I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

54 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Repetitio est mter studiorum. [Povljje je mj učej / zj.] (LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V s e d m i c i.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz i jegove overgecije i griče vrijedosti jedi su od jvžijih mtemtičih pojmov oji svoju primjeu imju u rzim područjim mtemtie o što su pr. diferecijli i itegrli rču. Z iz relih brojev overgecij i grič vrijedost defiirju se sljedeći či. Defiicij... Z iz ( ) u R žemo d je overget (u R) o postoji reli broj ( R) tv d z svi rel broj ε > 0 postoji prirod broj 0 tv d z sve prirode brojeve veće od 0 vrijedi < ε. (..) U tom slučju broj zovemo grič vrijedost ( ili limes *), gric ) iz ( ) i pišemo lim( ) ( ili lim ili, rće, lim ). Tođe td još žemo d iz ( ) overgir ili d teži d() i pišemo ( ). Z iz oji ije overget žemo d je diverget ili d divergir. Kd overgetom izu ( ) vršimo griči prelz / prijelz. pridružujemo griču vrijedost, govorimo d Defiicij... Kžemo d iz ( ) u R im griču vrijedost (ili d overgir besočosti) i pišemo lim o z svi broj M R postoji prirod broj 0, tv d je > M z svi prirod broj veći od 0. Sličo se defiir i grič vrijedost lim. U ovim slučjevim že se i d je iz ( ) određeo diverget ili d divergir besočosti. U sldu s opštom defiicijom specijlih tipov podsupov uređeog sup, pod (otvoreim) itervlom s rjevim i b (, b R, < b) podrzumijevmo sup (, b) : { x R < x < b }, pod odsječom ili segmetom s rjevim i b podrzumijevmo sup [, b] { x R x b }. *) limes (lt.) - gric

55 Tođe često posmtrmo supove obli [, b) { x R x < b }, (, b] { x R < x b }, oji se poed zovu polusegmet, odoso poluitervl. Poed ćemo svi od ov četiri tip specijlih podsupov sup R zvti rzm i ozčvti s, b. Dlje, pod ooliom tče (odoso broj) x 0 R podrzumijevmo bilo oji podsup sup R oji sdži otvorei itervl sup R ojem t tč pripd. Specijlo, svi otvorei itervl u R oji sdrži tču x 0 R zovemo ooli (u R) tče x 0 i ozčvmo s U(x 0 ) ili O(x 0 ). Pri tome, z svi ε > 0 ooliu tče x 0 dtu s ( x 0 ε, x 0 ε ) { x 0 R : x x 0 < ε } zovemo ε - ooli tče x 0. Očito je d sv ooli tče x 0 sdrži eu jeu ε - ooliu, p je u rdu s oolim uvije dovoljo posmtrti ε - oolie. Tče sup R rzličite od i, tj. sve tče sup R, zovemo očim, do tče i zovemo besočim tčm sup R. Oolie (u R) tč u R se defiirju logo o i oolie (u R) tč u R. No, često se posmtrju oolie tč ± oje e uljučuju tče i, tj. posmtrju se oolie u R tč iz R. Nime, td se pod oolim tče, odoso tče, podrzumijevju supovi obli (, ) {x R : x < } i (, ] {x R : x }, (*) odoso (b, ) {x R : x > b } i [b, ) {x R : x b }. (**) Primijetimo d se td mlo odstup od opšte defiicije oolie, jer se tče ± e uljučuju u sopstvee oolie. Mi se pridržvmo opšte defiicije pojm oolie i z tče ±, tj. pod ooliom tče podrzumijevt ćemo supove obli [, ] : { x R : x } i [, ) : { x R : x < }; ( < ), pod ooliom tče supove obli [b, ] : { x R : b x } i (b, ] : { x R : b < x }; ( b < ). Npomeimo d z sup A R oji ije ogriče odozgo ( tođe z sup A R oji sdrži tču ) uzimmo d je sup A :. Alogo, z sup A R oji ije ogriče odozdo ( i z svi sup A R ojem pripd tč ) uzimmo po defiiciji d je if A :. To omogućv d se teorem o supremumu (odoso teorem o ifimumu) formuliše ovj či : Svi eprz sup u R im supremum (odoso, ifimum) (u R). Ao sup ije ogriče, žemo d je eogriče. Supovi (*) i (**) su (besoči) eogričei rzmci.

56 Uzimjući u obzir defiicije pojmov ooli očih i besočih tč sup R, defiicije... i... pojmov oče i besoče griče vrijedosti iz u R mogu se objediiti u jedu defiiciju sljedeći či. Defiicij..3. Ne je ( ) iz u R i e je R. Kžemo d je grič vrijedost ili limes iz ( ) i pišemo lim o z svu ooliu U tče postoji 0 N tv d > 0 povlči U. U slučju d je R (tj. d je oč broj), z iz ( ) žemo d je overget, u slučju d je - ili ili d grič vrijedost e postoji, žemo d iz ( ) divergir (u slučju d je limes iz ( ) besoč žemo d tj iz divergir u užem smislu, u slučju d limes od ( ) e postoji, žemo d iz ( ) divergir u širem smislu ili d oscilir). Defiicij..3. pojm limes iz u R se proširuje i izove omplesih brojev, izove fucij i uopšte izove elemet u metričim prostorim (p i u tzv. topološim prostorim), uz odgovrjuće zčeje pojm oolie tč u tvim prostorim. *) Iz defiicije limes iz slijedi d iz ( ) teži o su mu človi proizvoljo blizu tči čim je dovoljo veli. U tom slučju se još že d se u svoj oolii tče lze svi človi iz počev od eog ili soro svi človi iz (tj. svi osim, evetulo, jih očo mogo). Primjer... Niz je overget i vrijedi lim jer osovu 0, Arhimedovog siom z svi ε > 0 postoji 0 N tv d je 0 < < ε, p je tim 0 prije 0 < < ε z svi > 0. Primjer... Ispitjmo overgeciju iz ( q ), (q R). ) Ao je q 0, od je q 0 z svi, p je lim Ne je 0 < q <. Td je q /(h) z ei h R q 0.. Prem Beroullijevoj ejedosti immo / h q < < h odle, sličo o u primjeru..., slijedi d je lim q 0. Slučj < q < 0 rzmtr se logo. Dle, lim q 0 o je q <. ) Z q je q z svi N, p je lim q lim. 3) Ao je q >, od je 0< /q <. Ne je M R proizvolj rel broj. N osovu ) je 0 < (/q) < /M z sve dovoljo velie prirode brojeve, p je q > M z dovoljo velie, tj. td prem defiiciji besoče griče vrijedosti iz immo d je lim q. 4) Z q dobijemo iz,,,,,,. Človi iz s prim idesom su, človi s eprim idesom su. U svoj ε - oolii broj lze se svi človi iz s eprim idesom, u svoj ε - oolii broj lze se svi človi iz s prim idesom. Zto lim ( ) e postoji, p je iz ( ) diverget u širem smislu (oscilirjući). *) Jso, u opštijim situcijm em smisl govoriti o divergeciji u užem smislu, odoso posmtrti besoče limese izov.,

57 5) Ao je q <, od z sve pre vrijedi q > M, z sve epre je q < M, gdje je M(>0) proizvolj rel broj, dovoljo velii prirodi broj. To zči d postoji besočo člov iz ( q ) v sve oolie bilo og elemet R p tj iz em limes. Defiicij..4. Z iz (α ) u R žemo d je ul iz ili besočo ml veliči (ili ifiiteziml ) u odosu d o je lim α 0. Npr.,, ( ),, ( ) su ul izovi. Z iz ( ) žemo d je ogriče odozgo [ogriče odozdo] o je sup { : N } ogriče odozgo (odozdo). Z iz oji je ogriče i odozdo i odozgo žemo d je ogriče. Jedostvo se dozuju sljedeć osov svojstv gričih vrijedosti izov u R: (i) Ao iz im griču vrijedost, o je jedozčo određe. (ii) Svi overget iz je ogriče. (iii) Jedost lim, gdje je R, vrijedi o α, pri čemu je (α ) ul iz. (iv) Zbir i rzli dv ul iz su ul izovi. (v) Proizvod ogričeog iz i ul iz je ul iz. (vi) (Vez između lgebrsih opercij u supu R i gričog prelz). Ne su ( ) i (b ) overgeti izovi i e je lim i lim b b. Td je: ) lim ( ± b b, b) lim ( b b (odle je lim ( α ) α, ) ± b ) α R ); c) lim o je b 0. b (vii) (Svojstv limes oj su u vezi s relcijom poret u R). ) Ao je lim, lim b b i < b, od je < b počev od eog. Specijlo, o je lim < b, od je < b počev od eog. Alogo vži d se z < zmijei zom >. ) Ao je z svi N (ili počev od eog ) b i izovi ( ) i (b ) imju griču vrijedost, od je i lim Alogo vži lim b. d se z zmijei zom. 3) ( Teorem o dv ždr / policjc ili Sedvič teorem ili Teorem o ulješteju.) Ne su ( ), (b ) i (c ) tri iz (u R), tv d je : b c z svi N (ili počev od eog ); lim lim c R. Td je lim b. (viii) Ao je lim 0, od je lim 0. Doz: ( i ) Pretpostvimo, suproto tvrđeju, d ei iz ( ) im dvije griče vrijedosti, b i e su, pr., obje oče. Ne je ε : b /. Td se ε - oolie e sijeu, p je očito emoguće d i u jedoj i u drugoj budu soro svi človi posmtrog iz ( ). Time je doz ( i ) zvrše. ( vii ) Svojstvo ) se dozuje sličo o i ( i ), svojstvo ) slijedi iz čijeice d o bi bilo lim > lim b, od bi prem ) slijedilo > b, počev od eog, suproto pretpostvci.

58 Dožimo svojstvo 3) (oje se često oristi u zdcim). Ne je U proizvolj ooli tče R. Td z veće od eog N vži U, z veće od eog N vži c U. No, o sv ooli U bilo oče, bilo besoče tče im sljedeće svojstvo U, c U, b c b U, to zljučujemo d je b U z svi > 0, gdje je 0 : mx {, }. Otud slijedi d je lim.. b Dozuje se d vrijede sljedeće relcije o osovim limesim u teoriji ozov: lim ; m m 3. lim b b 4.lim 0 5. lim 0,! 6. lim. m m lim ( N, >); ( C) ; lim : e z svi R ; 0, m / bm,,, m <, m, gdje je ostt e Eulerov broj oji im decimli rzvoj e,78888459045.., što ćemo sije objsiti. 7. lim log γ 0,57756649053... Broj γ zove se Eulerov ostt. b b Dožimo, pr., d je lim. Ne je :. Td je > 0 z >. Koristeći se biomim rzvojem u ojem su svi sbirci pozitivi, dobijemo ( ) ( ) >. 0 Otud je 0 < < 0 ( ), p vrijedi 0 ( ), odle je lim 0, tj. lim. Zdt... Izrčuti limes iz ( ) o je : 3 0 0 m > m > < 0; > 0, (,3 ), < e <, e lim, 3 3 ) ; b) ; c) ; d) 4 4 4 3.3. Podizovi. Tče gomilj 3 b b m m 3 4!!. 3!!! Defiicij.3.. Ne je : N N,, iz prirodih brojev tv d je < < < < i e je : N A iz elemet proizvoljog sup A ( Ø). Td z iz : N A s človim ( N) žemo d je podiz (ili djelimiči iz) iz ( ).

59 Iz ove defiicije eposredo slijedi čijeic d o iz ( ) u R im griču vrijedost, od i bilo oji jegov podiz ( ) im griču vrijedost. No, primjer iz ((- ) ) pozuje d mogu postojti overgeti podizovi iz oji em griču vrijedost. Defiicij.3.. Z tču R žemo d je tč gomilj (ili tč gomilvj) sup A ( R) o u svoj oolii tče postoji br jed tč sup A rzličit od sme tče. Lo se vidi d se tč gomilj sup A ( R) može evivleto defiirti i o tč R u čijoj svoj oolii postoji besočo mogo tč sup A. Primjeom Ctorovog siom i Arhimedovog siom, dozuje se sljedeć teorem. Teorem.3.. ( Bolzo *) Weierstrssov **) teorem z supove ). Svi besoči ogričei sup u R im br jedu tču gomilj u R. Svi besoči sup u R im br jedu tču gomilj u R. Defiicij.3.3. Z tču R žemo d je tč gomilj (ili tč gomilvj) iz u R o postoji podiz ( ) tog iz oji teži d. Primijetimo d postoji rzli između pojm limes i pojm tče gomilj eog iz, te d immo i vžu rzliu između pojm tče gomilj iz ( ) i tče gomilj sup jegovih vrijedosti { N }. To, pr., iz (( ) ) im dvije tče gomilj i to i, sup jegovih vrijedosti { ( ) N }{, } je oč p em tč gomilj. Sljedeć teorem dje jedostv odgovor pitje o egzisteciji tč gomilj izov relih brojev, dozuje se osovu teoreme.3.. (ili eposredo po logiji o i t teorem). Teorem.3.. (Bolzo Weierstrssov teorem z izove). (i) Svi ogriče iz relih brojev im br jedu tču gomilj u R. (ii) Svi iz relih brojev im br jedu tču gomilj u R. Dožimo sljedeći stv : Stv.3.. Sup T( ) tč gomilj iz ( ) relih brojev im msimum i miimum u R. Doz: Prem teoremi.3.. sup T( ) je eprz, p im supremum i ifimum u R. Ao je tj sup oč, od je jegov supremum ujedo i msimum, ifimum ujedo i miimum. Ao je T( ) besoč sup i o jegov supremum i ifimum e bi bili ujedo jegov msimum i miimum, od bi, prem rterizciji supremum i ifimum, oi bili tče gomilj sup T( ). Ko očito sup T( ) sdrži sve svoje *) Berhrd Bolzo (78 848) češi mtemtičr, logičr i filozof. **) Krl Weierstrss (85 897) jemči mtemtičr.

60 tče gomilj, supremum i ifimum sup T( ) bi pripdli supu T( ), suproto pretpostvci. Time je doz stv.3.. zvrše. Defiicij.3.4. Njveć (jmj) tč gomilj iz ( ) relih brojev zove se gorji limes ili limes superior (doji limes ili limes iferior) iz ( ) i ozčv s lim ili lim sup ( lim ili lim if ). Primijetimo d pojmove iz defiicije.3.4. treb rzliovti od pojmov sup{ N } i if { N }. Lo se dozuju sljedeće jedostve čijeice: ( i ) Niz ( ) im griču vrijedost o lim lim, tj. o im smo jedu tču gomilj. ( ii) Niz ( ) overgir o je lim lim oč broj. (iii) Niz ( ) im griču vrijedost o svi jegov podiz im griču vrijedost Primjer.3.. Niz ( ) čiji je opšti čl : im dvije tče gomilj, tj. T( ) {0, }. Ovdje se rdi o izu 0,, 0,, 0,,, tj. i - 0 z svi N. U svoj ε - oolii tče 0 lze se svi človi iz s eprim idesom, u svoj ε - oolii tče lze se svi človi iz s prim idesom. Otud je lim, lim 0, p lim e postoji. Zdt.3.. Z sve α R, odredite lim, lim i lim (u slučjevim d postoji) o je iz ( ) dt opštim člom cos ( ) :. α α ( cos ) Zdt.3.. Z sve α R, odredite (o postoji) limes iz l( α) : lim. Rezultt: l(α) 0 z α <. si Zdt.3.3. Ne je ( ) iz oji divergir, (b ) iz čiji je opšti čl dt s Ustovite d je iz (b ) ifiiteziml. b : si cos. ( ).4. Cuchyjev pricip overgecije. Mootoi izovi. Broj e Često je od iteres ispitivje overgecije iz bez efetivog lžej jegovog limes. A ustoviti d li ei iz overgir je od fudmetlog zčj u rzim oblstim primjee teorije izov, o što su umerič liz, utomtso uprvljje, obrd sigl, teorij sistem i dr. Jed od či z ispitivje overgecije izov, oristeći se smo pozvjem smog iz, e zjući uprijed ojoj bi to gričoj vrijedosti o overgiro, dje Cuchyjev riterij overgecije. Defiicij.4.. Z iz ( ) u R žemo d je Cuchyjev ili fudmetl o z svi ε > 0 postoji ides 0 N tv d je m < ε čim su idesi m i veći od 0.

6 Lo se dozuje d Cuchyjevi izovi imju ov svojstv: (i) Svi overget iz je Cuchyjev. (ii) Svi Cuchyjev iz je ogriče. (iii) Ao Cuchyjev iz im overget podiz, o je i sm overget. No, vrijedi i obrt izjve (i), tj. vrijedi sljedeć teorem oj se ziv Cuchyjevim pricipom overgecije *). Teorem.4.. Svi Cuchyjev iz u R je overget (u R). Doz: Ne je ( ) Cuchyjev iz u R. Td je o ogriče, p iz Bolzo Weierstrssove teoreme slijedi d postoji podiz ( ) tog iz oji overgir u R. N osovu svojstv (iii) Cuchyjevog iz slijedi d je iz ( ) overget (u R), što je treblo i dozti. Primjer.4.. Primjeom Cuchyjevog riterijum dožimo d je iz ( ) diverget o je Dovoljo je dozti d tj iz ije Cuchyjev, tj. dovoljo je dozti logiču egciju uslov iz defiicije Cuchyjevog iz: ( ) ije Cuchyjev ( ε > 0) ( 0 N) ( m, N) (m, 0 i m ε ). U šem primjeru stvimo ε ½, m. Td je z svi N, p iz ( ) ije Cuchyjev. Defiicij.4.. Z iz ( ) u R žemo d je eopdjući o je z svi N, d je rstući (strogo rstući) o je < z svi N. Alogo se defiir erstući i opdjući (strogo opdjući) izovi. Jedim imeom izove vede četiri tip zovemo mootoi izovi. Z mootoe izove vži sljedeći veom jedostv riterij overgecije : Svi mooto i ogriče iz u R je i overget u R. Zprvo, vrijedi sljedeć teorem: Teorem.4.. (i) m i. i > ( ε ) Ne je ( ) eopdjući iz u R. Td ( ) overgir u R o je ogriče odozgo. (ii) Svi eopdjući iz u R im griču vrijedost u R. Aloge izjve vrijede i z erstuće izove. Doz: (i) Dovoljo je dozti d eopdjući i odozgo ogriče iz ( ) u R im oču griču vrijedost. Prem teoremi o supremumu postoji : sup{ N }<, odle slijedi d z svi ε > 0 postoji 0 N tv d je - ε < 0. No, o je iz eopdjući, otud je - ε < z svi > 0, tj. < ε z svi > 0, p je iz ( ) overget i lim. *) Umjesto ovog teorem često se dje Cuchyjev riterij overgecije z izove u R oji glsi : Niz ( ) u R je overget u R o je Cuchyjev.

6 (ii) Ao eopdjući iz ( ) ije ogriče, to zči d se z svi M R može ći 0 N tv d je > M. No, zbog svojstv mootoosti; otud slijedi d je tođe > M z svi > 0. Time je pozo d iz ( ) u R im griču vrijedost u R i lim. Primjer.4.. Dožimo d je iz ( ) relih brojev defiir opštim člom :, ( N), overget. U tu svrhu dovoljo je dozti d je ovj iz (strogo) rstući i ogriče odozgo. N osovu Berulijeve ejedosti immo (z svi ): tj. odle slijedi d je iz ( ) (strogo) rstući. Dožimo d je iz ( ) ogriče odozgo. Z primjeom Newtoove biome formule dobijemo Iz ejedosti! -, ( ), i formule z zbir prvih člov geometrijsog iz dobijemo tj. iz ( ) je ogriče odozgo. Otud slijedi d iz ( ) im oču griču vrijedost. Tu griču vrijedost (prem Euleru) zovemo broj e. Dle, Lo se dozuje d je broj e (oji se još zove i Eulerov broj) irciol broj, Hermite je 873. godie dozo d je broj e č i trscedet, tj. e zdovoljv ivu lgebrsu jedčiu 0 x x - 0, ( 0 0), s rciolim oeficijetim. Broj e im velii zčj u mtemtičoj lizi i jeim primjem, često i prirodo se uzim z bzu logritmu ( prirodi logritm l). Primjer.4.3. ) b) z sve α,β R i z svi iz ( ) u R tv d je 0,, > > ( ) ( )....!!... 0 3, 3! < <,78888459045...). ( 3), (, lim : < < e e e αβ β α e e e e lim ; lim lim lim.

63.5. Pojm i e svojstv (besočog) red Predmet proučvj ovog i redih prgrf ove glve je uglvom teorij umeričih (brojih) redov. O se oslj teoriju izov i (ituitivo, opiso) može se reći d je tj predmet sumirje besočog broj očih sbir. To sumirje privlči pžju uči još od tičog dob, oji su u tom postupu otrili više prdos (o što je prdos grčog filozof Zeo iz Eleje, oji je tvrdio d strijel e može d leti, odoso d Brzoogi Ahil utrujući se s bićem oje je jsporije, orjčom, eće je moći dostići, o je o pošl prije jeg *). Besočim redom smo se zprvo već formlo služili predstvljjući rele brojeve besočim decimlim brojevim, pr. d smo stvljli ⅓ 0,333, jer u decimlom zpisu (ozci) to e zči 3 3 3 drugo ego, dle, simbol oji im obli zbir u ome broj (očih) sbir 3 0 0 0 rste bez rj. Budući d smo se dosd susretli smo s summ očog broj sbir, uvodimo tim čiom pisj ssvim ov simbol ome treb jso i tčo odrediti zčeje d izbjegemo bezbrojim zmm što se riju svome oru d se uputimo u rjeve besočo veliog. Ne je zdo besočo mogo (iz) relih brojev,,,, i pomoću jih pis simboliči izrz u obliu zbir:. (.5.) Tj simbol ziv se besočim (relim) redom s opštim člom, ili besočim redom ome su brojevi,,,, človi **), ili rće (relim) redom (ili redom u R). D tom simbolu dmo zčeje, prirodo je d postupmo ovo. Ozčimo prvi čl tog izrz s s, zbir s s, itd., tj. stvimo: s :, s :,, s :, ; (.5.) sberimo dle zde brojeve,,,, počevši od prvog čl po čl. To dolzimo do iz (s ) prcijlih zbirov ili prcijlih sum (odsječ) zdog red (.5.): s, s,, s, (.5.3) ome su človi zbirovi od sve većeg, li uvije očog broj člov,, uzetih redom o se u simbolu (.5.) pojvljuju. Simbol besočog red : ili rće (.5.4) smo je drug oz z besoči iz prcijlih zbirov (s ). No, u ovije vrijeme se običo pojm (besočog) red uvodi ovj formliji (preciz) či (jer red ije obič sum svojih člov i pri sumirju besočog broj sbir pojvljuju se ee ove osobie u odosu oč slučj ***) ): *) Ko zmo d strijel ip leti, odoso d je Ahil mogo dostići orjču, Zeoov prdos ćemo objsiti rju ovog prgrf. **) Tče jegovom rju zče d dodvju ovih člov em rj. ***) D red ije obič sum svojih člov vidimo pr. iz poušj sumirj člov iz ((-) - ) tri rzličit či: ) ( ) ( ) ( ) 0; ) ( ) ( ) ; 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

64 Ne je ( ) iz relih brojev. Td je z svi N defiir sum: : s... (.5.5) prvih člov iz ( ) to d z svi ( N \{}) vrijedi s s. (.5.6) Prirod je idej d se sum s svih člov iz ( ) defiiše o lim s. Alogo se postup i u proizvoljom ormirom vetorsom prostoru X (ormiri vetorsi prostor je uređe pr ( X, ) oji se sstoji od vetorsog prostor X d poljem Φ relih ili omplesih brojev i orme X, tj. preslivj : X R, gdje je R sup relih brojev, oje zdovoljv uslove: (N ) x 0; (N ) x 0 x 0 X (ulvetor u X ); (N 3) λ x λ x, (λ Φ, x X ); (N 4) x x x x ). Ao želimo sumirti sve člove iz ( ) iz X, pridružujemo izu ( ) ov iz (s, N), gdje je s dto relcijom (.5.5) i govorimo o redu s človim i prcijlim summ s. Defiicij.5.. Ne je dt iz ( ) u R (ili, opštije, u ormirom vetorsom prostoru X ) i e je s z svi N. Besoči red ili, rće, red u R ( ili, opštije, u proizvoljom ormirom vetorsom prostoru X ) je uređe pr (( ), (s )) oji se sstoji od dv iz ( ), (s ) (, s R, odoso,, s X ); su človi red, s ( N) te prcijle sume red. Niz (s ) zivmo izom prcijlih sum dtog red. Sm red se rće ozčv ili ili. *) (.5.7) Z se že d je -ti čl red, o je specificir zvisost od, od se ziv opšti čl red. Iz defiicije.5.. slijedi d su dv red jed o imju jede člove s istim idesom. Oz z red sugeriše sumirje, primjejiv je jer je iz (s ) prcijlih sum (tog red) određe izom ( ). Red se često ozčv i ispisivjem eolio prvih člov, pr. 3. Ao su elemeti (človi) red reli ili omplesi brojevi, žemo d je tj red umeriči ili broji (s osttim človim); redove čiji su človi fucije zivmo fuciolim redovim. Defiicij.5.. Ne je ( ) iz u R (ili, opštije, iz ormirog vetorsog prostor X ). Kžemo d je iz ( ) sumbil u R ( odoso, u X ) ili d je red overget ( u R, odoso, u X ) o je iz prcijlih sum (s ) red overget ( u R, odoso, u X ). Limes s : lim s ziv se sum red i ozčv se s s. (.5.8) *) Grčo slovo je početo slovo ltise riječi sum. Prv upotreb oze z sumciju pripisuje se Euleru.

65 Ao red ije overget, že se d je diverget. Rdi veće jsoće u ovom poglvlju rzliujemo simbole i z red od simbol z sumu red, što često ije slučj u literturi *). Poed su človi red umerisi počevši od 0, ili od eog (fisirog) prirodog broj r (>). Td se sum red ozčv s 0, odoso. r Ndlje ćemo se (o drugčije e zčimo) ogričiti redove u R (redove relih brojev, redove s osttim človim). Ao iz (s ) prcijlih sum red u R im oč ili besoč limes s, od se že d tj red im sumu i d mu je sum sum jed s. Ao iz (s ) em limes u R, od se že d red em sume (i oče i besoče). U sldu s defiicijom.5.., z red se že d je overget (u R) o im oču sumu, u suprotom se že d je red ( R) diverget (u R). Prem tome, red u R je diverget (u R) u sljedeć dv slučj: Red im sumu s li je s ili i td još žemo d je red određeo diverget ili diverget u užem smislu; Red em ivu sumu (i u R) i td još žemo d je red oscilirjući ili d je diverget u širem smislu.. Ao je red overget, od sum prvih p člov s p predstvlj približu vrijedost z sumu s tog red. Zprvo, iz lim p s p s, immo d z svi ε > 0 postoji prirod broj 0 ( 0 (ε)) tv d je s s p < ε z svi p 0, p se sum overgetog red može izrčuti s proizvoljim stepeom tčosti pomoću prcijlih sum red. Ao je red overget, od se lo vidi d je overget i red p (.5.9) p. z svi p N i vrijedi jedost p Z sumu p že se d je ostt red poslije p-tog čl. No, i z sm red (.5.9), bez obzir d li je red overget ili diverget, že se d je ostt red poslije p-tog čl ili p-ti ostt red, što ćemo i mi govoriti. Obruto, o red p overgir z ei p N, od overgir i red. Zprvo, vrijedi sljedeć tvrdj: Tvrdj.5.. (i) Ne je p proizvolj fisir prirod broj. Td red overgir o i smo o overgir red p, tj. red i jegov ostt p su eviovergeti (ob red su ili overegt ili diverget). Osim tog, u slučju overgecije ovih redov z jhove sume s i r p, respetivo, vrijedi s s p r p, gdje je s p p-t prcijl sum red. (ii) Ao je red overget, od sum r p jegovog p-tog ostt teži uli d p. *) No, u redim odjeljcim (prgrfim) ovog poglvlj ip često, umjesto, oristimo simbol (posebo u slučjevim d je 0, 0 N 0 ). 0,

66 Doz: (i) Ne je s p p-t prcijl sum red. Ozčimo s s ' -tu prcijlu sumu ostt p red poslije p-tog čl, tj. s ' p p p ( N). Td očito vrijedi s p s p s ', odoso s ' s p s p, gdje je s p i. (*) (Sum s, p s ' s p s p poed se zove odresom red. ) Pretpostvimo sd d red overgir i d mu je sum jed s. Td s p s, ( ), p iz (*) slijedi d s ' s p s p s s p, ( ). Zči, red (.5.9) je overget i sum mu je jed s s p. Ao tu sumu ozčimo s r p, vrijedit će, dle, r p s s p, tj. s s p r p (*)'. Pretpostvimo sd d je red (.5.9) overget s sumom r p. To zči d s ' r p, ( ). No, odvde i iz (*) slijedi d s p s p r p,. Prem tome, red je overget i vrijedi, o mu sumu ozčimo s s, d je s s p r p, tj. poovo vrijedi (*)'. (ii) Ne je red overget s sumom s. Td je i (.5.9) overget red. Ao mu sumu ozčimo s r p, od vrijedi s s p r p. No, ovdje je p fisir li proizvolj prirod broj. Ao pustimo d p dobit ćemo d s p s. Iz s s p r p sd slijedi r p s s p s s 0, p, p je doz tvrdje.5.. zvrše. Red (.5.9) stje iz red odbcivjem prvih p člov. No, mi možemo smtrti d je red sto iz red (.5.9) to što smo tom redu dodli p ovih prvih člov. Otud osovu tvrdje.5.. slijedi d odbcivje ili dodvje očo mogo člov red e utiče overgeciju tog red, li u opštem slučju utiče jegovu sumu. Iz tvrdje.5.. može se zljučiti d je red overget o sum r p ostt red poslije p-tog čl teži uli d p. To zči d se sum overgetog red može prosimirti prcijlim summ, pri čemu greš te prosimcije teži uli d broj člov oji se sumirju rste. Teorem.5.. (Potreb uslov z overgeciju, ili test -tog čl). Ao je red overget, od iz ( ) jegovih člov overgir uli, tj. lim 0. Doz: Ne je oč grič vrijedost N osovu pretpostve teoreme, immo d postoji i d je S druge stre je s s, ( > ), p je Q.E.D. D vedei eophod uslov overgecije red ije i dovolj, pozuje sljedeći primjer: Primjer.5.. Opšti čl red očito teži uli d. Međutim, z prcijlu sumu s :. lim s : s. lim lim ( s s ) lim s lim s s s Očigledo, d, p je lim s, tj. red divergir (u užem smislu). p i s : vži relcij s. 0.

67 Teorem.5.. (Cuchyjev riterijum z overgeciju redov) *). Red overgir o i smo o z svi ε > 0 postoji 0 N tv d iz > 0, p N slijedi p < ε. Simboliči, overgir [( ε >0) ( 0 N) (, p N ) ( > 0 p < ε )]. Doz: Slijedi eposredo iz Cuchyjevog pricip overgecije z izove relih brojev (tj. iz čijeice d je svi Cuchyjev iz u R overget). Q.E.D. Z dte redove i b, red ( b ) ziv se jihovim zbirom, red ( b ) rzliom tih redov. red Vrijedi sljedeć tvrdj: Tvrdj.5.. (i) Ao red overgir, od overgir i red α, (α R). Pri tome je sum α jed proizvodu ostte α i sume red, tj. (ii) Ao redovi i b overgirju, od overgirju i redovi ( b ) i ( b ) i jihove sume su jede zbiru i rzlici, respetivo sum redov i b. Doz: (i) Ne je s :, S : α α α. Iz egzistecije griče vrijedosti lim s : s slijedi lim S lim αs α lim s α s. (ii) Ne je s ', s '' b b b S ( ± b ) ( ± b ) ( ± b ). Td je lim S lim i Q.E.D. Primjer.5.. Red q -, ( 0, q 0), ziv se geometrijsim redom. Prcijl sum s tog red predstvlj sumu prvih člov geometrijse progresije i dt je s s : q q -, odoso s ( q ), q s q,, q. Z q < je lim q 0, p td geometrijsi red q - im oču sumu s dtu s s lim s, q tj. overget je. Ao je q, geometrijsi red divergir i to u određeom smislu z q, oscilir z q. Nime, z q > je lim q ; z q < grič vrijedost lim q e postoji; z q je s, p je lim s sg ; do z q grič vrijedost lim q e postoji. *) Opšti Koši Bolzov riterij z overgeciju redov, ili, pricip overgecije z redove. lim s ' s', α lim s '' α s' ', ' '' ' '' [( ) ± ( b b b )] lim s ± lim s s ±. s.

68 Specijlo, z, q geometrijsi red im obli. Z jegove prcijle sume immo, 4443... 4± 0, jediic p dti red oscilir između 0 i. s o je epr, o je pr prirod broj, Primjer.5.3. (Zeoov prdos). Prem vijesti oju je sčuvo Aristotel u svom djelu Fizi (j. VI. 9.) slijedi d je pojm besočog geometrijsog red s oličiom q : ½ pozvo grči filozof Zeo iz Eleje (5. st. pr..e.) i jime se služio u pobijju svojih protivi. Slič je geometrijsi red osov i tzv. Zeoov prdos oji se sstoji u sljedećem : Brzoogi Ahil utrujući se orjčom eće je moći dostići, o je o pošl prije jeg. Jer do Ahil protrči put s 0 što g je to jsporije biće već prošlo do čs d Ahil počije trčti, pomut će se orjč dlje z ei dio put, pr. z s 0 / 0. Do Ahil prođe tj dio put, poml se orjč z isti dio put s 0 / 0, tj. z dljih s 0 / 0. Z vrijeme do Ahil i tj dio prolzi predovl je orjč još z s 0 / 0 3 i to se stvlj to dlje (sl..5.). Budući d Ahil mor svi put preći još oj dio put što g je orjč eposredo prije tog prošl, eće je o po Zeou id dostići. Sl..5.. s0 s0 s0 ( s s0, s s0 0 0 0 s0 s0 s0 s3 s0,...) 0 3 0 0 Put što g prelzi Ahil predoče je ime besočim geometrijsim redom oji (prem svremeom čiu izržvj u uci) overgir i im sumu 0 s ( 9 0 0 s 0 li ome Ahil e može doći rj zbog besočog broj člov. No, o Ahil trči epreido, e sstvljjući svoj put iz člov geometrijsog red, dostići će o orjču uprvo u tči 0 9. Nime, o uzmemo d su ob retj jedoli i ozčimo s s cio Ahilov put, dle do tče gdje Ahil dostige orjču, put što g orjč pređe od čs d Ahil počije trčti s s', bit će s s 0 s', li o Ahil trči deset put brže, dužie s 0 putev se odose o brzie, to je s 0 s 0 s', tj. s'. Prem tome, cio Ahilov put s izosi : 0 0 s0 ( ) s. 9 9 s 0 U prethodim rzmtrjim mi smo polzeći od red formirli iz jegovih prcijlih sum, tj. iz (S ), odoso (formlije) u smoj defiiciji pojm red smo uljučili i iz (S ). No, o m je uprijed dt ei iz (S ) lo m je formirti red od og je iz (S ) iz prcijlih sum. To je red: S (S S ) (S 3 S ) (S S - ). Prvi čl ovog red je S, drugi S S, treći S 3 S itd. Pitje overgecije red jjedostvije je izučvti od tzv. pozitivih redov. Zbog tog mi prelzimo rzmtrje prvo tvih redov. 0 s ),,

69.6. Pozitivi redovi Posmtrjmo red. (.6.) Z red (.6.) žemo d je pozitiv ili d je red s pozitivim človim (ili red s eegtivim človim) o je 0 z svi N, ili (opštije) o postoji prirod broj 0 N tv d je 0 z svi 0. Ne je S (,, ) -t prcijl sum red (.6.) i e je red (.6.) pozitiv. Td immo d je: S S 4444 3. Zbog 0 z svi 0 (z ei 0 N) immo odvde d je S S z svi 0. Vidimo dle d je iz ( S ) prcijlih sum pozitivog red (.6.) eopdjući z 0. Iz teoreme o limesu mootoog iz, zljučujemo dle, d je iz (S ) overget o je ogriče odozgo. Ao p iz (S ) ije ogriče odozgo, od vrijedi: lim S. N osovu ovog možemo formulisti sljedeći vž i jedostv stv: Stv.6.. Pozitivi red (.6.) je overget o je iz (S ) jegovih prcijlih sum ogriče odozgo. Ao iz (S ) ije ogriče odozgo, od je pozitivi red (.6.) diverget i vrijedi. N osovu stv.6.. možemo zljučiti d svi pozitivi red im sumu (oču ili besoču). T sum je oč o je iz prcijlih sum tog red ogriče. Veći riterij z overgeciju ili divergeciju pozitivih redov zsov je idireto jedostvom stvu.6.. Primjeom stv.6.. dozuje se d je red, gdje je α fis rel broj, overget o je α >, diverget o je α. Ovj red se ziv hiperhrmoijsi red. Ao je α, dobijemo tzv. hrmoijsi red. Stvovi o overgeciji pozitivih redov dobijei poređejem redov Posmtrjmo sd dv pozitiv red red (.6.) (tj. red ) i red b. (.6.) Prvi riterij upoređivj dt ćemo u obliu sljedeće teoreme: Teorem.6.. Pretpostvimo d postoji prirodi broj 0, tv d z člove redov (.6.) i (.6.) vže ejedosti *) b z sve 0. Td iz overgecije red (.6.) slijedi overgecij red (.6.), iz divergecije red (.6.) slijedi divergecij red (.6.) *) ili ejedosti b z svi N i z svi R. S α

70 (U ovom slučju žemo d je red b mjort red, d je red miort red b.) Doz: N osovu tvrdje.5.. bez ogričej opštosti, možemo pretpostviti d je 0. Prcijle sume red (.6.), odoso red (.6.), ozčimo s s ', odoso s ''. Ne je '' lim s s' ' R. Iz ejedosti b ( N) slijedi d je s ' s '' s''. Dle, iz (s ' ) ' je eopdjući i ogriče odozgo, te postoji lim s. Drugo tvrđeje teoreme je evivleto prvom, o jegov otrpozicij. Teorem.6.. Ne postoji lim K, 0 K, gdje su i b človi b redov (.6.) i (.6.). Ao je K <, od iz overgecije red (.6.) slijedi overgecij red (.6.). Ao je K > 0, iz divergecije red (.6.) slijedi divergecij red (.6.). (Ao je O(b ) i b O( ) ( ) ili ~ b ( ) ili o postoji lim : K, 0 < K <, od se redovi i b eviovergeti.) *) b Teorem.6.3. ejedosti: Ne z člove redov (.6.) i (.6.) z ei 0 N vže z 0. Td iz overgecije red (.6.) slijedi overgecij red (.6.), iz divergecije red (.6.) slijedi divergecij red (.6.). b b Kriterijumi overgecije pozitivih redov Osim gorjih stvov, u cilju ispitivj overgecije redov s pozitivim človim oriste se i ei stvovi oji dju dovolje uslove z overgeciju, odoso divergeciju, tzv. riterijumi (testovi) overgecije. Nvešćemo eolio tvih riterijum, oji se izvode iz poredbeih riterijum (osovih riterijum overgecije) i oji su često efisiji u primjem. Stv.6.. (Dlmberov **) riterijum) /Cuchy-Del. rtio test /. (Jč form riterij). Ao z red (.6.) postoji 0 N i q R, to d je q < z 0, od o overgir. Ao p postoji 0 ' N, to d je z 0 ', od red (.6.) divergir. (Slbij / grič form riterij). Ne z člove red (.6.) postoji lim : l. Td z l < red (.6.) overgir, z l > o divergir. (Z l ovj riterijum je eodlučiv.) *) Ao vrijedi O*, ( ), od z p > pozitivi red overgir, z p isti red p divergir. Npomeimo d (općeito) zpis f(x) O* (g(x)) (x ) (gdje je R) ozčv d z f ( x) fucije f i g vrijedi lim x, (0 ). ( ) < < g x **) J. le R. D Alembert (77 783) - frcusi mtemtičr i filozof.

7 3 (Njjč form riterij). Ao je lim <, od red (.6.) overgir, o je red (.6.) divergir. *) lim >, Doz: Iz ejedosti q 0, dobijemo,,...,,.... 0 q 0 0 q 0 0 q 0 Ko red q 0 overgir, to overgir i red 0. Dle, overgir i red (.6.). Ao je z svi 0 ', od opšti čl e teži uli, p red (.6.) divergir osovu teoreme.5.. Ne je lim l < i 0 < ε < l. Ozčimo q : l ε. Td postoji 0 N to d je < q < z svi 0. N osovu dozog dijel ovog stv dobijemo d red (.6.) overgir. Ao je lim l >, td je počev od eog 0 ' N, p tvrđeje poovo slijedi iz prvog dijel stv. 3 Ne je ε >0, tv d je ε < q. Td postoji 0 0 (ε ) N, tv d vrijedi i 0 < < q ε, i 0,...,. i 0 Otud je 0 < Ko red (qε ) < ( q ε ). overgir, to overgir i red. 0 ( q ε) Primjer.6.3. Red ( ) ( ) 3 overgir, jer je lim. 3 3 3 Hrmoijsi red divergir, red overgir. Z ob red je lim, p se o jihovoj overgeciji osovu Dlmberovog riterijum e može reći išt. (U tvim slučjevim ovj riterijum je eodlučiv / red može d overgir ili d divergir /. ) Alogo se dozuje d vrijedi i sljedeći riterij: Stv.6.3. (Košijev / orijei / riterijum) /Root test/, (8). º Ao z red (.6.) postoji 0 N i q R, to d je q < z 0, od o overgir. Ao postoji 0 ' N to d je z 0 ', od red (.6.) divergir. *) U slučjevim, d Dlmberov i Košijev riterijum e dju odgovor, od primjejujemo precizije riterijume, oji se zsivju upoređivju red ojeg ispitujemo s drugim poztim redovim (o što su hrmoijsi i hiperhrmoijsi, pomoću ojih se može dobiti i, pr., Rbeov i logritmsi riterij) čij je overgecij sporij od geometrijse progresije. Iče, z red žemo d je sporije overget ego red ' o z sumu r ostt red i z sumu r ' ostt red ' vrijedi relcij lim ( r / r ' ) 0.

7 º Ne postoji lim : l. Td z l < red (.6.) overgir, z l > o divergir. 3º Ao je lim : l, od l < overgir, l > (jopštiji obli Cuchyjevog riterijum orije). Primjer.6.4. º Red overgir jer je lim. º Sličo o u primjeru.6.3. pozuje se d u slučju d je lim, e možemo išt reći o overgeciji red (.6.) osovu Košijevog riterijum. (U ovom slučju Cuchyjev riterijum orije je eodlučiv.) Dozuje se d vže i sljedeć tri riterij z pozitive redove. *) ) Ao, počevši od eog, vži ejedost r >, odoso, od red (.6.) overgir, odoso divergir. Ao je lim r, od red (.6.) overgir, odoso divergir, z r>, odoso r< (Rbeov **) riterijum), (83). ) Pretpostvimo d se odos člov red (.6.) može pisti u obliu µ θ λ, (.6.3.) α µ (što je evivleto s relcijom λ O, ( ) ), gdje su λ, µ i α (>) α ostte, (θ ) je ogriče iz u R. Td: ) Z λ > (odoso λ < ) red (.6..) overgir (odoso divergir) (što slijedi eposredo iz Dlmberovog riterijum). b) Z λ, µ > (odoso λ, µ < ) red (.6..) overgir (odoso divergir) (što slijedi eposredo iz Rbeovog riterijum). c) Z λ, µ, red (.6..) divergir (ovo se dozuje osovu tzv. Kummerovog riterijum, čiju formulciju ovdje ećemo voditi). Ovo je tzv. Gusov ***) riterijum, oji se običo oristi o je λ, jer z λ overgecij red se može ispitti Dlmberovim ili Košijevim orijeim riterijumom. O im širou oblst primjee, li o ip ije uiverzl, jer rzvoj (.6.3.) e mor uvije d postoji (ije uvije moguć). 3) (Itegrli riterijum) Ne je f(x) eegtiv i erstuć rel fucij [, ) ( R) z ei > 0 i e je f(). Td red ( ) overgir o i smo o overgir esvojstvei itegrl ****) f ( x) dx, tj. ovj red i ovj itegrl su eviovergeti. *) Rbeov i Gussov riterij, i ei drugi riteriji (o što je Bertrdov riterij), izvode se iz Kummerovog riterijum, oji predstvlj jed opšti riterij (p o tv im teorijsi zčj). **) J. L. Rbe (80 859) - švjcrsi mtemtičr. ***) C. F. Guss (777 855), jemči mtemtičr, fizičr i stroom (oji je prvi dozo osovi teorem lgebre u svojoj dotorsoj disertciji i to o mldić od godie; po mogim Gus je jveći mtemtičr svih vreme). ****) Pojm esvojstveog itegrl ćemo uvesti pri rju ovog urs.