Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( ) R \ {} + M M Kako se ponaša unkcija kad? Kako god odabrali ε prugu uvijek postoje neki brojevi M, M R od kojih su nadalje sve vrijednosti u pruzi oko Deinicija Broj A zovemo graničnom vrijednošću ili esom unkcije kad, ako za svaki ε > A < možemo naći broj M takav da za svaki veći od M vrijedi ε Pišemo: = A Čitamo: Limas unkcije, kad teži u, je A ε > M R > M A < ε Formulom: Zadaci: Izračunati ese sljedećih unkcija kad =, D( ) =?, =? 3 3 =, D( ) =?, =? 9 + 7 9 + 7 96
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike Granična vrijednost (es) unkcije kad Primjer: =, D( ) = R \ {-,} g =, D( ) = R + \ {-} ne ne ne G H, L G Kako se ponaša unkcija kad? Možemo li proširiti unkciju tako da bude prirodno deinirana i u točki =? Dakle, unkcija je deirinana na intervalu (a,b) osim možda u točki (a,b) Zanima nas ponašanje unkcije oko te točke Jedna od mogućnosti dana je sa: Deinicija Broj A zovemo graničnom vrijednošću ili esom unkcije u točki ako za svaki ε > možemo naći broj δ > takav da čim je < δ vrijedi A < ε Pišemo: = A Čitamo: Limas unkcije, kad teži, je A ε > δ > < δ A < ε Formulom: A+ HL A G A H δ L +δ 97
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike Primjer Pokazati da konstantna unkcija c, R, = c = c = ima es c kad, tj c+ c G c Odaberimo ε > Tražimo δ > Prema gornjoj ormuli mora biti A < ε Međutim, A = c c = < ε, odakle zaključujemo da gornja nejednakost vrijedi za ε > Možemo na primjer uzeti da je ε = δ, čime je tvrdnja dokazana Deinicija (Lijevi i desni es) Lijevi es: Desni es: A+ A A A+ A A H δ L +δ Neka je realna unkcija deirinana na intervalu (a,b) osim možda u točki (a,b) Kažemo da () ima lijevi es (es slijeva) A u točki i pišemo = A ako vrijedi ε > δ > δ < < A < ε ; () ima desni es (es sdesna) A u točki i pišemo = A ako vrijedi ε > δ > < < + δ A < ε + ili ili + = A = A 98
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike Napomena: Ako unkcija ima lijevi i desni es u nekoj točki i oni su jednaki, to je upravo es te unkcije za tu vrijednost argumenta Primjeri: Odrediti lijevi i desni es unkcije =, u = Slika: =, u = Odrediti lijevi i desni es unkcije Slika: Svojstva esa Teorem (Računanje s esima) Neka su i g realne unkcije deinirane na otvorenom intervalu (a,b)\{ }, (a,b), takve da imaju es u i neka je broj λ R Tada: ± i [ g ] = [ ] ± [ g ] g ima es u g ima es u 3 4 ± ; i [ g ] = [ ] [ g ] ; λ ima es u i [ ] = λ [ ] [ ] ima es u i = g, g [ g ] λ ; 5 ima es u i [ ] = [ g ], g ; 99
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike Dokaz Vidi dokaz za nizove brojeva (poglavlje 8) Teorem (Usklađenost esa i relacije ) Neka su, g i h tri realne unkcije deinirane na otvorenom intervalu (a,b) osim možda u točki (a,b) Tada vrijedi: () Ako i g imaju es u točki i ako g onda postoji > <, δ takav da za ( a,b),, < δ < g, tj znak nejednakosti vrijedi i na nekom intervalu oko točke ; () Ako i g imaju es u točki i ako je g, onda je g ; (3) Teorem o sendviču iz neke okoline točke, Ako i g imaju es A u točki i ako je h g, točke, onda i unkcija h ima es u i vrijedi h = A, iz neke okoline Dokaz Vidi slični dokaz za nizove brojeva ili vidi dokaz u: Kurepa, Matematička analiza III, str 54 Nepravi es Za es kažemo da je nepravi ako unkcija raste (pada) preko svih granica kad se približava nekoj točki, tj Zadaci: = + ili ; = + ili Odrediti prirodnu domenu i izračunati es unkcije: 3 a) =, =? 9 + 7 + b) =, =? 4 3 3 + c) =, =? 4 d) =, =? 3 + 5
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike Dokazati da unkcija Gra unkcije sin sin = ima es kad i da vrijedi = sin = : 4 π 3 π π π π π 3π 4 π (Napomena: Mjerila po osi i osi su međusobno različita) ~ Tražimo proširenje sin, = A, ; A =? = B P tg sin cos P A Iz slike čitamo: sin cos P ( OP P) =, P ( < OAP) =, tg P3 ( OAB) = Vrijedi: P < P < P3, tj sin cos < tg π sin <, < < : > cos < < (*) sin cos
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike Recipročno, > cos sin > cos, pa prema teoremu o sendviču, slijedi sin > > cos cos 443 4 43 = = sin = Preostaje nam provjeriti dobiveni rezultat za iz intervala π < < π < sin < < l cos( ) l cos ( ) < < sin( ) cos( ) < <, tj relacija (*) sin cos π < < : 3 Pokazati da je + +, = a), = e a = +, a + = e, b) a c) = ( + ), ( + ) = e Dokaz vidi u: Javor, Matematička analiza, str99 4 Izračunati sljedeće ese: a) ctg, b) sin 5, sin c) + d) cos 3 cos, 5 Mnoge granične vrijednosti koje su u vezi s brojem e računaju se na temelju sljedeće tvrdnje: = A > & g = B g = A ( ) ( ) ( ) [ ] B
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike Ako je A B nedeinirano (npr ), es svodimo na oblik koji koristi deiniciju broja e Na primjer, + 3 + = + 3 = + = + = + = + + + = + = e + + + + + NEPREKIDNOST FUNKCIJE Deinicija neprekidnosti (neprekinutosti) unkcije H L G G a b a b H L G a b Razmisli o gornjim slučajevima Koju od unkcija bismo mogli smatrati neprekidnom i zašto? Grubo govoreći, unkcija je neprekidna na intervalu (a,b) ako gra možemo nacrtati ne dižući olovku s papira Deinicija Za unkciju kažemo da je neprekidna u točki (a,b) ako vrijedi: () Postoji ; ( ) () Postoji ; (3) = 3
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike Primjer Provjeriti neprekidnost unkcije = + u točki = 5 () = ; = () = + = 5 (3) =, tj 5 = 5 Deinicija Funkcija je neprekidna u točki (a,b) ako ( ε ) ( > ) ( δ ( ε ) > ) < δ ( ) ε < Funkcija je neprekidna na skupu S (a,b) ako je neprekidna u svakoj točki S Graički prikaz gornje deinicije: H L+ HL H L G H L a H δ L +δ b Deinicija 3 Funkcija ima prekid u točki (a,b) ako ε > δ > < δ & ε ( ) ( δ ) δ ( δ ) ( ) (Podsjetimo se: ( A B) A& B) Kažemo da unkcija ima prekid u točki ako nije neprekidna u, tj nije ispunjen jedan ili više uvjeta neprekidnosti Kažemo da unkcija ima prekid na skupu S ako postoji bar jedna točka c S u kojoj ima prekid Graički prikaz gornje deinicije: HL G H L+ H L H L H a δ L +δ b 4
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike Postupak utvrđivanja neprekidnosti u točki ε i promatramo interval ( ( c) ε, ( c) + ε ) δ takav da c < δ ( c) < ε Uzmemo proizvoljan > Tražimo > ; Napomene: Ako tvrdnja vrijedi za neko ε > i δ > vrijedi za svako ε > ε, tj c < δ c < ε Ako tvrdnja vrijedi za neko ε > i δ > vrijedi za svako < δ < δ, tj c < δ < δ c < ε Kao primjer, pokazati da vrijedi: Konstanta je neprekidna unkcija na R Identiteta je neprekidna na R 3 = 3 +, neprekidna na R 4 =, neprekidna u točki = 5 = + 4, neprekidna na intervalu (, + ) 6 =, neprekidna u točki = 4 Svojstva neprekidnih unkcija u točki Teorem Neka su, g :(a,b) ör neprekidne unkcije u točki c (a,b) Tada su sljedeće unkcije neprekidne u točki c: () ± g, () g, (3) λ, za λ R, (4), ako je g( ), ( a,b) g (5), Dokaz Vidi dokaz za računanje s esima unkcija Posljedice teorema Neka su,, n :(a,b) ör neprekidne unkcije u točki c (a,b) Tada su sljedeće unkcije neprekidne u točki c: () + + + n, 5
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike () n, (3) λ +λ + +λ n n, λ,λ, λ n R, i (4) polinomi su neprekidne unkcije na R Neprekidne unkcije na segmentu Deinicija Neka je I = [ a, b] i : IöR Kažemo da je unkcija neprekidna na I ako postoji otvoreni interval I% = a,b) % % i neprekidna unkcija % : I % R takva da je ( () I I %, % =, I () Deinicija Funkcija je neprekidna na segmentu [ a,b] ( a,b) I = ako je neprekidna u svakoj točki intervala Teorem (Bolzano-Weierstrass) Neka je : [a,b] ör neprekidna unkcija na segmentu [a,b] Tada vrijedi: () je ograničena na [a,b]; () Postoje m,m R i m,m [ a, b] takvi da je m M, I, m = ( m ), M = ( M ), tj neprekidna unkcija na segmentu dostižesvoj minimum i maksimum; (3) Za svako C ( m, M ) postoji bar jedno c ( a,b) tako da je C = ( c), tj neprekidna unkcija na segmentu postiže sve međuvrijednosti; (4) Ako je ( a) < i ( b) > (ili obratno), tada postoji bar jedno c ( a, b) tako da je ( c)= Dokaz vidi u Javor, Matematička analiza, str- Vrste prekida unkcije () PREKID PRVE VRSTE unkcije u točki = znači da postoji konačni lijevi i konačni desni es Ako su osim toga i jednaki, tj = +, prekid zovemo UKLONJIVIM Tada je = ( ) 6
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike () PREKID DRUGE VRSTE: Svi ostali prekidi, tj ne postoji jedan ili oba esa ili je jedan beskonačno ili su to oba Zadaci: Odrediti točke prekida danih unkcija =?, =, D( ) =? + =? = = =?,, D( )? + =? = = =?, 3, D( )? + =? Slika uz zadatak : Slika uz zadatak 3: 7