ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL Συγγρφή Επιέλι: Πνγιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 1 Ξκινώντς πό τη διφρική ρφή των ξισώσων Maxwell, ν κτλήξτ στην λκληρωτική τυς ρφή. ) 1 η ξίσωση Maxwell (νός Gauss γι τν ηλκτρισό): ρ / Ολκληρώνντς την πρπάνω ντός όγκυ πρκύπτι: Ε d 1 ρd Κι σύφων τ θώρη Gauss ισχύι: Ε d d Άρ: d 1 ρd (λκληρωτική ρφή νόυ Gauss). β) η ξίσωση Maxwell (νός Gauss γι τ γνητισό): 0 Όπως κι στην πρπάνω πρίπτωση, λκληρώνντς ντός όγκυ κι φρόζντς τ θώρη Gauss πρκύπτι: d d γ) 3 η ξίσωση Maxwell (νός Faraday): t Ολκληρώνντς την πρπάνω σ πιφάνι πρκύπτι: Κι σύφων τ θώρη tokes ισχύι: ( Ε) d t 0 d ( Ε) d d ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 t Άρ: d d δ) 4 η ξίσωση Maxwell (νός Ampere Maxwell): J t Ολκληρώνντς την πρπάνω σ πιφάνι πρκύπτι: t ( B) d J d d Κι πιδή σύφων τ θώρη tokes ισχύι : ( ) d Β d Τλικά : d J d d ( d ) t όπυ Ιd τ ρύ ττόπισης. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ Στ χώρ υπάρχι τ χρνικά τβλλόν γνητικό πδί στθρά. Ν πδιχθί ότι τ ηλκτρικό πδί στη θέση ίνι : r ( t) tˆ z, όπυ 1 ẑ r Αρκί ν διχθί ότι τ δθέντ πδί πληθύυν την 3 η ξίσωση Maxwell. Δηλδή : Είνι : t t ẑ (1) () 1 1 ẑ r - ẑ (xxˆ yŷ zẑ) (xŷ yxˆ) Άρ : xˆ ŷ ẑ x y z x ( y) 0xˆ 0ˆ y - ẑ x y y x 0 [1 ( 1)]ẑ E zˆ (3) Συνπώς συπρίντι ότι λόγω των () κι (3) πληθύτι η (1), δηλδή τ γνητικό πδί 1 ( t) tˆ z δηιυργί στη θέση τ ηλκτρικό πδί ẑ r. r ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 3 Έστω τ ηλκτρικό πδί συνιστώσς : x x κι (x y) z z ) Ν υπλγιστί η συνιστώσ Εy, υπθέτντς ότι ρ = 0 κι ότι η Εy ίνι συνάρτηση όν τυ y. β) Ν υπλγιστί τ γνητικό πδί (t), πυ δηιυργί υτό τ ηλκτρικό πδί. γ) Ν υπλγιστί η πυκνότητ ρύτς J, πυ δηιυργί τ γνητικό πδί. (t) δ) Ν λγχθί ν ισχύι ότι 0. ) Σύφων τη διφρική ρφή της 1 ης ξίσωσης Maxwell κι πιδή ρ = 0 πρκύπτι : ρ x y z 0 0 x y z y x (x y) 0 y y y y 0 y y y Επιδή η Εy ίνι συνάρτηση όν τυ y, λκληρώνντς την πρπάνω πρκύπτι : 0 y de y y ydy y 0 β) Επιδή 0 τ ηλκτρικό πδί υτό δν ίνι ηλκτρσττικό κι πένως ίνι πγόν ηλκτρικό πδί, δηλδή δηιυργίτι πό τη χρνική τβλή κάπιυ γνητικύ πδίυ (t). Σύφων την 3 η ξίσωση Maxwell (νό Faraday) ίνι : t y (1) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Αλλά : xˆ x x ŷ y y ẑ z (x y)z zxˆ zŷ (xˆ ŷ) z Άρ η (1) δίνι : z (xˆ ŷ) t t z (xˆ ŷ) Κι λκληρώνντς την πρπάνω ως πρς t πρκύπτι : db z (xˆ ŷ) dt (t) zt (xˆ ŷ) () γ) Σύφων τη διφρική ρφή της 4 ης ξίσωσης Maxwell πρκύπτι : J t Αλλά : 0 t πότ : J J t xˆ x z ŷ y z ẑ z 0 t J (xˆ ŷ) δ) Σύφων τη σχέση () ύκλ πρκύπτι ότι : x x y y z z 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 4 Μέσ πό ι κυκλική πιφάνι κτίνς R διέρχτι τ ηλκτρικό πδί sin ωtzˆ. Ν υπλγιστί η λάχιστη κυκλική συχνότητ ω τυ ώστ τ πλάτς της τλάντωσης τυ γνητικύ πδίυ, πυ δηιυργίτι ν ίνι Β. Σύφων την 4 η ξίσωση Maxwell ισχύι : J (1) t Επιδή όως τ γνητικό πδί πρέρχτι πκλιστικά πό τη χρνική τβλή τυ ηλκτρικύ πδίυ, δηλδή J 0, η (1) γράφτι : t () Ολκληρώνντς την () πί της κυκλικής πιφάνις κι ν συνχί φρόζντς τ θώρη tokes πρκύπτι : ( ) d d d t t d ωr πr ωos ωtπr (t) os ωt (3) Συνπώς γι ν ίνι τ πλάτς τυ γνητικύ πδίυ Β, σύφων την (3) θ πρέπι ν ισχύι : ωr ω R ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 5 Ένς πίπδς πυκνωτής έχι κυκλικύς πλισύς κτίνς R, πυ βρίσκντι σ πόστση τξύ τυς. Ο πυκνωτής υτός φρτίζτι ρύ έντσης Ι. ) Ν υπλγιστί τ γνητικό πδί στ χώρ τξύ των πλισών τυ πυκνωτή. β) Ν υπλγιστί τ διάνυσ Poynting. γ) Απδίξτ ότι ρυθός τν πί τβάλλτι η ηλκτρσττική νέργι ίνι : ( R) d d πr dt q(t) P -q(t) I r z R ) Τ ρύ πυ διρρέι τ κύκλω φρτίζι τυς πλισύς τυ πυκνωτή ίσ κι ντίθτ φρτί. Έστω ότι τη χρνική στιγή t θτικός πλισός φέρι φρτί q(t) ή πιφνική πυκνότητ φρτίυ σ ( t) q(t) / q(t) / πr. Τ ηλκτρικό πδί ίνι ηδνικό στ χώρ έξω πό τυς πλισύς κι γνές στ χώρ τξύ των πλισών κι ισύτι : σ(t) q(t) ẑ ẑ (1) πr Σύφων τη διφρική ρφή της 4 ης ξίσωσης Maxwell, σ τυχί σηί P τυ χώρυ τξύ των πλισών, πυ πέχι πόστση r πό τν άξν τυ πυκνωτή, η πυκνότητ ρύτς ίνι J 0 κι πρκύπτι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 (1) q(t) t πr t ẑ q(t) ẑ πr πr q(t) ẑ t πr t ẑ () όπυ q(t) t η έντση τυ ρύτς. Ολκληρώνντς την () πί της κυκλικής πιφάνις κτίνς r κι φρόζντς τ θώρη tokes πρκύπτι : ( ) d ẑ d Β d ẑ dẑ πr πr πr πr r ή δινυστικά φ r ˆ (3) πr πr πr Δηλδή τ γνητικό πδί ίνι φπτνικό πί της κπύλης κι κάθτ στη διύθυνση z, όπως πρκύπτι πό τη (). β) Σύφων τν ρισό κι λόγω των (1), (3) τ διάνυσ Poynting ίνι : 1 1 q(t) πr ẑ πr rˆ φ q(t)ir π R 4 rˆ (4) Δηλδή τ άνυσ Poynting έχι κτινική διύθυνση κι φρά πρς τ ξωτρικό τυ πυκνωτή. γ) Επιδή ρή νέργις υφίσττι όν πό την πράπλυρη πιφάνι τυ κυλίνδρυ, πυ ρίζυν ι πλισί τυ πυκνωτή, ρυθός τβλής της ηλκτρσττικής νέργις πρκύπτι πό την λκλήρωση τυ δινύστς Poynting πί της πράπλυρης πιφάνις κυλίνδρυ κτίνς R κι ήκυς. Δηλδή : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 πρπλ. (4) d πρπλ. q(t)ir π R 4 rˆ drˆ q(t)i π R 3 d q(t)i π R 3 q(t)i dq(t) d q (t) πr q(t) πr πr dt πr dt (5) Αλλά πό την (1) ίνι : q(t) πr, πότ η (5) γίντι : d d πr dt πρπλ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 6 Ν πδιχθί κι ν δθί η φυσική σησί της ξίσωσης της συνέχις, κθώς πίσης ν πδιχτί υτή έσω των ξισώσων Maxwell. Τ ρύ πυ διπρνά ι κλιστή πιφάνι ίνι : J d Συγκκριέν τ λικό φρτί νά νάδ χρόνυ πυ ξέρχτι πό τν όγκ πυ ρίζι η πιφάνι, σύφων τ θώρη Gauss ίνι : J d J d Αλλά πιδή τ φρτί διτηρίτι, η κρή φρτίυ πό ι κλιστή πιφάνι συντλίτι ις βάρς τυ νπίνντς έσ της φρτίυ. Δηλδή : dq J d dt d dt ρd J d ρ d t (1) Τ ρνητικό πρόση ντνκλά τ γγνός ότι ι πρς τ έξω ρή ιώνι τ φρτί πυ πρένι στν όγκ. Επιδή η σχέση (1) ισχύι γι πινδήπτ όγκ, συπρίντι ότι : ρ J t ρ J t 0 Η πρπάνω σχέση πτλί την ξίσωση της συνέχις κι ίνι η θητική διτύπωση της ρχής διτήρησης τυ φρτίυ. Σύφων τη διφρική ρφή της 4 ης ξίσωσης Maxwell ίνι : J () t Αλλά πό την δινυστική τυτότητ : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 0 t J 0 ) ( () 0 ) ( t J (3) Κι πό την 1 η ξίσωση Maxwell ισχύι : ρ/ πότ η (3) γίντι : 0 t J 0 t J ρ ρ (ξίσωση συνέχις)
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 7 Χρησιπιώντς την ξίσωση της συνέχις στην πρίπτωση νός πίπδυ πυκνωτή πιφάνις πλισών πυ φρτίζτι ρύ Ι, ν πδίξτ ότι τ ρύ Ι ισύτι τ ρύ ττόπισης Ιd τυ Maxwell. ρ Σύφων την ξίσωση συνέχις ίνι : J 0 t Ολκληρώνντς την πρπάνω στν όγκ τξύ των πλισών τυ πυκνωτή πρκύπτι : Jd Αλλά σύφων τ θώρη Gauss ισχύι : ρ d 0 t Jd J d (1) Οπότ η (1) δίνι : J d ρ d 0 t J d ρ d t () Όως πό την 1 η ξίσωση Maxwell ίνι : κι η () δίνι : ρ/ ρ J d ( t ) d d t Όως ίνι : J d t Άρ : J d J d d J d d d ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 8 Ν πδιχτί ότι στ σωτρικό γωγών η πυκνότητ φρτίων ρ την πάρδ τυ χρόνυ t τίνι στ ηδέν. Λβάνντς υπόψη ότι ι σχέσις τυ ρύτς, της τάσης κι της ντίστσης νός γωγύ ίνι Ι = J, = E τυ Ohm πίρνι τη ρφή : κι R = ρ ντίστιχ, τότ η γνωστή σχέση τυ νόυ R 1 J J σ ρ ρ ή δινυστικά J σε (1) όπυ ρ ίνι η ιδική ντίστση κι σ = 1/ρ η ιδική γωγιότητ. Η σχέση (1) πτλί τη γνικυένη έκφρση τυ νόυ τυ Ohm κι ντικθιστώντς την στην ξίσωση της συνέχις πρκύπτι : ρ J t (1) ρ 0σ t ρ 0 t σ () Αλλά σύφων τη διφρική ρφή της 1 ης ξίσωσης Maxwell ίνι : Οπότ η () γίντι : ρ / ρ t σ ρ ρ(t) ρ dρ ρ σ t 0 ρ(t) dt n ρ σ ρ(t) t ρ e σ t ρ t) e σ t ( ρ Από την πρπάνω σχέση πρτηρίτι ότι ότν t τότ e 0 δηλδή η πυκνότητ φρτίυ τίνι στ ηδέν ρ ( t) 0. Επίσης όπως φίντι η στθρά της πόσβσης ίνι τ / σ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 9 Ν πδιχθί ότι στ κνό χωρίς πηγές ισχύυν ι σχέσις : κι t t Η διφρική ρφή των ξισώσων Maxwell στ κνό (δηλδή γι ρ = 0 κι κι t t (1) 0,, 0 Λβάνντς τ στρβιλισό της τρίτης σχέσης των ξισώσων (1) πρκύπτι : J 0 ) ίνι : ( ) ( ) t t () Αλλά σύφων τη γνωστή δινυστική τυτότητ ισχύι : ( ) ( ) κι πιδή 0 ίνι τλικά : ( ) (3) Συνπώς πό τις (), (3) κι λβάνντς υπόψη την τέτρτη σχέση των ξισώσων (1) πρκύπτι : ( ) t t t t Οίως τ πρπάνω λβάνντς τ στρβιλισό της τέτρτης σχέσης των ξισώσων (1) πρκύπτι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ( ) t ( ) t Αλλά : ( ) ( ) (φύ 0 ) Άρ : ( ) t t t t t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 10 Σ γώγι υλικό ιδικής γωγιότητς σ πιβάλλτι γνητικό πδί Υπθέτντς ότι η πυκνότητ φρτίυ ρ κι η πυκνότητ τυ ρύτς ττόπισης ίνι ηδέν ν πδιχθί ότι : σ t Σύφων τη διφρική ρφή της 3 ης ξίσωσης Maxwell ίνι : t (t) J d. Λβάνντς τ στρβιλισό της πρπάνω πρκύπτι : ( ) ( ) t ( ) t (1) Αλλά λόγω της 1 ης ξίσωσης Maxwell κι πιδή ίνι ρ = 0 ισχύι 0, νώ σύφων την 4 η ξίσωση Maxwell κι πιδή J d 0 ισχύι : J σ φύ σύφων τη γνικυένη έκφρση τυ νόυ τυ Ohm ίνι : J σ. Συνπώς η (1) δίνι : ( σ) t σ t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 11 ) Ν πδιχθί ότι η ξίσωση διάδσης της έντσης τυ ηλκτρικύ πδίυ των ηλκτργνητικών κυάτων έσ σ γωγό, όπυ ρ = 0 δίντι πό τη σχέση : z σ t β) Αν ι λύση της πρπάνω ξίσωσης ίνι η : t ν πδιχθί ότι ίνι : ( z,t) sin( ωt - kz)e 1 -z k ( σω/ ) κι ν ξηγηθί η φυσική σησί της πσότητς 1 (/ σω). 1 ) Από την διφρική ρφή της 4 ης ξίσωσης τυ Maxwell ίνι : J t Πργωγίζντς την πρηγύνη ως πρς τ χρόν πρκύπτι : Αλλά : J J ( ) (1) t t t t t t t κι J σε, πότ η (1) γίντι : ( ) σ t t ( ) σ () t t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Επιδή όως ρ/ 0 (φύ ρ = 0), η () τλικά γίντι : σ t t Θωρώντς ότι η έντση τβάλλτι νδιάσττ νάγτι στην πλύστρη έκφρση : (ως πρς z) η πρπάνω z σ (3) t t β) Μι λύση της ξίσωσης (3) ίνι η : E(z,t) E sin( ωt - kz)e -z e -z όπυ όρς πόσβσης δηλώνι την ξσθένηση πυ θ υπστί τ ηλκτργνητικό κύ τ πί πρσπίπτι πί γωγύ. Η λύση υτή πρί ν γρφί σ ιγδική ρφή ως : i( ωt-kz) z i( ωt-kziz) ( z,t) E e e (z,t) E e (όπυ 1) i Αντικθιστώντς την πρπάνω λύση στη διφρική ξίσωση (3) πρκύπτι : i ( k i) σiω i ω ( k i) σiω- ω (k i ik) σiω ω k ik ω σiω (4) Εξισώνντς τ πργτικά κι φντστικά έρη των δυ λών της ξίσωσης (4) πρκύπτι : k ω k ω (πιδή = 1/ ) Κι φύ ω ίνι ω / 0 πότ 0 k (5) k ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Κι : k σω 1 ( 5) σω σω 1 Η πσότητ 1/ νάζτι πιδρικό βάθς κι πριγράφι την τχύτητ πόσβσης τυ ηλκτρικύ πδίυ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 1 (xt) e Δίντι τ ηλκτρικό πδί (x, t) ŷ κι τ γνητικό πδί ( xt) (x, t) Ae ẑ. Εξτάστ ν ι συνρτήσις υτές πριγράφυν ηλκτργνητικό κύ. Γι ν πτλύν ι συνρτήσις υτές ηλκτργνητικό κύ θ πρέπι τ κύ ν διδίδτι κτά ήκς τυ άξν x, νώ τ ν τλντώντι στ πίπδ xy κι τ στ πίπδ xz, δηλδή ν ίνι γκάρσι κύ (όπως πράγτι ισχύι). Επίσης λόγς των έτρων των πδίων ίνι : 1 1 Από την κυτική ξίσωση τυ γνητικύ πδίυ x υ t κι πιδή: e x (xt) x e (xt) κι t e (xt) t e (xt) τλικά πρκύπτι : e (xt) 1 e υ (xt) υ 1 υ Δηλδή τ κύ διδίδτι την τχύτητ τυ φωτός. Τέλς πιδή ι δθίσς συνρτήσις ικνπιύν κι τις κυτικές ξισώσις πριγράφυν έν ηλκτργνητικό κύ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 13 Δίντι τ ηλκτρικό πδί ( x,t) B os(x t) ŷ κι τ γνητικό πδί ( x,t) B os(x t)ẑ. Εξτάστ ν πτλύν ηλκτργνητικό κύ. Τ ηλκτρικό πδί, όπως φίντι κι πό την ντίστιχη ξίσωση τλντώντι στ πίπδ xy κι τ γνητικό πδί στ πίπδ xz, νώ τ κύ θ διδίδτι κτά ήκς τυ άξν x. Ο λόγς των έτρων των πδίων ίνι : B os(x t) os(x t) Επίσης : sin( x t) os(x t) x x κι sin( x t) os(x t) t t Άρ πό την κυτική ξίσωση τυ γνητικύ πδίυ πρκύπτι : x 1 υ t os(x t) υ os(x t) υ 1 υ Δηλδή τ κύ διδίδτι την τχύτητ τυ φωτός. Επένως ι δθίσς συνρτήσις πριγράφυν ηλκτργνητικό κύ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 14 ) Απδίξτ ότι έν πίπδ ηλκτργνητικό κύ διδιδόν στ κνό κτά τν άξν z πριγράφτι πό τη σχέση : y ( z, t) x z 1 (z, t) t β) Θωρώντς τ ηλκτρικό πδί x (z,t) Aoskzos ωt κι χρησιπιώντς την πρπάνω ξίσωση ν δίξτ ότι τ ντίστιχ γνητικό πδί Βy ικνπιί τη σχέση : B y (z, t) Asin kzsin ωt γ) Ν υπλγιστί τ διάνυσ Poynting γι τ ηλκτργνητικό κύ πυ ρίζυν τ ηλκτρικό πδί Εx κι τ γνητικό πδί Βy τυ ρωτήτς β. Ν υπλγιστί η έση τιή τυ κι ν ξηγηθί πιτικά τ πτέλσ. ) Έστω x (z, t) xˆ κι y (z, t) ŷ, τ ηλκτρικό κι γνητικό πδί ντίστιχ τυ ηλκτργνητικύ κύτς. Σύφων τη διφρική ρφή της 4 ης ξίσωσης Maxwell στ κνό, όπυ J 0, ίνι : t (1) Αλλά : xˆ ŷ ẑ x y z y xˆ z κι x t t xˆ 0 (z, t) 0 y Οπότ η (1) γίντι : y xˆ z t x xˆ y z t x Κι πιδή 1/ η πρπάνω γράφτι τλικά : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 y z 1 t x () β) Πργωγίζντς την Εx(z,t) ως πρς τ χρόν δίνι : t x ωoskzsin ωt Άρ η () δίνι : ω os kzsin ωt y z κι λκληρώνντς ως πρς z πρκύπτι : ω ω y sin ωt oskz dz By sin ωtsinkz (3) k Λόγω της σχέσης δισπράς (7 5) ω = k η (3) τλικά δίνι : B y (z, t) sin kzsin ωt γ) Σύφων την (7 7) τ διάνυσ Poynting ίνι : 1 Α os kz os ωt sin kzsin ωt(xˆ yˆ ) (sin kz os kz)(sin ωt os ωt)zˆ (4) Αλλά : sin kz sin kz os kz κι sin ωt sin ωt os ωt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Άρ η (4) γίντι : 4 sin kz sin ωtzˆ Η έση τιή τυ δινύστς Poynting τόσ ως πρς z, όσ κι ως πρς t ίνι ηδέν, φύ γνικά η έση τιή τυ ηιτόνυ ίνι <sinφ> = 0 γι 0 φ π. Τ πτέλσ υτό ίνι συβιβστό τ γγνός ότι τ πδί κι έχυν τη ρφή στάσιων κυάτων, δηλδή κυάτων τ πί πρένυν ντπισέν σ ι πριχή τυ χώρυ κι πένως δν τφέρυν νέργι. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέ 15 Μτλλικός γωγός κυλινδρικύ σχήτς ήκυς, κτίνς R κι ιδικής ντίστσης ρ, διρρέτι πό ιόρφ κτνηέν ρύ έντσης Ι. Ν υπλγιστύν : ) Η έντση τυ ηλκτρικύ πδίυ κι τυ γνητικύ πδίυ στην πιφάνι τυ γωγύ. β) Ο ρυθός ξόδυ ηλκτργνητικής νέργις, πό τ σωτρικό τυ γωγύ. ) Σύφων τη γνικυένη διτύπωση τυ νόυ τυ Ohm ίνι : J J σε Ε (1) σ όπυ σ = 1/ρ η ιδική γωγιότητ κι λόγω της ιόρφης κτνής τυ ρύτς ίνι : J ẑ πr ẑ, όπυ τ νδιί διάνυσ τυ άξν τυ κυλινδρικύ γωγύ. Συνπώς η (1) δίνι : ẑ ρj ρ πr ẑ () Εφρόζντς τ νό τυ Ampere πί κύκλυ κτίνς r = R υπλγίζτι η έντση τυ γνητικύ πδίυ στην πιφάνι τυ γωγύ. d en πr πr ή δινυστικά φ ˆ (3) πr όπυ φˆ τ νδιί διάνυσ της φπτνικής διύθυνσης στην πιφάνι τυ κυλίνδρυ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 β) Σύφων την (7 7) τ διάνυσ Poynting ίνι : 1 (),(3) ρ πr (ẑ φ) ˆ πr π ρι R 3 rˆ (4) Ο ρυθός ξόδυ ηλκτργνητικής νέργις πό τν γωγό, δηλδή η ισχύς τυ δίντι πό τ πιφνικό λκλήρω τυ δινύστς Poynting πί της πράπλυρης κυλινδρικής πιφάνις (δηλδή ίνι η ρή τυ ). Επένως : P (4) ρ ρι d d πr P (5) 3 ά ά π R πr πιφ πρ ά πλυρης νις πιφ πρ ά πλυρης νις Αλλά η ντίστση τυ γωγύ συνρτήσι των γωτρικών χρκτηριστικών τυ δίντι πό τη σχέση : R ρ πr Άρ η (5) νάγτι στ γνωστό νό τυ Joule : P I R ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778