PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Opći pojmovi: I REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Nek su X, Y R Rel fukcij f : X Y je svko pridruživje koje svkom elemetu skup X pridružuje točo jed elemet skup Y Skup X ziv se prirodo područje defiicije (dome) fukcije f, skup Y područje vrijedosti (kodome) fukcije f Svk rel fukcij je potpuo određe zdvjem skupov X i Y, te propis kojim se elemetim skup X pridružuju elemeti skup Y Dvije rele fukcije su jedke ko istovremeo imju jedke domee, jedke kodomee i jedke propise pridruživj Rel fukcij f je ijekcij ko vrijedi implikcij: (f ( ) = f ( )) ( = ) Rel fukcij f je surjekcij ko z svki Y postoji brem jed X tkv d je = f () Rel fukcij f je bijekcij ko je istovremeo i ijekcij i surjekcij Iverz rele bijekcije f : X Y je rel fukcij f : Y X tkv d je (f f )() = (f f )() = Propis iverz bijekcije f se može odrediti sljedećim lgoritmom: Kork Zpisti = f () Kork Iz prethode jedkosti izrziti pomoću Dobivei izrz je propis iverz f Grf rele fukcije f je skup Γ( f ) := {(, f ()): X} O se običo predočv u prvokutom koorditom sustvu u rvii tko d se os pscis ose vrijedosti ezvise vrijble, os ordit ose vrijedosti f () Rvisk krivulj K je grf eke rele fukcije ko i smo ko svki prvc uspored s osi ordit siječe krivulju K u jviše jedoj točki Grf iverz bijekcije f može se dobiti zrcljejem grf bijekcije f s obzirom prvc = Rel fukcij f : X Y je omeđe odozdo ko postoji brem jed m R tkv d z svki X vrijedi f () m Rel fukcij f : X Y je omeđe odozgo ko postoji brem jed M R tkv d z svki X vrijedi f () M Rel fukcij f : X Y je omeđe ko je omeđe i odozdo i odozgo Rel fukcij f : X Y je rstuć ko z sve, X vrijedi: ( < ) (f ( ) f ( )) Rel fukcij f : X Y je strogo rstuć ko z sve, X vrijedi: ( < ) (f ( ) < f ( )) Rel fukcij f : X Y je pdjuć ko z sve, X vrijedi: ( < ) (f ( ) f ( )) Rel fukcij f : X Y je strogo pdjuć ko z sve, X vrijedi: ( < ) (f ( ) > f ( )) Svk strogo rstuć, odoso strogo pdjuć fukcij je ijekcij (Obrt tvrdj ije toč) Rel fukcij f : X Y je pr ko z svki X istovremeo vrijede tvrdje: o ( ) X; o f ( ) = f () Rel fukcij f : X Y je epr ko z svki X istovremeo vrijede tvrdje: o ( ) X; o f ( ) = f () Niti jed pr fukcij ije ijekcij Grf svke pre rele fukcije je oso simetrič s obzirom os orditu (os ) Grf svke epre rele fukcije je cetrlo simetrič s obzirom ishodište prvokutog koorditog sustv u rvii Rel fukcij f : X Y je periodič ko postoji brem jed P R tkv d z svki X istovremeo vrijede tvrdje: o ( + P) X; o f ( + P) = f () Broj P ziv se period fukcije f Njmji strogo pozitiv period T (ko postoji) fukcije f ziv se temelji period Nultočk rele fukcije f : X Y je svki X tkv d je f () = (uz uvjet Y) Nultočk se grfički iterpretir ko sjecište grf fukcije i osi psis (osi ) Poliomi i rciole fukcije: Nek su N,,, R Poliom stupj je fukcij p : R R defiir s k k k = p( ) : = = + + ziv se vodeći koeficijet, slobodi čl poliom p Z = dobiv se kostt fukcij, z = lier fukcij, z = kvdrt fukcij, z = kub fukcij Poliom p tkv d z svki R vrijedi p() = zivmo ulpoliom Svki poliom eprog stupj im brem jedu ultočku Poliom stupj koji im brem + rzličitih ultočk užo je ulpoliom Krtost pojedie ultočke je ukup broj pojvljivj te ultočke u popisu svih ultočk poliom stupj (povljj ultočk su dozvolje) Osovi poučk lgebre: Nek je p poliom stupj s kompleksim koeficijetim Td jeddžb p() = im brem jedo rješeje koje pripd skupu C (Općeito, svki poliom stupj s kompleksim koeficijetim im točo e užo međusobo rzličitih kompleksih ultočk) S je ozče opercij kompozicije fukcij: (f g)() := f [g()] Rstuće i pdjuće fukcije jedim imeom zivmo mootoe fukcije Strogo rstuće i strogo pdjuće fukcije jedim imeom zivmo strogo mootoe fukcije mrsc Boj Kovčić, predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Ako su,, sv (e užo međusobo rzličit) rješej jeddžbe p() = u skupu C, od vrijedi rstv: Z svki z C vrijedi ekvivlecij: ( p( z) ) ( p( z) ) p( ) = ( ) = ( ) ( ) = = k k = Bèzoutov poučk: Nek su svi koeficijeti poliom p cijeli brojevi, vodeći koeficijet Ako jeddžb p() = im rješeje Z, od (Ekvivleto, svi kdidti z cjelobroje ultočke poliom s cjelobrojim koeficijetim i vodećim koeficijetom su djelitelji slobodog čl tog poliom) p Nek su svi koeficijeti poliom p cijeli brojevi Ako je = (pri čemu su p Z i q N tkvi d je NZD( p, q ) = ) rješeje q jeddžbe p() =, od istodobo q i p Algebrske opercije s poliomim svode se lgebrske opercije s potecijm Poliom p je djeljiv poliomom q ko je svk ultočk poliom q ujedo i ultočk poliom p, pri čemu krtost te ultočke z poliom q mor biti jviše jedk krtosti te ultočke z poliom p Nek su m, N tkvi d je m < Nek su p poliom stupj m čiji je skup ultočk N, te p poliom stupj čiji je skup ultočk N Prv rciol fukcij je rel fukcij f defiir propisom p( ) f ( ) = p ( ) (*) Njezio prirodo područje defiicije je R\N Skup svih ultočk fukcije f jedk je N \N Pol rciole fukcije f je svki elemet skup N Red pol (k) jedk je krtosti pripde ultočke z poliom p Pol red k je uklojiv ko je pripd ultočk (krtosti točo k) ujedo i ultočk poliom p s krtosti brem k U suprotom, pol je euklojiv Neprv rciol fukcij je fukcij f defiir propisom (*) pri čemu vrijedi m Tkv fukcij uvijek se može pisti ko zbroj poliom (stupj m ) i prve rciole fukcije Prirodo područje defiicije, ultočke i polovi pritom se određuju ko i kod prve rciole fukcije Hrmoijsk fukcij Nek su A, ω i ϕ rele kostte tkve d su A, ω > Hrmoijsk fukcij je fukcij f : R R defiir propisom f () = A si(ω + ϕ) Vrijedost A ziv se mplitud, vrijedost ω kruž frekvecij, vrijedost ϕ fzi pomk fukcije f Njezi temelji period jedk je k ϕ T =, skup svih ultočk N( f ) = : k Z Krkterističe točke svke hrmoijske fukcije jeziu osovu ω ω ϕ ϕ segmetu, T ω ω su ϕ ϕ T ϕ T ϕ T ϕ T =,, T = +, A, T = +,, T = +, A i T = + T, ω ω ω ω ω Superpozicij hrmoijskih fukcij f () = A si(ω + ϕ ) i f () = A si(ω + ϕ ) s istom kružom frekvecijom ω je hrmoijsk fukcij f () = A si(ω + ϕ), pri čemu je ϕ A siϕ + A siϕ = rctg A cosϕ + A cosϕ A = A + A + A A cos( ϕ ϕ ) (Predzk veličie A jedk je predzku izrz A cos ϕ + A cos ϕ ) Npomee:) Ako vrijedi A < i/li ω <, fukcij se svodi gorji oblik primjeom idetitet si( ) = ( ) si i si( ) = si ) Ako je f() = A cos(ω + ϕ), fukcij se svodi gorji oblik primjeom idetitet cos = si + ili cos = si Simbol čitti: dijeli Dkle, zči d je djeljiv s bez osttk Ozku NZD čitti: jveći zjedički djelitelj mrsc Boj Kovčić, predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Ekspoecijl i logritmsk fukcij Nek je > rel kostt Fukciju f : R, + defiiru propisom f () = zivmo ekspoecijl fukcij (s bzom ) T fukcij je odozdo omeđe bijekcij koj em ultočk, ije iti pr iti epr iti periodičk Z < < fukcij je strogo pdjuć, dok je z > fukcij strogo rstuć Z = dobiv se kostt fukcij f () =, z svki R Npome: Fukcij f () = b + c, gdje su >,, te b, c im horizotlu simptotu = c Iverz ekspoecijle fukcije s bzom je fukcij g :, + R defiir propisom g () = log T fukcij ziv se logritmsk fukcij (s bzom ) O je eomeđe bijekcij koj im točo jedu ultočku = Fukcij ije iti pr iti epr iti periodičk Z < < fukcij je strogo pdjuć, z > fukcij je strogo rstuć Z = dobiv se fukcij dekdskog logritm (g() = log ), z = e = 7888 dobiv se fukcij prirodog logritm (f () = l ) Hiperbole i re fukcije Nziv Ozk Propis kosius hiperboli ch e + e (lčic) sius hiperboli sh e e tges hiperboli th sh e + e ili ch e e kotges hiperboli cth ch e e ili sh e + e re kosius hiperboli rch l + re sius hiperboli rsh ( ) ( + + ) l re tges hiperboli rth + l re kotges hiperboli rcth + l Osovi idetiteti: ch ± sh = e ± ch sh = cth = th = + ch( ) ch sh sh( ) = sh ch th 5 th( ) = + th cth + cth( ) = cth 7 ch( ± ) = ch ch ± sh sh 8 sh( ± ) = sh ch ± ch sh th ± th 9 th( ± ) = ± th th ± cth cth cth( ± ) = cth ± cth mrsc Boj Kovčić, predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Formule iz lgebre Osovi lgebrski idetiteti: ( ± ) = ± + ( ± ) = ± + ± ( ) ( + ) = ± = ( ± ) ( + ) II DODATAK Osov svojstv ekspoecijle i logritmske fukcije: = m m+ = = m m = m m 5 ( ) = m = 7 m = m m Formul z rješeje kvdrte jeddžbe b ± b c + b + c = :, = Vièteove formule z rješej kvdrte jeddžbe b c + b + c = : + =, = log = log = log ( ) = log + log log = log log 5 log ( ) = log log ( ) = log log 7 log b = log b Formule iz trigoometrije 5 : Osove trigoometrijske relcije: cos + si siα cosα =, tg α =, ctg α = cosα siα Trigoometrij prvokutog trokut: b b siα = cos β =, cosα = si β =, tg α = ctg β =, ctg α = tg β = c c b Izrčuvje svih vrijedosti trigoometrijskih fukcij pomoću vrijedosti jede od jih: fukcij si cos tg ctg si cos ± cos si tg ± si ctg si si ± si ± ± tg ± + tg ± + tg cos ± cos cos cos tg ± + ctg ctg ± + ctg ctg 5 Sve ozke u trokutu su stdrde mrsc Boj Kovčić, predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Toče vrijedosti trigoometrijskih fukcij ekih krkterističih kutov ( := e postoji) kut ( ) 5 9 5 5 8 5 7 5 kut (rd) 5 7 5 5 7 si cos tg ctg Predzci trigoometrijskih fukcij u pojediim kvdrtim: Pretvorb stupjev u rdije: = rd 8 8 Pretvorb rdij u stupjeve: rd = Adicijske formule: si( ± ) = si cos ± cos si cos( ± ) = cos cos si si tg ± tg tg( ± ) = tg tg ctg ctg ctg( ± ) = ctg ± ctg I II III IV si + + cos + + tg + + ctg + + Formule redukcije: si ± = cos tg ± = ctg cos ± = si ctg ± = tg si ± = si tg ± = ± ctg ( ) ( ) ( ) ( ) Formule z trigoometrijske fukcije dvostrukog i polovičog rgumet: cos ± = cos ctg ± = ± tg tg cos + tg + cos( ) + cos( ) = = + tg + cos( ) cos( ) [ ] [ ] si( ) = si cos = si = ± si = cos( ) cos = + cos( ) tg cos cos( ) = cos si = cos = ± tg ctg tg cos cos si tg( ) = tg = ± = = tg + cos si + cos ctg tg + cos + cos si ctg( ) = = ctg = ± = = ctg tg cos si cos mrsc Boj Kovčić, predvč 5
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Formule pretvorbe: umošk trigoometrijskih fukcij u jihov zbroj: si cos = [ si( + ) + si( ) ] cos cos = [ cos( + ) + cos( ) ] si si = [ cos( ) cos( + ) ] zbroj trigoometrijskih fukcij u jihov umožk: + si( + ) si + si = si cos tg + tg = cos cos + si( ) si si = cos si tg tg = cos cos + si( + ) cos + cos = cos cos ctg + ctg = si si + si( ) cos cos = si si ctg ctg = si si Toče vrijedosti ciklometrijskih fukcij z eke krkterističe vrijedosti: rcsi rccos 5 rctg rcctg 5 + pripremio: mrsc Boj Kovčić, predvč mrsc Boj Kovčić, predvč