U Z G O N Iz iskustva je poznato da je tijela (npr., kamen) lakše podizati u vodi ili nekoj drugoj tekućini nego u zraku. U to se možemo lako uvjeriti izvodeći sljedeći pokus. POKUS: Mjerenje težine utega u zraku i vodi s pomoću dinamometra Rezultat pokusa: Uteg je lakši u vodi nego u zraku. Ako sa G označimo težinu utega u zraku, sa ' G težinu utega u vodi, razliku tih sila: u = G - 'G nazivamo sila uzgona ili uzgon. Uzgon je posljedica djelovanja hidrostatskog tlaka na uronjeno tijelo. Kako hidrostatski tlak raste s dubinom, on je viši na donje stjenke nego na gornje. Zato je sila, koja zbog tlaka djeluje na donje stjenke u smjeru prema gore, veća od sile koja djeluje na gornje stjenke u smjeru prema dolje. Tako je zbroj sila kojima tekućina pritiskuje na stjenke tijela a to je uzgon, usmjeren vertikalno prema gore. Prema slici desno, sila uzgona jednaka je: u = 2 1 = p 2 A p 1 A = ρ tek gh 2 A ρ tek gh 1 A = ρ tek g(h 2 h 1 )A = ρ tek gv u = ρ tek gv gdje je Bočne sile b jednake su po iznosu a suprotnog smjera pa se poništavaju. ρ tek gustoća tekućine V volumen tijela (ili njegovog dijela) uronjenog u tekućinu Uzgon ovisi samo o gustoći tekućine i o volumenu tijela, a ne ovisi o obliku tijela. Ako je tijelo samo djelomično uronjeno, V u izrazu za silu uzgona je volumen uronjenog dijela tijela.
Tijelo uronjeno u tekućinu istisnut će onoliki volumen tekućine koliko iznosi volumen tijela. U izrazu za silu uzgona, volumen V je volumen tijela (ili dijela tijela) uronjenog u tekućinu ili volumen istisnute tekućine. u = ρ tek gv V volumen tekućine koju istisne uronjeno tijelo ρ tek V masa tekućine koju istisne uronjeno tijelo ρ tek gv težina tekućine koju istisne uronjeno tijelo Dakle, uzgon na uronjeno tijelo ima jednak iznos kao težina istisnute tekućine. Ovo je tzv. Arhimedov zakon. ZAŠTO NEKA TIJELA PLIVAJU A NEKA TONU? Hoće li neko tijelo potonuti ili plivati ovisi o odnosu težine tijela i uzgona. 1. Ako je težina veća od sile uzgona, tijelo će potonuti. G > u ρtij g V > ρtek g V /:g V u ρtij > ρtek tijelo tone G
2. Ako su iznosi težina tijela i sile uzgona jednaki, tijelo će lebdjeti u tekućini. G = u ρtij g V = ρtek g V /:g V u ρtij = ρtek tijelo lebdi G 3. Uronimo li tijelo cijelim volumenom u tekućinu, čija je gustoća veća od gustoće tijela, uzgon će biti veći od težine, zbog čega će tijelo izranjati iz tekućine. u G < u ρtij g V < ρtek g V /:g V G ρtij < ρtek tijelo izranja Izranjanjem tijela iz tekućine smanjuje se njegov volumen u tekućini, a time i uzgon. Kada se smanjivanjem volumena u tekućini uzgon izjednači s težinom ( u = G), tijelo prestane izranjati i ostaje plivati. Dok tijelo pliva, uzgon djeluje samo na onaj dio volumena tijela koji se nalazi u tekućini (V u). u = ρtek g Vu u G Plinovi, kao i tekućine, djeluju uzgonom na tijela koja se nalaze u pinovima. Međutim, uzgon u plinovima je oko 1000 puta manji zbog manje gustoće plinova. Uzgon u plinovima uočljiv je kod tijela velikog obujma i srednje gustoće manje od gustoće okolnog plina.
PITANJA I ZADATCI ZA PROVJERU ZNANJA 1. Što je uzgon? O čemu ovisi? 2. Valjkasto tijelo uranjamo u vodu tako da mu je osnovica paralelna s površinom vode. Koji od grafova prikazuje ovisnost uzgona ( u) o dubini (h) na kojoj se nalazi donja osnovica ako ona na početku dodiruje površinu vode? u u u u h h h a) b) c) d) h 3. Ako posudu s vodom na kojoj pliva tijelo odnesemo na Mjesec, obujam tijela ispod površine vode: a) povećat će se b) smanjit će se c) neće se promijeniti 4. Na slikama a) i b) prikazan je pokus kojim se istražuje kako uzgon ovisi o obliku uronjenog tijela. Tri tijela različitih oblika, ovješena o dinamometre, imaju jednake mase i obujme. Na slici a) sila na svaki dinamometar jednaka je težini tijela G 1, koja je pak jednaka sili teži: G 1 = G. Na slici b) sila na svaki dinamometar jednaka je težini, koja je jednaka razlici sile teže i uzgona: G 2 = G - u Što se na temelju slike može zaključiti o ovisnosti uzgona o obliku tijela? 5. O čemu ovisi hoće li tijelo uronjeno u tekućinu isplivati na površinu? 6. Na krakove vage ovješena su tijela A i B jednakih masa pa je vaga u ravnoteži (sl. a). Tijelo A uronimo u vodu dižući jednom rukom posudu s vodom. Poremeti li se pritom ravnoteža na vagi? Uronimo potom i tijelo B u vodu dižući drugom rukom drugu posudu s vodom (sl. b). Što je tada s ravnotežom na vagi? Neka zatim vaš kolega postupno sipa sol u posudu u koju je uronjeno tijelo A. Kako to utječe na ravnotežu na vagi? a) b)
7. Olovnu kuglu ovjesimo o dinamometar A, a aluminijsku kuglu jednakog promjera o dinamometar B. Kako će se promijeniti sile što ih pokazuju dinamometri kada kugle uronimo u vodu? a) Više će se smanjiti sila koju pokazuje dinamometar A. b) Više će se smanjiti sila koju pokazuje dinamometar B. c) Više će se smanjiti sila na dinamometru o kojem visi dublje uronjena ugla. d) Sile koje pokazuju dinamometri jednako će se smanjiti. 8. Kada aluminijsku kuglu uronimo u slatku vodu, a olovnu kocku jednakog obujma u morsku, uzgon će na aluminijsku kuglu a) biti veći nego na olovnu b) biti manji nego na olovnu c) biti jednak uzgonu na olovnu 9. Kada neko tijelo stavimo u vodu, opažamo da lebdi. Kada bismo u vodu stavili tijelo od iste tvari, ali većeg obujma, opazili bismo da tijelo: a) tone b) pliva c) lebdi 10. Na vagi se nalazi čaša s vodom, a iznad nje dinamometar o koji je ovješeno tijelo. Što će se od navedenoga dogoditi kada tijelo uronimo u vodu, a voda se pritom ne prelije preko ruba čaše? a) Dinamometar će pokazivati manju vrijednost, a vaga istu. b) Dinamometar će pokazivati manju vrijednost, a vaga veću. c) Tvrdnje a) i b) su netočne. 11. Na vagi se nalazi čaša puna vode, a iznad nje dinamometar o koji je ovješeno tijelo. Što će se od navedenoga dogoditi kada tijelo uronimo u vodu? a) Dinamometar će pokazivati manju vrijednost, a vaga istu. b) Dinamometar će pokazivati manju vrijednost, a vaga veću. c) Tvrdnje a) i b) su netočne. 12. Težina kugle dvostruko je veća u zraku nego u vodi. Kolika je gustoća kugle? Ako sa G označimo težinu tijela u zraku a sa ' G težinu tijela u vodi, onda je: u = G - ' G Uzgon je razlika težine u zraku i težine u vodi ρ v g V = G ½ G ρ v gustoća vode ρ v g V = ½ G ρ v g V = ½ m g / : 2g 2 ρ v V = m m = ρ t V - masa tijela jednaka je umnošku gustoće tijela ρ t i njegovog volumena V 2 ρ v V = ρ t V / : V 2 ρ v = ρ t 2 1000 kg/m 3 = ρ t ρ t = 2000 kg/m 3
13. U posudu, koja je do ruba napunjena vodom, spustimo dvije kocke jednakih obujama V 1 = V 2 = 100 cm 3. Prva je načinjena od tvari gustoće 2000 kg/m 3, a druga od tvari gustoće 500 kg/m 3. Gustoća vode iznosi 1000 kg/m 3. Koliko će se vode preliti preko ruba posude? V 1 = V 2 = 100 cm 3, ρ 1 = 2000 kg/m 3, ρ 2 = 500 kg/m 3, V =? Kocka gustoće 2000 kg/m 3 potonut će i zbog nje izlit će se 100 cm 3. Kocka gustoće 500 kg/m 3, zbog manje gustoće od gustoće vode, plivat će. Zbog nje izlit će se onoliko volumena vode koliki će volumen te kocke biti uronjen u vodu. Izračunajmo taj volumen (volumen uzgona - V u): Za kocku koja pliva vrijedi jednakost težine i sile uzgona: ρ v g V u = m g ρ v g V u = ρ 2 g V 2 /: g V u = V 2 ρ 2/ρ v V u = 100 cm 3 500 kg/m 3 /2000 kg/m 3 V u = 25 cm 3. Ovom volumenu treba dodati još 100 cm 3, zbog prve kocke koja sva potone: V = V 1 + V u = 100 cm 3 + 25 cm 3 = 125 cm 3. V = 125 cm 3. 14. Kamen mase m = 367 g potpuno potopljen u vodi ima prividnu težinu 2,35 N. Kolika je gustoća kamena? m = 367 g, ' G = 2,35 N, ρ k =? Prema definiciji, gustoća kamena jednaka je kvocijentu mase i volumena: ρ k = m/v. Masa kamena je poznata, za izračun gustoće treba naći još njegov volumen. ρ v g V = G - ' G Razlika težina u zraku i u vodi jednaka je iznosu sile uzgona ρ v g V = m g 2,35 = 0,367 9,81 2,35 = 3,6 2,35 = 1,25 N V = 1,25/ ρ v g = 1,25/1000 9,81 = 1,27 10-4 m 3. V = 1,27 10-4 m 3 Izračunajmo sada gustoću kamena: ρ k = m/v = 0,367 kg/1,27 10-4 m 3 = 2880 kg/m 3 ρ k = 2880 kg/m 3. 15. U komad parafina mase m 1 = 170 g umetnut je komad aluminija. Kolika je masa aluminija ako takvo tijelo lebdi u vodi? Gustoća vode je 1000 kg/m 3, gustoća parafina je ρ 1 = 900 kg/m 3, a gustoća aluminija ρ 2 = 2700 kg/m 3. m 1 = 170 g = 0,17 kg, ρv = 1000 kg/m 3, ρ 1 = 900 kg/m 3, ρ 2 = 2700 kg/m 3, m 2 =? Rezultanta sila koje djeluju na tijelo koje lebdi u vodi jednaka je nuli. Odnosno, težina tijela jednaka je po iznosu a suprotna po smjeru sili uzgona. Za komad aluminija umetnut u parafin jednadžba ravnoteže glasi: (m 1 + m 2) g = ρ v g (V 1 + V 2) / : g m 1 + m 2 = ρ v V 1 + ρ v V 2 m 2 ρ v V 2 = ρ v V 1 m 1 gdje je V 1 = m 1/ρ 1 i V 2 = m 2/ρ 2 m 2 ρ v m 2/ρ 2 = ρ v m 1/ρ 1 m 1 m 2 (1 ρ v/ρ 2) = m 1 ( ρ v/ρ 1 1) ρ v 1 ρ m 2 = m 1 1 1 ρ = 170 g v ρ 2 m 2 = 0,03 kg. 1000 900 1 1 1000 2700 = 170 g 0,1111 0,6296 = 30 g
16. Izračunaj gustoću morske vode ako je dvije trećine čovjekova tijela uronjeno u more dok pluta. Prosječna gustoća čovjekova tijela je 980 kg/m 3. ρ t = 980 kg/m 3, ρ v =? m g = ρ v g V u /:g Ravnoteža sila za čovjeka dok pliva, pri čemu je V u, volumen tijela u morskoj vodi. m = ρ v V u pri čemu je V u = (2/3) V ρ t V = ρ v (2/3) V /:V ρ t = ρ v (2/3) ρ v = (3/2) ρ t ρ v = (3/2) 980 kg/m 3 ρ v = 1470 kg/m 3. 17. U staklenu šuplju kuglicu mase 1 g, a promjera 2 cm, može se uliti živa. Koliko žive treba uliti u kuglicu da bi ona lebdjela u vodi? m s = 1 g, ρ v = 1 g/cm 3, d = 2 cm, m ž =? (m s + m ž) g = ρ v g V /:g m s + m ž = ρ v V m ž = ρ v V - m s V = (4/3) (d/2) 3 π = d 3 π/6 m ž = ρ v d 3 π/6 = 1 2 3 3,14/6 = 4,19 1 = 3,19 g. m ž = 3,19 g. 18. Tijelo obujma 100 cm 3 ima gustoću 3000 kg/m 3. Kada se tijelo potopi u posudu s vodom, kolikom silom djeluje na dno posude? V = 100 cm 3 = 100 10-6 m 3 = 10-4 m 3, ρ = 3000 kg/m 3, ' G =? Sila kojom tijelo djeluje na dno posude je težina tijela u vodi (' G). G ' G = ρ v g V Razlika težine tijela u zraku i vodi jest sila uzgona. Odavde je ' G jednaka: ' G = G ρ v g V gdje je G = m g = ρ g V ' G = ρ g V ρ v g V = (ρ ρ v) g V ' G = (3000 1000) kg/m 3 9,81 m/s 2 10-4 m 3 ' G = 1,96 N 19. Težina tijela u zraku je 3,2 N, a u vodi 2,5 N. Koliki je obujam tijela? G = 3,2 N, ' G = 2,5 N, ρ v = 1000 kg/m 3, V =? ρ v g V = G ' G V = ( G ' G) / ρ v g V = (3,2 2,5) / 1000 9,81 V = 7,136 10-5 m 3. V = 71,36 cm 3.
20. Za komad čistog zlata (gustoća zlata iznosi 19,3 g/cm 3 ) postoji sumnja da je u sredini šupalj. Komad ima masu 38,25 g kada se mjeri u zraku, a 36,22 g u vodi. Postoji li rupa u središtu komada zlata i koliki je njezin obujam? ρ Z = 19,3 g/cm 3, m = 38,25 g, m' = 36,22 g, ΔV =? Stvarni volumen komada zlata (s eventualnom šupljinom) može se odrediti znajući njegovu masu i gustoću: V Z = m/ρ Z = 38,25 g / 19,3 g/cm 3 = 1,98 cm 3. Vanjski volumen možemo odrediti iz uzgona, koji je jednak razlici težine u zraku i težine u vodi: G ' G = ρ v g V ρ v g V = m g m' g /:g ρ v V = m m' V = (m m')/ ρ v V = (38,25 g 36,22 g) / 1 g/cm 3 V = 2,03 cm 3 Razlika tih volumena je volumen šupljine: ΔV = V V Z = 2,03 cm 3 1,98 cm 3 = 0,05 cm 3 ΔV = 0,05 cm 3 21. Predmet uronjen u vodu teži 8,34 N, a u benzin 9,32 N. Kolika je gustoća predmeta? G v = 8,34 N, G b = 9,32 N, ρ v = 1000 kg/m 3, ρ b = 800 kg/m 3, ρ t =? u(v) = G G v (1) sila uzgona u vodi u(b) = G G b (2) sila uzgona u benzinu Oduzimanjem jednadžbe (1) od jednadžbe (2) odredit ćemo volumen predmeta: u(v) u(b) = G G v (G G b) = G b - G v ρ v g V ρ b g V = 9,32 8,34 (ρ v ρ b) g V = 0,98 (1000 700) 9,8 V = 0,98 V = 0,98/300 9,8 V = 3,33 10-4 m 3 Vratimo se jednadžbi (1), izračunajmo težinu predmeta u zraku (G), a onda i masu iz koje izračunamo gustoću: u(v) = G G v => G = G v + u(v) = G v + ρ v g V = 1000 9,81 3,33 10-4 + 8,34 = 3,27+8,34 = 11,61 N m = G/g = 11,61/9,8 = 1,18 kg ρ t = m/v = 1,18/3,33 10-4 = 3350 kg/m 3 ρ t = 3350 kg/m 3 22. O dinamometar ovjesimo uteg mase 50 g. a) Koliku silu pokazuje dinamometar? b) Kada tijelo uronimo u menzuru s vodom, razina vode u menzuri podigne se od oznake 300 cm³ do 320 cm³. Koliki je uzgon na tijelo? c) Koliku silu pokazuje dinamometar? (R: a) G = 0,49 N, b) u = 0,2 N, c) ' G = 0,29 N)
23. Poprečni presjek broda na razini vode iznosi 400 m². Nakon utovara brod zaroni 1 m dublje. Kolika je masa tereta utovarenog na brod? Pretpostavite da se pri utovaru površina presjeka broda na razini vode nije promijenila? (R: m = 400 t) 24. Dječji balon obujma 3 l napunjen je vodikom. Kolika sila diže balon uvis ako mu masa skupa s vodikom iznosi 3,4 g? Za gustoću zraka uzmite 1,293 kg/m³. (R: = 4,7 mn) 25. Koliku najmanju silu moramo upotrijebiti da bismo u vodi podigli kamen mase 10 kg i gustoće 2500 kg/m³? (R: = 58,86 N) 26. Kada o dinamometar ovjesimo željezni uteg, dinamometar pokazuje 4 N. Uronimo li uteg u tekućinu nepoznate gustoće, dinamometar pokazuje 3,51 N. Kolika je gustoća tekućine? (R: ρ = 968 kg/m³) 27. Drvena kocka pliva na vodi tako da je 80 % njezina obujma u vodi. Stavimo li kocku u tekućinu nepoznate gustoće, u tekućinu je uronjeno 90 % obujma kocke. Kolika je gustoća tekućine? (R: ρ = 889 kg/m³) 28. Tijelo pliva u tekućini, pri čemu je ¾ obujma tijela uronjeno u tekućinu. Kolikim bi dijelom obujma tijelo bilo uronjeno u drugu tekućinu dvostruko veće gustoće? (R: Vu = 3/8 V) 29. U moru pliva santa leda, pri čemu se 200 m³ njezina obujma nalazi iznad morske površine. Koliki je ukupni obujam sante ako je gustoća leda 900 kg/m³? (R: V = 2000 m³) 30. Kada tijelo ovješeno o dinamometar uronimo u vodu, dinamometar pokazuje 3 puta manju silu nego kada se tijelo nalazi u zraku. Kolika je gustoća tijela? (R: ρ = 1500 kg/m³)