Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014

Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale convergent la x R. Atunci, pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât x n x < ε pentru orice n n ε. În particular, pentru ε = 1 există n 1 astfel încât x n x < 1 pentru orice n n 1. Rezultă că x n x n x + x < 1 + x, pentru orice n n 1. Fie M = max { x 0, x 1,..., x n1 1, 1 + x }. Atunci avem x n M, pentru orice n N, adică şirul (x n ) n 0 este mărginit.

Corolar Orice şir nemărginit este divergent. Exemplu Şirul x n = n, n 0, este divergent întrucât nu este mărginit inferior. Observaţie Reciproca teoremei nu este adevărată. Există şiruri mărginite, care nu sunt convergente. De exemplu, şirul x n = ( 1) n, n 0, este mărginit, dar nu este convergent.

Criterii de existenţă a limitei unui şir Teoremă. (Criteriul majorării) Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale şi x R. Dacă există un şir (α n ) n de numere reale pozitive convergent la zero astfel încât atunci x n x. Demonstraţie x n x α n, pentru orice n N, (1) Fie ε > 0 arbitrar fixat. Deoarece α n 0, există n ε N astfel încât pentru orice n n ε să avem α n < ε. Dar atunci, din (1) avem că x n x < ε pentru orice n n ε, adică x n x.

Exemplu Fie şirul x n = cos n, n 1. Avem n cos n cos n 0 = 1, pentru orice n 1. n n n Cum lim lim 1 cos n n = 0, conform Criteriului majorării, rezultă că n = 0.

Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. (i) Dacă există un şir (a n ) n 0 cu lim a n = + şi x n a n, pentru orice n N, atunci lim x n = +. (ii) Dacă există un şir (b n ) n 0 cu lim b n = şi b n x n, pentru orice n N, atunci lim x n =. Exemplu Fie şirul x n = n + ( 1) n, n 0. Are loc inegalitatea: x n n 1, pentru orice n 0. Cum lim (n 1) = +, rezultă că şi lim x n = +.

Teoremă (operaţii cu şiruri convergente) Fie (x n ) n 0, (y n ) n 0 două şiruri convergente, x n x, y n y. Atunci: (i) (x n + y n ) n 0 este convergent şi x n + y n x + y; (ii) pentru orice λ R, (λx n ) n 0 este convergent şi λx n λx; (iii) (x n y n ) n 0 este convergent şi x n y n xy; ( ) 1 (iv) dacă x n 0 pentru orice n N şi x 0, atunci 1 este convergent şi 1 x n x ; (v) ( x n ) n 0 este convergent şi x n x. x n n 0

Corolar Fie (x n ) n 0, (y n ) n 0 două şiruri convergente, x n x, y n y. Atunci: (i) (x n y n ) n 0 este convergent şi x n y n x y; ( ) xn (ii) dacă y n 0 pentru orice n N şi y 0, atunci este convergent şi x n y n x y. y n n 0

Propoziţie Fie (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 două şiruri de numere reale, (x n ) n 0 convergent la zero şi (y n ) n 0 mărginit. Atunci Demonstraţie lim x ny n = 0. Fie M > 0 astfel încât y n M, pentru orice n N. Atunci avem x n y n = x n y n M x n, care tinde la zero întrucât x n tinde la zero. Din Criteriul majorării rezultă că x n y n 0. Exemplu sin n lim = 0. n

Teoremă (operaţii cu şiruri cu limita + sau ) Fie (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 două şiruri de numere reale. (i) Dacă x n + şi y n y, unde y R\ { }, atunci x n + y n +. (ii) Dacă x n şi y n y, unde y R\ {+ }, atunci x n + y n. (iii) Dacă x n + şi y n y, unde y R, y > 0, atunci x n y n +. (iv) Dacă x n + şi y n y, unde y R, y < 0, atunci x n y n.

Observaţie Dacă x n + şi y n, în general nu se poate spune nimic despre şirul (x n + y n ) n 0. De asemenea, dacă x n + şi y n 0, în general nu se poate spune nimic despre şirul (x n y n ) n 0. Le vom considera cazuri exceptate.

Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. 1 (i) Dacă x n + sau x n, atunci 0. x n (ii) Dacă x n 0 şi x n > 0 (respectiv x n < 0 ) de la un rang 1 încolo, atunci + (respectiv 1 ). x n x n Exemplu lim 1 = 0, pentru orice k 1. nk

Observaţie Dacă lim x n = lim y n = 0 sau lim x n = lim y n =, nu putem să ne pronunţăm asupra naturii şirului x n y n. Cazurile 0 0 şi se numesc cazuri exceptate.

Teoremă (trecerea la limită în inegalităţi) Fie (x n ) n 0, (y n ) n 0 două şiruri de numere reale, cu proprietăţile: (i) x n y n, pentru orice n N, (ii) x n x R şi y n y R. Atunci x y. Observaţie Dacă între termenii celor două şiruri (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 are loc inegalitatea strictă x n < y n, pentru orice n N, atunci, prin trecere la limită, putem obţine egalitate. De exemplu, şirurile x n = 1 şi y n = 1 + 1 n, n 1, satisfac inegalitatea strictă x n < y n, pentru orice n N, dar lim x n = lim y n = 1.

Teoremă (de convergenţă a şirurilor monotone) (i) Orice şir crescător şi mărginit superior este convergent. (ii) Orice şir descrescător şi mărginit inferior este convergent. Pe scurt, orice şir monoton şi mărginit este convergent. Observaţie (i) Un şir crescător şi mărginit converge la marginea lui superioară. (ii) Un şir descrescător şi mărginit converge la marginea lui inferioară.

Exemplu Şirul x n = 2n + 1, n 1, este mărginit (deoarece 0 x n 3, n pentru orice n 1) şi monoton crescător (deoarece x n+1 x n 0. n 1), deci este şir convergent. Se verifică imediat că x n 2. Exemplu Şirul x n = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 +... + 1, n 1, este strict crescător n2 (întrucât 1 x n+1 x n = > 0, n 1) 2 (n + 1) şi mărginit superior (deoarece 1 k 2 < 1 k (k 1) = 1 k 1 1, k 2, deci k ( ) ( ) ( )

Exemplu Fie (x n ) n 0 : x n+1 = x n 2, x 0 = 1. Prin inducţie matematică se 1 + x n demonstrează că x n > 0, pentru orice n N, deci (x n ) n 0 este mărginit inferior. Avem x n+1 x n = x n 1 + x n < 1, deci x n+1 < x n, adică (x n ) n 0 este descrescător. Deci, şirul (x n ) n 0 este convergent şi există lim x n = x R. Atunci, trecând la limită în relaţia de recurenţă, avem x = x 2, de unde obţinem că x = 0. 1 + x

Observaţie Există şiruri convergente care nu sunt monotone. De exemplu, şirul x n = ( 1)n, n 1, converge la 0, dar nu e monoton (luând n alternativ atât valori pozitive, cât şi negative).

Teoremă (i) Dacă (x n ) n 0 este un şir crescător, nemărginit, atunci lim x n = +. (ii) Dacă (x n ) n 0 este un şir descrescător, nemărginit, atunci lim x n =. Corolar Orice şir monoton de numere reale are limită (finită sau nu). Dacă şirul este mărginit, limita sa este finită, dacă şirul este nemărginit, limita sa este infinită.

Orice şir convergent este mărginit, iar reciproca nu este adevărată. Totuşi are loc următoarea afirmaţie mai slabă decât reciproca: Teoremă (Lema lui Cesàro) Orice şir mărginit de numere reale conţine un subşir convergent.

Pentru şirurile nemărginite are loc următorul rezultat: Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. (i) Dacă (x n ) n 0 este nemărginit superior, atunci el conţine un subşir cu limita +. (ii) Dacă (x n ) n 0 este nemărginit inferior, atunci el conţine un subşir cu limita. Corolar Din orice şir de numere reale se poate extrage un subşir cu limită. Dacă şirul este mărginit se poate extrage un subşir convergent.

"Teorema cleştelui" Fie (x n ) n 0, (y n ) n 0, (z n ) n 0 trei şiruri de numere reale, cu proprietăţile: (i) x n y n z n, pentru orice n N, (ii) lim x n = lim z n = a R. Atunci există lim y n = a. Corolar Dacă 0 x n a n, pentru orice n N, şi a n 0, atunci x n 0. Exemplu Şirul x n = 1 2 n are limita 0, pentru că 0 1 2 n 1, pentru orice n n 1 şi 1 n 0.

Exemplu Fie şirul cu termenul general x n = 1 n 2 + 1 + 1 n 2 + 2 +... + 1 n 2 + n, n 1. Atunci avem n n 2 + n x n n n 2 + 1, n 1, iar lim n n 2 + n = lim n n 2 + 1 = 1, deci lim x n = 1.

Teoremă (Criteriul lui Stolz-Cesàro) Fie două şiruri (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 astfel încât (y n ) n 0 este strict monoton şi nemărginit. Dacă există limita x n+1 x n lim = l R, y n+1 y n x n atunci există şi limita lim şi este egală cu l, adică y n x n lim = l. y n

Exerciţiu Să se arate că ln n lim n = 0. Soluţie. Fie x n = ln n şi y n = n, n 1. Observăm că (y n ) n 1 este strict monoton şi nemărginit. Calculăm limita x n+1 x n ln (n + 1) ln n lim = lim = lim ln n + 1 = 0. y n+1 y n n + 1 n n Prin urmare, conform Criteriului lui Stolz-Cesàro, există limita x n = 0. y n lim

Exerciţiu Fie şirul (a n ) n 1 cu limita a. Arătaţi că şirul mediilor aritmetice b n = a 1 + a 2 +... + a n n are limita a. Soluţie. Fie x n = a 1 + a 2 +... + a n şi y n = n, n 1. Aplicând Criteriul lui Stolz-Cesàro şirului b n = x n y n, obţinem lim b x n+1 x n n = lim y n+1 y n a 1 + a 2 +... + a n + a n+1 (a 1 + a 2 +... + a n ) = lim n + 1 n = lim a n+1 = a.

Teoremă (Criteriul lui Cauchy-D Alembert) Fie şirul (x n ) n 0 cu x n > 0, pentru orice n N. Presupunem că există limita x n+1 lim = l. x n Atunci există şi limita lim n x n şi este egală cu l. Demonstraţie Fie a n = n x n = (x n ) 1 n, n 1. Atunci, ln a n = 1 n ln x n = ln x n n. Aplicăm Criteriul lui Stolz-Cesàro: lim ln a ln x n+1 ln x n n = lim n + 1 n = lim ln x n+1 x n = ln l.

Exerciţiu Fie şirul cu termeni strict pozitivi (a n ) n 1 cu limita a. Arătaţi că lim n a1 a 2...a n = a. Soluţie. Aplicăm Criteriul lui Cauchy-D Alembert pentru şirul Avem x n = a 1 a 2...a n, n 1. x n+1 lim x n prin urmare şi lim n a 1 a 2...a n = a. = lim a n+1 = a,

Exerciţiu Să se arate că lim n n = 1. Soluţie. Fie x n = n, n 1. Deoarece x n+1 lim x n n + 1 = lim = 1, n conform Criteriului lui Cauchy-D Alembert, rezultă că lim n n = 1.

Exerciţiu Să se arate că lim n a = 1, pentru orice a > 0. Soluţie. Fie x n = a, n 1. Deoarece x n+1 lim x n a = lim a = 1, conform Criteriului lui Cauchy-D Alembert, rezultă că lim n a = 1.

Definiţie Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. Spunem că (x n ) n 0 este şir fundamental sau şir Cauchy dacă: pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât, pentru orice m, n n ε, să avem x m x n < ε. Presupunând, fără a restrânge generalitatea, că m n, putem scrie m = n + p, cu p N. Atunci, Definiţia 31 se poate scrie sub forma echivalentă: Definiţie Spunem că (x n ) n 0 este şir fundamental sau şir Cauchy dacă: pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât, pentru orice n n ε şi orice p N, să avem x n+p x n < ε. Intuitiv, într-un şir Cauchy, toţi termenii şirului sunt apropiaţi unul de celălalt de la un rang încolo.

Teoremă Orice şir Cauchy este mărginit. Demonstraţie Conform definiţiei, pentru ε = 1, există n 1 N astfel încât, pentru orice n, m n 1, avem x n x m < 1. În particular, x n x n1 < 1. Rezultă că x n x n x n1 + x n1 < 1 + x n1, pentru orice n n 1. Fie M = max{ x 0, x 1,..., x n1 1, 1 + x n1 }. Atunci, pentru orice n N, x n M, deci şirul (x n ) n 0 este mărginit.

Teoremă Un şir de numere reale este convergent dacă şi numai dacă este şir Cauchy. Exerciţiu Să se arate că şirul x n = 1 + 1 2 2 +... + 1 n 2, n 1, este şir Cauchy, deci convergent. Soluţie. Fie x n+p = 1 + 1 2 2 +... + 1 n 2 + 1 (n + 1) 2 +... + 1 (n + p) 2, unde p N. Avem

x n+p x n = 1 (n + 1) 2 +... + 1 (n + p) 2 1 n (n + 1) +... + 1 (n + p 1) (n + p) = 1 n 1 n + 1 + 1 n + 1 1 n + 2 +... + 1 n + p 1 1 n + p = 1 n 1 n + p 1 n.

1 Dar cum lim n = 0, rezultă că pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât 1 n < ε, pentru orice n n ε. Revenind la inegalitatea de mai sus, pentru orice n n ε şi p N, avem x n+p x n 1 n < ε, adică (x n ) n 1 este şir Cauchy, deci este convergent.

Exerciţiu Să se arate că şirul x n = 1 + 1 2 +... + 1 n, n 1. nu este şir Cauchy, deci nu este convergent. Soluţie. Avem x n+p x n = > 1 n + 1 + 1 n + 2 +... + 1 n + p p n + p > 1 2, dacă p > n. Prin urmare, oricare ar fi rangul n există p N astfel încât x n+p x n > 1 2, adică şirul (x n) n 0 nu este şir Cauchy, deci este un şir divergent.

Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. Definiţie Numim mulţimea punctelor limită ale şirului (x n ) n 0 mulţimea formată din toate limitele în R ale subşirurilor lui (x n ) n 0. Vom nota cu A această mulţime, deci { A = x R; există (x nk ) k 0 subşir al lui (x n ) n 0 cu lim x nk k } = x. Observaţie Mulţimea A este nevidă. Într-adevăr, dacă (x n ) n 0 este mărginit, conform Lemei lui Cesàro, el conţine un subşir convergent; fie l limita sa. Atunci, l A. Dacă (x n ) n 0 este nemărginit superior, atunci + A, iar dacă (x n ) n 0 este nemărginit inferior, atunci A.

Exemplu Fie şirul x n = ( 1) n, n 0. Mulţimea punctelor sale limită este A = { 1, 1}. Observaţie Există şiruri care au o infinitate de puncte limită. Este cazul şirului 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4,..., 0, 1, 2, 3,..., n,... Orice număr natural este punct limită al acestui şir, deoarece, oricare ar fi p N, există un subşir constant ai cărui termeni sunt egali cu p. De asemenea, + este punct limită al şirului, pentru că şirul numerelor naturale este un subşir al acestui şir.

Observaţie Dacă şirul (x n ) n 0 are limita l, finită sau nu, atunci l A, un subşir convergent la l fiind chiar şirul (x n ) n 0. Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale şi A mulţimea punctelor sale limită. Atunci şirul (x n ) n 0 are limită dacă şi numai dacă A este formată dintr-un singur element.

Observaţie Se demonstrează că pentru orice şir (x n ) n 0 există un cel mai mic punct limită (finit sau infinit) şi un cel mai mare punct limită (finit sau infinit). Definiţie Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. (i) Numim limită superioară a şirului (x n ) n 0, notată lim sup sau lim x n, cel mai mare punct limită al şirului (x n ) n 0. (ii) Numim limită inferioară a şirului (x n ) n 0, notată lim inf lim x n cel mai mic punct limită al şirului (x n ) n 0. x n x n sau

Notând cu A mulţimea punctelor limită ale şirului (x n ) n 0, avem: lim sup x n = max A, lim inf n = min A. Observaţie Este clar că lim inf x n lim sup x n.

Exerciţiu Să se determine limitele superioară şi inferioară ale şirului x n = cos nπ 2, n 0. Soluţie. Observăm că x 4k = cos 4kπ 2 = cos 2kπ = 1, k N, deci lim k x 4k = 1, ( ) 4kπ + π x 4k+1 = cos 2 = cos π 2 ( = cos 2kπ + π ) 2 = 0, k N, deci lim k x 4k+1 = 0,

x 4k+2 = ( ) 4kπ + 2π cos = cos (2kπ + π) 2 = cos π = 1, k N, deci lim x 4k+2 = 1, k ( ) 4kπ + 3π x 4k+3 = cos 2 ( = cos 2kπ + 3π 2 ) = cos 3π 2 = 0, k N, deci lim k x 4k+3 = 0. Prin urmare, A = { 1, 0, 1}. Rezultă că lim inf x n = 1, iar lim sup x n = 1.

Exerciţiu Să se determine limitele superioară şi inferioară ale şirului Soluţie. Observăm că x n = ( 1) n+1 n ( 1)n, n 0. x 2k = 2k, k N, deci lim x 2k =, k x 2k+1 = 1, k N, deci 2k + 1 lim 2k+1 0. k Prin urmare, A = {, 0}. Rezultă că lim inf x n =, iar lim sup x n = 0.

Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. Atunci (x n ) n 0 are limită dacă şi numai dacă lim inf x n = lim sup x n. În această situaţie, Demonstraţie lim x n = lim inf x n = lim sup x n. Şirul (x n ) n 0 are limită dacă şi numai dacă mulţimea A a punctelor sale limită conţine un singur element, ceea ce înseamnă că min A = max A.