Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke funktsiooni y = ln 5 + 4 + 5 määramispiirkond 5 Leidke funktsiooni y = sin muutumispiirkond 6 Leidke funktsiooni y = + muutumispiirkond 7 Leidke funktsiooni y = 4 + pöördfunktsioon 8 Leidke funktsiooni y = + pöördfunktsioon 9 Leidke funktsiooni y = log( + e ) pöördfunktsioon Leidke funktsiooni y = 4 arcsin pöördfunktsioon Teisendage funktsioon log y log ( ) = ilmutatud kujule Teisendage funktsioon ( + ) cos y = ilmutatud kujule Joonestage funktsiooni y = graafik 4 Kas funktsioon y = 6 + 5 on paaris, paaritu või mitte kumbki? 5 Kas funktsioon y = (5 5 ) on paaris, paaritu või mitte kumbki? 6 Kas funktsioon y = 4 + on paaris, paaritu või mitte kumbki? 7 Kas funktsioon y = ln on paaris, paaritu või mitte kumbki? + ( ) + 8 Leidke f, kui f() = + 9 Leida f{f[f()]}, kui f() = Ülesannetes - 9 leidke piirväärtused (n + ) (n ) lim n (n + ) + (n ) lim n lim ( n + + n ) n6 + 8 6 5 +

8 lim 4 [ ] 4 lim ( ) + + 5 lim 6 lim 7 49 + h 7 lim h h 8 lim 9 lim ( + )( + ) + 5 lim 5 lim + 4 + lim tan sin 5 cos lim sin ( 4 lim sin tan ( π ) tan 5 lim π ( 6 lim + 4 ) ( ) + 7 lim ( ) 8 lim + 9 lim ( + ) ) 4 Tõestage tuletise definitsiooni abil, et ( ) =

4 Tõestage tuletise definitsiooni abil, et ( ) = Ülesannetes 4-5 leidke funktsiooni tuletis ja võimaluse korral lihtsustage avaldis 4 y = + 4 y = log ( + + 4) 44 y = 45 y = ln ( + + ) + 46 y = 9 + 6 5 9 47 y = ln(e cos + e sin ) 48 y = ( ) + arcsin + 49 y = + ln + + arctan 5 y = sin + cot + cos + tan ( ) 5 Arvutage z (), kui z(t) = t + t 5 Rihmaratta pöördenurga α sõltuvus ajast on α = t + t 5 Leidke nurkkiirus ajahetkel t = 5 5 Leidke joone y = 8a puutuja tõus punktis abstsissiga = a 4a + 54 Leidke y, kui 4 + y 4 = y 55 Leidke y, kui y sin cos( y) = 56 Leidke y, kui y ln y = 57 Leidke y, kui + y = +y 58 Leidke y, kui y = ( ) 59 Leidke y, kui y = + 6 Leidke y, kui y = ( + ) 5 6 Leidke dy, kui = t( sin t), y = t cos t ( ) 6 Leidke ellipsi = cos t, y = sin t puutuja tõus punktis A ;

6 Avaldage funktsiooni y = e diferentsiaal dy 64 Arvutage funktsiooni y = ln kui = ja = + diferentsiaali ja muudu väärtused, 65 Arvutage funktsiooni diferentsiaali abil ligikaudu ln, 66 Arvutage funktsiooni diferentsiaali abil ligikaudu 4 6, 64 67 Leidke y, kui y = + 68 Leidke y, kui y = (sin ln + cos ln ) 69 Leidke y (n), kui y = + 7 Arvutage f IV (), kui f() = 6 4 + 4 7 Leidke y, kui e +y = y 7 Leidke d y, kui = ln t, y = t Ülesannetes 7-8 leidke piirväärtus L Hospitali reegli abil 7 lim 74 lim e a e b π arctan 75 lim ( ln + ) 76 lim e 77 lim ( ln 78 lim sin 79 lim ( ) 8 lim (e + ) ) ln 8 Arendage funktsioon f() = 5 + Taylori valemi abil astmete järgi 8 Koostage funktsiooni y = sin teist järku Taylori valem punkti = ümbruses Arvutage saadud hulkliikme abil sin, ligikaudne väärtus ja jääkliikme abil hinnake tulemuse suurimat võimalikku viga 4

8 Koostage funktsiooni y = ln järku Taylori valem punkti = ümbruses 84 Leidke funktsiooni y = kasvamis- ja kahanemispiirkond ln 85 Leidke funktsiooni y = sin + cos lõiku [; π] kuuluv kasvamis- ja kahanemispiirkond 86 Leidke funktsiooni y = ln( + ) lokaalsed ekstreemumid 87 Leidke funktsiooni y = ( 5) ( + ) lokaalsed ekstreemumid 88 Leidke funktsiooni y = sin + cos [ 4 lõiku π ; π ] kuuluvad lokaalsed ekstreemumid 89 Leidke funktsiooni y = + suurim ja vähim väärtus lõigul [; 4] 9 [ Leidke funktsiooni y = sin suurim ja vähim väärtus lõigul π ; π ] 9 Leidke funktsiooni y = + ning käänupunktid graafiku kumerus- ja nõgususpiirkond 9 Leidke funktsiooni y = e graafiku kumerus- ja nõgususpiirkond ning käänupunktid 9 Leidke funktsiooni y = graafiku asümptoodid 94 Leidke funktsiooni y = + graafiku asümptoodid 95 Leidke funktsiooni y = + määramispiirkond, nullkohad, lokaalsed ekstreemumid, kasvamis- ja kahanemispiirkonnad, käänupunktid, kumerus- ja nõgususpiirkonnad, graafiku asümptoodid Kas funktsioon on paaris või paaritu? Joonestage funktsiooni graafik Ülesannetes 96-7 leidke määramata integraal 4 96 97 98 99 ( + ) ( + ) + cos + cos 5 5 5

4 5 6 7 8 9 4 + tan sin 4 cos e e + ln 4 + ln + ( + ) sin ln( + ) arccos 4 5 6 7 8 9 + + + 6 7 5 + 4 8 4 + ( )( 4) ( + ) + 6

4 + 5 cos tan tan cos 6 4 5 6 7 sin cos 4 sin ( + ) + + Ülesannetes 8-8 arvutage määratud integraal 8 9 6 + 9 e e + ln 4 5 6 7 π π π π 4 e + 4 + 5 + cos 5 sin sin sin ln( + ) + 7

8 9 4 4 4 4 9 ( ) + ( ) Ülesannetes 9-45 arvutage päratu integraal e + + ( + ) sin 44 45 ln ( )( ) 46 Arvutage paraboolidega y +8 = 6 ja y 4 = 48 piiratud kujundi pindala 47 Arvutage astroidiga = a cos t, y = a sin t piiratud kujundi pindala 48 Arvutage Pascali teoga ϱ = a( + cos φ) piiratud kujundi pindala 49 Arvutage joone y = ln( ) kaare pikkus lõigul [ ; ] 5 Arvutage joone y = + arcsin pikkus 5 Arvutage joone = a(cos t + t sin t), y = a(sin t t cos t) kaare pikkus punktist, milles t = punktini, milles t = π 5 Arvutage hüperboolse spiraali ϱφ = pikkus väärtusest φ = 4 väärtuseni φ = 4 5 Koostage joone y = ln puutuja ja normaali võrandid punktis abstsissiga = Tehke joonis 54 Koostage joone y = abstsisssiga = a 8a + 4a puutuja ja normaali võrrandid punktis 55 Koostage hüperbooli y = 5 puutuja ja normaali võrrandid punktis (; ) 56 Koostage joone = sin t, y = cos t puutuja ja normaali võrrandid punktis, kus parameeter t = π 6 8

57 Koostage ( ellipsi = cos t, y = 4 sin t puutuja ja normaali võrrandid ) punktis ; Vastused X = ( ; 5) ( 5; ); X = [ ; ]; X = [ 4; π] [; π]; 4: X = (4; 5) (6; ); 5 Y = [ ; ] 6 Y = [; ]; 7 y = ± + ; 8 y = log ; 9 y = ln ( ); y = ± cos 4 ( π; y = 8 8; y = arccos ; 4 Paari- + tu; 5 Paaris; 6 Ei ole kumbki; 7 Paaris; 8 ; 9 ; ; 4; 6; ; 4 ; 5 ; 6 7 56 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; 5 ; 4 ; 4 ; 5 ; 6 e ; 7 e ; 8 e ; 9 e ; 4 ( ) + ; 4 ( + + 4) ln ; 44 ln + ; 45 ; 46 54 5 4 (e + e )(cos sin ) + ( 55 9 + 6 5 ) ; 47 ; e cos + e sin 9 48 ; 49 5 + ; 5 cos ; 5 ; 5 4 ( + ) rad; 5 s ; 54 y y y cos + sin( y) ; 55 y sin( y) sin ; 56 ( + ln y) ; 57 y y ; 58 ( ln ); ( ) ( ) [ 59 + + + ln ; 6 + ( + ) 5 ( ) + ] ; 5 cos t t sin t 6 sin t t cos t ; 6 6 ; 6 e (+); 64 dy =,, y =, 44; 65, ; 66, ; 67 ( + ) + ; sin ln 68 ; 69 ( ) n+ n! ( + ) ; 7 6; 7 y [( ) + (y ) ] ; n+ (y ) 7 4t ; 7 6 ; 74 a b ; 75 ; 76 ; 77 ; 78 ; 79 ; 8 e ; 8 4( )+( ) +7( ) +5( ) 4 +( ) 5 ; 8 + R (), kus R () = sin Θ ; 8 + 5 ( ) + 6 ( ( ) 4 ) + R (), kus R () = ; 84 X = (e; ), 4[ + Θ( )] ( X = (; ), X = (; e); 85 X = ; π ) ( π, X = 6 ; 5π ), X = ( ) 6 π ( π ; π, X = 6 ; π ) ( 5π, X = 6 ; π ) ; 86 Kohal = lok miin 9

87 Kohtadel = ja = 5 lok miin kohal =, 5 lok maks 88 Kohal = lok miin Kohtadel = ± π lok maks 89 y min = y() =, y ma = y(4) = ( 5 ; 9 y ma = y π ) = π ( π ), y min = y = π ( ; 9 ˆX = ; ) ) (, ˆX = (;, X = ) ( ) ;, X = 5 ; ; ( 5 5 5 9 ˆX = ) ( ;, X = ; ) ( ), X = ; ; 9 =, y = + ; 94 =, y = ; 95 X = ( ; ) (; ), nullkohti pole, kohal = lok maks kohal = lok miin X = ( ; ), X = (; ), X = ( ; ), X = (; ), ˆX = ( ; ), X = (; ), käänupunkte pole, vertikaalasümptoot =, kaldasüptoote pole; 96 6 6 4 4 +C; 97 arctan +C; 98 (tan +)+C; 99 7 5 ln 5 +C; 5 + ( 5) 5 +C; 4 + +C; ln cos + C; sin5 + C; 4 ln(e + ) + C; 5 5 ln ln + C; 6 arctan + C; 7 arcsin ln + C; 8 arcsin ( + ) cos sin + C; 9 + + C; 4 ln ln + C; ln( + ) + arctan + C; arccos + C; + 5 ln + + C; 4 9 + ln + + C; 5 ln + ln + ln + C; 6 + + 4 + ln + 5 ln ln + + C; 7 ln + + 5 ln + + C; 8 ln + + arctan + C; 9 ln + 6 ln( + ) + arctan +C; ln tan + tan +C; ln sin 5 cos 5 + C; tan + tan + 5 tan5 + C; cos cos + C; 4 4 sin + C; 5 arctan + C; 6 5 ( ) ( ) 5 ( ) +C; 7 +6 6 6 ln( 6 + ) + C; 8 ; 9 e e; ; arctan arctan ; ln 4 ; 7 ; 4 π 6π; 5 π(9 4 ) + 6 ln ; 6 ; 7 π ; 8 8 + π; 9 ; 4 π; 4 ; 4 Hajub; 4 8 ; 44 ; 45 π; 46 6; 47 4 8 πa ; 48 8πa ; 49 ln ; 5 ; 5 π a ; 5

ln + 5 ; 5 y = ja y = ; 54 y = + a ja y = a; 55 y = 5 ja y = + 4; 56 y = + ja y = + 4 ; 57 y = 4 + 4 ja y = 4 + 7 8