7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală defiită pe o mulţime deschisă D, = este d fucţia ecuoscută, iar = este derivata de ordiul îtâi a acesteia. d Defiiţia 7.. O fucţie ϕ : I Ρ Ρ se umeşte soluţie petru ecuaţia F, ϕ, ϕ =, I (Se difereţială () dacă este derivabilă pe I şi subîţelege că se presupue că (, ϕ, ϕ ) D, I). Graficul uei soluţii a ecuaţiei () se mai umeşte şi curbă itegrală a = ϕ, C, ude ecuaţiei (). Pri soluţie geerală îţelegem o familie de soluţii C este o costată arbitrară. Pri particularizarea costatei C obţiem diferite soluţii particulare ale soluţiei (). Eemplul 7.. Fie ecuaţia =,. () Observăm că = C, (, ) este soluţia geerală a ecuaţiei pe itervalul (, ). De asemeea = C, (,) este soluţia geerală a ecuaţiei pe itervalul (,). Curbele itegrale sut semidreptele care poresc di origiea aelor de coordoate (Fig. ). Eemplul 7.. =,. (3) Observăm că oricare ar fi costata C >, fucţiile ( CC, ) sut soluţii petru această ecuaţie pe itervalul ( CC, ) 3. =± C,

68 ANALIZĂ MATEMATICĂ. CALCUL INTEGRAL Fig. Fig. Curbele itegrale sut semicercurile + = C, > (respectiv < ). Observaţia 7.. Eistă ecuaţii difereţiale care admit soluţii ce u se pot obţie di soluţia geerală pri particularizarea costatei. O astfel de soluţie se umeşte soluţie sigulară. Eemplul 7..3 Fie ecuaţia = + (4) Soluţia geerală este = C+ C, Ρ, aşa cum e dăm seama pritr-o verificare directă. Curbele itegrale corespuzătoare soluţiei geerale reprezită o familie de drepte (fig. 3). Costatăm îsă că ecuaţia admite şi soluţia =, 4 Ρ. Îtr-adevăr, îlocuid î ecuaţie obţiem idetitatea: = 4 +, 4 Ρ. Pe de altă parte, este evidet că această soluţie u se obţie di soluţia geerală pri particularizarea costatei C. Aşadar, =, Ρ este o soluţie 4 Fig. 3 sigulară a ecuaţiei (4). Curba sa itegrală este o parabolă (îfăşurătoarea familiei de drepte = C+ C ). Defiiţia 7.. O ecuaţie difereţială de forma: = f (, (5)

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 69 ude f este o fucţie reală cotiuă defiită pe o mulţime deschisă D, se umeşte ecuaţie difereţială de ordiul îtâi sub formă ormală., D, costă î deter- Problema Cauch petru ecuaţia (5) şi puctul miarea uei soluţii ϕ a ecuaţiei (5) care verifică codiţia iiţială: ϕ = (6) Mai precis, problema costă î găsirea uei fucţii ϕ : I Ρ, de clasă pe itervalul I, care îdeplieşte următoarele codiţii:, ϕ D, I ϕ = f, ϕ, I ϕ =., şi C Lema 7.. Rezolvarea problemei Cauch (5) + (6) este echivaletă cu rezolvarea ecuaţiei itegrale: = +, I () f tt, ()dt (7) Demostraţie. Îtr-adevăr, dacă = ϕ(), I este soluţie petru problema Cauch (5) + (6) atuci ϕ () t = f t, ϕ() t, t I şi ϕ =. Itegrâd prima idetitate, obţiem petru orice I : t. ϕ( ) ϕ = ϕ ()d t t = f t, ϕ()d t Cum ϕ ( ) =, rezultă că ϕ = + f [ t, ϕ( t) ] dt, I = ϕ, I este soluţie petru ecuaţia itegrală (7). Reciproc, dacă = ϕ, I este soluţie petru ecuaţia (7), atuci ϕ = + f [ t, ( t) ] dt Evidet ( ) [ ϕ ] ϕ, I. ϕ =. Pe de altă parte, pri derivare obţiem:, deci ϕ = f,, I, deci = ϕ, I este soluţie petru problema Cauch (5) + (6). Defiiţia 7..3 O fucţie f : D este lipschitziaă î raport cu, pe domeiul D, dacă eistă o costată L astfel îcât L, oricare ar fi puctele (, ) şi (, ) di D. (, ) f (, ) f Observaţia 7.. Dacă D este deschisă şi coveă, mărgiită pe D, atuci f este lipschitziaă î raport cu pe D. f C ( D) şi f este

7 ANALIZĂ MATEMATICĂ. CALCUL INTEGRAL f Îtr-adevăr, fie M > astfel îcât (, < M, (, D. Di teorema creşterilor fiite a lui Lagrage deducem că oricare ar fi puctele (, ) şi (, ) di D, eistă u puct ξ ître şi astfel îcât f f (, ) f(, ) = (, ξ )( ). Î cotiuare avem: f f M, deci f este lipschitziaă pe D.,, Teorema 7.. (Teorema de eisteţă şi uicitate) f : D= a, + a b, + b o fucţie cotiuă şi Fie lipschitziaă î raport cu, pe D. Atuci eistă o soluţie uică = ϕ, (, + ), a problemei Cauch = f (,, (, D, ( ) I a a =. Demostraţie. Cum f este cotiuă pe mulţimea compactă D, rezultă că f este mărgiită pe D. Fie M > astfel îcât M, D. Fie de f (, <, asemeea, L costata lui Lipschitz, α, u umăr oarecare şi b α h= mi a,, M L. Notăm cu I itervalul h, + h şi cu [ ] F = { g: I [ b, + b] ; g cotiuă}. Observăm că F u este u spaţiu vectorial, deoarece u este îchis la Fig. 4 operaţia de aduare. Costatăm îsă că F este u spaţiu metric, î raport cu distaţa d g, g = sup g g ; I, g, g F (8) { } Mai mult, F este u spaţiu metric complet. Îtr-adevăr, dacă { g } este u şir fudametal de fucţii di F, atuci { g } este u şir fudametal î spaţiul Baach CI () = { g: I, g cotiuă }, îzestrat cu orma g = sup { g, I}. Rezultă că { g } este coverget î CI, deci eistă g: I, cotiuă, astfel îcât (, ) d g g = g g. Este clar îsă, că dacă g F şi atuci g F. Aşadar, (F, d) este u spaţiu metric complet. Defiim aplicaţia T : F F astfel: g g,

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7 Tg = + ftgt, dt, g F, I (9) Observăm că T(g) este o fucţie cotiuă pe I şi că b Tg f ( tgt, ) dt M Mh M = b. M Rezultă că Tg F, g F. Mai mult, vom arăta că T este o cotracţie. Îtr-adevăr, ţiâd seama că F este lipschitziaă î raport cu a doua variabilă, rezultă: = T( g ) T( g ) f t, g ( t) f t, g ( t) dt () ()d d (, ) d (, ) d (, ) L g t g t t L g g L g g h α g g I. Trecâd la margiea superioară obţiem: d Tg, Tg = sup Tg Tg ; I αd g, g. { } Cum α (,), deducem că T : F F este o cotracţie. Di teorema de puct fi a lui Baach (Teorema 3..8 di []) rezultă că eistă ϕ F uică, astfel îcât T( ϕ) = ϕ. Aşadar, avem: ϕ = + f [ t, ( t) ] dt ϕ, I. Di Lema 7.. deducem că ϕ este o soluţie uică petru problema Cauch f,, = şi cu aceasta teorema este demostrată. = Observaţia 7..3 Teorema 7.. e dă o primă metodă aproimativă de rezolvare a problemei Cauch şi aume metoda aproimaţiilor succesive. Aşa cum ştim di teorema de puct fi a lui Baach, soluţia ϕ a problemei Cauch este limita î raport cu distaţa, defiită î (8), a şirului aproimaţiilor succesive { } ude: = + f t, d t, I = + f t, ( t) d t, I = + f t, ( t) d t, I,, Cum covergeţa î raport cu distaţa (8) este echivaletă cu covergeţa uiformă, rezultă că u I ϕ. Eemplul 7..4 Să se rezolve problema Cauch

7 ANALIZĂ MATEMATICĂ. CALCUL INTEGRAL =, ( 3, ) D =,,, () =. Se observă imediat că soluţia acestei probleme Cauch este ϕ = e, I,. Pe de altă parte, avem f (, ) =, (, D, =, =, 3 M = şi L =. Dacă alegem α = atuci h = mi,, = 3, deci 3 Şirul aproimaţiilor succesive arată astfel: = + dt = +, I = + ( + t) dt = + +, I 3 t 3 = + + t+ dt = + + +, I 3! = + + + K+, I!! I =, 33. a = b=, Cum e = şi covergeţa este uiformă pe Ρ, rezultă că =! u I e. Observaţia 7..4 Î eemplul 7..4 am putut afla limita şirului aproimaţiilor succesive. De regulă, acest lucru u este posibil şi de aceea vom aproima limita acestui şir cu fucţia determiată la pasul. Cu alte cuvite ϕ. Aşa cum ştim de la teorema de puct fi a lui Baach, eroarea satisface iegalitatea: α ϕ dist (,, I. α { } dist, = sup f t, d t ; I M h, rezultă că Cum α ϕ Mh α, I.