Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler

Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler

Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze, vidimo da je (što se tiče konačnodimenzionalnih prostora) dovoljno proučavati linearne operatore medu prostorima tipa R n (odnosno C n ), uzimajući u obzir efekte promjene odabira baze na koordinate vektora. Ako smo odabrali bazu za V, koje koordinate vektori te baze imaju obzirom na nju samu?

Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze, vidimo da je (što se tiče konačnodimenzionalnih prostora) dovoljno proučavati linearne operatore medu prostorima tipa R n (odnosno C n ), uzimajući u obzir efekte promjene odabira baze na koordinate vektora. Ako smo odabrali bazu za V, koje koordinate vektori te baze imaju obzirom na nju samu? Dakle, nakon fiksiranja baze smo vektorski prostor sveli na R n (odnosno C n ) s kanonskom bazom. Primjer Neka  : R 3 R 3 opisuje zrcaljenje prostora obzirom na neku ravninu, a baza { a, b, c } prostora je odabrana tako da je ta ravnina (y, z)-ravnina. Kamo  preslikava vektore kanonske baze od R 3?

Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze, vidimo da je (što se tiče konačnodimenzionalnih prostora) dovoljno proučavati linearne operatore medu prostorima tipa R n (odnosno C n ), uzimajući u obzir efekte promjene odabira baze na koordinate vektora. Ako smo odabrali bazu za V, koje koordinate vektori te baze imaju obzirom na nju samu? Dakle, nakon fiksiranja baze smo vektorski prostor sveli na R n (odnosno C n ) s kanonskom bazom. Primjer Neka  : R 3 R 3 opisuje zrcaljenje prostora obzirom na neku ravninu, a baza { a, b, c } prostora je odabrana tako da je ta ravnina (y, z)-ravnina. Kamo  preslikava vektore kanonske baze od R 3? Kamo  preslikava proizvoljan vektor x a + y b + z c?

Djelovanje linearnog operatora  uvijek je dovoljno zadati na vektorima baze domene. Pripadni rezultati su linearne kombinacije elemenata odabrane baze kodomene.

Djelovanje linearnog operatora  uvijek je dovoljno zadati na vektorima baze domene. Pripadni rezultati su linearne kombinacije elemenata odabrane baze kodomene. Ako uzmemo koeficijente tih linearnih kombinacija i zapišemo ih kao stupce neke matrice, dobili smo matricu operatora A (obzirom na odabrane baze). Napomena Ako je  operator s n- u m-dimenzionalni prostor, koliko koordinata ima element domene? Kodomene?

Djelovanje linearnog operatora  uvijek je dovoljno zadati na vektorima baze domene. Pripadni rezultati su linearne kombinacije elemenata odabrane baze kodomene. Ako uzmemo koeficijente tih linearnih kombinacija i zapišemo ih kao stupce neke matrice, dobili smo matricu operatora A (obzirom na odabrane baze). Napomena Ako je  operator s n- u m-dimenzionalni prostor, koliko koordinata ima element domene? Kodomene? Dakle, matrica operatora  imat će m redaka i n stupaca. Ako su domena i kodomena linearnog operatora jednake, uobičajeno je uzeti istu bazu u domeni i kodomeni, pa ćemo to u daljnjem podrazumijevati. Kako izgledaju matrice od Î i ˆ0? Ovise li one o odabiru baze?

Ovisnost matrice operatora o bazama Neka je ˆι : V (O) V (O) inverzija obzirom na ishodište. Kamo ˆι preslikava vektore proizvoljne baze { a, b } od V (O)?

Ovisnost matrice operatora o bazama Neka je ˆι : V (O) V (O) inverzija obzirom na ishodište. Kamo ˆι preslikava vektore proizvoljne baze { a, b } od V (O)? Kamo ˆι preslikava proizvoljan vektor x a + y b? Kako izgleda matrica operatora ˆι? Ovisi li ona o odabiru baze?

Ovisnost matrice operatora o bazama Neka je ˆι : V (O) V (O) inverzija obzirom na ishodište. Kamo ˆι preslikava vektore proizvoljne baze { a, b } od V (O)? Kamo ˆι preslikava proizvoljan vektor x a + y b? Kako izgleda matrica operatora ˆι? Ovisi li ona o odabiru baze? Općenito vrijedi: Sve matrice svih operatorâ simetrije su ortogonalne. Linearan operator  : R 4 R 4 zadan je kao tzv. pomak ulijevo: (x 1, x, x 3, x 4 ) (x, x 3, x 4, 0). Odredite njegove matrice obzirom na kanonsku bazu i obzirom na bazu (4, 0, 3, 0), (, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) i (0, 1, 0, ).

Definicija Operatori oblika  : V V, Âv = cv za konstantan skalar c zovu se skalarni operatori. Ovisi li matrica skalarnog operatora o odabiru baze? Odredite matricu operatora projekcije koji svakoj točki prostora pridružuje njenu ortogonalnu projekciju na (x, y)-ravninu.

Definicija Operatori oblika  : V V, Âv = cv za konstantan skalar c zovu se skalarni operatori. Ovisi li matrica skalarnog operatora o odabiru baze? Odredite matricu operatora projekcije koji svakoj točki prostora pridružuje njenu ortogonalnu projekciju na (x, y)-ravninu. Važno!!! Linearni operatori na beskonačnodimenzionalnim prostorima ne mogu se opisati matricama.

Koja korist od matrice operatora? Primjer Linearni operator rotacije ˆρ y prostora oko y-osi ima (obzirom na bazu koja odreduje osi koordinatnog sustava, uz uvjet da je ortogonalna i da su prvi i treći vektor jednako dugi) matricu R y = cos α 0 sin α 0 1 0 sin α 0 cos α Po čemu vidimo da je to odgovarajuća matrica?

Nastavak primjera Ako nas zanima na koju poziciju se zarotira neka točka prostora T, uzmimo njen radij-vektor r. On ima neke koordinate [x, y, z] obzirom na odabranu bazu. Kako je ˆρ y linearan operator, znamo ˆρ y r = x ˆρy a + y ˆρy b + z ˆρy c (zašto?).

Nastavak primjera Ako nas zanima na koju poziciju se zarotira neka točka prostora T, uzmimo njen radij-vektor r. On ima neke koordinate [x, y, z] obzirom na odabranu bazu. Kako je ˆρ y linearan operator, znamo ˆρ y r = x ˆρy a + y ˆρy b + z ˆρy c (zašto?).stoga je prva/druga/treća koordinata od ˆρ y r = (X, Y, Z) jednaka skalarnom produktu (u R 3 ) prvog/drugog/trećeg retka matrice R y s (x, y, z).

Nastavak primjera Ako nas zanima na koju poziciju se zarotira neka točka prostora T, uzmimo njen radij-vektor r. On ima neke koordinate [x, y, z] obzirom na odabranu bazu. Kako je ˆρ y linearan operator, znamo ˆρ y r = x ˆρy a + y ˆρy b + z ˆρy c (zašto?).stoga je prva/druga/treća koordinata od ˆρ y r = (X, Y, Z) jednaka skalarnom produktu (u R 3 ) prvog/drugog/trećeg retka matrice R y s (x, y, z). Pišemo R y x y z = X Y Z.

A v za A M m,n i v M n,1 Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje vektor Âv, točnije: njegove koordinate u kodomeni. Primjer Uzmimo rotaciju ˆR oko ishodišta za 60 uz ortonormiranu bazu ravnine: Imamo: ˆR(x i + y j ) = x ˆR i + y ˆR j = ( ) ( ) 1 3 3 1 = x i + j + y i + j = ( x = y ) ( 3 x ) 3 i + + y j.

R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] ],

R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. ],

R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. Kako množimo matricu redak s matricom stupcem i što dobijemo? Uz koji se uvjet matrica redak može pomnožiti s matricom stupcem? ],

R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. Kako množimo matricu redak s matricom stupcem i što dobijemo? Uz koji se uvjet matrica redak može pomnožiti s matricom stupcem? Koje dimenzije su domena i kodomena linearnog operatora ako je matrica tog operatora matrica-redak? ],

R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. Kako množimo matricu redak s matricom stupcem i što dobijemo? Uz koji se uvjet matrica redak može pomnožiti s matricom stupcem? Koje dimenzije su domena i kodomena linearnog operatora ako je matrica tog operatora matrica-redak? Možemo li pomnožiti matricu-stupac s matricom-stupcem? ],

R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. Kako množimo matricu redak s matricom stupcem i što dobijemo? Uz koji se uvjet matrica redak može pomnožiti s matricom stupcem? Koje dimenzije su domena i kodomena linearnog operatora ako je matrica tog operatora matrica-redak? Možemo li pomnožiti matricu-stupac s matricom-stupcem? ],

Neka je A M m,n proizvoljna matrica. Definiramo  : M n,1 M m,1 s Â(X ) = A X. Argumentirajte zašto je  uvijek linearan operator! Koja je matrica od  obzirom na kanonsku bazu?

Neka je A M m,n proizvoljna matrica. Definiramo  : M n,1 M m,1 s Â(X ) = A X. Argumentirajte zašto je  uvijek linearan operator! Koja je matrica od  obzirom na kanonsku bazu? Neki kvadrat ima vrhove u točkama koje Kks-u imaju koordinate (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Matrica M je kvadratna matrica reda i ˆM odgovarajući linearni operator koji djeluje na koordinatnoj ravnini. U kakve četverokute ˆM može preslikati naš kvadrat? U kakve ne? Ako je neki drugi kvadrat odreden vrhovima (4, 4), (6, ), (8, 4), (6, 6), uz koje uvjete na M će se oba kvadrata preslikati u isti tip četverokuta?

Tzv. opće pozicije u kristalnoj strukturi prostorne grupe Pbcn (rompski sustav) mogu se zapisati kao koordinate (m, n, p), (m + 1/, n + 1/, p + 1/), (m + 1/, n, p), (m, n + 1/, p), (m, n, p + 1/), (m + 1/, n + 1/, p), (m + 1/, n, p + 1/), (m, n + 1/, p + 1/), gdje su m, n i l cijeli brojevi. Zapišite jednu (ne-jediničnu) matricu koja (obzirom na kristalografsku bazu) predstavlja linearan operator simetrije za ovu kristalnu rešetku, tj. takav da se prije i poslije njegovog djelovanja opće pozicije nalaze na istim mjestima.

općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati?

općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stoga trebaju biti matrice A i B da bi AB imalo smisla?

općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stoga trebaju biti matrice A i B da bi AB imalo smisla? Koliko redaka i stupaca ima AB?

općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stoga trebaju biti matrice A i B da bi AB imalo smisla? Koliko redaka i stupaca ima AB? Ako želimo matricu A množiti s matricom B od stupčane, stupce matrice B redom tretiramo kao matrice-stupce. Dakle, produkt matrice A s matricom B je matrica čiji stupci su umnošci matrice A redom sa stupcima od B.

općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stoga trebaju biti matrice A i B da bi AB imalo smisla? Koliko redaka i stupaca ima AB? Ako želimo matricu A množiti s matricom B od stupčane, stupce matrice B redom tretiramo kao matrice-stupce. Dakle, produkt matrice A s matricom B je matrica čiji stupci su umnošci matrice A redom sa stupcima od B. Kada matricu-stupac možemo množiti s matricom-retkom i kako tada izgleda rezultat?

Komutativnost? Iz prethodnog se vidi: ako AB ima smisla, to ne znači da BA ima smisla. U kojim slučajevima oba umnoška AB i BA imaju smisla?

Komutativnost? Iz prethodnog se vidi: ako AB ima smisla, to ne znači da BA ima smisla. U kojim slučajevima oba umnoška AB i BA imaju smisla? Nadite dvije matrice A, B M takve da AB BA i dvije takve da AB = BA!

Komutativnost? Iz prethodnog se vidi: ako AB ima smisla, to ne znači da BA ima smisla. U kojim slučajevima oba umnoška AB i BA imaju smisla? Nadite dvije matrice A, B M takve da AB BA i dvije takve da AB = BA! Zbog nekomutativnosti množenja matrica, često se kao mjera nekomutativnosti uzima njihov komutator [A, B] = AB BA.

Primjer Paulijeve matrice spina su tri matrice koje se ponekad koriste za opis spinova elektrona (po jedna za svaki kutni moment): S x = ( 0 1 1 0 ), S y = ( 0 i i 0 ), S z = ( 1 0 0 1 ). Za njih je [S x, S y ] = i S z, [S y, S z ] = i S x, [S z, S x ] = i S y i S x + S y + S z = 3 4 ( 1 0 0 1 ). Posljednja matrica predstavlja kvadrat spinskog kutnog momenta.

je asocijativno (A(BC) = (AB)C kad god je A ulančana s B i B s C). Postoji li matrica takva da pomnožena sa svakom matricom A M 3 daje A? Jedinične matrice su matrice I n M n koje na dijagonali imaju jedinice, a ostali elementi su im nule. Vrijedi I m A = AI n = A (za A M m,n ). Ako je A M m,n, za koje p i q ima smisla A0 p,q? A 0 p,q A? Što je rezultat tih umnožaka?

Odaberite neki skalar α i dvije matrice A, B M. Kako sve možete izračunati α A B? A AB + ( A)B? Napomena Ako matrica A predstavlja operator Â, a matrica B predstavlja operator ˆB, umnožak AB predstavlja kompoziciju  ˆB. Možete li skalarni produkt u R n opisati kao množenje matrica? Možete li naći dvije matrice u M takve da nisu nulmatrice, ali im je umnožak nulmatrica?