CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola şi parabola În continuare vom prezenta noţiunea generală de curbă plană, precum şi o serie de proprietăţi ale acesteia Curbele plane studiate până acum au fost reprezentate doar prin ecuaţii implicite, de forma F(, Deoarece, din punctul de vedere al cinematicii, o curbă plană este traiectoria unui punct material M, este util să descriem curba prin legătura dintre coordonatele carteziene, (,, ale punctului material M şi timpul t : f(t, g(t Fie {O, i, j} (O un reper cartezian în spaţiul punctual euclidian E Definiţia următoare permite introducerea riguroasă a noţiunii de curbă plană folosind diferite tipuri de reprezentări: eplicită, implicită, parametrică etc Definiţia 811 Numim arc simplu de curbă plană, mulţimea (C a punctelor M(, E care satisfac o ecuaţie de tipul (811 f (, a < < b, unde a, b R sunt fiate, sau o ecuaţie de tipul (81 F(,, a 1 < < a, b 1 < < b cu a 1, a, b 1, b R sau un sistem de forma 3
(813 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială g h ( t, c ( t 1 < t < c, cu c 1, c R, unde f, F, g, h sunt funcţii reale, de clasă cel puţin C 1 pe domeniile lor de definiţie, iar g şi h stabilesc o corespondenţă bijectivă şi bicontinuă între punctele M (C şi mulţimea valorilor parametrului t (c 1, c Dacă arcul simplu de curbă (C este definit prin ecuaţia (811, spunem că avem o reprezentare (carteziană eplicită a acestuia În cazul utilizării ecuaţiei (81 avem o reprezentare implicită, iar în cazul sistemul (813 o reprezentarea parametrică Fie f o funcţia de clasă cel puţin C 1 pe intervalul (t 1, t Dacă (ρ, θ este un sistem de coordonate polare în E, atunci mulţimea punctelor M(ρ, θ E, ale căror coordonate polare satisfac ecuaţia (814 ρ f (θ, θ (t 1, t, defineşte de asemenea un arc simplu de curbă Reprezentarea (814 se numeşte ecuaţia în coordonate polare a arcului de curbă Asemănător, mulţimea punctelor M E, al căror vector de poziţie r satisface ecuaţia (815 r r (t, c 1 < t < c, c 1, c R ( r (t g(ti + h(t j, unde g, h îndeplinesc condiţiile din definiţia de mai sus reprezintă un arc simplu de curbă Ecuaţia (815 se numeşte ecuaţia vectorială a arcului de curbă (C Eemplu 81 a Se consideră porţiunea situată deasupra aei O din elipsa cu centrul în originea O(, a 31
reperului cartezian O şi vârfurile în punctele A(a,, A`(-a,, B(b,, B`(-b, (Vezi Fig 4 Ecuaţia carteziană eplicită a acestui arc de elipsă este 1, a (-a, a, iar ecuaţia implicită este + 1, >, (-a, a a b Deoarece funcţiile f( 1, F(, + 1 satisfac condiţiile a a b din definiţia de mai sus, deducem că porţiunea de elipsă descrisă este un arc simplu de curbă Ecuaţiile parametrice ale acestui arc sunt a cos t t (,π iar cele vectoriale r a cos(ti + b sin(t j, t (,π bsin t În ceea ce priveşte ecuaţiile în coordonate polare, acestea sunt ρ a a b cos θ + b sin θ, θ (,π Observăm că, în cazul în care a b, arcul de curbă descris mai sus reprezintă semicercul de rază r a, cu centrul în originea reperului cartezian O, situat deasupra aei O Definiţia 81 O mulţime de puncte (C se numeşte arc regulat de curbă plană dacă (C este un arc simplu de curbă plană şi, în reprezentările (81 şi (813, sunt îndeplinite condiţiile (816 (F` + (F` >, a 1 < < a, b 1 < < b (F` F F` şi respectiv F, (817 (g`(t + (h`(t >, c 1 < t < c 3
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Condiţia (816 din definiţia de mai sus arată că, în cazul arcelor regulate de curbă, derivatele F` şi F` din reprezentarea implicită nu se anulează simultan în punctul de coordonate (, (a 1, a ( b 1, b Analog, în cazul reprezentării parametrice condiţia (817 eprimă faptul că g`(t şi h`(t nu sunt simultan nule în nici un t (c 1, c Dacă în Definiţia 81 cerem ca funcţiile F, g şi h să fie continue pe mulţimea de definiţie şi să aibă derivate (eventual derivate parţiale până la un ordin n(inclusiv n continue (adică funcţiile să fie de clasă C n şi cel puţin una din derivatele de ordinul n să nu se anuleze pe mulţimea de definiţie, atunci arcul regulat se spune că este arc regulat de ordinul n sau de clasă n Condiţiile (816, (817 se numesc condiţii de regularitate Definiţia 813 Un punct M de pe arcul simplu de curbă (C se numeşte punct regulat dacă el îndeplineşte toate condiţiile de regularitate În caz contrar, punctul se numeşte punct singular Din definiţiile de mai sus deducem că un arc regulat este constituit numai din puncte regulate, eceptând eventual etremităţile Definiţia 814 Numim curbă de clasă n, o reuniune de arce regulate de clasă n Deci, dacă (C i (i I este o mulţime de arce regulate de clasă n, atunci curba (C de clasă n arată ca în Fig 41 (Se observă că ea poate avea şi întreruperi 33
II Dreapta tangentă şi dreapta normală într-un punct regulat Definiţia 815 Fie M (, un punct regulat al curbei (C şi fie M 1 ( 1, 1 (C un punct oarecare Dreapta tangentă la curba (C în punctul regulat M este limita dreptei M 1 M, secantă la curbă, când M 1 M (Fig 4 Fie curba (C, a cărei ecuaţie parametrică este f(, şi fie M (, un punct regulat al ei, iar M 1 ( 1, 1 un punct oarecare pe curbă Căutăm ecuaţia dreptei tangente la curba (C în punctul M Ecuaţia secantei M 1 M este 1 parametrică a curbei, ecuaţia secantei M 1 M se mai scrie g g( t ( t g( t 1 h h( t ( t h( t 1 1 Ţinând cont de ecuaţia Conform definiţiei de mai sus, ecuaţia tangentei în punctul M se obţine trecând la limită, pentru t 1 t, în ecuaţia secantei M 1 M Obţinem (818 g` g( t ( t h` h( t ( t Ecuaţia (818 reprezintă ecuaţia dreptei tangente la curba (C în punctul regulat M (C atunci când curba este reprezentată parametric Dacă folosim reprezentarea eplicită (811 a curbei (C, observăm că f`( g` h` ( t, ( t g(t, f( h(t Aplicând (818, obţinem (819 f`( ( -, 34
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială adică ecuaţia tangentei în punctul M în cazul reprezentării eplicite În cazul curbei date prin ecuaţia implicită F(,, ţinem cont de formula de derivare a funcţiilor implicite şi avem F` (, `( F` (, g' h` ( t În acest caz, ecuaţia (818 devine ( t (811 ( F`(, + ( F`(, Am obţinut teorema următoare: Teorema 81 Considerăm curba (C şi M (, un punct regulat al ei În cazul reprezentării parametrice (813 a curbei (C, ecuaţia tangentei în punctul M (, este (818; în cazul reprezentării eplicite (811 a curbei (C, ecuaţia tangentei este (819, iar în cazul reprezentării implicite de ecuaţia tangentei este (811 Definiţia 816 Dreapta normală într-un punct regulat al unei curbe plane este dreapta ce trece prin acel punct şi este perpendiculară pe dreapta tangentă în punctul respectiv Din definiţia de mai sus şi Teorema 81 rezultă imediat ecuaţiile normalei la o curbă plană într-un punct regulat al acesteia Teorema 813 Fie M (, un punct regulat al curbei (C În cazul în care curba (C are reprezentarea parametrică (813, ecuaţia dreptei normale în punctul M (, este (8111 h` g( t ( t + g` h( t ( t ; în cazul reprezentării carteziene eplicite (811, ecuaţia normalei este (811 ( f `( + ( -, 35
iar în cazul reprezentării implicite ecuaţia căutată este (8113 ( F`(, - ( F`(, III Curbura şi rază de curbură Înainte de a da definiţia următoare, reamintim că lungimea arcului de curbă AB, A( A, A, B( B, B (C este dată de formula B (8114 l 1 ( f `( AB + a d, în cazul reprezentării carteziene eplicite (811 şi de formula B (8115 l ( g` ( t ( h`(t AB t + (81, unde A g(t A, B h (t B t a dt, în cazul reprezentării parametrice Definiţia 817 a Numim unghi de contingenţă al unui arc de curbă şi-l notăm α, unghiul ascuţit format de tangentele duse la etremităţile arcului (Fig 43 b Numim curbură medie a unui arc de curbă, şi o notăm cu K m, raportul dintre unghiul de contingenţă şi lungimea arcului: α (8115 K m s c Numim curbura unei curbe într-un punct şi o notăm cu K sau R 1, limita curburii medii când lungimea arcului tinde către zero 1 α (8116 K lim s R s 36
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Inversul curburii poartă numele de raza de curbură a curbei în acel punct În cele ce urmează vom determina o epresie analitică pentru calculul curburii Pentru înce- put, considerăm reprezentarea eplicită (811 a curbei (C Presupunem că funcţia f( este clasă cel puţin în vecinătatea unui punct regulat M (, al curbei Considerăm punctul M 1 ( +, +, infinit apropiat de M, şi (T, (T tangentele în M şi respectiv M 1, care formează cu aa O unghiurile ϕ şi respectiv ϕ + ϕ (Fig 43 Presupunem în plus că f `` Este uşor de văzut că unghiul ϕ + ϕ, ca unghi eterior, este egal cu suma unghiurilor ϕ şi α Deci ϕ α De asemenea, observăm că dacă s (M 1 M, atunci Deci α K lim s ( ϕ / ( ϕ / lim s lim s ( s / ( dϕ / d ( s / ( / d Interpretarea geometrică a derivatei, tg ϕ f `( ϕ arctg f `(, conduce la relaţia dϕ /d 1+ 1 ( f `( (8114, rezultă că /d ( f `( f ``( (8117 K 1+ ( f `( f ``( 1+ şi [ ] 3/ de Pe de altă parte, din formula [ ] 1+ ( f `(, R f ``( Teorema 814 Fie (C o curbă plană, de clasă cel puţin într-o vecinătate a punctului său regulat şi neinfleionar ( ``( M(, aîn cazul reprezentării eplicite (811 a curbei 3/ 37
(C curbura şi respectiv raza de curbură în punctul M sunt date de relaţia (8117 b În cazul reprezentării implicite (81 a curbei (C, curbura este dată de formula ( `` F (8118 K - ( ` F F `F `F ``+ F ` ( F ` + ( F ` (8119 K - (8119 prin înlocuire directă Este bine-cunoscut următorul rezultat: Curbura unei curbe este identic nulă dacă şi numai dacă curba este o dreaptă (pentru detalii vezi [1] Rezultă următoarea interpretare: curbura unei curbe într-un punct măsoară abaterea curbei de la o linie dreaptă, anume abaterea de la dreapta tangentă la curbă în punctul respectiv VI Puncte multiple ale unei curbe plane Fie (C o curbă definită de ecuaţia F(, Punctul M(, (C se numeşte punct multiplu de ordinul n, dacă funcţia F(, împreună 38 F `` c În cazul reprezentării parametrice (813 curbura este g` ( h``( h`( g``( ( g`( + ( h`( Demonstraţie Deoarece cazul a a fost demonstrat, este suficient să arătăm b şi c b Teorema de derivare a funcţiilor implicite ne asigură că F` (, f`( `( Derivând încă o dată pe f`( în raport cu F` (, ( `` F obţinem f``( ( ` F F `F `F ``+ F ` ( F ` 3 F `` Înlocuind epresiile obţinute pentru f`( şi f``( în (8117 obţinem (8118 c Reamintim g' ( t g& că f`( Deci f``( h`( t h& gh &&& &&& gh Din (8117 rezultă ( h&
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu toate derivatele sale parţiale până la ordinul n-1 inclusiv se anulează în acest punct şi cel puţin o derivată parţială de ordinul n este diferită de zero în M(, Propoziţia 811 Fie (C o curbă definită de ecuaţia F(,, unde F este o funcţie de clasă C Într-un punct dublu, M(, (C, pantele tangentelor la cele două ramuri ale curbei sunt rădăcinile ecuaţiei în m (81 m F ``(, + m F ``(, + F ``(, Demonstraţie Dacă punctul M (, este un punct dublu al curbei (C, atunci F(,, F `(,, F `(, Panta tangentei în M F este m - ` (, lim Cum M (, (, F `(, este punct dublu, rezultă m - lim (, (, (, (, F ` (, F `(, Aplicând teorema lui l` Hospital, avem m - (, F `(, F ` F `` lim F `` + (, + F ``(, `( Deoarece derivatele mite sunt egale, iar (, F ``(, `( `( m, trecem la limită şi eliminând numitorii obţinem ec (81 În funcţie de natura rădăcinilor ecuaţiei (81 avem următoarele situaţii (vezi Fig 44: Definiţia 818 a Punctul dublu M (, este eliptic dacă not (F ``(, - F ``(, F ``(, < În acest caz cele două tangente sunt imaginare iar punctul M (, este un punct izolat b Punctul dublu M (, este hiperbolic dacă > Atunci ecuaţia (81 are două rădăcini reale şi distincte Acestea corespund celor două tangente 39
(distincte la curbă în punctul M Prin punct trec două ramuri ale curbei Punctul M se numeşte nod c Punctul dublu M (, este parabolic dacă De această dată ecuaţia (81 are două rădăcini reale egale Corespunzător, eistă două tangente la curbă în punctul M reale şi confundate Spunem că punctul M este punct de întoarcere 8 Curbe în spaţiu Fie {O, i, j, k } (notat Oz un reper cartezian ortonormat în spaţiul punctual euclidian E 3 Definiţia 81 Numim arc simplu de curbă în spaţiu, mulţimea (C a punctelor M(,, z E 3 care satisfac fie ecuaţiile (81 f (,, z g(,, (, (a, b (c, d, a, b, c, d R fie ecuaţii de tipul (8 F(,, z, G(,, z, (,, z (a 1, b 1 (a, b (a 3, b 3, a i, b i R, i 1,, 3, fie un sistem de forma (83 z z(t ( t ( t, t (t 1,t, t 1, t R, 4
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială unde f, g, F, G,,, z sunt funcţii reale de clasă cel puţin C 1 pe domeniile lor de definiţie, funcţiile F şi G satisfac teorema de eistenţă a funcţiilor implicite (p 58 [8] iar funcţiile (, ( şi z( stabilesc o corespondenţă bijectivă şi bicontinuă între punctele M (C şi mulţimea valorilor parametrului t (t 1, t Ecuaţia (81 poartă numele de reprezentare eplicită a arcului simplu de curbă (C, ecuaţia (8 este reprezentarea implicită a acestuia, iar sistemul (813 furnizează reprezentarea parametrică a lui (C Fie r vectorul de poziţie al punctului M (C Dacă funcţiile (, ( şi z( sunt cele din definiţia de mais sus, atunci ecuaţia (84 r (ti + (t j + z(t k, t 1 < t < t, t 1, t R se numeşte ecuaţia vectorială a arcului simplu de curbă (C D( F,G F` Introducem notaţia pentru determinantul funcţional D(,z G` mod asemănător se definesc şi determinanţii (, ( D F,G D z, ( ( D F,G D, Ca şi în cazul curbelor plane, avem următoarele condiţii de regularitate: (85 ( ( D F,G D,z D( F,G sau sau D( z, ( ( D F,G D, definite implicit prin ecuaţiile (8 şi (86 (`(t + (`(t + (z`(t - în cazul curbelor definite prin ecuaţiile parametrice (83 Astfel, un arc simplu de curbă în spaţiu (C se numeşte arc regulat de curbă dacă în reprezentările (8 sau (83, sunt îndeplinite condiţiile (85, respectiv (86 Un punct M, de pe un arc simplu de curbă (C, se numeşte regulat dacă îndeplineşte toate condiţiile de regularitate În caz contrar, se spune că punctul este singular 41 F` z G` z În - în cazul curbelor
I Dreapta tangentă şi planul normal la o curbă în spaţiu Fie (C o curbă definită parametric prin ecuaţiile (83 şi fie (84 ecuaţia sa vectorială Reamintim formula de calcul a lungimii arcului regulat de curbă AB t B (87 ( ` ( t + ( `(t ( z`(t l AB + dt ta Dreapta tangentă la curbă în punctul regulat M (,, z (C este poziţia limită a dreptelor M M 1 atunci când M 1 (C, M 1 M Se cunoaşte, (vezi cursul de analiză matematică sau [8] pentru detalii, că vectorul director al tangentei în punctul M este dr dt t t r ( t & (t i + & (t j + z& (t k, (t, (t, z(t z Dacă R este vectorul de poziţie al unui punct arbitrar M(,, z de pe tangentă, atunci ecuaţia vectorială a tangentei este R r (t + λ ṙ (t Ecuaţiile dreptei tangente la (C în punctul M, sub formă de rapoarte, se obţin imediat şi sunt următoarele (88 & ( t ( t & ( t ( t z z& z( t ( t Dacă curba (C este dată ca intersecţie a două suprafeţe, adică se cunosc ecuaţiile implicite (8, atunci presupunem că (t; (t; z z (t este o parametrizare a curbei Prin derivare în raport cu t, F` ` obţinem: G` ` ( t + F` `( t + F` z`( t ( t + G` `( t + G` z`( t 4
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Pentru t t, matricea sistemului are rangul doi, deoarece punctul M este regulat Putem presupune că, spre eemplu, determinantul ( (, z D F,G D este nenul în punctul M Rezolvăm sistemul de mai sus prin regula lui Cramer şi, luând z`(t ca parametru, avem (89 & ( t ( ( z D F,G D, & ( t ( ( D F,G D z, tangentei în M la curba (C (81 ( t D( F,G D(, z z& ( t Aplicând (88, obţinem ecuaţiile ( ( D F,G D, ( t ( ( D F,G D z, z( t ( ( z D F,G D, Definiţia 8 Se numeşte plan normal (π N la curba (C într-un punct regulat M (,, z (C, planul perpendicular în M pe dreapta tangentă la curbă în punctul M Dacă R (respectiv r (t este vectorul de poziţie al unui punct arbitrar M(,, z situat în planul normal (π N (respectiv al punctului M (C, atunci ecuaţia vectorială a planului normal este < R - r (t, ṙ (t > De aici rezultă ecuaţia carteziană a planului normal: (811 ( (t `(t + ( (t `(t + (z z(t z`(t În cazul în care curba (C este dată prin ecuaţiile implicite (8, putem folosi formulele (89 pentru a rescrie ecuaţia (811 sub forma ( t ( t z z( t (81 F ` F ` F ` G ` G ` G z z `, unde toate derivatele parţiale F `, G ` etc se calculează în punctul (,, z 43
II Triedrul lui Frenet Fie (C o curbă de clasă cel puţin şi fie M un punct regulat al curbei Fie r vectorul de poziţie al unui punct oarecare M (C Presupunem că avem următoarea reprezentare vectorială a curbei (C r r (t, t I, I un interval din R şi că vectorul de poziţie al punctului M este r (t Aşa cum am arătat în paragraful precedent vectorul ṙ (t este vectorul director al tangentei în punctul M la curbă Punctul M se numeşte neinfleionar dacă r (t şi infleionar dacă r (t Dacă, în plus, vectorii ṙ (t şi r (t sunt necoliniari, adică r (t r (t, atunci punctul M se numeşte nestaţionar În caz contrar, el se numeşte punct staţionar al curbei (C Definiţia 83 Se numeşte plan osculator (π la curba (C într-un punct neinfleionar şi nestaţionar M (t (C, planul care trece prin M şi este paralel cu direcţiile vectorilor liberi ṙ (t şi r (t Dacă R este vectorul de poziţie al unui punct oarecare M(,, z (π, atunci ecuaţia vectorială a planului osculator este R - r (t, ṙ (t r (t De aici rezultă ecuaţia carteziană a planului osculator: (813 & ( t & ( t z& ( t ( t ( t z( t z z 44
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Se observă că planul osculator (π conţine dreapta tangentă la curbă în punctul M şi este perpendicular pe planul normal, (π N, în M De asemenea este important de reţinut că, în punctele infleionare sau staţionare ale lui (C, nu putem ataşa plan osculator Din acest motiv, în cele ce urmează, vom lua în considerare numai punctele M (C, neinfleionare şi nestaţionare O altă observaţie importantă este aceea că planul osculator nu depinde de parametrizarea aleasă pe curba (C Intersecţia dintre planul normal (π N şi planul osculator (π la curba (C în punctul M este în mod evident o dreaptă Definiţia 84 Dreapta de intersecţie dintre planul normal (π N şi planul osculator (π se numeşte normala principală la curba (C în punctul M şi va fi notată (n p Ecuaţia normalei principale, ca dreaptă de intersecţie a celor două plane, este dată de sistemul format de ecuaţiile (81 şi (813 Pe de altă parte, se observă că vectorul director v N al normalei principale este perpendicular pe fiecare din normalele celor două plane Deci v N este coliniar cu vectorul ( ṙ (t r (t ṙ (t Dacă R este vectorul de poziţie al unui punct oarecare M(,, z (n p, atunci ecuaţia vectorială a normalei principale este (814 R - r (t λ( ṙ (t r (t ṙ (t, λ R canonice Scriind această ecuaţie pe componente obţinem ecuaţiile carteziene (815 (n p : & z& z& & m n n l z z & & l 45 m, unde
(816 l & && z& && z, m z& && z & &&, n & && & && Definiţia 85 Dreapta perpendiculară pe planul osculator (π în M se numeşte dreaptă binormală (b N Observăm că am obţinut în M trei drepte perpendiculare două câte două, anume: dreapta tangentă la curba (C în M, normala principală şi dreapta binormală Este clar că dreapta binormală este conţinută în planul normal, iar vectorul ei director este de fapt normala la planul osculator, adică vectorul liber ṙ (t r (t Dacă R este vectorul de poziţie al unui punct oarecare M(,, z (b N, atunci ecuaţia vectorială a binormalei este (817 R - r (t λ( ṙ (t r (t, λ R De aici deducem ecuaţiile carteziene generale ale binormalei (818 (b N : (816 l m z z n, unde l, m şi n sunt definiţi de Definiţia 86 Se numeşte plan rectificat (sau rectificator în M planul ce trece prin M principală în M şi este perpendicular pe normala Ecuaţia vectorială a planului rectificat este R - r (t, ( ṙ (t r (t ṙ (t, deoarece normala principală în M este de fapta normala la planul rectificat Ecuaţia carteziană a planului rectificat este z z (819 & ( t & ( t z& ( t l m n cu l, m şi n definiţi de (816 46
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Fie M(,, z un punct regulat neinfleionar şi nestaţionar al curbei (C ( (t, (t, z z(t În continuare vom dicuta unele proprietăţi ale tangentei, normalei principale şi binormalei la curba (C în punctul M În primul rând, observăm că versorul dreptei tangente este τ r r (t/ ( t dr, unde s semnifică lungimea arcului de curbă Derivând dτ dτ relaţia τ, τ 1 în raport cu s, obţinem τ, Deci τ şi sunt vectori ortogonali Deducem că dτ este o direcţie în planul normal Un dτ d r calcul simplu arată că d dr d dr dt dt d r dt dr d t + dt dt r dt d t + r Deoarece ṙ şi r sunt direcţii ce determină planul osculator, dτ rezultă că este o direcţie în planul osculator Fiind direcţie atât în planul osculator cât şi în cel normal, dτ este vectorul director al norm- dτ dτ alei principale Notăm cu ν versorul / şi îl vom numi versor normal principal Deoarece binormala este perpendiculară atât pe dreapta tangentă cât şi pe normala principală, alegem versorul β al binormalei astfel încât reperul {M, τ,ν, β } să fie drept orientat (adică τ ν β, ν β τ, β τ ν Atunci planul osculator este determinat de τ şi ν, planul normal (π N este determinat de ν şi β iar planul rectificat este determinat de τ şi β 47
Definiţia 87 a Triedrul format de vectorii liberi τ,ν şi β se numeşte triedrul lui Frenet dτ b Scalarul K se numeşte curbură a curbei (C în punctul regulat M (C Inversul curburii se numeşte rază de curbură R 1/K dν dβ În cele ce urmează vom calcula şi derivatele, Cum ν, ν dν 1, prin derivare rezultă că, ν sunt vectori ortogonali Analog se dβ arată că şi β sunt ortogonali Deoarece triedrul lui Frenet formează o dν dβ baza în V 3, avem a β + b τ şi a1 ν + b 1 τ Derivând relaţia τ, dτ dν ν obţinem, ν + τ, K + τ,a β + b τ K + b b -K Procedând asemănător, se derivează relaţia τ, β şi se obţine b 1 Derivăm şi relaţia ν, β şi deducem că a + a 1 Notând scalarul a 1 cu 1/T obţinem a - 1/T Valoarea 1/T se numeşte torsiunea curbei (C în punctul M, iar T se numeşte raza de torsiune Din cele de mai sus rezultă relaţia (8 dτ / dν / 1/ R dβ / 48 1/ R 1/ T cunoscută sub denumirea de formulele lui Frenet 83 Eerciţii τ 1/ T ν, β 1 (Cisoida lui Diocles Cercul (C de rază r şi centru A(r, care intersectează aa O a reperului cartezian O în punctele O şi B Fie D un
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială punct variabil pe tangenta în punctul B la cercul (C Notăm cu E intersecţia dreptei DO cu cercul (C a Să se determine locul geometric al punctelor P(, care satisfac condiţia P OD şi DP OE (Fig 46 b Să se determine punctele singulare ale cisoidei şi să se precizeze care este ordinul lor de multiplicitate R: Dacă (, sunt coordonatele lui P, atunci folosim notaţiile din Fig 46 şi avem OP cos t, OP sin t, OP OD - PD OD OE r/cos(t rcos (t r sin (t/cos(t Deci r sin (t, r sin 3 (t/cos(t Eliminând pe t, obţinem ecuaţia carteziană implicită F(,, unde F(, 3 + r b Deoarece F` 3 +, F` 4r se anulează simultan dacă şi numai dacă, rezultă că O(, este singurul punct singular al cisoidei El este un punct dublu deoarece F`` -4r pentru Punctul este parabolic (Foliului lui Descartes Se considera curba a cărei ecuaţie implicită este 3 + 3 (Fig 47 a Să se determine toate punctele duble ale curbei precum şi pantele tangentelor în acestea b Să se determine curbura şi raza de curbură în punctele de pe curbă ce au abscisa egală cu 1 R: a Avem F` 3 -, F` 3, F`` 6, F`` -, F`` 6 Singurul punct de pe curbă în care se anulează derivatele parţiale de ordinul înâi este O(, Deoarece F`` -, rezultă că O(, este punct dublu Cantitatea, din Definiţia 818 este egală cu 4 în punctul (,, deci avem de a face cu un punct hiperbolic Rezolvând ecuaţia (81 rezultă că 49
pantele celor două tangente în punct sunt m 1 şi m Cele două tangente sunt aa O şi aa O b Se deduce uşor că punctele de pe foliul lui Descartes care au abscisa egală cu 1 sunt (1, 1, (1, 5 /-1/ şi (1, - 5 /-1/ Aplicând formula (8118 deducem că în cazul punctului (1, 1 curbura este K 8, R 1/8 În cazul punctului (1, 5 /-1/ obţinem K (59/61 5 +91/1 615, R 1/K 38439 şi pentru punctul (1, - 5 /-1/ avem K -(59/61 5 +91/1 169, R 1/K 4615 3 (Elicea cilindrică Fie curba (C : cos t, sint, z 3t, t R (Fig 48 a Să se determine triedrul Frenet al curbei într-un punct oarecare b Să se scrie ecuaţia planului rectificator R: Avem: & (t -sint, & (t cost, z& (t 3, & & (t - cost, & & (t - sint, & z& (t Versorul dreptei tangente este τ - / 13 sin(t i + / 13 cos(t j + 3/ 13 k Ecuaţia planului osculator este (vezi relaţia (813 cos sin cos ( t sin( t z ( t cos( t 3 ( t cos( t 3t 3 sin(t( cos(t - 3 cos(t( sin(t +(z 3t De aici deducem că un versor al binormalei este β 3/ 13 sin(t i - 3/ 13 cos(t j + / 13 k Atunci versorul normalei principale va fi ν β τ -13(cos(t i + sin(t j Ecuaţiile tangentei sunt principale sunt ( t ( t X cos 3sin X cos sin ( t ( t X cos cos Y sin 3cos Y ( t Z ( t cos(t + (Y - 3sin(t sin(t ( t ( t Y sin cos sin( t sin( t 5 ( t Z ( t 3 3t Ecuaţiile normalei, Y 3t Ecuaţiile binormalei sunt 3t Ecuaţia planului rectificator este (X - 3cos(t