Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,

Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne reálne korene, viacnáobné reálne korene, komplexne združené korene a korene, ktoré ú kombináciou predošlých možnotí..1 Prehľad pojmov Definícia Laplaceovej tranformácie L {f(t)} ˆ=F () = 0 f(t)e t dt (.1) kde L {} je Laplaceov operátor, f(t) je nejaká funkcia čau, ktorá a nazýva originál, F () a nazýva obraz a je argument Laplaceovej tranformácie (je to komplexná premenná). Skoková funkcia je definovaná naledovne { k pre t 0 u(t) = 0 pre t < 0 Kvôli zjednodušeniu budeme používať jej zápi v tvare u(t) = k. Upozornenia (.) Argument Laplaceovej tranformácie na rozdiel od literatúry Mézáro a kol. (1997) a Mikleš a kol. (1994) budeme označovať. Takéto označenie a používa vo vetovej literatúre, používa ho MATLAB aj Simulink a je použité aj v literatúre Mikleš a Fikar (1999). Pri Laplaceovej tranformácii a pätnej Laplaceovej tranformácii názvy funkcií zachováme. Originál od obrazu rozlíšime tak, že originál budeme píať malým píaným pímenom (napr. f, y, u, z) a obraz veľkým tlačeným pímenom vyznačením, že ide o funkciu argumentu (napr. F (), Y (), U(), Z()). 1

KAPITOLA. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE. Algoritmu riešenia diferenciálnych rovníc Diferenciálne rovnice predtavujú matematický opi dynamických ytémov. Riešením diferenciálnych rovníc a zíkava čaový priebeh výtupných veličín dynamických ytémov pri definovaných vtupných veličinách a začiatočných podmienkach. Jednou z možnotí riešenia diferenciálnych rovníc je použitie Laplaceovej tranformácie. Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie možno rozdeliť do 3 krokov: 1. Urobí a Laplaceova tranformácia diferenciálnej rovnice. Znamená to, že a k originálom, ktoré v rovnici vytupujú, nájdu obrazy. Rovnica, ktorú po tranformácii dotaneme, je algebraická rovnica a neznámou v nej je obraz riešenia diferenciálnej rovnice.. Vyrieši a algebraická rovnica. Riešením algebraickej rovnice a nájde obraz riešenia diferenciálnej rovnice, ktorý má zvyčajne tvar racionálnej funkcie (zlomku). 3. Urobí a pätná Laplaceova tranformácia obrazu riešenia po jeho rozklade na parciálne zlomky. Spätnou Laplaceovou tranformáciou a zíka originál k obrazu riešenia diferenciálnej rovnice, a teda riešenie diferenciálnej rovnice v čaovej oblati. Pri riešení diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie a budú využívať vlatnoti Laplaceovej tranformácie a lovník Laplaceových obrazov z uvedenej literatúry..3 Spätná Laplaceova tranformácia Predpokladáme, že chceme urobiť pätnú Laplaceovu tranformáciu obrazu v tvare racionálnej funkcie F () = B() A() = b m m + b m 1 m 1 +... + b 1 + b 0 a n n + a n 1 n 1 +... + a 1 + a 0 (.3) kde B() je polynóm tupňa m a A() je polynóm tupňa n. Pre fyzikálne realizovateľné ytémy platí podmienka m n..3.1 Spätná Laplaceova tranformácia pre rôzne reálne korene polynómu A() Predpokladáme, že polynóm A() má rôzne reálne korene 1,,..., n. Potom platí F () = B() A() = B() a n ( 1 )( ) ( n ) = K 1 = + K + + K n 1 n Konštanty K 1, K,..., K n nájdeme metódou porovnania koeficientov. alebo Originál f(t) má v tomto prípade tvar { } { f(t) = L 1 K1 + L 1 K 1 } { } + + L 1 Kn n B()/a n ( 1 )( ) ( n ) (.4) f(t) = K 1 e 1t + K e t + + K n e nt (.5)

.3. SPÄTNÁ LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA Upozornenie Ak korene polynómu A() ú rôzne reálne, konštanty K 1, K,..., K n možno vypočítať pre j = 1,..., n aj pomocou naledovného vzťahu K j = lim j B() a n n ( i ) i=1 i j (.6) Príklad.3.1: Diferenciálna rovnica rôznymi reálnymi koreňmi charakteritickej rovnice Riešte diferenciálnu rovnicu 3y (t) + 1y (t) + 4y (t) + 4y(t) = 3u(t) (.7) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) =. 1. Urobí a Laplaceova tranformácia diferenciálnej rovnice pomocou lovníka Laplaceových obrazov a definícií vlatnotí Laplaceovej tranformácie. Ak má diferenciálna rovnica pred najvyššou deriváciou iný koeficient ako 1, je vhodné týmto koeficientom celú rovnicu vydeliť ešte pred Laplaceovou tranformáciou. Vyvarujeme a tak niektorých chýb pri ďalšom riešení. Pre rovnicu (.7) dotaneme y (t) + 7y (t) + 14y (t) + 8y(t) = u(t) Na tranformáciu členov na ľavej trane diferenciálnej rovnice použijeme definíciu obrazu funkcie, definície obrazov derivácií funkcie a definíciu náobenia funkcie konštantou. Na tranformáciu člena na pravej trane diferenciálnej rovnice použijeme definíciu kokovej funkcie. Dotaneme 3 Y () + 7 Y () + 14Y () + 8Y () =. Vyrieši a algebraická rovnica. Z predošlej rovnice vyjadríme obraz riešenia Y (). Potup je naledovný Y ()( 3 + 7 + 14 + 8) = Y () = ( 3 + 7 + 14 + 8) 3. Urobí a pätná Laplaceova tranformácia. Menovateľ obrazu Y () je polynóm 4. tupňa a z obrazu Y () je zrejmé, že jeho jeden koreň je 1 = 0. Treba ešte nájť korene rovnice 3 + 7 + 14 + 8 = 0, ktorá je charakteritickou rovnicou diferenciálnej rovnice. Jej korene nájdeme napr. pomocou MATLABu: >> root([1 7 14 8]) an = -4.0000 -.0000-1.0000 3

KAPITOLA. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE Charakteritická rovnica má teda 3 rôzne reálne korene = 4, 3 =, 4 = 1 a rozklad na parciálne zlomky a urobí naledovne: Y () = ( 3 + 7 + 14 + 8) = ( + 4)( + )( + 1) = = K 1 + K + 4 + K 3 + + K 4 + 1 Po vynáobení rovnice ( 3 + 7 + 14 + 8) = K 1 + K + 4 + K 3 + + K 4 + 1 menovateľom ( 3 + 7 + 14 + 8) dotaneme: = K 1 ( + 4)( + )( + 1) + K ( + )( + 1) + K 3 ( + 4)( + 1) + K 4 ( + 4)( + ) = K 1 ( 3 + 7 + 14 + 8) + K ( 3 + 3 + ) + K 3 ( 3 + 5 + 4) + K 4 ( 3 + 6 + 8) = 3 (K 1 + K + K 3 + K 4 ) + (7K 1 + 3K + 5K 3 + 6K 4 ) + (14K 1 + K + 4K 3 + 8K 4 ) + 8K 1 Na určenie koeficientov K 1, K, K 3, K 4 použijeme metódu porovnania koeficientov. Porovnaním koeficientov polynómov na pravej a ľavej trane otatnej rovnice dotaneme útavu 4 algebraických rovníc o 4 neznámych v tvare 3 : 0 = K 1 + K + K 3 + K 4 : 0 = 7K 1 + 3K + 5K 3 + 6K 4 1 : 0 = 14K 1 + K + 4K 3 + 8K 4 0 : = 8K 1 ktorú opäť môžeme riešiť pomocou MATLABu, keď ju zapíšeme v tvare 1 1 1 1 7 3 5 6 14 4 8 8 0 0 0 K 1 K K 3 K 4 0 = 0 0 V MATLABe načítame maticu koeficientov, vektor pravých trán a jednoducho dotaneme riešenie: >> A=[1 1 1 1;7 3 5 6;14 4 8;8 0 0 0]; B=[0;0;0;]; k=inv(a)*b k = 0.500-0.0833 0.5000-0.6667 Z toho vyplýva, že K 1 = 0,5; K = 0,0833; K 3 = 0,5; K 4 = 0,6667. (Namieto príkazu k=inv(a)*b možno použiť i príkaz k=a\b. Riešenie je možné urobiť aj ručne.) Na výpočet koeficientov a dá použiť aj vzorec (.6), napr.: K 1 = lim 0 ( + 4)( + )( + 1) = 8 = 0,5 4

.3. SPÄTNÁ LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA Pre obraz Y () teda dotaneme Y () = 0,5 0,0833 + 4 + 0,5 + 0,6667 + 1 a máme ho v takom tvare, že pomocou lovníka už jednoducho urobíme pätnú Laplaceovu tranformáciu. Originál k obrazu Y () a zároveň riešenie diferenciálnej rovnice má tvar y(t) = 0,5 0,0833e 4t + 0,5e t 0,6667e t.3. Spätná Laplaceova tranformácia pre náobné reálne korene polynómu A() Predpokladáme, že polynóm A() má n-náobný reálny koreň 1. Potom platí F () = B() A() = B() a n ( 1 ) n = B()/a n ( 1 ) n (.8) a rozklad na parciálne zlomky má tvar F () = K 1 K + 1 ( 1 ) + + K n ( 1 ) n (.9) Konštanty K 1, K,..., K n nájdeme metódou porovnania koeficientov. Originál f(t) má v tomto prípade tvar f(t) = K 1 e 1t + K 1! te1t + + K n (n 1)! tn 1 e 1t (.10) Príklad.3.: Diferenciálna rovnica náobnými reálnymi koreňmi charakteritickej rovnice Riešte diferenciálnu rovnicu y (t) + 4y (t) + 96y (t) + 18y(t) = u(t) (.11) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) =,5. 1. Urobí a Laplaceova tranformácia diferenciálnej rovnice pomocou lovníka Laplaceových obrazov a definícií vlatnotí Laplaceovej tranformácie, keď predtým ešte rovnicu vydelíme koeficientom pred y (t). Po vydelení rovnice koeficientom a po jej Laplaceovej tranformácii dotaneme 3 Y () + 1 Y () + 48Y () + 64Y () =,5. Vyrieši a algebraická rovnica. Z predošlej rovnice vyjadríme obraz riešenia Y () v tvare Y () =,5 ( 3 + 1 + 48 + 64) 5

KAPITOLA. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE 3. Urobí a pätná Laplaceova tranformácia. Menovateľ Y () je polynóm 4. tupňa a z obrazu Y () je zrejmé, že jeho jeden koreň je 1 = 0. Treba ešte nájť korene rovnice 3 + 1 + 48 + 64 = 0, ktorá je charakteritickou rovnicou diferenciálnej rovnice. Jej korene nájdeme napr. pomocou MATLABu: >> p=[1 1 48 64]; root(p) an = -4.0000-4.0000 + 0.0000i -4.0000-0.0000i Charakteritická rovnica má teda jeden trojnáobný reálny koreň = 4 a rozklad na parciálne zlomky je naledovný Y () =,5 ( 3 + 1 + 48 + 64) =,5 ( + 4) 3 = K 1 + K + 4 + K 3 ( + 4) + K 4 ( + 4) 3 Po vynáobení rovnice,5 ( 3 + 1 + 48 + 64) = K 1 + K + 4 + K 3 ( + 4) + K 4 ( + 4) 3 menovateľom ( 3 + 1 + 48 + 64) a potupnými úpravami dotaneme,5 = 3 (K 1 +K )+ (1K 1 +8K +K 3 )+(48K 1 +16K +4K 3 +K 4 )+64K 1 Porovnaním koeficientov polynómov na pravej a ľavej trane otatnej rovnice dotaneme útavu 4 algebraických rovníc o 4 neznámych v tvare 0 = K 1 + K 0 = 1K 1 + 8K + K 3 0 = 48K 1 + 16K + 4K 3 + K 4,5 = 64K 1 ktorú opäť môžeme riešiť pomocou MATLABu a po použití naledovných príkazov jednoducho dotaneme riešenie: >> A=[1 1 0 0;1 8 1 0;48 16 4 1;64 0 0 0]; B=[0;0;0;.5]; k=a\b k = 0.0391-0.0391-0.1563-0.650 Z toho vyplýva, že K 1 = 0,0391; K = 0,0391; K 3 = 0,1563; K 4 = 0,650. Pre obraz Y () dotaneme Y () = 0,0391 0,0391 + 4 0,1563 ( + 4) 0,650 ( + 4) 3 a máme ho v takom tvare, že pomocou lovníka už jednoducho urobíme pätnú Laplaceovu tranformáciu. Originál k obrazu Y () a zároveň riešenie diferenciálnej rovnice má tvar y(t) = 0,0391 0,0391e 4t 0,1563 te 4t 0,650 t e 4t 1!! = 0,0391 0,0391e 4t 0,1563te 4t 0,315t e 4t 6

.3. SPÄTNÁ LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA.3.3 Spätná Laplaceova tranformácia pre komplexne združené korene polynómu A() nulovými reálnymi čaťami Predpokladáme, že polynóm A() má n/ dvojíc komplexne združených koreňov ±iω 1,± iω,..., ±iω n/. Pre obraz F () platí F () = B() A() = B() a n ( + ω1 )( + ω )... ( + ωn/ ) = B()/a n ( + ω 1 )( + ω )... ( + ω n/ ) a rozklad na parciálne zlomky má tvar F () = K 1 + L 1 + ω 1 + K + L + ω +... + K n/ + L n/ + ω n/ (.1) Konštanty K 1, K,..., K n/, L 1, L,..., L n/ nájdeme metódou porovnania koeficientov. Originál f(t) má v tomto prípade tvar f(t) = K 1 co(ω 1 t) + L 1 ω 1 in(ω 1 t) +... + K n/ co(ω n/ t) + L n/ ω n/ in(ω n/ t) (.13) Príklad.3.3: Diferenciálna rovnica komplexne združenými koreňmi charakteritickej rovnice, ktoré majú nulovú reálnu čať Riešte diferenciálnu rovnicu y (t) + 4y(t) = u(t) (.14) o začiatočnými podmienkami y(0) = 1, y (0) = 3, kde u(t) = co(3t). 1. Urobí a Laplaceova tranformácia diferenciálnej rovnice pomocou lovníka Laplaceových obrazov a definícií vlatnotí Laplaceovej tranformácie. Po Laplaceovej tranformácii diferenciálnej rovnice dotaneme [ Y () 1 3 ] + 4Y () = + 9. Vyrieši a algebraická rovnica. Z predošlej rovnice vyjadríme obraz riešenia Y () v tvare Y () = 3 + 3 + 10 + 7 ( + 9)( + 4) 3. Urobí a pätná Laplaceova tranformácia. Menovateľ Y () je polynóm 4. tupňa a z obrazu Y () je zrejmé, že jedna dvojica komplexne združených koreňov je ±3i a druhá ±i. Rozklad na parciálne zlomky a potom urobí naledovne Y () = 3 + 3 + 10 + 7 ( + 9)( + 4) = K 1 + L 1 + 9 + K + L + 4 7

KAPITOLA. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE Po vynáobení otatnej rovnice menovateľom ( + 9)( + 4) a potupnými úpravami dotaneme 3 + 3 + 10 + 7 = 3 (K 1 + K ) + (L 1 + L ) + (4K 1 + 9K ) + (4L 1 + 9L ) Porovnaním koeficientov polynómov na pravej a ľavej trane rovnice dotaneme ytémy algebraických rovníc o neznámych v tvare 1 = K 1 + K a 10 = 4K 1 + 9K 3 = L 1 + L 7 = 4L 1 + 9L Ich riešením dotaneme číelné hodnoty koeficientov K 1 = 0,; K = 1,; L 1 = 0; L = 3. Obraz Y () má tvar Y () = 0, + 3 + 1, + 3 + = 0, + 3 + 1, + + 3 + a pomocou lovníka už jednoducho urobíme pätnú Laplaceovu tranformáciu. Originál k obrazu Y () a zároveň riešenie diferenciálnej rovnice má tvar y(t) = 0, co(3t) + 1, co(t) + 1,5 in(t).3.4 Spätná Laplaceova tranformácia pre komplexne združené korene polynómu A() nenulovými reálnymi čaťami Nech polynóm A() je polynóm. tupňa v tvare A() = a + a 1 + a 0 a má 1 dvojicu komplexne združených koreňov γ ± iω. Vtedy ďalej predpokladáme, že polynóm B() je polynóm 1. tupňa v tvare B() = b 1 + b 0. Potom platí F () = B() b A() = b 1 + b 1 0 a ) = + b0 a a ( + a1 a + a0 = b 1 + b 0 + a1 a a + a0 a (.15) + ã 1 + ã 0 Ďalej treba zlomok matematicky upraviť do tvaru takých obrazov, aby a za pomoci tabuľky obrazov dali jednoducho pätne tranformovať. Obrazy, ktoré vyhovujú našej požiadavke ú obrazy funkcií e at co(ωt) a e at in(ωt), ktoré majú tvar a ω (+a) +ω. Takže najprv upravíme menovateľa zlomku a dotaneme F () = Po označení ω = +a (+a) +ω b1 + b 0 b1 + ã1 + ( ) ã 1 + ã0 ( + ) ã 1 = b 0 ( ) ( + ã 1 + ã 0 ( ) ) (.16) ã 1 ã 0 ( ã 1 ), a = ã 1 môžeme píať F () = b 1 + b 0 ( + a) + ω (.17) 8

.3. SPÄTNÁ LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA Teraz treba upraviť ešte čitateľa obrazu. b0 F () = b 1 + b 0 ( + a) + ω = b + b1 1 ( + a) + ω = b + a + a b1 1 ( + a) + ω (.18) Po zavedení b = b 0 a platí b1 F () = b + a + b 1 ( + a) + ω = b + a 1 ( + a) + ω + b 1 b ω ω ( + a) + ω (.19) Originál f(t) má v tomto prípade tvar f(t) = b 1 e at co(ωt) + b 1 b ω e at in(ωt) (.0) Príklad.3.4: Diferenciálna rovnica komplexne združenými koreňmi charakteritickej rovnice, ktoré majú nenulové reálne čati Riešte diferenciálnu rovnicu y (t) + 10y (t) + 36y (t) + 40y(t) = u(t) (.1) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) =. 1. Urobí a Laplaceova tranformácia diferenciálnej rovnice pomocou lovníka Laplaceových obrazov a definícií vlatnotí Laplaceovej tranformácie. Po Laplaceovej tranformácii diferenciálnej rovnice dotaneme b0 3 Y () + 10Y () + 36Y () + 40Y () =. Vyrieši a algebraická rovnica. Z predošlej rovnice vyjadríme obraz riešenia Y () v tvare Y () = ( 3 + 10 + 36 + 40) 3. Urobí a pätná Laplaceova tranformácia. Menovateľ obrazu Y () je polynóm 4. tupňa a z obrazu Y () je zrejmé, že jeho jeden koreň je 1 = 0. Treba ešte nájť korene rovnice 3 + 10 + 36 + 40 = 0, ktorá je charakteritickou rovnicou diferenciálnej rovnice. Jej korene nájdeme napr. pomocou MATLABu: >> root([1 10 36 40]) an = -4.0000 +.0000i -4.0000 -.0000i -.0000 Charakteritická rovnica má teda 3 korene, z toho jeden reálny = a jednu dvojicu komplexne združených koreňov γ ± ωi = 4 ± i. Polynóm, ktorý má túto dvojicu komplexne združených koreňov, nájdeme buď vydelením polynómu 3 + 10 + 36 + 40 polynómom + pomocou MATLABu napr. príkazom 9

KAPITOLA. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE >> p1=[1 10 36 40]; p=[1 ]; p3=deconv(p1,p) p3 = 1 8 0 alebo priradením polynómu dvojici komplexne združených koreňov 4 ± i príkazom >> poly([-4+i, -4-i]) an = 1 8 0 Pre obraz Y () potom platí Y () = ( 3 + 10 + 36 + 40) = ( + )( + 8 + 0) a rozklad na parciálne zlomky a urobí naledovne: ( + )( + 8 + 0) = K 1 + K + + K 3 + L 3 + 8 + 0 Po vynáobení otatnej rovnice menovateľom ( + )( + 8 + 0) dotaneme = K 1 ( 3 + 10 + 36 + 40) + K ( 3 + 8 + 0) + (K 3 + L 3 )( + ) = 3 (K 1 + K + K 3 ) + (10K 1 + 8K + K 3 + L 3 ) + (36K 1 + 0K + L 3 ) + 40K 1 Porovnaním koeficientov polynómov na pravej a ľavej trane rovnice dotaneme útavu 4 algebraických rovníc o 4 neznámych v tvare 0 = K 1 + K + K 3 0 = 10K 1 + 8K + K 3 + L 3 0 = 36K 1 + 0K + L 3 = 40K 1 Jej riešením dotaneme K 1 = 0,05; K = 0,15; K 3 = 0,075; L 3 = 0,35. Pre obraz Y () teda platí Y () = 0,05 0,15 0,075 + 0,35 + + + 8 + 0 Prvé dva zlomky v obraze riešenia ú v takom tvare, že pätná Laplaceova tranformácia a dá urobiť veľmi jednoducho. Upraviť treba ešte poledný zlomok. Preto pokračujeme v úpravách a dotaneme Y () = 0,05 = 0,05 = 0,05 = 0,05 0,35 0,075 4 0,15 1 + + 0,075 + 4 + ( + 4) + 4 0,15 1 + 4 + 0,6667 + 0,075 + ( + 4) + 0,15 1 + + 0,075 + 4 ( + 4) + + 0,075.0,6667 0,15 1 + + 0,075 + 4 ( + 4) + + 0,05 ( + 4) + ( + 4) + Teraz už obraz riešenia máme v takom tvare, že pomocou lovníka jednoducho urobíme pätnú Laplaceovu tranformáciu. Originál k obrazu Y () a zároveň riešenie diferenciálnej rovnice má tvar y(t) = 0,05 0,15e t + 0,075e 4t co(t) + 0,05e 4t in(t) 30

.4. NERIEŠENÉ PRÍKLADY Upozornenie Pri rozklade na parciálne zlomky i treba uvedomiť, že ak je v parciálnom zlomku v menovateli polynóm, ktorý ma reálny koreň (jednoduchý alebo viacnáobný), tak v čitateli je konštanta a ak je v menovateli parciálneho zlomku polynóm dvojicou komplexne združených koreňov, tak v čitateli je polynóm 1. tupňa..4 Neriešené príklady Príklad.4.1: Riešte diferenciálnu rovnicu y (t) + 6y (t) + 4y(t) = u(t) o začiatočnými podmienkami y(0) = 1, y (0) =, kde u(t) = t. y(t) = 0,75 + 5e t 3,5e t + 0,5t. Príklad.4.: Riešte diferenciálnu rovnicu 3y (t) + 18y (t) + 7y(t) = 3u(t) o začiatočnými podmienkami y(0) = 0, y (0) = 1, kde u(t) = 3 in(t). y(t) = 0,13e 3t + 1,4615te 3t 0,13 co(t) + 0,0888 in(t). Príklad.4.3: Riešte diferenciálnu rovnicu 4y (t)+16y (t)+16y(t) = 4u(t) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y(0) = 0, kde u(t) = te 3t. y(t) = e t + te t + e 3t + te 3t. Príklad.4.4: Riešte diferenciálnu rovnicu y (t) + y (t) + 7y (t) + 7y(t) = u(t) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) = 3. Jeden koreň charakteritickej rovnice =. y(t) = 0,0833 0,0417e 6t + 0,3333e 3t 0,375e t. Príklad.4.5: Riešte diferenciálnu rovnicu 3y (t) + 15y (t) + 4y (t) + 1y(t) = 3u(t) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) = 4. Jeden koreň charakteritickej rovnice = 1. y(t) = 1 + te t + 3e t 4e t. Príklad.4.6: Riešte diferenciálnu rovnicu 0,5y (t) + y (t) + 8y (t) + 16y(t) = 0,5u(t) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) = 5. Jeden koreň charakteritickej rovnice =. y(t) = 0,1563 0,0313 co(4t) 0,065 in(4t) 0,15e t. 31

KAPITOLA. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE Príklad.4.7: Riešte diferenciálnu rovnicu 0,5y (t) + 6y (t) + 4y (t) + 3y(t) = 0,5u(t) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t)=,5. Jeden koreň charakteritickej rovnice = 4. y(t) = 0,0391 0,315t e 4t 0,1563te 4t 0,0391e 4t. Príklad.4.8: Riešte diferenciálnu rovnicu y (t) + 1y (t) + 74y (t) + 116y(t) = u(t) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) = 3. Jeden koreň charakteritickej rovnice =. y(t) = 0,0517 0,06e t + 0,0083e t co(5t) 0,007e t in(5t)..5 MATLAB: príkazy k problematike výpočet koreňov polynómu p root(p) výpočet koeficientov polynómu pre jeho zadané korene k1, k poly([k1 k]) delenie polynómov p1, p deconv(p1,p) výpočet inverznej matice k matici A inv(a) rozklad na parciálne zlomky [r,p,k]=reidue(citatel,menovatel), kde r je vektor koeficientov čitateľov, p je vektor zodpovedajúcich pólov a k je abolútny člen. Táto funkcia je veľmi dobre použiteľná, ak má Laplaceov obraz v menovateli iba reálne korene. V prípade komplexných koreňov menovateľa treba tieto ešte čítať. 3