ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

E() ε() Διορθωτής D() ε c () Σύστημα G() S() Η() Ανάδραση H() E() ε() Διορθωτής D() ε c () Σύστημα G() S() Υπολογιστής Η() Ανάδραση H() Αναλογικό και ψηφιακό ΣΑΕ

Πλεονεκτήματα Χαμηλό κόστος Ανοσία στον θόρυβο Προσαρμοστικότητα Δυνατότητες εξομοίωσης

A/D convrtr Digital computr D/Α convrtr Plant E(t) ε(t) Αναλογικός σε Ψηφιακό Μετατροπέα ε * (t) Υπολογιστής ε * c(t) Ψηφιακός σε Αναλογικό Μετατροπέα ε c (t) Σύστημα S(t) Η(t) Αισθητήρια Μέτρησης Ψηφιακό ΣΑΕ

Δειγματοληψία E(t) ε(t) ε * (t) G S(t) Η(t) Δειγματοληψία Η Μπλοκ Διάγραμμα με δειγματοληψία

* f p t p t f t f(t) f p* (t) t p(t) t /γ Τ γ t Η διαδικασία της δειγματοληψίας: Συνεχές σήμα f(t), σειρά στιγμιαίων παλμών δειγματοληψίας p(t) και δειγματολημένο σήμα f p* (t).

p C f F t n * p * p t 0 n p n C n jn t in jnt t dt C n f t jn t j C F j jn n n Η p(t) σε Σειρά Fourir n n jn Η f p* (t) κατά Σειρά Fourir Αφού η f(t) είναι, κατά Fourir, F(jω), τότε σύμφωνα με τις ιδιότητες του μετασχηματισμού θα είναι:

F(0) 0 ω F(0)/ -ω -ω 0 ω ω ω Το φάσμα συχνοτήτων της συνεχούς συνάρτησης f(t) και της δειγματολημένης f p* (t)

Ιδανική σειρά παλμών δ Τ (t) t t n n t Ο μετασχηματισμός Laplac της ιδανικής δειγματοληψίας: f F * * t f f n t n0 t n0 n f t t n

Συγκράτηση 0 ου βαθμού (Zro Ordr Hold) ZOH f(t) f * (t) Hold f h (t) f(t) f * (t) = f(n)δ(t-n) f h (t) t t t Ιδανική δειγματοληψία και συγκράτηση (Samplr and ZOH)

f h (t) Δηλαδή η απόκριση του ΖΟΗ, σ έναν στιγμιαίο μοναδιαίο παλμό που τον διεγείρει την χρονική στιγμή t=0, είναι ένας μοναδιαίος βηματικός που διαρκεί από 0 έως Τ, οπότε έρχεται ο επόμενος. Ανάλογη είναι η απόκριση όταν ο στιγμιαίος παλμός δεν είναι μοναδιαίος, αλλά άλλης τιμής. t Από τον πίνακα μετασχηματισμών Laplac, (σχέση 6) η απόκριση του ΖΟΗ περιγράφεται από: G oh

Η Συνάρτηση Μεταφοράς του ΖΟΗ = = t

Μετασχηματισμός Ζ Αναγκαιότητα άλλου μετασχηματισμού για τα διακριτά σήματα * F f n ln F n0 f n n0 n n

Παράδειγμα: Μετασχηματισμός βηματικής εισόδου 0 n n n F...... 3 0 3 3 F Η βηματική είσοδος μετασχηματισμένη κατά θα είναι: δ Τ (t) n 3 4

Παράδειγμα: Μετασχηματισμός ράμπας Έστω η συνάρτηση ράμπας, f(t)=t Στον διακριτό χρόνο θα είναι f(n)=n. Θα έχουμε: f(n) f * t n0 n t n 3 4 n Η μετασχηματισμένη κατά Laplac θα είναι: n F * 0 n n

... 3 F 0 3 0... 3 n n n n n n F...... 3... 3... 3 3 3 F F F... Και επειδή είναι: F F Πολλαπλασιάζω επί αμφότερα τα μέλη Αφαιρώ: Μετασχηματίζοντας κατά την: 0 * n n n F

af t af Ιδιότητες του μετασχηματισμού Πολ/μός με σταθερά f t f t F F Γραμμικότητα at a f t F 3 Χρονική καθυστέρηση f f n f tf 0 t t n limf F 4 Χρονική μετατόπιση 5 df d lim F Διαφόριση 6 Θεώρημα αρχικής τιμής 7 Θεώρημα τελικής τιμής Έτσι οδηγούμαστε στους πίνακες μετασχηματισμών κατά

Αντίστροφος μετασχηματισμός Μέθοδος μερικής κλασματικής ανάλυσης (Partial Fraction Expanion) Παράδειγμα 0,5 F 0,5 0,7 F F 0,7 0,5 0,7,5 0,5 A 0,5 0,5,5 0,5,5 0,7 B,5 0,7

0 f n n n,5 0,5,50,7 f * t f n t n n n n,5 0,5,5 0,7 t n t 0,5 t 0,6 t 0,545 t 3 n

Παράδειγμα 0,736 0,736 0,736 0,63 F C B A F F 0,736 F

F a cob F a a με α=0,5 και b= 0,736 cob f n 0,5n con 0, 0.673,.53,.,.0885, 0.9767 n 0,,,3,4,5

F Μέθοδος διαίρεσης (Powr Sri Mthod) Παράδειγμα ίδιο με το (Partial Fraction Expanion) 0,5 0,5 0,5 0,7, 0, 35 0,5-0,5+0,6-0,75-0,6-0,75 - -0,6+0,7 - -0, - -,+0,35 0,5 - +0,6 - +0,545-3 0,545 - -0, - * f t 0 t 0,5 t 0,6 t 0,545 t 3

Συνάρτηση Μεταφοράς Ε() G() S() (a) E() E * () G() S() (b) E() E * () G() S() S * () (c) * Δειγματολήπτης καθρέφτης (Phantom Samplr). t t t n0 n t n

Η απόκριση του συστήματος G() σε έναν στιγμιαίο παλμό θα είναι g(t). Αφού η είσοδος αποτελείται από μια σειρά στιγμιαίων παλμών, τότε και η έξοδος θα αποτελείται από μία σειρά τέτοιων στιγμιαίων αποκρίσεων, και η συνολική απόκριση θα είναι το άθροισμα όλων αυτών των αποκρίσεων: t n gt n k n gk n n0 n0 k S k S ngk n k 0 Και για m=k-n το κάτω όριο m+n έγινε m, επειδή το m+n=0 πέρνει αρνητικές τιμές για κάθε n>0 S k0 n0 mn n g m m0 mn0 n0 g m m n n0 n k

S gm m n n GE m0 Παρaδείγματα n0 E() ε() ε * () ε() ZOH M() G() S() S * () S() Έστω η συνάρτηση μεταφοράς G() που συνοδεύεται από τον ΖΟΗ με περίοδο δειγματοληψίας Τ=0,5 c: G

0,607 0,4 0,607 0,5 G B A G

Η Σ.Μ. G() που συνοδεύεται από τον ΖΟΗ με περίοδο δειγματοληψίας Τ= c:,77 0,63 0,63 0,63 0,63 G G Είναι η σχέση 8 στον πίνακα των μετασχηματισμών

Ευστάθεια Το επί πλέον μέγεθος που διαδραματίζει καθοριστικό ρόλο στην ευστάθεια των ψηφιακών ΣΑΕ, σε σχέση με τα αναλογικά, είναι η περίοδος της δειγματοληψίας. Στα αναλογικά ΣΑΕ, ένα σύστημα ήταν ευσταθές, όταν οι ρίζες της χαρακτηριστικής του εξίσωσης ήταν όλες στο αριστερό ημιεπίπεδο του. Μεταφράζοντας αυτήν την διαπίστωση στα ψηφιακά ΣΑΕ, το κάνουμε αντιπαραθέτοντας τις μεταβλητές = και =a+jω.

a j a j a co j in a Στο πεδίο του : Για α=0 =a+jω=jω, ταυτίζεται με τον φανταστικό άξονα και έχουμε αυτοταλάντωση. Για α>0 είμαστε στο δεξιό μιγαδικό και έχουμε αστάθεια. Για α<0 είμαστε στο αριστερό μιγαδικό και έχουμε ευστάθεια. Στο πεδίο του : Για α=0 = a ωτ= ωτ, ταυτίζεται με την περιφέρεια κύκλου με ακτίνα και έχουμε αυτοταλάντωση. Για α>0 = a ωτ> ωτ, ταυτίζεται με τήν περιοχή εξωτερικά του κύκλου και έχουμε αστάθεια. Για α<0 = a ωτ< ωτ, ταυτίζεται με το εσωτερικό του κύκλου και έχουμε ευστάθεια.

Im Im Πεδίο - Πεδίο - C Α C R A R B B Οι περιοχές της ευστάθειας και οι αντιστοιχίες στα πεδία και

Κριτήριο ευστάθειας του Jury Q GH a n n a n n..... a a 0 0 a n 0

0 n-k n- n a 0 a a a n-k a n- a n a n a n- a n- a k a a 0 b 0 b b b n-k b n- b n- b n- b n-3 b k- b 0 c 0 c c c n-k c n- c n-3 c n-4 c k- l 0 l l l 3 l 3 l l l 0 m 0 m m

b k a a 0 n a nk a k c k b b 0 n b n k b k d k c c 0 n c nk c k...

0 3 0 0 0 0 0 0 m m d d c c b b a a Q Q n n n n n Αναγκαίες και ικανές συνθήκες για να είναι το σύστημα ευσταθές:

Παραδείγματα E() ε() ε * () ε() M() G() S() S * () S() G

0,905 0,00468 0,00484 0,905, 0, 0, 0,

F 0,00484 0,00468 G 0,905 G 0,00484 0,00468 0,905 0,00484 0,00468 0,00484,905 0,905 0,00468 0,00484,905 0,905 0,00468 0 0 0,905+0,00468Κ 0,00484Κ-,905 0,00484Κ-,905 0,905+0,00468Κ

0,00484,905 0,905 0,00468 0 Q Η συνθήκη Q() > 0 μας δίνει: +0,00484Κ-,905+0,905+0,00468Κ > 0 0,00936Κ > 0 Κ > 0 Η συνθήκη (-) Q(-) > 0 μας δίνει: +,905-0,00484Κ + 0,905 + 0,00468Κ > 0 3,8-0,0006Κ > 0 3,8 > 0,0006Κ Κ < 38,5 Η συνθήκη α 0 < α μας δίνει: 0,905+0,00468Κ < 0,00468Κ < 0,095 Κ < 0,3 Αρα από τις τρείς συνθήκες έχουμε ευστάθεια για: 0 < Κ < 0,3

Το ίδιο πρόβλημα με περίοδο δειγματοληψίας Τ= c,368 0,64 0,64 0,63 0,63 0,63

0 0,64,368 0,368 0,64 0 0 +0,64Κ Κ-,368 0,00484Κ-,905 0,905+0,00468Κ

Η συνθήκη Q() > 0 μας δίνει: +Κ-,368++0,64Κ > 0 0,63Κ > 0 Κ>0 Η συνθήκη (-) Q(-) > 0 μας δίνει: -Κ+,368++0,64Κ > 0,736-0,04Κ > 0,736 > 0,04Κ Κ < 6,3 Η συνθήκη α 0 < α μας δίνει: +0,64Κ < 0,64Κ < 0,63 Κ <,39 Άρα από τις τρεις συνθήκες έχουμε ευστάθεια για: 0 < Κ <,39.

Η αυτοταλάντωση του συστήματος θα παρουσιάζεται για Κ=,39. Τότε η χαρακτηριστική του εξίσωση θα είναι:,368 0,64 0,39 0,488 0 και οι ρίζες της: =0,44j0,970 = 75,9 o = =,3 rad = ωτ. Δηλαδή θα έχουμε ταλάντωση με συχνότητα,3 rad/c.

Χρονική απόκριση των Ψηφιακών ΣΑΕ E() ε() ε * () ε() M() 4 S() S * () S() Συχνότητα δειγματοληψίας 0 Hrt 4 0,365 0,887 0, 4

F 0,365 0, 456 S E F 0,365 0,667 0,667 0,456 0, 456 S(k)=0,667 [-0,456 k ]= [0 0,363 0,58 0,603 0,639 0,654 0,66. 0,666].

S() S * () S() M() ε() ε * () E() ε() 3 0 9 8 7 6 5 4 3 0,98,08,08 0,99 0,87 0,8 0,9,5,4,4 0,63 0,64 0,63 0,64,368 0,64 F E S E F

Τ=0,5 c Τ= c

Γεωμετρικός Τόπος Ριζών στα Ψηφιακά ΣΑΕ Όπως στα αναλογικά ΣΑΕ, έτσι και στα ψηφιακά, μία από τις μεθόδους μελέτης τους αποτελεί ο Γ.Τ.Ρ, που ως γνωστόν, είναι η χάραξη της συμπεριφοράς των ριζών της Χαρακτηριστικής Εξίσωσης του συστήματος κλειστού βρόχου: G()H()+=0, συναρτήσει της ενίσχυσης Κ. Τα βήματα χάραξης του Γ.Τ.Ρ, είναι τα ίδια, όπως τα συναντήσαμε στα αναλογικά ΣΑΕ.

Παράδειγμα Θα μελετήσουμε την Σ.Μ από προηγούμενο παράδειγμα: G H 0,77 n=, w= Ο τόπος ξεκινάει από τους πόλους (= και =) και καταλήγει στο μηδενικό =-0,77 και στο ισοδύναμο μηδενικό στο άπειρο =. Υπάρχει μία ασύμπτωτος (n-w=) στις 80 ο. Τα σημεία καμπής προκύπτουν από : [G()H()] =0 και είναι: =0,65 για =0,96 και =-,08 για =5.

Ζ Κ=,39 Κ=5 Μοναδιαίος κύκλος -0,77 Κ=0,96

Η τιμή της ενίσχυσης Κ=,39, για την οποία το σύστημα περνάει στην αυτοταλάντωση, εκτός από το κριτήριο του Jury, μπορεί να υπολογισθεί και με τον γραφικό τρόπο, από τις τιμές των ανυσμάτων, όπως γινόταν και στα αναλογικά ΣΑΕ: p p

Σημείο τομής του Γ.Τ με τον Μοναδιαίο κύκλο 0,97 Ζ -0,77 0,44 Μοναδιαίος κύκλος Έτσι η τιμή της ενίσχυσης θα είναι:,9 0,978,364,39

G H 0,5

G H 0,5 0,