ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune n: A n = Se considera hipercuadrica ana nevida (1.1) (Γ) H(X) := t XAX + BX + a 00 = 0, t A = A M n (R), A O n, B M 1,n (R), ( X, ) X, Φ. a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. Denition 1.1. Se numeste centru de simetrie al hipercuadricei ane Γ un punct C A cu proprietatea ca oricare ar un punct M Γ, rezulta ca simetricul lui M fata de C apartine tot hipercuadricei. Reamintim ca S C (M) = C M. Theorem 1.. Punctul C A este centru de simetrie pentru hipercuadrica ana (Γ) daca si numai daca matricea X a coordonatelor sale in raport cu R verica ecuatia matriceala (1.) AX + t B = O. Remark. Sistemul (1.) este echivalent cu (1.3) = 0, i 1, n. xi Observam ca multimea centrelor de simetrie ale unei hipercuadrice ane este un subspatiu an de ecuatie (1.), de dimensiune n rang(a). n Proof. Presupunem ca C este centru de simetrie pentru Γ si OC = i=1 xi 0ē i. Notam cu X 0 = ( ) t x 1 0 x n 0 matricea coloana a coordonatelor lui C in reperul R. Consideram o translatie de repere R R = {C; ē 1,, ē n }, X = X + X 0. Ecuatia matriceala a hipercuadricei in raport cu noul reper este t (X + X 0 ) A (X + X 0 ) + B (X + X 0 ) + a 00 = 0 (1.4) t X AX + (t X 0 A + B ) X + H(X 0 ) = 0. Fie M Γ ce are in raport cu R matricea coordonatelor X. Atunci, simetricul lui M fata de C are in raport cu R matricea coordonatelor X. Deoarece C este centru de simetrie rezulta ca atat X cat si X verica ecuatia matriceala a lui Γ: (1.5) t X AX (t X 0 A + B ) X + H(X 0 ) = 0. Scazand ecuatiile (1.4) si (1.5) obtinem ( t X 0 A + B) X = 0. Daca presupunem t X 0 A + B O ar rezulta ca ecuatia ( t X 0 A + B) X = 0 este ecuatia unui hiperplan H si ca orice punct al cuadricei Γ apartine acestui hiperplan, deci Γ H, contradictie cu denitia unei hipercuadrice. Deci t X 0 A + B = O AX + t B = O. 1
ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE Sistemul de ecuatii liniare (1.) are solutie unica daca si numai daca este un sistem de tip Cramer, deci daca si numai daca δ = det(a) 0. Conicele si cuadricele cu centru unic de simetrie sunt: elipsa hiperbola punct dublu drepte concurente elipsoid hiperboloid cu o panza hiperboloid cu doua panze con patratic punct dublu Daca δ = 0, sistemul (1.) este compatibil daca si numai daca rang(a) = rang (A t B). Daca δ = 0 si 0, atunci Γ nu are centru de simetrie. parabola Daca δ = = 0, atunci Γ are o innitate de centre de simetrie: paraboloidul eliptic paraboloidul hiperbolic cilindrul parabolic o dreapta de centre de simetrie: o pereche de drepte paralele o dreapta dubla o dreapta de centre de simetrie: dreapta dubla cilindrul eliptic cilindrul hiperbolic o pereche de plane secante un plan de centre de simetrie: o pereche de plane paralele plan dublu Exemple 1) Fie cuadrica (1.6) (Γ) x + 5y + z + xy + 6xz + yz x + 6y + z = 0. Am vazut in cursul precedent ca este un hiperboloid cu o panza. Coordonatele centrelor de simetrie sunt solutiile urmatorului sistem x = 0, x + y + 3z 1 = 0, y = 0, x + 5y + z + 3 = 0, z = 0, 3x + y + z + 1 = 0, sistem care are solutia unica C ( 1 3, 3, 3). ) Fie paraboloidul eliptic (1.7) (Γ) 4x + y + 3z + 4xz 4yz + 6x + 4y + 8z + = 0. Coordonatele centrelor de simetrie sunt solutiile urmatorului sistem: 4x + z + 3 = 0, y z + = 0, x y + 3z + 4 = 0. Acesta este incompatibil, deci paraboloidul eliptic nu are centru de simetrie. 3) In cazul cilindrului eliptic (1.8) (Γ) 4x + y + 3z + 4xz 4yz + 8x 4y + 8z = 0,
ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE 3 sistemul coordonatelor centrelor de simetrie este compatibil nedeterminat: 4x + z + 3 = 0, y z + = 0, x y + 3z + 4 = 0. Dreapta centrelor de simetrie are ecuatiile parametrice x = 1 t, y = 1 + t, z = t.. Directii principale. Hiperplane de simetrie ale unei hipercuadrice intr-un spatiu afin euclidian Hiperplanul diametral conjugat unei directii in raport cu o hipercuadrica ana. Fie ū 0 un vector nenul xat si hipercuadrica (1.1). Theorem.1. Locul geometric al punctelor P din spatiul an A, cu proprietatea ca pentru orice punct M al dreptei δ = P + [ū], are loc H(M) = H(S P (M)), are ecuatia matriceala ( (.1) t XA + B ) U = 0, unde X este matricea coloana a coordonatelor lui P in raport cu reperul considerat si U este matricea coloana a coordonatelor lui ū in raport cu baza reperului. Remark. Daca AU = BU = 0, ecuatia anterioara determina intreg spatiul an. Daca AU = 0 si BU 0, obtinem multimea vida. Daca AU O ecuatia (.1) reprezinta un hiperplan si este echivalenta cu (.) unde ū = u 1 ē 1 + u ē + u n ē n 0. u1 x 1 + u x + + un x n = 0, Denition.. Hiperplanul de ecuatie ( t XA + B ) U = 0, AU O se numeste hiperplanul diametral conjugat directiei ū in raport cu hipercuadrica Γ. In cazul conicelor il numim simplu diametrul conjugat directiei ū in raport cu Γ, iar in cazul cuadricelor il numim planul diametral conjugat directiei ū in raport cu Γ. Denumirea poate explicata astfel. Pentru o hipercuadrica ce are cel putin un centru de simetrie, orice centru de simetrie apartine oricarui hiperplan diametral conjugat unei directii nenule in raport cu hipercuadrica. Acest lucru reiese din ecuatiile (1.3) si (.1). Proof. Revenim la demonstratia teoremei anterioare. Fie L g = {P A M P + [ū] H(M) = H (S P (M))}. Consideram ca P 0 L g si e X 0 matricea coordonatelor lui P 0 in raport cu reperul xat. Ecuatia matriceala a dreptei δ = P + [ū] este δ : X = X 0 + tu, t R. Daca M δ are matricea coordonatelor M rezulta ca M = P 0 M are matricea coordonatelor X = X 0 X. Deoarece M, M δ rezulta ca t R astfel incat X = X 0 tu. H(X) = t (X 0 + tu) A (X 0 + tu) + B (X 0 + tu) + a 00 H(X) = (t UAU ) t + t (t X 0 A + B ) U + H(a 00 ). H( X) = (t UAU ) t t (t X 0 A + B ) U + H(a 00 ). Dar P L g, deci rezulta ca H(X) = H( X) 4t ( t X 0 A + B) U = 0 t R ( t X 0 A + B) U = 0. Reciproc, daca matricea X 0 a coordonatelor lui P verica ecuatia ( t XA + B) U = 0, demonstrati ca pentru orice M(X) P + [ū], simetricul sau M( X) fata de P satisface relatia H(X) = H( X), deci P L g.
ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE 4 Exemple 1) Pentru elipsa (Γ) 3x + xy + 3y + 6x y 5 = 0, diametrul conjugat directiei ū = ē 1 3ē in raport cu Γ are ecuatia 1 H x + 1 ( 3) H = 0 3x 7y + 9 = 0. y ) Pentru paraboloidul hiperbolic (Γ ) y z + 4xy 4xz 6x + 4y + z + 8 = 0 si ū = ē 1 ē + 3ē 3, planul diametral conjugat directiei ū in raport cu Γ are ecuatia x + ( ) y + 3 H z = 0 10x + 5z + 4 = 0. Directii principale. Pentru a putea ( deni directiile principale ale unei hipercuadrice, este necesar sa ne situam intr-un spatiu an euclidian E n = E, ( ) E, <, >), Φ. Denition.3. Vectorul nenul ū E se numeste directie principala pentru hipercuadrica Γ daca ū este perpendicular pe hiperplanul diametral conjugat directiei ū in raport cu Γ. Theorem.4. Daca ū 0 este directie principala pentru Γ atunci ū este vector propriu al lui A. Proof. Fie ū o directie principala pentru Γ si U matricea coloana a coordonatelor sale in raport cu baza reperului. Hiperplanul diametral conjugat lui ū fata de Γ are ecuatia matriceala t XAU + BU = 0, deci are vectorul normal avand matricea coordonatelor AU O. Dar ū este perpendicular pe acest hiperplan, rezulta ca ū este coliniar cu vectorul normal hiperplanului, adica λ R astfel incat AU = λu, adica ū este vector propriu al lui A corespunzator valorii proprii λ. Corollary.5. Orice hipercuadrica in E n are cel putin n directii principale ortogonale doua cate doua. Reamintim ca baza reperului in raport cu care o conica sau o cuadrica are ecuatia canonica e formata din directii principale. Proposition. Pentru o hipersfera, orice directie nenula este principala. Proof. Pentru o hipersfera, matricea A este de tipul A = (a ij ) i,j 1,n cu a ii = a 0, i 1, n si a ij = 0 i j. Rezulta ca (A ai n ) X = O, X, deci orice vector nenul este vector propriu al lui A corespunzator valorii proprii a. Hiperplane de simetrie pentru o hipercuadrica euclidiana. Denition.6. Se numeste hiperplan de simetrie pentru hipercuadrica Γ din spatiul an euclidian E n un hiperplan diametral conjugat unei directii principale. In cazul unei conice obtinem notiunea de axa de simetrie, iar pentru cuadrice cea de plan de simetrie. Din (.1) reiese urmatorul rezultat: Theorem.7. Fiecarei valori proprii nenule λ a matricei A ii corespunde un hiperplan de simetrie, de ecuatie (.3) t X(λU) + BU = 0.
ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE 5 Denumirea anterioara este motivata de faptul ca se poate demonstra ca simetricul oricarui punct al unei hipercuadrice fata de hiperplanul diametral conjugat unei directii principale apartine tot hipercuadricei. Observam in plus ca intersectia a n 1 hiperplane de simetrie este o dreapta, pe care o vom numi axa de simetrie, deoarece simetricul oricarei punct al cuadricei fata de acea dreapta apartine tot cuadricei. Remark. Pentru λ = 0, hiperplanul de simetrie determinat de vectorul propriu corespunzator lui λ este nedeterminat. Mai exact, daca BU 0, ecuatia (.3) nu are solutii. De exemplu, putem vedea ca nu exista hiperplan diametral conjugat unui vector propriu corespunzator valorii proprii 0 in cazul unei parabole sau al unui paraboloid. Din acest motiv parabola (λ 1 = 0, λ 0) are o singura axa de simetrie, iar paraboloidul eliptic ori cel hiperbolic (λ 1 0, λ 0, λ 3 = 0) au ecare doar doua plane de simetrie. Daca BU = 0, atunci relatia (.3) este identic adevarata, deci orice hiperplan diametral conjugat vectorului propriu corespunzator este hiperplan de simetrie. De exemplu, in cazul unui cilindru eliptic sau hiperbolic, obtinem o innitate de hiperplane de simetrie asociate unui vector propriu corespunzator valorii proprii λ = 0. In cazul unei conice cu centru unic de simetrie C, acesta apartine celor doua axe de simetrie, deci putem determina in doua moduri axele de simetrie ale unei elipse sau hiperbole: e ca drepte prin C, avand ca directii directiile principale, e ca diametri conjugati directiilor principale. De exemplu, folosind notatiile din exemplele din cursurile precedente, axa Cx e dreapta prin C, de directie ī, sau este diametrul conjugat lui j in raport cu Γ. Am notat cu ī, j vectorii proprii ai lui A. Pentru o cuadrica cu centru unic de simetrie C, avem de asemenea mai multe posibilitati de determinare a axelor si planelor de simetrie. Axele de simetrie sunt drepte prin C, cu directiile date de directiile principale. Planele de simetrie sunt plane prin C, avand ca vectori normali cate o directie principala. Sau putem determina mai intai planele de simetrie, ca ind planele diametral conjugate unor directii principale, iar axele de simetrie sunt intersectia a doua plane de simetrie distincte. Pentru conicele si cuadricele care nu au centru unic de simetrie vom da cate un exemplu pentru a explica modul in care putem determina reperul canonic, fara a folosi metoda expusa in demonstratia teoremelor de clasicare a conicelor, respectiv cuadricelor. Exemple 1) Fie conica x + xy + y + 3x + y = 0, a carei ecuatie e data in raport cu reperul ortonormat R = {O; ī, j}. Deoarece δ = 0, = 1 0, rezulta ca este o parabola, de ecuatie canonica ỹ = ±p x, p = I 3 = 4. Semnul ± din ecuatia anterioara va xat dupa alegerea reperului canonic. Stim ca acesta are ca origine varful parabolei iar baza e formata din directiile principale ale matricei A. Valorile proprii ale lui A sunt λ 1 = 0 si λ =, iar directiile principale sunt ī = 1 (ī j) U(0) si j = 1 (ī + j) U(). Axa de simetrie a parabolei este diametrul conjugat directiei j : (V x) x + y + 1 = 0. Varful parabolei il obtinem intersectand axa de simetrie cu parabola: V (0, 1). Cealalta axa a reperului canonic, V ỹ, este tangenta in V la parabola (sau perpendiculara in V pe V x): x y+1 = 0. Reprezentati grac parabola! Cu aceasta alegere a reperului canonic, ecuatia canonica a parabolei este ỹ = x. Remark. Se poate demonstra ca in cazul in care a 11 0, atunci un vector propriu corespunzator valorii proprii nenule este vectorul j = a 11 ī + a 1 j, deci putem retine ca ecuatia axei de simetrie a parabolei este a 11 H x + a 1 H y = 0.
ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE 6 Daca a 11 = 0, δ = 0 a 1 = 0. Rezulta ca a 0. In acest caz consideram j = a 1 ī + a j vectorul propriu corespunzator valorii proprii nenule si axa de simetrie a parabolei este H a 1 x + a H y = 0. ) Ne propunem sa determinam reperul in raport cu care cuadrica urmatoare are ecuatia canonica. (Γ) y z + 4xy 4xz 6x + 4y + z + 8 = 0. Aceasta ecuatie e data in raport cu un reper ortonormat R = { O; ī, j, k }. Vom nota coordonatele punctelor in raport cu reperul canonic prin x, ỹ, z. Calculam invariantii ortogonali δ = 0, 0. Valorile proprii ale lui A sunt λ 1 = 3, λ = 3, λ 3 = 0. Deci cuadrica este un paraboloid hiperbolic. Directiile principale sunt ī = 1 3 ( ī j + k) U(3), j = 1 3 ( ī + j k) U( 3), k = 1 3 (ī j k) U(0). Primelor doua directii principale le corespund doua plane de simetrie. Planul (ỹv z) este planul diametral conjugat lui ī : x + y z 1 = 0. Planul ( xv z) este planul diametral conjugat lui j : x y + z + = 0. x Intersectia acestor doua plane de simetrie ne va da axa de simetrie V z : 1 = y = z+1. Intersectand V z cu cuadrica obtinem varful paraboloidului: V ( 5 18, 10 18, 8 18 ). Planul ( xv z) este planul tangent cuadricei in V si il obtinem prin dedublare din ecuatia cuadricei: x + y + z + 9 = 0. Celelalte doua axe ale reperului canonic R c = { V ; ī, j, k } se determina ca drepte prin C, de directie respectiv ī, j, sau ca intersectia a cate doua plane ale reperului canonic, deja determinate. 3 0 0 Pentru a determina ecuatia canonica a cuadricei, stim ca A = 0 3 0 si B = ( t S 0 A + B) S = ( ) 0 0 0 0 0 3, a 00 = H(S 0 ) = 0, unde S 0 e matricea coloana a coordonatelor lui V si S e matricea schimbarii de baze { ī, j, k } { ī, j, k }. Deci ecuatia canonica a paraboloidului hiperbolic este 3 x 3ỹ 6 z = 0 x ỹ = z. 3) Fie cuadrica x + y xy y z + 1 = 0. Determinam δ = 0, λ 1 = 0, λ =, λ 3 = 0, K 0, deci cuadrica este un cilindru parabolic. Consideran directia principala corespunzatoare lui λ, j = 1 (ī j). Planul diametral conjugat lui j este plan de simetrie pt cilindrul parabolic: ( xo z) : x y + 1 = 0. (Am notat cu O originea reperului canonic, inca nedeterminata). Intersectia dintre planul de simetrie si cilindru este axa reperului canonic (O z) x + 1 = y 1 1 = z 5 8 1. Generatoarele cilindrului sunt paralele cu aceasta axa. Ca origine a reperului canonic putem alege orice punct de pe aceasta dreapta, de exemplu O ( 1, 0, 5 8 ). Planul ( xo ỹ) este planul perpendicular in O pe dreapta O z: x + y z + 9 8 = 0. Axa (O x) este intersectia planelor ( xo z) si ( xo ỹ), iar axa O ỹ se obtine ca ind normala in O la planul ( xo z). Astfel determinam (O x) x + 1 = y 1 1 = z 5 8, (O ỹ) x + 1 = y 1 1 = z 5 8. 0 In nal, planul (ỹo z) e planul prin O, avand ca normala dreapta O x: x + y + z 3 4 = 0. 0 0 0 ( Pentru a scrie ecuatia canonica a cilindrului parabolic, folosim A = 0 0, B = 3 6 0 0 0 0 0 a 00 = H(S 0 ) = 0, deci ỹ = 3 x. ỹ = K 6 λ 3 x. ),