Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Note de curs -

Brutus Demşoreanu Mecanica analitică - Note de curs - TIMIŞOARA 2003

Tehnoredactarea în L A TEX 2ε aparţine autorului. Copyright c 2003, B. Demşoreanu

Cuprins I Mecanica newtoniană 7 1 Elemente de cinematica punctului 9 1.1 Traiectoria punctului, viteza........................... 9 1.2 Hodograful mişcării, acceleraţia......................... 11 1.3 Clasificarea mişcărilor.............................. 13 1.4 Viteza areolară.................................. 14 2 Principiile Galilei-Newton 15 2.1 Enunţuri...................................... 15 2.2 Problema determinării mişcării......................... 17 2.3 Mişcarea relativă................................. 19 2.4 Sisteme inerţiale.................................. 23 3 Dinamica punctului material 25 3.1 Integralele prime ale mişcării........................... 25 3.2 Teoreme generale................................. 26 3.2.1 Teorema impulsului............................ 26 3.2.2 Teorema momentului cinetic....................... 26 3.2.3 Teorema energiei............................. 28 3.3 Dinamica punctului supus la legături...................... 31 4 Dinamica sistemelor de puncte materiale 34 4.1 Teoreme generale................................. 35 4.1.1 Teorema impulsului şi teorema mişcării centrului de masă....... 35 4.1.2 Teorema momentului cinetic....................... 36 4.1.3 Teorema energiei............................. 39 5 Solidul rigid 44 5.1 Precizarea poziţiei rigidului în spaţiu...................... 44 5.1.1 Gradele de libertate ale rigidului.................... 44 5.1.2 Matricea de rotaţie............................ 45 5.1.3 Unghiurile Euler. Vectorul rotaţie.................... 47 5.2 Momente de inerţie. Caracteristicile dinamice ale rigidului.......... 51 5.2.1 Momentul de inerţie al rigidului în raport cu o axă.......... 52 5.2.2 Elipsoidul de inerţie........................... 54 3

4 CUPRINS 5.2.3 Impulsul, momentul cinetic şi energia cinetică............. 56 5.3 Dinamica solidului rigid............................. 57 5.3.1 Ecuaţiile de mişcare ale rigidului liber................. 57 5.3.2 Mişcarea rigidului cu axă fixă...................... 59 5.3.3 Mişcarea rigidului cu punct fix...................... 64 II Mecanica lagrangeeană 77 6 Concepte fundamentale 79 6.1 Legături şi deplasări............................... 79 6.2 Determinarea mişcării. Axioma legăturilor ideale............... 83 6.3 Ecuaţia generală a dinamicii........................... 84 6.3.1 Principiul deplasărilor virtuale...................... 86 7 Sisteme olonome 88 7.1 Coordonate generalizate. Spaţiul configuraţiilor................ 88 7.2 Ecuaţiile Lagrange pentru sisteme olonome................... 90 7.3 Teorema energiei. Forţe potenţiale şi nepotenţiale............... 93 7.4 Sisteme naturale................................. 97 7.5 Impulsuri generalizate. Coordonate ciclice................... 100 7.6 Teoreme generale şi legi de conservare...................... 101 7.6.1 Conservarea impulsului.......................... 101 7.6.2 Conservarea momentului cinetic..................... 103 7.6.3 Conservarea energiei........................... 104 8 Sisteme neolonome 106 8.1 Ecuaţiile Lagrange pentru sisteme neolonome................. 106 9 Problema celor două corpuri 109 9.1 Masa redusă. Problema echivalentă....................... 109 9.2 Mişcarea în câmp central............................. 111 9.3 Mişcarea kepleriană................................ 117 9.4 Împrăştierea particulelor într-un câmp de forţe centrale............ 122 III Mecanica hamiltoniană 127 10 Ecuaţiile lui Hamilton 129 10.1 Coordonate canonice. Spaţiul fazelor...................... 129 10.2 Coordonatele ciclice şi funcţia lui Routh.................... 133 10.3 Parantezele Poisson................................ 135

CUPRINS 5 11 Principiile variaţionale ale mecanicii 139 11.1 Principiul lui Hamilton.............................. 139 11.2 Forma canonică a principiului lui Hamilton................... 142 11.3 Invariantul integral fundamental Poincaré-Cartan............... 144 11.4 Invariantul integral universal Poincaré..................... 148 12 Transformări canonice. Metoda Hamilton-Jacobi 150 12.1 Ecuaţiile transformărilor canonice........................ 150 12.2 Ecuaţia şi teorema Hamilton-Jacobi....................... 156 12.3 Metoda separării variabilelor........................... 160 IV Mecanica mediilor deformabile 163 13 Noţiunile fundamentale 165 13.1 Principii generale................................. 165 13.2 Teoria geometrică a micilor deformaţii..................... 169 13.3 Tensorul tensiunilor. Legea de mişcare..................... 173 13.4 Legi constitutive. Ecuaţiile lui Lamé şi Navier-Stokes............. 176 13.4.1 Medii elastice............................... 176 13.4.2 Fluide reale şi ideale........................... 178 Bibliografie 179

6 CUPRINS

I. Mecanica newtoniană

Capitolul 1 Elemente de cinematica punctului În cadrul disciplinelor teoretice, pornind de la câteva enunţuri generale numite principii, sunt deduse, folosind un aparat matematic adecvat, legile şi proprietăţile fenomenelor şi proceselor descrise în cadrul disciplinelor experimentale. Dacă unele rezultate nu concordă la un moment dat cu realitatea, se impune reformularea sau completarea principiilor, caz în care în mod necesar se extinde şi obiectul de studiu. Situaţia cea mai semnificativă în acest sens o constituie mecanica relativistă al cărei obiect de studiu îl reprezintă în special mişcarea microparticulelor la viteze mari, care cuprinde ca un un caz particular limită şi mecanica clasică. Modul în care, pornind de la câteva concepte generale, pot fi deduse coerent proprietăţile unor mărimi mecanice cunoscute încă din şcoală, va fi ilustrat prin prezentarea unor elemente de cinematica punctului. 1.1 Traiectoria punctului, viteza Admiţând că spaţiul este tridimensional, omogen şi izotrop, poziţia unui punct P în raport cu un reper fix este precizată prin vectorul său de poziţie r, care în sistemul cartezian are coordonatele scalare x, y, z : r = x ı + y j + z k (1.1) Presupunând în plus că timpul t se scurge uniform spre valori pozitive de la o origine arbitrară de măsurare, dacă punctul ocupă la fiecare moment o altă poziţie în spaţiu, vectorul de poziţie al punctului devine funcţie de parametrul t : r = r(t) (1.2) ceea ce reprezintă ecuaţia vectorială a traiectoriei punctului P. Având în vedere (1.1), din (1.2) rezultă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei : x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) (1.3) Ecuaţia propriu-zisă a traiectoriei rezultă prin eliminarea succesivă a parametrului t, ea reprezentând curba după care se intersectează două suprafeţe având ecuaţiile generale ϕ(x, y, z) = 0 şi ψ(x, y, z) = 0. 9

10 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE CINEMATICA PUNCTULUI Prin definiţie, viteza medie a punctului P în intervalul de timp t, este : v m = r t Viteza momentană a punctului P la momentul t se obţine făcând t 0 : (1.4) r v = lim t 0 t = lim r(t + t) r(t) t 0 t = d r dt = r (1.5) Este evident (v. Fig. 1.1.b) că vectorul v este orientat după tangenta la traiectorie în P sensul fiind dat de direcţia în care decurge mişcarea. Figura 1.1: Traiectoria punctului, viteza Din definiţia (1.5) şi folosind (1.1), rezultă : v = v x ı + v y j + v z k = ẋ ı + ẏ j + ż k (1.6) adică proiectia vitezei pe una din axe este egală cu viteza proiecţiei vectorului de poziţie pe axa respectivă (afirmaţia este adevărată numai în sistemul de referinţă cartezian!). Mărimea vitezei va fi : v v = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 (1.7) Rezultate similare pot fi obţinute pornind de la ecuaţia orară a mişcării. Dacă traiectoria este o curbă rectificabilă care are în fiecare punct o tangentă unică, poziţia unui punct P pe traiectorie poate fi determinată cunoscând valoarea s a arcului socotit pe curbă începând de la o origine dată P 0 a arcelor, precum şi sensul pozitiv de măsurare al arcelor : Eliminând timpul din ecuaţiile (1.2) şi (1.8), se va putea scrie că : s = s(t) (1.8) r = r(s) (1.9) din definiţia (1.5), rezultând : v = d r dt = d r ds ds dt = ṡ τ (1.10)

1.2. HODOGRAFUL MIŞCĂRII, ACCELERAŢIA 11 unde d r = τ (1.11) ds reprezintă versorul tangentei la traiectorie în P, orientată în sensul pozitiv de măsurare al arcelor (v. Fig. 1.1.c). Mărimea vitezei va fi : v = ṡ (1.12) deoarece derivata ṡ poate fi pozitivă sau negativă, după cum la momentul respectiv punctul P se deplasează pe traiectorie în acelaşi sens, sau în sens contrar, cu cel de măsurare al arcelor. 1.2 Hodograful mişcării, acceleraţia Dacă este dată traiectoria mişcării r = r(t) şi dacă se cunoaşte în fiecare punct al traiectoriei vectorul viteză momentană, poate fi construit într-un punct O din spaţiu un sistem de vectori concurenţi, astfel încât fiecare să fie egal şi paralel cu una din vitezele v(t) pe care le Figura 1.2: Hodograful mişcării ia succesiv punctul material pe traiectorie (v. Fig. 1.2). Unind extremităţile acestor vectori se obţine o curbă numită hodograful mişcării. Un punct A se va deplasa pe această curbă cu o anumită viteză. Prin analogie, viteza momentană a lui A la momentul t va fi notată cu v, vectorul reprezentând viteza de variaţie a vitezei punctului material, adică acceleraţia punctului : a(t) = v(t) = r(t) (1.13) Componentele carteziene ale vectorului acceleraţie vor rezulta din egalitatea : a = a x ı + a y j + a z k = ẍ ı + ÿ j + z k (1.14) iar mărimea acestui vector la un moment dat va fi : a a = ẍ 2 + ÿ 2 + z 2 (1.15)

12 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE CINEMATICA PUNCTULUI Dacă traiectoria punctului este o curbă plană, atunci şi hodograful mişcării este tot o curbă plană, forma celor două curbe fiind în general esenţial diferită. În ceea ce priveşte orientarea în spaţiu a vectorului acceleraţie momentană, unicul lucru care poate fi afirmat în acest stadiu al raţionamentului este că acesta trebuie să fie tangent la hodograful mişcării, observaţia fiind nesemnificativă din punct de vedere intuitiv. Apelând din nou la ecuaţia orară a mişcării, care a condus la rezultate corecte pentru precizarea orientării în spaţiu a vectorului viteză, se va putea scrie succesiv : a = d2 r dt 2 = d dt ( ) d r = d ( d r dt dt ds ) ds = d ( d τ dt dt (ṡ τ) = s τ + ṡ ds ) ds = s τ + ṡ 2 d τ dt ds (1.16) Derivata d τ reprezintă vectorul de curbură în punctul P, mărimea şi orientarea sa fiind ds dată de prima formulă a lui Frenet : d τ ds = 1 ν (1.17) ρ Aici ρ reprezintă raza de curbură în punctul P, iar ν este versorul normalei principale care este orientată întotdeauna spre centrul de curbură C (v. Fig. 1.3). Folosind formula (1.17), expresia acceleraţiei devine : Figura 1.3: Raza de curbură şi normala principală a = s τ + ṡ2 ρ ν (1.18) Astfel, vectorul acceleraţie se găseşte tot timpul într-un plan determinat de tangenta şi normala principală la traiectorie în punctul respectiv, numit plan osculator. Componentele acceleraţiei pe cele două direcţii reciproc perpendiculare vor fi (v. Fig. 1.4) : - acceleraţia tangenţială : a τ = s - acceleraţia normală : a ν = ṡ2 ρ = v2 ρ (1.19)

1.3. CLASIFICAREA MIŞCĂRILOR 13 mărimea vectorului acceleraţie fiind dată de expresia : a = a 2 τ + a 2 ν = s 2 + ṡ4 ρ = s 2 + v4 (1.20) 2 ρ 2 Figura 1.4: Planul osculator 1.3 Clasificarea mişcărilor În funcţie de valorile pe care le pot lua componentele acceleraţiei în planul osculator, pot fi făcute câteva observaţii interesante : a) a τ = 0 : s = 0 : v = ṡ = const. Mişcarea curbilinie este uniformă ; b) sgn a τ = sgn ṡ. Acceleraţia tangenţială fiind orientată în sensul mişcării, viteza creşte în valoare absolută şi mişcarea este accelerată. Într-adevăr, deoarece a τ = dṡ dt şi observând că întotdeauna dt > 0, din a τ > 0 şi ṡ > 0 rezultă dṡ = d ṡ = dv > 0. Raţionând analog în cazul a τ < 0 şi ṡ < 0, rezultă dṡ = d ṡ < 0, adică tot d ṡ = dv > 0 ; c) sgn a τ sgn ṡ. Reluând raţionamentul anterior, se arată că viteza scade în valoare absolută şi deci mişcarea este încetinită (decelerată) ; d) a τ = const. Mişcarea este uniform variată, ea putând fi uniform accelerată sau uniform încetinită ; e) deoarece a ν = v2 > 0, acceleraţia normală este orientată întotdeauna spre centrul de ρ curbură ; f) a ν = 0. Deoarece v 0, situaţia este posibilă numai dacă ρ, adică în punctele de inflexiune ale traiectoriei, sau când mişcarea este rectilinie ; g) singura mişcare pentru care acceleraţia este nulă este mişcarea rectilinie şi uniformă, deoarece a = 0 numai dacă simultan a ν = 0 şi a τ = 0.

14 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE CINEMATICA PUNCTULUI 1.4 Viteza areolară Dacă la momentul t, vectorul de poziţie al unui punct P de pe traiectorie este r, iar viteza sa este v, atunci prin definiţie vectorul viteză areolară Ω are expresia : Ω = 1 ( r v) (1.21) 2 Interpretarea geometrică a mărimii acestui vector se bazează pe observaţia că da = 1 r d r (1.22) 2 reprezintă aria măturată de vectorul de poziţie r la o deplasare elementară d r a punctului P pe traiectorie (v. Fig. 1.5). Pentru deducerea formulei (1.22) s-a folosit proprietatea produsului vectorial a b = a b sin( a, b). Folosind această observaţie, din (1.21) rezultă : Ω = da dt (1.23) deci mărimea vitezei areolare reprezintă viteza de variaţie a ariei măturate de vectorul de poziţie al punctului. Figura 1.5: Viteza areolară Dacă traiectoria este conţinută în planul xoy, atunci se verifică uşor următoarea expresie în coordonate polare : Ω = 1 2 r2 θ k (1.24)

Capitolul 2 Principiile Galilei-Newton 2.1 Enunţuri La baza mecanicii clasice stă principiul inerţiei, pus în evidenţă experimental de Galilei şi formulat matematic de Newton ca prima lege a mecanicii : Orice corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă, dacă asupra lui nu acţionează forţe care să-i modifice starea. Aici prin corp se înţelege un punct material, adică un punct geometric căruia i se asociază o masă. Trebuie observat că în realitate un corp se găseşte întotdeauna în interacţiune cu un alt corp din Univers, însă această interacţiune poate fi micşorată (în cazul îndepărtării corpului respectiv), anulată (prin acţiunea unui alt corp), iar interacţiunile care nu pot fi anulate (ca de exemplu frecările) pot fi făcute oricât de mici utilizând metode tehnice adecvate. Posibilitatea unui corp de a rămâne un timp nedefinit în stare de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă (stări naturale ale corpurilor), în absenţa forţelor exterioare, conduce la proprietatea numită inerţie intrinsecă a corpurilor. Definind masa m ca măsură a inerţiei corpului, respectiv ca măsură a modului în care corpul se opune variaţiei stării sale naturale, precum şi impulsul (cantitatea de mişcare) p = m v, enunţul matematic al prinicipiului inerţiei se reduce la expresia : p = const. (2.1) Deoarece din principiul inerţiei rezultă că poate exista mişcare şi în absenţa forţelor, nu se poate stabili o legătură directă între viteză şi forţă, aşa cu credea Aristotel. Se sugerează astfel ideea că nu mişcarea, ci variaţia mişcării ar trebui să fie proporţională cu forţa. Principiul inerţiei nu permite determinarea concretă a stării de repaus, sau de mişcare rectilinie şi uniformă a corpului. În acest sens Galilei a făcut observaţia că pentru a cunoaşte precis starea corpului la orice moment, vor trebui cunoscute poziţia şi viteza sa la momentul iniţial t 0 al mişcării. Principiul condiţiilor iniţiale afirmă că starea iniţială a corpului determină în mod unic mişcarea acestuia. Deoarece la un moment t ulterior lui t 0, dar suficient de apropiat, se poate scrie : r(t) = r(t 0 ) + (t t 0) 1! r(t 0 ) + (t t 0) 2 r(t 0 + ε t) 2! ; t = t t 0, 0 < ε < 1 (2.2) 15

16 CAPITOLUL 2. PRINCIPIILE GALILEI-NEWTON rezultă că dacă se cunoaşte starea iniţială a corpului, pentru cunoaşterea mişcării sale este necesară şi determinarea acceleraţiei sale (v. ultimul termen), dacă aceasta este diferită de zero. Astfel, şi acest principiu sugerează existenţa unei legături dintre forţă şi variaţia mişcării. Folosind observaţiile care decurg din primele două principii, poate fi postulat cel de al treilea principiu care stă la baza mecanicii, anume principiul acţiunii forţelor (legea a doua a lui Newton). Variaţia mişcării este proporţională cu forţa motoare imprimată şi este dirijată după linia dreaptă în lungul căreia este imprimată forţa. Dacă F este forţa care acţionează asupra corpului, expresia matematică a principiului este dată de ecuaţia : p = d p dt = F (2.3) constanta de proporţionalitate în (2.3) fiind considerată unitatea. Postulând în mecanica clasică că masa m = const., ecuaţia (2.3) se mai scrie : m v = m a = F (2.4) unde în general forţa F = F (t, r, r) este dată. Din (2.3) rezultă că forţa F ar reprezenta o măsură a interacţiunii corpului cu mediul, însă trebuie observat că forţa nu poate fi considerată ca o măsură universală a interacţiunii, deoarece există situaţii în care interacţiunea nu poate fi caracterizată printr-o forţă. Legea a doua a lui Newton se bazează de asemenea pe o serie de observaţii experimentale. Dacă se studiază alunecarea fără frecare a unui corp pe un plan înclinat, se verifică uşor că variaţia vitezei este proporţională cu componenta greutăţii în lungul planului şi că ea este orientată după direcţia forţei. Pe de altă parte, se ştie că pentru a scoate un corp din starea sa naturală, este necesară o forţă cu atât mai mare, cu cât masa sa inertă este mai mare. Un alt principiu fundamental al mecanicii este cel referitor la egalitatea acţiunii şi reacţiunii (legea a treia a lui Newton). Acţiunile reciproce a două corpuri sunt întotdeauna egale şi dirijate în sensuri contrare. Considerând două puncte materiale A 1 şi A 2 în interacţiune, notând cu F 12 acţiunea pe care o exercită A 2 asupra lui A 1 şi cu F 21 acţiunea lui A 1 asupra lui A 2, conform enunţului va trebui ca : F 12 + F 21 = 0 ; F12 A 1 A 2 (2.5) Deoarece acţiunea implică existenţa unei reacţiuni egale şi de sens contrar, dacă F 12 reprezintă acţiunea lui A 2 asupra lui A 1, atunci F21 va reprezenta reacţiunea corpului A 1. Rolul lui A 2 poate fi jucat şi de un câmp extern. Însăşi legea a doua a lui Newton, scrisă sub forma : F m a = 0 (2.6) poate fi interpretată pe baza principiului enunţat mai sus : dacă F este forţa exercitată de un agent extern asupra punctului material, atunci punctul produce o reacţiune, o forţă aplicată

2.2. PROBLEMA DETERMINĂRII MIŞCĂRII 17 agentului, egală cu m a. Forţa m a poartă numele de forţă de inerţie, ea fiind datorată inerţiei punctului material. Aceste principii sunt completate de obicei de principiul independenţei acţiunii forţelor, care stabileşte că diferitele forţe la care este supus punctul material acţioneză independent. Astfel, mai multe forţe care acţionează simultan asupra punctului pot fi înlocuite cu rezultanta lor, şi invers, o forţă poate fi descompusă în forţe componente după mai multe direcţii concurente. La enunţarea acestor principii s-a presupus existenţa unui reper absolut şi a unei cronologii absolute, la care este raportată mişcarea. Se va arăta ulterior că aceste principii îşi păstrează valabilitatea pentru o clasă întreagă de repere, care vor fi numite inerţiale. Cele cinci principii enunţate în acest paragraf, la care se adaugă afirmaţiile referitoare la spaţiu, timp şi masă, alcătuiesc un sistem complet de axiome care pot fi puse la baza mecanicii clasice. 2.2 Problema determinării mişcării Admiţând că forţa F (t, r, r) este o mărime fizică dată, proiectând ecuaţia lui Newton m r = F pe axele unui sistem cartezian de coordonate : m ẍ = F x (t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż) m ÿ = F y (t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż) m z = F z (t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż) (2.7) rezultă un sistem de trei ecuaţii diferenţiale de ordinul doi, cu condiţiile iniţiale : x(t 0 ) = x 0, ẋ(t 0 ) = ẋ 0 y(t 0 ) = y 0, ẏ(t 0 ) = ẏ 0 (2.8) z(t 0 ) = z 0, ż(t 0 ) = ż 0 Soluţia sistemului (2.7) conduce la determinarea mişcării, adică a funcţiilor : x = x(t) y = y(t) z = z(t) (2.9) Făcând notaţiile : q 1 = x, q 2 = y, q 3 = z, q 4 = ẋ, q 5 = ẏ, q 6 = ż Q 1 = ẋ, Q 2 = ẏ, Q 3 = ż, Q 4 = F x m, Q 5 = F y m, Q 6 = F z m (2.10) sistemul (2.7) se reduce la un sistem de şase ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi cu şase funcţii necunoscute q i = q i (t) ; i = 1,..., 6 : q i = Q i (t, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6 ) ; i = 1,..., 6 (2.11)

18 CAPITOLUL 2. PRINCIPIILE GALILEI-NEWTON fiind cunoscute condiţiile iniţiale : q i (t 0 ) = q 0 i ; i = 1,..., 6 (2.12) Dacă în mărimile Q i ; i = 1,..., 6 intervine explicit timpul, sistemul este neautonom, iar dacă timpul nu intervine explicit în mărimile respective, sistemul este numit autonom sau dinamic. Majoritatea fenomenelor mecanice sunt descrise de sisteme dinamice. Problema integrării sistemului (2.11) cu condiţiile iniţiale (2.12) este cunoscută în matematică sub numele de problema Cauchy. Din teoria ecuaţiilor diferenţiale se ştie că dacă funcţiile Q i (t, q 1,..., q 6 ) ; i = 1,..., 6 şi deci şi funcţiile F x, F y, F z, sunt continue, atunci soluţia problemei Cauchy există (teorema lui Peano). Soluţia este unică, dacă funcţiile respective satisfac condiţia lui Lipschitz, adică pentru orice pereche (q (1) 1,..., q (1) 6 ) şi (q (2) 1,..., q (2) 6 ) există constantele pozitive A j ; j = 1,..., 6 aşa încât : Q i (t, q (1) 1,..., q (1) 6 ) Q i (t, q (2) 1,..., q (2) 6 6 ) j=1 (1) A j q j q (2) j ; i = 1,..., 6 (2.13) Dacă sistemul (2.11) este dinamic, şi dacă funcţiile Q i (q 1,..., q 6 ) ; i = 1,..., 6 şi deci şi funcţiile F x ( r, r), F y ( r, r), F z ( r, r) sunt de clasă C 1, atunci condiţia lui Lipschitz este întotdeauna satisfăcută. Dacă sunt îndeplinite condiţiile de existenţă şi unicitate, atunci soluţia generală a sistemului (2.11) depinde de şase constante de integrare : q i = q i (t, C 1,..., C 6 ) ; i = 1,..., 6 (2.14) care pot fi determinate impunând condiţiile iniţiale (2.12) : q 0 i = q i (t 0, C 1,..., C 6 ) ; i = 1,..., 6 (2.15) Odată cu teorema de existenţă şi unicitate se demonstrază că soluţia (2.14) este de clasă C 2 şi de asemenea că : q1 0 q 0 1... C 1 C 6.. = (q0 1,..., q6) 0 q6 0 q6 0 (C 1,..., C 6 ) 0 (2.16)... C 1 C 1 ceea ce înseamnă că sistemul algebric (2.15) poate fi rezolvat în raport cu necunoscutele C i ; i = 1,..., 6 : C i = C i (t 0, q1, 0..., q6) 0 ; i = 1,..., 6 (2.17) Soluţia generală a sistemului (2.11) va fi astfel : q i = f i (t, t 0, q 0 1,..., q 0 6) ; i = 1,..., 6 (2.18) Revenind la notaţiile fizice, soluţia generală a sistemului (2.7) cu condiţiile iniţiale (2.8) se scrie : x = f x (t, t 0, x 0, y 0, z 0, ẋ 0, ẏ 0, ż 0 ) y = f y (t, t 0, x 0, y 0, z 0, ẋ 0, ẏ 0, ż 0 ) z = f z (t, t 0, x 0, y 0, z 0, ẋ 0, ẏ 0, ż 0 ) (2.19)

2.3. MIŞCAREA RELATIVĂ 19 În concluzie, dacă forţa satisface condiţiile de existenţă şi unicitate pentru soluţie, atunci ecuaţia lui Newton şi condiţiile iniţiale determină în mod univoc mişcarea, într-un interval finit de timp. Tot cu ajutorul ecuaţiei lui Newton se defineşte şi condiţia de echilibru a punctului material, sub influenţa unor forţe date. Se ştie că dacă la momentul t 0 poziţia punctului este r(t 0 ) = r 0 şi viteza sa este v(t 0 ) = 0, iar la un moment ulterior t > t 0 poziţia punctului rămâne aceeaşi r(t) = r 0, atunci avem de a face cu o poziţie de echilibru. Scriind că ecuaţia lui Newton este verificată de această soluţie, rezultă : F (t, r 0, 0) = 0 (2.20) În baza teoremei de unicitate, soluţia (2.20) reprezintă nu numai o condiţie necesară ci şi una suficientă de echilibru. Pentru ca un punct material să fie în echilibru într-o poziţie r 0, este necesar şi suficient ca în poziţia respectivă, rezultanta forţelor ce acţionează asupra punctului să fie nulă. Trebuie observat că dacă F depinde explicit de timp, atunci ecuaţia (2.20) nu admite în general o soluţie constantă r 0, oricare ar fi timpul t. Dacă însă F nu depinde de timp, atunci din (2.20) rezultă, prin proiectare pe cele trei axe, un sistem algebric de trei ecuaţii scalare : F x (x 0, y 0, z 0 ) = 0 F y (x 0, y 0, z 0 ) = 0 F z (x 0, y 0, z 0 ) = 0 care permite determinarea coordonatelor poziţiei de echilibru r 0. (2.21) 2.3 Mişcarea relativă Principiile Galilei-Newton au fost enunţate în ipoteza că mişcarea este raportată la un sistem de referinţă fix O 1 x 1 y 1 z 1. Raportând mişcarea la un sistem de referinţă mobil Oxyz, Figura 2.1: Mişcarea relativă

20 CAPITOLUL 2. PRINCIPIILE GALILEI-NEWTON ne interesează forma ecuaţiei de mişcare faţă de acest sistem. Mişcarea sistemului mobil în raport cu cel fix este cunoscută dacă sunt date funcţiile r O (t), ı(t), j(t) şi k(t) (v. Fig. 2.1). Mişcarea punctului P în raport cu sistemul fix O 1 x 1 y 1 z 1 va fi numită mişcare absolută, iar mişcarea aceluiaşi punct faţă de sistemul mobil Oxyz va fi numită mişcare relativă. Să observăm pentru început că orientările axelor sistemului Oxyz în raport cu orientările axelor sistemului O 1 x 1 y 1 z 1 sunt determinate doar de trei parametrii independenţi. Întradevăr, deşi direcţiile versorilor ı, j, k sunt date de nouă consinuşi directori, întrucât între aceşti versori există şase relaţii (condiţiile de ortonormare) : ı ı = 1, j j = 1, k k = 1 ı j = 0, j k = 0, k ı = 0 (2.22) prin elimiare, rămân doar trei parametri independenţi care determină în întregime orientarea lui Oxyz în raport cu O 1 x 1 y 1 z 1. Pe de altă parte, derivând relaţiile (2.22) după timp : ı ı = 0, j j = 0, k k = 0 ı j = j ı, j k = k j, k ı = ı k (2.23) şi făcând notaţiile : ı j = ω z, j k = ωx, k ı = ω y (2.24) rezultă că componentele vectorilor ı, j, k pe axele sistemului Oxyz sunt : ı = (0, ω z, ω y ), j = ( ωz, 0, ω x ), k = (ω y, ω x, 0) (2.25) adică se va putea scrie (formulele lui Poisson) : ı = ω ı, j = ω j, k = ω k (2.26) unde vectorul ω(ω x, ω y, ω z ) caracterizează rotaţia la un moment dat a sistemului Oxyz în raport cu O 1 x 1 y 1 z 1 şi de aceea poartă numele de vectorul rotaţie. Componentele (2.24) ale acestui vector pot fi folosite de asemenea pentru a preciza orientătile axelor sistemului mobil în raport cu cele ale sistemului fix. Semnificaţia fizică a vectorului rotaţie poate fi pusă foarte uşor în evidenţă examinând cazul particular când sistemul mobil este rotit în raport cu cel fix cu unghiul ψ în jurul axei Oz 1, care coincide cu axa Oz (v. Fig. 2.2). Deoarece : ı = cos ψ ı 1 + sin ψ j 1, ı = ψ ( sin ψ ı 1 + cos ψ j 1 ) = ψ j j = sin ψ ı 1 + cos ψ j 1, j = ψ ( cos ψ ı 1 + sin ψ j 1 ) = ψ ı k = k1, k = 0 (2.27) folosind definiţiile (2.24) rezultă : ω x = j k = 0, ω y = k ı = 0, ωz = ı j = ψ (2.28)

2.3. MIŞCAREA RELATIVĂ 21 Figura 2.2: Rotaţia cu unghiul ψ în jurul axei Oz 1 În consecinţă, în situaţia studiată, vectorul rotaţie are drept suport chiar axa în jurul căreia a avut loc rotaţia. Observaţia îşi păstrează valabilitatea şi în cazul unor rotaţii în jurul unor axe de tip Ox sau Oy, sau în cazul unei rotaţii un jurul unei axe având o orientare oarecare, când toate cele trei componente ale vectorului rotaţie pot fi diferite de zero. Legătura dintre derivata unui vector V raportat la sistemul fix şi derivata aceluiaşi vector, însă raportat la sistemul mobil, se obţine derivând după timp identitatea : şi folosind formulele lui Poisson : V x1 ı 1 + V y1 j 1 + V z1 k1 = V x ı + V y j + V z k (2.29) V x1 ı 1 + V y1 j 1 + V z1 k1 = V x ı + V y j + V z k + Vx ı + Vy j + Vz k = = V x ı + V y j + V z k + ω (Vx ı + V y j + V z k) (2.30) Definind derivata absolută a vectorului V, raportat la sistemul fix : d V dt = V x1 ı 1 + V y1 j 1 + V z1 k1 (2.31) şi derivata relativă a aceluiaşi vector V, raportat la sistemul mobil, calculată ca şi cum versorii ı, j, k nu ar depinde de timp : relaţia (2.30) devine : d V dt = V x ı + V y j + V z k (2.32) dv dt = d V dt + ω V (2.33) unde în membrul drept, vectorul V este raportat la sistemul mobil. Folosind (2.33), pot fi deduse expresiile vitezei şi acceleraţiei punctului în mişcarea relativă. Conform Fig. 2.1, se poate scrie că : r 1 = r O + r (2.34)

22 CAPITOLUL 2. PRINCIPIILE GALILEI-NEWTON Derivând această relaţie după timp, rezultă : Aici : d r 1 dt = d r O dt + d r + ω r (2.35) dt v a = d r 1 dt reprezintă viteza punctului P în raport cu sistemul fix, adică viteza absolută, iar v r = d r dt (2.36) (2.37) reprezintă viteza aceluiaşi punct P în raport cu sistemul mobil, adică viteza relativă. Notând cu : v t = v O + ω r (2.38) viteza pe care ar avea-o punctul P dacă ar fi legat solidar de sistemul Oxyz, adică viteza de transport, formula de compunere a vitezelor în mişcarea relativă va fi : Aici : v a = v O + v r + ω r = v r + v t (2.39) Derivând încă o dată după timp relaţia (2.35), se obţine : d 2 r 1 dt 2 = d2 r O dt 2 = d2 r O dt 2 + d 2 r dt 2 + ω d r dt + d ω dt r + ω d r + ω ( ω r) dt + d 2 r dt 2 + 2 ω v r + ω r + ω ( ω r) (2.40) a a = d2 r 1 dt 2 (2.41) reprezintă acceleraţia punctului P în raport cu sistemul fix, adică acceleraţia absolută, iar a r = d 2 r dt 2 (2.42) reprezintă acceleraţia aceluiaşi punct P în raport cu sistemul mobil, adică acceleraţia relativă. Notând : a t = a O + ω r + ω ( ω r) (2.43) acceleraţia de transport, care se compune din acceleraţia de translaţie a originii O, din acceleraţia unghiulară ω r şi din acceleraţia centripetă ω ( ω r), şi a c = 2 ω v r (2.44) acceleraţia Coriolis, care se datoreşte rotaţiei sistemului mobil combinată cu mişcarea lui P în raport cu acest sistem, legea de compunere a acceleraţiilor în mişcarea relativă devine : a a = a r + a t + a c (2.45)

2.4. SISTEME INERŢIALE 23 Folosind aceste rezultate, poate fi dedusă ecuaţia mişcării relative. Deoarece ecuaţia lui Newton este adevărată doar dacă mişcarea este raportată la un sistem de referinţă absolut : m a a = F, înlocuind aici pe (2.45) rezultă : de unde pentru mişcarea relativă se obţine ecuaţia : unde s-au făcut notaţiile : m ( a r + a t + a c ) = F (2.46) m a r = F + F t + F c (2.47) F t = m a t = m [ a O + ω r + ω ( ω r) ] F c = m a c = 2 m ω v r (2.48) Se observă că mişcarea relativă a unui punct material poate fi determinată cu ajutorul unei ecuaţii similare cu cea a lui Newton, însă pe lângă forţa dată F, vor trebui introduse două forţe complementare : Ft - forţa de transport şi F c - forţa Coriolis, care se datoresc luării în considerare a mişcării sistemului mobil. Forţele F t şi Fc sunt numite şi forţe inerţiale, deoarece ele sunt proporţionale cu masa inertă a punctului. Acestea sunt nişte forţe reale pentru un observator legat solidar de sistemul de referinţă mobil, spre deosebire de observatorul din sistemul fix pentru care aceste forţe complementare nu există. Folosind ecuaţia (2.47) poate fi scrisă uşor condiţia de echilibru relativ în sistemul mobil : F + F t = 0 (2.49) deoarece în această situaţie v r = a r = 0 şi deci F c = 0. 2.4 Sisteme inerţiale Se observă că dacă simultan ω = 0 şi a O = 0, atunci se anulează forţele complementare care acţionează asupra punctului în mişcarea relativă. Invers, dacă F t = 0 şi F c = 0 pentru orice r, atunci obligator va trebui ca ω = 0 şi a O = 0. Condiţia ω = 0 implică faptul că versorii ı, j, k au direcţii fixe, aşa încât în particular ei pot fi aleşi coliniari cu versorii ı 1, j 1, k 1. Condiţia a O = 0 implică relaţia evidentă ( v O = v O 0 = const.) : r O (t) = v O 0 t + r O 0 (2.50) adică originea O a sistemului mobil se găseşte în mişcare rectilinie uniformă, sau în repaus dacă v 0 O = 0, în raport cu sistemul fix. Astfel, dacă sistemul mobil efectuează o mişcare de translaţie rectilinie uniformă în raport cu cel fix, ecuaţia de mişcare a punctului material are aceeaşi formă generală în ambele sisteme de referinţă. Observând că principiul inerţiei se prezintă la fel în ambele sisteme de referinţă, deoarece din formula de compunere a vitezelor rezultă că dacă v a = const. atunci şi v r = const., iar principiul egalităţii acţiunii şi reacţiunii este independent de sistemul de referinţă ales, se poate afirma că legile lui Newton şi deci principiile mecanicii newtoniene se prezintă la fel în sistemele de referinţă aflate în mişcare de translaţie

24 CAPITOLUL 2. PRINCIPIILE GALILEI-NEWTON rectilinie şi uniformă unele faţă de altele. Aceste sisteme sunt numite şi sisteme inerţiale, deoarece conservă principiul inerţiei. Evident, prin experienţe pur mecanice, nu poate fi detectat din interiorul unui astfel de sistem, faptul că acesta se găseşte în mişcare de translaţie rectilinie şi uniformă. Aceste observăţii reunite alcătuiesc principiul relativităţii galileene. Ipoteza privind existenţa unui sistem de referinţă fix îşi pierde importanţa, deoarece din punctul de vedere a relativităţii galileene, nu mai este necesară luarea în considerare a unui sistem privilegiat. Presupunând că la momentul iniţial originile a două sisteme inerţiale coincid ( r O 0 = 0) şi notând cu v 0 viteza relativă de translaţie, din (2.34) şi (2.50) rezultă relaţiile dintre coordonatele aceluiaşi punct în cele două sisteme de referinţă : x 1 = v 0 x t + x y 1 = v 0 y t + y z 1 = v 0 z t + z (2.51) Ecuaţiile (2.51) sunt cunoscute şi sub numele de transformarea lui Galilei. Principiul relativităţii galileene poate fi reformulat şi în sensul că legile mecanicii newtoniene sunt invariante în raport cu transformarea lui Galilei.

Capitolul 3 Dinamica punctului material 3.1 Integralele prime ale mişcării După cum s-a arătat, dacă sunt îndeplinite anumite condiţii, ecuaţiile de mişcare : m r = F (t, r, r) (3.1) admit o soluţie unică care depinde de şase constante de integrare, care se determină impunând condiţiile iniţiale. În o serie de situaţii, problema determinării mişcării este mult simplificată dacă sunt cunoscute una sau mai multe integrale prime ale mişcării. Vom numi integrală primă a ecuaţiilor de mişcare (3.1), o funcţie de timp, de coordonata şi viteza punctului, care în cursul mişcării îşi păstrează o valoare constantă, determinată de condiţiile iniţiale : f(t, r, r) = C unde C = f(t 0, r 0, r 0 ) (3.2) Dacă este cunoscut setul complet de şase integrale prime independente de forma (3.2) : f α (t, r, r) = C α ; α = 1,..., 6 (3.3) problema determinării mişcării se reduce la rezolvarea sistemului algebric (3.3), care conduce la determinarea dependenţei de timp a vectorului de poziţie (şi a vitezei), în funcţie de cele şase constante care se determină din condiţiile iniţiale. Această situaţie ideală este rar întâlnită, puţine fiind problemele pentru care este posibilă scrierea setului complet de integrale prime independente. După cum rezultă din aplicaţii, chiar dacă este cunoscut un număr mai mic de integrale prime, problema determinării mişcării pornind de la ecuaţiile (3.1) este mult simplificată. Aceste integrale prime ale mişcării pot fi scrise destul de uşor, dacă asupra punctului material este aplicată o forţă de o formă particulară. Cunoaşterea integralelor prime, care exprimă legile de conservare ale unor mărimi fizice importante care caracterizează mişcarea, devine esenţială în problemele pentru care, chiar dacă soluţia există şi este unică, aceasta nu poate fi dedusă prin metode analitice cunoscute. În astfel de situaţii, integralele prime furnizează informaţii cu privire la proprietăţile mişcării punctului material pe traiectorie. 25

26 CAPITOLUL 3. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL 3.2 Teoreme generale 3.2.1 Teorema impulsului Prin definiţie, impulsul unui punct material de masă m care se deplasează cu viteză v, reprezintă mărimea vectorială : p = m v = m r (3.4) Folosind ecuaţia lui Newton m r = F şi axioma constanţei masei, se va putea scrie : m r = m d r dt = d(m r) dt = d p dt = p = F (3.5) adică : mişcarea punctului material se face astfel încât, în orice moment, derivata impulsului este egală cu rezultanta forţelor aplicate punctului. În particular, dacă proiecţia forţei pe o axă arbitrară fixă este nulă la orice moment de timp, atunci proiecţia impulsului pe axa respectivă este o constantă a mişcării. Dacă, de exemplu, axa fixă este Oz şi F z = 0, atunci din (3.5) rezultă : p k = F k = 0 integrala primă având expresia : adică d dt ( p k) = 0 deci p k = const. (3.6) m ż = const. (3.7) Dacă în general F = 0, se obţine următoarea lege de conservare : în cazul în care rezultanta forţelor aplicate punctului material este nulă, atunci impulsul p este constant în tot cursul mişcării (principiul inerţiei). Rezultă trei integrale prime : m ẋ = C x m ẏ = C y (3.8) m ż = C z Să observăm că dacă este nulă proiecţia forţei pe o axă mobilă, atunci nu este obligator ca proiecţia impulsului pe aceeaşi axă să fie o constantă. Într-adevăr, folosind coordonatele polare, F r are expresia : F r = m a r = m ( r r θ 2 ) (3.9) Este evident că din anularea expresiei (3.9) rezultă p r = m v r = m ṙ = const. numai dacă θ = 0, ceea ce este imposibil dacă axa este mobilă. 3.2.2 Teorema momentului cinetic Prin definiţie, momentului cinetic al unui punct material în raport cu o origine O este mărimea vectorială : L = r p = r m r = m ( r v) = 2 m Ω (3.10) Înmulţind vectorial la stânga ecuaţia F = m r cu r şi observând că : r F = r m r = r m d r dt = d dt ( r m r) = d dt ( r p) = d L dt = L (3.11)

3.2. TEOREME GENERALE 27 deoarece M O ( F ) = r F este momentul în O al rezultantei forţelor, se obţine egalitatea : L = M O ( F ) (3.12) adică : mişcarea punctului material se face astfel încât, în orice moment, derivata momentului cinetic este egală cu momentul rezultantei forţelor aplicate, ambele mărimi fiind calculate în raport cu aceeaşi origine. În particular, dacă proiecţia momentului forţei pe o axă fixă este nulă la orice moment de timp, atunci proiecţia momentului cinetic pe aceeaşi axă este o constantă. Alegând drept axă fixă axa Oz, din (3.12) rezultă : adică : L k = M O ( F ) k = 0 adică d dt ( L k) = 0 (3.13) L k = m ( r v) k = 2 m Ω k = const. (3.14) În coordonate carteziene, integrala primă are expresia : m (xẏ yẋ) = const. (3.15) În Fig. 3.1 se presupune că suportul forţei F trece prin axa fixă Oz. Deoarece în această situaţie ( r F ) k = 0, sunt realizate condiţiile cerute de cazul particular descris mai sus. Conform ultimei egalităţi din (3.14), deplasarea punctului pe traiectorie se face astfel, încât proiecţia sa pe orice plan perpendicular pe k se mişcă cu viteză areolară constantă. Figura 3.1: Conservarea momentului cinetic Dacă în general MO ( F ) = 0, atunci din (3.12) rezultă următoarea lege de conservare : în cazul în care momentul rezultantei în O al forţelor aplicate punctului este nul, atunci momentul cinetic L în raport cu acelaşi punct O este constant în tot cursul mişcării. Pot fi scrise integralele prime : m (yż zẏ) = C x m (zẋ xż) = C y (3.16) m (xẏ yẋ) = C z

28 CAPITOLUL 3. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL Această ultimă situaţie se realizează când asupra punctului material acţionează forţe centrale : F = F (r) r (3.17) r Deoarece suportul unei forţe de tip central trece întotdeauna prin origine, momentul acesteia este întotdeauna nul, momentul cinetic se conservă, şi se va putea scrie egalitatea : Observând că : r v = r 0 v 0 (3.18) r ( r v) = r ( r 0 v 0 ) = 0 (3.19) rezultă că sub acţiunea unor forţe de tip central, mişcarea punctului material este întotdeauna plană, vectorul de poziţie r aflându-se tot timpul în planul determinat de vectorii r 0 şi v 0. În acest plan, mişcarea se efectuează cu viteză areolară constantă. Dacă viteza areolară este nulă, atunci r 0 v 0 şi mişcarea este rectilinie. Figura 3.2: Planul mişcării sub acţiunea forţelor centrale 3.2.3 Teorema energiei Energia cinetică reprezintă prin definiţie mărimea scalară : T = 1 2 mv2 = 1 2 m v 2 = 1 2 m r 2 (3.20) Înmulţind scalar cu d r ecuaţia m r = F şi observând că : m r d r = m r r dt = m r d r = d ( 1 2 m r 2) = dt (3.21) notând lucrul mecanic elementar efectuat de rezultanta F a forţelor aplicate cu : dl = F d r (3.22) se obţine : dt = dl (3.23)

3.2. TEOREME GENERALE 29 adică : mişcarea punctului se face astfel încât, în orice moment, diferenţiala totală a energiei cinetice este egală cu lucrul mecanic elementar efectuat de rezultanta forţelor aplicate. Pentru o deplasare finită a punctului material între două stări (1) şi (2), observând că energia cinetică (3.20) este o funcţie de stare, prin integrarea ecuaţiei (3.23) rezultă : T 2 T 1 = (2) (1) F d r (3.24) Deoarece în general F = F (t, r, r), pentru a calcula integrala din membrul drept, va trebui cunoscută de obicei legea de mişcare r = r(t) a punctului. Există însă o clasă destul de largă de forţe, pentru care poate fi calculat lucrul mecanic efectuat la o deplasare, fără a fi cunoscută forma traiectoriei. Acestea sunt forţele potenţiale staţionare. O forţă F = F (t, r) este potenţială, dacă ea îndeplineşte condiţia : rot F = 0 (3.25) Această condiţie poate fi satisfăcută dacă există o funcţie scalară V = V (t, r), aşa încât : F = grad V (3.26) Se spune despre funcţia V că ea reprezintă potenţialul din care derivă forţa. În acest caz, lucrul mecanic elementar are expresia : dl = F d r = V d r = ( V x dx + V y ) V dy + z dz = dv + V t dt (3.27) Pentru o forţă potenţială staţionară, va trebui ca V t devine o diferenţială totală exactă : = 0 şi lucrul mecanic elementar F d r = dv (3.28) La o deplasare finită, lucrul mecanic nu va depinde de forma traiectoriei, ci doar de valorile funcţiei V în starea iniţială şi în cea finală : L 12 = (2) (1) F d r = Înlocuind (3.29) în (3.24), se va putea scrie că : (2) (1) dv = V 1 V 2 (3.29) T 1 + V 1 = T 2 + V 2 (3.30) semnificaţia fizică a funcţiei V fiind cea de energie potenţială a punctului material în câmpul forţelor potenţiale staţionare. Dacă se cunoaşte F ( r), din (3.28) rezultă expresia

30 CAPITOLUL 3. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL potenţialului V ( r) din care derivă forţa potentîală staţionară corespunzătoare, sub forma unei integrale nedefinite : V = F d r + C (3.31) unde C este o constantă care stabileşte nivelul de zero al energiei potenţiale. În cazul unei forţe centrale de forma (3.17), deoarece r d r = r dr, din (3.31) se obţine : Pentru forţa de atracţie newtoniană : V = F (r) dr + C (3.32) F = f m 1m 2 r 2 r r iar pentru forţa elastică : rezultă V (r) = f m 1m 2 r ; C = V ( ) = 0 (3.33) F = k r = kr r r rezultă V (r) = kr2 2 ; C = V (0) = 0 (3.34) Dacă forţa potenţială este nestaţionară, pentru calculul lucrului mecanic la o deplasare finită va trebui folosită formula generală (3.27) : L 12 = (2) (1) F d r = V 1 V 2 + (2) (1) V t dt (3.35) Deoarece acum V = V (t, r), este evident că rezultatul depinde de forma traiectoriei, ultima integrală putând fi calculată numai dacă se cunoaşte legea de mişcare r = r(t). În afara forţelor potenţiale, în studiul mişcării pot fi întâlnite şi alte tipuri de forţe. Dintre acestea amintim forţele giroscopice F g, care sunt în general liniare în viteză şi întotdeauna perpendicualre pe v. Lucrul mecanic al forţelor giroscopice este întotdeauna nul. Astfel, în cazul forţei Lorentz, se verifică direct că : dl g = F g d r = q ( v B) v dt = 0 (3.36) O altă categorie de forţe nepotenţiale îl reprezintă forţele disipative F d, care sunt orientate de obicei în sens opus vitezei, acestea apărând atunci când corpul se deplasează într-un mediu care îi opune rezistenţă. Lucrul mecanic al forţelor disipative este negativ : dl d = F d d r = k v v dt 0 (k > 0) (3.37) Presupunând că asupra unui corp acţionează toate cele trei tipuri de forţe : lucrul mecanic elementar efectuat de aceste forţe va fi : F = V + F g + F d (3.38) dl = F d r = dv + V t dt + F d v dt (3.39)

3.3. DINAMICA PUNCTULUI SUPUS LA LEGĂTURI 31 Definind energia mecanică totală E a punctului ca suma dintre energia cinetică şi cea potenţială : E = T + V (3.40) folosind teorema energiei (3.23) se deduce expresia variaţiei acesteia în unitate de timp : Ė = de dt = dt dt + dv dt = dl dt + dv dt = V t + F d v (3.41) Se observă că în general energia mecanică totală a punctului material poate să crească, să scadă, sau să se conserve. În particular, dacă asupra punctului material nu acţionează forţe disipative, iar forţele potenţiale sunt staţionare, atunci energia mecanică totală se conservă : E = 1 2 mv2 + V ( r) = 1 2 m (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) + V (x, y, z) = h (3.42) Rezultatul constituie o nouă integrală primă a ecuaţiilor de mişcare, numită integrala energiei şi ea permite determinarea valorii vitezei punctului în funcţie de poziţie, fără a mai rezolva ecuaţiile de mişcare. 3.3 Dinamica punctului supus la legături Există situaţii când în cursul mişcării, indiferent de forţele aplicate, sunt impuse restricţii în ceea ce priveşte poziţiile posibile pe care la poate ocupa punctul material în spaţiu. De exemplu, dacă în cursul mişcării punctul este constrâns să rămână tot timpul pe o suprafaţă dată, atunci coordonatele punctului vor trebui să satisfacă la ecuaţia suprafeţei : f(t, x, y, z) = 0 (3.43) Dacă punctul este obligat să rămână pe o curbă, atunci în cursul mişcării vor trebui să fie îndeplinite simultan ecuaţiile celor două suprafeţe a căror intersecţie furnizează curba dată : f 1 (t, x, y, z) = 0 f 2 (t, x, y, z) = 0 (3.44) În ambele cazuri se spune că punctul se mişcă sub acţiunea forţelor ce acţionează asupra sa, doar în limitele admise de legături. Dacă timpul t nu intervine explicit în ecuaţiile legăturilor, acestea sunt numite staţionare, sau scleronome. De exemplu, dacă punctul este constrâns să se mişte pe o sferă fixă de rază R cu centrul în origine, ecuaţia legăturii va fi : x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0 (3.45) Dacă timpul intervine explicit în ecuaţiile legăturilor, acestea sunt numite nestaţionare, sau reonome. De exemplu, pentru punctul constrâns să se mişte pe o sferă de rază R, a cărei centru de deplasează uniform cu viteza v 0 în lungul axei 0x, va trebui ca : (x v 0 t) 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0 (3.46)

32 CAPITOLUL 3. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL Legăturile pot fi ideale, adică fără frecare, şi reale, adică cu frecare. În cele ce urmează vor fi studiate doar legăturile ideale. Sunt situaţii când legăturile sunt exprimate prin inegalităţi. Astfel, restricţia ca în cursul mişcării punctul să se găsească tot timpul de aceeaşi parte a unei suprafeţe date, se va scrie : f(t, x, y, z) > 0 sau f(t, x, y, z) < 0 (3.47) Legăturile exprimate prin egalităţi poartă numele de legături bilaterale, iar cele exprimate prin inegalităţi sunt numite legături unilaterale. Restricţia ca în cursul mişcării, punctul să se afle tot timpul în interiorul sferei fixe de rază R cu centrul în origine, se scrie : x 2 + y 2 + z 2 R 2 < 0 (3.48) Pentru a scrie ecuaţia de mişcare a punctului material supus la legături, să observăm că în cazul punctului constrâns să rămână tot timpul pe o suprafaţă sau o curbă, avem de a face cu un sistem material în interacţiune, format din punctul material şi suprafaţa sau curba respectivă. La tendinţa punctului material de a părăsi suprafaţa sau curba, se va opune reacţiunea acesteia. Din acest motiv putem admite că prezenţa legăturii echivalează cu o forţă suplimentară R, aşa încât sub acţiunea forţelor date F şi a forţei R, punctul să poată fi considerat liber (axioma de legătură). Ecuaţia de mişcare se va putea scrie : m a = F + R (3.49) Forţa R poartă numele de forţă de legătură, sau reacţiune, ea fiind o mărime apriori necunoscută. Se ştie că în cazul legăturilor ideale, forţa R este întotdeauna normală la suprafaţă sau curbă. În cazul unei suprafeţe, avem că : R = λ ( ) f f f ı + j + x y z k = λ grad f (3.50) iar în cazul unei curbe, reacţiunea R se găseşte în planul determinat de cele două normale la Figura 3.3: Reacţia legăturii pentru punctul constrâns se se mişte pe o curbă suprafeţele a căror intersecţie determină curba, în punctul curent de pe curbă (v. Fig. 3.3) : R = λ 1 grad f 1 + λ 2 grad f 2 (3.51)

3.3. DINAMICA PUNCTULUI SUPUS LA LEGĂTURI 33 Admiţând că legăturile sunt ideale, proiectând ecuaţia (3.49) pe tangenta într-un punct al traiectoriei, se obţine o ecuaţie independentă de reacţiune, ecuaţie suficientă pentru determinarea ecuaţiei orare a mişcării s = s(t), deoarece se ştie că poziţia punctului pe curbă poate fi precizată şi cu ajutorul unui singur parametru, care este lungimea arcului măsurat de la originea de măsurare a arcelor pe traiectorie. Odată determinată această funcţie, prin proiectarea ecuaţiei (3.49) pe normala la traiectorie, va putea fi determinată reacţiunea. Într-adevăr, deoarece în planul osculator construit într-un punct oarecare al traiectoriei r = r(s) ; s = s(t), acceleraţia are expresia : a = s τ + v2 ρ ν = s τ + ṡ2 ρ ν (3.52) proiecţiile ecuaţiei (3.49) pe tangenta, respectiv normala la traiectorie, conduc la ecuaţiile : m s = F τ m ṡ2 ρ = F ν + R ν (3.53) Soluţia primei ecuaţii este functia s = s(t), care înlocuită în cea de a doua ecuaţie permite determinarea reacţiei legăturii : R(t) = m ṡ2 ρ ν ( F ν) ν (3.54) Procedeul descris este avantajos doar pentru studiul mişcării punctului constrâns să se mişte pe curbe sau suprafeţe relativ simple, ca de exemplu cercul sau sfera. Teorema impulsului şi teorema momentului cinetic pentru punctul supus la legături nu prezintă un interes deosebit, apărând în plus doar termenii corespunzători luării în considerare a reacţiunii legăturii : p = F + R L = M O ( F ) + M O ( R) (3.55) Un rezultat interesant se obţine din teorema energiei : dt = dl = F d r + R d r (3.56) dacă punctul este constrâns să se mişte fără frecare pe o suprafaţă f = 0. R d r = λ În această situaţie : ( ) ( f f f dx + dy + x y z dz = λ df f ) t dt = λ f dt (3.57) t deoarece df = 0. Dacă în plus legătura ideală este şi scleronomă : f = 0, atunci lucrul mecanic al reacţiei legăturii este nul, teorema energiei având enunţul şi consecinţele identice cu t cele din cazul mişcării punctului material liber. Astfel, dacă asupra punctului nu acţionează forţe disipative, forţele potenţiale sunt staţionare, iar legătura este ideală şi scleronomă, energia mecanică totală este o integrală primă, care nu depinde de reacţia R a legăturii.

Capitolul 4 Dinamica sistemelor de puncte materiale Se studiază mişcarea unui ansamblu finit de N puncte materiale P i (m i, r i ) ; i = 1,..., N aflate în interacţiune. Poziţia sistemului la un moment dat este dată de ansamblul vectorilor de poziţie r i = r i (x i, y i, z i ) ; i = 1,..., N. Sistemul are 3N grade de libertate, iar mişcarea sistemului este determinată de cunoaşterea funcţiilor r i = r i (t) ; i = 1,..., N, ca soluţii ale sistemului de N ecuaţii de mişcare scrise pentru fiecare punct i care alcătuieşte ansamblul : m i ri = F i + F ij ; i = 1,..., N (4.1) j=1 j i Aici F i reprezintă rezultanta forţelor exterioare aplicate în P i, iar F ij reprezintă acţiunile punctelor P j ; j = 1,..., N ; j i care se exercită asupra punctului P i. În general interacţiunile F ij, numite şi forţe interioare, nu sunt cunoscute apriori şi nici nu pot fi determinate fără a face ipoteze suplimentare privind structura şi modul de deformare a sistemului. Mişcarea sistemului nu poate fi determinată complet fără a cunoaşte interacţiunile şi de obicei nici interacţiunile nu pot fi determinate dacă nu se cunoaşte mişcarea. Problema generală a dinamicii sistemelor de puncte materiale constă în a determina mişcarea şi interacţiunile. Deoarece problema pusă astfel este mult mai complexă decât cea privind studiul mişcării punctului material, liber sau supus la legături, în cele ce urmează ne vom limita doar la a indica modul în care pornind de la ecuaţiile (4.1) pot fi obţinute câteva teoreme generale, care caracterizează mişcarea de ansamblu a sistemului şi care ne pot furniza unele integrale prime. O integrală primă a sistemului de ecuaţii de mişcare (4.1) este o funcţie de timp, de coordonatele şi vitezele punctelor care alcătuiesc sistemul, care păstrează o valoare constantă în cursul evoluţiei sistemului : f(t, r 1,..., r N, r 1,..., r N ) = C unde C = f(t 0, r 0 1,..., r 0 N, r 0 1,..., r 0 N) (4.2) Deoarece acum setul complet de integrale prime independente este 6N, devine practic imposibilă determinarea mişcării pornind numai de la integrale prime, prin rezolvarea unui sistem algebric, aceasta pentru că în mecanica newtoniană nu există o metodă coerentă de construire a setului complet de integrale prime independente, pornind de la câteva cunoscute. 34