BAZELE TEORETICE ALE INGINERIEI ELECTRICE

DANIEL C. IOAN Unverstatea Poltehnca Bcreşt BAZELE TEORETICE ALE INGINERIEI ELECTRICE Edtra 2000

DANIEL C. IOAN BAZELE TEORETICE ALE INGINERIEI ELECTRICE Referenţ ştnţfc: Conf.dr.ng. Irna Mntean Ş.l. dr. ng. Gabrela Cprna Edtra, 2000 Bcreşt

2

Cprns 0 Introdcere 1 1 Mărmle fzce ale electromagnetsml 5 1.1 Mărmle fzce locale ale electromagnetsml........... 5 1.2 Mărmle fzce globale ale electromagnetsml.......... 6 2 Legle câmpl electromagnetc 9 2.1 Legea flxl electrc......................... 9 2.2 Legea flxl magnetc....................... 14 2.3 Legea ndcţe electromagnetce................... 17 2.4 Legea crctl magnetc...................... 28 2.5 Legea legătr dntre ndcţa ş ntenstatea câmpl electrc.. 34 2.6 Legea legătr dntre ndcţa ntenstatea câmpl magnetc.. 36 2.7 Legea condcţe electrce...................... 44 2.8 Clasfcarea medlor dn pnctl de vedere al leglor de materal. 52 2.9 Legea transferăr energe în condctoare.............. 54 2.10 Legea transferl de masă...................... 57 2.11 Ssteml leglor câmpl electromagnetc.............. 60 3 Teoremele fndamentale ale electromagnetsml. Bazele fzce ale teore crctelor electrce 67 3.1 Teorema conservăr sarcn electrce................ 67 3.2 Teorema energe electromagnetce.................. 73 3.3 Teorema condensatorl lnar.................... 75 3.4 Teorema rezstorl lnar...................... 77 3.5 Teorema bobne lnare........................ 77 3.6 Teoremele forţelor generalzate.................... 81 3.7 Crcte electrce c elemente flforme în regm staţonar. Teoremele l Krchhoff........................... 83 3.8 Crcte electrce c parametr concentraţ............. 87 3.9 Crcte electrce formate dn elemente c parametr dstrbţ. 90 3.10 Elemente deale de crct electrc.................. 96 3.10.1 Modelarea crctelor electrce................ 96

CUPRINS 3.10.2 Elemente dpolare lnare................... 98 3.10.3 Elemente dpolare nelnare................. 106 3.11 Elemente dpolare parametrce.................... 115 3.12 Elemente mltpolare lnare..................... 118 3.13 Bobne deale cplate magnetc................... 127 3.14 Elemente mltpolare nelnare.................... 131 3.15 Modelarea elementelor reale lnare de crct............ 136 3.16 Modelarea c elemente nelnare deale............... 150 3.17 Modele pentr mc varaţ..................... 162 4 Crcte electrce smple. Teorema de echvalenţă 167 4.1 Relaţa de echvalenţă a elementelor de crct............................... 167 4.2 Teorema generatoarelor echvalente................. 174 4.3 Conexnea sere a elementelor dpolare............... 175 4.4 Conexnea paralel a elementelor dpolare............. 183 4.5 Conexnea mxtă........................... 184 4.6 Conexnle stea, trngh, polgon complet............. 187 4.7 Teoreme de echvalare pentr bobne cplate............ 193 4.8 Analza prn transfgrare a crctelor electrce. Metoda generatoarelor echvalente.......................... 200 4.9 Folosrea smltdn în analza crctelor electrce........ 205 4.10 Analza crctelor rezstve nelnare smple. Metoda drepte de sarcnă................................. 207 4.10.1 Metode nmerce pentr analza crctelor rezstve c n element nelnar........................ 210 4.11 Crcte electrce c n sngr element acmlator de energe... 217 4.12 Crcte electrce lnare c doă elemente acmlatoare de energe239 5 Teoremele fndamentale ale crctelor electrce Analza topologcă a crctelor 253 5.1 Independenţa ecaţlor l Krchhoff. Forme matrceale........................... 253 5.1.1 Teorema l Tellegen. Conservarea pterlor........ 261 5.1.2 Analza crctelor electrce. Problema fndementală... 261 6 Teoremele fndamentale ale crctelor electrce 267 6.1 Pter. Relaţ de conservare..................... 267 6.2 Teoreme de exstenţă ş nctate a solţe............. 270 6.3 Teorema prvnd nvaranţa solţe................. 273 6.4 Teoreme prvnd comportarea solţe................ 276

CUPRINS A Legle câmpl electromagnetc 281 A.1 Legea flxl electrc......................... 281 A.2 Legea flxl magnetc........................ 281 A.3 Legea ndcţe electromagnetce................... 282 A.4 Legea crctl magnetc....................... 283 A.5 Teorema conservăr sarcn electrce................. 284 A.6 Legea legătr dntre D ş E..................... 285 A.7 Legea legătr dntre B ş H..................... 287 A.8 Legea condcţe............................ 288 A.9 Legea transformăr energe în condctoare............. 290

CUPRINS v

Captoll 0 Introdcere Dscplnă Bazele teoretce ale ngnere electrce analzează fenomenele electrce ş magnetce, folosnd caracterzărle lor canttatve, ş mplct modelarea matematca a acestor fenomene, n vederea aplcatlor lor tehnce. Ea are doă mar sbdvzn: Teora câmpl electromagnetc Teora crctelor electrce Teora câmpl electromagnetc analzează fenomenele electromagnetce, în regmr staţonare sa varable, acordând o atente deosebtă repartţe spaţale a acestor fenomene. Conceptl prncpal al aceste teor este câmpl electromagnetc, caracterzat de vector varabl în spaţ ş evental în tmp, dec de fncţ vectorale de ma mlte varable scalare. Fenomenele electromagnetce snt descrse în această teore prn ssteme de ecaţ dferenţale c dervate parţale, care se referă la componentele câmprlor vectorale. În anmte poteze smplfcatoare, sstemele fzce electromagnetce pot f caracterzate prntr-n nmăr fnt de mărm scalare varable sa constante în tmp. Teora asocată acestor ssteme, nmte crcte electrce, se bazează pe ecaţ dferenţale ordnare sa char algebrce, dec este mlt ma smplă. Dn acest motv ea este ntens folostă în practcă. Fenomenele electromagnetce se pot clasfca în: fenomene electrce; fenomene magnetce; fenomene galvance, corespnzând stărlor de electrzare, magnetzare, respectv electrocnetcă a corprlor. Aceste fenomene a fost evdenţate c ma mlte secole în rmă, dar 1

0. INTRODUCERE stdl lor sstematc a fost elaborat în secoll trect. Legătra ntmă între cele tre categor de fenomene a fost psă în evdenţă aba la sfârştl secoll al XVIII - lea. Fenomenele electrce a fost stdate sstematc de Colomb folosnd efectele mecance ale acestora. S-a constatat că anmte corpr îş modfcă starea prn frecare, fenomen nmt de electrzare. Deoarece electrzarea poate f de doă tpr (convenţonal nmtă poztvă, respectv negatvă ), pentr caracterzarea stăr de electrzare a n corp s-a ntrods o mărme fzcă scalară (poztvă sa negatvă) notată c q ş nmtă sarcnă electrcă. Corprle electrzate nteracţonează mecanc. Aspra fecăr corp dntr-o pereche de corpr pnctformr electrzate se exerctă forţe egale în modl dar de sens contrar, care snt proporţonale c sarcnle ş nvers proporţonale c pătratl dstanţe dntre corpr. S-a presps, în mod greşt, că nteracţnea mecancă între cele doă corpr se realzează nstantane, de la dstanţă. Teora acţn la dstanţă a fost nfrmată de teora acţn prn contgtate ( dn aproape în aproape ), care are la bază poteza că fecare corp electrzat determnă în jrl să o modfcare a stăr matere, nmtă câmp electrc. Forţa care se exerctă aspra cel de-al dolea corp fnd datorată nteracţn acesta c câmpl electrc prods de prml corp. Introdcerea câmpl electrc, ca element ntermedar al nteracţn între corpr a reprezentat n mare progres în înţelegerea fenomenelor electromagnetsml. Câmpl electrc este caracterzat de ntenstatea sa E, care este n vector proporţonal c forţa pe care acesta o exerctă aspra n mc corp electrzat poztv. S-a constatat că prezenţa corprlor, char neelectrzate modfcă ntenstatea câmpl electrc. Dn acest motv caracterzarea completă a câmpl electrc în corpr se realzează c perechea de vector: ntenstatea E ş ndcţa D a câmpl electrc. Aşa cm în mecancă, ntegrala forţe de-a lngl n drm determnă o mărme scalară mportantă nmtă lcrl mecanc, în electromagnetsm ntegrala ntenstăţ câmpl electrc de-a lngl ne crbe determnă tensnea electrcă, mărme fzcă scalară ce carcaterzează câmpl electrc. O altă categore de fenomene stdată dstnct de Volta, Galvan, Ohm ş Krchhoff se referă la cele galvance. Aceste fenomene apar în anmte ssteme de corpr metalce pse în contact c plele ş acmlatoarele electrochmce ş a căpătat denmrea genercă de crent electrc. S-a constatat expermental ma mlte efecte ale crentl electrc, dntre care menţonăm efectl termc, chmc, fzologc ş cel mecanc, toate c o mlttdne de aplcaţ practce. Despre condctoarele parcrse de crent electrc se spne că snt în stare electrocnetcă. Pentr caracterzarea globală a aceste stăr s-a ntrods mărmea fzcă scalară, notată c ş nmtă ntenstatea crentl electrc. Local, starea electrocnetcă este caracterzată de denstatea de crent J. Între starea electrocnetcă ş cea electrostatcă s-a stablt o relaţe bazată pe observaţa că doă corpr electrzate dfert, nte prntr-n corp metalc, adc pentr scrt tmp acest corp în stare electrocnetcă. S-a tras conclza 2

că starea electrocnetcă reprezntă o deplasare a sarcn electrce în nterorl corpl metalc, nmt dn aceste motve condctor. Crentl electrc depnde proporţonal de tensnea între extremtăţle condctorl, dar ş de forma ş de materall dn care este confectonat condctorl. Relaţle smple dntre tensn ş crenţ, valable în regm staţonar ş determnate nţal de Krchhoff pe cale expermentală a fost lteror extnse în cazl crenţlor varabl, consttnd baza teore crctelor electrce, o teore aplcată ntens ş în prezent atât pentr crent slab (electroncă), cât ş pentr crenţ tar (electroenergetcă). Fenomenele magnetce a fost evdenţate ma întâ prn nteracţnle de natră mecancă între corpr aflate într-o anmtă stare, nmtă de magnetzare. Aceste corpr a fost nmte magnet. Faptl că Pământl în ansambll să este n magnet, ş-a găst aplcţe la bsola magnetcă. Pentr explcarea corectă a nteracţn prn contgtate ş n de la dstanţă a fost necesară ntrodcerea conceptl de câmp magnetc. Acesta este concept ca o stare specală a matere, capablă să ntermedeze acţnle mecance. Pentr caracterzarea locală a câmpl magnetc în corpr sefoloseşte perechea de vector: ndcţe magnetcă B ş ntenstatea câmpl magentc H. S-a constatat că orce condctor parcrs de crent prodce în jrl l câmp magnetc. Ma mlt s-a demonstrat că n magnet este echvalent c n condctor înfăşrat parcrs de crent electrc. Echvalenţa este valablă atât dn pnctl de vedere al câmpl magnetc prods, cât ş dn pnctl de vedere al acţnlor mecance exerctate aspra corpl respectv. În acest fel s-a evdenţat legătra strânsă între starea electrocnetcă ş cea magnetcă. Atât câmpl electrc, cât ş cel magnetc snt capable să acmleze energe, char ş în absenţa corprlor. Cercetărle expermentale efectate de Faraday care rmărea valdarea poteze greşte că ş câmpl magnetc este capabl să prodcă crent electrc a conds la descoperrea na dntre fenomenele cele ma mportante ale electromagnetsml, ş anme fenomenl de ndcţe electromagnetcă. Acestă constă în faptl că orce câmp magnetc varabl în tmp prodce (ndce) câmp electrc. Indcţa electromagentcă are în prezent ma mlte aplcaţ, dntre care menţonăm generatoarele de crent alternatv, care prodc energa electrcă în întreaga lme ş transformatoarele electrce, foloste prntre altele la transportl aceste energ. Ultml fenomen fndamental al electromagnetsml a fost evdenţat de Maxwell pe cale teoretcă ş lteror confrmat expermental de Hertz. Acestă constă în faptl că n câmp electrc varabl în tmp generează n cămp magnetc. Astfel s-a evdenţat legătra ntmă între componenta electrcă ş cea magnetcă a câmpl electromagnetc. Faptl că cele doă componente ale câmpl electromagnetc se generează recproc, atnc când snt varable în tmp a conds la explcaţa fenomenl de propagare a ndelor electromagnetce, capable să transporte energe nclsv în vd. 3

0. INTRODUCERE Toate aceste fenomene a ps în evdenţă faptl că pe lângă sbstanţă, ma exstă o altă componentă a realtăţ fzce nmtă câmp electromagnetc, câmp care ntercţonează c sbstanţa (este prods de corpr ş modfcă starea acestora), dar poate exsta ş ndependent de acestea. 4

Captoll 1 Mărmle fzce ale electromagnetsml 1.1 Mărmle fzce locale ale electromagnetsml Pentr caracterzarea locală a câmpl electrc se foloseşte o pereche de vector: E = E(r, t) - tenstatea câmpl electrc D = D(r, t) - ndcţa electrcă Fecare dntre aceşta snt fncţe de pnct (caracterzat de vectorl de pozţe r) ş tmpl t. Într-n sstem de coordonate cartezan vectorl de pozţe în spaţl fzc este caracterzat de cele tre coordonate ale pnctl: ar fecare vector de câmp are tre componente: nde: r = x + yj + zk (1.1) E = E x + E y j + E z j, (1.2) E x = E x (x, y, z, t); E y = E y (x, y, z, t); (1.3) E z În mod asemănător se exprmă ş: = E z (x, y, z, t). D = D x + D y j + D z k (1.4) Pentr caracterzarea stăr locale a câmpl magnetc se tlzează altă pereche de vector trdmensonal: 5

1. MĂRIMILE FIZICE ALE ELECTROMAGNETISMULUI B = B(r, t) - ndcţa magnetcă; H = H(r, t) - ntenstatea câmpl magnetc. Câmpl electromagentc este o stare specală de exstenţă a matere, care poate exsta ş în absenţa sstanţe (în vd), caracterzată prn vector E, D, B ş H. Această stare este capablă să exercte acţn ponderomotaore aspra corprlor, să acmleze ş să transporte energe. Pentr a caracterza modfcarea stăr corprlor în rma nteracţn c câmpl electromagnetc se tlzeazaă o altă pereche de mărm fzce locale: ρ = ρ(r, t) - denstatea sarcn electrce; J = J(r, t) - denstatea crentl electrc. Prma este o mărme scalară (poztvă sa negatvă) ce carcaterzează local starea de electrzare, ar a doa este o mărme vectorală trdmensoanlă ce caracterzează local starea electrocnetcă: J = J x + J y j + J z k (1.5) În consecnţă, în fecare pnct dn spaţ pentr a caracterza complet starea câmpl elctromagnetc ş a corprlor dn pnct de vedere electromagnetc este nevoe de n ma pţn de 16 mărm scalare (componente ale celor patr vector caracterstc câmpl, ş perech scalar-vector ce caracterzează corprle). Pentr a sntetza această canttate enormă de nformaţe se ntrodc mărmle globale ale câmpl, respectv ale corprlor. 1.2 Mărmle fzce globale ale electromagnetsml Mărmle globale ale câmpl se obţn prn ntegrarea mărmlor locale. Domenl de ntegrare reprezntă o mlţme de pncte dn spaţl fzc. Se deosebesc tre tpr de astfel de mlţm nmte varetăţ: crbe, sprafeţe ş domen de volm nenl. Fecare dn mărmle locale se ntegrează pe o anmtă varetate. Char dacă matematc fecare mărme locală s-ar ptea ntegra pe orcare dn cele tre varetăţ, obţnând-se în fnal 18 mărm, dntre acestea doar 6 a semnfcaţe fzcă. Ele snt: 1. Tensnea electrcă: = E dr, (1.6) C mărme fzcă scalară obţntă prn ntegrarea ntenstăţ câmpl electrc pe o crbă orentată; 6

1.2. MĂRIMILE FIZICE GLOBALE ALE ELECTROMAGNETISMULUI 2. Flxl electrc: ψ = D da, (1.7) S mărme fzcă scalară obţntă prn ntegrarea ndcţe electrce pe o sptafaţă orentată; 3. Tensnea magnetcă: m = H dr, (1.8) C mărme fzcă scalară obţntă prn ntegrarea ntenstăţ câmpl magnetc pe o crbă orentată; 4. Flxl magnetc: ϕ = B da, (1.9) S mărme fzcă scalară obţntă prn ntegrarea ndcţe magnetce pe o sptafaţă orentată; 5. Sarcna electrcă: q = ρdv, (1.10) D mărme fzcă scalară obţntă prn ntegrarea denstăţ de sarcnă pe n domen de volm nenl; 6. Intenstatea crentl electrc: = S J da, (1.11) mărme fzcă scalară obţntă prn ntegrarea denstăţ de crent electrcă pe o sprafaţă orentată. În afară de sarcna electrcă, toate celelalte mărm snt defnte pe varetăţ orentate (crbe sa sprafeţe). Orentarea ne varetăţ se realzează convenţonal, prn alegerea n sens de refernţă. Pentr a asgra coerenţa nternă a teore se adoptă rmătoarele regl de orentare: sprafeţele închse se orentează dn nteror spre exteror; sprafeţele deschse se orentează în conformtate c regla brghl faţă de orentarea crbe pe care acestea se sprjnă; crbele se orentează arbtrar, c excepţa crbelor închse pe care se sprjnă sprafeţe deschse orentate, caz în care seaplcă regla anteroară. 7

1. MĂRIMILE FIZICE ALE ELECTROMAGNETISMULUI Introdcerea mărmlor globale, care toate snt fncţ scalare de tmp, asocate varetăţ pe care a fost defnte, dar ndependente de pnct, permte caracterzarea globală, în mede a câmpl electromagnetc pe mlţmea de pncte preczate. Aceasta smplfcă mlt caracterzarea câmpl electromagentc ş analza l. 8

Captoll 2 Legle câmpl electromagnetc Pentr înţelegerea profndă a fenomenelor specfce câmpl electromagnetc, acestea trebe caracterzate n nma caltatv c ş canttatv, prn ntermedl ecaţlor între mărmle fzce caracterstce. Dntre mlţmea relaţlor matematce între mărmle fzce, relaţ stablte pe baza observaţlor expermentale, s-a ales n nmăr reds de relaţ fndamentale, nmte leg, care se bcră de propetăţle de ndependenţă, noncontradcţe ş complettdne. Legle câmpl electromagnetc vor caracterza fenomenele fndamentale ale electromagnetsml. Ele n necestă demonstraţe matematcă c snt obţnte prntr-n proces de ndcţe, pornnd de la observaţ expermentale. In contnare vor f ennţate legle electromagnetsml, evdenţnd-se semnfcaţa lor fzcă, dar fără a se prezenta argmentaţa care a conds la formlarea lor. 2.1 Legea flxl electrc Ennţl leg flxl electrc Flxl electrc pe orce sprafaţă închsă Σ este egal c sarcna electrcă dn domenl D Σ mărgnt de aceasta: sa explct (fg. 2.1) Σ ψ Σ = q DΣ (2.1) D = ρdv. D Σ (2.2) Semnfcaţa fzcă a leg flxl electrc Corprle electrzate prodc în jrl lor câmp electrc. Înconjrând n corp electrzat c o sprafaţă închsă Σ, conform leg trebe ca flxl electrc pe aceasta să fe nenl, ceea ce evdenţază prezenţa câmpl electrc. Pentr a stabl forma ş orentarea lnlor de câmp electrc se consderă doă corpr încărcate c sarcn opse (fg. 2.2). Pe o sprafaţă închsă Σ 1, care 9

2. LEGILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC D ρ v dv α da DΣ Σ D Fgra 2.1: Refertoare la legea flxl electrc înconjoară corpl c sarcna q 1 > 0, flxl electrc este poztv ceea ce determnă D nmed > 0, dec lnle de câmp electrc vor părăs în mede această sprafaţă. Pe sprafaţa Σ 2 care înconjoară corpl c sarcna q 2 < 0, flxl este negatv, dec lnle de câmp electrc vor ntra în acest corp. În schmb, pe o sprafată Σ 3 în nterorl cărea sarcna este nlă, flxl este tot nl. Pe o astfel de sprafată D nmed = 0, dec lnle de câmp electrc, care ntră în Σ 3 trebe să ş asă, dn aceasta. Se constată că flxl electrc pe o sprafaţă închsă n depnde de sarcna electrcă dn exterorl sprafeţe. În conclze, se poate afrma că lnle ndcţe electrce snt crbe deschse care părăsesc sarcnle poztve ş se îndreaptă spre cele negatve, fnd contne în zonele neelectrzate. Forma locală a leg flxl electrc. Aplcând relaţa Gass-Ostrogradsk, flxl electrc se exprmă ca: ψ Σ = Σ DdA = dvddv = D Σ ρdv. D Σ (2.3) Deoarece ltma egaltate este valablă orcare ar f domenl D Σ, rezltă că ntegranz trebe să fe egal: dvd = ρ. (2.4) Această relaţe cnosctă sb nmele de forma locală a leg flxl electrc este o ecaţe dferenţală c dervate parţale, lnară ş de ordnl întâ. Utlzând operatorl vectoral-dferenţal, care într-n sstem de coordonate cartezene are forma: 10

2.1. LEGEA FLUXULUI ELECTRIC Σ1 + Σ 2 _ Σ 3 Fgra 2.2: Spectrl câmpl electrc forma locala a leg devne D = ρ sa explct: = x + j y + k z, (2.5) Dx x + Dy y + Dz z = ρ (2.6) Ea este o ecaţe dferenţala care leagă componentele D x, D y ş D z ale ndcţe dn fecare pnct c denstatea de sarcnă dn acel pnct. Semnfcaţa operatorl dvergenţă este dată de faptl că acest scalar este proporţonal c prodctvtatea în ln de câmp a n pnct. În consecnţă, pnctele electrzate poztv a dvergenţa poztvă a ndcţe ş snt dec srse ale lnlor de câmp electrc, cele negatve absorb lnle de câmp, ar prn cele neelectrzate lnle de câmp trec în mod contn. Pentr ca relaţa (2.6) să abă loc în sens clasc este necesar ca ndcţa electrcă D să fe o fncţe dervablă, ar sarcna electrcă să fe dstrbtă exclsv volmetrc, c valor mărgnte ale denstăţ de sarcnă ρ = ρ v. Forma pe sprafeţe de dscontntate a leg flxl electrc Forma ntegrală (2.1) a flxl electrc are n caracter general prespnând doar ntegrabltatea ndcţe electrce D, pe când forma locală (2.6 poate f aplcată doar în pnctele în care ndcţa D este contnă ş dervablă spaţal. În practcă se întâlnesc staţ în care această condţe n este îndeplntă, dec forma locală are n caracter partclar. De exempl, sprafaţa de separaţe între doă med omogene, c propretăţ dferte poate f sprafaţă de dscontntate pentr ndcţa electrcă. Dn acest motv este necesară stablrea ne forme a 11

2. LEGILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC leg flxl, aplcablă pe astfel de sprafeţe. Se consderă doă domen D 1 ş D 2 separate prn sprafaţa de dscontntate S d, evental electrzată sperfcal (fg 2.3) dar sfcent de netedă pentr ca în fecare pnct să se poată defn o normală n 12 ncă. A n12 D2 D2 00000000000 11111111111 h 00000000000000000 11111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 S D 0000000000 1111111111 d 1 000 111 D1 Fgra 2.3: Sprafaţă de dscontntate pentr câmpl electrc Atât în domenl D 1 cât ş în domenl D 2 se prespne că ndcţa electrcă are o varaţe spaţală contnă, astfel încât în orce pnct P 1 S d se pot defn do vector D 1 = lm P1 P D(P 1 ) c P 1 D s D 2 = lm P2 P D(P 2 ) c P 2 D. Aplcând legea flxl electrc pe n clndr Σ de înălţme h ş ara baze A, ales astfel încât cele doă baze să se afle în domen dferte (fg. 2.3) se obţne: DdA = ρ vmed Ah + ρ smed A, (2.7) Σ în care ρ vmed este valoarea mede a denstăţ de volm a sarcn dn nterorl clndrl, ar ρ smed este valoarea mede a denstăţ de sprafaţă a sarcn de pe ara A, a sprafeţe de dscontntate. Flxl electrc: DdA = (D 2med D 1med )n 12 A + D nmed A l. (2.8) Σ se exprma în fncţe de componenta normală mede a ndcţe pe sprafaţa laterală (D nmed A l ) ş de pe cele doă baze ale clndrl Σ. Prn împărţre la A a relatlor (2.7) ş (2.8) se obţne: (D 2med D 1med )n 12 + D nmed A l A = ρ vmedh + ρ smed, (2.9) relaţe care prn trecere la lmtă h 0 ş A 0 astfel încât A l /A să tndă către zero devne: Folosnd notaţa: n 12 (D 2 D 1 ) = ρ s. (2.10) 12

2.1. LEGEA FLUXULUI ELECTRIC dv s D = n 12 (D 2 D 1 ). (2.11) relaţa 2.10 devne: dv s D = ρ s, (2.12) cnosctă sb nmele de forma locală a leg flxl electrcpe sprafeţe de dscontntate. În consecnţă la trecerea prn sprafaţa de dscontntate, componenta normală a ndcţe electrce D n = nd are n salt egal c denstatea sperfcală de sarcnă ρ s dn acel pnct. În cazl partclar în care sprafaţa de dscontntate S d este neelectrzată sperfcal (ρ s = 0): dv s D = 0, n 12 (D 2 D 1 ) = 0, (2.13) componenta normală a ndcţe electrce se conservă la trecerea prn această sprafaţă (D n1 = D n2 ). Aplcaţe Indcţa electrcă prodsă de o sferă nform electrzată. Se consderă o sferă omogenă de raza a, plasată în vd ş încărcată nform c sarcnă având denstatea de volm ρ v (fg. 2.4) z ρ v o a y x D(r) o a r Fgra 2.4: Sfera electrzată Dn consderente de smetre, lnle de câmp electrc, care părăsesc sfera pentr ρ v > 0 trebe să fe orentate radal. Pentr calcll ndcţe electrce 13

2. LEGILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC într-n pnct stat la dstanţa r < a de centrl sfere se consderă o sprafaţă sfercă Σ, de raza r 0 pe care se aplcă legea flxl electrc (2.1), n care: ψ Σ = Σ DdA = Σ DdA = D da = 4πr 2 D, (2.14) Σ 4πr q DΣ = ρdv = ρ v dv = ρ v dv = ρ v D Σ D Σ DΣ 3 3, (2.15) dec modll ndcţe electrce are expresa D = ρ v r/3. În cazl în care r > a, flxl electrc are aceeaş exprese, dar sarcna electrcă este 4πa q DΣ = ρdv = ρ v dv = ρ v D Σ Da 3 = q, (2.16) 3 în care s-a notat c D a domenl sfere de rază a, a căr sarcnă este q. Aplcând dn no legea flxl electrc rezltă expresa ndcţe în afara sfere electrzate D = ρ v a 3 /3r 2 Deoarece ndcţa este orentată radal rezltă că D = Dr/r, dec D(r) = { ρ v r/3 = qr/4πa 3 pentr r a; ρ v a 3 r/3r 3 = qr/4πr 3 pentr r > a.. Se constată că n centrl sfere câmpl este nl, ndcţa elctrcă având o varaţe lnară dpă rază în nterorl sfere. Câmpl este maxm la sprafaţa sfere, ar în exterorl e ndcţa scade nvers proporţonal c pătratl dstanţe r faţă de centrl sfere. Dacă sfera este electrzată poztv, atnc lnle de câmp snt drepte care pornesc dn nterorl sfere ş snt orentate radal spre nfnt, nde se prespne că se află sarcna negatvă pereche. În cazl sfere electrzate negatv, lnle de câmp snt orentate nvers. Dacă sfera de rază a este electrzată c sarcna q dstrbtă nform n volmetrc c sperfcal, atnc ndcţa exteroară are aceeaş exprese D = q/4πr 2, ndependentă de raza sfere. În schmb în nteror ea este nlă. În acord c forma locală a leg flxl electrc, ndcţa are n salt la sprafaţa sfere, salt egal c ρ s = q/4πa 2. 2.2 Legea flxl magnetc Ennţl leg flxl magnetc Flxl magnetc pe orce sprafaţă închsă Σ este nl: sa explct (fg. 2.5) ϕ Σ = 0, (2.17) 14

2.2. LEGEA FLUXULUI MAGNETIC α B da D Σ Σ Fgra 2.5: Refertoare la legea flxl magnetc Σ BdA = 0. (2.18) Semnfcaţe fzcă a leg flxl magnetc Dacă se compară legea flxl magnetc c cea a flxl electrc, rezltă că n exstă sarcn magnetce, smlare celor electrce, capable să fe srse poztve sa negatve ale câmpl magnetc. În consecnţă, lnle ndcţe magnetce n pot avea pncte dn care să zvorască sa în care să se concentreze, ceea ce face ca lnle câmpl magnetc să n poată f crbe deschse c pncte nţale sa fnale. Lnle ndcţe magnetce snt crbe contn, închse. Lnle de câmp magnetc care ntră într-o parte a ne sprafeţe închse trebe să părăsească sprafaţa prn cealaltă parte a e. Forma locală a leg flxl magnetc Aplcând relaţa Gass-Ostrogradsk, flxl magnetc de pe o sprafaţă închsă se exprmă ca: ϕ Σ = Σ BdA = dvddv = 0. (2.19) D Σ Deoarece ltma egaltate este valablă pentr orce domen D Σ, rezltă dvb = 0, (2.20) ecaţe care reprezntă forma locala a leg flxl magnetc. Relaţa 2.20 evdenţază faptl că prn orce pnct dn spaţ, lnle ndcţe magnetce trec contn, fără să apară sa să dspară. Într-n sstem de coordonate cartezene relaţa 2.20 devne, dvb = B = Bx x + By y + Bz z 15 = 0, (2.21)

2. LEGILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC ecaţe dferenţală c dervate parţale, lnare de ordnl întâ satsfăctă de componentele ndcîe magnetce în orce pnct dn spaţ ş la orce moment de tmp. Forma pe sprafeţe de dscontntate a leg flxl magnetc Se consderă doă domen D 1 ş D 2 separate prn sprafaţa de dscontntate S d (fg 2.6) sfcent de netedă pentr ca în orce pnct al e să se poată defn normala ncă n 12. Consderând ndcţa mgnetcă n câmp vectoral contn în fecare dn cele doă domen, se pot defn în fecare pnct al sprafeţe S d o pereche de vector B 1 ş B 2, ca lmte ale ndcţe către acel pnct vennd dn domenl D 1, respectv dn D 2. A n12 B2 D2 00000000000 11111111111 h 00000000000000000 11111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 S D 0000000000 1111111111 d 1 000 111 B1 Fgra 2.6: Sprafaţă de dscontntate pentr câmpl magnetc Aplcând legea flxl magnetc pe n clndr Σ c are laterală A l ş ara baze A, plasat ca în fgra 2.6 se obţne sa dpă împărţre la A: Σ BdA = (B 2med B 1med )n 12 A + B nmed A l = 0, (2.22) A l (B 2med B 1med )n 12 + B nmed A relaţe care tnde către = 0, (2.23) n 12 (B 2 B 1 ) = 0, (2.24) dacă A ş A l tnd către zero astfel ncât A l /A să tndă către zero. Folosnd notaţa dv s B = n 12 (B 2 B 1 ), rezltă forma pe sprafeţe de dscontntate a leg flxl magnetc: dv s B = 0, (2.25) care evdenţază conservarea componentelor normale ale ndcţe magnetce (B n1 = B n2 ) la trecerea prntr-o sprafaţă de dscontntate. 16

2.3. LEGEA INDUCŢIEI ELECTROMAGNETICE 2.3 Legea ndcţe electromagnetce Fenomenl de ndcţe electromagnetcă, descopert de Farraday în 1831 reprezntă nl dn fenomenele fndamentale ale electromagnetsml, pe care se bazează mlte dn aplcaţle actale ale electronc, electrotehnc ş electroenergetc. În esenţă, acest fenomen constă în prodcerea câmpl electrc, ca rmare a varaţe în tmp a câmpl magnetc. Legea care descre acest fenomen este legea ndcţe electromagnetce, care are rmătorl ennţ. Tensnea electrcă pe orce crbă închsă Γ este egală c vteza de scădere a flxl magnetc de pe orce sprafaţă S Γ, care se sprjnă pe crba Γ: sa explct (fg. 2.7) Γ = ϕ S Γ dt, (2.26) Γ E dr = d dt S Γ BdA (2.27) B β da S Γ dr α Γ E Fgra 2.7: Refertoare la legea ndcţe electromagnetce În teora Maxwell-Hertz, atât pnctele crbe Γ cât ş cele ale sprafeţe S Γ se consderă antrenate de corpr în mşcarea lor. Semnfcaţa fzcă a leg ndcţe electromagnetce Varaţa în tmp a flxl magnetc pe o sprafaţă atrage dpă sne aparţa ne tensn electrce nenle pe crba ce mărgneşte sprafaţa respectvă, ceea ce ndcă aparţa n câmp electrc n zona aceste crbe. În consecnţă, câmpl magnetc varabl determnă aparţa n câmp electrc nmt câmp nds. Indcţa electromagnetcă se poate datora varaţe ndcţe magnetce în tmp B(t) sa mşcăr corprlor într-n câmp magnetc c ndcţe B evental constantă în tmp. Prml tp de ndcţe se nmeşte de transformare, ar al dolea se nmeşte de mşcare. 17

2. LEGILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC Forma locală a leg ndcţe electromagnetce Pentr a stabl o formă locală a leg este necesară efectarea ne dervate de flx de tpl: d GdA = d G(t) da (2.28) dt S Γ dt S Γ (t) în care atât ntegrantl G(t), cât ş domenl de ntegrare S Γ (t) snt fncţ de tmp. O astfel de dervată se poate separa în do termen: d G(t)dA = d G(t)dA + d GdA (2.29) dt S Γ (t) dt S Γ dt S Γ (t) rmând ca în prml termen S Γ să se consdere nvarant în tmp ar în al dolea termen G să se consdere constant în tmp. Dacă domenl de ntegrare n varază în tmp, se poate scre: d G GdA = da. (2.30) dt S Γ S Γ t Pentr a calcla cel de al dolea termen dn 2.29 se consderă doă momente sccesve de tmp t ş t + t, în care domenl de ntegrare este S Γ = S Γ (t) ş respectv S Γ = S Γ (t + t). Pe sprafaţa închsă Σ = S Γ S Γ S l formată dn S Γ, S Γ ş sprafaţa laterală S l, generată de mşcarea crbe Γ în ntervall t (fg. 2.8), flxl vectorl G este: GdA = GdA + GdA + GdA. (2.31) Σ S Γ S l S Γ dr da S Γ dr = v t dr da S Γ S l Fgra 2.8: Refertoare la denstatea de flx Semnl mns al prml termen se datoreşte faptl că elementl de are da = da este orentat spre nterorl ş n spre exterorl sprafeţe închse Σ. Flxl de pe sprafaţa închsă Σ se exprmă folosnd relaţa Gass - Ostrogradsk: GdA = dvgdv = t v dvgda, (2.32) Σ D Σ S Γ 18

2.3. LEGEA INDUCŢIEI ELECTROMAGNETICE în care elementl de volm se exprmă ca dv = dads = vda t, ar flxl de pe sprafaţa laterală S l este: Gd A = t S l deoarece d A = dr s = t(dr v). În consecnţă, Γ G (dr v), (2.33) [ ] d 1 GdA = lm Gd A GdA = v dvgda G (dr v) dt S Γ (t) t 0 t S Γ S Γ S Γ Γ (2.34) ş aplcând relaţa l Stokes: Γ G (dr v) = G (v dr) = (G v)dr = rot (G v)da (2.35) Γ Γ S Γ rezltă: d GdA = [vdv G + rot (G v)]da. (2.36) dt S Γ (t) S Γ În consecnţă, dervata de flx are expresa: [ ] d G d f G GdA = + vdv G + rot (G v) da = da, (2.37) dt S Γ S Γ t S Γ dt în care s-a folost notaţa: d f G dt = G t + vdv G + rot (G v). (2.38) Aplcând această dezvoltare în cazl leg ndcţe electromagnetce, rezltă conform relaţe l Stokes: dec Γ d f B E dr = roteda = da (2.39) S Γ S Γ dt rote = d fb dt (2.40) în care d fb = B B + vdv B + rot (B v) = + rot (B v), deoarece conform dt t t leg flxl magnetc dvb = 0. Relaţa obţntă: rote = B rot (B v) (2.41) t poartă nmele de forma locală a leg ndcţe electromagnetce. 19

2. LEGILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC Prn ntegrarea aceste relaţ pe o sprafaţă deschsă S Γ se obţne forma ntegrală dezvoltată a leg ndcţe electromagnetce: Γ B E dr = S Γ t Γ da (B v)dr (2.42) Se constată că tensnea electrcă ndsă pe orce crbă închsă se separă în doă părţ, Γ = 1 + 2, prma datorată varaţe propr-zse a ndcţe magnetce în tmp, nmtă tensne ndsă prn transformare: B 1 = da, (2.43) S Γ t ar a doa datorată deplasăr crbe Γ: 2 = (B v)dr, (2.44) Γ nmtă tensne ndsă prn mşcare. Forma locală a leg reprezntă o ecaţe dferenţală vectorală lnară c dervate parţale de ordnl întâ, care prn proecţe pe axe determnă n sstem de tre ecaţ dferenţale scalare. În cazl partclar al medlor moble (v=0) legea ndcţe electromagnetce are rmătoarea formă locală: rote = B t cnosctă sb nmele de a doa ecaţe a l Maxwell. În cazl coordonatelor cartezene operatorl rotor admte dezvoltarea: (2.45) j k rote = E = x y z, (2.46) E x E y E z dec cele tre ecat c dervate partale devn: E z E - y y z E x E - z z E y E - x x y x = - = - B x t B y t = - B z t În general, rotorl n câmp vectoral E este n no câmp vectoral, defnt prn: 1 rote = n lm Edr (2.47) A SΓ 0 în care versorl n reprezntă acea orentare a are A SΓ = na SΓ, care asgră valoarea maxmă pentr nrote. 20 A SΓ Γ

2.3. LEGEA INDUCŢIEI ELECTROMAGNETICE Semnfcaţa operatorl rotor este dată de faptl că aplcat câmpl de vteze al n fld determnă n vector proporţonal c vteza nghlară a n mc corp antrenat de fld. În consecnţă, ele reprezntă tendnţa de rotaţe a lnlor de câmp. Forme pe sprafeţe de dscontntate a leg ndcte Se consderă doă med D 1, D 2 separate prn sprafaţa S d (fg. 2.9) astfel încât în orce pnct al acestea exstă o normală ncă n 12. Atât în domenl D 1, cât ş în domenl D 2, se prespne că ntenstatea câmpl electrc are varaţe spaţală contnă, astfel încât în orce pnct P S d se pot defn do vector E 1 = lm P1 P E(P 1 ), c P 1 D 1 ş E 2 = lm P2 P E(P 2 ) c P 2 D 2. În mod asemănător se defnesc B 1, B 2, v 1 ş v 2, care reprezntă ndcţle magnetce ş respectv vtezele pe cele doă feţe ale sprafeţe S d.aplcând pe o crbă închsă Γ, de forma n dreptngh c latrle s ş h, cprns în planl normale n 12 legea ndcţe în formă ntegrală dezvoltată 2.42 se obţne: în care s-a notat F = E + B v. Γ Fdr = S Γ B t da, (2.48) n12 E2 D2 h s 00000000000 00000000000000000 11111111111111111 11111111111 0000000000000000 1111111111111111 Γ S D 0000000000 1111111111 d 1 000 111 E1 Fgra 2.9: Sprafaţa de dscontntate pentr campl electrc Notând c B n med componenta normală a ndcţe magnetce medată pe sprafaţa S Γ se constată că ntegrala: B S Γ t da = B nmed hs (2.49) t tnde către zero atnc când h 0 sa s 0. Integrala pe crba Γ este: Fdr = F 1med ts + F 2med ts + h(f a + F b ) med, (2.50) Γ în care s-a notat c t versorl tangent la sprafaţa de dscontntate cprns în planl S Γ, ar c F a ş F b componentele vectorl F tangenţale la cele doă latr de lngme h ale dreptnghl Γ. 21

2. LEGILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC Dpă împărţre la s se obţne relaţa: care tnde către: (F 2 med F 1 med )t + h s (F a + F b ) med = B n med h (2.51) t (F 2 F 1 )t = 0, (2.52) dacă h 0 ş s 0 astfel încât h/s 0. Deoarece egaltatea F 1 t = F 2 t se păstrează pentr orce orentare a tangente t la S d, rezltă că are loc conservarea componente tangenţale a vectorl F = E+B v la trecerea prntr-o sprafaţă de dscontntate. Prn proectarea vectorl F pe drecţa normale ş pe planl tangenţal la S d se obţne descompnerea F = (nf)a + (n F) n care permte screrea relaţe de conservare sb forma: n 12 (F 2 F 1 ) = 0. Folosnd notaţa: rot s F = n 12 (F 2 F 1 ), (2.53) legea ndcţe electromagnetce capătă rmătoarea formă pe sprafeţele de dscontntate: rot s (E + B v) = 0. (2.54) În cazl partclar al medlor moble: rot s E = 0, (2.55) ceea ce evdenţază conservarea componente tangenţale a ntenstăţ câmpl electrc (n 12 E = n 12 E) la trecerea prn orce sprafaţă de dscontntate. Observaţ prvnd legea ndcţe a) Separarea tensn electrce ndse în do termen nl de transformare ş altl de mşcare este convenţonală, fnd relatvă la ssteml de refernţă ales, în schmb sma lor este nvarantă la referenţall ales. Tensnea electrcă într-o spră condctoare închsă ndsă de n magnet permanent vecn este aceeaş ndferent dacă spra se deplasează spre magnet sa magnetl spre spră. Folosnd referenţall laboratorl, în prml caz ndcţa este de mşcare ar în al dolea caz ea este de transformare dar prn folosrea n refereţal ataşat corpl mobl nterpretărle se nversează. b) În cazl în care corprle se deplasează de-a lngl lnlor de cămp B v = 0, rezltă că tensnea ndsă prn mşcare este nlă. Dn acest motv se spne că fenomenl de ndcţe prn mşcare are loc atnc când corprle tae lnle de câmp în mşcarea lor. c) Lnle de câmp electrc nds snt crbe închse, orentate asfel încât sa înconjoare lnle câmpl magnetc varabl în tmp care le-a prods 22

2.3. LEGEA INDUCŢIEI ELECTROMAGNETICE B(t) B(t) E Γ E Γ Γ = dφ < 0 dt Γ = dφ > 0 dt Fgra 2.10: Sensl câmpl electrc nds Sensl câmpl electrc nds depnde n nma de sensl câmpl magnetc dar ş de modl în care varază acesta în tmp (fg. 2.10). Teorema potenţall electrc staţonar. În regm staţonar corprle snt moble (v=0), ar mărmle câmpl electromagnetc snt constante în tmp. În acest caz legea ndcţe electromagnetce degenerează în: Γ = 0, E dr = 0 (2.56) Γ relaţe cnosctă sb nmele de teorema potenţall electrc staţonar, care se ennţă astfel: tensnea electrcă pe orce crbă închsă este nlă în regm staţonar. În cazl regml statonar lnle câmpl electrc n pot f crbe închse deoarece altfel ar contrazce relata 2.56. Forma locală a teoreme potenţall vector: rote = 0 (2.57) jstfcă nmele e. Intenstatea câmpl electrc având n caracter rotaţonal rezltă că ea poate f reprezentată prntr-n potenţal electrc scalar V, astfel încât: E = grad V. (2.58) Într-n sstem de coordonate cartezene această relaţe se exprmă ca: ( E = grad V = V =, V x + j, V y ) V + k, z (2.59) Această exprese este jstfcată de faptl că rotorl orcăr gradent este nl: rote = rot(grad V ) = ( V ) = 0. (2.60) 23

2. LEGILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC Gradentl n câmp scalar V este n câmp scalar defnt în general prn: grad V = lm v DΣ 0 1 v DΣ Σ V da (2.61) în care v DΣ este volml domenl D Σ. Gradentl n câmp scalar este n vector care ndcă drecţa ş sensl în care câmpl are varaţa cea ma rapdă, modll gradentl ndcând vteza de varaţe spaţală a câmpl scalar. Se constată că toţ ce tre operator de dervare spaţală rot, dv ş grad se pot exprma folosnd operatorl vectoral-dferenţal, aplcat în prods vectoral, prods scalar ş respectv prodsl c n scalar. O altă formă echvalentă a teoreme potenţall electrc se poate exprma astfel: tensnea electrcă între doă pncte în regm staţonar n depnde de drml ales, c doar de pnctele extreme. Pentr demonstrarea aceste afrmaţ se consderă doă crbe C 1 ş C 2 care nesc pnctele A s B: 1 = E dr 1, 2 = C 1 E dr 2 C 2 (2.62) C 1 A Γ B C 2 Fgra 2.11: Independenţa tensn de drm ş crba închsă Γ = C 1 C 2 (fg. 2.11) pe care Γ = dec Γ E dr = E dr+ E dr = E dr 1 E dr 2 = 1 2 = 0, (2.63) C 1 C 2 C 1 C 2 1 = 2. (2.64) Această formlare permte determnarea potenţall electrc al n pnct ca fnd tensnea electrcă de la acel pnct la n pnct de refernţă, la care se 24

2.3. LEGEA INDUCŢIEI ELECTROMAGNETICE prespne în mod convenţonal potenţall nl: V (P) = E dr, C PP0 (2.65) ntegrala fnd dependentă doar de pnctl P, dar n ş de crba C care leagă pnctl P de P 0 (2.12). P C PPo V=0 P 00 11o 00 11 Fgra 2.12: Calcll potenţall Această defnţe este în concordanţă c relaţa E = grad V, deoarece: V V E dr = grad V dr = dx + C PP0 C PP0 C PP0 x y dy V z dz = = dv = V (P) V (P 0 ) = V (P). (2.66) C PP0 Potenţall electrc este defnt până la o constantă adtvă C deoarece grad (V + C) = grad V, fxarea acestea fnd echvalentă c alegerea pnctl de refernţă în care potenţall este convenţonal nl. Relaţa 2.65 permte calcll potenţall electrc pornnd de la ntenstatea câmpl, prn ntegrarea cestea, pa când relaţa 2.58 asgră operaţa nversă de calcl al câmpl pornnd de la potenţal, prn dervare. Potenţall scalar V smplfcă reprezentarea câmpl electrc deoarece se tlzează în acest sens o fncţe scalară ş n na vectorală de pnct, ar tensnea poate f calclată n prntr-o ntegrală c prntr-o operaţe algebrcă: tensnea electrcă între doă pncte fnd egală c potenţall pnctl nţal mns potenţall pnctl fnal: AB = V A V B (2.67) Pentr demonstarea aceste afrmaţ se calclează tensnea pe n drm care trece prn pnctl de refernţă O(fg. 2.13). 25

2. LEGILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC C AB A B CAO V=0 00 11 CBO Fgra 2.13: Tensnea electrcă în regm staţonar AB = E dr = C AB E dr = C A0 C 0B E dr C A0 E dr = V A V B. C 0B (2.68) Trebe remarcat că orcare dn relaţle echvalente 2.56, 2.57, 2.58, 2.64, 2.65 ş 2.67 este îndreptăţtă să fe forma matematcă a teoreme poteţall electrostatc. Aplcaţ ale leg ndcţe electromagnetce [1.] Tensnea ndsă prn transformare. Se consderă n câmp magnetc nform, varabl snsodal în tmp: B(t) = kb 0 sn(ωt) (2.69) ar într-n plan perpendclar pe drecţa acesta o spră crclară de rază a (fg. 2.14). Tensnea ndsă în spră este: Γ = dϕ S Γ dt = πa 2 B 0 ω cos(ωt). (2.70) Se constată că valoarea efectvă a tensn ndse este c atât ma mare c cât frecvenţa câmpl este ma rdcată ceea ce jstfcă afrmaţa că fenomenl de ndcţe este favorzat de frecvenţele înalte. [2.] Tensnea ndsă prn mşcare Se consderă n câmp magnetc nform ş constant în tmp B în care se roteşte n cadr dreptnghlar c vteza nghlară ω, în jrl propre sale axe plasată perpendclar pe câmp (fg. 2.15). 26

2.3. LEGEA INDUCŢIEI ELECTROMAGNETICE B(t) a Fgra 2.14: Tensne ndsă prn transformare B a α ω b Γ Fgra 2.15: Tensne ndsă prn mşcare Flxl magnetc de pe sprafaţa cadrl: ϕ SΓ = B da = BA cos(ωt) (2.71) S Γ este varbl în tmp, ceea ce determnă ndcerea ne tensn electrce în cadr: Γ = dϕ S Γ dt = +BAω sn(ωt). (2.72) Valoarea efectvă aceste tensn este c atât ma rdcată c cât vteza nghlară a cadrl este ma mare. Tensnea ndsă poate f calclată ş c ajtorl relaţe ntegrale dezvoltate: Γ = (B v)dr = 2B ω a b sn(ωt), (2.73) Γ 2 ţnând cont că ntegrantl este nenl doar pe cele doă latr de lngme b ale dreptnghl, pe care v = ωa/2. 27

2. LEGILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC 2.4 Legea crctl magnetc Ennţ leg Tensnea magnetcă pe orce crbă închsă Γ este egală c sma dntre ntenstatea crentl electrc ce străbate orce sprafaţă S Γ, care se sprjnă pe crba Γ, pls vteza de varaţe a flxl electrc pe acea sprafaţă: sa explct (fgra 2.16) Γ mγ = SΓ + dψ S Γ dt, (2.74) Hdr = JdA + d DdA. (2.75) S Γ dt S Γ J β da S Γ D dr α Γ E Fgra 2.16: Refertoare la legea crctl magnetc În teora Maxwell-Hertz, atât pnctele crbe Γ cât ş cele ale sprafeţe S Γ se consderă antrenate de corpr în mşcarea lor. Semnfcaţa fzcă a leg crctl magnetc Prn ce do termen dn membrl drept a relaţe 2.74, legea pne în evdenţă doă caze dstncte ale câmpl magnetc ş anme crentl electrc ş varaţa în tmp a câmpl electrc. Deoarece prodce acelaş efect magnetc ca ş crentl de condcţe, vteza de varaţe a flxl electrc este cnosctă sb nmele de ntenstate a crentl de deplasare, nme dat de Maxwell. Crentl de deplasare se poate datora pe de o parte varaţe propr zse a ndcţe electrce în tmp (efect evdenţat de Maxwell pe argmente teoretce obţnte în rma stdl câmpl electromagnetc în med moble) sa pe de altă parte el se poate datora deplasăr corprlor în câmp electrc (efect evdenţat de Hertz). În vecnătatea orcăr condctor aflat în stare electrocnetcă apare n câmp magnetc prods de crentl electrc ce străbate condctorl. Lnle câmpl 28

2.4. LEGEA CIRCUITULUI MAGNETIC magnetc snt crbe închse care înconjoară crentl electrc ce le prodce. Sensl lor se determnă c regla brghl drept faţă de sensl crentl. Consderând în jrl n condctor parcrs de crent n cerc orentat dpă regla brghl rezltă aplcând legea crctl magnetc că U mγ = H tmed2πr > 0, dec că ntenstatea câmpl magnetc are o componentă tangenţală c mede poztvă ceea ce jstfcă orentarea lne de câmp. Câmpl electrc varabl în tmp prodce în mod asemănător n câmp magnetc ale căr ln de câmp snt crbe închse ce înconjoară lnle câmpl electrc. La stablrea sensl lnlor câmpl magnetc se a în consderare n nma sensl lnlor de câmp electrc dar ş fell în care acesta varază în tmp, deoarece semnl crentl de deplasare depnde dervata fncţe de tmp a flxl electrc. Dacă D(t) este fncţe crescătoare, atnc câmpl magnetc are sensl dat de regla brghl drept, în schmb el are sens contrar în czl în care D(t) scade în tmp. Forma locală a leg crctl magnetc. Ca ş în cazl leg ndcţe electromagnetce pentr obţnerea forme locale a leg este necesară efectarea ne dervate de flx de tpl: dψ SΓ dt = d dt S Γ (t) D(t)dA = d dt S Γ D(t)dA + d dt S Γ (t) DdA, (2.76) în care prml termen reprezntă ntenstatea crentl maxwellan de deplasare, ar al dolea reprezntă ntenstatea crentl hertzan de deplasare. Folosnd expresa dervate de flx (2.37) obţntă în paragrafl 2.3 se obţne: [ ] d d 1 D D DdA = dt S Γ S Γ dt S da = + vdvd + rot (D v) da. (2.77) Γ t Transformând expresa tensn magnetce prn relaţa l Stokes rezltă egaltatea: [ Hdr rothda = J + D ] + vdvd + rot (D v) da, (2.78) S Γ S Γ t valablă pentr orce sprafaţă S Γ. În consecnţă, lând în consderare forma locală a leg flxl electrc (dvd = ρ), rezltă relaţa: roth = J + D t + ρv + rot (D v), (2.79) care este forma locală a leg crctl magnetc. Această relaţe evdenţază dn pnct de vedere local patr vector dstncţ, srse ale câmpl magnetc: J denstatea crentl electrc de condcţe; 29

2. LEGILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC J d = D denstatea crentl electrc de deplasare, datorat varaţe t proprzse a ndcţe electrce în tmp); J v = ρv denstatea crentl electrc de convecţe, datorat deplasăr corprlor electrzate, ş J R = rot (D v) denstatea crentl Röntgen, datorat rotr corprlor polarzate. Ce patr vector a aceaş ntate de măsră ş snt echvalenţ dn pnctl de vedere al efectl lor magnetc. Ultm tre alcătesc crentl de deplasare global J d g = J d + J v + J R = d fd dt, alcătt dn crentl de deplasare maxwellan (J d ) ş dn cel hertzan (J v + J R ). Prn ntegrare se obţn: SΓ S Γ JdA ntenstatea crentl de condcţe; dsγ = S Γ J d da = D S Γ da ntenstatea crentl de deplasare; t vsγ = S Γ J V da = S Γ ρvda ntenstatea crentl de convecţe; RSΓ = S Γ J R da = S Γ rot (D v)da = Γ (D v) dr ntenstatea crentl Röntgen. Aceste patr mărm scalare permt screrea leg în rmătoarea formă ntegrală dezvoltată: mγ = SΓ + dsγ + vsγ + RSΓ. (2.80) În cazl partclar al medlor moble (v = 0), legea crctl magnetc are rmătoarea formă locală: roth = J + D t, (2.81) cnosctă sb nmele de prma ecaţe a l Maxwell. Exprmând rotorl ntenstăţ câmpl magnetc în coordonate cartezene: j k roth = H = x y y H x H y H z (2.82) rezltă rmătoarea formă locală a leg crctl magnetc, exprmată sb forma a tre ecaţ dferenţale c dervate parţale, scalare, lnare ş de ordnl întâ: H z Hy y z H x Hz z H y Hx x y = J x + Dx t ; = J x y + Dy = J z + Dz t 30 t ; (2.83)

2.4. LEGEA CIRCUITULUI MAGNETIC Aceste ecaţ leagă cele tre componente ale ntenstăţ câmpl magnetc prods de mărmle caracterstce srselor acesta: denstatea de crent de condcţe ş cea de deplasare. Forma pe sprafeţe de dscontntate a leg crctl magnetc. Se consderă doă med D 1 ş D 2, în care mărmle caracterstce câmpl electromagnetc snt fncţ contne de spaţ. Prespnem că acestea snt separate prntr-o sprafaţă de dscontntate S d sfcent de netedă, astfel încât în orce pnct P S d exstă o normală ncă n 12 (fgra 2.17). n12 H2 s D2 h 00000000000 11111111111 00000000000000000 11111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 t Γ S D 0000000000 1111111111 d 1 000 111 H1 Fgra 2.17: Sprafaţa de dscontntate În fecare pnct P S d se pot defn lmtele dnspre domenl D 1 ş respectv dnspre domenl D 2 ale mărmlor: H 1,H 2 ntenstatea câmpl magnetc; D 1,D 2 ndcţa electrcă; v 1,v 2 vtezele locale ale celor doă med. Se consderă că sprafaţa de dscontntate S d este parcrsă de o pânză de crent, caracterzată de denstatea J s ş că nl dn cele doă domen este electrzat sperfcal c denstăţle de sarcnă ρ s rmând ca acesta să abă vteza locală v. Pentr a demonstra forma locală a leg se consderă o crbă închsă Γ de forma n dreptngh stat în planl normale n 12 ş al căr centr este pnctl P S d, pe care se aplcă forma globală dezvoltată a leg crctl magnetc sb forma: ( Gdr = J + D ) Γ t + ρv da (2.84) S Γ nde G = H D v. Integrala l G este: Gdr = (G 2 G 1 )ts + ht nd G tnd (2.85) Γ 31

2. LEGILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC ar ntegrala pe sprafaţa dreptnghl este: [ J med + D ] med + (ρv med ) hsn + [J S n 12 + ρ S v] t med ns, (2.86) dec (G 2 G 1 ) med t+ h [ s G = s J nmed + D nmed + (ρ v v) t med ]+n (J S + ρ S2 v 2 ρ S1 v 1 ), (2.87) nde n = n 12 t este normala la S Γ. Dacă h ş S tnd către zero astfel încât W S 0 rezltă: (G 2 G 1 )t = n (J S + ρ S v). (2.88) Deoarece această egaltate este valablă orcare ar f orentarea versorl tangent t la sprafaţa S d în pnctl P rezltă că saltl componente tangenţale a vectorl G este egal c J S + ρ S V dec: n 12 (G 2 G 1 ) = J S + ρ S v (2.89) sa în formă compactă rot S G = J S + ρ S v, sa echvalent: rot S H = J S + ρ S v + rot S (D v), (2.90) care este forma pe sprafeţe de dscontntate a leg crctl magnetc. În cazl medlor moble (v=0), rezltă că saltl componente tangenţale a ntenstăţ câmpl magnetc este egală c denstatea pânze de crent rot s H = J s (2.91) ar în cazl partclar în care sprafaţa de dscontntate n este parcrsă de crent splmentar rot s H = 0, ceea ce asgră conservarea componente tangenţale a ntenstăţ câmpl magnetc, deoarece n 12 (H 2 H 1 ) = 0 mplcă egaltatea (H t1 = H t2 ). Teorema l Ampére. În cazl regml staţonar legea crctl magnetc se redce la: sa explct: Γ mγ = SΓ, (2.92) Hdr = JdA, S Γ (2.93) relaţe cnosctă sb nmele de teorema l Ampére. În forma locală această teoremă se exprmă prn: roth = J. (2.94) Observaţ prvnd legea crctl magnetc 32

2.4. LEGEA CIRCUITULUI MAGNETIC a) Deoarece vteza corprlor este relatvă la ssteml de refernţă adoptat, rezltă că separarea crentl de deplasare în componentele sale are n caracter convenţonal, depnzând de referenţall ales, în schmb sma acestor componente este nvarantă la alegerea ssteml de coordonate. Se consderă de exempl doă corpr, dn care nl este electrzat ş altl neelectrzat în mşcare relatvă nl faţă de celălalt. Dacă se ataşează ssteml de refernţă corpl electrzat crentl de convecţe este nl în schmb crentl Röntgen este nenl ceea, ce explcă aparţa câmpl magnetc în corpl neelectrzat. Dacă în schmb se ataşează ssteml de refernţă corpl neelectrzat, crentl Röntgen este nl dar crentl de convecţe este nenl. b) Efectele magnetce a fost verfcate expermental ş s-a constatat concordanţă deplnă c legea crctl magnetc, exceptând crentl Róntgen pentr care s-a constat expermental, că are denstatea J R = rot (P v). Inadvertenţa între valoarea teoretcă ş cea expermentală a crentl Röntgen se explcă prn faptl că în teora Maxwell-Hertz s-a adoptat poteza eterl antrenat. Deoarece crbele ş sprafeţele snt antrenate de corpr în mşcarea lor, char dacă acestea snt tot ma rarefate, această poteză trebe adoptată ş în cazl vdl, care este concept ca n gaz extrem de rarefat. Explcaţa exprese corecte a crentl Röntgen a fost dată de electrodnamca Ensten-Mnkowsk, stabltă pe baza teore relatvtăţ restrânse. Deoarece la vteze mc nerelatvste, teora Maxwell-Hertz explcă satsfăcător ş în mod smpl marea majortate a efectelor întâlnte în aplcaţle practce fnd cea ma bnă aproxmare nerelatvstă a electrodnamc relatvsteea a fost adoptată ca bază teoretcă a ngnere electrce. Aplcaţ ale leg crctl magnetc Câmpl magnetc prods de n condctor clndrc parcrs de crent Se consderă n condctor omogen rectln nfnt lng c secţne clndrcă de rază a, plasat în vd ş parcrs longtdnal de n crent de condcţe c denstatea J, constantă în tmp (fgra 2.18). Dn consderente de smetre lnle, câmpl magnetc snt cercr plasate în plan perpendclar pe axa clndrl c centrele plasate pe aceasta ş orentate conform regl brghl. Pentr calcll câmpl magnetc într-n pnct plasat la dstanţa r < a de axă se consderă crba Γ de forma n cerc c rază r c centrl pe axă. Tensnea magnetcă pe acest cerc este: mγ = Hdr = H dr = H dr = H2πr, (2.95) Γ Γ ar crentl ce străbate sprafaţa S Γ este: SΓ = JdA = J da = J da = Jπr 2. (2.96) S Γ S Γ S Γ 33 Γ