσε την κόλουθη κτσκευή γι τον τετργωνισµό του κύκλου. Έστω κύκλος µε κτίν, ΑΒ µι διάµετρός του κι Βx η εφπτοµένη του. Γράφουµε τον κύκλο (Β, ) κι έστω Γ το σηµείο τοµής του µε το (Ο, ). Θεωρούµε κόµ τον κύκλο (Γ, ) που κόβει τον κύκλο (Β, ) σε έν σηµείο εκτός πό το Ο. Αν τώρ η Ο τέµνει την Βx στο σηµείο Ε κι πάρουµε στη Βx το τµήµ ΕΖ τότε θ είνι ΑΖ π (προσεγγιστικά).
Σχ..6. Το 89 ο Jakob de Gelder, χρησιµοποίησε µι προσέγγιση του π που λµβάνετι πό συνεχή κλάσµτ µε τη βοήθει ενός ευθυγράµµου τµήµτος µε µήκος πολύ κοντά στο π. Η προσέγγιση που χρησιµοποίησε ο Gelder είνι,9.... 7 8 Αυτή την περίοδο πρόλο που τ µέσ υξήθηκν γι κριβέστερη προσέγγιση του π, δεν νκλύφθηκε τίποτε, σχετικά µε τη θεµελιώδη φύση του π, δηλδή ν είνι ρητός ή άρρητος ριθµός. Όµως, το 76 ο Γερµνός Μθηµτικός Lambert, πέδειξε ότι ο ριθµός π είνι άρρητος, δηλδή δεν µπορεί ν εκφρστεί σν κλάσµ ή τερµτιζόµενος δεκδικός ή µη πεπερσµένος περιοδικός δεκδικός. Εποµένως οι προσπάθειες υπολογισµού της ρητής τιµής του π πήρν τέλος. Το πρόβληµ όµως του τετργωνισµού του κύκλου έµενε κι τότε νπάντητο, επειδή υπάρχουν πολλοί άρρητοι ριθµοί, όπως γι πράδειγµ ο, οι οποίοι µπορούν ν κτσκευστούν µε κνόν κι διβήτη. Όµως, κτά τη διάρκει υτής της περιόδου, ο Euler έκνε µι θεµελιώδη νκάλυψη, που οδήγησε ργότερ στην τελική λύση του προβλήµτος. Χρησιµοποίησε άπειρες σειρές νπτυγµάτων γι διάφορες συνρτήσεις όπως : x x sin x x... (x το µέτρο σε rad)!! cos x e x x! x...! x x x x...!!!
ix x ix x Τότε e ix... κι!!! έτσι µπορούµε ν ποδείξουµε ότι e ix cos x isin x. Ειδικά γι θ π πίρνουµε την εξίσωση: e i π 0 Η εξίσωση υτή είνι µι, πό τις περισσότερο εκπληκτικές σχέσεις στ µθηµτικά, κθώς συνδέει τις θεµελιώδεις στθερές e, π, i κι. Αυτή η εξίσωση βοήθησε τον Lindemann στην τελική πάντηση σχετικά µε το πρόβληµ του τετργωνισµού του κύκλου. Έτσι, στην τρίτη περίοδο, η µεγάλη δύνµη της Ανάλυσης έδωσε τη λύση του προβλήµτος. Το 87 ο Hermite πέδειξε ότι ο ριθµός e είνι υπερβτικός (βλ. [], σελ. 6 67). Υπερβτικοί ριθµοί ονοµάζοντι υτοί που δεν είνι λγεβρικοί. Ένς λγεβρικός ριθµός είνι µι λύση µις πολυωνυµικής εξίσωσης n n 0 x x... n 0, όπου όλοι οι συντελεστές κέριοι., είνι 0,..., Ένς υπερβτικός ριθµός λοιπόν, δεν είνι ρίζ κµίς πολυωνυµικής εξίσωσης µε κέριους ή ρητούς συντελεστές. Γι πράδειγµ, ν τυχίοι κέριοι τότε 0e e 0. 0, n, είνι Ο πρώτος υπερβτικός ριθµός βρέθηκε πό τον Liouville, το 8. Αυτός εκφράζετι πό τη µη πεπερσµένη σειρά.... O Liouville βρήκε!! 0 0 0 ολόκληρη κλάση ριθµών, οι οποίοι όπως πέδειξε είνι υπερβτικοί, λλά ο π δεν ήτν µέσ σε υτή την κλάση. Ο Liouville πέδειξε ότι ο ριθµός e δεν µπορεί ν είνι ρίζ µις δευτεροβάθµις εξίσωσης µε ρητούς συντελεστές δηλ. 0e e 0. Το τελικό βήµ γι τη λύση του προβλήµτος του τετργωνισµού του κύκλου εδόθη το 88 πό τον Lindemann, ότν γενίκευσε το ποτέλεσµ που πήρε πό τον P Hermite κι πόδειξε ότι στην εξίσωση της µορφής e P e 0... 0 οι εκθέτες κι οι συντελεστές δεν είνι δυντόν ν είνι όλοι κέριοι λλά κι ότι υτοί δεν µπορούν ν είνι όλοι λγεβρικοί ριθµοί. Αν εφρµόσουµε υτό το ποτέλεσµ στην εξίσωση Euler πi e 0, επειδή είνι λγεβρικός ριθµός, ο
ριθµός πi είνι υπερβτικός. Επειδή οι λγεβρικοί ριθµοί ποτελούν σώµ, το γινόµενο δυο οποιωνδήποτε λγεβρικών ριθµών είνι λγεβρικός. Όµως ο ριθµός i είνι λγεβρικός (είνι ρίζ της εξίσωσης x 0), εποµένως ο π πρέπει ν είνι υπερβτικός, διφορετικά ο πi θ ήτν λγεβρικός. Κτά συνέπει ο π δεν είνι ρίζ κµίς πολυωνυµικής εξίσωσης κι εποµένως δεν µπορεί ν εκφρστεί µε όρους ρητών πράξεων κι πργµτικών τετργωνικών ριζών κερίων. Άρ δεν είνι δυντό ν κτσκευστεί έν τετράγωνο ίσο σε εµβδό µε το εµβδό κύκλου µε κτίν. Πρ όλο που πλέον είνι γνωστό ότι ο ριθµός π είνι άρρητος κι υπερβτικός, οι µθηµτικοί ενδιφέρθηκν ν βρουν περισσότερ ψηφί στο δεκδικό νάπτυγµ του π. Έτσι µε τη βοήθει υπολογιστών υψηλών τχυτήτων, έχουν βρεθεί πάνω πό 6 6 0 (Yasumasha Kananta, Ιάπων) δεκδικά ψηφί. «Φιλοσοφικό» σχόλιο Βλέπουµε πό τ πρπάνω ότι ν κι τ πρώτ δύο προβλήµτ («ήλιο» πρόβληµ, τριχοτόµηση γωνίς ) πντήθηκν χρησιµοποιώντς σχετικά στοιχειώδη ποτελέσµτ γι λγεβρικές εξισώσεις, γι τον τετργωνισµό του κύκλου χρειάστηκε ν νπτυχθούν ρκετά µθηµτικά (πειροστικός λογισµός, σειρές κ.λ.π.) γι ν δοθεί πάντηση. Τ µθηµτικά υτά ήτν σε εντελώς διφορετική κτεύθυνση πό εκείν του 6 ου ιών. Κάτι ντίστοιχο συνέβη µε την πόδειξη του θεωρήµτος Fermat πό τον Wiles (998), όπου έπρεπε ν περάσουν ρκετά χρόνι γι ν νπτυχθεί κι ν ωριµάσει η λγεβρική γεωµετρί (ελλειπτικές κµπύλες, modularforms κ.λ.π.). Σηµειώνουµε εδώ, ότι η κτεύθυνση υτή ξεφεύγει ρκετά πό τις προηγούµενες ποδείξεις ειδικών περιπτώσεων του θεωρήµτος Fermat, που χρησιµοποίησν ουσιστικά λγεβρική θεωρί ριθµών (Επεκτάσεις Kümmer κ.λ.π.). 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Κτσκευή κνονικών πολυγώνων. Κτσκευή κνονικών πολυγώνων στην ρχιότητ. (επιπρόσθετες πρτηρήσεις) Έν πό τ προβλήµτ που κράτησν το ενδιφέρον κι την προσοχή των µεγλύτερων µθηµτικών πό την ρχιότητ ως τον 9 ο ιών, είνι το πρόβληµ της διίρεσης δοσµένου κύκλου σε ίσ τόξ. Ενώνοντς τ σηµεί της διίρεσης µε χορδές προκύπτει έν κνονικό πολύγωνο (έν πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές ίσες κι όλες τις γωνίες ίσες). Οι Έλληνες ήτν ικνοί ν κτσκευάσουν έν κνονικό πολύγωνο µε m πλευρές, όπου m >. Επίσης, µπορούσν ν κτσκευάσουν κνονικά πολύγων µε πλευρές ή πλευρές. Επειδή έν τόξο κύκλου µπορεί ν διχοτοµηθεί µε κνόν κι διβήτη, κνονικά πολύγων µε. m κι. m πλευρές, µπορούσν ν κτσκευάσουν, όπου m θετικός κέριος. Επιπλέον, οι Έλληνες είχν ποδείξει ότι, εάν έν κνονικό πολύγωνο µε πλευρές κι έν άλλο µε β πλευρές µπορούν ν κτσκευστούν όπου, β είνι σχετικά πρώτοι (δηλδή οι, β δεν έχουν κοινό πράγοντ µεγλύτερο πό το ), τότε έν κνονικό πολύγωνο µε β πλευρές µπορεί ν κτσκευστεί. Η πόδειξη στηρίζετι στον Ευκλείδειο λγόριθµο γι την εύρεση του µέγιστου κοινού διιρέτη δυο κερίων. Αν δυο κέριοι, β είνι σχετικά πρώτοι, τότε υπάρχουν δυο άλλοι κέριοι κ κι τέτοιοι ώστε κ β (λγόριθµος του Ευκλείδη). () Η διίρεση ενός κύκλου σε n ίσ µέρη είνι πρόβληµ ισοδύνµο µε την κτσκευή τόξου (ή επίκεντρης γωνίς) µε µέτρο π. Έτσι ν κτσκευάσουµε n κνονικά πολύγων µε κι β πλευρές, µπορούµε ν κτσκευάσουµε τόξ µε µέτρο π κι όπου κ, θετικοί κέριοι. π π π. Τότε µπορούµε ν κτσκευάσουµε τόξ µε µέτρ, β β κ 7
Τελικά µπορούµε ν κτσκευάσουµε τόξο µε µέτρο π π κ κ β π κ π π π β β β β β, ν κ β. Άρ το κνονικό πολύγωνο µε β το πλήθος πλευρές µπορεί ν κτσκευστεί. Επειδή οι, είνι σχετικά πρώτοι, έν κνονικό πολύγωνο µε πλευρές µπορεί ν κτσκευστεί κι κόµ έν κνονικό πολύγωνο µε. m πλευρές όπου m θετικός κέριος. Οι Έλληνες λοιπόν µπορούσν ν κτσκευάσουν κνονικό πολύγωνο µε n πλευρές, ν n κέριος της µορφής r κέριος, Ρ, Ρ οι διφορετικοί πρώτοι κι, r, r 0 ή. Με βάση τ πρπάνω: m r P P όπου m είνι µη ρνητικός. Κτσκευάζοντι τ κνονικά πολύγων µε, 8, 6, m (m > ) πλευρές. Κτσκευή: Φέρνουµε δυο κάθετες διµέτρους κι ενώνουµε τ άκρ τους. Έτσι προκύπτει το τετράγωνο. ιχοτοµούµε τ τόξ που ντιστοιχούν στις πλευρές του κι ενώνουµε τ σηµεί υτά κι τις κορυφές του τετργώνου οπότε προκύπτει το κνονικό 8- γωνο. Συνεχίζουµε όπως πριν κι κτσκευάζουµε το κνονικό 6-γωνο το κνονικό m -γωνο.. Κτσκευάζοντι τ κνονικά πολύγων µε, 6,,,. m µε m 0,,,. πλευρές. Κτσκευή: Κτσκευάζουµε κνονικό εξάγωνο µε πλευρά ίση µε την κτίν του δοσµένου κύκλου, ενώνουµε τις µη διδοχικές κορυφές του κι έτσι κτσκευάστηκε το ισόπλευρο τρίγωνο. Κτόπιν συνεχίζουµε όπως στην περίπτωση κι κτσκευάζουµε τ κνονικά πολύγων µε,,. m πλευρές, m,,,. 8
. To κνονικό -γωνο µπορεί ν κτσκευστεί ως εξής: Επειδή, σχετικά πρώτοι, υπάρχουν κ κι - ώστε κ. Κτσκευάζουµε κεντρικές γωνίες π π κι (µε εγγρφή στον κύκλο ισόπλευρου τριγώνου κι κν. πεντγώνου). Τότε µπορούµε ν κτσκευάσουµε γωνίες π κι π, οπότε κτσκευάζουµε κι τη γωνί π π π π που είνι η κεντρική γωνί κν. -γώνου. Όµοι, 6 είνι σχετικά πρώτοι κι 6() (-). π Κτσκευάζουµε κεντρικές γωνίες, π π π π π 6 6 0 0 0-γώνου. π 6 κι πό υτές, την γωνί που είνι η κεντρική γωνί του κν.. εν είνι δυντό ν κτσκευστεί κνονικό πολύγωνο µε 9 πλευρές. Απόδειξη: Επειδή 9. κι ο ριθµός δεν είνι σχετικά πρώτος µε τον ευτό του, το θεώρηµ δεν δίνει πληροφορίες γι την κτσκευή ή µη του κνονικού 9-γωνου. Η κεντρική γωνί του κνονικού 9-γωνου είνι 0 0 Η γωνί 0 0 δεν τριχοτοµείτι (φού 0 0. 60 0 ). Άρ δεν κτσκευάζετι το κνονικό 9-γωνο. 0 0. Κτσκευή του κνονικού πεντγώνου κι του κνονικού δεκγώνου πό τους Έλληνες Οι Έλληνες µθηµτικοί κτσκεύσν κνονικό πεντάγωνο διιρώντς έν µονδιίο ευθύγρµµο τµήµ σε µέσο κι άκρο λόγο. 9
Το σηµείο Ρ διιρεί το ΑΒ σε µέσο κι άκρο λόγο, ν το µεγλύτερο τµήµ έστω ΑΡ x είνι µέσο νάλογο µετξύ του µικρότερου τµήµτος κι του ρχικού x δηλ. ν x x ή x x 0 («Χρυσή Τοµή»). Θ δείξουµε τον τρόπο µε τον οποίο η πρότση σχετίζετι µε την κτσκευή του κν. πεντγώνου. Έστω ΑΒ x η πλευρά του κνονικού 0-γώνου που είνι εγγεγρµµένο στο o o κύκλο (Ο, ). Τότε A OB 6, οπότε B AO ABO 7. Αν ΒD η διχοτόµος της γωνίς B τότε ΑΒ BD OD x οπότε DA x. Σχ... x Από το θεώρηµ της εσωτερικής διχοτόµου έχουµε: οπότε το ΟΑ x x διιρείτι σε µέσο κι άκρο λόγο. Εποµένως έχουµε x x 0 µε δεκτή λύση την ( )/. Το ευθύγρµµο τµήµ ( )/ x κτσκευάζετι µε κνόν κι διβήτη άρ κι το κνονικό δεκάγωνο. Αν ενώσουµε τις µη διδοχικές κορυφές του κτσκευάζουµε το κνονικό πεντάγωνο. 0