ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας ωρών στις Συναρτήσεις 0 9-05 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).. Αν η συνάρτηση f είναι -, είναι και γνησίως μονότονη.. Το πεδίο ορισμού της f είναι ίδιο με το πεδίο ορισμού της f.. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε και η συνάρτηση c f c πραγματικός σταθερός αριθμός.. Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο τότε και η συνάρτηση fof ορίζεται στο. είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, όπου 5. Αν f γνησίως αύξουσα στο και g γνησίως φθίνουσα στο, τότε η gof είναι γνησίως αύξουσα στο. 6. Δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες, αν υπάρχουν, ώστε να ισχύει f g 7. Αν f περιττή στο,τότε η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων.. 8. Αν για τις συναρτήσεις f,g είναι ορισμένες σ ένα διάστημα Δ, τότε f g 0 f 0 9. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι ορισμένες σ ένα διάστημα Δ, τότε f g f g. 0. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα (α, β), τότε η f δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις f : για την οποία ισχύει ότι: f f για κάθε. Β. Να δείξετε ότι f. Β. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να εκφράσετε την Β. Αν γνωρίζετε ότι f,,, να βρείτε τα α,β. f συναρτήσει της f. Β. Έστω συνάρτηση g ορισμένη στο για την οποία ισχύει ότι i. Να δείξετε ότι g e,. ii. Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. ΘΕΜΑ Γ ή g 0. f f g e 7 για κάθε. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο με σύνολο τιμών το για την οποία ισχύει ότι. Γ. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f. μ 0,5 f f για κάθε μ 6 μ
Γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία O0,0 και A,. Γ. Να λύσετε την εξίσωση f f e 0. Γ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της f. Γ5. Αν υπάρχει αντιστρέψιμη στο συνάρτηση g για την οποία ισχύει ότι f g g f g f f g. για κάθε, να δείξετε ότι: μ μ 6 ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνάρτηση f,, για την οποία ισχύει ότι: f f για κάθε. Δ. Να δείξετε ότι. Δ. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι f f e f f f. Δ. Να λύσετε την εξίσωση: e Δ. Δίνεται συνάρτηση g ορισμένη στο με σύνολο τιμών το, ισχύει ότι f g g e για κάθε. Να δείξετε ότι i. η g αντιστρέφεται. ii. g ln ln για κάθε. για την οποία μ μ 6 Καλή Επιτυχία Στέλιος Μιχαήλογλου
ΛΥΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α. Λ. Λ. Λ. Σ 5. Λ 6. Λ 7. Σ 8. Λ 9. Λ 0. Σ ΘΕΜΑ Β Β. Για είναι f f και για f είναι f f f f f f f f., με f f Β. Έστω, τότε f f f f f. Θέτουμε f y και έχουμε: f y f y f y, άρα οπότε και f y f y, y f f, Β. Είναι f f f. Όμως πρέπει για κάθε. Η τελευταία ισότητα ισχύει μόνο όταν Αν τότε. f. και και Αν τότε f. f f, άρα Β. i. Αν στη σχέση f f αντικαταστήσουμε όπου το g f f g g. Όμως f f g e 7, άρα g e 7 g e g e. προκύπτει: ii. Παρατηρούμε ότι g0 0. Έστω, με, τότε e e και e e g g g. g Για κάθε 0 g g 0 0 g και για κάθε 0 g g 0 0. ΘΕΜΑ Γ, με f f (), τότε f f μέλη των (), () έχουμε: Γ. Έστω () και με πρόσθεση κατά f f f f άρα η f
είναι - και αντιστρέφεται. Θέτουμε f y και η αρχική σχέση γίνεται: y y y y άρα f y y y, y, οπότε και f,. Γ. Παρατηρούμε ότι f 0 0 άρα f f 0 f 0 0 f 0 f άρα f f f f. Γ. f f e 0 f f e f 0 f e 0 f e f f e f e 0 Γ. Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των f και και f είναι συμμετρικές ως προς την y, για να είναι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της αρκεί η C να βρίσκεται πάνω από την y, δηλαδή: f, οπότε και f f f f 0 0, 0, Γ5. Είναι f g gf g f g g gf g f g g gf g f g f και αν αντικαταστήσουμε όπου το g g f g g f g g f f g, δηλαδή g f f g. f - 0 + + + + Γ + + +, έχουμε: ΘΕΜΑ Δ Δ. Για να ορίζεται η f f πρέπει: A f () f Af Αν, τότε, οπότε η σχέση f f δεν ισχύει για κάθε. Αν, τότε από την () έχουμε:, άρα f f. Τότε 0 ύ 5
και f f f f f Δ. Έστω, f f, τότε άρα η f είναι και αντιστρέφεται. f y y y y y y y y (). Αν y, τότε η () γίνεται 0 και είναι αδύνατη. Αν, τότε και πάλι η () είναι αδύνατη. Αν y τότε με Δ. Επειδή y y δηλαδή f f για κάθε y f y, y y, είναι f f,, άρα f f με. e f f f f f e e f f e e e 0 () με e ln ln. h e,. Έστω Για κάθε, με είναι () και e e (5) Με πρόσθεση κατά μέλη των () και (5) έχουμε: e e e e h h h h h h 0 0 δεκτή., με g g, τότε f g f g Δ. i. Έστω ii. f g g f g g g και e e g και αντιστρέφεται. y y y y f y y e y e e ln y y y, άρα y g y ln, y, οπότε y g ln ln ln ln ln, 6