ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΗΤΗΜΑ ο Α. α Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι, αν > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. μονάδες β Αν = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τι συμπεραίνετε για τον τύπο της μονάδες Β. α Για τη συνάρτηση ισχύουν : = για κάθε R και =. Να αποδείξετε ότι : Ι Η συνάρτηση είναι σταθερή μονάδες ΙΙ =, για κάθε R. μονάδες β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ Ι Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε αυτό, τότε > για κάθε Δ. μονάδες ΙΙ Αν > για κάθε R, τότε τα σημεία Α, και Β, - ανήκουν και τα δύο στη γραφική παράσταση της. μονάδες ΙΙΙ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο σε ένα διάστημα Δ και ισχύει για κάθε Δ, τότε η είναι γνησίως μονότονη στο Δ. μονάδες ΖΗΤΗΜΑ ο Α. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : R R με τύπο Να δείξετε ότι : α α = μονάδες 7 β Η είναι παραγωγίσιμη στο R. μονάδες 8 Β. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ln με >. α Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. μονάδες 5 β Δείξετε ότι για κάθε >. μονάδες 5
ΖΗΤΗΜΑ ο Α. α Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. μονάδες 6 β Έστω παραγωγίσιμη στο [α,β] και, συνεχής στο [α,β] με c Αν για κάθε α,β δείξτε ότι η εξίσωση c έχει μία μόνο ρίζα στο α,β. μονάδες 6 Β. α Αν παραγωγίσιμη στο R, = 5 και για κάθε R ισχύει : 6 να βρείτε την εφαπτομενη της στο χ= μονάδες 6 β Δίνεται η συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β]. Έστω m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της στο [α,β]. Αν ισχύει : m < α < β < Μ να δείξετε ότι η εξίσωση = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο α,β μονάδες 7 ΖΗΤΗΜΑ ο Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση :, + R για την οποία ισχύουν : 5 για κάθε >, = και = -. α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ln, είναι σταθερή. μονάδες 8 β Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. μονάδες γ Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της. μονάδες δ Να βρείτε το σύνολο τιμών της. μονάδες ε Να αποδείξετε ότι αν < α < β <, τότε ισχύει : ln ln μονάδες 8
ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΗΤΗΜΑ ο Α. α Θεωρια βιβλιο σελ β =c B.α.. αρα =c Για χ= εχω = ara = β Λ,Λ,Σ ΖΗΤΗΜΑ ο Α.α a a β Η παραγωγίσιμη για χ ως πηλίκο για χ=: 9 9 αρα παραγωγίσιμη στο R B. α ln ln X + + - ολ.με στη θεση χ= παρουσιαζει ολικο μεγιστο = β αρα για κάθε χ> ΖΗΤΗΜΑ ο Α. αεστω ότι η παρουσιαζει σημείο καμπής χ,.τοτε χ=.παραγωγίζω:. για χ=χ εχουμε δηλ : Όμως η ψ=χ και η ψ= δεν εχουν κανένα κοινό σημείο αρα η είναι αδύνατη αρα η δεν εχει σημεία καμπής. β Θεωρώ = -c σχς στο [α,β] ως διαφορά συνεχων. c c αρα ισχύει το Θ.Βolzano δηλ υπαρχει τουλάχιστον ριζα της = στο α,β. Επίσης = και συνεχής αρα διατηρει πρόσημο δηλ η είναι γν.μονότονη και η ρίζα είναι μοναδική B. α Εχω: 6 Θεωρώ 6 h και εχω h= αρα η γινεται h h για κάθε χ στο R δηλ στη θέση χ= εσωτερικό σημείο η h παρουσιάζει ακρότατο είναι πργμ δηλ από θεώρημα Frmat h =. Όμως h h Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:ψ-= - δηλ ψ-5=-χ αρα ψ=-χ+5
βεπειδη η είναι συνεχής στο [α,β] εχει μέγιστη Μ και ελάχιστη m τιμή.απο την σχέση m < α < β < Μ αποκλείεται τα ακρα α,β να είναι θέσεις ακροτάτων αρα εχει εσωτερικά σημεία που είναι θέσεις ακροτάτων εστω χ,χ.απο θ.frmat = = Στο [χ,χ] η είναι πργμ και σχς και = =.Αρα ισχύει το Θ.Roll αρα η εξίσωση = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο χ,χ α,β ΖΗΤΗΜΑ ο α.. αρα... 5 Δηλ χ. =c για = εχω =c αρα c = από Αρα από εχω = δηλ σταθερη β εχω c ln και για χ= εχω c= αρα ln ln γ στο,+ εχουμε: ln ln αρα ψ= οριζόντια ασυμπτωτη στο + ln..ln ln δ εχω = X + - + ολ.ε στη θεση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο Για το σύνολο τιμών εχουμε:, ] [, [, [, [, [, ενωνοντας τα δυο σύνολα εχουμε ότι A [,
ln ln ε η σχέση διαιρωντας με αβ γίνεται: δηλ: ln ln a a ln ln ln Με Θ.Μ.Τ για την h στο [α,β] υπαρχει, : h a ln Όμως h Από,, θελω να δειξω : β < ξ < α Όμως στο, η είναι γν. φθίνουσα αρα: με α<ξ<β επεται α > ξ > β