3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje na rubu područja deinicije Kvalitativna svojstva unkcije y = () ( : R R ), kao što su monotonost, konveksnost i konkavnost, injektivnost, parnost i neparnost i druga, lako možemo očitati s njenog graa G u koordinatnom sustavu = R = {(, y) : R, y R}. O y O y Kvantitativna svojstva unkcije y = (), kao što su nultočke, ekstremi, ponašanje na rubu domene, asimptote itd., dobivamo primjenom dierencijalnog računa, koji je izložen u sljedećim poglavljima. Prema tome, najvažnije elementarne unkcije y = ( ), ( : R R), ćemo prikazati crtajući njihove graove, a s njihovim svojstvima ćemo se intuitivno upoznati pomoću njihovog graa. Domena unkcije y = (), u oznaci D ( ), je skup koji sadrži sve realne brojeve u kojima je deinirana-moguća vrijednost (). Na primjer, unkcija y = je moguća jedino ako je 0. Slika unkcije y = (), u oznaci R ( ), je skup svih vrijednosti (), gdje su varijable uzete iz domene D ( ). Na primjer, slika unkcije y = je interval [,. Funkcija y = () je rastuća na intervalu [ a, b] ako vrijedi: < ) ( ), [ a, ]. ( b Funkcija y = () je padajuća na intervalu [ a, b] ako vrijedi: < ) ( ), [ a, ]. ( b

6 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI Funkcija y = () je monotona na intervalu [ a, b] ako je ili rastuća ili padajuća na tom intervalu. Na primjer, unkcija y = nije monotona na intervalu [, ], dok je monotona na intervalima [,0] i [ 0,] (jer je padajuća na [,0], a rastuća na [ 0,] ). Funkcija y = () je injektivna ili - preslikavanje ako vrijedi: Na primjer, unkcija ) ( ), D( ). ( y = je injektivna, dok unkcija y = nije injektivna. Funkcija y = () je parna ako je Na primjer, y = +. Funkcija y = () je neparna ako je Na primjer, unkcija y =. ( ) = ( ), D( ). ( ) = ( ), D( ). Funkcija y = () je periodička ako postoji realan broj T, takozvani period, takav da vrijedi: ( + T ) = ( ), D( ). Na primjer, unkcija y = sin + sin je periodička unkcija sa periodom T =. Funkcija y = () je konveksna na intervalu [ a, b] ako vrijedi: (( t) a + t b) ( t) ( a) + t ( b), t [0,]. Na primjer, unkcija y = + + 5. Funkcija y = () je konkavna na intervalu [ a, b] ako vrijedi: (( t) a + t b) ( t) ( a) + t ( b), t [0,]. Na primjer, unkcija y = + +. Inverzna unkcija unkcije y = (), u oznaci y = ( ), je unkcija koja zadovoljava: ( ( ( )) =, ( y)) = y, D( ) = R( y D( ), ) = R( ). Nultočka unkcije y = () je ona točka za koju vrijedi: ( ) = 0. Na primjer, nultočke unkcije y = su =, = 0,. = Neka od prethodnih svojstava se lako mogu provjeriti na grau G unkcije y = () :

. Funkcije (sa svim korekcijama) 7 - gra parne unkcije je simetričan u odnosu na koordinatnu os O y - gra neparne unkcije je simetričan u odnosu na koordinatni početak O (0,0) - gra injektivne unkcije siječe svaki pravac paralelan sa osi O točno u jednoj točki.. ELEMENTARNE FUNKCIJE Sada dajemo kratki opis najvažnijih elementarnih unkcija. Gra linearne unkcije a > 0 i a < 0 ): y = a + b, a 0, je pravac u ravnini, kao na slici (slučajevi kad je 0 5 0 5 - - -5-0 Svojstva linearne unkcije y = a + b, a 0, su sljedeća:, R ( ) = (, - rastuća ako je a > 0, padajuća ako je a < 0 - neparna ako je b = 0, injektivna - ima inverznu unkciju ( ) = ( b) a b - nultočka =. a Gra kvadratne unkcije y = a + b + c (slučajevi kad je a > 0 i a < 0 ): 0 8 6, a 0, je parabola u ravnini, kao na slici -0-5 - 5 0 - Svojstva kvadratne unkcije y = a + b + c, a 0, su sljedeća:

8 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI b b, R ( ) = [ c, ako je a > 0, R( ) = (, c ] ako je a < 0 a a - konveksna ako je a > 0, okrenuta ka gore - konkavna ako je a < 0, okrenuta ka dolje - parna ako je b = 0, niti parna niti neparna za b 0 - nije injektivna, pa nema inverznu unkciju - nultočka, Gra kubne unkcije b ± b ac =. a y = je krivulja u ravnini, kao na slici: 0 5 - - -5-0 Svojstva kubne unkcije y = su sljedeća:, R ( ) = (, - rastuća - konkavna na (,0] i konveksna na [ 0, ) - neparna, injektivna - ima inverznu unkciju ( ) = - nultočke = 0. Gra racionalne unkcije y = b je krivulja u ravnini, kao na slici: - - - - Svojstva racionalne unkcije y = b su sljedeća:

. Funkcije (sa svim korekcijama) 9 b) ( b,, R ( ) = (,0) (0, - padajuća na intervalu (, b), padajuća na intervalu ( b, - konkavna na intervalu (, b), konveksna na intervalu ( b, - niti parna niti neparna, injektivna b - ima inverznu unkciju ( ) = + - nema nultočaka - vertikalna asimptota = b, horizontalna asimptota y = 0. Gra eksponencijalne unkcije y = e je krivulja u ravnini, kao na slici: - - - - Svojstva eksponencijalne unkcije y = e su sljedeća:, R ( ) = (0, - rastuća, konveksna - injektivna - ima inverznu unkciju ( ) = ln - nema nultočaka - lijeva horizontalna asimptota y = 0 - + e = e e R., Gra eksponencijalne unkcije y = e je krivulja u ravnini, kao na slici: - - - -

50 Svojstva eksponencijalne unkcije Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI y = e su sljedeća:, R ( ) = (0, - padajuća, konveksna - injektivna - ima inverznu unkciju ( ) = ln - nema nultočaka - desna horizontalna asimptota y = 0. Gra trigonometrijske unkcije y = sin je sinusoida u ravnini, kao na slici: -8-6 - - 0 0 6 8 - - Svojstva trigonometrijske unkcije y = sin su sljedeća:, R ( ) = [, ] - rastuća na [ + k, + k ], padajuća na [ + k, + k ] - konkavna na [ k, + k ], konveksna na [( k + ),(k + ) ] - neparna, nije injektivna, periodička sa periodom T = - nema inverznu unkciju - nultočke k = k. Gra trigonometrijske unkcije y = cos je sinusoida u ravnini, kao na slici: -6 - - 6 8 - - Svojstva trigonometrijske unkcije y = cos su sljedeća:

. Funkcije (sa svim korekcijama) 5, R ( ) = [, ] - rastuća na [ + k,k ], padajuća na [ k, + k ] - konkavna na [ + k, + k ], konveksna na [ + k, + k ] - parna, nije injektivna, periodička s periodom T = - nema inverznu unkciju - nultočke k = + k. Gra trigonometrijske unkcije sin y = tg = je krivulja u ravnini, kao na slici: cos -6 - - 0 0 6 8 - - Svojstva trigonometrijske unkcije y = tg su sljedeća: - D ( ) = (, ) / { + k}, R ( ) = (, k - rastuća na ( + k, + k ) - konkavna na ( + k, k ], konveksna na [ k, + k ) - neparna, nije injektivna, periodička s periodom T = - nema inverznu unkciju - nultočke k = k - vertikalne asimptote k = + k. Gra trigonometrijske unkcije cos y = ctg = je krivulja u ravnini, kao na slici: sin -6 - - 0 0 6 8 - -

5 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI Svojstva trigonometrijske unkcije y = ctg su sljedeća: / { k}, R ( ) = (, k - padajuća na ( k, + k ) - konveksna na ( k, + k ], konkavna na [ + k, + k ) - neparna, nije injektivna, periodička s periodom T = - nema inverznu unkciju - nultočke k = + k - vertikalne asimptote k = k. Gra hiperbolne unkcije y = sh = ( e e ) je krivulja u ravnini, kao na slici: - - - - Svojstva hiperbolne unkcije y = sh su sljedeća:, R ( ) = (, - rastuća, konkavna na (,0], a konveksna na [ 0, ) - neparna, injektivna - ima inverznu unkciju ( ) = Arsh - nultočke = 0. Gra hiperbolne unkcije y = ch = ( e + e ) je lančanica u ravnini, kao na slici: 6 5 - - -

. Funkcije (sa svim korekcijama) 5 Svojstva hiperbolne unkcije y = ch su sljedeća:, R ( ) = [, - padajuća na (,0], a rastuća na [ 0, ) - konveksna, parna, nije injektivna - nema inverznu unkciju - nema nultočaka. Gra hiperbolne unkcije sh y = th = je krivulja u ravnini, kao na slici: ch - - - - Svojstva hiperbolne unkcije y = th su sljedeća:, R ( ) = (, ) - rastuća, konveksna na (,0], a konkavna na [ 0, ) - neparna, injektivna - ima inverznu unkciju ( ) = Arth - nultočke = 0 - lijeva horizontalna asimptota y =, desna horizontalna asimptota y =. Gra hiperbolne unkcije ch y = cth = je krivulja u ravnini, kao na slici: sh -6 - - 6 - -

5 Svojstva hiperbolne unkcije Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI y = cth su sljedeća: 0) (0,, R ( ) = (, ) (, - padajuća i konkavna na (,0), padajuća i konveksna na ( 0, ) - neparna, injektivna - ima inverznu unkciju ( ) = Arcth - nema nultočaka - vertikalna asimptota = 0, - lijeva horizontalna asimptota y =, desna horizontalna asimptota y =.. INVERZNE FUNKCIJE ELEMENTARNIH FUNKCIJA Sada dajemo kratki opis inverznih unkcija nekih elementarnih unkcija. Napomenimo da je gra inverzne unkcije y = ( ) zrcalno simetričan grau originalne unkcije y = () u odnosu na pravac y =. Inverzna unkcija unkcije ( ) =, 0, je korijen unkcija ( ) =. Njen gra je krivulja, kao na slici: - - - - Svojstva korijen unkcije ( ) = su sljedeća: - D ( ) = [0,, R ( ) = [0, - rastuća, konkavna - injektivna - nultočka = 0. Inverzna unkcija unkcije krivulja, kao na slici: ( ) = e je logaritamska unkcija ( ) = ln. Njen gra je

. Funkcije (sa svim korekcijama) 55 - - 6 8 - - Svojstva logaritamske unkcije ( ) = ln su sljedeća: - D ( ) = (0,, R ( ) = (, - rastuća, konkavna - injektivna - nultočka =. Inverzna unkcija unkcije ( ) = sin,, je ciklonometrijska arkus-sinus unkcija ( ) = arcsin. Njen gra je krivulja, kao na slici: - - - - Svojstva arkus-sinus unkcije ( ) = arcsin su sljedeća: - D ( ) = [, ], R ( ) = [, ] - rastuća, konkavna na [,0], a konveksna na [ 0,] - injektivna - nultočka = 0.

56 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI Inverzna unkcija unkcije ( ) = cos, 0, je ciklonometrijska arkus-kosinus unkcija ( ) = arccos. Njen gra je krivulja, kao na slici: 5 - - - - Svojstva arkus-kosinus unkcije ( ) = arccos su sljedeća: - D ( ) = [, ], R ( ) = [0, ] - padajuća, konveksna na [,0], a konkavna na [ 0,] - injektivna - nultočka =. Inverzna unkcija unkcije ( ) = tg, < <, je ciklonometrijska arkus-tangens unkcija ( ) = arctg. Njen gra je krivulja, kao na slici: -6 - - - 6 - - Svojstva arkus-tangens unkcije ( ) = arctg su sljedeća:, R ( ) = (, ) - rastuća, konveksna na (,0], a konkavna na [ 0, ) - injektivna - nultočka = 0

. Funkcije (sa svim korekcijama) 57 - lijeva horizontalna asimptota je y =, a desna horizontalna asimptota je y =. Inverzna unkcija unkcije ( ) = ctg, 0 < <, je ciklonometrijska arkus-kotangens unkcija ( ) = arc ctg. Njen gra je krivulja, kao na slici: 5-8 -6 - - 0-0 6 8 Svojstva arkus-kotangens unkcije ( ) = arc ctg su sljedeća:, R ( ) = (0, ) - padajuća, konkavna na (,0], a konveksna na [ 0, ) - injektivna - nema nultočke - lijeva horizontalna asimptota je y =, a desna horizontalna asimptota je y = 0.. DOMENA SLOŽENIH FUNKCIJA Ako je unkcija y = () kompozicija nekoliko elementarnih unkcija, tada treba voditi računa da na svim mjestima gdje se pojavljuje varijabla, dana unkcija bude deinirana. Kao što smo vidjeli u prethodne dvije točke, zahtjevi na domenu dolaze od inverznih unkcija nekih elementarnih unkcija. To znači da u složenoj unkciji y = () treba osigurati uvjete na sva ona mjesta gdje se pojavljuju zahtjevne unkcije u smislu domene, a to su: - G () je deiniran za one, za koje vrijedi uvjet G ( ) 0 - ln( G ( )) je deiniran za one, za koje vrijedi uvjet G ( ) > 0 - G( ) je deiniran za one, za koje vrijedi uvjet G ( ) 0 - arcsin( G ( )) je deiniran za one, za koje vrijedi uvjet G ( ) - arccos( G ( )) je deiniran za one, za koje vrijedi uvjet G ( ) - cth ( G ( )) je deiniran za one, za koje vrijedi uvjet G ( ) 0.

58 RIJEŠENI PRIMJERI Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI U sljedećim zadacima naći domenu danih unkcija. = 87. ( ) + 0 (, ] [, ). Rješenje: D( ) = (, ] [, +. = + 88. ( ) ln( ) > 0 (0, ) 0 [, + 0 (,) (, + Rješenje: D( ) = (, ). e 89. ( ) = + 0 (,) (, + + 0 (, ) (, + Rješenje: D( ) = (, ) (,) (, +. ln( 5) 90. ( ) = sin( + ) + 9 5 5 > 0 (, + 9 0 [,] 9 0 (, ) (,) (, ) + 5 Rješenje: D( ) = (,).

. Funkcije (sa svim korekcijama) 59 9. ( ) = arcsin ( 5) + e 5 6 [,] 0 (,0) (0, + Rješenje: D( ) = [,]. 9. ( ) = ln ( ) + e + > 0 + (( > 0 i + > 0) ili ( < 0 i + < 0)) ( > 0 i + > 0) (, + ( < 0 i + < 0) (, ) Rješenje: D( ) = (, ) (, +. 9. ( ) = ln ( ) + sin( ) + 5 8 ln ( ) 0 0 0 + 5 + 5 + 5 + 5 8 0 (( 8 0 i + 5 > 0) ili ( 8 0 i + 5 < 0)) + 5 ( 8 0 i + 5 > 0) [, + 5 ( 8 0 i + 5 < 0) (, ) 5 Rješenje: D( ) = (, ) [, +. ZADACI ZA VJEŽBU Naći domene danih unkcija. 9. ( ) = + sin(+ ).

60 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI 9 95. ( ) = arctg( + ) +. ln( ) sh( ) 96. ( ) = +. 0 = + 97. ( ) e ln( ). arcsin( ) 98. ( ) = + e. + 99. ( ) = e arccos. + RJEŠENJA 9. D( ) = [0,]. 95. D( ) = (, ] [, ). 96. D( ) = (, ) (, ). 97. D( ) = [ 6, ) (,5]. 98. D( ) = [, ] [,]. 99. D( ) = [,) (, ).. INVERZ SLOŽENIH FUNKCIJA Neka je unkcija y = () kompozicija nekoliko elementarnih unkcija. Traženje inverza takve složene unkcije svodi se na uzastopno traženje inverza onih elementarnih unkcija koje je sačinjavaju. Stoga treba dobro znati inverze elementarnih unkcija koje smo radili u točki 5.. Radi dobrog pregleda, u sljedećoj tablici navodimo neke najčešće inverzne unkcije elementarnih unkcija, koje ćemo susretati u konkretnim problemima: - ( ) = - ( ) = - ( ) = ln - ( ) = arcsin - ( ) = arccos je inverzna unkcija od ( ) =, 0, je inverzna unkcija od ( ) = je inverzna unkcija od ( ) = e je inverzna unkcija od ( ) = sin,, je inverzna unkcija od ( ) = cos, 0. RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima naći inverzne unkcije danih složenih unkcija.

. Funkcije (sa svim korekcijama) 6 00. ( ) = + 5 y = + 5, y = y+ 5 5 = y+ 5 y = 5 y= 5 = Rješenje: ( ). 0. ( ) = y = y = y, = y y = + y = + Rješenje: ( ) = +. 0. ( ) = e y y = e, y = e y y ln( ) ln( ) = e e = + y = + y = + Rješenje: ( ) = ln( + ). 0. + ( ) = + + y+ y =, y = + y+ y+ = y+ = y+ y( ) = y= y+ Rješenje: ( ) =.

6 sin + 0. ( ) = sin Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI sin+ sin y+ y =, y = sin sin y sin y + = sin y sin y = sin y+ ( + )sin y = + + sin y = + Rješenje: ( ) = arcsin. + + 05. ( ) = ln 5 y y = ln, y = ln 5 y 5 y y y = ln = ln e = e y 5e = y y 5 y 5 y 5 5e y ( e ) = 5e y = e 5e Rješenje: ( ) =. e 06. ( ) = arc sin(ln(cos( e ))) y y = arc sin(ln(cos( e ))), y = arc sin(ln(cos( e ))) = e = e e = e y y sin( ) y arc sin(ln(cos( ))) sin( ) ln(cos( )) cos( ) arc cos( e ) = e ln(arc cos( e )) = y sin( ) y sin( ) sin( ) Rješenje: ( ) ln(arc cos( )). = e

. Funkcije (sa svim korekcijama) 6 ZADACI ZA VJEŽBU Naći inverzne unkcije danih unkcija. 07. ( ) = ln(sin( )). + 08. ( ) =. + + + 09. ( ) = e. cos + 0. ( ) = ln. cos +. ( ) = arcsin e. RJEŠENJA 07. ( ) = arcsin e +. 08. ( ) =. ln e 09. ( ) =. 0. ( ) = arccos +. ln e ln(sin. ( ) ) = +. ln(sin ).5 ISPITIVANJE NA RUBU PODRUČJA DEFINICIJE Ispitivanje na rubu područja deinicije podrazumijeva računanje lijevih i desnih limesa dane unkcije u rubovima njenog područja deinicije. To znači da prvo treba naći domenu D ( ) dane unkcije y = (), a potom u rubnim točkama = a od D ( ) izračunati lijevi limes lim ( ) i desni limes lim ( ). Pri tome, računanje ovih limesa može se izvesti na a a+ jednostavan način, bez upotrebe složenog računa limesa i derivacija, kao što će biti izloženo u sljedećim poglavljima. Naime, dovoljno je u danu unkciju uvrstiti vrijednosti = a, što znači lijevo od točke = a, te vrijednost = a +, što znači desno od točke = a, te koristiti ormule za ponašanje unkcije ( ) = / oko nule: =, = +, 0 0 + gdje «0» označava lijevo, a «0 +» desno od = 0. Ovo je lako zaključiti s graa unkcije ( ) = / :

6 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI - - - - - RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izračunati lijeve i desne limese u rubovima domena.. ( ) = domena: D( ) = (,) (,, lim ( ) = lim = = =, ( ) 0 lim ( ) = lim = = =. + + ( + ) 0+. ( ) = ( ) domena: D( ) = (, ) (,, lim ( ) = lim = = = =, + ( ) (( ) ) (0 ) 0 lim ( ) = lim = = =. + + + + ( ) (( ) ) 0. ( ) = e domena: D( ) = (,) (,, ( ) lim ( ) lim e e e 0 = = = = e = = = 0, e + + ( + ) 0+ lim ( ) = lim e = e = e = e =.

. Funkcije (sa svim korekcijama) 65 5. ( ) = arctg domena: D( ) = (, ) (,, lim ( ) = lim arctg = arctg = arctg = arctg( ) =, ( ) 0 lim ( ) = lim arctg = arctg = arctg = arctg( =. + + ( + ) 0+ 6. ( ) = th domena: D( ) = (,) (,, lim ( ) = lim th = th = th = th( ) =, ( ) 0 lim ( ) = lim th = th = th = th( ) =. + + ( + ) 0+ 7. ( ) = cth domena: D( ) = (, ) (,0) (0,) (,, lim ( ) = lim cth = cth = cth = ( ) ( ) ( )( + ) (( ) )(( ) + ) ( )(0 ) = cth = cth( ) =, 0 lim ( ) = lim cth = cth = cth = ( ) + ( ) + ( )( + ) (( + ) )(( + ) + ) ( )(0 + ) = cth = cth( ) =, 0 + 0 lim ( ) = lim cth = cth = cth(0 + ) =, 0 0 0 + lim ( ) = lim cth = cth = cth(0 ) =, 0+ 0+ lim ( ) = lim cth = cth = cth = ( )( + ) (( ) )(( ) + ) (0 )() = cth = cth( ) =, 0 lim ( ) = lim cth = cth = cth = + + ( )( + ) (( + ) )(( + ) + ) (0 + )() = cth = cth( ) =, 0 +

66 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI što se može skratiti ako uvažimo činjenicu da je dana unkcija neparna. ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći domenu i ispitati ponašanje na rubu domene danih unkcija. 8. ( ) = ch. + ( ) 9. ( ) e =. 0. ( ) = th.. ( ) arctg e = +. sh ( ). ( ) e =.. ( ) = sin th. + RJEŠENJA 8. D( ) = (, ) (,, lim ( ) =+, ( ) lim ( ) =+. ( ) + 9. D( ) = (,) (,, lim ( ) = 0, lim ( ) = 0. + 0. D( ) = (, ) (,, lim ( ) =, ( ) lim ( ) =. +

. Funkcije (sa svim korekcijama) 67. D( ) = (,) (,, lim ( ) =, lim ( ) =. +. D( ) = (,) (,, lim ( ) = 0, lim ( ) = 0. +. D( ) = (, ) (,, lim ( ) =, ( ) lim ( ) =. ( ) +