LEGI CLASICE DE PROBABILITATE

Σχετικά έγγραφα
Lucian Maticiuc. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 9.

Teorema Rezidurilor şi Bucuria Integralelor Reale

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI CU DERIVATE PARŢIALE PRIN EXERCIŢII ŞI PROBLEME

3. ERORI DE MÃSURARE

Eşantionarea semnalelor

FLUCTUAŢII STATISTICE

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

APLICAŢII zona tematică 5 -TST-ID-

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

Prelucrarea numerică a semnalelor, Capitolul 2 2. SINTEZA FILTRELOR NUMERICE

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;

Modele matematice pentru îmbunătăţirea calităţii sistemelor electrice

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

CURSUL I PROBABILITATI DISTRIBUTII VARIABILE ALEATOARE. Curs 1 1

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

4.6. Caracteristicile motoarelor de curent continuu

Capitolul I ECUAŢII DIFERENŢIALE. 1 Matematici speciale. Probleme. 1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Tema: şiruri de funcţii

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

TIPURI DE DEZINTEGRĂRI NUCLEARE. Dezintegrarea α

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Complemente teoretice. Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D; DefiniŃii ale limitei DefiniŃia 1.1.

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE TEORIA PORTOFOLIULUI

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

APLICAŢII zona tematică 5 -TST-ID-

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

2.CARACTERIZAREA GENERALĂ A RADIOACTIVITǍŢII

5. FILTRE ADAPTIVE BAZATE PE MI IMIZAREA ERORII MEDII PATRATICE

6. Circuite liniare în regim periodic nesinusoidal

Analiza bivariata a datelor

Curs 4 Serii de numere reale

Lucrarea de laborator nr. 2 VERIFICARILE METROLOGICE ALE MIJLOACELOR DE MASURARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE. α, astfel că tgα=f(x,y).

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

L4. Măsurarea rezistenţelor prin metoda de punte

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Subiecte Clasa a VII-a

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

În spectrul de rotaţie al moleculei HCl s-au identificat linii spectrale consecutive cu următoarele lungimi de undă: λ

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

I 1 I 2 V I [Z] V 1 V 2. Z11 impedanta de intrare cu iesirea in gol 2 I 1 I 21 I

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

2.CARACTERIZAREA GENERALĂ A RADIOACTIVITǍŢII

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

4. Integrale improprii cu parametru real

CURS 10 ANALIZA PERFORMANŢELOR PE BAZA CONTULUI DE PROFIT ŞI PIERDERE

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

sistemelor de algebrice liniarel

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Cursul 10 T. rezultă V(x) < 0.

PRELEGEREA VI STATISTICĂ MATEMATICĂ

5. PROBABILITĂŢI Evenimente

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

TIPURI DE DEZINTEGRĂRI NUCLEARE. Dezintegrarea α

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

prin egalizarea histogramei

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

TEMA 10 TESTE DE CONCORDANŢĂ

Subiecte Clasa a VIII-a

Integrala nedefinită (primitive)

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

Το άτομο του Υδρογόνου

Sistem analogic. Sisteme

riptografie şi Securitate

CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL

Transcript:

7. LEGI CLASICE DE PROBABILITATE Fi (Ω, K, P u câmp d probabilitat şi f : Ω R, o variabilă alatoar. Am văzut că varibili f i s poat asocia o fucţi d rpartiţi F, cotiuă la stâga şi o fucţi caractristică ϕ, car st o fucţi cotiuă. Uori fucţia d rpartiţi F st dfiită d o dsitat d rpartiţi ρ. Di puct d vdr probabilistic, variabila alatoar f poat fi studiată pri itrmdiul la oricar di fucţiil asociat mai sus. Dacă oprim la fucţiil d rpartiţi, obsrvăm că acsta sut, d fapt, probabilităţi p câmpul d vimt (R, B R. Acst fucţii d rpartiţi dscrscătoar, cotiu la stâga, cu F(- şi F( împart variabill alatoar î clas d chivalţă, iar odată cuoscută, clasa d chivalţă a ui variabil alatoar, adică cuoscâd la c fucţi d rpartiţi corspud, caractristicil variabili alatoar sut ddus imdiat, di cl al fucţii d rpartiţi corspuzătoar. Pri frcvţa cu car sut îtâlit, î rzolvara uor problm practic di difrit domii, aumit fucţii d rpartiţi (probabilităţi p drapta rală au primit dumira d lgi (clasic d probabilitat. D câtva di acst lgi vom ocupa î cl c urmază. 7.. Rpartiţia biomială (Lga d probabilitat Broulli Acastă rpartiţi dscri u primt car poat ava două rzultat posibil şi aum, uul d succs S cu probabilitata costată p, ori d cât ori s rptă primtul, şi uul d isuccs I, dasma cu probabilitata costată q - p, ori d cât ori s rptă primtul. Îtrucât primtl c grază vimtl l cosidrăm idpdt, u mplu d variabilă alatoar c corspud ui rpartiţii Broulli st dată pri Schma bili rvit. Cazul cl mai simplu st cl al uui sigur primt, câd variabila alatoar a umărului d ruşit st:

5 Lgi clasic d probabilitat - 7 f:, p p car ar mdia M(f p şi variaţa D ( f p( p. Să prsupum că variabila alatoar f ia ca valori umărul d apariţii a uui succs î cursul a primt idpdt. Probabilitata ca î cl primt să avm o scvţă d forma SS 3 KS II { KI st p q, iar umărul d scvţ posibil car difră îtr d ori d - ori l st d C. Di cl d mai sus dducm că variabila alatoar f, a umărului d succs obţiut î rptara primtului d ori, ar distribuţia dată pri tabloul: L L (7.. f:. q Cpq L Cp q L p Câmpul d probalitat corspuzător primtului d mai sus poat fi cosidrat Ω {, }, K P(Ω, PA ( pi ud, ptru i ( ε, ε, K, ε cu ε j i A sau, pi p ( p card j:ε j. Evimtl car, iar { } AΩ i: ( i Ω, Ω K,,,. Rpartiţia Broulli d paramtri N şi p (, s mai otază pri: [ ] (7.. Bp (, ( C p q. Aici [] rprzită parta îtragă a lui, q - p. Graficul fucţii d rpartiţi dată d ( ar trpt corspuzătoar clor + puct d discotiuitat. itrsază sut d forma { } Dfiiţia. Spum că o variabilă alatoar f ar o distribuţi biomială cu paramtrii N şi p (, dacă, f ia valoril,,,,, cu probabilităţil p p f C p q ( (, q - p, adică ar distribuţia dată pri tabloul (. Torma. Dacă f st o variabilă alatoar biomială d paramtri şi p atuci M(f p, iar D ( f p q, ud q - p.

.. Rpartiţia biomială (lga d probabilitat Broulli 5 Dmostraţi: Mf ( C p q. Ptru calculul acsti sum cosidrăm idtitata ( pt + q C ( pt q şi o drivăm î raport cu variabila t, rzultă p( pt + q Cp( pt q, ptru t, ţiâd sama că p + q, avm Cp q p, d ud rzultă că M(f p. D ( f M f M( f. Mf ( Ptru calculul disprsii folosim rlaţia ( [ ] poat fi calculat î mod dirct, cum am procdat ptru M(f sau putm utiliza fucţia caractristică ϕ, a variabili alatoar f. Obţim ( it it ϕ( t Cp q C ( p q it ( p + q ( Mf d ϕ i dt t ( dϕ it it p + q pi dt d ϕ ( it ( p q p i it it it ( p q pi + + +. dt M f p p p D ( f p p p p pq. Eprimtl biomial, ca cl prztat mai sus, s îtâlsc la tot pasul, d fapt, l st chivalt cu arucara ui mozi la car itrsază umărul d apariţii a ui fţ ba, câd arucăm moda d u umăr d ori. Evidt, î acst caz paramtrul p. + şi (,

5 Lgi clasic d probabilitat - 7 Emplul. Să prsupum că istă aproimativ.. d potţiali cumpărători ai uui produs al ui fabrici, itrsază c proporţi ditr acştia prfră acst produs, î faţa acluiaşi produs al altor cocurţi. Vrm să vdm dacă acst primt st uul biomial şi să dtrmiăm paramtrul p. Slctăm. d cumpărători di ci.., ficar avâd acaşi şasă d a fi slctat, şi îtrbăm, dacă prfră produsul acli fabrici, faţă d cilalţi cocurţi. Ptru ca u primt alator să fi biomial trbui să posd următoarl caractristici: a să costa di îcrcări idtic; b ficar îcrcar să s fializz pri uul di două rzultat; c probabilitata d a obţi u rzultat, îtr-o sigură îcrcar, rămâ acaşi î ficar îcrcar, dacă p acastă probabilitat o otăm cu p, atuci ca a vimtului cotrar st q - p; d îcrcăril sut idpdt; lgat d primt sutm itrsaţi d obsrvara umărului d ralizări a uia di cl două rzultat î cl îcrcări. Costatăm că cl cici caractristici al uui primt biomial sut vrificat î mplul cosidrat. Dacă coctrăm atţia asupra caractristicii d, obsrvăm îsă că, dacă la prima îcrcar am avut u cumpărător car prfră produsul fabricii î cauză, atuci la a doua îcrcar, probabilitata algrii tot a uui astfl d cumpărător s-a modificat, atât umărul cazurilor favorabil cât şi cl al cazurilor posibil a scăzut cu o uitat, dacă la prima tragr probabilitata p a fost f, la a doua a a dvit s f. S par astfl, că aca codiţi d, d idpdţă u st vrificată şi acst s fapt ar duc la o rstrâgr a sfri primtlor alatoar d tip biomial. Dacă îsă, umărul d îcrcări st mai mic î raport cu umărul d lmt al populaţii di car s fac tragra, probabilitata p poat fi f f cosidrată costată s s. Emplul. Îtr-o itrpridr umărul zillor lucrătoar îtr-o prioadă d timp (luă, a, tc. î car ritmul zilic st îdpliit rprzită o variabilă alatoar. Probabilitata ca acst ritm zilic să fi ralizat st p 3 4. S cr lga d rpartiţi a acsti variabil alatoar p o prioadă d o luă, formată di d zil lucrătoar, valoara mdi şi disprsia acsti variabil alatoar.

.. Rpartiţia biomială (lga d probabilitat Broulli 53 S costată că variabila alatoar, a cări rpartiţi s cr, rspctă lga biomială d paramtrii şi p 3. Să o otăm cu f. Avm: 4 L L f: C C 3 3 3 L L 4 4 4 4 4 4 Mf ( p 3 63 5, 75; D f 3 63 ( 393,. 4 4 4 4 6 Emplul 3. Să prsupum că sut dat ptru o variabilă alatoar f, valoril îrgistrat, {,, K, } şi frcvţl rlativ al acstora { f, f, K, f }. Dacă primtul alator c a grat variabila alatoar f prmit aplicara lgii biomial, s pu problma ajustării frcvţlor îrgistrat (mpiric pri probabilităţil ui lgi biomial corspuzătoar. Ptru idtificara rpartiţii biomial car ajustază sria frcvţlor rlativ mpiric, trbui dtrmiaţi paramtri şi p. Cum iiţial s cuoaşt volumul şatioului şi mdia variabili f, p baza formuli mdii rpartiţii biomial B(, p, M(f p, s calculază Mf ( probabilitata p după rlaţia p. Să prsupum că s rcpţioază u lot d produs alimtar. Ptru acasta au fost prluat u lot d 5 d cutii, ficar cuprizâd d produs. Rpartizara clor 5 d cutii după umărul d produs, c u corspud stadardlor, s rprzită î tablul următor: Număr d produs dfct X i Număr d cutii N i XN i i f i P(f i 3 4 5,4,89 8 8,36,38 9 8,8,7 3 5 5,,4 4 4,6,8,5 5,4,5 Total 5 77,,996

54 Lgi clasic d probabilitat - 7 Cosidrăm că pisl c u corspud calităţii, î ficar cuti rcpţioată, urmază o lg biomială d probabilitat p şi. Di totalul d 5 d cutii obsrvat, rzultă o mdi d produs dfct, p 77 cuti, d f 54,. Di ipotza făcută rzultă p,54, d ud rzultă 5 54, p 8,. Dci, produsl dfct îtr-o cuti rspctă o lg biomială B(;,8. Coloaa a cica a tablului d mai sus coţi ajustăril dat p baza rpartiţii biomial B(:,8 a frcvţlor rlativ (mpiric coţiut î coloaa a patra. Eistă difrit tst statistic ptru măsurara coformităţii îtr cl două srii d frcvţ. 7.. Rpartiţia Poisso (Lga vimtlor rar Am văzut că o variabilă alatoar biomială, d paramtri şi p, ar ca valori umărul d apariţii al uui vimt A î îcrcări idpdt, î ficar îcrcar probabilitata vimtului A st costată P(A p. Probabilitata ca variabila alatoar să ia valoara st dată d P C p ( ( p. Să cosidrăm că, umărul al problor st foart mar, iar probabilitata p a apariţii vimtului A îtr-o probă st foart mic, vidt, vimtul A a dvit, î urma acstor prsupuri, u vimt rar, motiv ptru car lga d probabilitat a variabili alatoar c ar ca valori umărul d apariţii al vimtului A, î cl prob, poartă uml d lga vimtlor rar. Să prsupum că, î codiţiil d mai sus, produsul p rămâ costat, p λ, λ fiid umit paramtrul rpartiţii Poisso, şi să dtrmiăm probabilităţil P (, î cazul câd λ tid la. ( ( K( + P lim Cp p lim p ( p! lim ( K( +! λ λ ( K( + λ λ λ λ lim lim!!.

7.. Rpartiţia Poisso (lga vimtlor rar 55 λ λ. Am obţiut P! λ λ λ λ S vrifică imdiat că P.! Dfiiţia. Rpartiţia d probabilitat discrtă, dtrmiată d probabilităţil λ P λ,,,,... s umşt rpartiţia lui Poisso d paramtru λ, iar o! variabilă alatoar dscrisă d rpartiţi:... K... (7.. K f : λ λ λ λ λ λ λ......!! K! s umşt rpartiţi alatoar Poisso. Torma. Dacă f st o variabilă alatoar d rpartiţi Poisso, d paramtru λ, atuci, acasta ar valoara mdi M(f λ, disprsia D ( f λ şi fucţia λ caractristică ( ( ϕ t it. λ λ λ λ λ λ λ λ! (! λ λ λ λ ( f M( f ( +!! Dmostraţi: M ( f M ( λ λ λ λ λ λ + λ + λ λ!! [ ] D f Mf Mf λ + λ λ λ d ud ( ( ( λ. + λ, it it λ λ λ ( ( λ it it λ λ λ( ϕ t.!!

56 Lgi clasic d probabilitat - 7 7.3. Rpartiţia hiprgomtrică Să cosidrăm schma bili rvit. Fi U o ură cu a bil alb, b bil gr şi a + b N. Di ură s fac tracţii succsiv fără a pu bila trasă îapoi î ură. Să otăm cu f variabila alatoar car ia ca valori umărul d bil alb tras. Prsupum mi(a, b. Variabila alatoar f poat lua valoril, ud ma(-b, mi(a,. Probabilităţil cu car f ia valoril rspctiv sut: C C (7.3. P ( P( f C a Na,,,...,mi(a, N Dfiiţia 3. Spum că variabila alatoar discrtă f ar o rpartiţi hiprgomtrică dacă distribuţia i st dată pri: (7.3. f:......... Ca CNa CN....... Rpartiţia d probabilitat corspuzătoar variabili f s umşt lg d probabilitat hiprgomtrică. Torma 3. Valoara mdi şi disprsia ui variabil alatoar hiprgomtric sut dat pri: M( f p, D ( f pq N, a b ud p iar q a b, + a + b, dci p + q. S obsrvă că o variabilă alatoar hiprgomtrică, dfiită d (5, ar acaşi valoar mdi cu o variabilă alatoar biomială d paramtri şi p, iar disprsiil lor difră. Î cazul variabili alatoar hiprgomtric disprsia st cu atât mai mică cu cât umărul valorilor p car l poat lua variabila alatoar st mai mar. Rpartiţia hiprgomtrică ar u rol importat î cotrolul calităţii produslor. Emplul 4. Fi u lot d d aparat, di car 3% u s îcadrază î limitl d fucţioar admis. Algâd la îtâmplar aparat s cr: a Să s stabilască lga d rpartiţi a variabili alatoar car rprzită umărul d aparat, di cl, car u s îcadrază î limitl d fucţioar. b Să s calculz valoara mdi şi disprsia acsti variabil alatoar.

7.4. Rpartiţia uiformă 57 Rzolvar: a Variabila alatoar crută urmază o lg hiprgomtrică, ud a 6, C6C74 b 74,,,,...,. Dci Pf ( şi f st dscrisă d tabloul C...... f: C6C74...... C.... b Mf ( p a a+ b 6 3, ; D ( f pq N 6 74 8 N,. 7.4. Rpartiţia uiformă Dfiiţia 4. Spum că o variabilă alatoar cotiuă f ar o rpartiţi uiformă, p sgmtul [a, b], dacă dsitata i d rpartiţi st dată pri: (7.4. ρ( b a [, ] ptru a b ptru < a, > b Torma 4. a Fucţia d rpartiţi a ui variabil alatoar uiform f, p sgmtul [a, b] st: ( F a b a ptru a ptru a < b ptru > b b Valoara mdi şi disprsia variabili alatoar uiform f, sut dat pri: a b ( b a Mf ( +, D ( f

58 Lgi clasic d probabilitat - 7 Dmostraţi: F ( ρ ( tdt. Itgrâd ptru valori al lui ( -,a], (a, b] şi (b, + rzultă prsia lui F(. ρ( ba F( a b a b b a a b Mf ( ρ ( d d b a + ( b a b a ( ( D M( f [ M( f a+ b b a ] d b a b a 7.5. Rpartiţia ormală (Lga d probabilitat Gauss - Laplac Acastă rpartiţi ar u rol fudamtal î toria probabilităţiilor, a stă la baza mtodlor d prlucrar a datlor d măsurar şi ar o importaţă dosbită î statistică. Dfiiţia 5. O variabilă alatoar f cotiuă ar o rpartiţi ormală, d paramtri m şi (sau st supusă ui lgi ormal d probabilitat N (m, dacă dsitata sa d rpartiţi st dată pri: ( m (7.5.. ρ(, m,, R, π

7.5. Rpartiţia ormală (lga d probabilitat Gauss - Laplac 59 ud m şi sut paramtri. Rzultă imdiat că fucţia d rpartiţi a ui variabil alatoar ormal st dată pri: (7.5.. F( ( tm dt, R. π Rpartiţia discrtă biomială s apropi d distribuţia ormală, câd umărul problor dvi foart mar. Î statistică, spum că o distribuţi urmază o lg ormală N(m, dacă, scvţl mpiric s apropi d probabilităţil dat pri (7.5.. Următoara tormă prcizază itrprtara paramtrilor m şi di lga ormală N(m,. Torma 5. Dacă f st o variabilă alatoar c s supu lgii ormal N(m,, atuci valoara mdi şi disprsia lui f sut dat pri: M(f m, D ( f Dmostraţi: Să obsrvăm că ρ(, m, îdplişt codiţiil ui dsităţii d rpartiţi ρ( şi ρ( m,, d, ca c rzultă î urma schimbării d variabilă t pri t + m. ( m Mf ( d. Π Î itgrala d mai sus s fctuază schimbara d variabilă t, dată pri m t sau t + m şi s obţi: t t t m M ( f ( t m dt t + dt + dt m π π π.

6 Lgi clasic d probabilitat - 7 t Am ţiut sama că t dt, fiid o itgrală ditr-o fucţi impară, t iar dt st itgrala impropri a lui Poisso c ar valoara π. pri: Disprsia variabili alatoar f, d rpartiţi ormală N(m,, s calculază D [ ] ( m ( f M ( f m π şi după fctuara aclaşi schimbări d variabilă s obţi: D ( f t π π t t + t t dt dt π t π ( m d t dt π Am utilizat itgrara pri părţi, cosidrâd fucţiil u(t t şi t vt ( t şi am ţiut sama d itgrala Poisso. Obsrvăm că paramtrii m şi ai rpartiţii ormal N(m, rprzită valoara mdi şi rspctiv disprsia ui variabil alatoar c urmază acastă lg. Î aclaşi timp, fucţia d rpartiţi a ui variabil alatoar ormal st complt dtrmiată d valoara mdi m şi d disprsia. Rprztâd grafic dsitata d rpartiţi ormală, acst grafic ar forma uui clopot, umit clopotul lui Gauss. Ptru difrit valori al lui m şi s obţi difrit curb al dsităţii d rpartiţi ormal. Toat acst curb au îsă următoarl proprităţi: a admit ca asimptotă orizotală aa abscislor, O;

7.5. Rpartiţia ormală (lga d probabilitat Gauss - Laplac 6 b admit u puct d maim M m,, ţiâd sama d coordoatl acstui π puct rzultă că clopotul lui Gauss st cu atât mai ascuţit cu cât st mai mic; c sut simtric faţă d paralla la aa Oy, d cuaţi m; d admit două puct d ifliu d abscis m - şi m +. ρ( m,, m - m m + Fi f o variabilă alatoar car s supu lgii ormal Nm, (. Să f m cosidrăm variabila alatoar g. Costatăm imdiat că, Mg ( [ Mf ( m] ; ( D ( g M( g M f mf + m [ Mf ( mmf m ] ( m m m ( + + +, adică variabila alatoar g s supu ui lgi ormal N (,. Dfiiţia 6. Spum că variabila alatoar g ar o rpartiţi ormală rdusă, dacă dsitata sa d rpartiţi s obţi di (7 făcâd m şi, adică ar ca dsitat d rpartiţi fucţia:

6 Lgi clasic d probabilitat - 7 (7.5.3 r (. π Fucţia d rpartiţi a ui variabil alatoar ormal rdus st dată pri: u (7.5.4 Φ( r( u du du, π şi a st cuoscută sub uml d fucţia lui Laplac. Să obsrvăm că: u u Φ( du du π π u du Φ(, π dci ar loc: (7.5.4 Φ(- + Φ(. Fi f o variabilă alatoar d rpartiţi ormală Nm (, < b dat. Atuci: b b m Pa ( < f< b ( m d ( ρ,, d. π a a Î urma acliaşi schimbări d variabilă m t ( t s obţi: b m t Pa ( < f< b dt π a m b m a m t t b m a m dt dt Φ Φ π şi umrl ral a

7.5. Rpartiţia ormală (lga d probabilitat Gauss - Laplac 63 Dci, chiar dacă variabila alatoar f s supu ui lgi d rpartiţi ormală Nm (, d paramtrii m şi probabilitata P(a < f < b s poat prima cu ajutorul fucţii d rpartiţi corspuzătoar variabili alatoar ormal rdus, fucţia lui Laplac Φ(, motiv ptru car, d obici, valoril i s găssc îrgistrat şi pot fi utilizat ptru dtrmiara probabilităţilor vimtlor lgat d o variabilă alatoar ormală. Fi acum α >, atuci: Pm ( < f< m+ P( f m< α α α α α Φ Φ Să cosidrăm α 3. Obţim: α α α Φ Φ Φ. ( m P f < 3 Φ( 3. Aplâd la valoril fucţii lui Laplac obţim că Φ(3,9987 şi dci, ( m P f < 3, 9987, 9974, ca c susţi afirmaţia că valoril ui variabil alatoar ormal u s abat d la valoara mdi m cu mai mult d 3 sau cu alt cuvit, acst valori s abat d la valoara mdi cu mai mult d 3, cu o probabilitat foart mică ( -,9974,6. Pa ( < m< b P( f m < 3 a m b f m - 3 m m + 3 f Emplul 4. Să cosidrăm u asamblu statistic d valori, rprztâd o caractristică a uui lot d produs (cost, cosum lctric, tc., car sut rpartizat după o lg ormală N (, 64. Luâd la îtâmplar di acst produs, car

64 Lgi clasic d probabilitat - 7 st probabilitata d a s abat cu mai mult d 8 uităţi d la valoara omială d? Rzolvar: Să otăm cu f variabila alatoar car ia acst valori şi s supu lgii ormal N(, 64. Trbui să dtrmiăm P(m - < f <m + P( - 8 < f < + 8 Φ( -. Di tablul cu valoril fucţii lui Laplac Φ obţim Φ(,843 şi dci probabilitata căutată st p,686, q - p,374, adică 3,74% d produs s abat cu mai mult d 8 uităţi d la valoara mdi d uităţi. O propritat importată a rpartiţii ormal st dată d faptul că, suma uui umăr fiit d variabil alatoar idpdt d rpartiţi ormală st o variabilă alatoar c s supu acliaşi lgi ormal. Mai act ar loc: Torma 6. Dacă variabill alatoar f şi g sut idpdt şi urmază o lg ormală, atuci f + g urmază d asma o lg ormală. Lga ormală a lui Gauss - Laplac s przită ca limită a altor lgi d probabilitat. Torma 7. Fi ( f λ λ> o famili d variabil alatoar, d distribuţi d probabilitat Poisso cu paramtrul λ >. Atuci fucţia d rpartiţi a variabili fλ λ alatoar gλ tid cătr fucţia d rpartiţi ormală rdusă (cu paramtrii λ şi câd λ tid la. Torma 8. Fi ( f u şir d variabil alatoar d distribuţi biomială, f d paramtri şi p (p u dpid d şi f o variabilă alatoar d distribuţi ormală rdusă. Atuci ar loc f p Pa ( < f< b lim P a < < b pq, ud q - p. Torma d mai sus poartă uml lui Moivr - Laplac şi st u caz particular al Tormi limită ctrală car arată că, fucţia d rpartiţi a ui sum d variabil alatoar idpdt tid, î codiţii dstul d gral, câd umărul trmilor sumi tid la, cătr fucţia d rpartiţi ormală. Ea arată, î aclaşi timp, că putm utiliza, câd st foart mar, rpartiţia ormală rdusă ptru studiul variabillor alatoar distribuit biomial.

7.5. Rpartiţia ormală (lga d probabilitat Gauss - Laplac 65 Următoara tormă arată importaţa rpartiţii ormal î prlucrara datlor d măsurar.

66 Lgi clasic d probabilitat - 7 Fi a o mărim ptru car s dtrmiă pri măsurători valoril a, a,..., a. Catităţil a a,, s umsc rori accidtal (d măsurar î cl măsurători. Torma 9. (Torma lui Laplac - Gauss. Variabila alatoar car ia ca valori roril accidtal (d măsurar,, urmază o rpartiţi ormală. Emplul 5. Variabila alatoar f car idică roril d măsurar al uui aparat s supu lgii ormal N (, 9. S cr probabilitata ca di tri măsurători idpdt roara să aparţiă cl puţi o dată itrvalului,. 5 Rzolvar: Notăm cu A vimtul a cărui probabilitat st crută. PA ( PA (, PA ( [ P( < f<, 4 ] 3, iar 4, P( < f < 4, ( 8, 3 3 Φ Φ Φ, 5763, 88. S obţi P(A,639. 7.6. Rpartiţia Gama Vom przta mai îtâi câtva proprităţi al fucţii gama ( Γ a lui Eulr, car itrvi î rpartiţia cu aclaşi um, cât şi î alt rpartiţii d probabilitat. Ptru > (7.6. Γ( t d paramtrul. Utilizâd critriil d covrgtă ptru astfl d itgral s arată că a st covrgtă ptru oric >. y Dacă facm schimbara d variabilă (t y pri t rzultă Itgrala di mmbrul drpt st o itgrală impropri gralizată dpizâd t dt

7.6. Rpartiţia Gama 67 (7.6. Γ( y dy iar ptru cazul particular s obţi y Γ( π dy Sa cosidrăm Γ(+ şi să itgrăm pri părţi, avm : y π Γ( + t t dt t t + t t dt Γ( Dci fucţia Γ(gama vrifică cuaţia fucţioală (7.6.3 Γ ( + Γ(, > Dâd succsiv lui valoril atural :,,3,, şi ţiâd sama că Γ ( rzultă că ptru oric îtrg (7.6.4 Γ (+! Di cl d mai sus rzultă că (7.6.5 ( 3 Γ( + Γ( π Γ şi di aproap î aproap putm calcula Γ ( + ptru oric îtrg. Dfiiţia 7. Spum dspr o variabilă alatoar f ca urmază o rpartiţi gama dacă dsitata i d rpartiţi st data pri - - (7.6.6 ρ(, <, > Γ( ptru < cosidrăm ρ(. Evidt ρ( st o dsitat d rpartiţi : ρ( şi ρ (d Γ( Γ( d Γ( Vom ota pri ( mulţima variabillor alatoar a căror dsitat d probabilitat st fucţia ρ( data mai sus.

68 Lgi clasic d probabilitat - 7 O astfl d variabilă alatoar posdă momtl d u ordi oarcar dat pri: ( (7.6.8 M (f + Γ + d ( + ( +...( + Γ ( Γ( Ptru momtl acsta găsim: (7.6.9 m (f M (f [M(f] m (f 3 3 m (f 3 4 + 6... ( + Fucţia caractristică asociată ui variabil alatoar d rpartiţi gama st: ϕf (t Γ( Γ ( +! it + d Γ d(it ( +...( + (it! ( Γ ( (i +! ( it Γ( + (it! Rfritor la opraţii cu variabil alator d rpartiţi gama ar loc. d Torma. Dacă variabill alatoar idpdt sut d rpartiţi gama aparţiâd claslor f (, rspctiv f (, atuci f + f st d rpartiţi gama şi aparţi clasi. ( + Dmostraţi. Fucţia caractristică corspuzătoar variabili alatoar f + f st f+ f (t ( it ( it ( (+ ϕ it, car corspud rpartiţii ( + Următoara tormă stabilşt o rlaţi d lgătură îtr rpartiţia gama şi rpartiţia ormală (Gauss-Laplac Torma. Dacă variabila alatoar f st ormală d paramtrii m şi (f N(m,, atuci variabila alatoar

7.7. Rpartiţia Bta 69 (f m (7.6. g st d rpartiti gama şi aparţi clasi ( Dmostraţi. Fi >, atuci fucţia d rpartiţi asociată variabili alator st: f m G( P(g < P({ω Ω : g(ω<ş P( < < f m P( < < du du Γ π v v ( u (am fctuat schimbara d variabilă u v, v, am îlocuit π Γ(. u dv π D aici rzultă că dsitata d rpartiţi asociată variabili alatoar g st dg( ρ g (, adică g ( d Γ(. u 7.7. Rpartiţia Bta Rpartiţia d probabilitat bta st dfiită pri fucţia bta a lui Eulr p q (7.7. B(p, q ( d, p >, q > Pri schimbara d variabilă y, - y, rzultă imdiat că (7.7. B (p,q B(q,p D asma pri schimbara d variablă următoara primar a fucţii bta : p g (7.7.3 B(p, q si θcos θ dθ, π θ, si θ obţim

7 Lgi clasic d probabilitat - 7 iar pri schimbara d variabilă y, obţim + y y (7.6.4 B (p,q dy p+ q ( + y Îtr fucţiil lui Eulr bta şi gama s stabilşt următoara rlaţi d lgătură Γ(p Γ(q (7.6.5 B(p, q Γ(p,q Dfiitia 8. Spum dspr o variabilă alatoar f că urmază o rpartiţi d probabilitat bta dacă dsitata sa d probabilitat st d forma: m ( (7.6.6 ρ (, B(m, ud, m >, > Evidt, ρ( st o dsitat d probabilitat doarc ρ( şi m ( d B(m, implică ρ( d. Vom ota β(m, mulţima tuturor variabillor alatoar a căror dsitat d rpartiţi st dată pri rlaţia (7.6.6. Momtl d ordiul al ui variabil alatoar d rpartiţi β sut: (7.6.7 M Î particular avm : (f B(m, q ( m(m +...(m + (m + (m + +...(m + + + m B(m +, d B(m, m M(f, m + M m(m + (f (m + (m + + (7.6.8 m (f (f M (f [M(f ] m (m + (m + +

7.8. Rpartiţia logormală 7 Îtr variabill alatoar d rpartiţi bta şi gama istă următoara rlaţi d lgatură. Torma. Dacă f şi f sut variabil alatoar idpdt d rpartiţi gama f (m si f ( atuci, variabila alatoar f (7.6.9 g f + f urmază o rpartiţi bta d paramtri m si (g β(m,. D asma s poat costrui o variabilă alatoar d rpartiţi bta porid d la variabil alatoar d rpartiţi ormală Torma3. Dacă variabill alatoar idpdt urmază o rpartiţi ormală d paramtrii o si f + f +... + f (7.6. h f + f +... + f + g + g st d distribuţi bta aparţiâd clasi β m,. m ( ( f i, i m, ( g j ; j, atuci variabila alatoar m +... + g 7.8. Rpartiţia logormală Dfiitia 9. O variabilă alatoar f cotiuă ar o rpartiti logormală dacă dsitata sa d rpartiţi st dată pri : (l a (7.8. ρ (,a,, π ud IR +, iar a şi sut valoara mdi şi rspctiv, disprsia logaritmului lui f. Să cosidrăm variabila alatoar (7.8. g (l f a, atuci avm : (7.8.3 a + f g, iar variabila alatoar g st rpartizată dupa lga ormală rdusă ( g N(,

7 Lgi clasic d probabilitat - 7 Torma 4. Valoara mdi a ui variabil alatoar logormal f d paramtrii a şi st a+ (7.8.4 M(f, iar disprsia st dată pri a+ ( (7.8.5 D (f. Dmostraţi: ρ (l a M(f (,a, d d. π l a Efctuâd schimbara d variabilă ( u pri u şi fctuâd calcull rzultă valoara mdi dată d (35. D (f ( M(f ρ(,a, d π a+ ( (l Efctuâd acaşi schimbar d variabilă şi calcull rzultă disprsia dată pri (5. Obsrvaţia. ρ(,a, lim ρ(,a, > a d ca c costitui o propritat importată a variabili alatoar logormal câd ar smificaţia timp, propritat c u st îdpliită î cazul ui variabil alatoar ormal. Obsrvaţia. Fi f,f,..., f variabil alatoar d rpartiţi logormală idpdt. Atuci, variabila alatoar produs (7.8.6 g f,f,..., f st o variabilă alatoar logormală. Îtr-advăr f,, fiid d rpartiţi logormală, atuci variabill alatoar lf,, sut d rpartiţi ormală şi folosid propritata d aditivitat a variabillor alatoar idpdt d rpartiţi ormală rzultă că variabila alatoar l g l f st d rpartiţi ormală şi dci g st d rpartiţi logormală.

7.9. Rpartiţia studt 73 7.9. Rpartiţia Studt Dfiitia. Spum că o variabilă alatoar f ar o rpartiţi Studt cu grad d librtat, dacă dsitata sa d probabilitat st dată pri : + + Γ( (7.9. ρ ( ( + πγ( ud R, * N iar Γ st fucţia lui Eulr d spţa a doua ( Γ(u. Fucţia ρ( dfiită d (38 idplişt codiţiil ui dsităţi d probabilitat: a ρ(, ptru oric R st vizibil. b ρ( d, rzultă di calcul. Îtr-advăr ρ + (d ( d Γ( + πγ( + Γ( + πγ( t + ( + u d, doarc ρ( st o fucţi pară. Efctuâd schimbara d variabila ( y pri y s obţi (+ (+ ( + Γ( Γ(, + Γ( d d ud rzultă că ρ( d. y ( + y dy β(, t dt

74 Lgi clasic d probabilitat - 7 Doarc dsitata d rpartiţi a ui variabil alatoar studt st o fucţi pară, valoara mdi şi momtl d ordi impar a ui variabil f rpartizat studt sut zro: M(f, M + (f. Ptru momtl d ordi par s obţi î urma acliaşi schimbări d variabil, utilizat mai sus, rzultatl: (7.9. M (f Γ( + Γ(, < π Γ( Cum 3 3 Γ( + ( (... Γ( ( (... π, Γ ( ( (...( Γ( obţim ptru momtl d ordi par primăril: 3...( (7.9.3 M (f, </ ( ( 4...( iar ptru cazul particular al disprsii avm (7.9.4 D (f m(f M (f Î cotiuar dăm fără dmostraţi următoara tormă car arată lgătura asimptotică ditr rpartiţia studt şi rpartiţia ormală. Torma 5. a Dacă ρ ( st dsitata d rpartiţi studt cu grad d librtat, atuci : (7.9.5 lim ρ ( ρ (,, ud ρ N (,, st dsitata d rpartiţi ormală d paramtri si. b Dacă variabill alatoar idpdt f,f,..,f, f + au ficar o dsitat d rpartiţi ormală d paramtrii si, atuci variabila alatoar (7.9.6 g f N + f ar o distribuţi d probabilitat studt cu grad d librtat.

7.. Rpartiţia Hlmrt 75 Î statistică o variabilă alatoar studt cu grad d librtat s mai otază pri t, iar α-cuatila suprioară s otază pri t α, şi a st dtrmiată d rlaţia (7.9.7 P(t > t α α Gomtric α rprzită aria suprafţi cupris îtr aa O, graficul dsităţii d rpartiţi studt, situată la drapta paralli cu Oy d cuaţi t α,.mulţima variabillor alatoar c urmază o rpartiţi d probabilitat Studt cu grad d librtat s otază d obici cu S(. Rpartiţia Studt st utilizată ptru fctuara d tst statistic î vdra vrificării uor ipotz statistic rfritoar la mdiil populaţiilor tc.î cadrul acstor tst dsitata d rpartiţi Studt cu grad d librtat s mai otază cu f(t,, iar valoril i şi al α-cuatili suprioar s găssc tablat (îrgistrat., 7.. Rpartiţia Hlmrt Acastă rpartiţi a fost dscoprită î 876 d cătr Hlmrt şi pusă î valoar d K. Parso cu 3 d ai mai târziu. Ea st u caz particular al rpartiţii gama, obţiâdu-s di acasta ptru a, b Dfiiţia. Spum dspr o variabilă alatoar f că urmază o rpartiţi d probabilitat Hlmrt ( χ d paramtrii si dacă dsitata sa d rpartiţi st dată pri: (7.. ρ( Γ( ptru oric [,, ud st u umăr atural dat, umit umărul gradlor d librtat, iar > st d asma dat. S vrifică uşor că ρ( d.

76 Lgi clasic d probabilitat - 7 Vom ota cu H(, mulţima tuturor variabillor alatoar avâd o rpartiţi d probabilitat Hlmrt d paramtrii,. Pri calcul dirct s dduc că fucţia caractristică asociată ui variabil alatoar hi-pătrat st : (7.. ϕ (t ( ti Drivâd succsiv obţim (7..3 dy dt d y 4 i ( + ( ti dt... d dt i ( ti i ( +...( + ( ti. Dâd lui t valoara zro, di rlaţiil d mai sus s obţi momtl d difrit ordi ptru o variabilă alatoar f d rpartiţi hi-pătrat (7..4 dϕ M(f i dt d ϕ M (f ( + i dt t... M (f i t d ϕ dt t iar ptru momtl ctrat s obţi valoril : (7..5 6 m (f 8 8 m (f ( + 4 4 ( +...( + m (f M (f [M (f ] 3 4... 4,

7.. Rpartiţia Hlmrt 77 Cu ajutorul fucţii caractristic asociat rpartiţii Hlmrt s poat arăta că, dacă f st o variabilă alatoar c aparţi clasi H(,atuci variabila alatoar f (7..6 g st asimptotic ormală (N(,, ptru. Să cosidrăm variabill alatoar H(, şi H(, şi fucţiil caractristic corspuzătoar acstora f f ϕ (t ( ti, rspctiv ϕ (t ( ti. Atuci variabila alatoar f f + f va ava fucţia caractristică ϕ(t ϕ ( (t ϕ ti (t ( +, ti ( ti d ud rzultă că f f + f H( +, Următoarl torm furizază modalităţi d a obţi variabil alatoar d rpartiţi H(,. Torma 6. Fi variabill alatoar idpdt f,f,.., f, f + N(,. Atuci variabila alatoar f (7..7 g f + f +,.., + aparţi clasi H(,. aparţiâd clasi Dmostraţi. Fi. Fucţia caractristică a variabili alatoar obţi pri: f j, j s F( P( ω Ω : f j ( ω < P({ ω Ω : t π < f dt. j ( ω < } π t dt

78 Lgi clasic d probabilitat - 7 df( d π t D aici rzultă că fucţia caractristică asociată variabili alatoar f j st dată d : ϕ f j (t M( f j ti π ti d Dzvoltâd î sri d putri (Taylor fucţia ti ti (ti!, ţiâd sama d dfiiţia fucţii Γ a lui Eulr şi d prsia srii biomial, î urma uui calcul similar cu cl di dtrmiara fucţii caractristic asociat rpartiţii gama s obţi ϕ f j (t M( f j ti ( ti Fucţia d rpartiţi asociată variabili alatoar f j j g s obţi pri : g itf j M( j j ( ϕ (t M( ti it f j j, M( j ( car st fucţia caractristică corspuzătoar ui variabil alatoar d rpartiţi Hlmrt (g Η(, d paramtrii si. Lga d rpartiţi χ (hi-pătrat cu -grad d librtat s mai otază cu χ, iar α - cuatila suprioară corspuzătoar ui variabil alatoar d rpartiţi χ s otază pri χ, α. Ea s dtrmiă pri rlaţia ti itf j

7.. Rpartiţia Hlmrt 79 (7..8 P(χ > χ, α α, α rprzită aria haşurată di figura alăturată şi ptru dtrmiara α-cuatili suprioar χ, α s găssc îrgistrări (tabl cu valoril i î fucţi d α. ρ( α Rpartiţia χ st utilizată frcvt î statistică la ajustara rpartiţiilor statistic rzultat î aaliza statistică.