6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE

Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu poprimiti različite vrijednosti. Prve se nazivaju konstantama, druge varijablama. Općenito se konstante označavaju prvim slovima alabeta: a, b, c,..., a varijable posljednjim:, y, z,.... U matematici, ali često i u svakodnevnom životu, susrećemo se sa situacijom u kojoj jedna od dvije ili više varijabli, ima točno određenu vrijednost čim je dana vrijednost onih drugih. Na primjer:. Označimo li sa duljinu stranice nekog kvadrata a sa y njegovu površinu, vrijednost varijable y je potpuno određena vrijednošću varijable, što zapisujemo, kao što je poznato, ormulom: y =.. Slično, označimo li sa i y duljine stranica nekog pravokutnika a sa z njegovu površinu, vrijednost varijable z je potpuno određena vrijednostima varijabla i y, što zapisujemo ormulom: z = y.. Neka se automobil giba konstantnom brzinom od 60 km/h. Označimo li sa put, u kilometrima, koji je automobil prešao, a sa y vrijeme, izraženo u satima, koliko je dugo putovao, dobit ćemo poznate ormule: y = i = 60y. 60 4. Ako hipotenuza pravokutnog trokuta ima duljinu 5, duljina y jedne katete potpuno je određena vrijednošću druge katete, tj. y = 5, ne raspravljajući na ovom mjestu za koje vrijednosti od varijabla y poprima realne vrijednosti. U gornjim primjerima ćemo reći da je: površina kvadrata unkcija duljine njegove stranice, površina pravokutnika unkcija duljina njegovih stranica, itd. Dakle, pomoću unkcija možemo promatrati kako se mijenja jedna veličina ovisno o drugoj i time opisati zakonitosti nekih pojava. Današnji pojam unkcije potječe od G. L. Dirichleta (805-859, njemački matematičar): 6

Matematika Deinicija Neka su X,Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu svakom elementu X pridružen jedan i samo jedan element y Y kažemo da je na skupu X zadana unkcija sa vrijednostima u Y. Zapisujemo: : X Y ( ) y = ( ) Nazivi: X područje deinicije ili domena unkcije, X = dom ; Y područje vrijednosti ili kodomena unkcije, Y = kodom ; argument ili nezavisna varijabla, X ; y vrijednost unkcije ili zavisna varijabla, y Y ; Im slika unkcije, Im = ( X ) ( ) Funkcije označavamo slovima, g, h,. { X } Y =. Zadati unkciju znači zadati domenu X, kodomenu Y i pravilo (propis) po kojem se vrši pridruživanje elemenata tih dvaju skupova. Zadatak: Koja pridruživanja dana dijagramima na slici 6- predstavljaju unkcije? Sl. 6-: Pridruženi elementi skupova X i Y Gra unkcije Gra G unkcije : X Y je skup točaka ravnine kojeg opisujemo na sljedeći način: {( ( ) ) X } G =, X Y. 6

Matematika Sl. 6-: Gra G unkcije Za gra se kaže da je unkcijski u odnosu na os ako paralela s osi y siječe gra u najviše jednoj točki, tj. ( ( ) ( )) y = & y = y = y. Analogno, za gra se kaže da je unkcijski u odnosu na os y ako ga paralela s osi siječe u najviše jednoj točki, tj. ( ( ) ( )) = y & = y =. Restrikcija unkcije : X Y... dana unkcija A X Funkcija = ( ) A A { A} = je restrikcija unkcije na skup A. Sl. 6-: Dijagram restrikcije unkcije na skup A Proširenje unkcije : X Y... dana unkcija X B Funkcija čija je restrikcija na skup X sama unkcija, tj. = ( ) X =, je proširenje unkcije. B B X { } 6

Matematika Pojam injektivne i surjektivne unkcije Funkcija : X Y je injekcija (injektivna unkcija, injektivno ili - preslikavanje) ako vrijedi:, X, ( ) ( ), ili ekvivalentno, X, = =. Funkcija : ( ) ( ) ( ) X Y je surjekcija (surjektivna unkcija, surjektivno ili na preslikavanje) ako je X = Y, tj. ako vrijedi da je svaki element u Y slika barem jednog elementa domene: ( y Y) ( X) y ( = ). Za unkciju : X Y kažemo da je bijekcija (bijektivna unkcija, bijektivno ili - i na preslikavanje) ako je istovremeno injekcija i surjekcija. Sl. 6-4: Dijagrami unkcija Jednakost unkcija Neka su zadane unkcije : X Y, i : X Y. Kažemo da je unkcija jednaka unkciji i pišemo = ako vrijedi:. dom = dom, tj. X = X,. kodom = kodom, tj. Y = Y,. () = (), X, (X = X ). 64

Matematika REALNE FUNKCIJE REALNE VARIJABLE Promatrat ćemo uglavnom realne unkcije realne varijable. Za unkciju : X Y kažemo da je realna ako je njezina kodomena podskup skupa realnih brojeva, tj. kodom = Y R. Za kažemo da je unkcija realne varijable ako je njezina domena podskup skupa realnih brojeva, tj. dom = X R. Zadavanje unkcija Funkcije zadajemo:. Tablicom (tabelarno); Tablica sadrži vrijednosti i vrijednosti unkcije ().. Graom (graički); Gra prati promjenu neke veličine npr. o vremenu.. Formulom: a) Eksplicitno; b) Implicitno; c) Parametarski. a) Eksplicitno zadavanje unkcije Ako je pravilo po kojem se vrijednosti npr. od y dobivaju direktno za odbrani, kažemo da je y zadan kao eksplicitna unkcija od. Zapis: y = () Na primjer: y =, y =, y =. + Postavljamo pitanje da li su gornjim ormulama zadane unkcije? Ako je unkcija zadana ormulom i ako nema dodatnih uvjeta, podrazumijeva se: područje vrijednosti (kodomena) je skup realnih brojeva i područje deinicije (domena) je skup svih onih realnih brojeva za koje dana ormula ima smisla, tj. propisane operacije u ormuli daju određenu realnu vrijednost. Tako određeno područje deinicije zovemo i prirodna domena unkcije. Oznaka: dom ili D(). Dakle, gornjim ormulama su dane unkcije : X R, X R. Primjer. ( ) =, D( ) =? + o ) o ) 0 + 0 / 65

Matematika Domenu zadane unkcije čini skup svih realni brojeva koji zadovoljvaju prvi i drugi uvjet, tj. D( ) = [, ] \. Zadatak: Odrediti prirodnu domenu zadanih unkcija. a) y =, c) = log( ) ( )( 5) b) y = 5 + 6, d) y, y =. + b) Implicitno zadavanje unkcije Funkcija je zadana implicitno ako je dana jednadžba koja sadržava varijable i y, pa se iz nje y određuje rješavanjem jednadžbe, za zadani ili obratno. Prebace li se svi članovi na lijevu stranu jednadžbe, ona prima oblik F (, y) = 0, gdje je lijeva strana neki izraz koji sadržava i y. (, y) = 0 F je opći oblik implicitno zadane unkcije. Primjeri:. y 6 = 0 ; O kojoj se unkciji/ama radi? a) y 6 = 0 y =. K =, y y 6= 0 R R je unkcijski. Dakle, skup ( ) { } b) y 6 = 0 = y +. K = y, y 6= 0 R R je unkcijski. Skup ( ) { }. a) y = + + y = + y = 0 y =. y = b) = + y + y = + y = 0 = y. = y Skup ( ) {, } K = y + y = R R nije unkcijski, ali se mogu izdvojiti potskupovi koji to jesu: ( ) { } K =, + y = odnosno, { ( ) } K = y, y + y = { } R R i ( ) K =, + y = R R, { } R R i ( ) K4 = y, y + y = R R. 66

Matematika c) Funkcije zadane parametarski ( ) Funkcija y = zadana je u parametarskom obliku, ako su i y zadani u eksplicitnom obliku kao unkcije neke pomoćne varijable t, koju zovemo parametrom, tj. = ϕ y = ψ () t () t, Svakoj vrijednosti Primjeri: t I R. t I odgovara par vrijednosti, y, odnosno jedna točka ravnine: ( ϕ () t, ψ ( t) ).. Napisati parametarsku jednadžbu pravca y = a + b. = t = t, t R, ili, y = at + b y = a( t ) + b = at + ( b a) t R, itd.. Parametarska jednadžba kružnice: = r cost, t [ 0, π ]. y = r sint Kvadriranjem i zbrajanjem tih dviju jednadžbi slijedi njen implicitni oblik: odavde eksplicitni: y, ± r =. + y = r, a. Parametarska jednadžba elipse: = a cost, t [ 0, π ]. y = b sint y Kvadriranjem i zbrajanjem tih dviju jednadžbi slijedi njen implicitni oblik: + =, a a b b odavde eksplicitni: y, = ± a. a 4. Parametarska jednadžba cikloide: = r ( t sint), t [ 0, π ]. y = r ( cost) Cikloida je krivulja koju opisuje točka kružnice polumjera r kad se kružnica kotrlja po pravcu bez klizanja, pri čemu je t kut za koji se zarotirala kružnica. Sl. 6-5 67

Matematika 5. Parametarska jednadžba astroide: t = acos 4, t [ 0, 8π ]. t y = a sin 4 Astroida je krivulja koju opisuje točka kružnice kad se kružnica kotrlja po drugoj kružnici pri čemu je omjer m polumjera iksne i rotirajuće kružnice jednak 4. a - polumjer iksne kružnice b - polumjer rotirajuće kružnice t kut za koji se zarotirala kružnica a = m - omjer polumjera iksne i rotirajuće kružnice b Sl. 6-6 Općenito, ako se kružnica kotrlja izvana epicikloida, ako se kotrlja iznutra hipocikloida. Napomena: Implicitna jednadžba astroide (koja se dobije eliminacijom parametra t) glasi + y = a. Algebarske operacije s unkcijama Neka su zadane dvije unkcije,g: X R, i neka je r R. Tada su ( ( ) 0 ) + g, g, g, g, X,r nove unkcije iz X u R deinirane ormulama: g. ( + g)( ) = ( ) + g( ), zbroj unkcija;. ( g)( ) = ( ) g( ), razlika unkcija;. ( g)( ) = ( ) g( ), produkt unkcija; ( ) 4. ( ) = g g( ) ( r )( ) = r ( ), kvocijent unkcija; 5., umnožak unkcije brojem. 68

Matematika Monotonost unkcije Neka je : X R, X R. Ako vrijedi, X, < ( ) < ( ), je strogo rastuća unkcija;, X, < ( ) ( ), je rastuća unkcija;, X, < ( ) > ( ), je strogo padajuća unkcija;, X, <, je padajuća unkcija. ( ) ( ) Za unkciju kažemo da je monotona ako je rastuća ili padajuća, odnosno strogo monotona ako je strogo rastuća ili strogo padajuća unkcija. Funkcija : X R je po dijelovima monotona ako se svaki konačni interval iz domene može rastaviti na konačno mnogo intervala na kojima je unkcija monotona. Napomena: Veza stroge monotonosti i injektivnosti unkcije! Parnost i neparnost unkcije Neka je : X R, gdje je domena X simetrična s obzirom na ishodište koordinatnog sustava, tj. dom dom. Za unkciju kažemo da je parna ako je odnosno neparna ako je ( ) ( ), X =, ( ) = ( ), X. Slijedi da je gra parne unkcije simetričan s obzirom na os y, a da je gra neparne unkcije centralno simetričan s obzirom na ishodište koordinatnog sustava. Sl. 6-7 69

Matematika Omeđenost unkcije Funkcija : X R, X R je omeđena (ograđena ili ograničena) ako je slika unkcije ( X ) = { ( ) X } omeđena, tj. ako postoje brojevi mm, R takvi da je ( ) M, X m. Gra unkcije se nalazi između pravaca y = m i y = M. Periodične unkcije Funkcija : X R, X R, je periodična ako postoji broj p R, p 0 takav da je Broj p zovemo period unkcije. ( ) ( + k p) =, k Z. Primjer: y = sin, period π = = π π y = sin(n), period p n p l = sin( + k π ) sin, π = l ( ) sin n = sin n + k. n Linearne transormacije graa Neka je dana unkcija { } y = ( ) i neka nam je poznat njen gra G = (, ( ) ) X. Kako konstruirati gra unkcije y = ( β + a) + b α iz zadanog graa unkcije y =? - Gra unkcije y = ( + a), a > 0 (a < 0), dobiva se iz graa unkcije y = ( ) njegovom translacijom ulijevo (udesno), duž osi, za vrijednost a. = ( ) b ( ) - Gra unkcije y +, b > 0 (b < 0), dobiva se iz graa unkcije y = njegovom translacijom duž osi y u pozitivnom smjeru (u negativnom smjeru), za vrijednost b. ( ) Sl. 6-8: Neke linearne transormacije graa 70

Matematika - Točke graa unkcije y = ( β ), dobivaju se zamjenom točke (, ) G točkom 0 a, y 0. Mogućnosti su sljedeće: a) β = - simetrija s obzirom na os y; b) β > skupljanje (suženje) graa G β puta u smjeru osi. U slučaju da je β negativan transormacija je praćena i simetrijom s obzirom na os y; c) β <, β 0 rastezanje (proširenje) graa G β puta u smjeru osi. U slučaju da je β negativan transormacija je praćena i simetrijom prema osi y. - Slično prethodnom, za dobivanje graa unkcije y α ( ) a) α = - simetrija s obzirom na os ; 0 y 0 =, mogućnosti su sljedeće: b) α > rastezanje (proširenje) graa G α puta u smjeru osi y. U slučaju da je α negativan transormacija je praćena i simetrijom s obzirom na os ; c) α <, α 0 skupljanje (suženje) graa G α puta u smjeru osi y. U slučaju da je α negativan transormacija je praćena i simetrijom prema osi. - Do graa unkcije y = ( β + a) + b α dolazimo kombinacijom gornjih postupaka. KOMPOZICIJA FUNKCIJA Kompozicija unkcija ili slaganje unkcija je najopćenitija, najprirodnija i najvažnija operacija nad unkcijama! Deinicija Neka su X, Y neprazni skupovi i neka su : X R, g: Y R unkcije zadane na X odnosno Y sa vrijednostima u R. Ako je slika unkcije sadržana u skupu Y, tj. X je sa h = g = g, ( ) ( )( ) ( ( )) X dana unkcija h: X R koja se naziva kompozicija unkcija i g. ( ) Y tada Sl. 6-9: Kompozicija unkcija i g 7

Matematika + Primjer: Odrediti kompozicije g, g unkcija ( ) = + + ( )( ) ( ( )) g = g = g = = = +, + + ( g)( ) = ( g( ) ) = = = =. Napomena: općenito je g g. i ( ) Zadatak: Odrediti tražene kompozicije zadanih unkcija. 4 ( ) =, g ( ) =, h( ) = + ; g =?, g =?, g h =?, h g =?, h g =? g =. Teorem Neke su dane unkcije : X kompozicije h g, h g, ( h g) = h ( g ). X, g : X X, h : X X 4 ( ) g, h ( g ). Tada vrijedi: i neka su deinirane Dokaz. Budući da je ( X ) X, a unkcija g je deinirana na X, kompozicija g je dobro deinirana. Analogno za ostale. Provjerimo dalje da vrijedi: [( h g) ]( ) = [ h ( g )]( ), X. Prema deiniciji kompozicije, [( h g) ]( ) = ( h g) ( ) = h ( g ( ( ) )) [ h ( g )]( ) = h( ( g )( ) ) = h( g ( ( ) )), odnosno. 7

Matematika INVERZNA FUNKCIJA Neka je : X Y injektivna unkcija, tj., X, ( ) ( ) ( ) ( ) = =. Promatramo li gra unkcije, zbog gornje ormule je on unkcijski s obzirom na os i s obzirom na os y. Zbog toga možemo deinirati novu unkciju koja elementima iz ( X ) pridružuje elemente iz X. Deinicija Neka je : X Y injektivna unkcija. Svakom elementu y ( X ) pridružimo jednoznačno element X koji se s preslikava u y i označimo ga = y. Ovako deiniranu unkciju : ( X ) X nazivamo inverznom unkcijom unkcije. Ako je bijekcija, onda je ( X ) = Y, pa je : Y X. Napomena: Gra unkcije dane ormulom y = ( ) i gra unkcije dane ormulom = ( y), kad y primi sve vrijednosti iz ( ) X, se podudaraju, tj. oni su isti skup točaka u ravnini ( G G. Međutim, uobičajeno je da se kod crtanja graa argument (nezavisna ) varijabla) unkcije označi sa, pa tako za inverznu unkciju imamo: {( ( )) ( )} G =, X. Slijedi da su graovi G i simetrični s obzirom na pravac y =. Vidi sliku 6-0! G ( ) Sl. 6-0: Graovi unkcija i - Iz deinicije inverzne unkcije slijedi da je ispunjeno:. ( )( ) = ( ( ) ) = ( y) =, tj. ( ) = i, gdje je i identitata na, 7

Matematika. ( )( y) = ( y) ( ) = ( ) y = ( ) y, tj. = i, gdje je i y identitata na y, a osim toga je ispunjeno i. Ako su, g dvije unkcije, g njihova kompozicija, tada vrijedi: ( ) g = g. Teorem Neka je : X R, X R strogo monotona unkcija. Tada vrijedi: ) ima inverznu unkciju ; X ; ) Ako strogo raste na domeni X, onda strogo raste na ( ) ) Ako strogo pada na domeni X, onda strogo pada na ( X ). Dokaz. Ad ) je strogo monotona unkcija (, X ) < ( ) < ( ) ili (, X ) < ( ) > ( ), odakle slijedi injektivnost unkcije, čime je tvrdnja dokazana. Ad ) Tvrdimo: ( < ( ) < ( )) y < y ( y ) < ( y ). Pretpostavimo suprotno: ( < ( ) < ( )) ( ) ( ( y) ( y) / ( y ) y y y, što je suprotno pretpostavci. ( ) ( ( )) Dakle, tvrdnja je istinita. Ad ) Analogno prethodnom. Teorem Ako za unkciju y = ( ) postoji inverzna unkcija y g( ) y < y & y y ). =, ona je jedinstvena. Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoje barem dva inverza. Neka su to unkcije g i g za koje vrijedi: g g, g = i, g = i g = i, g = i. (*) ( ) ( ) y, odnosno ( ) ( ) Želimo dokazati da je y Y, g ( y) = g ( y). Upotrebom jednakosti sadžanih u (*), slijedi: g y = i g y = i g y = g g y = g g y = ( ) ( ( )) ( )( ) (( ) )( ) ( ( ))( ) ( y)( ) y ( ) čime je tvrdnja dokazana. ( ) ( ) = g i y = g i y = g y y, 74

Matematika Zadatak: Odrediti inverzne unkcije danih unkcija. a) ( ) = 5, b) ( ) = +, c) ( ), d) ( ) log Ad b) y = + = + Zamijenimo mjesta varijablama i y l = y + Izrazimo y kao unkciju od l = y Slika graa zadane unkcije i dobivenih inverznih unkcija: y y, = y = = ± + + =. 75