Matematika 1 { fiziqka hemija

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015

Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti

Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac,

Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer

Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer i intentzitet.

Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer i intentzitet. B #«Y v D #«A #«v v X C Slika 1: Ekvivalentne usmerene dui

Osnovni pojmovi i oznake vektor predstavnik

Osnovni pojmovi i oznake vektor predstavnik nula vektor #«0

Osnovni pojmovi i oznake vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor

Osnovni pojmovi i oznake vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori

Osnovni pojmovi i oznake vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori koplanarni vektori

Osnovni pojmovi i oznake vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori koplanarni vektori skup svih vektora V, odnosno V n

Operacije sa vektorima Definicija 1.2 (Sabira e vektora) #«u = # «AB, #«v = # «BC : #«u + #«v := # «AC.

Operacije sa vektorima Definicija 1.2 (Sabira e vektora) #«u = # «AB, #«v = # «BC : #«u + #«v := # «AC. Definicija 1.3 (Mnoe e vektora skalarom) #«u V, α R\{0} : α #«u := #«v, gde je #«v vektor koji ima: Pravac: Isti kao vektor #«u; Intenzitet: #«u = α #«v ; Smer: Isti kao #«u za α > 0, odnosno suprotan smeru vektora #«u za α < 0.

Operacije sa vektorima Definicija 1.4 (Razlika vektora) #«u #«v := #«u + ( 1) #«v.

Operacije sa vektorima Definicija 1.4 (Razlika vektora) #«u #«v := #«u + ( 1) #«v. Definicija 1.5 (Linearna kombinacija vektora) v #«1,..., v #«k V, α 1,..., α k R : #«v := α1 #«v1 +... + α k #«vk.

Operacije sa vektorima Definicija 1.4 (Razlika vektora) #«u #«v := #«u + ( 1) #«v. Definicija 1.5 (Linearna kombinacija vektora) v #«1,..., v #«k V, α 1,..., α k R : #«v := α1 #«v1 +... + α k #«vk. Definicija 1.6 (Jediniqni vektor) #«u V, #«u 0 : #«1 v := #«#«u. u

Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«asocijativnost sabira a

Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, asocijativnost sabira a neutralni element

Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, (S3) #«u + ( #«u ) = #«0, asocijativnost sabira a neutralni element suprotni element

Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, (S3) #«u + ( #«u ) = #«0, (S4) #«u + #«v = #«v + #«u, asocijativnost sabira a neutralni element suprotni element komutativnost

Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, (S3) #«u + ( #«u ) = #«0, (S4) #«u + #«v = #«v + #«u, (M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v, asocijativnost sabira a neutralni element suprotni element komutativnost distributivnost sabira a vektora

Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, (S3) #«u + ( #«u ) = #«0, (S4) #«u + #«v = #«v + #«u, (M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v, (M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u, asocijativnost sabira a neutralni element suprotni element komutativnost distributivnost sabira a vektora asocijativnost skalarnog mnoe a

Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, (S3) #«u + ( #«u ) = #«0, (S4) #«u + #«v = #«v + #«u, (M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v, (M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u, (M3) (α + β) #«u = α #«u + β #«u, asocijativnost sabira a neutralni element suprotni element komutativnost distributivnost sabira a vektora asocijativnost skalarnog mnoe a distributivnost sabira a skalara

Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, (S3) #«u + ( #«u ) = #«0, (S4) #«u + #«v = #«v + #«u, (M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v, (M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u, (M3) (α + β) #«u = α #«u + β #«u, (M4) 1 #«u = #«u. asocijativnost sabira a neutralni element suprotni element komutativnost distributivnost sabira a vektora asocijativnost skalarnog mnoe a distributivnost sabira a skalara jediniqni element

Dokaz (S1) #«w C D #«v A #«B u Slika 2: Asocijativnost sabira a vektora

Dokaz (S1) #«w C D #«v #«v + #«w A #«B u Slika 2: Asocijativnost sabira a vektora

Dokaz (S1) #«w C D #«v #«u + ( #«v + #«w) #«v + #«w A #«B u Slika 2: Asocijativnost sabira a vektora

Dokaz (S1) #«w C D #«v #«u + #«v A #«B u Slika 2: Asocijativnost sabira a vektora

Dokaz (S1) #«w C D #«v ( #«u + #«v ) + #«w #«u + #«v A #«B u Slika 2: Asocijativnost sabira a vektora

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija 1.7 Vektori v #«1,..., v #«n su linearno nezavisni ako relacija: α 1 #«v1 + + α n # «vn = #«0 vai samo za α 1 = = α n = 0.

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija 1.7 Vektori v #«1,..., v #«n su linearno nezavisni ako relacija: α 1 #«v1 + + α n # «vn = #«0 vai samo za α 1 = = α n = 0. U suprotnom, ako postoji i n-torka (α 1,..., α n ) u kojoj je bar jedan od brojeva α i razliqit od nule, vektori se nazivaju linearno zavisnim.

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.2 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni.

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.2 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni. Teorema 1.3 U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora ravni su linearno zavisna.

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.2 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni. Teorema 1.3 U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora ravni su linearno zavisna. Teorema 1.4 U prostoru postoje tri linearno nezavisna vektora, a svaka qetiri vektora su linearno zavisna.

Primeri Primer 1 C A # «AB + # «BC + # «CA = #«0 Slika 3: Vektori odreeni stranicama trougla su linearno zavisni B

Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 4: Da li su vektori AC # «1 i BD # «kolinearni? B

Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 4: Da li su vektori BC # «1, A # «1 D 1 i CD # «koplanarni? B

Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 4: Da li su vektori BC # «1, CD # «i D # «1 B koplanarni? B

Arhimedov zakon poluge

Centar masa taqaka AT : T B = m 2 : m 1 m 1 # «T A + m 2 # «T B = #«0 A(m 1 ) B(m 2 ) T

Centar masa taqaka AT : T B = m 2 : m 1 m 1 # «T A + m 2 # «T B = #«0 A(m 1 ) B(m 2 ) T O { proizvo na taqka Centar masa taqaka A(m 1 ) i B(m 2 ): # «OT = 1 ( # «m 1 m 1 + m 2 # «) OA + m 2 OB

Teixte trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 )

Teixte trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A)

Teixte trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 # «) OB + m 3 OC

Teixte trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 Teorema 1.5 Teixne dui se seku u centru masa. # «) OB + m 3 OC

Teixte trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 Teorema 1.5 Teixne dui se seku u centru masa. # «) OB + m 3 OC Za m 1 = m 2 = m 3 = m: centar masa = teixte trougla!

Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora.

Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze.

Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva.

Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva. Svaki vektor #«v V 2 moe da se napixe u obliku: #«v = x1 #«e1 + x 2 #«e2, gde je e = ( #«e 1, #«e 2 ) baza vektorskog prostora V 2.

Koordinate vektora Baza e = (e 1, e 2 ) vektorskog prostora V 2. Koordinate vektora #«v V 2 u bazi e: [ #«v ] e = ( ) x1 x 2

Koordinate vektora Baza e = (e 1, e 2 ) vektorskog prostora V 2. Koordinate vektora #«v V 2 u bazi e: [ #«v ] e = ( ) x1 x 2 Baza e = (e 1, e 2, e 3 ) vektorskog prostora V 3. Koordinate vektora #«v V 3 u bazi e: [ #«v ] e = x 1 x 2 x 3

Koordinate taqke Baza e = (e 1,..., e n ) vektorskog prostora V. Fiksirana taqka O E naziva se koordinatni poqetak. O e se naziva koordinatnim sistemom ili reperom prostora E.

Koordinate taqke Baza e = (e 1,..., e n ) vektorskog prostora V. Fiksirana taqka O E naziva se koordinatni poqetak. O e se naziva koordinatnim sistemom ili reperom prostora E. Definicija 2.1 Koordinate taqke X E u reperu Oe definixemo kao koordinate vektora OX # «u bazi e: [X] Oe := [ # «OX] e.

Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N."

Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N." Korektnost: [ MN] # «e = [ MO # «+ ON] # «e = [ ON] # «e [ OM] # «e = [N] Oe [M] Oe.

Matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n M mn (R) = A = (a ij ) = a ij R...... a m1 a m2 a mn Sabira e: A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ), A, B M mn. Mnoe e skalarom: λa = λ (a ij ) = (λ a ij ), λ R, A M mn. Teorema 2.1 Skup M mn (R) svih realnih matrica dimenzija m n u odnosu na sabira e matrica i mnoe e matrica skalarom qini vektorski prostor.

Transponova e matrice Transponova e = zamena mesta vrstama i kolonama. A = (a ij ) = A T = (a ji ) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n...... M mn(r) a m1 a m2 a mn a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2...... M nm(r) a 1m a 2m a nm

Mnoe e matrica A M mn (R), B M nk (R) = A B M mk (R): a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1k a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2k A B =............... a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b nk a 11 b 11 +... + a 1n b n1 a 11 b 12 +... + a 1n b n2... = a 21 b 11 +... + a 2n b n1.........

Mnoe e matrica A M mn (R), B M nk (R) = A B M mk (R): a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1k a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2k A B =............... a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b nk a 11 b 11 +... + a 1n b n1 a 11 b 12 +... + a 1n b n2... = a 21 b 11 +... + a 2n b n1.........

Mnoe e matrica A M mn (R), B M nk (R) = A B M mk (R): a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1k a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2k A B =............... a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b nk a 11 b 11 +... + a 1n b n1 a 11 b 12 +... + a 1n b n2... = a 21 b 11 +... + a 2n b n1.........

Mnoe e matrica A M mn (R), B M nk (R) = A B M mk (R): a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1k a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2k A B =............... a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b nk a 11 b 11 +... + a 1n b n1 a 11 b 12 +... + a 1n b n2... = a 21 b 11 +... + a 2n b n1...... (A B) ij = n a ip b pj p=1...

Primeri ( ) 1 2 ( ) 1 2 0 = nije definisan! 2 3 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 5 2 8 = 2 3 3 0 4 7 4 12 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 5 2 = 2 3 3 0 7 4 mnoe e matrica ( 1 2 3 0 ) ( 1 2 2 3 ) = nije komutativno! ( 3 4 ) 3 6

Jediniqna matrica A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n...... a m1 a m2 a mn, E = 1 0 0 0 1 0...... 0 0 1 : jediniqna matrica

Jediniqna matrica A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n...... a m1 a m2 a mn, E = 1 0 0 0 1 0...... 0 0 1 : jediniqna matrica A E = A = E A

Inverz matrice Matrica A M n (R) ima inverz ako det A 0. Takve matrice nazivamo regularne matrice i ihov skup qini grupu (u odnosu na mnoe e matrica) koju oznaqavamo sa GL n (R). Primer 3 ( a b A = c d ), A 1 = 1 ad bc ( d b ) c a

Nilpotentne matrice Definicija 2.2 Matrica A je nilpotentna ako je A 0 i postoji k N takav da je A k = 0. Primer 4 a2 A = a b b a ( ) A 2 0 0 = 0 0, b 0

Skalarni proizvod Definicija 3.1 (Skalarni proizvod) #«v, #«u V : #«v #«u := #«v #«u cos ( #«v, #«u ),

Skalarni proizvod Definicija 3.1 (Skalarni proizvod) #«v, #«u V : #«v #«u := #«v #«u cos ( #«v, #«u ), Primene skalarnog proizvoda: Duine: Uglovi: #«v = #«v #«v ; ( #«v, #«u ) = arccos Projekcija vektora #«v na vektor #«u: pr #«u #«v = #«v #«u #«u #«v #«u #«v #«u

Osobine skalarnog proizvoda Teorema 3.1 (Osobine skalarnog proizvoda) Neka su #«v, #«u, #«w V i α R. Tada vai:

Osobine skalarnog proizvoda Teorema 3.1 (Osobine skalarnog proizvoda) Neka su #«v, #«u, #«w V i α R. Tada vai: #«u #«v = #«v #«u, simetriqnost

Osobine skalarnog proizvoda Teorema 3.1 (Osobine skalarnog proizvoda) Neka su #«v, #«u, #«w V i α R. Tada vai: #«u #«v = #«v #«u, simetriqnost #«u (α #«v + β #«w) = α( #«u #«v ) + β( #«u #«w), linearnost

Osobine skalarnog proizvoda Teorema 3.1 (Osobine skalarnog proizvoda) Neka su #«v, #«u, #«w V i α R. Tada vai: #«u #«v = #«v #«u, simetriqnost #«u (α #«v + β #«w) = α( #«u #«v ) + β( #«u #«w), linearnost #«u #«u = #«u 2 0, nenegativnost

Osobine skalarnog proizvoda Teorema 3.1 (Osobine skalarnog proizvoda) Neka su #«v, #«u, #«w V i α R. Tada vai: #«u #«v = #«v #«u, simetriqnost #«u (α #«v + β #«w) = α( #«u #«v ) + β( #«u #«w), linearnost #«u #«u = #«u 2 0, nenegativnost #«u #«u = 0 ako i samo ako je #«u = #«0. nedegenerisanost

Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( e #«1,..., e #«n ) : e #«i e #«j = δ ij. #«v = v1 e 1 + v 2 e 2 +... + v n e n, #«u = u 1 e 1 + u 2 e 2 +... + u n e n : #«v #«u = v1 u 1 + v 2 u 2 +... + v n u n = (v 1,..., v n ) u 1. u n = [v] T e [u] e

Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( e #«1,..., e #«n ) : e #«i e #«j = δ ij. #«v = v1 e 1 + v 2 e 2 +... + v n e n, #«u = u 1 e 1 + u 2 e 2 +... + u n e n : #«v #«u = v1 u 1 + v 2 u 2 +... + v n u n = (v 1,..., v n ) u 1. u n = [v] T e [u] e Primer 5 Dati su vektori #«v = (1, 2, 2) i #«u = ( 3, 0, 4) iz V 3 svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi. Odrediti: (a) #«v ; (b) ( #«v, #«u ).

Orijentacija prostora Baze e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) je pozitivne orijentacije ako vai pravilo ruke: ako isprueni kaiprst desne ruke predstav a vektor e #«1, sred i prst vektor e #«2, a palac vektor e #«3, onda je baza e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) pozitivne orijentacije".

Vektorski proizvod Definicija 3.2 (Vektorski proizvod) #«v, #«u V 3 : #«v #«u := #«w, gde je #«w vektor koji ima: Intenzitet: #«w = #«v #«u sin ( #«v, #«u ); Pravac: #«w #«v, #«u; Smer: Baza ( #«v, #«u, #«w) je pozitivne orijentacije.

Vektorski proizvod Definicija 3.2 (Vektorski proizvod) #«v, #«u V 3 : #«v #«u := w, #«gde je w #«vektor koji ima: Intenzitet: w #«= #«v #«u sin ( #«v, #«u ); Pravac: w #«#«v, #«u; Smer: Baza ( #«v, #«u, w) #«je pozitivne orijentacije. #«u h = #«u sin φ φ #«v Slika 5: #«v #«u = P ( #«v, #«u )

Osobine vektorskog proizvoda Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u prostora V 3 su linearno nezavisni ako i samo ako #«v #«u #«0.

Osobine vektorskog proizvoda Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u prostora V 3 su linearno nezavisni ako i samo ako #«v #«u #«0. Teorema 3.2 (Osobine vektorskog proizvoda) #«v, #«u, #«w V 3, α, β R: #«u #«v = #«v #«u, antisimetriqnost (α #«u + β #«v ) #«w = α( #«u #«w) + β( #«v #«w). linearnost

Osobine vektorskog proizvoda Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u prostora V 3 su linearno nezavisni ako i samo ako #«v #«u #«0. Teorema 3.2 (Osobine vektorskog proizvoda) #«v, #«u, #«w V 3, α, β R: #«u #«v = #«v #«u, antisimetriqnost (α #«u + β #«v ) #«w = α( #«u #«w) + β( #«v #«w). linearnost Teorema 3.3 (Dvostruki vektorski proizvod) #«v, #«u, #«w V 3 : #«v ( #«u #«w) = ( #«v #«w) #«u ( #«v #«u ) #«w.

Osobine vektorskog proizvoda Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u prostora V 3 su linearno nezavisni ako i samo ako #«v #«u #«0. Teorema 3.2 (Osobine vektorskog proizvoda) #«v, #«u, #«w V 3, α, β R: #«u #«v = #«v #«u, antisimetriqnost (α #«u + β #«v ) #«w = α( #«u #«w) + β( #«v #«w). linearnost Teorema 3.3 (Dvostruki vektorski proizvod) #«v, #«u, #«w V 3 : #«v ( #«u #«w) = ( #«v #«w) #«u ( #«v #«u ) #«w. Teorema 3.3 = vektorski proizvod nije asocijativan.

Vektorski proizvod u ortonormiranoj bazi e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) { ortonormirana baza pozitivne orijentacije e #«#«1 e2 e3 #«e #«#«1 0 e3 #«e #«2 e #«2 e #«#«3 0 e1 #«e #«#«3 e2 e #«#«1 0

Vektorski proizvod u ortonormiranoj bazi e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) { ortonormirana baza pozitivne orijentacije e #«#«1 e2 e3 #«e #«#«1 0 e3 #«e #«2 e #«2 e #«#«3 0 e1 #«e #«#«3 e2 e #«#«1 0 #«v = v1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3, #«u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 #«v #«u = (v2 u 3 v 3 u 2 ) e #«1 + (v 3 u 1 v 1 u 3 ) e #«2 + (v 1 u 2 v 2 u 1 ) e #«3 e #«1 e2 #«e3 #«= v 1 v 2 v 3. u 1 u 2 u 3

Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3.

Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3.

Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 A, B, C { kolinearne D ABC = 0; e #«3 =: D #«ABC e3.

Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3. A, B, C { kolinearne D ABC = 0; ABC { pozitivno orijentisan ako D ABC > 0.

Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3. A, B, C { kolinearne D ABC = 0; ABC { pozitivno orijentisan ako D ABC > 0. Primer 6 Odrediti povrxinu ABC, A(1, 3), B(4, 0), C(2, 3).

Mexoviti proizvod Definicija 3.3 (Mexoviti proizvod) #«v, #«u, #«w V 3 : [ #«v, #«u, #«w] := ( #«v #«u ) #«w. #«v #«u # «w #«w #«u φ B #«v Slika 6: [ #«v, #«u, #«w] = V ( #«v, #«u, #«w)

Mexoviti proizvod i orijentacija prostora Posledica 3.2 Vektori #«v, #«u, #«w su linearno nezavisni ako i samo ako: [ #«v, #«u, #«w] 0.

Mexoviti proizvod i orijentacija prostora Posledica 3.2 Vektori #«v, #«u, #«w su linearno nezavisni ako i samo ako: [ #«v, #«u, #«w] 0. Posledica 3.3 Vektori ( #«v, #«u, #«w) prostora, qine bazu pozitivne orijentacije ako je [ #«v, #«u, #«w] > 0, a negativne orijentacije ako je [ #«v, #«u, #«w] < 0.

Osobine mexovitog proizvoda Teorema 3.4 (Osobine mexovitog proizvoda) #«v, #«u, #«w V,α, β R: [ #«v, #«u, #«w] = [ #«u, #«v, #«w], antisimetriqnost [ #«v, #«u, #«w] = [ #«u, #«w, #«v ] = [ #«w, #«v, #«u ], cikliqnost [α #«u + β #«v, #«w, #«z ] = α[ #«u, #«w, #«z ] + β[ #«v, #«w, #«z ]. linearnost

Osobine mexovitog proizvoda Teorema 3.4 (Osobine mexovitog proizvoda) #«v, #«u, w #«V,α, β R: [ #«v, #«u, w] #«= [ #«u, #«v, w], #«antisimetriqnost [ #«v, #«u, w] #«= [ #«u, w, #«#«v ] = [ w, #«#«v, #«u ], cikliqnost [α #«u + β #«v, w, #«#«z ] = α[ #«u, w, #«#«z ] + β[ #«v, w, #«#«z ]. linearnost U ortonormiranoj bazi: [ #«v, #«u, w] #«= v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 w 1 w 2 w 3.

Primene mexovitog proizvoda Zapremina tetraedra ABCA 1 jednaka je xestini zapremine paralelepipeda odreenog vektorima AB, # «AC # «i AA # «1. C1 C1 C1 C1 A1 B1 A1 B1 A1 B1 B1 B1 C C C C A B A B A A B A Slika 7: Podela trostrane prizme na tri piramide istih zapremina

Primene mexovitog proizvoda Zapremina tetraedra ABCA 1 jednaka je xestini zapremine paralelepipeda odreenog vektorima AB, # «AC # «i AA # «1. C1 C1 C1 C1 A1 B1 A1 B1 A1 B1 B1 B1 C C C C A B A B A A B A Slika 7: Podela trostrane prizme na tri piramide istih zapremina Primer 7 Odrediti zapreminu tetraedra qija su temena A(1, 0, 0), B(3, 4, 6), C(0, 1, 0), D(1, 1, 3).