Linearna algebra i geometrija

Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012.

Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3 4 Linearni operatori 4 4.1 Pojam linearnog operatora.................... 4 4.2 Matrice i linearni operatori.................... 7 4.3 Promjena baze i matrica operatora............... 10 4.4 Jezgro i slika linearnog operatora................ 13 4.5 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori............ 14 4.6 Dijagonalizacija.......................... 18

POGLAVLJE 1 Uvod

POGLAVLJE 2 Matrice i determinante

POGLAVLJE 3 Sistemi linearnih jedna ina

POGLAVLJE 4 Linearni operatori U uvodnom dijelu smo uveli pojam preslikavanja koje elementima jednog skupa pridruºuje elemente drugog skupa. Ukoliko umjesto skupova posmatramo vektorske prostore i posmatramo preslikavanja koja uvaºavaju njihovu linearnu strukturu govorimo o linearnim operatorima. Ovakva preslikavanja su osnovni predmet prou avanja linearne algebre i funkcionalne analize i javljaju se u mnogim oblastima primijenjene matematike. 4.1 Pojam linearnog operatora Denicija 4.1. Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F. Preslikavanje A : V W za koje vrijedi ( x, y V, α, β F ) A(αx + βy) = αa(x) + βa(y) (4.1) naziva se linearan operator. Treba napomenuti da se za preslikavanje uvedeno prethodnom denicijom u nekoj literaturi koristi i pojam operator, ²to moºe dovesti do zabune jer je mogu e posmatrati i operatore koji nisu linearni, to jeste one koji ne zadovoljavaju uslov (4.1).

4.1.Pojam linearnog operatora Analogno ranije posmatranoj situaciji datoj uslovom (??), uslov (4.1) se naziva uslovom linearnosti i ekvivalentan je uslovima aditivnosti i homogenosti datim sa ( x, y V ) A(x + y) = A(x) + A(y), (4.2) ( x V, α F ) A(αx) = αa(x). (4.3) Slika elementa x V pri djelovanju operatora A se esto skra eno pi²e sa Ax umjesto A(x). Takože skup svih linearnih operatora koji slikaju elemente skupa V u elemente skupa W obiljeºavamo sa L(V, W ). Na ovom skupu mogu e je denirati operaciju sabiranja i operaciju mno- ºenja skalarom na sljede i na in. Za A, B L(V, W ) operator A + B L(V, W ) deniramo sa ( x V ) (A + B)x = Ax + Bx; Za A L(V, W ), α F operator αa L(V, W ) deniramo sa ( x V ) (aa)(x) = a(a(x)); Nula operator O je operator za koji vrijedi ( x V ) O(x) = 0 W, gdje je 0 W neutralni element u W. Za A L(V, W ), operator A se denira sa A = ( 1)A. Jendostavno se pokazuje da skup L(V, W ) sa upravo deniranim operacijama uz uvedeni neutralni i suprotni element predstavlja vektorski prostor. Iz same denicije odmah slijede neke osobine linearnih operatora. (i) Linearan operator A : V W nulu vektorskog prostora V slika u nulu vektorskog prostora W. Dokaz slijedi stavljaju i da je α i β, iz osobine linearnosti, jednako neutralnom elementu polja F. (ii) Linearan operator A : V W po²tuje linearnu kombinaciju, to jeste za proizvoljno n N vrijedi ( ) ( α i F, x i V ) A α i x i = α i A(x i ). Dokaz se dobije induktivnim putem primjenom osobine linearnosti. 5

4.1.Pojam linearnog operatora (iii) Ako su x 1,..., x n linearno zavisni elementi prostora V i ako je A : V W linearan operator, onda su A(x 1 ),..., A(x n ) linearno zavisni elementi prostora W. Dokaz slijedi iz denicije linearne zavisnosti i osobine (i). Dalje, treba napomenuti da denicija linearnog operatora dopu²ta da prostori V i W budu jednaki i u tom slu aju govorimo o linearnim operatorima na prostoru V. Specijalno, operatore kod kojih je prostor W prostor skalara nazivamo linearnim funkcionalima ili linearnim formama. Naj e² e je W u ovom slu aju, kao i polje F za linearne operatore, polje realnih ili kompleksnih brojeva. Primjer 4.1. Neka je V = R 3 i W = R 2 i neka je preslikavanje dato sa A : (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2 ). Pokaºimo da je A linearan operator. Kao ²to smo ranije vidjeli R n, n = 2, 3 su vektorski prostori nad poljem realnih brojeva. Pokaºimo da je zadovoljen uslov linearnosti. Koristimo deniciju operacija u R n, n = 2, 3 i deniciju preslikavanja A. S jedne strane je A(α(x 1, x 2, x 3 ) + β(y 1, y 2, y 3 )) = A(αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2, αx 3 + βy 3 ) a s druge = (αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2 ), αa(x 1, x 2, x 3 ) + βb(y 1, y 2, y 3 )) = α(x 1, x 2 ) + β(y 1, y 2 ) pa je o igledno uslov zadovoljen. = (αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2 ), Primjer 4.2. Neka je V = R n, W = R m i A R m n. Deni²imo operator A sa A(x) = Ax. Pri tome ureženu k-torku (k = m, n) posmatramo kao matricu formata 1 k i desnu stranu denicije operatora A tuma imo kao mnoºenje matrica. Imaju i na umu osobine mnoºenja matrica zaklju ujemo da je ovako denisan operator linearan. Upravo navedeni primjeri linearnih operatora su primjeri linearnih operatora deniranih na kona nodimenzionalnim prostorima i mi emo u nastavku isklju ivo takve operatore i posmatrati. 6

4.2.Matrice i linearni operatori 4.2 Matrice i linearni operatori Primjer 4.2 nam u su²tini govori da svaka matrica predstavlja jedan linearan operator. Prirodno je postaviti pitanje, da li i svakom linearnom operatoru moºemo pridruºiti neku matricu. Odgovor je potvrdan, mežutim, to pridruºivanje nije obostrano jednozna no. Naime, da bi operatoru jednozna no pridruºili matricu neophodno je odabrati baze prostora V i W. Vidjet emo da se promjenom baze u op²tem slu aju mijenja i matrica pridruºena tom operatoru. Jedan od vaºnih zadataka linearne algebre je upravo odabir baza tako da matrica pridruºena operatoru bude ²to jednostavnija. Pridruºivanje matrice linearnom operatoru zasnovano je na injenici da je za poznavanje djelovanja operatora dovoljno poznavati njegovo djelovanje na elementima baze. Preciznije, neka je A : V W linearni operator, dimv = n <. Neka je {b 1, b 2,..., b n } baza prostora V. Proizvoljan elemenat x prostora V moºe biti napisan na jedinstven na in kao linearna kombinacija elemenata baze x = A(x) = n n α j b j. α j A(b j ). Koriste i osobinu (ii) linearnih operatora slijedi da je Dakle, A(x) je potpuno odreženo sa A(b j ), odnosno linearan operator je u potpunosti odrežen djelovanjem na bazu. Neka je A : V W, dimv = n <, dimw = m <, a B V = {b 1, b 2,..., b n } i B W = {w 1, w 2,..., w m } baze prostora V i W, respektivno. Operator A elemente baze B V slika u neke elemente A(b j ), j = 1,..., n prostora W, ti elementi mogu biti napisani u obliku linearne kombinacije elemenata baze B W prostora W, to jeste, postoje skalari a ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n takvi da je A(b j ) = a 1j w 1 + a 2j w a +... + a mj w m (4.4) za sve j = 1,..., n. Koriste i skalare a ij formiramo ºeljenu matricu. Preciznije uvodimo sljede u deniciju. Denicija 4.2. Neka je A : V W, dimv = n <, dimw = m <, a B V = {b 1, b 2,..., b n } i B W = {w 1, w 2,..., w m } baze prostora V i W, respektivno. Matricu A = (a ij ) m n, pri emu su skalari a ij dati relacijom (4.4), nazivamo matrica operatora A u odnosu na baze B V i B W. Matrica iz prethodne denicije se esto ozna ava sa A BV,B W ili A B W BV, ukoliko ºelimo istaknuti u odnosu na koje baze prostora je data matrica A. 7

4.2.Matrice i linearni operatori Djelovanje operatora A na element x prostora V koriste i matricu operatora moºe biti opisano mnoºenjem matrice A B W BV operatora A sa x. Pri tome vektore x i y interpretiramo kao matrice fomrata n 1 i m 1, respektivno. Naime, jedinstvenost prikaza elemenata x = n α j b j i A(x) = y = m β i w i po datim bazama prostora i linearnost operatora A implicira da vrijedi ( ) A(x) = A α j b j = α j A(b j ) pa mora biti β i = = n α j m a ij w i = ( m ) a ij α j w i, a ij α j za sve i = 1,... m, a prema deniciji mnoºenja matrica to implicira da je A B W BV x = y. Denicija matrice linearnog operatora i upravo navedena razmatranja pokazuju da vrijedi sljede i teorem. Teorem 4.1. Neka je A : V W, dimv = n <, dimw = m <, a B V = {b 1, b 2,..., b n } i B W = {w 1, w 2,..., w m } baze prostora V i W, respektivno. Operatoru A se moºe pridruºiti jedinstvena matrica A = (a ij ) m n ije su kolone koordinate vektora A(b j ) u bazi B W i pri tome je A(x) = Ax 1. Takože, svakoj matrici A m n odgovara samo jedan operator A koji djeluje na elemente prostora V dimenzije n i slika ih u elemente prostora W dimenzije m tako da vrijedi ( x V )(!y W )A(x) = Ax = y. ƒinjenica da je za poznavanje operatora dovoljno poznavati samo njegovo djelovanje na elemente baze ima jo² neke vaºne implikacije. Ukoliko se djelovanje dva linearna operatora A i B s prostora V na prostor W podudara na elementima baze prostora V onda su operatori A i B jednaki. Vrijedi i sljede i teorem. Teorem 4.2. Neka su V i W kona nodimenzionalni vektorski prostori nad poljem F. Neka je dimv = n <, {b 1, b 2,..., b n } baza prostora V i 1 Kao i ranije prilikom mnoºenja matrica elemente x i y interpretiramo kao matrice kolone. 8

4.2.Matrice i linearni operatori (w 1, w 2,..., w n ) urežena n-torka elemenata prostora W. Tada postoji jedinstveni linearni operator A : V W takav da je A(b i ) = w i, i = 1,..., n. Dokaz. Prvo dokaºimo egzistenciju linearnog operatora A. Neka je x proizvoljan element prostora V, x = n α i b i. Stavimo da je A(x) = n α i w i. Pogodnim izborom skalara odmah zaklju ujemo da je A(b i ) = w i. Dokaºimo linearnost. Neka je x, y V, x = n α i b i, y = n β i b i. Sada je αx + βy = (αα i + ββ i )b i, i A(x) = α i w i, A(y) = β i w i, pa je A(αx + βy) = = (αα i + ββ i )w i = αα i w i + (αα i w i + ββ i w i ) ββ i w i = α = αa(x) + βa(y). α i w i + β β i w i Dakle, egzistencija linearnog operatora A je dokazana. Dokaºimo i jedinstvenost. Pretpostavimo da postoji i linearan operator B : V W takav da je B(b i ) = w i, za sve i = 1,..., n. Sada je ( ) B(x) = B α i b i = α i B(b i ) = α i w i = A(x). Dakle, A = B, pa je jedinstvenost operatora A dokazana. Zna aj upravo dokazanog teorema se ogleda u tome da za zadanu bazu prostora V postoji jedinstven linearan operator A : V W koji e elemente te baze preslikati u zadate, po volji odabrane vektore prostora W. 9

4.3.Promjena baze i matrica operatora 4.3 Promjena baze i matrica operatora U prethodnom odjeljku smo vidjeli da matrica operatora direktno zavisi od izbora baza prostora na kojima operator djeluje. Pitanje koje se prirodno name e je kako uspostaviti vezu matrica nekog operatora pri razli itim izborima baza. Da bismo odgovorili na ovo pitanje prvo emo vidjeti kako uspostaviti vezu izmežu koordinata nekog vektora datih u dvije baze jednog prostora. Neka je V vektorski prostor diomenzije n <. Neka su B V = {b 1, b 2,..., b n } i B V = {b 1, b 2,..., b n} dvije baze tog prostora. Kaºemo da je B V stara, a B V nova baza. Proizvoljan element x V ima reprezentaciju i u jednoj i u drugoj bazi, to jeste x = α j b j = α jb j. Da bi oderedili vezu izmežu komponenti vektora x u dvjema datim reprezenatcija prvo emo prona i vezu vektora jedne i druge baze. Naime, vektore B V moºemo razloºiti po vetorima baze B V i obratno. Neka je odnosno b 1 = p 11 b 1 + p 21 b 2 +... + p n1 b n b 2 = p 12 b 1 + p 22 b 2 +... + p n2 b n. b n = p 1n b 1 + p n2 b 2 +... + p nn b n, P = b 1 = q 11 b 1 + q 21 b 2 +... + q n1 b n b 2 = q 12 b 1 + q 22 b 2 +... + q n2 b n. b n = q 1n b 1 + q n2 b 2 +... + q nn b n. Koecijenti iz prethodnih relacija formiraju matrice p 11 p 12 p 1n p 21 p 22 p 2n..., Q = p n1 p n2 p nn 10 q 11 q 12 q 1n q 21 q 22 q 2n... q n1 q n2 q nn. (4.5)

4.3.Promjena baze i matrica operatora Matrica P se naziva matricom prelaza sa stare na novu bazu, matrica Q matricom prelaza sa nove na staru bazu. Vezu mežu uvedenim matricama prelaza i koordinatama datog vektora u razli itim bazama iskazat emu u vidu sljede ih teorema. Teorem 4.3. Neka je V vektorski prostor diomenzije n <. Neka su B V = {b 1, b 2,..., b n } i B V = {b 1, b 2,..., b n} dvije baze tog prostora. Za matrice prelaza P i Q date sa (4.5) vrijedi PQ = QP = E. Dokaz. Dokaz slijedi direktnom primjenom razlaganja vektora jedne baze preko druge baze, zamjenom redoslijeda sumiranja u kona nim sumama i primjenom denicije mnoºenja matrica, kao i injenice da su vektori baze linearno nezavisni. Linearna nezavisnost nam takože govori da matrica sa- injena od kolona iji su elementi komponente vektora baze je matrica punog ranga, pa je ona regularna. Proizilazi da su matrice P i Q mežusobno inverzne. Teorem 4.4. Neka je V vektorski prostor dimenzije n <. Neka su B V = {b 1, b 2,..., b n } i B V = {b 1, b 2,..., b n} dvije baze tog prostora i P matrica prelaza sa baze B V na bazu B V. Neka za x V vrijedi x = n α j b j = n α jb j. Tada je α = P 1 α, pri emu je α = α 1 α 2. α n i α = Dokaz. Koristimo jedinstvenost prikaza elemenata vektorskog prostora u proizvoljno odabranoj bazi i reprezentaciju vektora nove baze pomo u vektora stare baze. Zaista, ( ) ( ) x = α jb j = p ij b i = α jp ij b i. i x = n α j α 1 α 2. α n. α i b i implicira da je α i = n α jp ij za sve i = 1,..., n, odnosno matri no zapisano α = Pα, ili zbog regularnosti matrice prelaza u obliku α = P 1 α, ²to je i trebalo dokazati. Prežimo sada na osnovni zadatak ovog odjeljka, a to je razmatranje veze matrica pridruºenih nekom operatoru pri izboru razli itih baza. 11

4.3.Promjena baze i matrica operatora Neka je A : V W linearan operator, dimv = n <, dimw = m <. Neka su B V = {b 1, b 2,..., b n } i B V = {b 1, b 2,..., b n} baze prostora V i P V matrica prelaza sa baze B V na bazu B V, a B W = {w 1, w 2,..., w m } i B W = {w 1, w 2,..., w m} baze prostora W s matricom prelaza P W sa baze B W na bazu B W. Neka je A matrica operatora A u odnosu na baze B V i B W, a matrica A, matrica tog operatora u odnosu na baze B V i B W. Neka je y = A(x), x = n α j b j = n α jb j i y = m β i w i = n β iw i, i neka su kao i ranije α, α, β i β matrice kolone sa injene od odgovaraju ih koecijenata. Prema dosada²njim razmatranjima, koriste i matri ne zapise, zaklju ujemo da vrijedi β = Aα, β = A α, α = P 1 V α, β = P 1 W β, ²to implicira P 1 W β = A (P 1 V α), pa je dalje β = P W (A (P 1 V α)). Primjenom osobina mnoºenja matrica dobijamo da je β = (P W A P 1 V )α. Posljednja jednakost i jednakost β = Aα impliciraju da je A = P W A P 1 V, (4.6) odnosno A = P V AP 1 W. Napomenimo da smo ustanovili da su matrrice prelaza regularne, pa postoje njihove inverzne matrice. Dakle, dokazali smo teorem. Teorem 4.5. Neka je A : V W linearan operator, dimv = n <, dimw = m <. Neka su B V = {b 1, b 2,..., b n } i B V = {b 1, b 2,..., b n} baze prostora V i P V matrica prelaza sa baze B V na bazu B V, a B W = {w 1, w 2,..., w m } i B W = {w 1, w 2,..., w m} baze prostora W s matricom prelaza P W sa baze B W na bazu B W. Ako je matrica A matrica operatora A u odnosu na baze B V B V i B W, data sa A = P V AP 1 W. i B W, tada je matrica A operatora A, u odnosu na baze 12

4.4.Jezgro i slika linearnog operatora Specijalno moºemo posmatrati situaciju kada je V = W, pa je B V = B W, B V = B W i P V = P W. Neposredno iz prethodnog teorema slijedi da vrijedi posljedica. Posljedica 4.6. Neka je A : V V linearan operator, dimv = n <. Neka su B V = {b 1, b 2,..., b n } i B V = {b 1, b 2,..., b n} baze prostora V i P V matrica prelaza sa baze B V na bazu B V, a A matrica operatora A u odnosu na bazu B V. Tada je matrica A operatora A u odnosu na bazu B V data sa A = P 1 V AP V Prethodna posljedica je motivacija za uvoženje pojma sli nih matrica. Denicija 4.3. Za matrice A, B R n n kaºemo da su sli ne ukolio postoji regularna matrica P R n n tako da vrijedi Pi²emo A B. B = P 1 AP. Neke od osobina relacije sli nosti za matrice su sljede e. Relacija sli nosti za matrice je relacija ekvivalencije na skupu kvadratnih matrica reda n. Sli ne matrice imaju jednake determinante. Sli ne matrice imaju jednak rang. Vidjet emo u nastavku da se sli ne matrice koriste u postupku dijagonalizacije. 4.4 Jezgro i slika linearnog operatora Iz same denicije linearnog operatora A L(V, W ) slijedi da su V i W vektorski prostori. Neki njihovi potprostori su posebno zna ajni. Uvedimo pojmove jezgra i slike linearnog operatora. Denicija 4.4. Neka je A L(V, W ). Skup nazivamo slikom operatora A. Im(A) = {y W : ( x V )A(x) = y} 13

4.5.Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Denicija 4.5. Neka je A L(V, W ). Skup nazivamo jezgrom operatora A. Ker(A) = {x V : A(x) = 0 W } U prethodnoj denicji sa 0 W smo ozna ili neutralni element u vektorskom prostoru W. Koriste i deniciju vektorskog podprostora odmah slijedi sljede a tvrdnja. Teorem 4.7. Neka je A L(V, W ). Im(A) je podprostor prostora W, a Ker(A) podprostor prostora V. Svaki podprostor je u su²tini vektorski prostor, pa moºemo govoriti o njegovoj dimenziji. Uvodimo sljede e pojmove. Denicija 4.6. Neka je A L(V, W ). Dimenzija vektorskog prostora Im(A) naziva se rangom operatora A i ozna ava se sa r(a). Dimenzija vektorskog prostora Ker(A) naziva se defektom operatora A i ozna ava se sa d(a). Vaºan rezultat o defektu i rangu dat je sljede om teoremom. Teorem 4.8. Neka je A L(V, W ). Vrijedi r(a) + d(a) = dimv. 4.5 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Vaºan alat u postupku dijagonalizacije, o kojem emo govoriti u narednom odjeljku, su svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori. Ovdje uvodimo te pojmove i njihove najzna ajnije osobine. Posmatrat emo samo operatore koji djeluju na nekom kona no-dimenzionalnom vektorskom prostoru i imaju vrijednosti u istom tom prostoru. Denicija 4.7. Neka je V kona no-dimenzionalan vektorski prostor nad poljem F, dimv = n < i A : V V linearan operator. Skalar λ F naziva se svojstvenom vrijedno² u operatora A ako postoji nenulti vektor x V takav da je A(x) = λx. (4.7) Nenulti vektor koji zadovoljava (4.7) naziva se svojstvenim vektorom koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ. Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar operatora. 14

4.5.Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Umjesto pojma svojstveni iz prethodne denicije koriste se i pojmovi sopstveni, karakteristi ni i vlastiti. Treba napomenudi da se prethodnom denicijom deniraju svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti operatora. Imaju i na umu korespondenciju linearnih operatora i matrica, analogno uvedenoj deniciji uvode se i pojmovi svojstvenih vrijednosti i vektora kvadratne matrice. Odreživanje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora za dati operator esto se naziva i rje²avanjem problema svojstvenih vrijednosti datog operatora. Iz denicije 4.7 moºemo zaklju iti da su zadovoljene sljede e osobine. (i) Ukoliko je nenulti vektor x svojstveni vektor operatora A sa svojstvenom vrijedno² u λ, onda je i αx (α F ) svojstveni vektor sa istom tom svojstvenom vrijedno² u. Zaista, A(αx) = αa(x) = α(λx) = λ(αx). (ii) Ukoliko su nenulti vektori x i y svojstveni vektori operatora A sa svojstvenom vrijedno² u λ, onda je i αx + βy (α, β F ) svojstveni vektor sa istom tom svojstvenom vrijedno² u ukoliko je on razli it od nula vektora. Zaista, A(αx + βy) = αa(x) + βa(y) = α(λx) + β(λy) = λ(αx + βy). Obzirom da se prema deniciji zahtjeva da svojstveni vektor bude nenulti vektor, islju enje tog vektora u osobini (ii) uzrokuje da skup svih svojstvenih vektora koji odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti λ ne obrazuje vektorski prostor. No, ako tom skupu dodamo nula vektor, tada e on postati vektorski podprostor prostora V. Ovaj podprostor se naziva svojstvenim podprostorom operatora A koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ i ozna ava se sa E λ. Ovaj podprostor se moºe dobiti i ne²to druga ije. Naime, relacija (4.7) se moºe napisati i ne²to druga ije (A λe)x = 0, (4.8) pri emu smo sa E ozna ili identi ni operator, to jeste operator koji svaki element prostora V slika u samog sebe. Sada proizilazi da je E λ = Ker(A λe). Kako smo ve napomenuli skup svih linearnih operatora je vektorski prostor, pa je linearna kombinacija linearnih operatora linearan operator, pa ima smisla posmatrati jezgro tog operatora. Posljednja razmatranja nam daju i na in na koji moºemo rje²avati problem svojstvenih vrijednosti. Naime, svojstveni vektor x je nenulti vektor 15

4.5.Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori koji zadovoljava homogeni sistem jedna ina odrežen sa (4.8), ukoliko iskoristimo jednozna nu korespondenciju matrica i operatora u slu aju kada je izabrana baza posmatranog prostora. Neka operatoru A odgovara matrica A = (a ij ) n n u nekoj proizvoljno odabranoj, ali ksiranoj bazi. Identi nom operatoru odgovara jedini na matrica, pa operatoru A λe odgovara matrica A λe n. Kao i ranije, u matri nom zapisu emo vektor x pisati kao vektor kolonu. Da bi sistem (A λe n )x = 0 imao netrivijalno rje²enje potrebno je da je determinanta sistema bude jednaka nula, to jeste a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n... a n1 a n2 a nn λ = 0. (4.9) Ukoliko determinantu iz (4.9) razvijemo dobijamo polinom n-tog stepena po λ. Vode i koecijent tog polinoma je ( 1) n. Determinanta iz (4.9) se naziva karakteristi nim polinomom matrice A, a odgovaraju a jedna ina karakteristi nom jedna inom. Razmotrimo sada kako se mijenja jedna ina (4.9) kada se mijenja matrica posmatranog operatora, odnosno baza prostora na kojem on djeluje. Neka su matrice A i B matrice datog opereatora u dvije baze prostora na kojem djeluje dati operator. To su sli ne matrice, pa postoji regularna matrica P takva da je B = P 1 AP. Sada koriste i osobine matrica i determinanti slijedi da je det(b λe n ) = det(p 1 AP λe n ) = det(p 1 AP P 1 λe n P) = det(p 1 (A λe n )P) = det(p 1 )det(a λe n )det(p) = det(a λe n ). Dakle, zaklju ujemo da jedna ina (4.9) ostaje nepromijenjena pri promjeni baze prostora V. Obzirom na navedeno, determinanta iz (4.9) se naziva i karakteristi nim polinomom operatora A, dok se odgovaraju a jedna ina naziva karakteristi nom jedna inom. 16

4.5.Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Dakle, da bi odredili svojstvene vrijednosti operatora A potrebno je i dovoljno da rije²imo karakteristi nu jedna inu. Da bismo to uradili potrebno je izra unati determinatnu n-tog reda i odrediti nule polinoma n-tog stepena. Oba ova problema s prakti nog aspekta su zahtjevna za ve e vrijednosti n. Treba napomenuti da posmatrana determinanta sadrºi pored numeri kih vrijednosti i varijablu λ, ²to oteºava ra un. Koristimo li razvoj determinante potrebno je ra unati veliki broj poddeterminanti. Takože, za traºenje nula polinoma n-tog stepena ne postoje esplicitne formule za n > 4. Dodatno, napomenimo da, u op²tem slu aju, karakteri²ti na jedna ina sa koecijentima iz polja F, ne mora uvijek imati rje²enje u tom polju. U specijalnom, naj e² e kori²tenom, slu aju poljem realnih brojeva, karakteristi na jedna ina ne mora imati rje²enja koja su realni brojevi. Obzirom da nam osnovni stav algebre garantuje da polinom n-tog stepena ima ta no n nula u skupu kompleksnih brojeva, uzimaju i u obzir njihovu vi²estrukost, pri rje²avanju problema svojstvenih vrijednosti koristi se polje kompleksnih brojeva. Slijedi da, u slu aju F = C, karakteristi na jedna ina ima oblik ( 1) n (λ λ 1 ) n 1 (λ λ 2 ) n 2... (λ λ r ) n r = 0, gdje su λ 1,..., λ r razli ite svojstvene vrijednosti, a n 1,..., n r njihove vi²estrukosti, respektivno, n 1 +... + n r = n. Ovaj prelaz na skup kompleksnih brojeva garantuje da svaki linearan operator A ima barem jednu svojstvenu vrijednost, ²to ne mora biti slu aj ako se ograni imo na skup realnih brojeva. Bez obzira na navedenu prednost vektorskih prostora nad poljem kompleksnih brojeva u nekim primjenama neophodno je posmatrati vetorske prostore nad poljem realnih brojeva. U tom slu aju moºemo se susresti sa situacijom u kojoj linearnan operator nema svojstvenih vrijednosti. Za odreživanje svojstvenih vektora datog operatora za datu svojstvenu vrijednost λ = λ 0 treba uvrstiti datu vrijednost u homogeni sistem (4.8). Obzirom na izbor vrijednosti λ sistem ima netrivijalna rje²enja, ima ih beskona no mnogo, ²to je u skladu sa osobinom (ii) svojstvenih vektora. Treba jo² napomenuti, da u slu aju kada odaberemo F = C, svojstvene vrijednosti mogu biti kompleksni brojevi, pa to mogu biti i komponenete svojstvenih vektora. Na kraju ovog odjeljka dokazat emo jednu vaºnu osobinu svojstvenih vektora. Teorem 4.9. Neka je V vektorski prostor, dimv = n i A : V V linearan operator. Neka su λ 1,..., λ r razli ite svojstvene vrijednosti operatora A, a 17

4.6.Dijagonalizacija x 1,..., x r njima pridruºeni svojstveni vektori, respektivno. Skup {x 1,..., x r } je linearno nezavisan. Dokaz. Dokaz emo izvesti koriste i princip matemati ke indukcije po broju r razli itih svojstvenih vrijednosti. U slu aju r = 1 tvrdnja je o igledno ta na, jer posmatramo jednoelementan skup i po deniciji svojstveni vektor je nenulti vektor. Pretpostavimo sada da tvrdnja vrijedi za r 1 i dokaºimo da vrijedi za r. Posmatrajmo r α i x i = 0. Treba pokazati da je α i = 0 za sve i = 1,..., r. Djelovanjem operatora A na sumu iz prethodne jednakosti dobijamo ( r ) r r A α i x i = α i A(x i ) = α i λ i x i, pa je r α i λ i x i = 0, odnosno nakon oduzimanja posljednje i po etne jednakosti pomnoºene sa λ r dobijamo r α i λ i x i r α i λ r x i = 0 r 1 α i (λ i λ r )x i = 0. Obzirom da su prema induktivnoj pretpostavci vektori {x 1,..., x r 1 } linearno nezavisni, to slijedi da je α i (λ i λ r ) = 0 za sve i = 1,..., r 1. Po pretpostavci su svojstvene vrijednosti mežusobno razli ite, pa je λ i λ r za i = 1,..., r 1. Slijedi da mora biti α i = 0 za sve i = 1,..., r 1. No, sada se po etna suma reducira na α r x r = 0, a po²to su svojstveni vektori nenulti vektori, slijedi da mora biti α r = 0. Dakle, prema principu matemati ke indukcije tvrdanja teorema vrijedi. 4.6 Dijagonalizacija Kako smo ve napomenuli matrica nekog operatora zavisi od izbora baza prostora na kojim operator djeluje. Jedan od vaºnih zadataka je odreživanje pogodne baze tako da matrica operatora bude ²to jednostavnija. Odgovor 18

4.6.Dijagonalizacija na pitanje koliko jednostavnu matricu je mogu e dobiti za dati operator nije jednostavno unaprijed dati. No, imaju i na umu da je ra un sa dijagonalnim matricama znatno jednostavniji od onog sa proizvoljnim matricama, moºemo zaklju iti da bi bilo zna ajno odrediti bazu prostora za koju je matrica operatora dijagonalna, ukoliko takva postoji. Postupak kojim se datom operatoru pridruºuje dijagonalna matrica se naziva postupkom dijagonalizacije operatora. Za operator kojem se moºe pridruºiti dijagonalna matrica kaºe se da se moºe dijagonalizirati. Razmotrimo jednu direktnu posljedicu teorema 4.9. Posmatrajmo linearan operator A : V V, koji djeluje na kona no-dimenzionalnom prostoru V, dimv = n. Ukoliko operator A ima n razli itih svojstvenih vrijednosti, tada je skup od n njima odgovaraju ih svojstvenih vektora nezavisan, pa u prostoru dimenzije n ini bazu. Slijedi, koriste i deniciju svojstvenih vektora, da je matrica operatora A, u toj bazi sastavljenoj od svojstvenih vektora dijagonalna. Dodatno, elementi na dijagonali su svojstvene vrijednosti operatora. Odavde slijedi da se operator koji ima n nezavisnih svojstvenih vektora moºe dijagonalizirati. Pokazuje se da vrijedi i obrnuta tvrdnja. Preciznije, vrijedi sljede i teorem, kojeg navodimo bez dokaza. Teorem 4.10. Linearni operator se moºe dijagonalizirati ako i samo ako postoji baza koja se sastoji od njegovih svojstvenih vektora. Ovdje treba napomenuti da operator koji ima n razli itih svojstvenih vrijednosti ima i n razli itih svojstvenih vektora, koji su prema teoremu 4.9 linearno nezavisni, pa se prema teoremu 4.10 moºe dijagonalizirati. No, uslov razli itosti svojstvenih vrijednosti nije potreban, mogu e je da operator sa manje od n razli itih svojstvenih vrijednosti ima n nezavisnih svojstvenih vektora i da se moºe dijagonalizirati. Karakteristike dijagonalne matrice i matrice prelaza pri dijagonalizaciji date su sljede im teoremom. Teorem 4.11. Neka je operator A dat matricom A R n n i neka se moºe dijagonalizirati. Elementi na glavnoj dijagonali dijagonalne matrice A su svojstvene vrijednosti operatora A (odnosno matrice A). Matrica prelaza P na bazu sa injenu od svojstvenih vektora je matrica ije su kolone formirane od komponenti svojstvenih vektora. Navedena razmatranja nam daju i postupak kojim se vr²i dijagonalizacija operatora A kojem je pridruºena matrica operatora A. Dakle, prvo odredimo 19

4.6.Dijagonalizacija svojstvene vrijednosti operatora rje²avaju i karakteristi nu jedna inu, zatim za svaku od svojstvenih vrijednosti rje²avanjem odgovaraju eg homogenog sistema jedna ina odredimo pridruºene svojstvene vektore. Ukoliko postoji n linearno nezavisnih svojstvenih vektora operator se moºe dijagonalizirati. Matricu prelaska P s date baze na bazu sa injenu od svojstvenih vektora formiramo tako ²to komponente svojstvenih vektora pi²emo kao kolone matrice prelaza. Matrica A operatora A u novoj bazi je dijagonalna matrica iji su elementi na dijagonali svojstvene vrijednosti, to jeste λ 1 0... 0 A = P 1 0 λ 2 0 AP =...... 0 0... λ n Treba napomenuti da se pojam dijagonalazicije nekada uvodi samo za matrice bez referiranja na odreženi operator. No rezultati su potpuno analogni, a formalni prelazak se izvodi koriste i operator odrežen matricom kao u primjeru 4.2. Jedna od primjena dijagonalizacije matrice je primjena na ra unanje stepena matrice. Naime, kako smo vidjeli, postupak mnoºenja matrica, pa i stepenovanja, zahtijeva izvr²enje velikog broja ra unskih operacija. No, u slu aju dijagonalnih matrica postupak je vrlo jednostavan. 20